2016年高考理科数学试题全国卷2及解析word完美版
(完整word版)2016全国二卷理科数学高考真题及答案
2016年全国高考理科数学试题全国卷2一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知z=(m+3)+(m –1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(–3,1) B ．(–1,3) C ．(1,+∞) D ．(–∞,–3) 2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x –2)<0，x ∈Z}，则A ∪B=( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{–1,0,1,2,3} 3、已知向量a =(1,m)，b =(3,–2)，且(a +b )⊥b ，则m=( ) A ．–8 B ．–6 C ．6 D ．8 4、圆x 2+y 2–2x –8y+13=0的圆心到直线ax+y –1=0的距离为1，则a=( ) A ．–43 B ．–34 C ． 3 D ．25、如下左1图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A ．24 B ．18 C ．12 D ．96、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π7、若将函数y=2sin2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A ．x=kπ2–π6(k ∈Z) B ．x=kπ2+π6(k ∈Z) C ．x=kπ2–π12(k ∈Z) D ．x=kπ2+π12(k ∈Z)8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。
执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=( )A ．7B ．12C ．17D ．34 9、若cos(π4–α)=35，则sin2α= ( )A ．7B ．1C ．–1D ．–7中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．2m n11、已知F 1、F 2是双曲线E ：x 2a 2–y 2b 2=1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为( )A ． 2B ．32 C ．3 D ．212、已知函数f(x)(x ∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=x+1x 与y=f(x)图像的交点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，...(x m ,y m )，则1()miii x y =+=∑( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA=45，cosC=513，a=1，则b=___________． 14、α、β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：(1)如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β。
2016年高考理科数学全国卷2(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页） 数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、西藏注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,{0}1,2M =,2{|320}N x x x =-+≤,则M N = ( )A .{1}B .{2}C .{0,1}D .{1,2}2.设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称,12i z =+,则12z z =( )A .5-B .5C .4i -+D .4i -- 3.设向量a ,b 满足|a +b||a -b|=则a b =( )A .1B .2C .3D .5 4.钝角三角形ABC △的面积是12,1AB =,BC =,则AC =( )A .5BC .2D .15.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A .0.8B .0.75C .0.6D .0.456.如图,网格纸上正方形小格的边长为1（表示1 cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm ,高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A .1727B .59 C .1027D .137.执行如图的程序框图,如果输入的x ,t 均为2,则输出的S =( )A .4B .5C .6D .7 8.设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =,则a =( ) A .0 B .1 C .2D .39.设x ,y 满足约束条件70,310,350,x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥则2z x y =-的最大值为( )A .10B .8C .3D .210.设F 为抛物线C ：23y x =的焦点,过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点,O 为坐标原点,则OAB △的面积为 ( )ABC .6332D .94 11.直三棱柱111ABC A B C -中,90BCA ∠=,M ,N 分别是11A B ,11AC 的中点,1BC CA CC ==,则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A .110B .25 CD12.设函数π()3sin x f x m,若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<,则m 的取值范围是( )A .(,6)(6,)-∞-+∞B .(,4)(4,)-∞-+∞C .(,2)(2,)-∞-+∞D .(,1)(1,)-∞-+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.10()x a +的展开式中,7x 的系数为15,则a = （用数字填写答案）. 14.函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为 .15.已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减,(2)0f =,若(1)0f x ->,则x 的取值范围是 .16.设点0(,1)M x ,若在圆O ：221x y +=上存在点N ,使得45OMN ∠=,则0x 的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =,131n n aa +=+.（Ⅰ）证明：1{}2n a +是等比数列,并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1211132n a a a ++⋅⋅⋅+<.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页）18.（本小题满分12分）如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D AE C --为60,1AP =,AD =求三棱锥E ACD -的体积.19.（本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()ˆ()nii i ni i tt y y bt t ==--=-∑∑,ˆˆay bt =-.20.（本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点,M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N . （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2,且1||5||MN F N =,求a ,b .21.（本小题满分12分）已知函数()e e 2x xf x x -=--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()(2)4()g x f x bf x =-,当0x >时,()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.4142 1.4143<,估计ln2的近似值（精确到0.001）.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时填写试题号.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,P 是O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线PBC 与O 相交于点B ,C ,2PC PA =,D 为PC 的中点,AD 的延长线交O 于点E .证明：（Ⅰ）BE EC =； （Ⅱ）22AD DE PB =.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l ：2y +垂直,根据（Ⅰ）中你得到的参数方程,确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数1()||(0)f x x x a a a =++->.（Ⅰ）证明：()2f x ≥；（Ⅱ）若(3)5f <,求a 的取值范围.3 / 132016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）【解析】集合A B {0,1,2,3}=A B 的值．