公钥密码体制
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第4章公钥密码体制
密钥
为公钥。 不再需要， 以n，e为公钥。私密钥为d。(p, q不再需要， 可以销毁。 可以销毁。)
RSA算法在计算上的可行性
加密和解密
无论是加密还是解密都需要计算某个整数的模n 整数次幂，即C=Me mod n、M=Cd mod n。但不 、 需要先求出整数的幂再对n取模，而可利用模运 算的性质： (a mod n) * (b mod n)= (a*b) mod n 对于Me mod n，可先求出M1 mod n，M2 mod n， M4 mod n……，再求Me mod n
RSA算法 RSA算法
RSA Algorithm
概况
MIT三位年轻数学家, 1979年发现了一种用数 论构造双钥的方法，称作MIT 体制 MIT体制 MIT 体制，后来被 广泛称之为RSA体制 RSA体制 RSA体制。 它既可用于加密、又可用于数字签字。 RSA算法的安全性基于数论中大整数分解的 困难性。 迄今为止理论上最为成熟完善的公钥密码体 制，该体制已得到广泛的应用。
公钥密码体制有4个组成部分
明文：算法的输入，它们是可读信息或数据，用M 表示； 密文：算法的输出。依赖于明文和密钥，对给定的 消息，不同的密钥产生密文不同。用E表示； 公钥和私钥：算法的输入。这对密钥中一个用于加 密，为Ke，此密钥公开；一个用于解密，为Kd，此 密钥保密。加密算法执行的变换依赖于密钥； 加密、解密算法
选p=7，q=17。 求n=p×q=119，φ(n)=(p-1)(q-1)=96。 取e=5，满足1<e<φ(n)，且gcd(φ(n),e)=1。确 定满足d·e=1 mod 96且小于96的d，因为 77×5=385=4×96+1，所以d为77。 因此公开钥为{5，119}，秘密钥为{77，119}。 设明文m=19，则由加密过程得密文为 C=195 mod 119≡2476099 mod 119=66 解密为6677mod 119=19
公钥密码体制公钥密码体制
首次公开提出了“公开密钥密码编码学”的概念。
这是一个与对称密码编码截然不同的方案。
提出公开密钥的理论时，其实用性并没有又得到证明：
❖ 当时还未发现满足公开密钥编码理论的算法； ❖ 直到 1978 年，RSA 算法的提出。
2.基本特征
❖ 加密和解密使用两个不同的密钥 公钥PK：公开，用于加密，私钥SK：保密，用作解密 密钥
3.优点
❖ 密钥管理
加密密钥是公开的； 解密密钥需要妥善保存； 在当今具有用户量大、消息发送方与接收方具有明显的信息不对称
特点的应用环境中表现出了令人乐观的前景。 新用户的增加只需要产生一对公共/私有密钥。
❖ 数字签名和认证
只有解密密钥能解密，只有正确的接收者才拥有解密密钥。
缺点：公共密钥系统的主要弱点是加密和解密速度慢。
加密与解密由不同的密钥完成； 知道加密算法，从加密密钥得到解密密钥在计算上是不可行的； 两个密钥中任何一个都可以作为加密而另一个用作解密。
6.公钥密码算法
除RSA算法以外，建立在不同计算问题上的其他公钥密码算法 有：
基于因子分解问题的Rabin算法； 椭圆曲线公钥算法； 基于有限域中离散对数难题的ElGamal公钥密码算法 基于代数编码系统的McEliece公钥密码算法； 基于“子集和”难题的Merkle-Hellman Knapsack（背包）公钥密码算 法； 目前被认为安全的Knapsack型公钥密码算法Chor-Rivest。
实际应用中的加密方式
❖ 混合加密技术 对称密码体制：密钥分发困难 公钥体制：加解密效率低 将对称加密算法的数据处理速度和公钥算法对密钥的保 密功能相结合 利用对称加密算法加密传输数据 利用非对称加密算法交换会话密钥
实际应用中的加密方式
第09-12讲 公钥密码体制
陌生人间的保密通信问题 数字签名的问题
– 传统加密算法无法实现抗抵赖的需求
140000 120000 100000 80000 60000 40000 20000 0
密钥量
50
100
200 300 400 用户数
500
图6－1 用户数与密钥量的对应关系
公钥密码体制
公钥密码又称为双钥密码、非对称密码 公钥密码体制提出的标志性文献：
Q
X1 1
X2 0
X3 2760
Y1 0
Y2 1
Y3 167
16
1
0
1
1
-16
167
88
1
-1
-16
17
88
79
例：取p=47, q=61时, n=2867, (n)=(47-1)(61-1)=2760， 可取SK=167，PK=1223
Extended Euclid(f, d) （设 f >d） (X1,X2,X3)←(1,0,f); (Y1,Y2,Y3)←(0,1,d); :loop if Y3=0 then return gcd(f, d)=0; if Y3=1 then return gcd(f, d)=1； Y2=d-1 mod f; Q=X3/Y3 ； (T1,T2,T3)←(X1-QY1,X2QY2,X3-QY3); (X1,X2,X3)←(Y1,Y2,Y3); (Y1,Y2,Y3)←(T1,T2,T3); got o loop
为了提高加密速度，通常取e为特定的小整数，如 EDI国际标准中规定 e＝216＋1，ISO/IEC9796中甚 至允许取e＝3。这时加密速度一般比解密速度快10 倍以上。
RSA密钥的生成
ElGamal公钥密码体制及安全性
下面我们首先计算
γ
2,0
=α
0×(p-1)/2
mod 29
= 20 mod 29 = 1, γ
2,1
=α
1×(p-1)/2mod
29
= 228/2 mod 29
= 28. 因为 = 28 =γ
2,1 ,
0
ß mod 29 = 1828/2 mod 29
所以 a = 1.令
ß = ß α 1 因为
0, 1 e i 1
i
根据目前的计算能力，只有当p-1 的素因子是小素数时，才 能有效分解 p-1求得 。因此，Pohlig-Hellman 算法适用于p1 的素因子是小素数的情况。 例5.8 设p = 29, 则 p-1= 28 = 22×7.设α = 2, ß 18. = 求log 。令log a .
