铅垂线段的求解方法
二次函数铅垂线法证明
二次函数铅垂线法证明要证明二次函数的铅垂线法，首先我们需要了解什么是二次函数和什么是铅垂线。
二次函数是一种形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。
铅垂线是指与一条直线垂直相交的另外一条直线。
在数学上，我们可以通过求斜率的相反数来确定两条直线是否垂直。
现在我们来证明二次函数的铅垂线法。
假设二次函数为y=ax^2+bx+c，我们要证明它的铅垂线为x=h（h为常数）。
首先，我们假设直线的方程为x=h。
目前我们还不知道斜率是多少，我们需要用到求斜率的方法来确定斜率。
如果两条直线垂直相交，那么它们的斜率的乘积等于-1现在我们尝试求斜率。
我们可以将二次函数的方程表示为y=ax^2+bx+c。
我们将直线的方程x=h代入二次函数的方程中，将得到y=a(h^2)+bh+c。
我们再求出二次函数与直线的斜率。
根据导数的定义，我们对二次函数求导数。
y'=2ax+b此时我们可以求出斜率。
将直线的方程代入求导后的二次函数的方程中。
斜率=(2ah+b)/1现在我们可以求出两条直线的斜率的乘积。
斜率乘积=(2ah+b)/1=-1整理得到2ah+b=-1接下来，我们要证明直线过二次函数的顶点。
二次函数的顶点可以通过-x/b/2a来求得。
我们设顶点的横坐标为x0，纵坐标为y0。
根据二次函数的方程，我们可以得到y0=a(x0^2)+bx0+c。
而根据直线的方程x=h，我们可以得到y0=a(h^2)+bh+c。
由于直线过顶点，所以y0=a(h^2)+bh+c。
将y0=a(x0^2)+bx0+c代入y0=a(h^2)+bh+c中。
整理得到a(x0^2)+bx0+c=a(h^2)+bh+c。
化简得到ax0^2+bx0=a(h^2)+bh。
根据顶点的横坐标，我们可以得到2ax0+b=ah+b。
根据斜率乘积我们得到的方程2ah+b=-1，我们可以得到2ax0+b=-1所以ax0^2+bx0=a(h^2)+bh，化简得到ax0^2=a(h^2)。
铅垂线定理求三角形面积_概述说明以及解释
铅垂线定理求三角形面积概述说明以及解释1. 引言1.1 概述铅垂线定理是三角形几何学中的重要概念，可以通过该定理求解三角形的面积。
在实际生活中，我们经常会遇到需要计算三角形面积的情况，比如建筑设计、地理测量等。
因此，了解和应用铅垂线定理对于准确计算三角形面积具有重要意义。
1.2 铅垂线定理简介铅垂线定理（又称高度定理）是指在一个三角形中，如果某一条边上的高（即垂直于底边且与底边相交于顶点）被引出，则该高可将底边分成两个互为共轭的部分，并且这两个部分上对应的底边长度与高成正比。
具体而言，假设在三角形ABC中，AB为底边，CD为通过顶点C且垂直于AB的高，则有CB/CA=CD/AB。
1.3 目的本文旨在全面介绍铅垂线定理以及其在求解三角形面积中的应用。
通过深入剖析铅垂线定理的原理和推导过程，我们将探讨它在规则和不规则三角形面积计算中的具体运用方法。
同时，我们还将探讨铅垂线定理在数学教学中的重要性，并提供一些简单易懂的教学方法和实例，帮助学生更好地理解和应用该定理。
最后，我们将总结本文的主旨和要点，并展望未来铅垂线定理在更多领域的应用潜力。
同时，我们也会指出当前研究中存在的局限性以及可能改进之处。
2. 铅垂线定理原理解析:2.1 定义与概念:铅垂线定理是指在一个平面内，对于任意给定的三角形ABC，如果通过顶点A 作BC边的铅垂线，则这条铅垂线可以将三角形分割为两个叠加的直角三角形ACD和ABD。
其中，AD被称为铅垂线，且满足AD ⊥BC。
铅垂线定理是三角形几何学中重要的基本原理之一。
2.2 三角形铅垂线定理述评:铅垂线定理具有广泛的应用价值和意义。
它为解决各类与三角形相关问题提供了有效的数学手段，尤其在求解三角形面积方面起到关键作用。
通过采用铅垂线定理，我们能够将一个不规则的三角形转化为两个直角三角形，并通过计算直角三角形的面积来得到整个三角形的面积，简化了计算过程。
2.3 铅垂线定理推导与证明:要推导和证明铅垂线定理，首先需要利用欧几里得几何体系中已知命题和性质进行推演。
与铅垂线段有关的若干问题 (九年级数学精品课件)
13
13
PDQ 的周长= PD PQ DQ 3 13 DQ 2 13 DQ DQ
13
13
只需求DQ的最大值，成功“转嫁” 到问题1上来，不在赘述。
问题5(相似转化) 如图，抛物线 y x2 2x 3 与x 轴交于
A、B两点，且
B（1
,
0）。已知直线
y 2x4 39
A、B两点，且
B（1
,
0）。已知直线
y 2x4 39
分别与
x轴 y 轴 交于C、F两点。点Q是直线CF下方的抛物线上
的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，
再作 PQ CE 于点P，求PQ的最大值。
分析： 首先延长QD与x轴交于点M， 易证 RtOFC : RtMDC,
RtMDC : RtPDQ, 所以 RtOFC : RtPDQ, 易得 OC 2 , FC 2 13 ,
继续做垂直下去，此题还可以编成找规律等问题，比如作 n条此垂直下去后求相应的某条线段的最大值。
问题8 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点
M，且 B（1 , 0）。已知直线 l分别与 x轴 y 轴 交于C、
F两点。点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点 Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，当以D、Q、M、F 为顶点的四边形是平行四边形时，求Q点的坐标。
分别与
x轴 y 轴 交于C、F两点。点Q是直线CF下方的抛物线上
的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，
再作 PQ CE 于点P，求PD的最大值。
分析： 同问题2的分析与转化，得 PD 2 13 DQ,
13
只需求DQ的最大值，成功“转嫁” 到问题1上来，不在赘述。
铅垂线
