常微分方程中待定参数的数值拟合问题
常微分方程初值问题的数值解法
1 1 2 1 , 2 p 2
这里有 3 个未知 数， 2 个方程。
存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库 塔格式。注意到，p 1, 1 2 1 就是改进的欧拉法。
Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开
K 2 f ( xi ph, yi phK1 ) f ( xi , yi ) phf x ( xi , yi ) phK1 f y ( xi , yi ) O( h2 )
y( xi ) phy( xi ) O(h2 )
d f ( x, y) dx 首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有 2阶 dy 精度，即在 yi y( xi ) 的前提假设下，使得 f x ( x, y) f y ( x, y) dx Ri y( xi 1 ) yi 1 O(h3 ) f x ( x, y) f y ( x, y) f ( x, y) y( x )
y( x0 ) y0 yk 1 yk h f ( xk , yk 1 )
, k 0,1,...
隐式欧拉法的求解: 利用迭代的思路进行.
yi 1 yi hf ( xi , yi 1 )
变换为
y
( k 1) i 1
yi hf ( xi , y )
y i 1 K1 K2
1 1 y i h K 1 K 2 2 2 f ( xi , yi ) f ( xi h, yi hK 1 )
步长一定是一个h 吗？
§2 Runge-Kutta Method
第七章 常微分方程模型的数值解法
第七章 常微分方程数值解法简介微分方程在科学和工程技术中有很广泛的应用。
许多实际问题的数学模型都可以用微分方程来描述，归结为常微分方程的定解问题；很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解，但是求出所需的解绝非易事。
实际上，除了极特殊情形外，人们不可能求出微分方程的解析解，只能用各种近似方法得到满足一定精度的近似解。
在常微分方程中已经熟悉了级数解法和Picard 逐步逼近法，这些方法可以给出解的近似表达式，称为近似解析方法。
另一类方法只给出解在一些离散点上的值，称为数值方法。
后一类方法应用范围更广，特别适合用计算机计算，本章主要介绍常用的常微分方程数值解法。
7.1实际问题的微分方程模型函数是事物的内部联系在数量方面的反映,如何寻找变量之间的函数关系,在实际应用中具有重要意义。
在许多实际问题中，往往不能直接找出变量之间的函数关系,但是有时却容易找出变量的改变量之间的关系，从而建立描述问题的微分方程模型。
例7.1.1 将初始温度00150u C =的一碗汤放置于环境温度a u 保持为024C 的桌上，10分钟后测得汤的温度为0100C 。
如果汤的温度低于055C 才可以喝，试问再过20分钟后这碗汤能喝了吗？解：为了解决这一问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。
热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这个物体的温度和其所在的介质温度的差值成正比。
设物体在t 时刻的温度为()u u t =，从t t t →+∆温度从()()u t u t t →+∆，注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导，因而0a u u >，所以温度差a u u -恒正，又因物体将随时间而逐渐冷却；则温度的改变量为:()()(())a u u t t u t k u t t u t∆=+∆-=-+∆-∆两边除以t ∆，并令0t ∆→得温度变化速度为：()a du k u u dt=--这里0k >是比例常数。
matlab常微分方程参数拟合
主题：matlab常微分方程参数拟合1. 常微分方程（ODE）参数拟合的概念和作用常微分方程（ODE）是描述自然现象的数学模型之一，常常用来描述物理、生物、经济等领域的动态过程。
在实际应用中，我们往往需要通过实验数据来确定ODE中的参数，以使得模型能够更好地拟合实际情况。
这就是常微分方程参数拟合的作用所在。
2. MATLAB在常微分方程参数拟合中的应用MATLAB是一个功能强大的数学软件，其中包含丰富的ODE求解和参数拟合函数，可以帮助我们高效地进行常微分方程参数拟合的工作。
接下来，我们将介绍MATLAB中常微分方程参数拟合的具体方法和步骤。
3. 在MATLAB中进行常微分方程参数拟合的基本步骤在MATLAB中进行常微分方程参数拟合，一般包括以下几个基本步骤：3.1 确定ODE模型我们需要确定ODE模型的形式，即确定微分方程的形式和需要进行参数拟合的参数。
我们可以考虑一个简单的一阶ODE模型y’ = a*y，其中参数a需要进行拟合。
3.2 确定拟合的实验数据我们需要准备拟合的实验数据，即已知的ODE模型中的变量的取值。
这些数据可以来自实验测量、观测或者已有的数据集。
3.3 构建ODE方程组接下来，我们需要在MATLAB中构建ODE模型的方程组。
这可以通过MATLAB中的ode45等函数来完成，其中可以将ODE模型表示为一个函数，并将实验数据传入。
