无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
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Basic Science 基础科学
无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
王难烂 武汉科技大学理学院 ， 湖北武汉 430065 摘 要 随着我国计算力学的快速发展 ， 无网格方法已经成为固体力学计算领域中较为经典的方法 ， 已经得到了 诸多学者的关注 ， 诞生了很多优秀的算法。本文详细的介绍了无网格伽辽金方法的基本原理 ， 同时将其应用于尖端 裂纹应力计算 ， 对其核心问题加以研究 ， 包括为最小二乘近似引入扩展的基函数、处理不连续域的基本方法等。 关 键 词 固体力学 ； 无网格 ； 最小二乘 ； 基函数 中图分类号 O302 文献标识码 A 文章编号 1674-6708（2013）82-0103-02
0 引言
随着科学技术的不断发展和前进 ， 在计算力学领域中 ， 无 网格方法脱颖而出。由于无网格方法拥有超强的计算数值的生 命力 ， 摆脱了网格单元 ， 仅需详细的节点信息 ， 因此 ， 在工程 应用中倍受青睐 ， 特别是无网格方法可以以精度高、处理过程 简单等方法处理不连续问题。现在面临的最大问题是 ， 无网格 方法还只是在研究阶段 ， 渴望得到更大更深层次的研究。发展 比较早的边界元法和有限元法等数值方法 ， 虽然技术已经相对 成熟 ， 拥有了自己的商用软件 ， 但是在处理诸如形状优化问题、 非线性问题等复杂的工程问题时还是显得力不从心 ， 困难多多。 当前已经研发出一部分的网格自动生成器 ， 但是在处理复 杂的几何模型时 ， 计算成本投入非常昂贵 ， 使用的普及率低。 为了降低投入成本 ， 人们希望研究出一种脱离网格单元的数值 方法 ， 在探索研究的过程中 ， 无网格方法应运而生。无网格方 法备受关注的原因在于其所具有的最大优势—节点离散。根据 笔者多年的研究经验 ， 简单论述了无网格方法的成长史 ， 并详 细分析了当前无网格方法的具体应用情况和研究方法 ， 为无网 格方法的进一步发展尽自己的一点微薄之力。
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θ
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θ
1 无网格伽辽金方法
最近几年出现了一种和有限元法及其相近的一种数值方 法， 它就是无网格伽辽金法 [1]。这种方法拥有后处理简单易行、 精度高、收敛快、能够消除体积闭锁现象等优势。无网格伽辽 金法在构造形函数中使用了移动最小二乘法 ， 并在能量泛函的 弱变形式中得出控制方程 ， 同时沿用了拉式乘子以达到其本证 但是 条件 ， 最终得出偏微分方程的数值解 [2]。虽然优势多多 ， 还存在比较明显的缺点， 例如无网格伽辽金法不便于求解方程， 求解速度慢 ， 耗费的时间长等。需要强点的一点是 ， 无网格伽 辽金法不是一个完全的无网格 ， 他的位移函数虽然已经摆脱了 网格 ， 但是如果达到实现区域积分还是要依靠背景网格 [3]。为 了有效的解决这个问题 ， 面向对象的无网格伽辽金法由此被提 出。面向对象的无网格伽辽金法使用了 Schmidt 法 ， 此方法可 以帮助无网格伽辽金法形函数的基函数实现正交化 ， 在提高了 计算精度的同时也省去了形函数中矩阵求逆运算 ， 发挥了一举 两得的作用。
与扩展前的线性基函数相比 ， 并没有增加未知节点量 ， 同 时该方法的优点是大大的增加了基函数的项数 ， 因此大大增加 了最小二乘近似中的矩阵规模 ， 也即是增加了最小二乘的求解 时间 ， 同时 ， 由于增加了基函数的项数 ， 为了保证矩阵的非奇 异性 ， 处理混合型裂纹时 ， 还需要添加其他的相关函数项。 2.2 无网格法处理不连续域的方法 在实际应用中 ， 由于会遇到一些不连续的域 ， 尤其是在裂 纹两侧的位移场 ， 同时无网格伽辽金方法在构造形函数时 ， 是 基于求解域覆盖的节点而生成的 ， 因此 ， 无网格伽辽金方法在 计算裂纹体应力场的关键问题是解决裂纹对积分点的支持域的 连续性 ， 当前 ， 人们通常使用的解决方法分别是衍射准则、可 视准则和透视准则。 透视准则和衍射准则本质上基于同样的原理 ， 考虑裂纹的 隔离作用 ， 因此在计算时增加节点的权函数域半径 ， 衍射准则 的增加方法是 :