s ( p 1 ) qi
mod p
qi ,s
· ,k, · ·
s = 0, 1,2, ·· i －1. 将这些 q ·
ei i
排成一个
下面利用表L求 a mod q
a mod q
ei i
, i= 1,2,
1 i
· ,k. · ·
e i 1
设
q
ei 1 i
a a q a
0
ß=αd mod p,
所以
k c2(c1d)–1≡mß (α
dk
)
–1
(mod p)
–1(mod
≡mα
dk
(α
dk
)
p) α ∈zp*
≡m(mod p). 因此，解密变换能正确的从密文恢复相应的明文。
5.4.2. ElGamal公钥密码体制的安全性
公钥密码体制及典型算法-RSA
3
对称密码体制的缺陷
密钥分配问题 通信双方要进行加密通信，需要通过秘密的安全信道 协商加密密钥，而这种安全信道可能很难实现； 密钥管理困难问题 在有多个用户的网络中，任何两个用户之间都需 要有共享的秘密钥，当网络中的用户n很大时，需要管理的密钥数目 是非常大 。
n用户保密通信网，用户彼此间进行保密通信需要 2 Cn n(n 1) / 2 个密钥。 n=1000：499500个密钥 n=5000：12497500个密PKB求秘密钥SKB在计算 上是不可行的。 ⑤ 敌手由密文c和B的公开钥PKB恢复明文m 在计算上是不可行的。 ⑥ 加、解密次序可换，即 EPKB[DSKB(m)]=DSKB[EPKB(m)] 其中最后一条虽然非常有用，但不是对 所有的算法都作要求。
26
公钥密码算法应满足的要求
以上要求的本质之处在于要求一个陷门单向 函数。 单向函数是两个集合X、Y之间的一个映射， 使得Y中每一元素y都有惟一的一个原像x∈X，且 由x易于计算它的像y，由y计算它的原像x是不可 行的。这里所说的易于计算是指函数值能在其输入 长度的多项式时间内求出，即如果输入长n比特， 则求函数值的计算时间是na的某个倍数，其中a是 一固定的常数。这时称求函数值的算法属于多项式 类P，否则就是不可行的。例如，函数的输入是n 比特，如果求函数值所用的时间是2n的某个倍数， 则认为求函数值是不可行的。
5
公钥密码体制的基本概念
由私钥及其他密码信息容易计算出公开密钥 (a polynomial time (P-time) problem) 由公钥及算法描述,计算私钥是难的 (an NPtime problem) 因此,公钥可以发布给其他人(wishing to communicate securely with its owner ) 密钥分配问题不是一个容易的问题(the key distribution problem )
对称密码体制的缺陷
密钥分配问题 通信双方要进行加密通信，需要通过秘密的安全信道 协商加密密钥，而这种安全信道可能很难实现； 密钥管理困难问题 在有多个用户的网络中，任何两个用户之间都需 要有共享的秘密钥，当网络中的用户n很大时，需要管理的密钥数目 是非常大 。
n用户保密通信网，用户彼此间进行保密通信需要 2 Cn n(n 1) / 2 个密钥。 n=1000：499500个密钥 n=5000：12497500个密PKB求秘密钥SKB在计算 上是不可行的。 ⑤ 敌手由密文c和B的公开钥PKB恢复明文m 在计算上是不可行的。 ⑥ 加、解密次序可换，即 EPKB[DSKB(m)]=DSKB[EPKB(m)] 其中最后一条虽然非常有用，但不是对 所有的算法都作要求。
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公钥密码算法应满足的要求
以上要求的本质之处在于要求一个陷门单向 函数。 单向函数是两个集合X、Y之间的一个映射， 使得Y中每一元素y都有惟一的一个原像x∈X，且 由x易于计算它的像y，由y计算它的原像x是不可 行的。这里所说的易于计算是指函数值能在其输入 长度的多项式时间内求出，即如果输入长n比特， 则求函数值的计算时间是na的某个倍数，其中a是 一固定的常数。这时称求函数值的算法属于多项式 类P，否则就是不可行的。例如，函数的输入是n 比特，如果求函数值所用的时间是2n的某个倍数， 则认为求函数值是不可行的。
5
公钥密码体制的基本概念
由私钥及其他密码信息容易计算出公开密钥 (a polynomial time (P-time) problem) 由公钥及算法描述,计算私钥是难的 (an NPtime problem) 因此,公钥可以发布给其他人(wishing to communicate securely with its owner ) 密钥分配问题不是一个容易的问题(the key distribution problem )
第四章-公钥密码体制
(p-1)! = 12…(p-1) [(a mod p)(2a mod p)…((p-1)a mod p)] mod p [a2a…(p-1)a] mod p [ap-1(p-1)!] mod p 注意到(p-1)!与p互素,因此定理成立.
• 推论: p素数,a是任意整数,则: ap a mod p
– M kφ(n)+1=M mod n
RSA算法举例（1）
p = 53，q = 61，n = pq = 3233， φ(n)＝52x60 = 3120 令d = 791，则e = 71 令m = RE NA IS SA NC E 即m = 1704 1300 0818 1800 1302 0426 170471 mod 3233 = 3106，…， C = 3106 0100 0931 2691 1984 2927
欧拉定理
• 证明： • R={x1,x2,…,x(n)}为所有小于n且与n互素的正整数,考虑集 合 • S={(ax1mod n), (ax2mod n),…, (ax(n) mod n)} • (aximod n)与n互素 • (aximod n)两两不等: • (aximod n) = (axjmod n) ximod n = xjmod n • S有(n)个元素 • 故S也是所有小于n且与n互素的正整数,因此S=R,从而 xi=(aximod n)((axi)) mod n • (a(n) xi) mod n • 注意到xi 与n互素,从而得到结论.
费马(Fermat)定理
• 若p是素数，a是正整数，且gcd(a,p)=1，则ap1≡1mod p • 证明：考虑集合{1,2,…,p-1},对每个数乘以a,得到 集合{a mod p,2a mod p,…,(p-1)a mod p},对于p, 后者两两不同且都在1与p-1之间,因此两个集合相 同,于是:
• 推论: p素数,a是任意整数,则: ap a mod p
– M kφ(n)+1=M mod n
RSA算法举例（1）
p = 53，q = 61，n = pq = 3233， φ(n)＝52x60 = 3120 令d = 791，则e = 71 令m = RE NA IS SA NC E 即m = 1704 1300 0818 1800 1302 0426 170471 mod 3233 = 3106，…， C = 3106 0100 0931 2691 1984 2927
欧拉定理
• 证明： • R={x1,x2,…,x(n)}为所有小于n且与n互素的正整数,考虑集 合 • S={(ax1mod n), (ax2mod n),…, (ax(n) mod n)} • (aximod n)与n互素 • (aximod n)两两不等: • (aximod n) = (axjmod n) ximod n = xjmod n • S有(n)个元素 • 故S也是所有小于n且与n互素的正整数,因此S=R,从而 xi=(aximod n)((axi)) mod n • (a(n) xi) mod n • 注意到xi 与n互素,从而得到结论.
