利用均值不等式求最值练习题二
均值不等式的应用
1．利用均值不等式求最值时，必须同时满足三个 条件：一_正_______二、定________、三__相_等_______.
2．连续两次使用不等式变形时要保持前后等号成 立___条__件___的一致性．
1．由基本不等式a＋2 b≥ ab(a，b∈R＋) 可以推导出： (1)ab≤(a＋2 b)2，(a、b∈R＋)． (2)反向不等式：a＋b≤ 2a2＋b2(a、b∈R＋)． 你会证明吗？ (1)由基本不等式两边平方即得． (2)将 a2＋b2≥2ab，两边同加上 a2＋b2 得 2(a2＋b2)≥(a＋b)2 开方即得．
由①②知，k＝－1 为符合题意的实数．
[点评] 若f(x)的最大值为M，最小值为m，则k≥f(x) 恒成立，⇔k≥M；k≤f(x)恒成立，⇔k≤m；k>f(x) 有解⇔k>m；k<f(x)有解⇔k<M.
又 a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2 ab.
∴ ab≤12， 1ab≥2，－ ab≥－12.
∴
1－ ab
ab≥32.
∴(
1－ ab
ab)2≥94.
∴(a＋1a)(b＋1b)≥94＋2＋2＝245.
当且仅当 a＝b＝12时，式中等号成立．
(2009·湖北高考)围建一个面积为360m2的矩形场地， 要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他 三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m， 新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)， 修建此矩形场地围墙总费用为y(单位：元).ຫໍສະໝຸດ 小值为( )A． 2
B．2
C．2 2
第15讲 椭圆中6大最值问题题型总结(解析版)
第15讲 椭圆中6大最值问题题型总结【题型目录】题型一：利用均值不等式求最值题型二：利用焦半径范围求最值题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题题型五：椭圆有关向量积最值问题题型六：声东击西，利用椭圆定义求最值【典型例题】题型一：利用均值不等式求最值【例1】已知，是椭圆的两个焦点，点M 在C 上，则1F 2F 22:12516x y C +=12MF MF ⋅的最大值为（ ）．A ．13B ．12C ．25D ．16【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆定义可得，利用基本不等式可得结果.1210MF MF +=【详解】由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：，5a =12210MF MF a +==（当且仅当时取等号），21212252MF MF MF MF ⎛+⎫∴⋅≤= ⎪⎝⎭12MF MF =的最大值为.12MF MF ∴⋅25故选：C.【例2】（2022·安徽·高二阶段练习）已知椭圆C ：221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆C 上的动点，1m PF =，2n PF =，则14m n +的最小值为（ ）A ．98B ．54C D 【答案】A 【解析】【分析】由椭圆的定义可得8m n +=；利用基本不等式，若0a b >， ，则a b +≥，当且仅当a b =时取等号.【详解】根据椭圆的定义可知，1228a PF PF +==，即8m n +=，因为40m ≥>，40n ≥>，所以()141141419558888n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当83m =，163n =时等号成立.故选：A【题型专练】1.（2022·河南·辉县市第一高级中学高二期末（文））设P 是椭圆22194x y +=上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12cos F PF ∠的最小值是（ ）A ．19-B ．1-C ．19D ．12【答案】A 【解析】【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式可求得12cos F PF ∠的最小值.【详解】在椭圆22194x y +=中，3a =，2b =，c ==，由椭圆定义可得1226PF PF a +==，122F F c ==，由余弦定理可得()2222212121212121212122cos 22PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +--⋅+-∠==⋅⋅22121262016161111218922PF PF PF PF -=-≥-=-=-⋅⎛+⎫⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当123PF PF ==时，等号成立，因此，12cos F PF ∠的最小值为19-.故选：A.2．（2022·全国·高二课时练习）已知 P ( m ， n ) 是椭圆上的一个动点，则22+=112x y 22m n+的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(]0,1[]1,2(]0,2[)2,+∞3.（2022·全国·高三专题练习）已知点P 在椭圆上，22221(0)y x a b a b +=>>12F F 、为椭圆的两个焦点，求的取值范围．12||||F P P F ⋅【答案】.22,b a ⎡⎤⎣⎦题型二：利用焦半径范围求最值【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C ：（）的右焦点，点22221x y a b +=0a b >>(),0F c (),P x y 是椭圆C 上的一个动点．求证：．a c PF a c-≤≤+【例2】（2021·山西吕梁·一模（理））已知为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一点，则F 22143x y +=PF 的取值范围为_________．【答案】[1,3]【分析】设出点P 的坐标，由两点间的距离公式求出||PF ，进而根据点在椭圆上将式子化简，最后求出范围.【例3】（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二开学考试（文））已知椭圆，点，22142x y +=()0,1A P为椭圆上一动点，则的最大值为____.PA【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），P 24x 2y P 为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄12F F 、O M 12F PF ∠1F M MP，则丨丨的取值范围为（ ）OMA ．（0B ．（0，2）C ．（l ，2）D 2）【题型专练】1.平面内有一长度为4的线段，动点P 满足，则的取值范围是（ ）AB ||||6PA PB +=||PA A ．B ．C ．D ．[1,5][1,6][2,5][2,6]【答案】A【解析】由题可得动点在以为焦点，长轴长为6的椭圆上，P ,A B ，3,2a c ∴==则可得的最小值为，最大值为，||PA 1a c -=5a c +=的取值范围是.∴||PA [1,5]故选：A.2.已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，且，则P 2214940x y +=A (30)，M ||1AM = 0PM AM ⋅= 的最小值是 ．