【解析】向量a(4,m)，b(3,2)-，a b (4,m ∴+=-又(a b)b +⊥，12∴-【提示】求出向量a b +的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m 的方程，解得答案．【解析】输入的数学试卷第10页（共39页）数学试卷第11页（共39页）数学试卷第12页（共39页）5 / 13：πcos 4⎛- ⎝：π2cos 4⎛⎫-α= ⎝【提示】方法1：利用诱导公式化22π1n 1，π∴=解得e 2=．1数学试卷第16页（共39页）数学试卷第17页（共39页）数学试卷第18页（共39页）（Ⅰ）某保险的基本保费为7 / 13数学试卷 第22页（共39页）数学试卷 第23页（共39页） 数学试卷 第24页（共39页）（Ⅰ）ABCD 是菱形，AC BD ⊥，则，AC 6=，AEOD 1AO=，则， ，又OHEF H =，为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，AB 5=，C(1,3,0)，D (0,0,3)'，AB (4,3,0)=，AD (1,3,3)'=-，AC (0,6,0)=，设平面的一个法向量为n (x,y,z)=11n AB 0n AD 0⎧=⎪⎨'=⎪⎩，得3y 03y 3z 0=⎧⎨+=3=，得n (3,4,5)∴=-同理可求得平面AD '的一个法向量n (3,01)=,的平面角为θ，122n n 9255210n n +==，∴二面角9 / 13为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到AB 、AD '、AC的一个法向量n 、n ，设二面角221234k +，由2212121k 413k 341kk =+⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由AM =22212121k434k 3k k=+++， 整理可得2(k 1)(4k k 4)0--+=，由24k -212144134⎫=⎪+⎭轴对称，由MA ⊥数学试卷 第28页（共39页）数学试卷 第29页（共39页） 数学试卷 第30页（共39页）226t 3tk +，26t t 3k k+， AN ，可得2226t 6t 21k 1kt 3tk 3k k+=+++， 整理得26k 3kt -=，由椭圆的焦点在x 轴上，11 / 13 当2)(2,)-+∞2)和(2,-+∞x 2e f (0)=2>x 2e a 2⎫+⎪⎭a ∈x x 2(x)e 2-=的值域为t 2e a 2=-，只需t 2e 02≤0，可得t ∈t t 2e e 2t 2=+t e (t +22.【答案】（Ⅰ）DF CE ⊥，Rt DFC Rt EDC ∴△∽△，DF CF ED CD∴=， DE DG =，CD BC =，DF CF DG BC∴=，又GDF DEF BCF ∠=∠=∠， GDF BCF ∴△∽△，CFB DFG ∴∠=∠，GFB GFC CFB GFC DFG DFC 90∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，GFB GCB 180∴∠+∠=，B ∴，C ，G ，F 四点共圆；（Ⅱ）E 为AD 中点，A B 1=，1DG CG DE 2∴===，数学试卷 第34页（共39页）数学试卷 第35页（共39页） 数学试卷 第36页（共39页）∴在Rt DFC △中，1GF CD GC 2==，连接GB ，Rt BCG Rt BFG △≌△， BCG BCGF 111S 2S =21=222∴=⨯⨯⨯△四边形．【提示】（Ⅰ）证明B ，C ，G ，F 四点共圆可证明四边形BCGF 对角互补，由已知条件可知BCD 90∠=，因此问题可转化为证明GFB 90∠=；（Ⅱ）在Rt DFC △中，1GF CD GC ==，因此可得BCG BFG △≌△，则BCG BCGF S 2S =△四边形，据此解答．（Ⅰ）圆，22x ρ=+（Ⅱ）直线x α， l C (6,0)-，13 / 13 【考点】圆的标准方程，直线与圆相交的性质24.【答案】（Ⅰ）当1x 2<-时，不等式f (x)2<可化为：11x x 222---<，解得x 1>-， 11x 2∴-<<-， 当11x 22-≤≤时，不等式f (x)2<可化为：11x x 1222-+-=<，此时不等式恒成立， 11x 22∴-≤≤，当1x 2>时，不等式f (x)2<可化为：11x x 222++-<，解得x 1<， 1x 12∴<<，综上可得M (1,1)=-； （Ⅱ）当a ，b M ∈时，22(a 1)(b 1)0-->，即2222a b 1a b +>+，即2222a b 2ab 1a 2ab b +++>++， 即22(ab 1)(a b)+>+，即a b ab 1+<+．【提示】（Ⅰ）分当1x 2<-时，当11x 22-≤≤时，当1x 2>时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案； （Ⅱ）当a ，b M ∈时，22(a 1)(b 1)0-->，即2222a b 1a b +>+，配方后，可证得结论． 【考点】绝对值不等式的解法。
2016年全国二卷理科数学高考真题与答案解析
2016年全国高考理科数学试题全国卷2一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知z=(m+3)+(m –1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(–3,1) B ．(–1,3) C ．(1,+∞) D ．(–∞,–3) 2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x –2)<0，x ∈Z}，则A ∪B=( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{–1,0,1,2,3} 3、已知向量a =(1,m)，b =(3,–2)，且(a +b )⊥b ，则m=( ) A ．–8 B ．–6 C ．6 D ．84、圆x 2+y 2–2x –8y+13=0的圆心到直线ax+y –1=0的距离为1，则a=( ) A ．–43 B ．–34C ． 3D ．25、如下左1图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A ．24 B ．18 C ．12 D ．96、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π7、若将函数y=2sin2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x=k π2–π6(k ∈Z)B ．x=k π2+π6(k ∈Z)C ．x=k π2–π12(k ∈Z)D ．x=k π2+π12(k ∈Z)8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。
执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=( ) A ．7 B ．12 C ．17 D ．34 9、若cos(π4–α)=35，则sin2α= ( )A ．725B ．15C ．–15D ．–72510、从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．2m n11、已知F 1、F 2是双曲线E ：x 2a 2–y 2b 2=1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为( )A ． 2B ．32C ． 3D ．212、已知函数f(x)(x ∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=x+1x 与y=f(x)图像的交点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，...(x m ,y m )，则1()miii x y =+=∑( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA=45，cosC=513，a=1，则b=___________．14、α、β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：(1)如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β。
2016年高考理科数学全国卷2(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页） 数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、西藏注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,{0}1,2M =,2{|320}N x x x =-+≤,则M N = ( )A .{1}B .{2}C .{0,1}D .{1,2}2.设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称,12i z =+,则12z z =( )A .5-B .5C .4i -+D .4i -- 3.设向量a ,b 满足|a +b||a -b|=则a b =( )A .1B .2C .3D .5 4.钝角三角形ABC △的面积是12,1AB =,BC =,则AC =( )A .5BC .2D .15.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A .0.8B .0.75C .0.6D .0.456.如图,网格纸上正方形小格的边长为1（表示1 cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm ,高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A .1727B .59 C .1027D .137.执行如图的程序框图,如果输入的x ,t 均为2,则输出的S =( )A .4B .5C .6D .7 8.设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =,则a =( ) A .0 B .1 C .2D .39.