2 无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
目前 ， 无网格伽辽金法已经在固体力学应用广泛 ， 本文基 于笔者多年的经验 ， 详细的研究了无网格伽辽金法在计算裂纹 问题时的应用原理。 2.1 引入扩展基函数的移动最小二乘近似 根据断裂力学可以得到裂纹尖端的应力场具有
1 r
透视准则的增加方法是 : λ （4） sc (x) + s0 (x) dl =d ml s− c
s +s (x) dl = 1 2 s0 (x) （3） s0 (通常为 1 和 2， 参数 dml 表示 节点的影响域半径。可视准则引入了不真实的连续性 ， 因此在 这里就不做介绍。
3 结论
的奇异 随着计算力学的快速发展 ， 在未来时间内 ， 无网格方法必 将得到更多的关注 ， 尤其是无网格伽辽金方法 ， 在固体力学计
基函数的移动最小二乘模拟该奇异性时非常困难 ， 同时 ， 由于 最小二乘的基函数可以使用各种类型的函数 ， 最小二乘近似可 以精确的重构包含在基函数中的任一项 ， 因此 ， 把 r 作为基 函数引入最小二乘近似中 ， 可以大幅度提高计算精度 ， 另外 ， 同理 ， 在最小 应力分布和裂纹尖端的位移是角 θ 的目的函数 ， 此时可以将基函数分为完全 二乘近似中引入角 θ 的目的函数 ， 扩展基函数和部分扩展基函数 [4]。 所谓部分扩展基函数是将线性基函数扩展改写为 :
P T ( x )=[1,x,y] （1）
-
由于裂纹尖端的应力场是和角度有关系的连续函数 ， 并且 在径向上时奇异的 ， 因此可以使用部分扩展基函数。 所谓完全基函数是为位移函数空间的所有函数引入基函 数， 此时就可以将线性基函数 P T ( x )=[1,x,y] 改写为 :
P T ( x )=[1,x,y, r cos , r sin , r sin sin θ , r cos sin θ ] （2） 2 2 2 2
无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
王难烂 武汉科技大学理学院 ， 湖北武汉 430065 摘 要 随着我国计算力学的快速发展 ， 无网格方法已经成为固体力学计算领域中较为经典的方法 ， 已经得到了 诸多学者的关注 ， 诞生了很多优秀的算法。本文详细的介绍了无网格伽辽金方法的基本原理 ， 同时将其应用于尖端 裂纹应力计算 ， 对其核心问题加以研究 ， 包括为最小二乘近似引入扩展的基函数、处理不连续域的基本方法等。 关 键 词 固体力学 ； 无网格 ； 最小二乘 ； 基函数 中图分类号 O302 文献标识码 A 文章编号 1674-6708（2013）82-0103-02
0 引言
随着科学技术的不断发展和前进 ， 在计算力学领域中 ， 无 网格方法脱颖而出。由于无网格方法拥有超强的计算数值的生 命力 ， 摆脱了网格单元 ， 仅需详细的节点信息 ， 因此 ， 在工程 应用中倍受青睐 ， 特别是无网格方法可以以精度高、处理过程 简单等方法处理不连续问题。现在面临的最大问题是 ， 无网格 方法还只是在研究阶段 ， 渴望得到更大更深层次的研究。发展 比较早的边界元法和有限元法等数值方法 ， 虽然技术已经相对 成熟 ， 拥有了自己的商用软件 ， 但是在处理诸如形状优化问题、 非线性问题等复杂的工程问题时还是显得力不从心 ， 困难多多。 当前已经研发出一部分的网格自动生成器 ， 但是在处理复 杂的几何模型时 ， 计算成本投入非常昂贵 ， 使用的普及率低。 为了降低投入成本 ， 人们希望研究出一种脱离网格单元的数值 方法 ， 在探索研究的过程中 ， 无网格方法应运而生。无网格方 法备受关注的原因在于其所具有的最大优势—节点离散。根据 笔者多年的研究经验 ， 简单论述了无网格方法的成长史 ， 并详 细分析了当前无网格方法的具体应用情况和研究方法 ， 为无网 格方法的进一步发展尽自己的一点微薄之力。