二次函数面积最值求法思想如下：已知二次函数c bx x y ++=221与x 轴交于()0,1-A ，()0,4B ，与y 轴交于点C .（1）求二次函数的表达式以及过点C B ,的直线方程.（2）二次函数点C B ,部分有一点M ，过点M 作直线垂直于x 轴，交线段BC 与点N ，设点M 的横坐标为m ，求线段MN 的长度. （3）求以点M C B ,,为顶点的三角形的最大面积BCM S ∆.解：（1）由题意可以得到二次函数的表达式为：223212--=x x y ，直线BC 的表达式为：221-=x y . (2)因为点M 在二次函数上，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛--22321,2m m m M .因为点N 的横纵标与点M相同，所以点⎪⎭⎫⎝⎛-221,m m N ，所以m m m m m MN 2212232122122+-=⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（因为横纵标相同，所以只要用他们的纵坐标相减即可，注意是：上-下）.最后一定要注意m 的取值范围：40≤≤m .(因为点M 是在抛物线点C B ,部分)（3）如图，我们把BCM S ∆看成MCN S ∆与MBN S ∆的和，计算MCN S ∆和MBN S ∆时，都以MN 为底边，所以BCM S ∆=MCN S ∆+MBN S ∆=()2121212121h h MN h MN h MN +•=•+•.因为21h h +等于线段4=AB ，m m MN 2212+-=，所以m m m m S BCM 442212122+-=⨯⎪⎭⎫⎝⎛+-=∆()422+--=m故2=m 时，BCM S ∆有最大值4.练习：如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x 轴交于A、B两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△ABC的面积；（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．变形1.如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x ＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．C（提示：连接AB，AOB∆的面积，∆的面积为定值，接下来再求ABC按照上述方法即可）变形2..如图所示，直线221-=x y 与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，抛物线过点A ，C 和点B ()0,1. （1）求抛物线对应的函数表达式；（2）在x 轴上方的抛物线上有一动点D ，当D 与直线AC 的距离DE 最大时，求出点D 的坐标，并求出最大距离.（提示：先按照上述同样的方法求出ACD ∆的最大面积和点D 的坐标，再用等面积法，以AB 为底边，求出DE 即可）变形3如图，二次函数bxy+=2的图像与一次函数的图像交于A,Bax两点，点A的坐标是()1,1-，点B的坐标是()4,2.（1）求二次函数的表达式.（2）设点C在二次函数图像的OB段上，求当四边形OABC面积的最大时点C的坐标.。
二次函数铅垂线法证明
二次函数铅垂线法证明二次函数铅垂线法证明二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在各个领域都有着广泛的应用，如物理、经济等。
在二次函数的学习过程中，铅垂线法是一种常用的解题方法。
本文将详细介绍二次函数铅垂线法的证明。
一、铅垂线法概述在解决二次函数问题时，我们常常需要求出某个点到二次函数图像上某一点的连线所在直线方程。
这时可以使用铅垂线法，即从该点向$x$轴作一条垂线，再从$x$轴上该点向上作一条垂直于$x$轴的直线，这条直线即为所求直线。
二、证明过程1. 设已知二次函数为$f(x)=ax^2+bx+c$，点$P(x_0,y_0)$在图像上。
2. 从点$P(x_0,y_0)$向$x$轴作一条垂线交$x$轴于点$A(x_0,0)$。
3. 在$x_0$处作$f(x)$的切线$l:f(x)=f'(x_0)(x-x_0)+y_0$4. $l:f(x)=f'(x_0)(x-x_0)+y_0=f'(x_0)x-f'(x_0)x_0+y_0$5. $l$的斜率为$f'(x_0)$，过点$A(x_0,0)$的直线方程为$y=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)$6. 由于$l$和$y=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)$都过点$P(x_0,y_0)$，所以它们是同一条直线。
7. 因此，从点$P(x_0,y_0)$向$x$轴作一条垂线，再从$x$轴上该点向上作一条垂直于$x$轴的直线所得到的直线方程即为$l:y=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)$。
三、应用举例下面通过一个具体例子来说明铅垂线法的应用。
已知二次函数$f(x)=2x^2-4x+3$，求过点$(2,1)$且垂直于$x$轴的直线方程。
解：首先求出二次函数在$x=2$处的导数$f'(2)=8-4=4$。
然后根据铅垂线法，从点$(2,1)$向$x$轴作一条垂线交$x$轴于点$(2,0)$，再从$(2,0)$向上作一条垂直于$x$轴的直线。
二次函数中铅垂线段培训总结
二次函数中铅垂线段培训总结1. 引言二次函数是数学中的一种重要函数形式，广泛应用于各个领域。
在二次函数中，铅垂线段是一种特殊的线段，具有重要的几何性质和应用。
本文将总结二次函数中铅垂线段的相关知识和应用，帮助读者理解和掌握这一重要概念。
2. 二次函数的基本知识回顾在讨论铅垂线段之前，我们先回顾一下二次函数的基本知识。
二次函数的一般形式可以表示为f(x)=ax2+bx+c，其中a,b,c为常数且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，可以开口向上或向下。
