第二章方框图及其简化
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U1 ( s) G1 ( s) xi ( s) U 2 ( s) G2 ( s)U1 (s) G2 ( s)G1 (s) xi (s) xo (s) G3 ( s)U 2 ( s) G3 ( s)G2 ( s)G1 ( s) xi (s)
xo ( s) G1 ( s)G2 ( s)G3 ( s) G( s) xi ( s)
1 1 1 1 1 1 U o s R1 C1s R2 C2 s U i s 1 1 1 1 1 1 R1C1s R2C1s R2C2 s R1C1s R2C2 s
1 P Pk k k
Xi
G6
G2
G7
G3
G4
H1
G1
G5
Xo
1 G4 H1 G2G7 H 2 G6G4G5 H 2 G2G3G4G5 H 2 G2G7 H 2 G4 H1
ω
di a (t ) U a (t ) La Ra ia (t ) ed dt
①
ed kd
②
③
④
M (t ) kmia (t )
Jm d (t ) M (t ) M l (t ) dt
U a ( s) ( La s Ra ) I a ( s) Ed ( s) E d ( s ) k d ( s ) M ( s) km I a ( s) J m s( s) M ( s) M l ( s )
2.4 系统的传递函数方框图及其简化
控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构和 信号流向的图解表示法。
2.4.1
方框图元素
（1）函数方框（Block Diagram）:表示输入到输出
单向传输间的函数关系。
t
Xi ( s)
G s) (
Xo( s)
信号线
方框
信号线：带有箭头的直线，箭头表示 信号的流向，在直线旁标记信号象函 数。
＋
C(s)
Q(s)
Q(s) G(s)
C ( s) R( s)G ( s) Q( s) Q( s ) [ R( s ) ]G ( s) G( s)
C ( s) [ R( s) Q( s)]G ( s) R( s)G( s) Q( s)G( s)
图2-26 比较点移动示意图
1 P Pk k k
Ui
1 R1
1
1 C1s
1
1 R2
1 C2 s
1
1 1
Uo
1
1 1 1 1 1 1 R C s R C s R C s R C s R C s 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P 1 R1C1s R2C1s R2C2 s R1C1s R2C2 s R1 C1s R2 C2 s
将图（b）和(c)组合起来即 得到图(d)，图(d)为该一阶 RC网络的方框图。
Ui (s) － Uo (s) （d） I(s)
I(s) （c）
Uo (s)
Uo (s)
例2-2
图示为电枢控制直流电动机的原理图，要求取 电枢电压Ua(t) 为输入量，电动机转速ω（t） 为输出量，列写微分方程。
ua
Ml 电动机
特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s)， 输出C(s)为各环节的输出之和.
G1 (s)
C1 (s) C2 (s) C(s) C3 (s)
C ( s) C1 ( s) C2 (s) C3 ( s) G1 ( s) R(s) G2 ( s) R( s) G3 (s) R( s) [G1 ( s) G2 ( s) G3 (s)]R( s)
k 为第k条前向通路特征式的余 因子，即对于
为流图特征式
1 P Pk k k
b ,c d ,e , f
1 La Lb Lc
a
L L L
d e
f
所有不同回路的 传递函数之和
每两个互不接触回路 每三个互不接触回路 传递函数乘积之和 传递函数乘积之和
R(s) P(s) G2 (s) P(s) 图2-16 分支点示意图 C(s)
G1 (s)
注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。
2.4.2 方框图的绘制
（1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的
微分方程
（2）对各原始方程进行拉氏变换，根据因果
关系将它们用方框（块）表示。 （3）根据各元部件的信号流向，用信号线依 次将各方框连接起来，便可得到系统的方框图。
H2
1 G4 H1 G2G7 H 2 G6G4G5 H 2 G2G3G4G5 H 2 G2G7 H 2G4 H1
X o s G1G2G3G4G5 G1G6G4G5 G1G2G7 1 G4 H1 X i s 1 G4 H1 G2G7 H 2 G6G4G5 H 2 G2G3G4G5 H 2 G2G7 H 2G4 H1