设x ,y 满足约束条件70,310,350,x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥则2z x y =-的最大值为( )A .10B .8C .3D .210.设F 为抛物线C ：23y x =的焦点,过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点,O 为坐标原点,则OAB △的面积为 ( )ABC .6332D .94 11.直三棱柱111ABC A B C -中,90BCA ∠=,M ,N 分别是11A B ,11AC 的中点,1BC CA CC ==,则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A .110B .25 CD12.设函数π()3sin x f x m,若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<,则m 的取值范围是( )A .(,6)(6,)-∞-+∞B .(,4)(4,)-∞-+∞C .(,2)(2,)-∞-+∞D .(,1)(1,)-∞-+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.10()x a +的展开式中,7x 的系数为15,则a = （用数字填写答案）. 14.函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为 .15.已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减,(2)0f =,若(1)0f x ->,则x 的取值范围是 .16.设点0(,1)M x ,若在圆O ：221x y +=上存在点N ,使得45OMN ∠=,则0x 的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =,131n n aa +=+.（Ⅰ）证明：1{}2n a +是等比数列,并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1211132n a a a ++⋅⋅⋅+<.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页）18.（本小题满分12分）如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D AE C --为60,1AP =,AD =求三棱锥E ACD -的体积.19.（本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()ˆ()nii i ni i tt y y bt t ==--=-∑∑,ˆˆay bt =-.20.（本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点,M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N . （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2,且1||5||MN F N =,求a ,b .21.（本小题满分12分）已知函数()e e 2x xf x x -=--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()(2)4()g x f x bf x =-,当0x >时,()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.4142 1.4143<,估计ln2的近似值（精确到0.001）.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时填写试题号.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,P 是O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线PBC 与O 相交于点B ,C ,2PC PA =,D 为PC 的中点,AD 的延长线交O 于点E .证明：（Ⅰ）BE EC =； （Ⅱ）22AD DE PB =.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l ：2y +垂直,根据（Ⅰ）中你得到的参数方程,确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数1()||(0)f x x x a a a =++->.（Ⅰ）证明：()2f x ≥；（Ⅱ）若(3)5f <,求a 的取值范围.3 / 132016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）【解析】集合A B {0,1,2,3}=A B 的值．【解析】向量a(4,m)，b(3,2)-，a b (4,m ∴+=-又(a b)b +⊥，12∴-【提示】求出向量a b +的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m 的方程，解得答案．【解析】输入的数学试卷第10页（共39页）数学试卷第11页（共39页）数学试卷第12页（共39页）5 / 13：πcos 4⎛- ⎝：π2cos 4⎛⎫-α= ⎝【提示】方法1：利用诱导公式化22π1n 1，π∴=解得e 2=．1数学试卷第16页（共39页）数学试卷第17页（共39页）数学试卷第18页（共39页）（Ⅰ）某保险的基本保费为7 / 13数学试卷 第22页（共39页）数学试卷 第23页（共39页） 数学试卷 第24页（共39页）（Ⅰ）ABCD 是菱形，AC BD ⊥，则，AC 6=，AEOD 1AO=，则， ，又OHEF H =，为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，AB 5=，C(1,3,0)，D (0,0,3)'，AB (4,3,0)=，AD (1,3,3)'=-，AC (0,6,0)=，设平面的一个法向量为n (x,y,z)=11n AB 0n AD 0⎧=⎪⎨'=⎪⎩，得3y 03y 3z 0=⎧⎨+=3=，得n (3,4,5)∴=-同理可求得平面AD '的一个法向量n (3,01)=,的平面角为θ，122n n 9255210n n +==，∴二面角9 / 13为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到AB 、AD '、AC的一个法向量n 、n ，设二面角221234k +，由2212121k 413k 341kk =+⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由AM =22212121k434k 3k k=+++， 整理可得2(k 1)(4k k 4)0--+=，由24k -212144134⎫=⎪+⎭轴对称，由MA ⊥数学试卷 第28页（共39页）数学试卷 第29页（共39页） 数学试卷 第30页（共39页）226t 3tk +，26t t 3k k+， AN ，可得2226t 6t 21k 1kt 3tk 3k k+=+++， 整理得26k 3kt -=，由椭圆的焦点在x 轴上，11 / 13 当2)(2,)-+∞2)和(2,-+∞x 2e f (0)=2>x 2e a 2⎫+⎪⎭a ∈x x 2(x)e 2-=的值域为t 2e a 2=-，只需t 2e 02≤0，可得t ∈t t 2e e 2t 2=+t e (t +22.【答案】（Ⅰ）DF CE ⊥，Rt DFC Rt EDC ∴△∽△，DF CF ED CD∴=， DE DG =，CD BC =，DF CF DG BC∴=，又GDF DEF BCF ∠=∠=∠， GDF BCF ∴△∽△，CFB DFG ∴∠=∠，GFB GFC CFB GFC DFG DFC 90∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，GFB GCB 180∴∠+∠=，B ∴，C ，G ，F 四点共圆；（Ⅱ）E 为AD 中点，A B 1=，1DG CG DE 2∴===，数学试卷 第34页（共39页）数学试卷 第35页（共39页） 数学试卷 第36页（共39页）∴在Rt DFC △中，1GF CD GC 2==，连接GB ，Rt BCG Rt BFG △≌△， BCG BCGF 111S 2S =21=222∴=⨯⨯⨯△四边形．【提示】（Ⅰ）证明B ，C ，G ，F 四点共圆可证明四边形BCGF 对角互补，由已知条件可知BCD 90∠=，因此问题可转化为证明GFB 90∠=；（Ⅱ）在Rt DFC △中，1GF CD GC ==，因此可得BCG BFG △≌△，则BCG BCGF S 2S =△四边形，据此解答．（Ⅰ）圆，22x ρ=+（Ⅱ）直线x α， l C (6,0)-，13 / 13 【考点】圆的标准方程，直线与圆相交的性质24.【答案】（Ⅰ）当1x 2<-时，不等式f (x)2<可化为：11x x 222---<，解得x 1>-， 11x 2∴-<<-， 当11x 22-≤≤时，不等式f (x)2<可化为：11x x 1222-+-=<，此时不等式恒成立， 11x 22∴-≤≤，当1x 2>时，不等式f (x)2<可化为：11x x 222++-<，解得x 1<， 1x 12∴<<，综上可得M (1,1)=-； （Ⅱ）当a ，b M ∈时，22(a 1)(b 1)0-->，即2222a b 1a b +>+，即2222a b 2ab 1a 2ab b +++>++， 即22(ab 1)(a b)+>+，即a b ab 1+<+．【提示】（Ⅰ）分当1x 2<-时，当11x 22-≤≤时，当1x 2>时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案； （Ⅱ）当a ，b M ∈时，22(a 1)(b 1)0-->，即2222a b 1a b +>+，配方后，可证得结论． 【考点】绝对值不等式的解法。
2016年全国二卷理科数学高考真题与答案解析