费马(Fermat)定理
• 若p是素数，a是正整数，且gcd(a,p)=1，则ap1≡1mod p • 证明：考虑集合{1,2,…,p-1},对每个数乘以a,得到 集合{a mod p,2a mod p,…,(p-1)a mod p},对于p, 后者两两不同且都在1与p-1之间,因此两个集合相 同,于是:
第7讲 公钥密码体制
二、RSA密码体制
参数选择：
独立地选取两大素数p1和p2(各512bit的数)， 计算 n=p1×p2 其欧拉函数值(n)=(p1－1)(p2－1) 随机选一整数e， 1e<(n)，((n), e)=1(因而在模(n)下e有逆元) d=e-1 mod (n) 公钥为n，e; 私钥为d (p1, p2不再需要，可以销毁)
* MIPS-年指以每秒执行1,000,000条指令的计算机运行一年
二、RSA密码体制
安全性:分解模数n
技术进展使分解算法和计算能力在不断提高，计算所需的硬件费用在不断下降 RSA-129： 110位十进制数字早已能分解。 Rivest等最初悬赏$100的RSA-129，已经 由包括五大洲43个国家600多人参加，用1600台机子同时产生820条指令数据， 通过Internet网，耗时8个月，于1994年4月2日
但数学上至今还未证明分解模就是攻击RSA的最佳方法，
也未证明分解大整数就是NP问题， 可能有尚未发现的多项式时间分解算法。 人们完全可以设想有另外的途径破译RSA， 如求出解密指数d或找到(p1－1)(p2－1)等。 但这些途径都不比分解n来得容易。 甚至Alexi等[1988]曾揭示，从RSA加密的密文恢复某些比特的困难性也和 恢复整组明文一样困难。 这一视在困难性问题是个NP问题，但还没人证明它为NPC问题。
因为(e1, e2,)=1，所以由Euclidean算法有r e1+s e2=1
计算 (y1-1)-r y2s = x mod n (假设r是负数)
二、RSA密码体制
安全性:低加密指数攻击
小的e可加快加密和验证签字速度，且所需的存储密钥空间小
但若加密钥e选择得太小，则容易受到攻击 网中三用户的加密钥e均选3，分别模n1, n2, n3 (互素，否则可求出公因子，而降低安全性)
RSA公钥密码体制简介
当要对明文进行加密时，可先进行预处理， 计算出m2、m3等，这种方法我们称之为窗口法。
32
例：
计算: 152013(mod 2539) 13 23 1 22 0 2 1 1101 B
(e3 , e2 , e1, e0 ) (1,1,0,1)
152013 mod2539
(((1520e3 )2 1520e2 )2 1520e1 )2 1520e0 (mod 2539) ((15202 1520)2 15200 )2 1520 (mod 2539)
14
RSA算法论证
假设截获密文C，从中求出明文M。他知道 M≡Cd mod n ，
因为n是公开的，要从C中求出明文M，必须先求 出d，而d是保密的。但他知道，
ed≡1 mod φ(n)， e是公开的，要从中求出d，必须先求出φ(n)，而 φ(n)是保密的。但他又知道，
φ(n)=(p-1)(q-1)，
9
RSA算法论证
于是，M tφ(n) ＝bq+1，其中b为某整数。 两边同乘M， M tφ(n)+1 ＝bqM+M 。 因为M＝ap，故 M tφ(n)+1 ＝bqap+M =abn+M 。 取模n得， M φ(n)+1 ＝M mod n 。
10
RSA算法论证
第二种情况：M＝0 当M＝0时，直接验证，可知命题成立。
加密过程：c=me mod n 解密过程：m=cd mod n
3
2、工作原理
定义：任给一个正整数m，如果用m去除任意两个整 数a、b所得的余数相同，称a、b对模m同余。记 为： a bmodm，若余数不同，则a、b对模m不同余。 记为： a b modm。
定理： a bmodm ，当且仅当m|(a-b)。
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例：
计算: 152013(mod 2539) 13 23 1 22 0 2 1 1101 B
(e3 , e2 , e1, e0 ) (1,1,0,1)
152013 mod2539
(((1520e3 )2 1520e2 )2 1520e1 )2 1520e0 (mod 2539) ((15202 1520)2 15200 )2 1520 (mod 2539)
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RSA算法论证
假设截获密文C，从中求出明文M。他知道 M≡Cd mod n ，
因为n是公开的，要从C中求出明文M，必须先求 出d，而d是保密的。但他知道，
ed≡1 mod φ(n)， e是公开的，要从中求出d，必须先求出φ(n)，而 φ(n)是保密的。但他又知道，
φ(n)=(p-1)(q-1)，
9
RSA算法论证
于是，M tφ(n) ＝bq+1，其中b为某整数。 两边同乘M， M tφ(n)+1 ＝bqM+M 。 因为M＝ap，故 M tφ(n)+1 ＝bqap+M =abn+M 。 取模n得， M φ(n)+1 ＝M mod n 。
10
RSA算法论证
第二种情况：M＝0 当M＝0时，直接验证，可知命题成立。
加密过程：c=me mod n 解密过程：m=cd mod n
3
2、工作原理
定义：任给一个正整数m，如果用m去除任意两个整 数a、b所得的余数相同，称a、b对模m同余。记 为： a bmodm，若余数不同，则a、b对模m不同余。 记为： a b modm。
定理： a bmodm ，当且仅当m|(a-b)。
公钥密码体制
基于公开密钥的加密过程
图4.1 公钥密码体制的通信保密过程
基于公开密钥的鉴别过程
图4.2 公钥密码体制的数字签名和验证签名过程
公钥密钥的应用范围
加密/解密 数字签名(身份鉴别) 密钥交换
5.1.4 公钥密码系统基本思想和要求