3.4 进行参数拟合在构建好ODE方程组之后，我们可以利用MATLAB中的参数拟合函数（如lsqcurvefit）来对ODE模型中的参数进行拟合。
此时，我们需要定义拟合的目标函数，以及给定初值。
3.5 验证拟合结果我们需要对拟合的结果进行验证。
这可以通过比较拟合参数和实际参数之间的差异，以及通过对比拟合结果和实验数据的拟合程度来完成。
4. MATLAB中常微分方程参数拟合的注意事项在进行常微分方程参数拟合时，我们需要注意一些问题，比如初值的选取、参数拟合方法的选择、拟合结果的评价等。
计算方法―-常微分方程的数值解法316精品PPT课件
y(xn) 0.00000 0.34483 0.48780 0.49180 0.44944 0.40000
0.00000 0.34483 0.48780 0.49180 0.44944 0.40000
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这些解法都可以写成向量形式 用于一阶常微分方程组的初值问题。 也就解决了高阶方程的定解问题。
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9.2、初值问题的数值解法―单步法
简单的数值方法与基本概念
1. 简单欧拉法（Euler） 2．后退的欧拉法 3．梯形法 4．改进Euler法
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1. 简单的欧拉(Euler)方法 考虑模型：
a
2
得 yn1 yn (xn 1 xn ) f (xn , y(xn ))
hf (xn , y(xn ))
或用向前差 商近似导数
y(xn )
y(xn1 ) h
y(xn )
x0
x1
y(xn1) y(xn ) hy(xn ) yn h f (xn , yn )
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yi1 yi h f (xi , yi ) (i 0, ... ,n 1)
x y 2
2
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z 2
二阶偏微分方程
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4.什么是微分方程的数值解?
虽然求解微分方程有许多解析方法，但解析方法 只能够求解一些特殊类型的方程，从实际意义上来讲， 我们更关心的是某些 特定的自变量在某一个定义范 围内的一系列离散点上的近似值。
常微分方程的数值解算法
常微分方程的数值解算法常微分方程的数值解算法是一种对常微分方程进行数值计算的方法，这可以帮助我们更好地理解和研究自然现象和工程问题。
在本文中，我们将介绍一些常用的数值解算法，探讨它们的优缺点和适用范围。
常微分方程（ODE）是描述自然现象和工程问题的重要数学工具。
然而，对于许多ODE解析解是无法求出的，因此我们需要通过数值方法对其进行求解。
常微分方程可以写作：y' = f(t, y)其中，y是函数，f是给定的函数，表示y随t的变化率。
这个方程可以写成初始值问题（IVP）的形式：y'(t) = f(t,y(t))，y(t0) = y0其中，y（t0）=y0是方程的初始条件。
解决IVP问题的典型方法是数值方法。
欧拉方法欧拉方法是最简单的一阶数值方法。
在欧拉方法中，我们从初始条件开始，并在t = t0到t = tn的时间内，用以下公式逐步递推求解：y n+1 = y n + hf (t n, y n)其中，f（t n，y n）是点（t n，y n）处的导数， h = tn - tn-1是时间间隔。
欧拉方法的优点是简单易懂，容易实现。
然而，它的缺点是在整个时间段上的精度不一致。
程度取决于使用的时间间隔。
改进的欧拉方法如果我们使用欧拉方法中每个时间段的中间点而不是起始点来估计下一个时间点，精度就会有所提高。
这个方法叫做改进的欧拉方法（或Heun方法）。
公式为：y n+1 = y n + h½[f(t n, y n)+f(tn+1, yn + h f (tn, yn))]这是一个二阶方法，精度比欧拉方法高，但计算量也大一些。
对于易受噪声干扰的问题，改进的欧拉方法是个很好的选择。
Runge-Kutta方法Runge-Kutta方法是ODE计算的最常用的二阶和高阶数值方法之一。
这个方法对定义域内的每个点都计算一个导数。
显式四阶Runge-Kutta方法（RK4）是最常用的Runge-Kutta方法之一，并已得到大量实践的验证。
常微分方程数值解
常微分方程数值解常微分方程数值解是数学中的一门重要学科，主要研究如何求解常微分方程，在科学计算中有着重要的应用。
常微分方程模型是自然界中广泛存在的现象描述方法，有着广泛的应用领域。
比如，在物理学中，运动中的物体的位置、速度和加速度随时间的关系就可以通过微分方程描述；在经济学中，经济变化随时间的变化也可以用微分方程来描述。
而常微分方程数值解的求解方法则提供了一种快速、高效的计算手段。
一、常微分方程数值解的基本概念常微分方程就是一个描述自变量（通常是时间）与其导数之间关系的方程。
其一般形式如下：$\frac{dy}{dt} = f(y,t)$其中 $f(y,t)$ 是一个已知的函数。