3、反馈连接
xi(s)
E(s) ＋ － B(s)
G(s) H(s)
xo(s)
（a）
(1)前向通路传递函数：输出Xo(s)与偏差E(s)之比
X o (s) G ( s) E (s)
(2)反馈回路传递函数 ：主反馈信号B(s)与输出信号Xo(s)之比。
B( s) H (s) X o (s)
(3)开环传递函数 :主反馈信号B(s)与偏差信号E(s)之比 xi ( s )
＋ － E(s) B(s)
G(s)
xo (s)
H(s)
（a）
B( s ) Gk ( s) G( s) H ( s) E ( s)
(4)闭环传递函数 :输出信号Xo(s)与输入信号Xi(s)之比。
X o ( s) G( s) GB ( s) X i ( s) 1 H (s)G( s)
P G1G2G3G4G5 1 1 1 P2 G1G6G4G5 2 1 P3 G1G2G7
系统方块图-也是系统数学模型的一种。
例2-8 画出下列RC电路的方块图。
R
解：
ui
ui iR uo idt uo c
对其进行拉氏变换得：
i
C （a）
uo
(1) U i ( s ) I ( s ) R U o ( s ) U ( s ) I ( s ) (2) o sC
图2-27 分支点移动示意图
相邻相加点的移动
相邻分支点的移动
相邻的分支点和相加点不能随便换位
例：
Xi(S)
G2 1 G1G2G3
XO(S)
例：
1/G1
Xi(S)
G1G2G3 1 G1G2 H1 G2G3 H 2 G1G2G3
XO(S)
前向通道传递函数之积 GB (s) 1 (每一反馈回路开环传递 函数)
推导
X i s
E s
Gs
X i s + B s E s E s G s X o s s X o s H s Bs Xo
+- Bs
X i s
H s
s
X o s
G( s) Gi ( s)
i 1 n
n为相串联的环节数
结论：串联环节的等效传递函数 等于所有传递函数的乘积。
2、并联连接
G1 (s) R(s) C2 (s) G2 (s) G3 (s) （a） C3 (s) C1 (s) C(s)
R(s) G(s) （b）
C(s)
图2-24 环节的并联连接
R(s)
G(s)
C(s) C(s)
Βιβλιοθήκη BaiduR(s)
G(s)
分支点（引出点）后移
分支点（引出点）前移
R(s)
R(s) G(s) G(s) C(s) C(s)
G(s) R(s) R(s) C(s)
1 R( s) R( s)G( s) R( s ) 右 G( s)
C (s) R(s)G(s) 左
使用条件：(1)只有一条前向通道
（2）各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框
例：
H2G3
系统信号流图及梅逊公式 信号流图是控制系统的另一种图 形表示，与方块图有类似之处，可以 将系统函数方块图转化为信号流图， 并据此采用梅逊公式求出系统的传递 函数。
X i s
X i s
X o s 沿支路箭头方向穿过各相连支路 Gs 的路径称为通路。从输入节点到输出 节点代表物理量，具体为： H s 节点的通路上通过任何节点不多于一 （1）输入量和输出量； 信号流图中的网络是由 次的通路称为前向通路，起点与终点 （2）信号分支点的物理量； 一些支路将一些节点连接起 重合且与任何节点相交不多于一次的 来组成的。 （3）信号比较点输出端的物理量。 通路称为回路。 混合节点 E s G s X o s X o s
1 1
E s
输入节点 （源点）
H s
输出节点 支路上的箭头表明了信 （阱点） 号的流向，各支路上还标明 了增益，即支路上的传递函 数。
从输入变量到输出变量的系统传 流图的特征式 ，将与第k条前向通路相接触的回 递函数可由梅逊公式求得： 第k条前向通路 系统总传递函数
路传递函数代以零值， 的传递函数 k 余下的即为
（2）相加点（比较点、综合点）Summing Point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。
“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。
Υ1
+ +
Υ 1+Υ 2
Υ
1
Υ
3
Υ 1-Υ 2+Υ 3
-
Υ2
Υ2
注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。
(3)分支点（引出点、测量点）Branch Point 表示同一信号向不同方向传递
R(s)
G2 (s) G3 (s) （a）
G ( s ) Gi ( s )
i 1 n
C ( s) G1 ( s) G2 ( s) G3 ( s) G ( s) R( s )
n为相并联的环节数，当然还有“-”的情况。
结论：并联环节的等效传递函数等于 所有并联环节传递函数的代数和。
