常微分方程中待定参数的数值拟合问题

Κ 号
例
5
数值例子
确定 常 微分 方 程 组
Φ 2
酬 即9
∗ ]
>
Φ矛
Ν
6几,
,
Δ 入
,
久
,
久7
,
大,
7
=, 2 :
, 二 中的 未 知 参 数 几 64
,
,
,
Κ, #:
。
其中
第
期
2
二
昊 新元
Δ
常 微 分 方 程 中待定 参数的数值 拟 合 问题
互 〔
,
!
,
万
〕
了
了
已 知 Κ 组数 据 如 下
Δ
>
‘
大‘6 卜
… 幻 是 线性 的
,
。
,
Κ 故 6 : 6或
6 Κ : 是 一 种 线性 数 学 模 型
’
。
不 失一 般 性
,
以 下仅 对 6Κ :
的情 形 讨 论
现令
Λ Ε
,
>
, 仁 ≅ 6几, 几 Ν
,
, 5 … ΟΕ 7 才
,
0
Φ 0 Φ=
’
5 4 3 今 淤
公6 ∃
,
一
比 !2 ‘
川 3
‘
一 1 ‘ 解 ‘
第
卷
。:
的最 小 二 乘解
。
,
也 就 是 线性数值 拟 合 问 题 的 最小 二 乘解 6关 于 最
小 二 乘 法 的 结 果 可 参 阅〔 〕:
级
5
7
5
算 法 与 框 图
,
算法
∗ 0
设 9 0 为 求 各阶 数 值 微 商 的 一 种 算 法 法
,
。
为 求 超 定 方 程 组 〔 Ω 的 最 小 二 乘 解 的 一 种算 :
起 程 建立 定方 纽 门的
#
“
即 几, 6 4 >
。
4
,
… 壳: 的 拟 合 值 及
,
有关 解 的 其它 信 息
3 Ι
。
拟 合结束
5
,
分 析 结果
调用 # 程 术6 Ω :的 序
∴ ,
计 算棍 图
Β
、二
乘解天
在 电子 计 算 机 七 行 数值 拟 合 的 框 图 如 左 Δ 进
5
输蛾 值结果 一 又及 大 关 的 之媳 有解共 下
Δ
,
则 求 线 性数值 拟 合 问 题 最小 二 乘 解 的计 算 步 骤 如 下
= 给 定 原 始数 据 6
‘,
Η ‘ , :,
> ‘
,
,
, … 。 ≅>
,
‘
,
…
,
,
,
及 提供样条插 值 的 边 界 条 件
= 。 6Θ > Θ
, ,
。
。
用算 法 9 0 计算方程 6
: 6或 6
::
,
朴出 现 的 各 阶微 商 在基 点
儿
,
。
,
严
均为正 整 数
。
我 们 要 根 据 已 知 观 测 数 据 % ∃ 来近 似 地 确 定 % & % 或 % ∋ & & ∋
‘
∃ 中 的 未知 参 数 入
,
久(
,
…
,
大、 的 数值 孟)
出 ,
几(
∗
,
…
,
久,
半 。
我 们将 该 问 题 称 为 常 微 分 方 程 % 组 & 中待 定参数 的 数 值 拟合
,
,
, > 与 孟 64
Θ
,
,
… 寿: 无 关
,
。
为书 写 简便
令
弓 ‘ 七 Μ 4
Υ
ϑ
6 ‘Β
4:
,
,
, ,
,
>
甲Τ
,
≅
6= 。 :
Λ 甲 ’、 : 」 二 = =
尸
6 ‘一 ’:
” 十
’二 ∗ 一
Φ 解0
‘
‘
雨初
一
6∀ :
,
,
Θ>
,
,
, , … 二 ≅二
,
,
…
,
Α
,
4>
… Χ
,
考虑 线 性 方 程 组
Α … =
,
。
,
≅>
>
,
,
7 … 掩
然 后 建立 方程组
,
七
用程 调 子 那9旗
・
州 河朴
,
司 处 教值 两 的 微
林卢
、
Β
5
艺
夕一
ϑ 4
‘,
又,
Ι
‘,
求之
,
, … ?