||PM【答案】15【解析】由题意知 ，所以，解得，所以40,4922==b a 92=c 3=c ()0,3A 为椭圆的右焦点，由题意知点是以为圆心，为半径上的圆上一动点，且所以M A 1AM PM ⊥1222-=-=PA AMPA PM ，因的最小值为，所以PA437=-=-c a 15142min=-=PM3.已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，p 22:198x y C +=C 1F 2F 分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则M 12F PF ∠10MF MP ⋅=OM的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()0,2(0,(0,3-()0,1【答案】D 【解析】【分析】作出辅助线，得到，求出的取值范围，从而求出的取值范围.212OM F N =2F N OM 【详解】如图，直线与直线相交于点N ，1F M 2PF 由于PM 是的平分线，且，即PM ⊥，12F PF ∠10MF MP ⋅=1F N 所以三角形是等腰三角形，1F PN 所以，点M 为中点，1PF PN =1F N 因为O 为的中点，12F F 所以OM 是三角形的中位线，12F F N所以，212OM F N =其中，212112226F N PF PF PF a PF =-=-=-因为P 与的四个顶点不重合，设，则，C (),P m n ()0,3m ∈22198m n +=，193m ==+所以，又，()12,4PF ∈20F N >所以，()20,2F N ∈()210,12OM F N =∈∴的取值范围是.||OM ()0,1故选：D.题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的长轴长为，短轴长为，则椭圆上任意一点108P 到椭圆中心的距离的取值范围是（ ）O A ．B ．C ．D ．[]4,5[]6,8[]6,10[]8,10【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：P 221129x y +=P C 的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（ ）()2211x y +-=M PMA ．B ．C ．D ．4⎤⎦4⎤⎦【例3】（2022·重庆市实验中学高二阶段练习）已知点P 在椭圆22193x y +=上运动，点Q 在圆225(1)8x y -+=上运动，则PQ 的最小值为___________.【解析】【分析】将求PQ最小值的问题，转化为求点P 到圆心()1,0M 距离最小值的问题，结合点P满足椭圆方程，转化为二次函数求最值即可.【详解】不妨设点P 为()00,x y ，[]03,3x ∈-，则2200193x y +=，则220033x y =-设圆225(1)8x y -+=的圆心为M ，则M 坐标为()1,0则PQ的最小值，即为MP的最小值与圆225(1)8x y -+=.又MP ===当[]03,3x ∈-时，MP ≥，当且仅当032x =时取得等号；故PQ ≥=.故答案为.【题型专练】1.（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设B 是椭圆的上顶点，点P 在C 上，则22:14x C y +=PB 的最大值为________.2.已知椭圆的焦点，过点引两条互相垂直的两直线、，若222:1(1)x T y a a+=>(20)F -，(01)M ，1l 2l P 为椭圆上任一点，记点到、的距离分别为、，则的最大值为（ ）P 1l 2l 1d 2d 2212d d +A ．2B ．C ．D ．134134254【答案】D【解析】由题意知 ，所以，解得，所以椭圆的方程为，设4,122==c b 52=a 5=a 1522=+y x ，因为，且，所以又因，所以()00,y x P 21l l ⊥()1,0M (),1202022221-+==+y x PM d d 152020=+y x ，202055y x -=所以因为，所以当时，6241255020020202221+--=+-+-=+y y y y y d d 110≤≤-y 410-=y 的最大值为2221d d +4253.（多选题）已知点是椭圆：上的动点，是圆：P C 2213x y +=Q D ()22114x y ++=上的动点，则（ ）A ．椭圆的短轴长为1B ．椭圆C C C ．圆在椭圆的内部D ．的最小D C PQ 【答案】BC 【解析】【分析】AB.利用椭圆的方程求解判断；C.由椭圆方程和圆的方程联立，利用判别式法判断；D.利用圆心到点的距离判断.【详解】解：因为椭圆方程为：，2213x y +=所以，故A 错误，B 正确；222223,1,2,c a b c a b e a ===-===由，得，()222213114x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩2824210x x ++=因为，2244821960∆=-⨯⨯=-<所以椭圆与圆无公共点，又圆心在椭圆内部，()1,0-所以圆在椭圆内部，故C 正确；设，()(,P x y x ≤≤，==当时，取得最小则的最小，故D 错误，32x =-PD PQ 12故选：BC4．（全国·高二课前预习）点、分别在圆和椭圆上，则、P Q (222x y+=2214x y +=P Q两点间的最大距离是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的的焦点为2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,,F F P是C 上的动点，直线的一个焦点，的周长为y x =12PF F △4+（1）求椭圆的标准方程；（2）求的最小值和最大值．12PF PF +题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题两种思路：法一：设椭圆参数方程，即设椭圆上一点为()θθsin ,cos b a P ，用点到直线的距离公式法二：利用直线与椭圆相切，联立方程，利用判别式0=∆，求出切线，再求两直线间距离【例1】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）椭圆22143x y +=上的点P 到直线l ：30x y ++=的距离的最小值为（ ）ABCD【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的形式，运用三角代换法，结合点到直线距离公式、辅助角公式进行求解即可.【详解】由222cos 143x x y y θθ=⎧⎪+=⇒⎨⎪⎩，设(2cos )P θθ，设点P 到直线l ：30x y ++=的距离d ，所以有d ，其中tan (0,))2πϕϕ=∈，所以当2()2k k Z πθϕπ+=-∈时，d 有最小=，故选：C【例2】（2022·全国·高二专题练习）椭圆上的点到直线22143x y +=290l x =：－的距离的最大值为______.【例3】（2021·浙江·慈溪市浒山中学高二阶段练习）设点在椭圆上，点()11,P x y 22182x y +=在直线上，则的最小值为___________.()22,Q x y 280x y +-=212136x x y y -+-【题型专练】1．（2022·甘肃·兰州一中高二期中（文））已知实数x ，y 满足方程，则22220x y +-=x y +的最大值为________．2．（2022·全国·高二专题练习）椭圆：上的点到直线C 22194x y +=P 43180l x y ++=：的距离的最小值为_____.3.