通过解析式中的系数a可以确定抛物线的开口方向。
3. 铅垂线段的定义在二次函数的图像中，铅垂线段是与抛物线相交且垂直于x轴的线段。
铅垂线段的特点是与抛物线的切线平行，并且其长度是抛物线到x轴的距离的两倍。
4. 铅垂线段的性质铅垂线段具有以下重要性质：4.1 对称性对于二次函数f(x)=ax2+bx+c，其图像关于铅垂线段对称。
换句话说，如果(x1,y1)是二次函数图像上的任意一点，那么(x1,−y1)也是图像上的一点。
4.2 长度铅垂线段的长度等于抛物线到x轴的距离的两倍。
长度可以通过求解二次函数关于x的方程来计算。
4.3 方程的应用铅垂线段的性质可以应用于解决各种实际问题。
例如，可以利用铅垂线段的对称性求解二次函数的零点，或者通过求解铅垂线段与抛物线的交点来确定二次函数的最值。
5. 铅垂线段的求解方法求解铅垂线段可以通过以下步骤进行：5.1 确定二次函数首先，给定一个二次函数f(x)=ax2+bx+c，其中a≠0。
5.2 求解切线方程利用导数的知识，可以求解抛物线上某一点的切线方程。
切线方程的斜率等于二次函数在该点的导数值。
5.3 求解铅垂线段方程根据切线方程的斜率，可以求解铅垂线段的斜率。
由于铅垂线段与x轴垂直，所以其斜率为0。
通过已知点和斜率0，可以得到铅垂线段的方程。
5.4 求解交点将铅垂线段的方程与二次函数的方程联立，可以求解两者的交点。
这些交点即为铅垂线段与二次函数的交点。
铅锤高定理公式
铅锤高定理公式
解析
铅垂线定理公式是三角形面积=铅锤高×水平宽的一半三角形面积。
物体重心与地球重心的连线称为铅垂线（用圆锥形铅垂测得）。
多用于建筑测量。
用一条细绳一端系重物，在相对于地面静止时，这条绳所在直线就是铅垂线，又称重垂线。
铅垂线地球重力场中的重力方向线。
它与水准面正交，是野外观测的基准线。
悬挂重物而自由下垂时的方向，即为此线方向，包含它的平面则称铅垂面。
判断物体是否与地面垂直，可用铅垂线法，即一根线加上一个重物。
此重物称为铅锤，铅锤受重力作用，即受万有引力的一个分力作用，让线与地面垂直，成90度角度。
专题1：铅垂法求面积最值问题探究
专题一：铅垂法求面积最值问题探究导例：抛物线y=−13x 2+2√33x +3交x 轴正半轴于点A （3√3，0），交y 轴于点B （0，3），且这个抛物线的顶点为C ．连接AB 、AC 、BC ，则抛物线的对称轴为直线 ，线段CD 的长为 ，△ABC 的面积为 ．如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：12S △ABC ＝12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．根据上述方法，我们来得到求三角形的面积的最值问题的方法：S △PAB ＝12·PQ·|x A −x B |，根据二次函数解析式设出点P 的坐标，结合一次函数解析式从而得到点Q 的坐标，从而转化方法点睛专题导入类型一：抛物线上动点产生的三角形面积的最值例1 在平面直角坐标系中，直线y=12x ﹣2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数y=12x 2+bx+c 的图象经过B ，C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A ，动点D 在直线BC 下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，连接DC ，D B ，设△BCD 的面积为S ，求S 的最大值.[来源:学科网ZXXK]【分析】（1）根据题意得到B 、C 两点的坐标，设抛物线的解析式为y=12（x-4）（x-m ），将点C 的坐标代入求得m 的值即可；（2）过点D 作DF ⊥x 轴，交BC 与点F ，设D （x ，12x 2-32x-2），则DF=-12x 2+2x ，然后列出S 与x 的关系式，最后利用配方法求得其最大值即可． 类型二：抛物线上动点产生的四边形的面积例2. 如图，抛物线y ＝a x 2＋b x －3与x 轴交于点A (1，0)和点B ，与y 轴交于点C ，且其对称轴L 为直线x ＝－1，点P 是抛物线上B ，C 之间的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)． (1)直接写出抛物线的解析式；(2)探究:当动点N 在对称轴L 上时，j 是否存在PB ⊥NB ，且PB ＝NB 的关系，若存在，请求出此时点P 的坐标，若不不存，请说明理由；(3)是否存在点P 使得四边形PBAC 的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC 面积的最大值，若不存在，请说明理由．典例精讲【分析】（1）由对称轴可求得B 点坐标，结合A 、B 两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设抛物线对称轴l 交x 轴于点Q ．可证明△BPM ≌△NBQ ，则可求得PM=BQ ，可求得P 点的纵坐标，利用抛物线解析式可求得P 点坐标；（3）连接AC ，设出P 点坐标，则可表示出四边形PBAC 的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．1．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与坐标轴交点分别为A （﹣1，0），B （3，0），C （0，2），作直线BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上第一象限内一动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，设点P 的横坐标为t （0＜t ＜3），求△ABP 的面积S 与t 的函数关系式．2.