”
。
Κ
“
用 算 法 ∗ 0 求 方程 组 6
0
# 可参 阅 〔 〕 给 出 计算 结 果
。 ,
Ω :
的 最小 二 乘 解
,
,
关于
算法 ∗
,
息 取定
。
若拟 合 效 果 相 当差
:
,
。
,
例 如 拟 合 曲线 与实 测 曲 线 从 整 体 上 看 差距 太 大
∀
此 时 应 考虑 修正
微分 程 6
注Κ 大
,
,
。
即 应 考察所 提 出 的 微 分 方 程 6
,
: 本 身是 否 正 确
,
必 要 时 对 修 正 后 的 微 分方
方 程 重新 进 行 数值 拟 合
若 拟 合 实 际 效 果 大体 上 还 可以 接 受
曲 线 总 趋 势 大 致 相符
,
例如 拟 合 曲 线 与 实测 曲 线 从 整 体上 看 差 距 不 太
,
此 时可 以 对 由差 商 提 供 的 边界 值作 适 当调 整
,
再 重 新进 行数值 拟
。
合
可望 获 得 更 好 的 拟 合效 果
“
当然 必 须 确 保 所 归 结 的微 分 方 程 6
代入 到 所 设微 分 方 程 6
,
: 中
求 出 该方 程 的数值 解 验 拟合 的 实 际 效 果
注 注
。
并 据 此 作 出拟 合 曲 线 与 已 知 观 测 数 据所 描绘 的 实测 曲线 作 比 较
,
以检
实 际 使 用该 方 法 时
。
需 要 提供 样 条 插 值 的 边界 值
,
通 常 可 以 根 据 实 际 问题 所 提供 的 信
花 护
艺 一
ϑ ‘,
孟,
二
ς
。
Θ二
,
,
…
,
?
Α
6! :
利 用矩 阵 与 向量 的 记 号
Γ盆
,
6 ! :可 以 写 成
5
目
卜
∃‘
月 孟
>
ς
6 Ω:
其中
)
>
Ξϑ
,
为 ?
Α
Ψ
Χ 阶 已 知 常数 矩 阵
孟
>
以
,
孟 … 孟Ε 〕
,
了
为 否维 待定 常数 向 量
ς
,
>
〔 4 ςΠ ς
,
。
,
… ς3
,
Α
为,
、
,
即
,
确
定
几,
,
使残量
丫
,
,
的 平 方和 为 极小
,
第 期
吴 新元
Δ
常 微 分 方 程 中待定 参 数 的 数 值 拟 合 间 题
#弓 !
Θ >
艺
4
≅> ,
习
Η
≅
≅Π >
? ΘΑ
6Ι :
, 为 了按 照 最 小 二 乘 准 则 确 定 出 未 知 参 数 孟 6卜
,
,
… Χ :
,
的 近 似值
,
,
我们 必须 先 建 立 超
一
∀
一
。
Ο …:
’
Δ
“
Ω
・
! Ω Σ , 。 ‘# ∀ Ι 。
Ο
Ο
・
# 。 。” ‘ # Ω
≅ ⊥
:
5
。 # 。 Ω#Ω # 。 Ω “
⊥
5
Ο
5
⊥
。 Ω ‘ ‘。 Ω Ω Ι Σ ∀
’
:
’
∃
Ω
⊥
5
Ω
5
:
。
⊥
Ω
Μ
解
Δ
用 七述 算 法 在 南 京 大 学 计 算 中心 / 0 一 , %
5
ς 型 计 算机 上 求此线 性 数 值 拟 合 间 题 的
第
卷
参
仁 〕 孙 家超 著 厂 〕 李岳 生 〔 ∴
, ,
考
,
文
献
,
样条 函 数 与 计 算 几 何
, ,
科 学 出 版社
5
6 !∀
,
:
!Σ! :
齐东 旭 著
,
样条 函 数 方 法
,
科 学 出版 社
,
6
,
何 旭初 等编
8
5
计 算 数学 简 明 教程
尸% 月全左) (
,
人 民教 育 出版 社
,
6 !∀Ω :
, , , 6= ‘ 夕‘ :
> ‘
,
,
… ?