2016年全国高考理科数学试题全国卷2一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知z=(m+3)+(m –1)i 在复平面对应的点在第四象限，则实数m 的取值围是( ) A ．(–3,1) B ．(–1,3) C ．(1,+∞) D ．(–∞,–3) 2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x –2)<0，x∈Z}，则A∪B=( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{–1,0,1,2,3} 3、已知向量a =(1,m)，b =(3,–2)，且(a +b )⊥b ，则m=( ) A ．–8 B ．–6 C ．6 D ．84、圆x 2+y 2–2x –8y+13=0的圆心到直线ax+y –1=0的距离为1，则a=( ) A ．–43 B ．–34C ． 3D ．25、如下左1图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A ．24 B ．18 C ．12 D ．96、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．20π B．24π C．28π D．32π7、若将函数y=2sin2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x=kπ2–π6(k∈Z) B．x=kπ2+π6(k∈Z) C．x=kπ2–π12(k∈Z) D．x=kπ2+π12(k∈Z)8、中国古代有计算多项式值的九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。
执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=( )A ．7B ．12C ．17D ．34 9、若cos(π4–α)=35，则sin2α= ( )A ．725B ．15C ．–15D ．–72510、从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．2m n11、已知F 1、F 2是双曲线E ：x 2a 2–y 2b 2=1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为( )A ． 2B ．32 C ．3 D ．212、已知函数f(x)(x∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=x+1x与y=f(x)图像的交点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，...(x m ,y m )，则1()miii x y =+=∑( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA=45，cosC=513，a=1，则b=___________．14、α、β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：(1)如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。
(完整word版)2016年新课标全国卷2高考理科数学试题及答案
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知z=（m+3）+（m-1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A.（-3，1）B.（-1，3）C.（1，+∞）D.（-∞，-3）2.已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{-1，0，1，2，3}3.已知向量=（1，m），=（3，-2），且（+）⊥，则m=（）A.-8B.-6C.6D.84.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（）A.-B.-C.D.25.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A.24B.18C.12D.96.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.20πB.24πC.28πD.32π7.若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A.x=-（k∈Z）B.x=+（k∈Z）C.x=-（k∈Z）D.x=+（k∈Z）8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A.7B.12C.17D.349.若cos（-α）=，则sin2α=（）A. B. C.- D.-10.从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）A. B. C. D.11.已知F1，F2是双曲线E：-=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A. B. C. D.212.已知函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=2-f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）=（）A.0B.mC.2mD.4m二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b= ______ ．14.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是 ______ （填序号）15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ______ ．16.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= ______ ．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．18.某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险0 1 2 3 4 ≥5次数保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险0 1 2 3 4 ≥5次数概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．19.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点M，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B-D′A-C的正弦值．20.已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．21.（Ⅰ）讨论函数f（x）=e x的单调性，并证明当x＞0时，（x-2）e x+x+2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．22.如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．23.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．24.已知函数f（x）=|x-|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）（理科）答案和解析【答案】1.A2.C3.D4.A5.B6.C7.B8.C9.D 10.C 11.A 12.B13.14.②③④15.1和316.1-ln217.解：（Ⅰ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．可得a4=4，则公差d=1．a n=n，b n=[lgn]，则b1=[lg1]=0，b11=[lg11]=1，b101=[lg101]=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b10，00=3．数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．18.解：（Ⅰ）∵某保险的基本保费为a（单位：元），上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，∴由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：一续保人本年度的保费高于基本保费的概率：p1=1-0.30-0.15=0.55．（Ⅱ）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，由题意P（A）=0.55，P（AB）=0.10+0.05=0.15，由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出60%的概率：p2=P（B|A）===．（Ⅲ）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：=1.23，∴续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23．19.（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH=，则DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，-3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=-4，z=5．∴．同理可求得平面A D′C的一个法向量，设二面角二面角B-D′A-C的平面角为θ，则|cosθ|=．∴二面角B-D′A-C的正弦值为sinθ=．20.解：（Ⅰ）t=4时，椭圆E的方程为+=1，A（-2，0），直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，解得x=-2或x=-，则|AM|=•|2-|=•，由AN⊥AM，可得|AN|=•=•，由|AM|=|AN|，k＞0，可得•=•，整理可得（k-1）（4k2-k+4）=0，由4k2-k+4=0无实根，可得k=1，即有△AMN的面积为|AM|2=（•）2=；（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，可得（3+tk2）x2+2t k2x+t2k2-3t=0，解得x=-或x=-，即有|AM|=•|-|=•，|AN|═•=•，由2|AM|=|AN|，可得2•=•，整理得t=，由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有＞3，即有＜0，可得＜k＜2，即k的取值范围是（，2）．