（2022·四川遂宁·高二期末（理））如图，设P 是圆229x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的射影，M 为PD 上的一点，且．23MD PD =(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 方程；(2)求点M 到直线距离的最大值.:290l x y +-=4．（2020·海南·高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为 ，12（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.联立直线方程与椭圆方程，2x y m -=2211612x y +=可得：，()2232448m y y ++=化简可得：，2216123480y my m ++-=题型五：椭圆有关向量积最值问题【例1】（2022·黑龙江·佳木斯一中高二期中）已知P 为椭圆2212524x y +=上任意一点，EF 为圆22:(1)4N x y -+=任意一条直径，则PE PF ⋅的取值范围为（ ）A ．[8，12]B ．[12,20]C ．[12,32]D ．[32,40]【答案】C 【解析】【分析】由题意可得圆心(1,0)N 恰好是椭圆的右焦点，将PE PF ⋅ 化简得24NP-+ ，由椭圆的性质可知[,]NP a c a c ∈-+，从而可求出PE PF ⋅ 的取值范围【详解】由2212524x y +=，得2225,24a b ==，则5,1a b c ===，圆22:(1)4N x y -+=的圆心(1,0)N 恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为2，因为()()PE PF NE NP NF NP⋅=-⋅- ()2NE NF NP NE NF NP=⋅-⋅++ 2cos 0NE NF NPπ=⋅-+ 24NP=-+ ，因为P 为椭圆2212524x y +=上任意一点，N 为椭圆的右焦点，所以[,]NP a c a c ∈-+ ，即[4,6]NP ∈ ，所以2[16,36]NP ∈ ，所以24[12,32]NP -+∈ ，所以PE PF ⋅的取值范围为[12,32]，故选：C【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆12,F F 22:142x y E +=的两个焦点，P 是椭圆E 上任一点，则的取值范围是____________12⋅ F P F P【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知点满(),P x y =，点A ，B 关于点对称且，则的最大值为（ ）()0,2D -2AB =PA PB ⋅A ．10B ．9C ．8D ．2【题型专练】1.（2022·山东·高三开学考试）在椭圆上有两个动点，为定点，，则2214x y +=,P Q ()1,0E EP EQ ⊥的最小值为（ ）EP QP →→⋅131223故选：C ．2.（2022·全国·高三专题练习多选题）已知椭圆的左､右焦点为､，点22:132x y C +=1F 2F M为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（ ）(M xA ．椭圆的长轴长为CB ．椭圆的离心率C 13e =C ．△的周长为12MF F 2+D ．的取值范围为12MF MF ⋅[1,2)3．（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，12,F F 22163x y +=,A B分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为__________.P AB 12PF PF ⋅4.（2015·山西大同市·高二期末（理））设、分别是椭圆的左、右焦点，若Q 是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为A ．与B ．与C ．与D ．与12-22-11-21-【答案】A【详解】试题分析：设，由题得，所以(,)Q x y 12(F F ，12(,),,)QF x y QF x y =-=--，因为在椭圆上，所以所以2212·3QF QF x y =-+(22)x -≤≤(,)Q x y ，所以当有最小值；或222123·31244x x QF QF x =-+-=- (22)x -≤≤0x =2-2x =2-时，有最大值1题型六：声东击西，利用椭圆定义求最值此种类型题目，一般要利用椭圆定义，转化为三点共线问题，利用三角形两边之和大于第三边，或者两边之差小于第三边解决【例1】（2022·辽宁·高二期中）动点M 分别与两定点(5,0)A -，(5,0)B 连线的斜率的乘积为1625-，设点M 的轨迹为曲线C ，已知N ，(3,0)F -，则||||MF MN +的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．12【答案】B 【解析】【分析】求出轨迹方程2212516x y +=，根据椭圆的定义，可得210MF MF +=，当2MF 经过点N 时，MF MN+最短.【详解】设动点M 的坐标为()M x y ， ，则165525y y x x ⋅=-+- 整理后得：2212516x y += ，动点M的轨迹为椭圆，左焦点为()30F -，，右焦点为()230F ， ，210MF MF += ，如下图所示，当2MF 经过点N 时，MF MN+最短，此时210108MF MN MF MN +=-+==故选：B【例2】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则F 22:11615x y C +=P C Q (4,4)的最大值为（ ）||||PQ PF +A B ．13C ．3D ．5【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解.【详解】如图所示：，||||||2||2||813PQ PF PQ a PF a QF ''+=+-≤+==故选：B【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：2212516x y +=内有一点()2,3M ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆C 上的一点，求：(1)1PM PF -的最大值与最小值；(2)1PM PF +的最大值与最小值．【答案】(1)最大，最小值为(2)最大值为10，最小值为10【解析】【分析】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得11||||||||PM PF MF -…然后得到1||||PM PF -的最大值与最小值；(2)利用椭圆的定义表示出1||||PM PF +，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案．(1)由椭圆22:12516x y C +=可知5a =，4b =，3c =，则1(3,0)F -，2(3,0)F ，则11||||||||PM PF MF -…，当且仅当P 、M 、1F 三点共线时成立，所以1||||PM PF -…，所以1||||PM PF -和；(2)210a =，2(3,0)F ，2||MF =，设P 是椭圆上任一点，由12||||210PF PF a +==，22||||||PM PF MF -…，12212210PM PF PF MF PF a MF ∴+-+=-=…，等号仅当22||||||PM PF MF =-时成立，此时P 、M 、2F 共线，由22||||||PM PF MF +…，12212210PM PF PF MF PF a MF ∴+++=+=+…，等号仅当22||||||PM PF MF =+时成立，此时P 、M 、2F 共线，故1||||PM PF +的最大值10与最小值为10．