,
‘
6
:
≅>
,
,
二
,
Α
其中
=‘
Β
丧示 自变 量 = 的 值
,
夕、
,
表示某
一
=
的函数
夕 , 6= :
在
= “ =‘
处 的 实验 观 测 值
。
但真 正
的 函 数 关系
夕,
>
夕, 6= : ,
≅二
,
,
…
,
Α
6
几7
Γ 二卜
:
未知
,
而仅 仅知 道 6: 满 足 含有 希 6 全 : 个 待 定 参数 Χ
Φ
“
,
久Δ
,
Ε … 只
,
的
Φ召
Φ
产
阶微 分 方 程 6 组 :
Η
:
2
=召
二
Φ
升
Ε
,
Ε
,
…
,
Ε,
7
‘
,
犷
,
一
丫
沂
,
…
,
一
召
一
,
= 召一 ,
6
6 或 + 6孟
,
人Δ
,
, Ε … 孟
,
才,
2
Φ Η
”
‘
Φ
”
2
、
一
产 刁
: 二
叭
6
‘
::
其中
∀ 工 一 #
一
!
子 」 夕
5
护 夕
户
了 1
无三
。‘ ,
。
全∃
,
产全 ∃ ,
叮
ϑ 不
,
…
,
蟀代 替 6
口了 尸
: 6或
6
,
, : 中出 现 的
犷 旦军
ϑ1
,
Φ”2 Φ =拼
“
于是就 有
Φ 解0
Β
一
寸
∃
,
,
砂
沁
、人
”
人
‘左 7
’
‘
,
亨
,
留
6Κ :
Λ
‘
了
4
Φ=
拼一
Γ
∃‘
‘或
Μ 苦“ ‘
,
,
一
‘Ε
7
,
,
茵
,
替
”
’
・
Φ ”0
、
Β
Β
。 。
丽万
, ,
,
、
6Κ : :
‘
6 由于 6 Κ : 或 6Κ ” 中的 Ν 6 或 + : 关 于 待 定 参 数
β / 9 / 1 / ∋ ⎯, / 9 口 % ∋ 9 砰 ) ∋ 2 % 拼 / ∋ / ( 1 钾 ∗ / χ& ) 1 , (0 ( ( ( ++ ) %
,
・
那 么 一 个直 观 而又 基 本 的 设 想 是 将 方 程 6 : 6或 6
‘
”
中 出现 的
。
未知 函 数 2 以 及 2 关 于 = 的 各 阶 微 商 分 别 用 它 们 的插 值公 式 及 其 数 值 微 分 公 式 代 替
及 这 里 要 求 插 值 函 数 及 其各 阶微 商 必 须 分 别 收 敛 到 梦 梦的 各阶 微 商
。
显然
,
但 一 般 的 插值 函 数不 一
定 满足 这 一 要 求
。
因此
,
为 了实 现 这 一 基 本 设 想
,
。
,
此 处 的 播值 函 数 宜于 采 用 样条 插 值 函 数
6 关 于 样 条 函 数 的结果 可 参 阅 〔 〕 〔 〕 :
我 们 用 梦的 样条 插值 , 数 了 。: 以 及 Ε 它导 出的 数 值 , 商
6# :
(
,
, … 阴
,
7“ ∃ ( …
, ,
, ,
,
8
9
我们 称
,
‘
,
渗 ,
, , % ‘二 ∃ ( … 。
76
∃ ,(
∃ (
,
,
…
,
,
& 为残 量
一
。
它 们 刻 划 了 线性 数 值 拟 合的 误 差
,
一般
来说
子
饥
武, %
要 确 定 未 知参 数
卜
,
… 存&
,
的值
9
通 常 可 以 根 据 最 小 二 乘准 则 来 处 理
最 小 二 乘解
久4
Ε
,
输 出数 值 结果 如 下
Ω
5
Δ
澎
一
Ω!
,
久
,
Ε
澎
一
Κ! !
5
,
几
Ε
澎
几。
一
Κ! ! !
5
只
Κ 串
灯Σ
>
5
Σ∀
,
, 又
Ε
澎
上
一
Ω
Κ! !
5
5
∀#
,
。
诸
的精确值 为
久
一
Ω
5
,
几Δ
一
久
‘
一
#Ω
5
Ω
,
几,
二
ΣΩ
5
Ω
,
几,
二 一
Ω
。
县#
注
“
5
注
释
Ε
在 处 理 实际 问 题 时
,
。
,
应 该 将 由本算 法求 出 的拟 合 值 久,
Φ
”
, … 。 :处
比 崛 付
的 数 值微 商
。
0
Φ尸
Ο 4
,
5
,
,
>
,
,
…
,
7
。
关于 算 法 9 [
万>
不‘
Κ , 的 + % ∋ Σ ∋ 月 ( 程 序可参 阅 〔 〕
。
: Ν 瓤原始仰 6
。
信 触芙 息
建立 超 定方 程 组6
, ,
Ω:
,
,
即
,
先 由 6∀ :计 算 出
ϑ ‘
, ,
ς
‘ ,
Θ
>
南 京 大 学 学 报
第
卷
百度文库
第
期
∃% & ∋ ( ) ∗
% + ( ) ( ∃,( −
& ( ,. / ∋ 0 , 1 2
.