21.解：（1）证明：f（x）=f'（x）=e x（）=∵当x∈（-∞，-2）∪（-2，+∞）时，f'（x）＞0∴f（x）在（-∞，-2）和（-2，+∞）上单调递增∴x＞0时，＞f（0）=-1即（x-2）e x+x+2＞0（2）g'（x）==a∈[0，1]由（1）知，当x＞0时，f（x）=的值域为（-1，+∞），只有一解使得，t∈[0，2]当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调减；当x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调增；h（a）===记k（t）=，在t∈（0，2]时，k'（t）=＞0，故k（t）单调递增，所以h（a）=k（t）∈（，]．22.（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE，∴Rt△DFC∽Rt△EDC，∴=，∵DE=DG，CD=BC，∴=，又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，∴△GDF∽△BCF，∴∠CFB=∠DFG，∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB+∠GCB=180°，∴B，C，G，F四点共圆．（Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=，∴在Rt△DFC中，GF=CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，∴S四边形BCGF=2S△BCG=2××1×=．23.解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴直线l的一般方程y=tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（-6，0），半径r=5，∴圆心C（-6，0）到直线距离d==，解得tan2α=，∴tanα=±=±．∴l的斜率k=±．24.解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：-x-x-＜2，解得：x＞-1，∴-1＜x＜，当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：-x+x+=1＜2，此时不等式恒成立，∴≤x≤，当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：-+x+x+＜2，解得：x＜1，∴＜x＜1，综上可得：M=（-1，1）；证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．【解析】1. 解：z=（m+3）+（m-1）i在复平面内对应的点在第四象限，可得：，解得-3＜m＜1．故选：A．利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．本题考查复数的几何意义，考查计算能力．2. 解：∵集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}={0，1}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：C．先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．3. 解：∵向量=（1，m），=（3，-2），∴+=（4，m-2），又∵（+）⊥，∴12-2（m-2）=0，解得：m=8，故选：D．求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．4. 解：圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y-1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．5. 解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42=6种走法．同理从F到G，最短的走法，有C31=3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法．故选：B．从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法，有C31=3种走法，利用乘法原理可得结论．本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题6. 解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．7. 解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．利用函数y= A sin（ωx+ φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．本题考查函数yy= A sin（ωx+ φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．8. 解：∵输入的x=2，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，故选：C根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．9. 解：∵cos（-α）=，∴sin2α=cos（-2α）=cos2（-α）=2cos2（-α）-1=2×-1=-，故选：D．利用诱导公式化sin2α=cos（-2α），再利用二倍角的余弦可得答案．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．10. 解：由题意，，∴π=．故选：C．以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．11.解：设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，∵MF1与x轴垂直，∴（2a+x）2=x2+4c2，∴x=∵sin∠MF2F1=，∴3x=2a+x，∴x=a，∴=a，∴a=b，∴c=a，∴e==．故选：A．设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=，利用sin∠MF2F1=，求得x=a，可得=a，求出a=b，即可得出结论．本题考查双曲线的定义与方程，考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12. 解：函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=2-f（x），即为f（x）+f（-x）=2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（-x1，2-y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（-x2，2-y2）也为交点，…则有（x i+y i）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=[（x1+y1）+（-x1+2-y1）+（x2+y2）+（-x2+2-y2）+…+（x m+y m）+（-x m+2-y m）]=m．故选B．由条件可得f（x）+f（-x）=2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（-x1，2-y1）也为交点，计算即可得到所求和．本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．13. 解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．14. 解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α∥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．15. 解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．16. 解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k==，得x1=x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而kx1+b=lnx1+2得出b=1-ln2．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题17.（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b1，b11，b101；（Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{b n}的前1000项和．本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．18.（Ⅰ）上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，由此利用该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表根据对立事件概率计算公式能求出一续保人本年度的保费高于基本保费的概率．（Ⅱ）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，由题意求出P（A），P（AB），由此利用条件概率能求出若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出60%的概率．