【题型专练】1.（2022·全国·高二专题练习）已知点(4,0)A 和(2,2)B ，M 是椭圆221259x y +=上的动点，则||||MA MB +最大值是（ ）A ．10+B ．10-C ．8+D ．8【答案】A 【解析】【分析】设左焦点为(4,0)F -，A 为椭圆右焦点，利用椭圆定义转化||||10||||MA MB MB MF +=+-，然后利用平面几何的性质得最大值．【详解】解：椭圆221259x y +=，所以A 为椭圆右焦点，设左焦点为(4,0)F -，则由椭圆定义||||210MA MF a +==，于是||||10||||MA MB MB MF +=+-.当M 不在直线BF 与椭圆交点上时，M ､F ､B 三点构成三角形，于是||||||MB MF BF -<，而当M 在直线BF 与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有||||||MB MF BF -=-，在第三象限交点时有||||||MB MF BF -=.显然当M 在直线BF 与椭圆第三象限交点时||||MA MB +有最大值，其最大值为||||10||||10||1010MA MB MB MF BF +=+-=+==+.故选：A.2.（2022·全国·高二专题练习）已知F 为椭圆221259x y +=的左焦点，(2,2)B 是其内一点，M为椭圆上的动点，则MF MB+的最大值为__，最小值为__.【答案】 10+10-【解析】【分析】设A 为椭圆右焦点，设左焦点为(4,0)F -，B 在椭圆内，由椭圆定义210MA MF a +==，结合当M 在直线AB 与椭圆交点上时和当M 在直线BA与椭圆交点，分别求得其最大值与最小值，即可求解.【详解】设A 为椭圆右焦点，设左焦点为(4,0)F -，B 在椭圆内，则由椭圆定义210MA MF a +==，当M 在直线AB 与椭圆交点上时，M 在x 轴的上方时，10MF MB AB+=-，取得最小值，最小值为：1010-=-；当M 在直线BA 与椭圆交点，在x 轴的下方时，MF MB+有最大值，其最大值为1010MF MB MF MA AB AB +≤++=+=+.故答案为：10+10-3.（2022·四川·成都七中高二期末（文））已知点()4,0A ，()2,2B 是椭圆221259x y +=内的两个点，M 是椭圆上的动点，则MA MB+的最大值为______．【答案】10+##10+【解析】【分析】结合椭圆的定义求得正确答案.【详解】依题意，椭圆方程为221259x y +=，所以5,3,4a b c ===，所以()4,0A 是椭圆的右焦点，设左焦点为()4,0C -，根据椭圆的定义可知210MA MB a MC MB MB MC+=-+=+-，=，所以MA MB+的最大值为10+故答案为：10+4．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点22:12521x y C +=1F 2F ()2,3P Q在椭圆上，则可以是（ ）2QF QP+A ．B ．C ．D ．5101520【答案】ABC 【解析】【分析】作出图形，设直线交椭圆于点、，利用椭圆定义可得1PF C M N 2110QF QP QP QF +=+-，利用点分别与点、重合时取得最小值和最大值可求得Q M N 2QF QP+的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】在椭圆中，，，，则、，如下图所示：C 5a =b =2c =()12,0F -()22,0F设直线交椭圆于点、，1PF C M N 5=由椭圆定义可得，则，故，1210QF QF +=2110QF QF =-2110QF QP QP QF +=+-当点与点重合时，此时取得最小值，即，Q M 2QF QP +()21min 105QF QP PF +=-=当点与点重合时，此时取得最大值，即.Q N 2QF QP+()21max 1015QF QP PF +=+=因此，的取值范围是.2QF QP+[]5,15故选：ABC.。
均值不等式的应用(习题+答案)
均值不等式的应用(习题+答案)均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则abba ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+abb a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答：经典)教学内容
利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当 _____________时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”）2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________。
解：因为x >0，y>0，所以234343x y x yxy+≥=(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，于是13xy≤， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值 解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=1621211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立技巧二：配凑项求 例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
均值不等式专题20道-带答案
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均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号:___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若，且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______。
5．若直线2ax—by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知,且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为,则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x,y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足,则的最小值为______．13．若，,，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________。
15．已知a，b都是正数，满足,则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为,则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______。
20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题,关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式。