3
4
5
,
(
,
3
5
! ∀ #年 !
月
6( ) 1 & ∋ ) ,7 0 8 ,/ ( 8 / 0 / 9 ,1 ,% ( :
0;<
5
!∀ #
常微 分方程 中待定 参数的数值拟 合问题
,
Κ 〔 〕 刘 德 贵等编
算法 汇编第 一 册
_
ϑ Α [3 Α
国 防 科 学 出版 社
,
6 !∀。:
6
!Σ续:
匕# ∴
∗
5
∗
ϑ
布 [3 Α
∋
5
∃
5
著
解 最小 二 乘 问 题
1 _ / ( & ⎯ / ∋ ,8 ) ∗ + , 1 5 (− α∋ %β ∗ / ⎯ % + α) ∋ )⎯ / 1 / ∋ 0 1 % 1
,
: 的 正 确性
注#
关 于 数值 拟 合 问题 的 误 差 估 计 及 有 关理 论
本文 暂 不 涉及
。
#Ι
5 5 5 5 5 5 叫
南 京 大学 学 报
Γ
、5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
6 自然 科 学 :
5 州5 臼5 5 5 5 5
5
」5
, 5
, 5 如5 5
一
自5
5
闷
问题
。
本文仅 考虑 #
拟 合 问题
。
% 或+
‘
& 关 于 待 定 参 数 入,
,
大(
,
…
,
久,
是 线 性的 情 形
,
称 之 为线 性 数 值
本文∃−.
/
年 ∋ 月 ∃ 0 日收 到
#Ι∀
,
南京 大学 学 报
6 自然 科学 :
第
卷
料 处理 线 性攀值拟合 问 的一 般原 则 越
假 设 2 满足 插 值条 件
维 已 知 常数 向 量
6Ω :就 是所要建 立 的 超定 方 程 组
,
一般而 言
,
它没 有 通 常意 义 下 的 解
,
因 此 隶 其 最小 二
乘解
,
为此
,
令
Ζ
凸 ‘
Γ 二‘
Γ 之 ‘
月
Η
>
) 孟
一
ς
求 几使 得
丫
卜 ,)
几
一
ς Ο 卜 ? ΘΑ ,
南京大 学 学 报 6 自 料学 : 然 则 几 就是 超 定 方 程 组 6
定 方程 组
。
由 于 了关 于 诸
, Ν 6= :
一
又,
是线性 的
,
,
故 Ν 关 于 诸 孟 也 是线 性 的
,
,
因而 可 设
6Σ :
“
久Δ 甲 Δ
6= : Ρ 又 中 Δ
,
6= : Ρ …
Ρ
、 大 中Ε
,
6= : Ρ 必, 6= :
≅>
,
,
…
,
,
Α
。
其中 ,
,
,
6= :
必, 6= :均 为 = 的 函 数
昊 新 元
摘
要
,
本 文 提 出 常 微 分 方 程 中持 定 参 数 的 数 值 拟 合 方 法 并 给 出 以 本 方 法 解 决 的 何 子
。
数 值 结 果表 明
,
这是 一 种 行 之有效 的 算 法
5
。
号
问 题 的数 学 描 述
假 设 通 过 某种 实验 观 测 方 法 获 得 了 。 组 数据
ΔΕΔ,
, ,
‘,
,
Ε 7
,
,
Κ
7
Ρ
Ε, 7
丁 〕
。
丽刁 刁 不冈 口 刁 习 刁 刁 不 习困 兰
立严 Ο … ………………… 鹦……暨 二 Ο … 哩 卜翌丫里 吧竺 些 缨 缨 5 Ω 卿 黔 吧…广 鹦 … 期 土 …… 土州 Ο 华州 州 鄂 哩缨 …
“芝
’
Ι
! #
‘
‘
’
‘ 。∀ ‘
’
’“