1、涉及到各方：发送方、接收方、攻击者 2、涉及到数据：公钥、私钥、明文、密文 3、公钥算法的条件： – 产生一对密钥是计算可行的； – 已知公钥和明文，产生密文是计算可行的； – 接收方利用私钥来解密密文是计算可行的； – 对于攻击者，利用公钥来推断私钥是计算不可行的 – 已知公钥和密文，恢复明文是计算不可行的； – (可选)加密和解密的顺序可交换。
5.1.2 公钥密码体制的起源
公钥密码又称为双钥密码和非对称密码，是1976年 由Diffie和Hellman在其“密码学新方向”一文中提 出的，见划时代的文献：W.Diffie and M.E.Hellman, New Directrions in Cryptography, IEEE Transaction on Information Theory, V.IT-22.No.6, Nov 1976,PP.644-654 RSA公钥算法是由Rivest,Shamir和Adleman在 1978年提出来的, 见Communitions of the ACM. Vol.21.No.2. Feb.1978, PP.120-126
Euler定理: 若a与n为互素的正整数,则: aφ (n)≡1modn，推论: 若n=pq, p≠q都是素数, k是任意整数,mkφ (n）+1≡m k(p-1)(q-1)+1 ≡m mod n, 对任意0≤m≤n 证明φ (n)= (p-1)(q-1)
什么是公钥密码体制
什么是公钥密码体制
公钥密码体制也称非对称密码体制或者双钥密码体制，是基于数学函数（如单向陷门函数）而不是基于置换和代换的工具。
公钥密码算法的最大特点是采用两个相关密钥将加密和解密能力分开，其中一个是公开的，称为公钥，用于加密；其中一个是为用户专用的，是保密的，称为私钥，用于解密。
公钥密码体制是为了解决对称密码体制中最难解决的2个问题而提出的：
1.密钥分配问题：在对称密码中，接受方和发送方使用相同密钥。
一般情况下该密钥
通过加密信道进行传输。
但是加密信道可能会被攻击者攻击。
2.数字签名问题：如果使用对称加密来进行数字签名，那么在对密钥进行管理和分发
时带来被攻击者攻击的问题。
在公钥密码体制中存在2个密钥：公钥，私钥。
公钥和加密算法是公开的，公钥用于加密数据；私钥是保密的，用于解密。
以上内容仅供参考，如需获取更多详细信息，建议查阅公钥密码体制相关的资料或咨询数学领域专业人士。
对称及公钥密码体制概述
公钥密码体制
B 的公钥 PKB
不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ密钥
B 的私钥 SKB
A
加密
明文 X
E 运算 密文 Y 加密算法
互联网
解密
B
密文 Y D 运算 解密算法 明文 X
公开密钥与对称密钥的区别
• 在使用对称密钥时，由于双方使用同样的 密钥，因此在通信信道上可以进行一对一 的双向保密通信，每一方既可用此密钥加 密明文，并发送给对方，也可接收密文， 用同一密钥对密文解密。这种保密通信仅 限于持有此密钥的双方（如再有第三方就 不保密了）。
56位 DES 已不再认为是安全的了。
三重 DES
• 使用两个 56 位的密钥。
• 把一个 64 位明文用一个密钥加密，再用另 一个密钥解密，然后再使用第一个密钥加 密，即Y = DESK1(DES-1K2(DESK1(X)))
K1
明文 E
K2 D
加密
K1
密文 E
K1
密文 D
K2 E
解密
K1
明文 D
L0(32位)
R0(32位)
第1轮计算
… …
L15(32位)
R15(32位)
第 16 轮计算
32 位变换
末置换 IP-1 输出 64 位密文
K1(48位) 56 位 密
K16(48位) 钥
DES 的保密性
• DES 的保密性仅取决于对密钥的保密，其 算法是公开的。
• 目前较为严重的问题是 DES 的密钥的长度。 • 现在已经设计出搜索 DES 密钥的专用芯片。
• 在加密前，先对整个明文进行分组。每一个组长为 64 位。
• 然后对每一个 64 位 二进制数据进行加密处理，产生 一组 64 位密文数据。
信息安全概论第四章公钥密码体制
14
Diffie-Hellman密钥交换算法 密钥交换算法
Diffie和Hellman在其里程碑意义的文章中， 虽然给出了密码的思想，但是没有给出真正意 义上的公钥密码实例，也既没能找出一个真正 带陷门的单向函数 然而，他们给出单向函数的实例，并且基于此 提出Diffie-Hellman密钥交换算法
13
常用的公开密钥算法
公钥算法的种类很多，具有代表性的三种密码： 公钥算法的种类很多，具有代表性的三种密码： 基于整数分解难题（IFP）的算法体制 基于整数分解难题（IFP）的算法体制(RSA) 基于离散对数难题（DLP）算法体制 基于离散对数难题（DLP）算法体制(ElGamal) 基于椭圆曲线离散对数难题（ ECDLP ） 的算法体制 基于椭圆曲线离散对数难题 （ ECDLP） (ECC)
3
4.1 公钥密码体制的基本原理
对称算法的不足
（1）密钥管理量的困难 传统密钥管理：两两分别用一个密钥时， 传统密钥管理：两两分别用一个密钥时，则n个用户需 C(n,2)=n(n-1)/2个密钥 当用户量增大时， 个密钥， 要C(n,2)=n(n-1)/2个密钥，当用户量增大时，密钥空 间急剧增大。 间急剧增大。如: n=100 时， C(100,2)=4,995 n=5000时 n=5000时， C(5000,2)=12,497,500 （2）密钥必须通过某一信道协商，对这个信道的安全 密钥必须通过某一信道协商， 性的要求比正常的传送消息的信道的安全性要高
7
公开密钥密码的重要特性
加密与解密由不同的密钥完成 Y: X: Y = EKU(X) X = DKR(Y) = DKR(EKU(X))
加密: X 解密: Y
知道加密算法,从加密密钥得到解密密钥在计算上 , 是不可行的 两个密钥中任何一个都可以用作加密而另一个用 作解密(不是必须的) X = DKR(EKU(X))
第二讲之第4章 公钥密码体制.