利用均值不等式求最值问题
均值不等式： ab 如果 a , b R , 那么 ab (当且仅当 a b 时 , 取 " " 号) 2 1. 利用均值不等式求最值结论：积一定，和有最小值；和一定， 积有最大值。 2. 利用均值不等式求最值的条件：一正，二定，三相等。 练习： 3 1.若x>0,当x= 3 时,函数 y x 的最小值是 2 3 . x 2 4 2.若x>0,当x= 时,函数 y 9 x 有最 小 值 12 . 3 x 1 3.若x>4,函数 y x 当x= 5 时,函数有最 大 值是 6 . 4 x 3 1 4.已知 0 x 1,则 3x(1 x) 的最大值为 4 ,此时x= . 5 25 2 5 5.若 0 x ,当x = 时, y = x(5 – 2x)有最大值 . 4 2 8 x 2 y 2 6.若x>0,则 最大值为 . 书:练习,习题6.2 x 2 4
4800 4800 l 150 120(2 3x 2 3 ) 3 3x 1600 240000 720( x ) x
1600 x 240000 720 2 40 297600 4800 1600 40 时, l 有最小值297600. 当 x ,即x = 40, x 3x 因此,当水池的底面是边长为40m的正方形时,水池的总造 价最低,最低总造是297600元. 240000 720 2 x
下列函数中，最小值为 的是C 4
4 A. f ( x) x x
4 B. f ( x) x , ( x (0,1]) x
C. f ( x) 3 4 3
x
x
D. f ( x) lg x logx 10
2.2均值不等式练习卷(适合职高)
2.2 均值定理1.下列不等式中一定成立的是 （ ）A ．m ＋1m ≥2B ．n m ＋m n≥2 C ．m 2＋n 2≥2 n ·m D ．m ＋n ≥2mn 2．已知m ＞0，则16m m +取得最小值时，当且仅当（ ）A ．2B ．4C ．8D ．163．若x ≠0，则6x 2＋2x 2 的最小值是 （ ）A ．2 3B ．3 2C ．4 2D ．4 34．已知x >0，则3x ＋3x 取最小值时，当且仅当x ＝ （ ）A ．1B ．3C ．6D ．95．设0<x <1,0<y <1且x ≠y ，则x ＋y ，2xy ，x 2＋y 2，2xy 中，最大的一个是（ ）A ．2xyB ．x 2＋y 2C ．2xyD ．x ＋y6．若x >0，则4－x －1x 的最大值是 （ ）A ．6B ．4C ．3D ．27．如果,a b R +∈，且1a b +=,那么a b 有（ ）A ．最小值14B ．最大值14C ．最小值12 D ．最大值128. 已知0,0a b >>，则b aa b +的最小值是____________________9．已知010x <<，则(10)x x -的最大值是________10．若0,0m n >>，且21m n +=，则m n ⋅的最大值为______________11．若1a >则当a =________ 时，451a a ++-能取得最小值。
12．已知x >0，则27x ＋13x 的最小值是____________13．若x >0，则当x ＝______时，y ＝10－2x －32x 的最大值是___________14．已知0<x <8，则x (8－x )的最大值是____________15．当x ＞1时，121x x ++-的最小值是：_________，此时x ＝_________.16若,a b R +∈，且3a b ab ++=，求a b 的取值范围。
均值不等式及其应用
和一定, 积有最大值。
某厂生产化工产品，当年产量在150吨至250吨之 间时，某年生产总成本y（万元）与年产量x(吨）之间的 2 x 关系可近似地表示为
y
求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？
10
30x 4000
解：设每吨平均成本为 y（万元），则
y x 4000 x 4000 30 2 30 10 10 x x 10 x
6
1 max= 12
1、已知：0＜x
1 8
解： ∵0＜x≤1 ∴1-3x＞0
，求函数y=x（1-3x）的最大值
1 3x 1 3x 2 1 1 ) 12 ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( 3 3 2
8
ymax
1 12 如此解答行吗？
1 2、若x<0，求 f ( x) x x 的值域。
1 例2、求 f ( x) x 的值域。 x 解: 定义域为 {x | x 0}
1 1 x 0时，f ( x) x 2 x 2 x x 1 当且仅当x ,即 x 1时,取“=”号
利用奇函数的性质求x<0时的值域
x
x 0 时，有 x 0 1 1 1 ( x ) 2 ( x) ( ) f ( x) x x x x 1
思考题:某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面 图是由两个相同的矩形ＡＢＣＤ和ＥＦＧＨ构成的面积为 ２００m2的十字型地域（如图）计划在正方形ＭＮＰＱ上建一座 花坛，造价为４２００元／m2，在４个相同的矩形上（阴影部分） 铺花岗岩地坪，造价为２１０元／m2，再在４个空角上铺草坪， 造价为８０元／m2， H G （１）设总造价为Ｓ元，ＡＤ长为X， 试建立Ｓ关于X的函数关系式； C （２）当X为何值时Ｓ最小，并求 D 出这个最小值。 Q P
均值不等式求最值(二)
已知两正数□,○，若
1 □
+
1 ○
，□ + ○，□2+○2，□○
四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等，则其他
三个式子有最值
注1：此法非通法 多元有优势 小作抓“等”字 大作“正常等”
注2：书写格式 三因一果
注3：常见题型 明考暗考 配凑连用 嵌积重点
不等式概述
概念 性质
⑥方：
如果a>b,且c<0,那么ac<bc 正值可方奇无限
⑵对多个不等式的运算(变形)
⑦同向可加：
⑧正值同向可乘： ⑨同号可倒：
注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)
注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性
3.重要的(经典)不等式
⑩ □2+○2≥±2□○ 当且仅当○=□时等号成立
⑤圆伸缩型：z (x x0 )2 ( y y0 )2 (x0 ,y0为常数,半径…) 3.其他型：
⑥向量型：……
§158 均值不等式求最值(二)
已知两正数□,○，若
1 □
+
1 ○
，□ + ○，□2+○2，□○
四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等，则其他
三个式子有最值
注1：此法非通法 多元有优势 小作抓“等”字 大作“正常等”
应用
解不等式 求最值
证不等式
不等式的性质
(一) 作用：变形化简不等式 (二) 性质：多多益善十四条 文字背诵是关键
1.基本性质 2.运算性质 3.重要的不等式
1.基本性质
①大小的定义
②对称性
③传递性
2.运算性质
不等式专题——利用均值不等式求最值(全面详细整理)
例 5． 求函数
的最小值。
解：因为 ，所以
3
故
当且仅当
，即 时，
（4）. 平方法
例 6．求函数 y 2x 1 5 2x ( 1 x 5) 的最大值。
2
2
解析：注意到 2x 1与5 2x 的和为定值。
3
，则有
2x
6
0,
x
8
3
0
所以 y 2x 8 2x 6 8 6 2(x 3) 8 6 2 2(x 3) 8 6 14
x3
x3
x3
x3
当且仅当 2(x
3)
8 x3
，即
x
5 时，
ymin
14 .