1、串联连接
xi ( s)
G1 (s)
U1 (s)
G2 (s)
U 2 ( s) G3 (s)
( xo s)
Xi ( s) G s) ( （b）
Xo( s)
（a）
图2-23 环节的串联连接
xi ( s)
G1 (s)
U1 (s) （a）
G2 (s)
U 2 ( s) G3 (s)
( xo s)
特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。
U i ( s) U o ( s) I ( s) R I ( s) U o ( s) sC
(1) (2)
U i ( s) U o ( s) I ( s) R I ( s) U o ( s) sC
(1) (2)
Ui (s)
-
I(s)
Uo (s) （b）
U a ( s) ( La s Ra ) I a ( s) Ed ( s) E d ( s ) k d ( s ) M ( s) km I a ( s) J m s( s) M ( s) M l ( s )
1 I a (s) (U a ( s ) Ed ( s )) ( La s Ra ) Ed ( s ) k d ( s ) M (s) km I a (s) 1 ( s ) ( M ( s ) M l ( s )) Jms
2.4.4 方块图的简化——等效变换 为了由系统的方块图方便地写出它的闭环传递函 数，通常需要对方块图进行等效变换。方块图的等效 变换必须遵守一个原则，即变换前后各变量之间的传 递函数保持不变。在控制系统中，任何复杂系统主要 由响应环节的方块经串联、并联和反馈三种基本形式 连接而成。三种基本形式的等效法则一定要掌握。
联立并削去 中间变量
X o s Gs s X i s 1 Gs H s -
4、比较点和分支点（引出点）的移动
R(s) G(s)
＋
R(s)
G(s) 比较点前移
＋
C(s) Q(s)
C(s) 比较点后移 Q(s)
R(s) G(s)
＋
C(s)
R(s) G(s)
xo ( s) G1 ( s)G2 ( s)G3 ( s) G( s) xi ( s)
1 1 1 1 1 1 U o s R1 C1s R2 C2 s U i s 1 1 1 1 1 1 R1C1s R2C1s R2C2 s R1C1s R2C2 s
1 P Pk k k
Xi
G6
G2
G7
G3
G4
H1
G1
G5
Xo
1 G4 H1 G2G7 H 2 G6G4G5 H 2 G2G3G4G5 H 2 G2G7 H 2 G4 H1
ω
di a (t ) U a (t ) La Ra ia (t ) ed dt
①
ed kd
②
③
④
M (t ) kmia (t )
Jm d (t ) M (t ) M l (t ) dt
U a ( s) ( La s Ra ) I a ( s) Ed ( s) E d ( s ) k d ( s ) M ( s) km I a ( s) J m s( s) M ( s) M l ( s )
2.4 系统的传递函数方框图及其简化
控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构和 信号流向的图解表示法。
2.4.1
方框图元素
（1）函数方框（Block Diagram）:表示输入到输出
单向传输间的函数关系。
t
Xi ( s)
G s) (
Xo( s)
信号线
方框
信号线：带有箭头的直线，箭头表示 信号的流向，在直线旁标记信号象函 数。
＋
C(s)
Q(s)
Q(s) G(s)
C ( s) R( s)G ( s) Q( s) Q( s ) [ R( s ) ]G ( s) G( s)
C ( s) [ R( s) Q( s)]G ( s) R( s)G( s) Q( s)G( s)
图2-26 比较点移动示意图
1 P Pk k k
Ui
1 R1
1
1 C1s
1
1 R2
1 C2 s
1
1 1
Uo
1
1 1 1 1 1 1 R C s R C s R C s R C s R C s 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P 1 R1C1s R2C1s R2C2 s R1C1s R2C2 s R1 C1s R2 C2 s
将图（b）和(c)组合起来即 得到图(d)，图(d)为该一阶 RC网络的方框图。
Ui (s) － Uo (s) （d） I(s)
I(s) （c）
Uo (s)
Uo (s)
例2-2
图示为电枢控制直流电动机的原理图，要求取 电枢电压Ua(t) 为输入量，电动机转速ω（t） 为输出量，列写微分方程。
ua
Ml 电动机
特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s)， 输出C(s)为各环节的输出之和.