常微分方程数值解就是对于一个常微分方程，对其进行数字计算求解的方法。
常微分方程数值解常使用数值积分的方法来求解。
由于常微分方程很少有解析解，因此数值解的求解方法显得尤为重要。
二、常微分方程数值解的求解方法常微分方程数值解的求解方法很多，以下介绍其中两种方法。
1.欧拉法欧拉法是最简单的一种数值算法，其思想是通过将一个微分方程转化为一个数值积分方程来求解。
其数值积分方程为：$y_{i+1}=y_i+hf(y_i,t_i)$其中 $h$ 为步长，可以理解为每次计算的间隔。
欧拉法的主要缺点是其精度比较低，收敛速度比较慢。
因此，当需要高精度的数值解时就需要使用其他的算法。
2.级数展开方法级数展开法是通过将一个待求解的微分方程进行Taylor级数展开来求解。
通过对Taylor级数展开的前若干项进行求和，可以得到微分方程与其解的近似解。
由于级数展开法的收敛速度很快，因此可以得到相对较高精度的数值解。
但是，当级数过多时，会出现截断误差。
因此，在实际应用中需要根据所需精度和计算资源的限制来选择适当的级数。
三、常微分方程数值解的应用常微分方程数值解在现代科学技术中有着广泛的应用。
以下介绍其中两个应用领域。
1.物理建模常微分方程的物理建模是常见的应用领域。
常微分方程的数值解法及其应用
引 言自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨幅趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。
因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
它的学术价值是无价的，应用价值是立竿见影的。
求一阶常微分方程的解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。
由于国内外众多数学家的努力，使此学科基本上形成了一套完美的学科体系；由于该问题比较复杂且涉及的面广，使得有些问题的解析解很难求出，而对于一些典型的微分方程(如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等)可以运用基本方法求出其解析解，并在理论上可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来。
然而，在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，有时即使能求出形式的解，也往往因计算量太大而不实用，而且高次代数方程求根也并不容易，所以用求解析解的方法来计算微分方程的数值解往往是不适宜的。
实际上，对于解微分方程初值问题，一般只要求得到解在若干个点上的近似解或者解的便于计算的近似表达式(只要满足规定的精度就行)。
所以，研究数学建模中常微分方程模型理论性数值解法迫在眉睫。
本文研究的数值解法主要是针对常微分方程初值问题多种数值解法精度比较而言。
从而得到更常用的数值解法在微分方程模型中的应用。
在自然科学和经济的许多领域中。
常常会遇到一阶常微分方程的初值问题b x a y x y y x f dx dy ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==.)(),,(00 这里),(y x f 是充分光滑，即关于x 或y 满足李普希茨条件的二元函数，0y 是给定的初始值，00)(y x y =称为初始条件。
第9章 常微分方程初值问题数值解法
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
《常微分方程》中介绍的微分方程主要有:
(1)变量可分离的方程 (2)一阶线性微分方程(贝努利方程) (3)可降阶的一类高阶方程 (4)二阶常系数齐次微分方程 (5)二阶常系数非齐次微分方程 (6)全微分方程 本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的数值解法。
进一步: 令
y n1 y n
xn 1 xn
y n 1 y( x n 1 ) , y n y( x n )
f ( x , y( x ))dx h f ( x n , y n )
宽
9
高
实际上是矩形法
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
(3)
用Taylor多项式近似并可估计误差
解决方法：有的可化为显格式，但有的不行 18
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
与Euler法结合，形成迭代算法 ，对n 0，2， 1，
( yn0 )1 yn hf x n , yn ( k 1) h ( yn1 yn f x n , yn f x n1 , ynk )1 2
7
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
建立数值解法的常用方法
建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散 化. 一般采用以下几种方法: (1) 用差商近似导数
dy yx yx x x dx x y
n 1 n n 1 n
n
,
n
进一步: 令
yn1 y( xn1 ) , yn y( xn )