（Ⅲ）由题意，能求出续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式、条件概率计算公式的合理运用．19.（Ⅰ）由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，进一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得E F⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到的坐标，分别求出平面ABD′与平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B-D′A-C的平面角为θ，求出|cosθ|．则二面角B-D′A-C的正弦值可求．本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题．20.（Ⅰ）求出t=4时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得|AM|，由垂直的条件可得|AN|，再由|AM|=|AN|，解得k=1，运用三角形的面积公式可得△AMN的面积；（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，求得交点M，可得|AM|，|AN|，再由2|AM|=|AN|，求得t，再由椭圆的性质可得t＞3，解不等式即可得到所求范围．本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值域，利用复合函数的求导公式进行求导，然后逐步分析即可该题考查了导数在函数单调性上的应用，重点是掌握复合函数的求导，以及导数代表的意义，计算量较大，中档题．22.（Ⅰ）证明B，C，G，F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知条件可知∠BCD=90°，因此问题可转化为证明∠GFB=90°；（Ⅱ）在Rt△DFC中，GF=CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则S四边形BCGF=2S△BCG，据此解答．本题考查四点共圆的判断，主要根据对角互补进行判断，注意三角形相似和全等性质的应用．23.（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C 的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．24.（I）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．。
2016年高考理科数学全国新课标Ⅱ卷答案及解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
2.已知集合 ， ，则
（A） （B）
（C） （D）
3.已知向量 ，且 ，则m=
（A） （B） （C）6（D）8
（A） （B） （C） （D）2
12.已知函数 满足 ，若函数 与 图像的交点
为 ， ，⋯， ，则 （）
（A）0（B）m（C）2m（D）4m
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~24题为选考题。考生根据要求作答。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分。
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∴ ．
∴B，C，G，F四点共圆．
（Ⅱ）∵E为AD中点， ，
∴ ，
∴在 中， ，
连接 ， ，
∴ ．
23.【解析】解：⑴整理圆的方程得 ，
由 可知圆 的极坐标方程为 ．
记直线的斜率为 ，则直线的方程为 ，
由垂径定理及点到直线距离公式知： ，
即 ，整理得 ，则 ．
24.【解析】解：⑴当 时， ，若 ；
由图得 ， ，由勾股定理得： ，
，
故选C．
7.【解析】B
平移后图像表达式为 ，
令 ，得对称轴方程： ，
故选B．
8.【解析】C
第一次运算： ，
第二次运算： ，
第三次运算： ，
故选C．
9.【解析】D
∵ ， ，
故选D．
10.【解析】C
由题意得： 在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在
2016年高考全国2卷理科数学试卷(解析版)
2016年高考全国2卷理科数学试卷(解析版)LT第0页第0页第0页第 0 页第一次运算：0222s =⨯+=， 第二次运算：2226s =⨯+=， 第三次运算：62517s=⨯+=，故选C ．（9）若π3cos 45α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2α= （A ）725 （B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】D∵3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn【解析】C由题意得：()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在 如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知π41m n=，∴4πmn=，故选C ． （11）已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为 （A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）2 【解析】A离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得12211222sin 321sin sin 13F F M e MF MF F F ====---．故选A ．（12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mii i xy =+=∑（ ）（A ）0（B ）m（C ）2m（D ）4m第 1 页【解析】B由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称， 而111x y x x+==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +， ∴()111022m m mi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ． 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．（13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．【解析】2113∵4cos 5A =，5cos 13C =， 3sin 5A =，12sin 13C =， ()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=， 由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =． （14）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥．③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．【解析】②③④（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 【解析】 (1,3)由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足， 故甲（1，3），（16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b = ．第 2 页（17）【解析】 1ln 2-ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ）()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122122111ln 1ln 11xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩解得112x = 212x =-∴1ln 11ln 2b x =+=-．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．【解析】⑴设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===．⑵记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，； 当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3na <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，；当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=． （18）（本小题满分12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，X0.85aa1.25a 1.5a 1.75a 2aP0.300.150.200.200.100.05第 3 页续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 5≥保 费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 4 5≥概 率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=．⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ，()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===．⑶解：设本年度所交保费为随机变量X ． 平均保费0.2550.150.250.30.1750.1 1.23a a a a a a a=+++++=，∴平均保费与基本保费比值为1.23．