如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5与x 轴交于A (－1，0)，B (5，0)两点，与y 轴交于点C . (1)求抛物线的函数解析式；(2)若点D 是y 轴上的一点，且以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点D 的坐标； (3)如图②，CE ∥x 轴与抛物线相交于点E ，点H 是直线CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴平行的直线与BC ，CE 分别相交于点F ，G ，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF专题过关的面积最大，求点H的坐标及最大面积．3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m 的值．备用图4.如图，在平面直角坐标系中，A，B为x轴上两点，C，D为y轴上的两点，经过点A，C，B的抛物线的一部分C1与经过点A，D，B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我），点M是抛物线C2：y=mx2们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣32﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A,B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．5．已知直线y=12x+2分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，抛物线y=12x 2+mx ﹣2经过点A ，和x 轴的另一个交点为C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D 是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD 面积的最大值；（3）如图2，经过点M （﹣4，1）的直线交抛物线于点P ，Q ，连接CP ，CQ 分别交y 轴于点E ，F ，求OE•OF 的值．专题一：二次函数中的三角形面积最值问题 答案 例1 （1）把x=0代y=12x ﹣2得y=﹣2，∴C （0，﹣2）．把y=0代y=12x ﹣2得x=4，∴B （4，0）．设抛物线的解析式为y=12（x ﹣4）（x ﹣m ），将C （0，﹣2）代入，得2m=﹣2． 解得m=﹣1．∴A （﹣1，0）．∴抛物线的解析式y=12（x ﹣4）（x+1），即y=12x 2﹣32x ﹣2．（2）如图所示：过点D 作DF ⊥x 轴，交BC 与点F ．例2.(1)y ＝x 2＋2x －3；∵A (1，0)，对称轴L 为直线x ＝－1， ∴B (－3，0)，将AB 两点坐标代入得，∴{a +b −3=0，9a −3b −3=0.，解得{a =1，b =2.∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3. (2)如解图①，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，连接BP ，过点B 作BN ⊥PB 交直线L 于点N ， 设抛物线的对称轴与x 轴交于点Q ，第6题解图①∵PB ⊥NB ，∴∠PBN ＝90°，∴∠PBM ＋∠NBQ ＝90°.∵∠PMB ＝90°，∴∠PBM ＋∠BPM ＝90°.∴∠BPM ＝∠NBQ .又∵PB ＝NB ，∴△BPM ≌△NBQ .∴PM ＝BQ .由(1)得y ＝x 2＋2x －3，∴Q (－1，0)，B (－3，0) ∴BQ ＝2，∴PM ＝BQ ＝2.∵点P 是抛物线y ＝x 2＋2x －3上B 、C 之间的一个动点，且点P 的纵坐标为－2，将y ＝－2代入y ＝x 2＋2x －3，得－2＝x 2＋2x －3，解得x 1＝－1－√2，x 2＝－1＋√2 (不合题意，舍去) ．∴点P 的坐标为(－1－√2，－2)； (3)存在．如解图②，连接AC ，BC ，CP ，PB ，过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D ，图②∵A (1，0)，B (－3，0)，C (0，－3)，∴S △ABC ＝12×3×4＝6． 直线BC 的解析式为y ＝－x －3.设P (t ，t 2＋2t －3)，则D (t ，－t －3)，∴S △BPC ＝12×3×(－t －3－t 2－2 t ＋3)＝－32t 2－92t ，∴S 四边形PBAC ＝－32t 2－92t ＋6＝－32 (t ＋32)2＋758，当t ＝－32时，S 四边形PBAC 存在最大值，最大值为758.此时点P 的坐标为(－32，－154)．2．（1）把A （﹣1，0），B （3，0），C （0，2）代入y=ax 2+bx+c ，得{a −b +c =0，9a +3b +c =0，c =2.解得a=﹣23，b=43，c=2．∴抛物线的解析式为y=﹣23x 2+43x+2．（2）设点P 的坐标为（t ，﹣23t 2+43t+2）．∵A （﹣1，0），B （3，0），∴AB=4．∴S=12AB•PD=12×4×（﹣23t 2+43t+2）=﹣43t 2+83t+4（0＜t ＜3）． 3.(1)∵抛物线过点A (－1，0)和点B (5，0)，∴{a −b −b =0，25a +5b −5=0.∴{a =1，b =−4.， ∴抛物线的函数解析式为y ＝x 2－4x －5； (2)∵OB ＝OC ＝5，∴∠ABC ＝∠OCB ＝45°．∴以B ，C ，D 三点为顶点的三角形要与△ABC 相似，必须要有一个角等于45°. (ⅰ)当点D 在点C 的下方时，∠BCD ＝180°－45°＝135°， ∴不会出现45°角，∴此种情况不存在；(ⅱ)当点D 在点C 的上方时，∠BCD ＝45°，易得BC ＝√2OB ＝5√2，AB ＝OA ＋OB ＝1＋5＝6，存在两种情况：①当△BCD ∽△ABC 时，BCAB ＝CDBC ， 即5√26＝5√2．∴CD ＝253，OD ＝CD －OC ＝253－5＝103．∴D (0，103)； ②当△DCB ∽△ABC 时，DC AB =CB BC，即CD 6＝√25√2．