由 x0 , y0 出发取解曲线 y y x 的切线（存在！），则斜率
数学常微分方程的定解问题求解
数学常微分方程的定解问题求解数学常微分方程是数学中非常重要的一个分支，它涉及到许多实际问题的建模与求解。
在解常微分方程的过程中，我们常常遇到定解问题，即在给定初始条件和边界条件下，求解出满足条件的函数解。
本文将探讨常微分方程的定解问题求解方法及其应用。
一、常微分方程的定义和分类常微分方程是指未知函数的导数与它本身之间的关系式。
一般形式为：其中 x 是自变量， y 是未知函数， f 是已知函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
一阶常微分方程涉及到未知函数 y 的一阶导数，高阶常微分方程涉及到多阶导数。
二、常微分方程的定解问题常微分方程的定解问题是指在给定初始条件和边界条件下，求解出函数 y 满足方程，并满足给定条件。
常微分方程的初值问题是其中一种常见的定解问题，给定初始条件 y(x0) = y0 和导数条件 y'(x0) = y'0，求解出满足条件的函数 y。
三、常微分方程的求解方法常微分方程的求解方法有很多种，常见的方法有分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法、常数变易法等。
1. 分离变量法对于可分离变量的一阶常微分方程，变量可以通过代数方法分离，然后分别求解。
例如对于方程 dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将 f(x) 和 g(y) 分别移到方程的两边，然后对两边分别积分得到解。
2. 齐次方程法对于一阶齐次方程 dy/dx = f(y/x)，我们可以通过变量替换得到一个新的常微分方程 u' = f(u)-1/u，并且可以通过变量分离法等方法进一步求解。
3. 一阶线性方程法对于一阶线性方程 dy/dx + P(x)y = Q(x)，我们可以通过积分因子的方法将其转化为可解的形式。
通过选择适当的积分因子，可以将原方程变换为(e^∫P(x)dx)y' + (e^∫P(x)dx)P(x)y = (e^∫P(x)dx)Q(x)，然后可以通过变量分离法等方法求解。
《常微分方程的数值解法》论文
《常微分方程的数值解法》论文《常微分方程的数值解法》常微分方程（ODE）是研究物理过程的重要工具，其伴随着极大的应用价值。
当一个物理系统被简化为一个常微分方程，它就可以用于描述物理学中的各种现象。
但是，大多数现实系统的常微分方程未能得到解析解，因此，数值解法就变得非常重要。
本文将研究并比较几种常见的常微分方程数值解法，诸如Euler法、奇异点法、Runge-Kutta法、前向差分法等，以便更好地提供协助解决常微分方程。
首先，Euler法是常用的数值解法之一，它主要用于解决常微分方程模型。
其核心思想是将微分方程通过采用不断变化的步长对状态量求近似值，并通过预测下一步的值来求解微分方程，从而达到求解常微分方程的目的，且操作简单、容易理解。
但是，由于其步长的不动性，往往使得其精度较低，因此，当遇到复杂环境时，Euler法的表现就有些不尽如人意。
此外，另一种常见的数值解法是奇异点法。
此法将一个微分方程情况分解成多个分段函数，每一段函数都可以精确求解，从而可以求解复杂的微分方程。
它的特点是分段的每一部分的精度和复杂度都较低，而且运行效率也较快，但是，奇异点法的精度需要在段间合理设定，然后再进行微调，以保证数值模拟的准确性。
其次，Runge-Kutta法是一种常用的数值解法，它可以有效地求解一些常微分方程，其原理是利用积分函数插值，然后利用积分函数求近似值，最后根据边界条件求取解析结果。
Runge-Kutta法的步长可以随着计算过程的进行而逐步变化，这样可以使得误差得到有效控制，而且可以有效地控制误差，保证算法精度，但是由于其计算效率较低，因此在求解复杂的常微分方程时，Runge-Kutta法的表现并不尽人意。
最后，前向差分法是一种求解常微分方程的数值解法，它利用求取未知函数的一阶导数和二阶导数的值，然后通过求解一次和二次中点差分的方式，从而得到数值解。
它的有点是能够得到较高的精确度，且即使步长变化时也可以控制误差，但前向差分法要求在微分方程中必须有高阶导数，这就要求微分方程是复杂的，除此之外，除了必须计算高次导数外，它的计算量也比较大。
常微分方程与数值解法
常微分方程与数值解法数学是自然界中最美丽的语言之一，常微分方程是数学中的一个重要分支。
常微分方程是研究随着时间推移而发生的连续变化的数学模型，是许多科学领域的数学基础，如物理学、天文学、生物学、化学、经济学等。
通过对微分方程的求解，我们可以预测未来的变化和趋势，制定相应的政策措施和科学研究方向。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为dy/dx=f(x,y)，其中y为未知函数，x为自变量，f(x,y)是已知函数，称为方程的右端函数。
常微分方程可以分为初值问题和边值问题。
初值问题是指求解微分方程时需要给出一个特定的初值y(x)=y0，边值问题是指给出方程在一些点的值，而求出未知函数在整个区间上的值。
二、常微分方程的解法常微分方程有许多解法，例如分离变量法、齐次方程、全微分方程、一阶线性方程、变量分离法等。
其中，变量分离法是最基本和最重要的方法之一。
变量分离法的基本思想是将微分方程的未知函数y和自变量x分开，变成dy/g(y)=f(x)dx的形式，然后对两边进行积分。