（3）. 拆项法————（分式型） 类型一：分母次数比分子高 1 次——分离变量
在求最值中，当变量是负数时，常常是利用相反数转化为正数，再利用均值不等式及不等式的性质来解决.
1
例 1．已知 x＜0，求 y＝x＋ 的最大值．
x
分析：本题直接运用均值不等式，即 y＝x＋ 1 ≥2 x 1 ＝2，显然是错误的，原因是均值不等式使用的前提条件是
x
x
各项为正数．
解：∵x＜0，有－x＞0，∴ －y＝(－x)＋ 1 ≥2 x
1 4x
)
3
2
(5 4x)· 1 3 2 3 1 5 4x
当且仅当 5
4x
5
1 4x
，即
x
1时等号成立。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
利用均值不等式求最值
极值定理
练习:（1）已知x，y都是正数，求证：如果积xy 是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2√p 。
（2）x，y都是正数,如果和x+y是定值S，那么当 1 2 x=y时，积xy有最大值 S。 4
例1、判断正误 1 （1）函数y=x+ x 的最小值为2 （ 2 ）已知 1≤x≤3, 2≤y≤4, 则当 x=y=3 时， xy 有 最大值9 x 3 1 （3）函数y= x 2 x 2 x 2 的最小值为2
（2） 若正数x，y满足6x+5y=18， 求xy的最大值．
目标式:
6 x 5 y 1 6 x 5 y 2 81 27 xy ( ) 30 30 2 30 10
例4
1、已知 x 0 ，当 x 取何值时， 81 2 x 2的值最小？最小为多少
x
2、求函数
1 x 1 y 2x 8( x 1)
1 例2、若x>0，求 y x x 的最小值
变1：若 x<0 呢？
构造条 件
变2：若x>3 ,求
1 y x x3
的最小值
用均值定理求函数最值时要注意： 一正、二定、三相等
变3:若0<x< 的最大值
1 2
求y=x(1-2x)
例题3 （1）已知m 、n都是正数，且 2m+n=3，求mn的最大值
y
的最小值 3：若x>-1，求 最小值
x 2 x 5
x 1
作业：
1、课本P11习题6.2 选做： 2、若x, y 1, 4 、 5、 6
且 lg x lg y 4
b 1 2
均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
均值不等式的应用(习题+标准答案)
均值不等式的应用(习题+答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式练习题
利用均值不等式求最值的方法均值不等式a b ab a b +≥>>200(，，当且仅当a ＝b 时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目，可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
下面是一些常用的变形方法。
一、配凑1. 凑系数例1. 当04<<x 时，求y x x =-()82的最大值。
解析：由04<<x 知，820->x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2828x x +-=()为定值，故只需将y x x =-()82凑上一个系数即可。
y x x x x x x =-=-≤+-=()[()]()821228212282282· 当且仅当282x x =-，即x ＝2时取等号。
所以当x ＝2时，y x x =-()82的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项例2. 已知x <54，求函数f x x x ()=-+-42145的最大值。
解析：由题意知450x -<，首先要调整符号，又()42145x x --·不是定值，故需对42x -进行凑项才能得到定值。
∵x x <->54540， ∴f x x x x x ()()=-+-=--+-+42145541543≤---+=-+=2541543231()x x · 当且仅当54154-=-x x，即x =1时等号成立。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离例3. 求y x x x x =+++-271011()≠的值域。
解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
y x x x x x x x x =+++=+++++=++++227101151411415()()() 当x +>10，即x >-1时y x x ≥+++=214159()·（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。
不等式专题——利用均值不等式求最值(全面详细整理)
所以 y (x 1)2 5(x 1) 5 (x 1) 5 5 2 (x 1) 5 5 2 5 5
x 1
(x 1)
x 1
当且仅当 (x 1)2 5 ，即 x 5 1 取等号
另一解 x 1 5 1 （舍去）
所以 ymin 2 5 5
例 3．求 y x2 7x 10 (x≠ 1) 的值域。 x 1
解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
y x2 7x 10 (x 1)2 5(x 1) 4 (x 1) 4 5
x 1
x 1
利用均值不等式求最值的方法
利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一，应注意条件“一正二定三相等”. 在解题的过程中，有时往往 不能直接套用公式，即出现“变量是负数”、“和(或积)不是定值”、“等号取不到”等情形，这时该怎么办？下面浅析此 时的应付对策，供参考.