b a mod p , 0<=i<=p-1
i
则称指数i为以a为底、模p的b的离散对数。
1.基本原理
用户A 公开 秘密
用户B
YA XA
计算
YB
XB
计算
公开
秘密
会话秘密
KA
密钥交换过程
KB
会话秘密
密钥交换过程
(1)选择一个素数P和它的一个原元a; (2)通信方A选择自己的秘密密钥XA,并计算自己的 公开密钥YA: YA=a XA mod P (3)通信方B选择自己的秘密密钥XB,并计算自己的 公开密钥YB: YB=a XB mod P (4)通信双方A和B交换YA和YB； (5)A独立计算会话密钥，B独立计算会话密钥KS； (6)通信双方利用会话密钥KS进行通信。
公钥体制算法
第一个公钥体制是1977年由Rivest， Shamir，Adleman提出的，称为RSA 公钥体制，其安全性是基于整数的因子 分解的困难性。RSA公钥体制已得到了 广泛的应用。
基于背包问题的Merkle-Hellman背包公 钥体制
基于有限域上离散对数问题的ElGamal 公钥体制 基于椭圆曲线的ECC密码用很小数字。设 P=47 和 47 的一个原元，a=3。
A 选择秘密密钥 XA=8 ， B 选择秘密密钥 XB=10 ，
各自计算其公开密钥。
（1）双方各自计算
用户A计算：YA=3 8mod 47=6561 mod 47=28 mod 47 用 户 B 计 算 ： YB=3 47=17 mod 47
续
（2）保护信息机密
任何人均可将明文加密成密文，此后只有拥有解密密钥 的人才能解密。
i
则称指数i为以a为底、模p的b的离散对数。
1.基本原理
用户A 公开 秘密
用户B
YA XA
计算
YB
XB
计算
公开
秘密
会话秘密
KA
密钥交换过程
KB
会话秘密
密钥交换过程
(1)选择一个素数P和它的一个原元a; (2)通信方A选择自己的秘密密钥XA,并计算自己的 公开密钥YA: YA=a XA mod P (3)通信方B选择自己的秘密密钥XB,并计算自己的 公开密钥YB: YB=a XB mod P (4)通信双方A和B交换YA和YB； (5)A独立计算会话密钥，B独立计算会话密钥KS； (6)通信双方利用会话密钥KS进行通信。
公钥体制算法
第一个公钥体制是1977年由Rivest， Shamir，Adleman提出的，称为RSA 公钥体制，其安全性是基于整数的因子 分解的困难性。RSA公钥体制已得到了 广泛的应用。
基于背包问题的Merkle-Hellman背包公 钥体制
基于有限域上离散对数问题的ElGamal 公钥体制 基于椭圆曲线的ECC密码用很小数字。设 P=47 和 47 的一个原元，a=3。
A 选择秘密密钥 XA=8 ， B 选择秘密密钥 XB=10 ，
各自计算其公开密钥。
（1）双方各自计算
用户A计算：YA=3 8mod 47=6561 mod 47=28 mod 47 用 户 B 计 算 ： YB=3 47=17 mod 47
续
（2）保护信息机密
任何人均可将明文加密成密文，此后只有拥有解密密钥 的人才能解密。
第4章公钥密码体制
4.2.3 乘法逆元
如果gcd(a,b)=1,那么: 存在a-1,使a* a-1 ≡1 mod b 存在b-1,使b* b-1 ≡1 mod a 这里,把a-1称为a模b的乘法逆元, b-1称为b 模a的乘法逆元
用扩展的欧几里德算法求乘法逆元
gcd(11111,12345)
12345=1*11111+1234 11111=9*1234+5 1234=246*5+4 5=1*4+1 4=4*1+0
characteristic of algorithms
It is computationally infeasible to determine the decryption key given only knowledge of the cryptographic algorithm and the encryption key. Either of the two related keys can be used for encryption, with the other used for decryption.
4.2 数论基础
数论中的许多概念在设计公钥密码算法时是 必不可少的.掌握这些基础知识对于理解公 钥密码体制的原理和应用十分重要.
整 除
定理:设整数a和b,如果存在整数k,使 b=ak,则说b能被a整除,记作:a|b 例:3|15,-15|60 性质:
对所有整数a≠0, a|0, a|a成立 对任意整数b, 1|b成立
本原根的性质
如果a是n的本原根,且:
x1=a1 mod n,x2=a2 mod n,…,xФ(n)=aФ(n) mod n
则:
x1≠x2≠…≠xФ(n),且xФ(n)=1
公钥密码体制概念的著作
公钥密码体制概念的著作公钥密码体制是一种能够实现信息加密和解密的技术，它基于非对称密钥算法。
公钥密码体制的概念最早由美国密码学家惠特菲尔德·迪菲提出。
与传统的对称密码系统不同，公钥密码体制使用两个密钥：公钥和私钥。
其中，公钥是公开的，而私钥则被保密。
公钥密码体制的主要优点在于它的安全性较高。
在传统的对称密码体制中，加密和解密都使用同一个密钥，因此密钥必须在传输过程中保持秘密，否则被截获的攻击者就可以轻松地获得加密信息。
而在公钥密码体制中，加密和解密使用的是不同的密钥，攻击者即使得到了公钥，也无法从中破解出私钥，因此保密性更强。
公钥密码体制的应用十分广泛，包括信用卡交易、电子邮件的加密和签名、虚拟私有网络安全等。
在这些应用中，用户将自己的公钥发布到公共网络上，其他用户就可以使用该公钥将加密信息发送给用户，只有该用户才能解密信息。
然而，公钥密码体制也存在着一些缺点。
首先，它的加密解密速度较慢。
因为它需要使用很长的密钥，所以加密解密所需的时间也相对较长。
其次，公钥密码体制也不是万无一失的，特别是当攻击者拥有足够的计算能力时，它仍然可能被破解。
为了解决这些问题，研究人员一直在改进公钥密码体制技术，并提出了许多增强版的公钥密码体制，如椭圆曲线密码、同态加密、多方计算等。