三、数值解法的发展与应用数值解法是通过数值计算来求解微分方程的，它主要包括欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
欧拉法最简单、最基本，但精度较低，适用于解决一些简单的微分方程。
改进欧拉法和龙格-库塔法则精度更高，适用于解决较为复杂的微分方程。
数值解法在科学技术中的应用广泛，如气象学、环境保护、物理学、化学等。
以生态学为例，许多生态系统的动态变化可以用微分方程描述，如种群增长、捕食捕获、竞争关系等。
数值解法可以在一定程度上预测未来的生态状态，有助于制定相应的生态保护措施。
四、结论在现代科学技术中，微分方程和数值解法已经成为不可或缺的工具之一。
通过微分方程的求解，可以预测未来的变化和趋势，制定相应的政策措施和科学研究方向。
数值解法则更加精细和灵活，能够解决更为复杂的微分方程，广泛应用于各个领域。
因此，学习微分方程和数值解法，不仅是数学爱好者的追求，更是科学技术工作者不可或缺的技能。
第9章 常微分方程初值问题数值解法
oa
b
a f ( x)dx (b a) f (b)
中矩形公式
b
ab
a f ( x)dx (b a) f ( 2 )
计算方法
梯形公式
bx
右矩形公式 中矩形公式 左矩形公式
§ 欧拉方法几何意义
y y y(x)
y0 y1 y2 0 x0 x1 x2
计算方法
x
§ 隐式欧拉方法
➢隐式欧拉法 /* implicit Euler method */
初 值 问 题 的 解 必 存 在 且唯 一 。
计算方法
§9.1 引言
三. 数值解法含义
所谓数值解法, 就是设法将常微分方程离散化, 建 立差分方程, 给出解在一些离散点上的近似值。
微分方程的数值解: 设方程问题的解y(x)的存在区 间是[a,b], 令a= x0< x1<…< xn =b, 其中hk=xk+1-xk, 如是等距节点h=(b-a)/n, h称为步长。
yi1 yi1 2h f ( xi , yi ) i 1, ... , n 1
计算方法
预估-校正法
三. 预估 — 校正法
/* predictor-corrector method */
方法 显式欧拉 隐式欧拉 梯形公式
中点公式
简单
稳定性最好
精度提高
精度低
精度低, 计算量大
计算量大
精度提高, 显式
在x0 x X上的数值解法。
四. 误差估计、收敛性
和稳定性
计算方法
§9.2 简单的数值方法与基本概念
一. 欧拉（Euler）格式
设 节 点 为xi a ih (i 0,1,2 , n) 方 法 一 ：Taylor展 开 法
常微分方程数值解法
第八章 常微分方程的数值解法一．内容要点考虑一阶常微分方程初值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy微分方程的数值解：设微分方程的解y (x )的存在区间是[a,b ]，在[a,b ]内取一系列节点a= x 0< x 1<…< x n =b ,其中h k =x k+1-x k ；(一般采用等距节点，h=(b-a)/n 称为步长)。
在每个节点x k 求解函数y(x)的近似值:y k ≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分方程的数值解。
用数值方法，求得f(x k )的近似值y k ，再用插值或拟合方法就求得y(x)的近似函数。
(一)常微分方程处置问题解得存在唯一性定理对于常微分方程初值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy如果：(1) 在B y y A x x 00≤-≤≤,的矩形内),(y x f 是一个二元连续函数。
(2) ),(y x f 对于y 满足利普希茨条件，即2121y y L y x f y x f -≤-),(),(则在C x x 0≤≤上方程⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解存在且唯一，这里C=min((A-x 0),x 0+B/L),L 是利普希茨常数。
定义：任何一个一步方法可以写为),,(h y x h y y k k k 1k Φ+=+，其中),,(h y x k k Φ称为算法的增量函数。
收敛性定理：若一步方法满足： (1)是p 解的.(2) 增量函数),,(h y x k k Φ对于y 满足利普希茨条件.(3) 初始值y 0是精确的。
则),()()(p h O x y kh y =-kh =x -x 0,也就是有0x y y lim k x x kh 0h 0=--=→)((一)、主要算法 1．局部截断误差局部截断误差：当y(x k )是精确解时，由y(x k )按照数值方法计算出来的1~+k y 的误差y (x k+1)- 1~+k y 称为局部截断误差。
数学建模-- 常微分方程数值解及实验
注意:
1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量， m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成. 2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须 等价地变换成一阶微分方程组.