∴CD ＝6，OD ＝CD －OC ＝6－5＝1． ∴点D (0，1) ．综上所述，点D 的坐标为(0，1)或(0，103)时，以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似；(3)由y ＝x 2－4x －5，当y ＝－5时，x 2－4x －5＝－5，解得x 1＝0，x 2＝4． ∴E (4，－5) ．∴CE ＝4．设H (a ，a 2－4a －5) ．∵点H 是在直线CE 下方抛物线上的动点， ∴0＜a ＜4.设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ， 把点B (5，0)，C (0，－5)代入得{5K +b =0，b =−5.专题过关解得{k =1，b =−5.∴直线BC 的解析式为y ＝x －5．设点F (a ，a －5)，∴FH ＝a －5－(a 2－4a －5)＝－a 2＋5a ． ∵CE ⊥FH ，∴S 四边形CHEF ＝12CE ·FH ＝－2a 2＋10a ＝－2(a －52)2＋252．∵0＜a ＜4，∴当a ＝52时，四边形CHEF 面积有最大值，最大值是252，此时H (52，－354)．4．（1）将A （1，0），B （3，0）代入函数解析式，得{a +b +3=0，9a +3b +3=0.解得{a =1，b =−4.∴这个二次函数的解析式为y=x 2－4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C （0，3）．设BC 的解析式为y=kx+b ，将点B （3，0）点C （0，3）代入函数解析式，得 {3k +b =0，b =3.解这个方程组，得{k =−1，b =3.∴直线BC 的解析是为y=﹣x+3．过点P 作PE ∥y 轴，设交直线BC 于点E 坐标为（t ，﹣t+3）．∴PE=﹣t+3﹣（t﹣4t+3）=﹣t 2+3t ．∴S △BCP =S △BPE +S CPE =12（﹣t 2+3t ）×3=﹣32（t ﹣32）2+278． ∵﹣32＜0，∴当t=32时，S △BCP 最大=278．（3）设M （m ，﹣m+3），N （m ，m 2﹣4m+3）． ∴MN=m 2﹣3m ，BM=√2|m ﹣3|．当MN=BM 时，①m 2﹣3m=√2（m ﹣3），解得m=√2．②m 2﹣3m=﹣√2（m ﹣3），解得m=﹣√2．当BN=MN 时，∠NBM=∠BMN=45°． m 2﹣4m+3=0，解得m=1或m=3（舍去）；当BM=BN 时，∠BMN=∠BNM=45°，﹣（m 2﹣4m+3）=﹣m+3，解得m=2或m=3（舍去）； 当△BMN 是等腰三角形时，m 的值为√2，﹣√2，1，2．5.（1）y=mx 2﹣2mx ﹣3m=m （x ﹣3）（x+1），∵m ≠0，∴当y=0时，x 1=﹣1，x 2=3． ∴A （﹣1，0），B （3，0）；（2）设C 1：y=ax 2+bx+c ，将A ，B ，C 三点的坐标代入得：{ a −b +c =0，9a +3b +c =0，c =−32.解得{ a =12，b =−1，c =−32.故C 1：y=12x 2﹣x ﹣32．如图：过点P 作PQ ∥y 轴，交BC 于Q ．由B 、C 的坐标可得直线BC 的解析式为：y=12x ﹣32，设P （x ，12x 2﹣x ﹣32），则Q （x ，12x ﹣32），PQ=12x ﹣32﹣（12x 2﹣x ﹣32）=﹣12x 2+32x ，S △PBC =12PQ •OB=12×（﹣12x 2+32x ）×3=﹣34（x ﹣32）2+2716，当x=32时，S △PBC 有最大值，S max =2716．此时y=12×（32）2﹣32﹣32=﹣158，∴P （32，﹣158）；（3）y=mx 2﹣2mx ﹣3m=m （x ﹣1）2﹣4m ，顶点M 坐标（1，﹣4m ）,当x=0时，y=﹣3m ．∴D （0，﹣3m ），B （3，0）． ∴DM 2=（0﹣1）2+（﹣3m+4m ）2=m 2+1， MB 2=（3﹣1）2+（0+4m ）2=16m 2+4， BD 2=（3﹣0）2+（0+3m ）2=9m 2+9．当△BDM 为Rt △时有：DM 2+BD 2=MB 2或DM 2+MB 2=BD 2． ①DM 2+BD 2=MB 2时有：m 2+1+9m 2+9=16m 2+4， 解得m=﹣1（∵m ＜0，∴m=1舍去）； ②DM 2+MB 2=BD 2时有：m 2+1+16m 2+4=19m 2+9， 解得m=﹣√22（m=√22舍去）．综上，m=﹣1或﹣√22时，△BDM 为直角三角形．1．（1）把y=0代入y=12x+2得：0=12x+2，解得：x=﹣4，∴A （﹣4，0）．把点A 的坐标代入y=12x 2+mx ﹣2得：m=32，∴抛物线的解析式为y=12x 2+32x ﹣2．（2）过点D 作DH ∥y 轴，交AB 于点H ，设D （n ，12n 2+32n ﹣2），H （n ，12n+2）．∴DH=（12n+2）﹣（12n 2+32n ﹣2）=﹣12（n+1）2+92． ∴当n=﹣1时，DH 最大，最大值为92，此时△ABD 面积最大，最大值为12×92×4=9．（3）把y=0代入 y=12x 2+32x ﹣2，得：x 2+3x ﹣4=0，解得x=1或x=﹣4．∴C （1,0）.设直线CQ 的解析式为y=ax-a ，CP 的解析式为y=bx-b.则{y =ax −a ，y =12x 2+32x ﹣2.解得{x =1，y =0或{x =2a −4，y =2a 2−3a.∴x Q =2a-4.同理x P =2b-4.设直线PQ 的解析式为y=kx+b ，把M （﹣4，1）代入得：y=kx+4k+1．∴{y =kx +4k +1，y =12x 2+32x −2.．∴x 2+（3﹣2k ）x ﹣8k ﹣6=0． ∴x Q +x P =2a ﹣4+2b ﹣4=2k ﹣3，x Q •x P =（2a ﹣4）（2b ﹣4）=﹣8k ﹣6． 解得ab=﹣12．又∵OE=﹣b ，OF=a ，∴OE•OF=﹣ab=12．。
铅垂线段的求解方法