一、变量是负数，怎么办？ ————化负为正
例 5． 求函数
的最小值。
解：因为 ，所以
3
故
当且仅当
，即 时，
（4）. 平方法
例 6．求函数 y 2x 1 5 2x ( 1 x 5) 的最大值。
2
2
解析：注意到 2x 1与5 2x 的和为定值。
y2 ( 2x 1 5 2x )2 4 2 (2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8
例 1． 当 0 x 4 时，求 y x(8 2x) 的最大值。 解析：由 0 x 4 知， 8 2x 0 ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式， 但其和不是定值。注意到 2x (8 2x) 8 为定值，故只需将 y x(8 2x) 凑上一个系数即可。
7.4 均值不等式
解
设中间矩形区域的长，宽分别为x m,y 设中间矩形区域的长，宽分别为x m,y m, πy 中间的矩形区域面积为S 中间的矩形区域面积为S，则半圆的周长为 , 2 因为操场周长为400, 400,所以 因为操场周长为400,所以 2 x + 2 × π y = 400, 2
400 ), 即2 x + π y = 400(0 < x < 200,0 < y < π 1 1 2x + π y 2 ) ∴ S = xy = • ( 2 x ) • (π y ) ≤ •( 2π 2π 2 20 000 , = π x = 100 2 x = π y , 解得 由 200 . 2 x + π y = 400 y = π x = 100 ∴当且仅当 200 时等号成立 , y = π 200 即把矩形的长和宽分别设计为100 m和 即把矩形的长和宽分别设计为100 m和 m 时， π 矩形区域面积最大. 矩形区域面积最大.
1.下 最 值 2 是 ) 列 小 是的 ( 1 1 π A: y = x+ B: y = sinx+ (0 < x < ) x sinx 2 1 2 : y = log2 x+ logx 2(x > 1) D C: y = x + 2 + 2 x +2
1x a +b + .已 f M ), N = f ( ab)， ２ 知 (x) = ( ) , a, b∈R ,设 = f ( 2 2 ab P= f( ),则 , N, P的 小 系 ( ) M 大 关 是 a+b A M ≤ N ≤ P B.M ≤ P ≤ N . C.N ≤ P ≤ M .P ≤ N ≤ M D
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．
38．（2019 秋•浦东新区校级期末）设 a、b、c 是三个正实数，且
，则
的最大值为 ．
39．（2020•德阳模拟）已知 x，y 为正实数，则
A．
B．
C．
的最小值为（ ） D．3
40．（2019 秋•山东月考）已知 x，y 为正实数，且满足 x2+4y2+xy＝5，则 x+2y 的最大值是（ ）
则
＝
＝（
）（x+y+z）＝3+ + + + + + ≥3+2
+2
+2
＝9， 当且仅当 x＝y＝z＝ 时等号成立，故
的最小值为 9．故答案为：9
6．（2020 春•浙江期中）已知实数 x，y 满足 x＞0，y＞0，x+2y＝2，则 x2+4y2+xy 的最小值是
．
解：因为 x，y 满足 x＞0，y＞0，x+2y＝2， 由基本不等式可得，xy＝ x•（2y）
．
15．（2020•临川区校级模拟）已知正实数 a，b（a＞1，b＞1）满足 2a+3b＝6，则
的最小值为 ．
16．（2020•沙坪坝区校级模拟）已知 a＞0，b＞0 且 a+b＝1，则
的最小值为
．
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17．（2020 春•定海区校级月考）已知实数 a，b 满足 a＞1，b＞0 且 2a+2b﹣ab﹣2＝0，那么 a+2b 的最小 值是 ．
＝4，
∴（x+y）[9﹣2（x+y）]＝﹣2（x+y）2+9（x+y）≥4， 即 2（x+y）2﹣9（x+y）+4≤0， 解得 ≤x+y≤4，故 x+y 的最大值为 4，
故答案为：4． 19．（2020 春•沙坪坝区校级期末）已知 m＞0，n＞0，且 + ＝ ，则 m+2n 的最小值为 3+6 ．
解：令 s＝m+2，t＝n+2，则 s＞2，t＞2，且
35．（2020 春•武侯区校级期中）已知正数 x，y 满足 x+y＝2，若
范围是
．
恒成立，则实数 a 的取值
36．（2020•浙江模拟）若 2a+3b＝12（a•b≥0），则
的最小值为 ；最大值为 ．
第 7 页（共 21 页）
37．（2020 春•丽水期中）已知实数 x，y，z 满足 x2+y2+z2＝1，则 xy﹣3yz 的取值范围为
，所以 2x+y＝xy，则
＝
，
所以 2x+y＝ 号成立）．
＝2+
，（当且仅当 y＝2x 时等
所以（2x+y）min＝8．故（2x+y+1）min＝9，则
，进一步求出
区二模）已知 a＞0，b＞0，且
，则 a+2b 的最小值为
．
解：因为 a＞0，b＞0，且
，
则 a+2b＝[（a+2）+2（b+2）]（
∵
＝1，∴a+b＝[（a﹣1）+b]+1＝[（a﹣1）+b]（
）+1＝3+
≥3+
＝5， 当且仅当