（19）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置10OD '=. （I ）证明：D H '⊥平面ABCD ；（II ）求二面角B D A C '--的正弦值.【解析】⑴证明：∵54AE CF ==， 0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EX a a a a a =⨯++⨯+⨯+⨯+⨯第 4 页∴AE CFAD CD=， ∴EF AC ∥． ∵四边形ABCD 为菱形，∴ACBD ⊥，∴EF BD ⊥， ∴EF DH ⊥， ∴EF D H '⊥． ∵6AC=，∴3AO =； 又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =， ∴1AEOH OD AO=⋅=， ∴3DHD H '==，∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥． 又∵OHEF H =， ∴'D H ⊥面ABCD ．⑵建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，()430AB =，，，()'133AD =-，，，()060AC =，，，设面'ABD 法向量()1n x y z =，，，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， ∴()1345n =-，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =，，，∴12129575cos 255210n n n n θ⋅+==⋅ ∴295sin 25θ=第 5 页（20）（本小题满分12分）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA. （I ）当4t=，AM AN =时，求△AMN 的面积；（II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.【解析】 ⑴当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，，则直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k +++-=解得2x =-或228634k x k-=-+，则2222286121213434k AM k k k k -=+-+=+++ 因为AM AN ⊥，所以2221121211413341AN k k k kk ⎛⎫=+-=+⋅⎪⎝⎭⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭因为AM AN =，0k >，2221212114343k k k k k+=+++，整理得()()21440k k k --+=， 2440k k -+=无实根，所以1k =．所以AMN △的面积为22111214411223449AM⎫=+=⎪+⎭． ⑵直线AM 的方程为(y k x t =+，联立(2213x y t y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222223230tk x tk x t k t +++-=解得x t =或2233t tk tx tk-=+ 所以22222361133t tk t t AM k t k tk tk -=+-+=+++所以2613t AN k t k k=++因为2AM AN =所以2226621133t t k k t tk k k+=+++，整理得，23632k k t k -=-．第 6 页因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k kk ->-，整理得()()231202kk k +-<-322k <<．（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数2(x)e 2xx f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;x x x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x--> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. 【解析】⑴证明：()2e 2xx f x x -=+ ()()()22224e e 222xxx x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭∵当x ∈()()22,-∞--+∞，时，()0f x '>∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增 ∴0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+ ∴()2e 20x x x -++>⑵ ()()()24e 2e x x a x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2x x x x ax a x -++=()322e 2x x x a x x -⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭=[)01a ∈，由(1)知，当0x >时，()2e 2xx f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解．使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增()()()222e 1ee 1e 22t ttt t t a t t h a t t t -++⋅-++===+ 记()e 2tk t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写第 7 页清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD ，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F . (I) 证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(II)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.【解析】（Ⅰ）证明：∵DFCE ⊥∴Rt Rt DEF CED △∽△ ∴GDFDEF BCF ∠=∠=∠DF CFDG BC= ∵DE DG =，CD BC = ∴DF CFDG BC= ∴GDF BCF △∽△ ∴CFB DFG ∠=∠∴90GFB GFC CFB GFC DFG DFC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒∴180GFB GCB ∠+∠=︒．∴B ，C ，G ，F 四点共圆．（Ⅱ）∵E 为AD 中点，1AB =，∴12DG CG DE ===， ∴在Rt GFC △中，GF GC =，连接GB ，Rt Rt BCG BFG △≌△，∴1112=21=222BCG BCGF S S =⨯⨯⨯△四边形． （23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C交于A 、B 两点，10AB =，求l 的斜率．【解析】解：⑴整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：226102521kk ⎛⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，第 8 页即22369014k k =+，整理得253k =，则153k =．（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+． 【解析】解：⑴当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-； 当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立； 当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．⑵当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->， 即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++， 则()()221ab a b +>+， 即1a b ab +<+， 证毕．。
(完整word)2016年高考理科数学试题全国卷2及解析word完美版
i 1A . 20 nB . 24 nC. 28 n D . 32 nn7、若将函数y=2sin2x 的图像向左平移石个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )k n nk n nk n nk n nA . x=2 -6(k € Z)B . x=~2+6(k € Z)C. x=2 -2(k € Z)D . x=2+H (k € Z)上左3图是实现该算法的程序框图。