二次函数-----铅垂线段长度的最大值学习目标1.认识铅垂线段并掌握铅垂线段的特征2.掌握求解铅垂线段长度的步骤与方法并求出其最大值学习重点：二次函数求最值的方法学习难点：在实际问题中，铅垂线段长度的表达式的表示方法及其最大值求解方法课堂引入：我们在解决有关二次函数的问题时候经常会遇到让我们求解如图所示的线段PQ长度的问题，线段PQ长度应该怎么求解，接下来我们一起来学习知识铺垫：①二次函数的顶点式-------------------②二次函数的顶点坐标公式-------------------③运用公式法求二次函数最值的步骤：当x=----------------，Y(最值）=----------------，合作交流，达成目标 1 观察右图，回答下列问题已知P在抛物线上，Q在线段BC上且PQ垂直x轴①在平面直角坐标系中，什么是铅垂线段？②铅垂线段的端点坐标的特征是什么？③如何求解铅垂线段的长度？合作交流，达成目标2如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），线段BC上一动点P，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q．设动点P的横坐标为m,当点p在线段BC 上运动时，求PQ长度的最大值（1）求二次函数的表达式；（2）求直线BC的表达式（3）求线段PQ长度的表达式（4）求解线段PQ长度的最大值归纳思考：通过以上求解过程，在求解铅垂线段长度的最大值时我们需要提前准备哪些知识和条件？①需要求解抛物线的表达式②需要求解动点所在直线的表达式③需要正确求解铅垂线段长度的表达式④运用二次函数求最值当堂检测1.已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，B（2.0），C（0.2）在抛物线上，点P是线段BC上一动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q．设动点P的横坐标为a,当点p在线段BC上运动时，求PQ长度的最大值作业：如图3，抛物线与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，P 是BC 上方抛物线上一动点，过P 作x 轴垂线交BC 于点Q ，（1）求该抛物线的解析式；（2）求PQ 长度的最大值c bx x y ++-=2。
铅垂线定理
铅垂线定理铅垂线定理是平面几何中的一个重要定理，它是指如果在平面直角坐标系中有一条线段 AB，那么与线段 AB 垂直且过点 A 的直线叫做线段 AB 的铅垂线，与线段 AB 垂直且过点 B 的直线叫做线段 AB 的垂线。
那么，根据铅垂线定理，任何一条通过点 A 和点 B 的直线都可以表示为将线段 AB 的垂线向左或向右平移得到的。
下面我们来详细了解一下铅垂线定理。
在平面几何中，如果有一条直线 AB 和一个点 P，我们可以沿着这条直线作一条与之垂直的直线，这条直线就叫做铅垂线。
具体操作方法是，在点 P 与线段 AB 的垂线交点处作一条过点 P 的直线，这条直线就是线段 AB 的铅垂线。
如果在平面直角坐标系中有一条直线 AB，那么过点 A 的直线和过点 B 的直线一定是铅垂线，它们的斜率互为相反数。
我们可以把平面直角坐标系看成一个数学工具，用来描述平面上的点的位置。
如果我们在平面直角坐标系中选定一条直线 AB，那么它可以被表示为一个函数 y=f(x)，其中f(x) 是 AB 上与 x 轴的交点的纵坐标。
如果我们在平面直角坐标系中再选定一个点 P，那么我们可以根据铅垂线的定义，作一条过点 P 的直线与直线 AB 相交，这个交点叫做点 Q。
此时，我们可以根据勾股定理计算出线段 PQ 的长度，然后再根据正切函数计算出线段 PQ 和线段 AB 之间的夹角θ。
这样，我们就可以根据角度θ 和线段 PQ 的长度推导出线段 AB 的斜率 k。
如果我们再在平面直角坐标系中选取一个点 R，然后作一条过点 R 的直线，我们就得到了另一条与直线 AB 垂直的直线，这条直线的斜率也可以由上述方法计算得出。
我们会发现，这条直线的斜率与直线 AB 的斜率互为相反数。
因此，如果我们知道了线段 AB 的斜率，那么就可以根据铅垂线定理计算出所有与线段 AB 垂直的直线的斜率，这大大方便了我们在平面直角坐标系中进行各种几何运算和推导。
在实际应用中，铅垂线定理被广泛应用于测量、建筑设计、物理、工程学等领域。
铅垂线定理
铅垂线定理铅垂线定理，又被称为垂线定理，是解决几何问题中常用的基础定理之一。
它是由希腊数学家欧几里得提出的，在数学史上具有重要的地位。
本文将从定义、证明和应用三个方面对铅垂线定理进行详细介绍。
一、定义铅垂线定理是指：在平面内一条直线上任意一点，垂直于该直线的线段所形成的直角三角形中，斜边的长度等于直角边长度之和。
因此，我们也可以用“不等式形式”表示为：c^2=a^2+b^2。
其中，c称为“斜边”，a和b称为“直角边”。
二、证明要证明铅垂线定理，我们以直线被分为两半的情况为例进行证明。
如图所示：假设直线AB被点M划分为两半，构造垂直于AB的线段MC。
显然，MC=AM+MB。
将三角形ACM和三角形BCM按照直角边分别相等进行合并，我们可以得到：根据勾股定理，AM^2+MC^2=AC^2，MB^2+MC^2=BC^2。
由于MC=AM+MB，将它代入上式，即有：AM^2+(AM+MB)^2=AC^2AM^2+AM^2+2AM*MB+MB^2=AC^22AM^2+2AM*MB+MB^2=AC^2同理，代入MD=MD+MB，可以得到：MD^2+MD^2+2MD*MB+MB^2=BC^22MD^2+2MD*MB+MB^2=BC^2将上式相加，并化简，可以得到：2(AM^2+MD^2+AB^2)=AC^2+BC^22c^2=2a^2+2b^2c^2=a^2+b^2因此，铅垂线定理得到了证明。
三、应用铅垂线定理在解决几何问题中有重要的应用。
例如，在三角形中，若已知两边长度和它们之间的夹角，可以使用铅垂线定理计算第三条边长。
在建筑学和机械工程中，较为复杂的形状也可以通过使用铅垂线定理来求解。
总之，铅垂线定理在数学的各个领域中都有重要的应用，是解决几何问题的基础之一。
掌握铅垂线定理的概念和证明方法，对于学习和应用数学都有很大的帮助。
坐标系中的面积问题——铅垂法