G1 (s)
C1 (s) C2 (s) C(s) C3 (s)
C ( s) C1 ( s) C2 (s) C3 ( s) G1 ( s) R(s) G2 ( s) R( s) G3 (s) R( s) [G1 ( s) G2 ( s) G3 (s)]R( s)
k 为第k条前向通路特征式的余 因子，即对于
为流图特征式
1 P Pk k k
b ,c d ,e , f
1 La Lb Lc
a
L L L
d e
f
所有不同回路的 传递函数之和
每两个互不接触回路 每三个互不接触回路 传递函数乘积之和 传递函数乘积之和
R(s) P(s) G2 (s) P(s) 图2-16 分支点示意图 C(s)
G1 (s)
注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。
2.4.2 方框图的绘制
（1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的
微分方程
（2）对各原始方程进行拉氏变换，根据因果
关系将它们用方框（块）表示。 （3）根据各元部件的信号流向，用信号线依 次将各方框连接起来，便可得到系统的方框图。
H2
1 G4 H1 G2G7 H 2 G6G4G5 H 2 G2G3G4G5 H 2 G2G7 H 2G4 H1
X o s G1G2G3G4G5 G1G6G4G5 G1G2G7 1 G4 H1 X i s 1 G4 H1 G2G7 H 2 G6G4G5 H 2 G2G3G4G5 H 2 G2G7 H 2G4 H1
3、反馈连接
xi(s)
E(s) ＋ － B(s)
G(s) H(s)
xo(s)
（a）
(1)前向通路传递函数：输出Xo(s)与偏差E(s)之比
X o (s) G ( s) E (s)
(2)反馈回路传递函数 ：主反馈信号B(s)与输出信号Xo(s)之比。
B( s) H (s) X o (s)
(3)开环传递函数 :主反馈信号B(s)与偏差信号E(s)之比 xi ( s )
＋ － E(s) B(s)
G(s)
xo (s)
H(s)
（a）
B( s ) Gk ( s) G( s) H ( s) E ( s)
(4)闭环传递函数 :输出信号Xo(s)与输入信号Xi(s)之比。
X o ( s) G( s) GB ( s) X i ( s) 1 H (s)G( s)
P G1G2G3G4G5 1 1 1 P2 G1G6G4G5 2 1 P3 G1G2G7
系统方块图-也是系统数学模型的一种。
例2-8 画出下列RC电路的方块图。
R
解：
ui
ui iR uo idt uo c
对其进行拉氏变换得：
i
C （a）
uo
(1) U i ( s ) I ( s ) R U o ( s ) U ( s ) I ( s ) (2) o sC
图2-27 分支点移动示意图
相邻相加点的移动
相邻分支点的移动
相邻的分支点和相加点不能随便换位
例：
Xi(S)
G2 1 G1G2G3
XO(S)
例：
1/G1
Xi(S)
G1G2G3 1 G1G2 H1 G2G3 H 2 G1G2G3
XO(S)
前向通道传递函数之积 GB (s) 1 (每一反馈回路开环传递 函数)
推导
X i s
E s
Gs
X i s + B s E s E s G s X o s s X o s H s Bs Xo
+- Bs
X i s
H s
s
X o s
G( s) Gi ( s)
i 1 n
n为相串联的环节数
结论：串联环节的等效传递函数 等于所有传递函数的乘积。
2、并联连接
G1 (s) R(s) C2 (s) G2 (s) G3 (s) （a） C3 (s) C1 (s) C(s)
R(s) G(s) （b）
C(s)
图2-24 环节的并联连接
R(s)
G(s)
C(s) C(s)
Βιβλιοθήκη BaiduR(s)
G(s)
分支点（引出点）后移
分支点（引出点）前移
R(s)
R(s) G(s) G(s) C(s) C(s)
G(s) R(s) R(s) C(s)
1 R( s) R( s)G( s) R( s ) 右 G( s)
C (s) R(s)G(s) 左
使用条件：(1)只有一条前向通道