这些新技术能够使加密解密更快、更安全，而且还可以应用于更多的领域。
总之，公钥密码体制是一种十分重要的密码学技术，它在网络安全中起着非常关键的作用。
尽管它存在一些缺点，但随着技术的不断进步，公钥密码体制必将得到进一步的改进和完善，为实现网络安全提供更多的保障。
在公钥密码体制中，常用的算法有RSA、Diffie-Hellman、ECC等。
其中，RSA算法是最为经典的公钥密码体制算法之一，也被广泛应用于各种领域中。
RSA算法的原理是基于大质数分解的数学难题，利用数学上的困难问题保证了其安全性。
RSA算法的缺点是密钥长度必须足够长，才能保证安全性，并且加密解密速度较慢。
公钥密码体制课件
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云计算与大数据
数据存储加密
对存储在云端的数据进行加密，确保数据的安全性和 隐确保只有授权用户 能够访问云端数据。
容灾备份
在大数据场景中，公钥密码体制用于容灾备份数据的 加密和完整性校验。
04
公钥密码体制的实现技术
RSA算法
总结词
RSA算法是一种非对称加密算法，基于数论中的一些基础性质，使用一对公钥和私钥进行加密和解密操作。
数据完整性
通过数字签名等技术，公钥密码体 制能够确保数据的完整性和真实性。
身份认证
公钥密码体制可用于身份认证，验 证发送方的身份，防止伪造和冒充。
公钥密码体制的历史与发展
历史
公钥密码体制的思想起源于20世纪 70年代，最早的公钥密码体制是RSA 算法。
发展
随着技术的不断进步，公钥密码体制 的应用越来越广泛，涉及到网络安全、 电子支付、电子政务等领域。
证书吊销与信任链管理
在公钥密码体制中，证书用于验证公 钥的合法性，但证书可能被吊销或受 到信任链上的信任问题影响。
管理证书吊销列表和信任链的有效性 是确保公钥密码体制安全的重要环节， 需要定期检查和更新证书状态，以及 在必要时撤销或更新信任链。
06
公钥密码体制的未来展望
新算法的研究与发展
算法优化
详细描述
RSA算法由Rivest、Shamir和Adleman于1977年提出，是目前应用最广泛的公钥密码算法之一。其安全性基于 大数质因数分解的困难性，通过选取适当的参数，能够保证很高的安全性。RSA算法可用于加密、数字签名等应 用场景。
ECC算法
总结词
ECC算法是一种基于椭圆曲线的公钥密码算法，具有密钥长度相对较小、加密速度快、安全性高等优 点。
公钥密码体制RSA介绍
3
1
公钥密码体制概述
公钥密码体制的要求 用户：产生密钥对K=(PK, SK)在计算上是可行的 发送方：已知公钥与明文，产生密文是容易的 接收方：利用私钥解密密文在计算上是可行的 攻击者：利用公钥求解私钥在计算上是不可行的 攻击者：已知公钥与密文，在不知道私钥的情况下， 恢复明文在计算上是不可行的
4
Zn上的模n运算 设n的二进制表示有 0≤m1, m2≤n-1. 上的模 运算:设 的二进制表示有k, ≤ 运算 的二进制表示有
m1+m2 (mod n): O(k) m1-m2 (mod n): O(k) m1×m2 (mod n): O(k2) (m1) -1 (mod n): O(k3) (m1)c (mod n): O(k2 ×logc) (平方-乘算法).
18
RSA的安全参数 RSA的安全参数
p和q要足够大 n=pq 为1024位, 或2048位. 和 要足够大 要足够大: 位 位 p和q应为强素数 和 应为强素数 应为强素数(strong prime). 如果素数p 满足以下条件, 则称为强素数. (1) p -1有大素数因子r; (2) p+1有大素数因子s; (3) r-1有大素数因子t. 例如: 理想的强素数为: r=2t+1; p=2r+1=4t+3; p=2s-1.
9
2
RSA密码体制 RSA密码体制
例4.1 设p=11, q=13. 令 n=11×13=143 , × φ(n)=(p-1)(q-1)=(11-1)(13-1)=120, 取公钥: PK=(n, e)=(143, e=17)， 计算: d=e-1=17-1=113 (mod 120) (因为: 17×113=1921=16×120+1). 私钥: SK=(p, q , d) =(11, 13, 113). 对于明文: m=24, 密文: c=EPK(m)=2417=7 (mod 143). 对于密文: c=7, 解密: m=DSK(c)=7113=24 (mod 143 ).
信息安全概论-ppt--公钥密码体制
公钥密码体制
17
4.1 一些数学基础
❖ 费马(Fermat)定理：
p素数，a是整数且不能被p整除，则：ap-1 1 mod p 例：a = 7，p = 19，则ap-1 = 718 1 mod 19
a = 3，p = 5，则ap-1 = 34 1 mod 5
❖ 欧拉(Euler)函数(n)：
如果gcd(a,b)=1，则称a和b互素。
公钥密码体制
11
素数和素分解
任一整数p>1，若只有+（-）1和+（-）p为约数，就称其 为素数（prime），否则为一合数。素数在数论和现代密码学中扮演 重要角色。 判断：
所有奇数都是素数。所有偶数都是合数。 除了1，自然数不是素数就是合数。 除了2，5，个位上是0，2，4，6，8，5的数都是合数。 两个自然数相乘，乘得的数一定是合数。 除了3，能被3整除的数都是合数。 一个自然数不是素数就是合数。 合数至少有三个因数。 素数一定是奇数。合数一定是偶数。 1不是素数也不是合数。
公钥密码体制
16
4.1 一些数学基础
❖ 模运算：
求余数运算（简称求余运算）a mod n将整数a映射到集合
{0,1, …,n-1}，称求余运算在这个集合上的算术运算为模运算
模运算有以下性质： [(a mod n)+(b mod n)] mod n = (a+b) mod n [(a mod n)- (b mod n)] mod n = (a-b) mod n [(a mod n)×(b mod n)] mod n = (a×b) mod n
❖ 数论简介：
数论是密码学特别是公钥密码学的基本工具。研究“离散数字集合” 的相关问题。