坐标系中的面积问题——铅垂法【阅读学习】如下是小明遇到的一个题目，在平面直角坐标系中，求斜放置的△P AB 的面积． 借助面积处理思路（公式，割补，转化）和坐标系问题处理原则（横平竖直的线等），小明是这样思考的：1. 过点P 作PM ∥y 轴交AB 于一点M ，如图所示， 此时△P AB 被分割成△PMA 和△PMB ，PAB PMA PMB S S S =+△△△2. 表达△PMA 和△PMB 面积，要利用好坐标，考虑 把PM 当作公共的底（竖直放置，易表达）， 分别过点A ，B 作PM 的垂线，如图所示，此时121122PMA PMB S PM h S PM h =⋅⋅=⋅⋅△△，3. 将目标表达并初步化简121211221()2PAB PMA PMBS S S PM h PM h PM h h =+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+△△△ 4. 注意到h 1，h 2是两条水平的线，可以拼接在一起，如图所示，此时h 1+h 2即是A ，B 的水平距离，即h 1+h 2=x B -x A ，代入上一步公式121211221()21()2PAB PMA PMBB A S S S PM h PM h PM h h PM x x =+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+=⋅⋅-△△△那么，小明就找到了一个求坐标系下斜放置的三角形的面积公式． 铅垂法求坐标系下斜放置的三角形面积的操作步骤： ①过一点作铅垂线（平行于y 轴的线）； ②达横平竖直的线段长； ③入公式表达面积．巩固练习1.如图，点A是直线y=2x上一点，横坐标为3，点B和点C在直线12y x上，且横坐标分别为2，6，连接AB，AC，则S△ABC=________．2.如图，直线y=-x+b上两点A(4，-1)，B(m，4)，点P为(6，2)，则S△P AB=____．3.如图，点A(1，4)，B(-2，3)，C(2，-1)，则S△ABC=________．4.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，4)，B(6，OABC的面积为___________．小结：当要表达的斜放置的三角形的三个顶点都是定点时，可以过任意顶点作铅垂线，但具体做题时，需要结合图形特征（比如已知的分割线、表达式，点的特殊位置等），选择合适的点作铅垂线．5.如图，已知点A(2，1)，点B(8，4)，点C是直线AB上方任意一点，且△ABC的面积为36，若C点坐标为(m，2m-3)，则m=________．6.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+1与直线l2：y=kx+3交于点A，两直线分别与x轴交于点B和点C(3，0)，点D是直线AC上一动点，且S△ABD=3，则点D的坐标为_________．小结：当要表达的斜放置的三角形中有动点时，选择从动点作铅垂线，由于另外两点所在直线是固定的，交点表达起来较为简单．。
铅垂法的公式
铅垂法的公式铅垂法是一种测量高度的方法，它基于重力的作用原理。
根据铅垂法的公式，我们可以计算出物体的高度。
我们需要明确一些概念。
在铅垂法中，我们使用铅垂线来测量高度。
铅垂线是一根细长的线，一端系在物体上，另一端垂直下垂。
我们可以通过测量铅垂线的长度来计算物体的高度。
铅垂法的公式如下：h = (l × g) / (2 × π × t^2)其中，h表示物体的高度，l表示铅垂线的长度，g表示重力加速度，t表示铅垂线摆动的周期。
在实际应用中，我们需要测量铅垂线的长度和铅垂线摆动的周期。
铅垂线的长度可以通过使用测量工具，例如卷尺或测量尺，来进行精确测量。
而铅垂线摆动的周期可以通过使用计时器来测量。
在测量过程中，我们需要注意一些细节。
首先，要确保铅垂线是垂直下垂的，这样才能保证测量结果的准确性。
其次，要保持测量环境的稳定，避免外部因素对测量结果的影响。
最后，要进行多次测量，取平均值，以提高测量结果的精确度。
铅垂法的应用广泛。
在建筑工程中，我们可以使用铅垂法来测量建筑物的高度。
在地理测量中，铅垂法可以用于测量地球的形状和重力场的变化。
在物理实验中，铅垂法可以用于测量重力加速度和摆动周期等物理量。
除了铅垂法，还有其他方法可以用于测量高度，例如三角测量法和水平仪法。
每种方法都有其适用的场景和限制。
铅垂法的优点是简单易行，不需要复杂的仪器和设备，适用于各种场合。
然而，它也存在一定的局限性，例如在极地地区和高海拔地区，重力加速度会有所变化，从而影响测量结果的准确性。
铅垂法是一种测量高度的简单有效的方法。
通过使用铅垂法的公式，我们可以计算出物体的高度。
在实际应用中，我们需要注意测量的准确性和环境的稳定性，以确保测量结果的可靠性。
铅垂法在各个领域都有广泛的应用，是一种常用的测量方法。
铅锤高定理公式
铅锤高定理公式
（实用版）
目录
1.铅锤高定理公式的概念
2.铅锤高定理公式的推导过程
3.铅锤高定理公式的应用
正文
1.铅锤高定理公式的概念
铅锤高定理公式，又称为铅垂高度定理公式，是数学领域中一个重要的公式。
这个公式描述了在一个直角三角形中，铅垂线段（即高）与斜边的关系。
具体来说，它表明了在直角三角形中，斜边上的任意一点到对边的距离等于该点到直角边的距离。
2.铅锤高定理公式的推导过程
为了更好地理解铅锤高定理公式，我们可以通过勾股定理来推导它。
假设在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，AC 为一条直角边，BC 为另一条直角边，AB 为斜边，AD 为 BC 边上的高。
根据勾股定理，我们知道：
AB = AC + BC
由于 AD 是 BC 的高，所以有：
AD = AC × BC
将 AC用 AB和 BC表示，得到：
AC = AB - BC
将 AC代入 AD的公式中，得到：
AD = AB × BC
因此，我们证明了在直角三角形中，斜边上的任意一点到对边的距离等于该点到直角边的距离。
3.铅锤高定理公式的应用
铅锤高定理公式在实际生活和数学研究中有广泛的应用。
例如，在解决与直角三角形相关的几何问题时，我们可以利用这个公式来简化计算过程。