例
d 2x dx 2 x 0 2 ( x 1) dt dt x (0 ) 2; x '(0 ) 0
实际应用时，与欧拉公式结合使用：
0 y i( 1) y i hf ( x i , y i ) h ( k 1) (k ) y i 1 y i [ f ( x i , y i ) f ( x i 1 , y i 1 )] k 0 ,1, 2 , 2
•欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。
•龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。 •线性多步法有四阶阿达姆斯外插公方程的数值解
[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）
自变 量值 函数 值
ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s
1、建立m-文件vdp1.m如下： function dy=vdp (t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=(1-y(1)^2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0，tf=20，输入命令： [T,Y]=ode15s('vdp1',[0 20],[2 0]); plot(T,Y(:,1),'-')
y ( x i 1 ) y ( x i )
xi 1
f ( t , y ( t )) dt
x i 1 x i 2
xi
[ f ( x i , y ( x i )) f ( x i 1 , y ( x i 1 ))]
常微分方程常用数值解法.
常微分方程常用数值解法.第一章绪论1.1 引言常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具。
微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力工具，在17到18世纪，在力学、天文、科学技术、物理中，就已借助微分方程取得了巨大的成就。
1864年Leverrer根据这个方程预见了海王星的存在，并确定出海王星在天空中的位置。
现在，常微分方程在许多方面获得了日新月异的应用。
这些应用也为常微分方程的进一步发展提供了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研究，以便适应科学技术飞速发展的需要。
研究常微分方程常用数值解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。
在国内外众多数学家的不懈努力，使此学科基本上形成了一套完美的体系。
微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的通解或特解。
到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。
由于在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程问题比较复杂，使这些问题的解即使能求出解析表达式，也往往因计算量太大而难于求出，而对于一些典型的微分方程则可以运用基本方法求出其解析解，并可以根据初值问题的条件把其中的任意常数确定下来。
由于求通解存在许多困难，人们就开始研究带某种定解条件的特解。
首先是Cauchy对微分方程初始解的存在惟一性进行了研究。
目前解的存在惟一性、延拓性、大范围的存在性以及解对初始解和参数的延续性和可微性等理论问题都已发展成熟。
与此同时，人们开始采取各种近似方法来求微分方程的特解，例如求微分方程数值解的Euler折线法、Runge-Kutta法等，可以求得若干个点上微分方程的近似解。
最后，由于当代高科技的发展为数学的广泛应用和深入研究提供了更好的手段。
用计算机结合Matlab软件求方程的精确解、近似解，对解的性态进行图示和定性、稳定性研究都十分方便有效。
本章先介绍常微分的一般概念、导出微分方程的一些典型例子及求解微分方程的思路分析。
计算方法 第6章 常微分方程数值解
已知Euler格式 yn1 yn hf ( xn , yn )
h2 y( xn1 ) yn1 2 y''( xn )
即Euler格式具有一阶精度
如果令
y( xn1 ) y( xn1 ) 2h
y'( xn )
f ( xn , yn )
并假定 y( xn1 ) yn1, y( xn ) yn
常微分方程数值解
常微分方程的数值解法
§1 引 言 §2 欧拉方法 §3 龙格-库塔方法
2
§1 引 言
在工程和科学技术的实际问题中，常需要解常微 分方程。但常微分方程组中往往只有少数较简单和典 型的常微分方程（例如线性常系数常微分方程等）可 求出其解析解。对于变系数常微分方程的解析求解就 比较困难，而一般的非线性常微分方程就更不用说了。 在大多数情况下，常微分方程只能用近似法求解。这 种近似解法可分为两大类：一类是近似解析法，如级 数解法、逐次逼近法等；另一类则是数值解法，它给 出方程在一些离散点上的近似解。
yn
2
xn yn
令 h 0.1 将 x0 0, y0 1 代入Euler格式
步进计算结果见P106表5.1
第五章：常微分方程数值解
Euler值
y 1 2x
第五章：常微分方程数值解
Euler格式的误差分析
pn1
事实上Euler格式的每一步都存在误差，为了方便讨论y算( x)
d2x
dt 2 x(t
0
c
m )
x x
0
0 (t
t) 0
x(t ) x
0
0
5
第六章常微分方程的数值解法
第六章常微分方程的数值解法第六章常微分方程的数值解法在自然科学研究和工程技术领域中，常常会遇到常微分方程的求解问题。
传统的数学分析方法仅能给出一些简单的、常系数的、经典的线性方程的解析表达式，不能处理复杂的、变系数的、非线性方程，对于这些方面的问题，只能求诸于近似解法和数值解法。
而且在许多实际问题中，确确实实并不总是需要精确的解析解，往往只需获得近似的解或者解在若干个点上的数值即可。