（2）各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框
例：
H2G3
系统信号流图及梅逊公式 信号流图是控制系统的另一种图 形表示，与方块图有类似之处，可以 将系统函数方块图转化为信号流图， 并据此采用梅逊公式求出系统的传递 函数。
X i s
X i s
X o s 沿支路箭头方向穿过各相连支路 Gs 的路径称为通路。从输入节点到输出 节点代表物理量，具体为： H s 节点的通路上通过任何节点不多于一 （1）输入量和输出量； 信号流图中的网络是由 次的通路称为前向通路，起点与终点 （2）信号分支点的物理量； 一些支路将一些节点连接起 重合且与任何节点相交不多于一次的 来组成的。 （3）信号比较点输出端的物理量。 通路称为回路。 混合节点 E s G s X o s X o s
1 1
E s
输入节点 （源点）
H s
输出节点 支路上的箭头表明了信 （阱点） 号的流向，各支路上还标明 了增益，即支路上的传递函 数。
从输入变量到输出变量的系统传 流图的特征式 ，将与第k条前向通路相接触的回 递函数可由梅逊公式求得： 第k条前向通路 系统总传递函数
路传递函数代以零值， 的传递函数 k 余下的即为
（2）相加点（比较点、综合点）Summing Point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。
“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。
Υ1
+ +
Υ 1+Υ 2
Υ
1
Υ
3
Υ 1-Υ 2+Υ 3
-
Υ2
Υ2
注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。
(3)分支点（引出点、测量点）Branch Point 表示同一信号向不同方向传递
R(s)
G2 (s) G3 (s) （a）
G ( s ) Gi ( s )
i 1 n
C ( s) G1 ( s) G2 ( s) G3 ( s) G ( s) R( s )
n为相并联的环节数，当然还有“-”的情况。
结论：并联环节的等效传递函数等于 所有并联环节传递函数的代数和。
1、串联连接
xi ( s)
G1 (s)
U1 (s)
G2 (s)
U 2 ( s) G3 (s)
( xo s)
Xi ( s) G s) ( （b）
Xo( s)
（a）
图2-23 环节的串联连接
xi ( s)
G1 (s)
U1 (s) （a）
G2 (s)
U 2 ( s) G3 (s)
( xo s)
特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。
U i ( s) U o ( s) I ( s) R I ( s) U o ( s) sC
(1) (2)
U i ( s) U o ( s) I ( s) R I ( s) U o ( s) sC
(1) (2)
Ui (s)
-
I(s)
Uo (s) （b）
U a ( s) ( La s Ra ) I a ( s) Ed ( s) E d ( s ) k d ( s ) M ( s) km I a ( s) J m s( s) M ( s) M l ( s )
1 I a (s) (U a ( s ) Ed ( s )) ( La s Ra ) Ed ( s ) k d ( s ) M (s) km I a (s) 1 ( s ) ( M ( s ) M l ( s )) Jms
2.4.4 方块图的简化——等效变换 为了由系统的方块图方便地写出它的闭环传递函 数，通常需要对方块图进行等效变换。方块图的等效 变换必须遵守一个原则，即变换前后各变量之间的传 递函数保持不变。在控制系统中，任何复杂系统主要 由响应环节的方块经串联、并联和反馈三种基本形式 连接而成。三种基本形式的等效法则一定要掌握。
联立并削去 中间变量
X o s Gs s X i s 1 Gs H s -
4、比较点和分支点（引出点）的移动
R(s) G(s)
＋
R(s)
G(s) 比较点前移
＋
C(s) Q(s)
C(s) 比较点后移 Q(s)
R(s) G(s)
＋
C(s)
R(s) G(s)