，即 a＝3，b＝2 时取等号，∴a+b 的最小值为 5．故答案为：5．
第 9 页（共 21 页）
5．（2020 春•如皋市月考）已知正数 x，y，z 满足 x+y+z＝1，则
的最小值为 9 ．
解：由 x+y+z＝1，得 x+y＝1﹣z，
＝，
当且仅当 x＝2y＝1 即 x＝1，y＝ 时取等号，则 x2+4y2+xy＝（x+2y）2﹣3xy
＝
故答案为：
7．（2020•梅河口市校级模拟）已知正实数 a，b，c 满足 a2+b2＝2c2，则
的最小值为 2 ．
解：因为 2c2＝a2+b2≥2ab，即 c2≥ab，所以
≥2，
当且仅当
即 a＝b＝c 时取等号，故
4．（2020•山东模拟）已知 a＞1，b＞0，且
＝1，则 a+b 的最小值是 ．
5．（2020 春•如皋市月考）已知正数 x，y，z 满足 x+y+z＝1，则
的最小值为 ．
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6．（2020 春•浙江期中）已知实数 x，y 满足 x＞0，y＞0，x+2y＝2，则 x2+4y2+xy 的最小值是 ．
25 ． 解：∵2a+3b＝6，∴2（a﹣1）+3（b﹣1）＝1， ∴
的最小值为
＝
，当且仅当
，即
时取等
号， ∴
的最小值为 25．
16．（2020•沙坪坝区校级模拟）已知 a＞0，b＞0 且 a+b＝1，则
解：∵a＞0，b＞0 且 a+b＝1，
∴a+1+b＝2，
则
＝（
）[（a+1）+b]＝ （4+
）
的最小值为 2+ ． ＝2 ，
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解：由题意可得，x+3y＝36﹣2xy＝36﹣（x•3y）×
，
当且仅当 x＝3y 时取等号，解可得，x+3y≥12 或 x+3y≤﹣18（舍） 故 x+3y 的最小值 12． 15．（2020•临川区校级模拟）已知正实数 a，b（a＞1，b＞1）满足 2a+3b＝6，则
的最小值为 2．故答案为：2
8．（2020 春•田家庵区校级期末）已知 x，y＞0，且 + ＝4，则 x+y 的最小值 4 ．
解：由题意可得，x+y＝ （x+y）（ + ）＝ （10+
） （10+2
）＝4．
当且仅当
，且
，即 x＝1，y＝3 时取等号．故则 x+y 的最小值为 4．
9．（2020 春•宁波期末）已知正实数 x，y 满足 x+y＝1，则
又由
+
＝1，则 x2+y2＝ [（2x﹣y）2+（x+2y）2]×
+
＝×
[4+9+
+
]≥ ×[13+2×
]≥5，
当且仅当 2x﹣y＝x+2y 时等号成立， 即 x2+y2 的最小值为 5； 故答案为：5 3．（2020 春•海东市期末）已知正数 a，b 满足（a﹣1）（b﹣1）＝1，则 a+4b 的最小值等于 9 ．
18．（2020•北辰区二模）已知 x＞0，y＞0，且 2x+2y+ + ＝9，则 x+y 的最大值为 ．
19．（2020 春•沙坪坝区校级期末）已知 m＞0，n＞0，且 + ＝ ，则 m+2n 的最小值为
．
20．（2020 春•沙坪坝区校级期末）设 x，y 为正实数，若 4x2+y2+xy＝1，则
的最小值为 ．
31．（2016 秋•盐都区校级期中）已知 x，y 为正实数，则
+ 的最小值为 ．
第 6 页（共 21 页）
32．（2015•南京三模）已知 x，y 为正实数，则
+ 的最大值为
．
33．（2020•鹿城区校级模拟）已知 a＞0，b＞﹣1，且 a+b＝1，则
最小值为
．
34．（2020•滨海新区模拟）设 b＞0，a﹣b2＝1，则 + 的最小值为 ．
第 10 页（共 21 页）
∴M＝ +
＝+
＝ + ＝ +1﹣ ＝1﹣
，
设 N＝
＝a+ +5≥2
+5＝9（当且仅当 a＝2 时“＝”成立），
∴0＜ ≤ ，﹣ ≤﹣ ＜0， ≤1﹣ ＜1，
∴M＝ +
的最小值为 ，
11．（2020 春•台州期末）已知 x，y 是正数，
，则
的最小值为
．
解：已知 x，y 是正数，
的最大值是
21．（2020 春•嘉兴期末）已知 a＞1，b＞0，且 a+2b＝4，则 ab 的最大值为
；
的最小值为 ．
第 4 页（共 21 页）
22．（2020 春•宁波期末）已知 x＞0，y＞0，且 x+2y＝1，则
的最小值为
；
为．
的最大值
23．（2020•浙江模拟）设正数 a，b 满足，
，则 + 的最大值是
7．（2020•梅河口市校级模拟）已知正实数 a，b，c 满足 a2+b2＝2c2，则
的最小值为 ．
8．（2020 春•田家庵区校级期末）已知 x，y＞0，且 + ＝4，则 x+y 的最小值 ．
9．（2020 春•宁波期末）已知正实数 x，y 满足 x+y＝1，则
的最小值为
．
10．（2020 春•湖北期末）若正数 a，b 满足 ab＝2，则 M＝ +
≥1，当且仅当 a＝b＝c 时取等号．
故答案为：1．
2．（2020 春•合肥期末）已知实数 x，y 满足 y≠2x，x≠﹣2y，且
+
＝1，则 x2+y2 的最
小值为 5 ． 解：根据题意，x＝ （2x﹣y）+ （x+2y），y＝ （x+2y）﹣ （2x﹣y），
则 x2+y2＝[ （2x﹣y）+ （x+2y）]2+[ （x+2y）﹣ （2x﹣y）]2＝ （2x﹣y）2+ （x+2y）2，