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{1，3，6，13，27，52， …} 而 {1，3，4，9，15，25} 不是。
如果序列为超递增序列，则背包问题则是P类问题。
14
MH背包密码的基本思想
利用实际上存在两类不同的背包问题，一类在线性时间 内可解(超递增背包问题)，而另一类不能(普通背包问题)。 易解的背包问题可以转化成难解的背包问题。公钥使用难解 的背包问题，它可很容易地被用来加密明文但不能用来解密 密文。私钥使用易解的背包问题，它给出一个解密的简单方 法。不知道私钥的人要破解密文就不得不解一个难解的背包 问题。
i=1
利用已知u并根据uv=1 (mod p) ，可求得v。
下面作变换称为墨科-赫尔曼(Merkle-Hellman)变换：
ak≡ubk（mod p），k=1,2,…,n 非超递增序列{ai}和p作为公钥； 超递增序列{bi}和v作为私钥；
12
背包问题
已知一长度 b 的背包及长度分别为 a1,a2,… ,an 的 n 个物品。假定这些物品的半径和背包相同，若从这 n 个物品 中选出若干物品使得恰好装满这个背包。
公式化的描述为：给定一个正整数集A={a1,a2,…,an}，已 知b是A的某子集中元素的和。问题是，找到一个n元的0 、1
向量X=(x1,x2,…,xn)使得：
n
∑ aixi = b
i =1
这是一个NP问题。
其中a1, a2, … , an 和 b 都是正整数。
13
超递增序列
如果序列 a1, a2, … , an 满足条件：
i −1
∑ ai > a j (i = 2,3,..., n) j =1
则称该序列为超递增序列。 例如： {1，2，4，8， … ，2n }
数字签名问题
对称密码体制中通信双方拥有同样的密钥， 所以接收方可以伪造签名，发送方也可以 否认发送过某消息，难于解决陌生人之间 的身份认证和交易信息认证的问题。
6
加解密模型
¾发送方A查找接受方B的公钥。 ¾A采用公钥加密算法以B的公钥作为加密密钥对明文加密。 ¾A通过不安全信道将密文发送给B。 ¾B收到密文后使用自己的私钥对密文解密还原出明文。
4
引言
在公钥密码体制以前的整个密码学发展史中，所有的密码 算法，包括原始手工计算的、由机械设备实现的以及由计算机 实现的，都是基于代换和换位这两个基本方法，建立在位(字 符)方式的操作上。
而公钥密码体制则为密码学的发展提供了新的理论和技术 思想，一方面公钥密码算法是建立在数学函数基础上的，而不 是建立在位(字符)方式的操作上的 ；另一方面公钥密码算法是 以非对称的形式使用两个密钥，两个密钥的使用对密钥分配、 认证等都有着深刻的意义。可以说，公钥密码体制的出现在密 码学发展史上是一次质的飞跃。
公钥密码体制
本讲主要内容
公钥密码体制的简介 背包问题 RSA算法 ElGamal算法 ECC算法 IBE算法
3
回顾
保密通信进入计算机网络时代，传统密码体制逐渐暴露其 固有的弱点，当时主要体现密钥管理。 1976年W．Diffie和Hellman 在《密码学的新方向》中首次 提出了公钥密码算法的思想。 1978年后Rivest，Shamir和Adleman提出的RSA算法体现了 公钥算法的思想，并具有实用性。 公钥密码体制是现代密码学的一个标志，到目前为止，是 密码学史上最大也是唯一真正的革命。 公钥密码引起密码界高度关注，并得到迅速的发展，尤其 在信息安全的应用中涉及公钥密码技术。
¾私钥和公钥是如何生成的，它们之间有着怎样的关系； ¾安全的密钥长度是多少； ¾公钥密码体制的安全性依赖的数学难题是什么； ¾如何实现加密算法(公钥加密)，以及解密算法(私钥解密)，
反之亦然（数字签名）；
¾现在这种公钥密码体制的安全分析。
10
常用算法
背包问题（NP问题）。
背包算法
基于大整数素因子分解问题。
5
对称密码体制的缺陷
密钥分配问题
通信双方要进行加密通信，需要通 过秘密的安全信道协商加密密钥， 而这种安全信道在实际中很难实现。
密钥管理问题
在有n个用户的通信网络中，每个用户要想和其它n-1 个用户进行通信，必须使用n-1个密钥，而系统中的 总密钥量将达到n(n-1)/2。当n较大时，这样大的密钥 量，在产生、保存、传递、使用和销毁等各个环节中 都会变得很复杂，存在着安全隐患。
c = Epk (m) 在计算上是容易的。 B
¾接收方B用自己的私钥对c解密，即m = DskB (c) 在计算上是容
易的。
¾攻击方由B的公钥PKB求私钥SKB在计算上是不可行的。 ¾攻击方由密文c和B的公钥PKB恢复明文m或求私钥SKB (选择
明文攻击)在计算上是不可行的。
9
公钥密码算法思考的主要问题
B的公钥 不安全信道
文
A
接受方
解密算法 明 文 B
7
基本原理(陷门单向函数)
¾正向计算容易。即如果知道密钥 Pk 和消息M，容易计
算 C= fp (M) 。 k
¾在不知道密钥 Sk 的情况下，反向计算不可行。即如果只
知道加密后的消息C而不知道密钥 S k ，则计算不可
将消息编码为背包问题的解。明文分组长度等于堆中物 品个数，且明文位与b的值相对应，密文是计算得到的和值。
15
公私钥对的生成
公 开 的 背 包 序 列 a1,a2,…,an 是 由 超 递 增 序 列
b1,b2,…,bn 进行以下变换得到的。
选取素数p和u,且
p
>
n
∑
bi
，1 ≤ u ≤
p −1 。
RSA，Rabin等
基于有限域乘法群上的离散对数问题。
Elgamal（DS）。
椭园曲线上的离散对数问题。
ECC。
基于身份的密码体制
IBE。
11
背包算法简介
¾由默克尔（Merkle）和赫尔曼（Hellman）提出的； ¾最早提出的公开密钥算法； ¾安全性源于背包问题，是一个NP问题； ¾大部分是不安全的，很少使用；
行 M = f −1(C) 。
¾在知道密钥 Sk 的情况下，反向计算容易。即如果同时知
道加密消息C和密钥 Sk
，则计算
M
=
f
−1 Sk
(C)
是容易的。这
里的密钥 Sk 相当于陷门，它和 Pk 配对使用。
8
公钥密码算法应满足的要求