此外，在研究相似三角形、解析几何等领域，铅锤高定理公式也发挥着重要作用。
铅锤定理推导
铅锤定理推导
铅锤定理是一种用于解决物理问题的数学方法，它的基本思想是将物
体的运动分解成两个独立的部分，一个是重力作用下的自由落体运动，另一个是在自由落体运动的基础上加上其他因素的影响。
这个方法的
核心在于将问题简化，从而更容易求解。
铅锤定理的推导可以分为以下几个步骤：
1. 将物体的运动分解成两个独立的部分，一个是自由落体运动，另一
个是其他因素的影响。
这个步骤需要根据具体问题来确定，例如在斜
面上滑动的物体可以分解成沿斜面方向的自由落体运动和垂直斜面方
向的运动。
2. 对于自由落体运动，可以利用重力加速度的公式g=9.8m/s^2来求解物体的运动轨迹。
如果物体的初速度为v0，则物体在时间t内的位
移为s=1/2gt^2+v0t。
3. 对于其他因素的影响，可以根据具体情况来确定。
例如在斜面上滑
动的物体，可以考虑斜面的摩擦力和物体的重力对物体的影响。
4. 将自由落体运动和其他因素的影响结合起来，得到物体的总运动轨
迹。
这个步骤需要根据具体问题来确定，例如在斜面上滑动的物体可以将沿斜面方向的自由落体运动和垂直斜面方向的运动结合起来，得到物体在斜面上的运动轨迹。
5. 利用物体的运动轨迹来求解问题。
例如在斜面上滑动的物体，可以利用物体的运动轨迹来求解物体的速度、加速度和滑动距离等问题。
总之，铅锤定理是一种非常实用的数学方法，可以帮助我们更好地理解和解决物理问题。
通过将物体的运动分解成两个独立的部分，我们可以更容易地求解物体的运动轨迹和相关问题，从而更好地理解物理学中的各种现象和规律。
铅锤线的原理
铅锤线的原理铅锤线，也被称为垂线，是在空间中垂直于杆件或链条拉力线的一条直线。
它可以帮助我们确定杆件或链条与地面的交点，而这个交点在结构力学中是非常重要的。
其原理是基于几何学中的垂线公设，也就是两个直线垂直的条件。
铅锤线在结构力学中的应用非常广泛，可以用于确定杆件的挠度、确定杆件受力状态及其稳定性等方面。
在此过程中，需要使用一些基本概念和公式来解决相关问题。
首先，我们需要了解杆件的受力情况。
对于一个杆件，其受力分为两种类型：切向力和法向力。
切向力是指与杆件同方向和相反方向的力，它能够对杆件产生弯曲和扭曲的作用。
而法向力则是指垂直于杆件的力，它能够对杆件产生压缩或拉伸的作用。
我们可以通过受力分析来确定杆件所受的切向力和法向力。
其次，我们需要了解铅锤线的测量方法。
测量铅锤线需要使用一条细线和一个铅球。
首先将铅球绑在细线的一端，然后将另一端绕过杆件，并使它的重心与杆件的轴线平行。
接下来，我们需要调整细线的长度，使铅球完全悬挂在杆件下方，并垂直于杆件的轴线。
最后，通过测量铅球悬挂的位置，我们就可以得到杆件与地面的交点。
最后，我们需要了解如何利用铅锤线来确定杆件所处的受力状态和稳定性。
当一个杆件处于均衡状态时，它所受的合力为零。
这意味着，杆件所受的切向力和法向力必须相互平衡。
因此，当我们测量出铅锤线后，就可以根据杆件形状和所受的载荷，计算出杆件所受的切向力和法向力。
除此之外，铅锤线还可以帮助我们确定杆件挠度。
挠度可以描述杆件的弯曲程度和刚度。
当杆件受到一定载荷时，由于其结构形状和材料的刚度，会产生弯曲。
铅锤线可以帮助我们确定杆件的挠度，从而进一步判断杆件的稳定性。
在结构力学中，铅锤线是非常重要的工具之一。
它可以帮助我们了解杆件受力状态和挠度，为结构设计和维护提供重要的参考依据。
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二次函数-----铅垂线段长度的最大值学习目标
1.认识铅垂线段并掌握铅垂线段的特征
2.掌握求解铅垂线段长度的步骤与方法并求出其最大值学习重点：二次函数求最值的方法
学习难点：在实际问题中，铅垂线段长度的表达式的表示方法及其最大值求解方法
课堂引入：我们在解决有关二次函数的问题时候经常会遇到让我们求解如图所示的线段PQ长度的问题，线段PQ长度应该怎么求解，接下来我们一起来学习
知识铺垫：
①二次函数的顶点式-------------------
②二次函数的顶点坐标公式-------------------
③运用公式法求二次函数最值的步骤：当x=----------------，
Y(最值）=----------------，
合作交流，达成目标 1 观察右图，回答下列问
题
已知P在抛物线上，Q在线段BC上且PQ垂直x轴
①在平面直角坐标系中，什么是铅垂线段？
②铅垂线段的端点坐标的特征是什么？
③如何求解铅垂线段的长度？
合作交流，达成目标2
如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），线段BC上一动点P，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q．设动点P的横坐标为m,当点p在线段BC 上运动时，求PQ长度的最大值
（1）求二次函数的表达式；
（2）求直线BC的表达式
（3）求线段PQ长度的表达式
（4）求解线段PQ长度的最大值
归纳思考：通过以上求解过程，在求解铅垂线段长度的最大值时我们需要提前准备哪些知识和条件？
①需要求解抛物线的表达式
②需要求解动点所在直线的表达式
③需要正确求解铅垂线段长度的表达式
④运用二次函数求最值
当堂检测
1.已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，B（
2.0），C（0.2）在抛物线上，点P是线段BC上一动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q．设动点P的横坐标为a,当点p在线段BC上运动时，求PQ长度的最大值
作业：
如图3，抛物线与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，P 是BC 上方抛物线上一动点，过P 作x 轴垂线交BC 于点Q ，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求PQ 长度的最大值
c bx x y ++-=
2。