反函数及其图像性质经典.ppt

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5、是否任何一个函数都有反函数？
（1）函数 y x2的定义域是_____，值域是 _________。如果由 y x2解出x=_________,
对于y在[0,+)上任一个值，通过式子 x y, x在R上有__________值和它对应，故 x_________y的函数。
这表明函数 y x2 没有反函。
1 x( x R). 2
同样，在(2)中，也把新函数 x y 2 1 称为原函数
y g(x) x 1, 的反函数，记为：x g (1 y) y2 1.
改写为： y g1(x) x2 1(x 0).
反函数的一般定义参见课本P.60第二段。
.精品课件.
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反函数与原函数的关系：
表达式： 定义域： 值域：
互换经x, y得反函数为：y x 1(x R). 3
(2) 由y x3 1解得：x 3 y 1,
互换x, y得反函数为.精品：课件. y 3 x 1( x R). 7
(3) 由y x 1解得：x ( y 1)2 ,
互换x, y得反函数为： y ( x 1)2 (x 1).
.精品课件.
2
完成下列填空：
（y=12）x解函出数xy==_212_x_的_y_定__义,这域样是对_于__Ry_在__R,值上域任是一_个__R值__，__通。过如式果子由x= 1 y ，x在R上有唯__一__确__定__的值和它对应，故x是__y__的函数。 2
原函数: y=2x
新函数：x 1 y 2
yx
· ·· (0,
2) 3
A1
B-2(2-,10)-1
1A ( 2 , 0) 3
·-2 B (0, 2)
y x2 3
x
原函数过 M(a,b), 则 y=f-1(x)过 M´(b,a).
注意：
M(a,b),与M´(b,a)两点关于直线y=x对称.
.精品课件.
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例2.求函数y=x3(x∈R)的反函数,并画
出原来的函数和它的反函数的图象.
解： y x3 x 3 y y
y x3 y x
1
y 3 x(x R)
y3 x
1
x
.精品课件.
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例3.已知函数f (x) ax b 的图像 xa
(∵ 1≤ x < 0 )
∴ y 1 1 x2 (1≤ x < 0)的反函数
是：y 2x x2 ( 0 < .精品课件. x ≤1 )
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例3.求函数y
x2 1 (0 x2 (1
x 1) x 0)
的反函数.
f
1
(
x
)
x 1(1 x 0)
x (0 x 1)
.精品课件.
的反函数为
1
x2
y=
3 x∈R
-2 -1 -1 1
-2
.精品课件.
yx
y x2 3
x
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原函数和反函数的关系
原函数和其反函数的图象关 于直线y=x对称，
若两个函数的图象关于直线 y=x对称，则它们互为反函数.
应用思路：
已知函数的图像利用对称性可以
画出它的反函数的图像。
.精wenku.baidu.com课件.
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总结：
y=3x-2 y
0,1 .
（2）若f (x) x2 x(x 1 ), 2
则f 1(2) - 2 .
.精品课件.
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例2：求函数 y 1 1 x2（1≤ x < 0）
的反函数.
解：∵ 1≤ x < 0 ∴0 < x2 ≤ 1 ∴0≤1 x2 < 1
∴ 0 ≤ 1 x2 < 1 ∴0 < y ≤ 1
由 y 1 1 x2 解得 x . 2 y y 2
的值和它对应，故x是__y__的函数。
原函数：
表达式： y x 1
新函数：
x y2 1
定义域： [-1,)
[0,+)
值域： [0,+)
[-1,+)
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在(1)中，我们称新函数 x 1 y 为原函数y=f(x)=2x的
反函数,记为：x
f
1 ( y)
1 2
y.
2
改写为：y
f
1 ( x)
并非所有的函数都有反函数！
.精品课件.
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问：怎样的函数才具有反函数呢？
• 连续的单调函数一定有反函数
.精品课件.
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.精品课件.
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二、新授课
（一）例题讲解
例1. 求函数y=3x-2的反函数,
并画出原函数和反函数的图象.
解 ∵y=3x-2
y=3x-2
∴x= y 2
y
3
∴函数y=3x-2(x∈R）
原函数
y=f(x) A C
反函数
y=f –1(x) C
A
.精品课件.
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例.求下列函数的反函数：
(1) y 3x 1( x R); (2) y x3 1( x R); (3) y x 1(x 0); (4) y 2x 3 (x R,且x 1)
x 1
解：（1）由y 3x 1解得：x y 1, 3
判断
x=f 1 ( y) (y∈C)
对调
y=f 1 ( x) (x∈C) .精品课件.
用 y 把 x 表示出来
如果…那么…
对调字母 x ， y
9 知识应用与解题研究
反函数的练习：
（1）.已知：f (x) 1 x2 , 且x 0，1,
则其反函数f 1(x)
1- x2 (0 x 1) ,
其定义域为
(4) 由y 2 x 3 解得： x y 3 ,
x 1
y2
互换x, y得反函数为：y x 3 (xR,且x 2).
x 2 .精品课件.
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2.求反函数的步骤 概念表明
也就是说,反函数定义是一种生成性定 义，体现了反函数的获得的过程
y = f(x) (x∈A)
反解
x= ( y) (y∈C)
反函数
.精品课件.
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函数的定义
如果在某个变化过程中有两个变量X和Y,并且 对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对 应法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X的
函数，X就叫做自变量，X的取值范围称为函数的定义 域，和X的值对应的Y的值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。
记为： y=f(x)
1
2
2
4
:
:
x
y
R 乘以2 R
2
1
4
2
:
:
y
x
R 除以2 R
这个新函数的自变量是__y_._精_品_课，件.对应的函数值是___x____。 3
（2）函数 y x 1 的定义域是_[_-1_,_+__)__，值域是__[0_,_+__)__。
如果由 y x 1 解出x=__y_2___1___,则对于y在 [0，+)上 的任一个值，通过式子x=__y_2 ___1___,x在[-1,+)上有_唯__一__确__定___