¾接收方B产生密钥对（公钥PKB和私钥SKB）在计算上是容易
的。
¾发送方A用接收方的公钥对消息m加密以产生密文c，即
如果序列为超递增序列，则背包问题则是P类问题。
14
MH背包密码的基本思想
利用实际上存在两类不同的背包问题，一类在线性时间 内可解(超递增背包问题)，而另一类不能(普通背包问题)。 易解的背包问题可以转化成难解的背包问题。公钥使用难解 的背包问题，它可很容易地被用来加密明文但不能用来解密 密文。私钥使用易解的背包问题，它给出一个解密的简单方 法。不知道私钥的人要破解密文就不得不解一个难解的背包 问题。
i=1
利用已知u并根据uv=1 (mod p) ，可求得v。
下面作变换称为墨科-赫尔曼(Merkle-Hellman)变换：
ak≡ubk（mod p），k=1,2,…,n 非超递增序列{ai}和p作为公钥； 超递增序列{bi}和v作为私钥；
12
背包问题
已知一长度 b 的背包及长度分别为 a1,a2,… ,an 的 n 个物品。假定这些物品的半径和背包相同，若从这 n 个物品 中选出若干物品使得恰好装满这个背包。
公式化的描述为：给定一个正整数集A={a1,a2,…,an}，已 知b是A的某子集中元素的和。问题是，找到一个n元的0 、1
向量X=(x1,x2,…,xn)使得：
n
∑ aixi = b
i =1
这是一个NP问题。
其中a1, a2, … , an 和 b 都是正整数。
13
超递增序列
如果序列 a1, a2, … , an 满足条件：
i −1
∑ ai > a j (i = 2,3,..., n) j =1
则称该序列为超递增序列。 例如： {1，2，4，8， … ，2n }
数字签名问题
对称密码体制中通信双方拥有同样的密钥， 所以接收方可以伪造签名，发送方也可以 否认发送过某消息，难于解决陌生人之间 的身份认证和交易信息认证的问题。
6
加解密模型
¾发送方A查找接受方B的公钥。 ¾A采用公钥加密算法以B的公钥作为加密密钥对明文加密。 ¾A通过不安全信道将密文发送给B。 ¾B收到密文后使用自己的私钥对密文解密还原出明文。
4
引言
在公钥密码体制以前的整个密码学发展史中，所有的密码 算法，包括原始手工计算的、由机械设备实现的以及由计算机 实现的，都是基于代换和换位这两个基本方法，建立在位(字 符)方式的操作上。
而公钥密码体制则为密码学的发展提供了新的理论和技术 思想，一方面公钥密码算法是建立在数学函数基础上的，而不 是建立在位(字符)方式的操作上的 ；另一方面公钥密码算法是 以非对称的形式使用两个密钥，两个密钥的使用对密钥分配、 认证等都有着深刻的意义。可以说，公钥密码体制的出现在密 码学发展史上是一次质的飞跃。
公钥密码体制
本讲主要内容
公钥密码体制的简介 背包问题 RSA算法 ElGamal算法 ECC算法 IBE算法
3
回顾
保密通信进入计算机网络时代，传统密码体制逐渐暴露其 固有的弱点，当时主要体现密钥管理。 1976年W．Diffie和Hellman 在《密码学的新方向》中首次 提出了公钥密码算法的思想。 1978年后Rivest，Shamir和Adleman提出的RSA算法体现了 公钥算法的思想，并具有实用性。 公钥密码体制是现代密码学的一个标志，到目前为止，是 密码学史上最大也是唯一真正的革命。 公钥密码引起密码界高度关注，并得到迅速的发展，尤其 在信息安全的应用中涉及公钥密码技术。
¾私钥和公钥是如何生成的，它们之间有着怎样的关系； ¾安全的密钥长度是多少； ¾公钥密码体制的安全性依赖的数学难题是什么； ¾如何实现加密算法(公钥加密)，以及解密算法(私钥解密)，
反之亦然（数字签名）；
¾现在这种公钥密码体制的安全分析。
10
常用算法
背包问题（NP问题）。
背包算法
基于大整数素因子分解问题。
5
对称密码体制的缺陷
密钥分配问题
通信双方要进行加密通信，需要通 过秘密的安全信道协商加密密钥， 而这种安全信道在实际中很难实现。
密钥管理问题
在有n个用户的通信网络中，每个用户要想和其它n-1 个用户进行通信，必须使用n-1个密钥，而系统中的 总密钥量将达到n(n-1)/2。当n较大时，这样大的密钥 量，在产生、保存、传递、使用和销毁等各个环节中 都会变得很复杂，存在着安全隐患。
c = Epk (m) 在计算上是容易的。 B
¾接收方B用自己的私钥对c解密，即m = DskB (c) 在计算上是容
易的。
¾攻击方由B的公钥PKB求私钥SKB在计算上是不可行的。 ¾攻击方由密文c和B的公钥PKB恢复明文m或求私钥SKB (选择
明文攻击)在计算上是不可行的。
9
公钥密码算法思考的主要问题
B的公钥 不安全信道
文
A
接受方
解密算法 明 文 B
7
基本原理(陷门单向函数)
¾正向计算容易。即如果知道密钥 Pk 和消息M，容易计
算 C= fp (M) 。 k
¾在不知道密钥 Sk 的情况下，反向计算不可行。即如果只
知道加密后的消息C而不知道密钥 S k ，则计算不可
将消息编码为背包问题的解。明文分组长度等于堆中物 品个数，且明文位与b的值相对应，密文是计算得到的和值。
15
公私钥对的生成
公 开 的 背 包 序 列 a1,a2,…,an 是 由 超 递 增 序 列
b1,b2,…,bn 进行以下变换得到的。
选取素数p和u,且
p
>
n
∑
bi
，1 ≤ u ≤
p −1 。
RSA，Rabin等
基于有限域乘法群上的离散对数问题。
Elgamal（DS）。
椭园曲线上的离散对数问题。
ECC。
基于身份的密码体制
IBE。
11
背包算法简介
¾由默克尔（Merkle）和赫尔曼（Hellman）提出的； ¾最早提出的公开密钥算法； ¾安全性源于背包问题，是一个NP问题； ¾大部分是不安全的，很少使用；
行 M = f −1(C) 。
¾在知道密钥 Sk 的情况下，反向计算容易。即如果同时知
道加密消息C和密钥 Sk
，则计算
M
=
f
−1 Sk
(C)
是容易的。这
里的密钥 Sk 相当于陷门，它和 Pk 配对使用。
8
公钥密码算法应满足的要求
¾接收方B产生密钥对（公钥PKB和私钥SKB）在计算上是容易
的。
¾发送方A用接收方的公钥对消息m加密以产生密文c，即