在高等数学课程中介绍过的级数解法和逐步逼近法，能够给出解的近似表达式，这一类方法称为近似解法。
还有一类方法是通过计算机来求解微分方程的数值解，给出解在一些离散点上的近似值，这一类方法称作为数值方法。
本章主要介绍常微分方程初值问题的数值解法，包括Euler 方法、Runge-Kutta 方法、线性多步法以及微分方程组与高阶微分方程的数值解法。
同时，对于求解常微分方程的边值问题中比较常用的打靶法与有限差分法作了一个简单的介绍。
§1 基本概念1.1 常微分方程初值问题的一般提法常微分方程初值问题的一般提法是求解满足如下条件的函数，，b x a x y ≤≤)(=<<=α)(),(a y bx a y x f dxdy， (1.1) 其中),(y x f 是已知函数，α是给定的数值。
通常假定上面所给出的函数),(y x f 在给定的区域},),{(+∞<≤≤=yb x a y x D 上面满足如下条件：(1) 函数),(y x f 在区域D 上面连续；(2) 函数),(y x f 在区域D 上关于变量y 满足Lipschitz(李普希茨)条件：212121,),(),(y y b x a y y L y x f y x f ?≤≤?≤?，， (1.2)其中常数L 称为Lipschitz(李普希茨)常数。
由常微分方程的基本理论可以知道，假如(1.1)中的),(y x f 满足上面两个条件，则常微分方程初值问题(1.1)对于任意给定的初始值α都存在着唯一的解，，b x a x y ≤≤)(并且该唯一解在区间[a,b]上是连续可微的。
常微分方程初值问题的数值解法
常微分方程初值问题的数值解法在实际应用中，对于某些微分方程，我们并不能直接给出其解析解，需要通过数值方法来求得其近似解，以便更好地理解和掌握现象的本质。
常微分方程初值问题（IVP）即为一种最常见的微分方程求解问题，其求解方法有多种，本文将对常微分方程初值问题的数值解法进行较为详细的介绍。
一、欧拉法欧拉法是最基本的一种数值解法，它采用泰勒级数展开并截断低阶项，从而获得一个差分方程近似求解。
具体来讲，设 t 为独立变量，y(t) 为函数 y 关于 t 的函数，方程为：$$y'(t) = f(t, y(t)), \qquad y(t_0) = y_0$$其中 f(t,y(t)) 为已知的函数，y(t_0) 为已知的初值。
将函数 y(t) 进行泰勒级数展开：$$y(t+h) = y(t) + hf(t, y(t)) + O(h^2)$$其中 h 表示步长，O(h^2) 表示其他高阶项。
为了使误差较小，一般取步长 h 尽可能小，于是我们可以用欧拉公式表示数值解：$$y_{n+1} = y_n + hf(t_n, y_n), \qquad y_0 = y(t_0)$$欧拉法的优点是容易理解和实现，但是由于截取低阶项且使用的单步法，所以误差较大，精度较低，在具体应用时需要慎重考虑。
二、龙格-库塔法龙格-库塔法（Runge-Kutta method）是一种多步法，比欧拉法更加精确。
龙格-库塔法的主要思想是使用不同的插值多项式来计算近似解，并且将时间步长分解，每次计算需要多次求解。
以下简要介绍二阶和四阶龙格-库塔法。
二阶龙格-库塔法将时间步长 h 分解成两步 h/2，得到近似解表达式：$$\begin{aligned} k_1 &= hf(t_n, y_n)\\ k_2 &= hf(t_n+h/2,y_n+k_1/2)\\ y_{n+1} &= y_n+k_2+O(h^3)\\ \end{aligned}$$四阶龙格-库塔法四阶龙格-库塔法是龙格-库塔法中应用最为广泛的一种方法，其需要计算的中间值较多，但是具有更高的精度。
实验八 常微分方程初值问题数值解法报告
实验八 常微分方程初值问题数值解法一、基本题科学计算中经常遇到微分方程（组）初值问题，需要利用Euler 法，改进Euler 法，Rung-Kutta 方法求其数值解，诸如以下问题：（1） ()⎪⎩⎪⎨⎧=-='004y xy y x y 20≤<x分别取h=0.1,0.2,0.4时数值解。
初值问题的精确解245x y e -=+。
（2） ()⎩⎨⎧=--='0122y y x y 01≤≤-x用r=3的Adams 显式和预 - 校式求解取步长h=0.1，用四阶标准R-K 方法求值。
（3）()()()100010321331221==-='⎪⎩⎪⎨⎧-='-='='y y y y y y y y y 10≤≤x用改进Euler 法或四阶标准R-K 方法求解取步长0.01,计算(0.05),(0.1y y y 数值解，参考结果 123(0.15)0.9880787,(0.15)0.1493359,(0.15)0.8613125y y y ≈-≈≈。
（4）利用四阶标准R- K 方法求二阶方程初值问题的数值解（I ）()()⎩⎨⎧='==+'-''10,00023y y y y y 02.0,10=≤≤h x(II)()()()⎩⎨⎧='==+'--''00,10011.02y y y y y y 1.0,10=≤≤h x(III)()()⎪⎩⎪⎨⎧='=+='00,101y y e y y x 1.0,20=≤≤h x(IV)()()⎩⎨⎧='==+''00,100sin y y y y 2.0,40=≤≤h x二、应用题1. 小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。
火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力．当燃料用尽时引擎关闭。
python微分方程 参数拟合
python微分方程参数拟合参数拟合是指根据给定的数据和模型，通过调整模型中的参数，使得模型预测结果与实际数据之间的误差最小化的一种方法。
在微分方程问题中，我们经常需要通过参数拟合来确定微分方程中的未知参数，以使得方程能够更好地描述实际问题。
在Python中，有多种方法可以进行微分方程参数拟合。
其中一种常用的方法是使用最小二乘法进行拟合。
最小二乘法是一种通过最小化观测数据与模型预测值之间的误差平方和来确定参数的方法。