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1 无网格伽辽金方法
最近几年出现了一种和有限元法及其相近的一种数值方 法， 它就是无网格伽辽金法 [1]。这种方法拥有后处理简单易行、 精度高、收敛快、能够消除体积闭锁现象等优势。无网格伽辽 金法在构造形函数中使用了移动最小二乘法 ， 并在能量泛函的 弱变形式中得出控制方程 ， 同时沿用了拉式乘子以达到其本证 但是 条件 ， 最终得出偏微分方程的数值解 [2]。虽然优势多多 ， 还存在比较明显的缺点， 例如无网格伽辽金法不便于求解方程， 求解速度慢 ， 耗费的时间长等。需要强点的一点是 ， 无网格伽 辽金法不是一个完全的无网格 ， 他的位移函数虽然已经摆脱了 网格 ， 但是如果达到实现区域积分还是要依靠背景网格 [3]。为 了有效的解决这个问题 ， 面向对象的无网格伽辽金法由此被提 出。面向对象的无网格伽辽金法使用了 Schmidt 法 ， 此方法可 以帮助无网格伽辽金法形函数的基函数实现正交化 ， 在提高了 计算精度的同时也省去了形函数中矩阵求逆运算 ， 发挥了一举 两得的作用。
与扩展前的线性基函数相比 ， 并没有增加未知节点量 ， 同 时该方法的优点是大大的增加了基函数的项数 ， 因此大大增加 了最小二乘近似中的矩阵规模 ， 也即是增加了最小二乘的求解 时间 ， 同时 ， 由于增加了基函数的项数 ， 为了保证矩阵的非奇 异性 ， 处理混合型裂纹时 ， 还需要添加其他的相关函数项。 2.2 无网格法处理不连续域的方法 在实际应用中 ， 由于会遇到一些不连续的域 ， 尤其是在裂 纹两侧的位移场 ， 同时无网格伽辽金方法在构造形函数时 ， 是 基于求解域覆盖的节点而生成的 ， 因此 ， 无网格伽辽金方法在 计算裂纹体应力场的关键问题是解决裂纹对积分点的支持域的 连续性 ， 当前 ， 人们通常使用的解决方法分别是衍射准则、可 视准则和透视准则。 透视准则和衍射准则本质上基于同样的原理 ， 考虑裂纹的 隔离作用 ， 因此在计算时增加节点的权函数域半径 ， 衍射准则 的增加方法是 :
2 无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
目前 ， 无网格伽辽金法已经在固体力学应用广泛 ， 本文基 于笔者多年的经验 ， 详细的研究了无网格伽辽金法在计算裂纹 问题时的应用原理。 2.1 引入扩展基函数的移动最小二乘近似 根据断裂力学可以得到裂纹尖端的应力场具有
1 r
透视准则的增加方法是 : λ （4） sc (x) + s0 (x) dl =d ml s− c
s +s (x) dl = 1 2 s0 (x) （3） s0 (通常为 1 和 2， 参数 dml 表示 节点的影响域半径。可视准则引入了不真实的连续性 ， 因此在 这里就不做介绍。
3 结论
的奇异 随着计算力学的快速发展 ， 在未来时间内 ， 无网格方法必 将得到更多的关注 ， 尤其是无网格伽辽金方法 ， 在固体力学计
基函数的移动最小二乘模拟该奇异性时非常困难 ， 同时 ， 由于 最小二乘的基函数可以使用各种类型的函数 ， 最小二乘近似可 以精确的重构包含在基函数中的任一项 ， 因此 ， 把 r 作为基 函数引入最小二乘近似中 ， 可以大幅度提高计算精度 ， 另外 ， 同理 ， 在最小 应力分布和裂纹尖端的位移是角 θ 的目的函数 ， 此时可以将基函数分为完全 二乘近似中引入角 θ 的目的函数 ， 扩展基函数和部分扩展基函数 [4]。 所谓部分扩展基函数是将线性基函数扩展改写为 :
P T ( x )=[1,x,y] （1）
-
由于裂纹尖端的应力场是和角度有关系的连续函数 ， 并且 在径向上时奇异的 ， 因此可以使用部分扩展基函数。 所谓完全基函数是为位移函数空间的所有函数引入基函 数， 此时就可以将线性基函数 P T ( x )=[1,x,y] 改写为 :
P T ( x )=[1,x,y, r cos , r sin , r sin sin θ , r cos sin θ ] （2） 2 2 2 2