在Python中，可以使用SciPy库中的optimize模块来实现最小二乘法拟合。
我们需要定义微分方程的模型。
假设我们要拟合的微分方程为一阶线性微分方程dy/dx = a*x + b，其中a和b为待确定的参数。
我们可以将这个微分方程转化为一个一阶常微分方程的初值问题，其中初始条件为y(0) = y0，其中y0为已知的初始值。
在Python中，我们可以使用SciPy库中的odeint函数来求解常微分方程的数值解。
首先，我们需要导入相关的库和函数：```pythonimport numpy as npfrom scipy.integrate import odeint```接下来，我们定义微分方程的模型和初始条件：```pythondef model(y, x, a, b):dydx = a * x + breturn dydx# 初始条件y0 = 0```然后，我们生成一些用于拟合的观测数据，这些数据包括自变量x 和因变量y：```pythonx = np.linspace(0, 10, 100) # 生成自变量x的数据a_true = 2 # 真实的参数值b_true = 1y_true = odeint(model, y0, x, args=(a_true, b_true))[:, 0] # 生成因变量y的数据```现在，我们可以使用最小二乘法进行参数拟合。
在Python中，可以使用SciPy库中的curve_fit函数来实现最小二乘法拟合。
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第 期
吴 新元
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常 微 分 方 程 中待定 参 数 的 数 值 拟 合 间 题
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考虑 线 性 方 程 组
南 京 大 学 学 报
第
卷
第
期
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常微 分方程 中待定 参数的数值拟 合问题
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数值例子
确定 常 微分 方 程 组
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常 微 分 方 程 中待定 参数的数值 拟 合 问题
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此 处 的 播值 函 数 宜于 采 用 样条 插 值 函 数
6 关 于 样 条 函 数 的结果 可 参 阅 〔 〕 〔 〕 :
我 们 用 梦的 样条 插值 , 数 了 。: 以 及 Ε 它导 出的 数 值 , 商
最 小 二 乘解
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摘
要
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本 文 提 出 常 微 分 方 程 中持 定 参 数 的 数 值 拟 合 方 法 并 给 出 以 本 方 法 解 决 的 何 子
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数 值 结 果表 明
,
这是 一 种 行 之有效 的 算 法
5
。
号
问 题 的数 学 描 述
假 设 通 过 某种 实验 观 测 方 法 获 得 了 。 组 数据
第
卷
。:
的最 小 二 乘解
。
,
也 就 是 线性数值 拟 合 问 题 的 最小 二 乘解 6关 于 最
小 二 乘 法 的 结 果 可 参 阅〔 〕:
级
5
7
5
算 法 与 框 图
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算法
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设 9 0 为 求 各阶 数 值 微 商 的 一 种 算 法 法
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为 求 超 定 方 程 组 〔 Ω 的 最 小 二 乘 解 的 一 种算 :
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分 析 结果
调用 # 程 术6 Ω :的 序
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计 算棍 图
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在 电子 计 算 机 七 行 数值 拟 合 的 框 图 如 左 Δ 进
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输蛾 值结果 一 又及 大 关 的 之媳 有解共 下
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Κ 〔 〕 刘 德 贵等编
算法 汇编第 一 册
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国 防 科 学 出版 社
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著
解 最小 二 乘 问 题
1 _ / ( & ⎯ / ∋ ,8 ) ∗ + , 1 5 (− α∋ %β ∗ / ⎯ % + α) ∋ )⎯ / 1 / ∋ 0 1 % 1
第
卷
参
仁 〕 孙 家超 著 厂 〕 李岳 生 〔 ∴
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考
,
文
献
,
样条 函 数 与 计 算 几 何