执行该程序框图，若输入的x=2, n=2，依次输入的a 为2, 2, 5,则输出的s=（ ）两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 n 的近似值为（ ）A . (31)B . ( -,3) C. (1,+s ) D . (-s 3)-2、已知集合 A={1,2,3}, B={x|(x+1)(x T 2)<0, x € Z},则 A U B=()A . {1} B. {1,2} C . {0,1,2,3}D . { -,0,1,2,3}3、已知向量 a=(1,m), b=(3,―)，且(a+b)丄 b ，则 m=( )A .七 B. -6 C . 6D. .8 4、圆x 2+y 2^2x -8y+13=0的圆心到直线 ax+y -1=0的距离为 1 ,则 a=( 4 3i —A ，3B N C. ' 3 D ).22016年全国高考理科数学试题全国卷 2、选择题：本题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、已知z=（m+3）+（m -）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是（ ） 5、如下左1图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （ ） A . 24 B . 18 C . 12 D . 9G 处的老年公寓参加志愿者活动,P!8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,9、若n cos (4- a 5=贝U sin2 a =z1A .B.-255C . 17D .34)17_C.— D .—52…，x n , y 1, y 2,…，y n ,构成 n 个数对(X 1,y”,(X 2,y 2),…，(x n ,y n ),其中 6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（开始） /输入"/(结束)()A . 7B . 12 10、从区间［0,1］随机抽取2n 个数X 1, x 2,i 1(X i y i )()A.4n m11、已知F 1、 B . F 2是双曲线4m2n mx 2忙E :孑沪的左，右焦点,占 八D.2m n M 在E 上，MF 1与x 轴垂直, sin/MF 2F1g,则E 的离心率D. 212、已知函数f(x)(x € R)满足 f( -<)=2 -(x)，若函数x+1y= 与y=f （x ）图像的交点为(x1,y 1) , (X 2,y 2)，…(X m ,y m ),则A. 0B. mC. 2mD. 4m二、填空题：本大题共4小题，每小题5分4 5 小13、△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若cosA壬,cosC亍,a=1，贝V b=______________.5 1314、a、B是两个平面，m, n是两条直线，有下列四个命题：(1) 如果m± n, m丄a, n// B 那么a丄B (2)如果m丄a, n// a,那么m丄n。
2016年高考全国2卷理数试题（解析版）（最新整理）
2016年⾼考全国2卷理数试题（解析版）（最新整理）2016 年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(⾮选择题)两部分.第Ⅰ卷1 ⾄3 页，第Ⅱ卷3 ⾄5 页.2.答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上⽆效.4.考试结束后，将本试题和答题卡⼀并交回.第Ⅰ卷⼀、选择题：本⼤题共12 ⼩题，每⼩题5 分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.（1）已知z = (m + 3) + (m - 1) i 在复平⾯内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A）(-3∥1)【解析】A（B）(-1∥3) （C）(1 ,+∞) （D）(- ∞∥- 3)∴m + 3 > 0 ，m - 1 < 0 ，∴-3（2）已知集合 A = {1 , 2 , 3} ，B = {x | (x +1)(x - 2) < 0 ∥x ∈ Z} ，则 A B =（A）{1} （B）{1∥2}（C）{0 ∥1∥【解析】C 2 ∥3} （D）{-1∥0 ∥1∥2 ∥3}B ={x (x + 1)(x - 2)< 0 ，x ∈ Z}={x -1∴B ={0 ，1}，∴A B ={0 ，1，2 ，3}，故选C．（3）已知向量 a = (1, m) ∥b=(3, -2) ，且(a +b) ⊥b ，则m=（A）-8【解析】D（B）-6（C）6 （D）83 a+ 4 - 1 a 2 + 1a +b = (4 ，m - 2) ，∵ (a + b ) ⊥ b ，∴ (a + b ) ? b = 12 - 2(m - 2) = 0解得 m = 8 ，故选 D ．（4）圆 x 2 + y 2 - 2x - 8 y + 13 = 0 的圆⼼到直线 ax + y - 1 = 0 的距离为 1，则 a=（A ） - 4 3 （B ） - 3 4（C ）（D ）2【解析】A圆 x 2 + y 2 - 2x - 8 y + 13 = 0 化为标准⽅程为： ( x - 1)2+ ( y - 4)2= 4 ，故圆⼼为(1，4) ， d == 1 ，解得a = - 4 ，3故选 A ．（5）如图，⼩明从街道的 E 处出发，先到 F 处与⼩红会合，再⼀起到位于 G 处的⽼年公寓参加志愿者活动，则⼩明到⽼年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【解析】BE →F 有 6 种⾛法， F →G 有3 种⾛法，由乘法原理知，共6 ? 3 = 18 种⾛法故选 B ．（6）右图是由圆柱与圆锥组合⽽成的⼏何体的三视图，则该⼏何体的表⾯积为22 + (2 3 )2（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π【解析】C⼏何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底⾯圆半径为 r ，周长为 c ，圆锥母线长为l ，圆柱⾼为 h ．由图得 r = 2 ， c = 2πr = 4π，由勾股定理得： l = = 4 ，S = πr 2+ ch + 1 cl = 4π + 16π + 8π = 28π，表2 故选 C ．π（7）若将函数 y =2sin 2x 的图像向左平移12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ） x = k π - π(k ∈ Z ) 2 6 （B ）x = k π + π(k ∈ Z ) 2 6 （C ）x = k π - π(k ∈ Z ) （D ） x = k π + π(k ∈ Z )2 12 【解析】B2 12平移后图像表达式为 y = 2sin 2? x + π ?12 ? 令 2? x + ? ?π ? = k π + π，得对称轴⽅程： x = k π + π (k ∈ Z ) ，12 ?2 2 6 ? ?故选 B ．（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执⾏该程序框图，若输⼊的 x = 2 ， n = 2 ，依次输⼊的 a 为 2，2，5，则输出的 s =，（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【解析】C第⼀次运算： s = 0 ? 2 + 2 = 2 ，第⼆次运算： s = 2 ? 2 + 2 = 6 ，第三次运算： s = 6 ? 2 + 5 = 17 ，故选 C ．（9）若cos ? π-= 3，则sin 2=4 ?5 ? ? 7（A ）1 （B ）（C ） - 1（D ）- 7，（10）从区间[0 , 1] 随机抽取 2n 个数 x 1 , x 2 ，…， x n ， y 1 ， y 2 ，…， y n ，构成n 个数对( x 1 , y 1 ) ， ( x 2 , y 2 ) ，…， ( x n , y n ) ，其中两数的平⽅和⼩于 1 的数对共有 m 个，则⽤随机模拟的⽅法得到的圆周率π的近似值为55 25∵cos ?-? = 3 ， s in 2= cos ? π - 2? = 2 cos 2 ? π -?- 1 = 74 ? ?5 2 ? ? 425 故选 D ．2 3 2 （A ） 4nm（B ） 2nm （C） 4mn （D ） 2mn【解析】C由题意得： ( x i ∥y i )(i = 1∥2 ∥ ? ? ?∥n ) 在如图所⽰⽅格中，⽽平⽅和⼩于 1 的点均在如图所⽰的阴影中π由⼏何概型概率计算公式知 4 = m ，∴π = 4m，故选 C ． n 1 nx 2 y 2x （1）已知 F 1 ， F 2 是双曲线 E ： a 2 - b2 = 1 的左，右焦点，点 M 在 E 上， MF 1 与轴垂直，sin ∠MF F = 1,则 E 的离⼼率为2 13（A ）（B ） 3 2【解析】A离⼼率e =故选 A ．F 1F 2MF 2 - MF 1，由正弦定理得e =F 1F 2 MF 2 - MF 1= sin M sin F 1 - sin F 2 2 2= 3 = ． 1 - 13（12）已知函数 f ( x )( x ∈ R ) 满⾜ f (-x ) = 2 - f ( x ) ，若函数 y =x + 1与 y = f ( x ) 图像的交点x 为( x 1 ∥ y 1 ) ， ( x 2 ∥ y 2 ) ，?， ( x m ∥y m ) ，则∑(x i + y i ) = （）i =1（A ）0（B ）m （C ）2m （D ）4m【解析】B由 f ( x ) = 2 - f ( x ) 得 f ( x ) 关于(0 ∥ 1) 对称，mm m m ⽽ y =x + 1 = 1 + 1也关于(0 ∥ 1) 对称， x x∴对于每⼀组对称点 x i + x i ' = 0y i + y i ' =2 ，∴ ∑( x + y ) = ∑ x + ∑ y = 0 + 2 ? m = m ，故选 B ． i i i i 2 i =1 i =1 i =1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第 13~21 题为必考题，每个试题考⽣都必须作答．第22~24 题为选考题，考⽣根据要求作答．（13）∥ ABC 的内⾓ A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若cos A = 4 ， cos C = 5， a = 1 ，则b =．【解析】 2113∵cos A = 4 ， cos C = 5， 5 135 13 sin A = 3 ， sin C = 12，5 13sin B = sin ( A + C ) = sin A cos C + cos A sin C =63，65 由正弦定理得：b sin B = a sin A 解得b = 21 ． 13（14），是两个平⾯，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果 m ⊥ n ， m ⊥，n ∥，那么⊥．②如果 m ⊥， n ∥，那么 m ⊥ n ．③如果 a ∥， m ? ，那么 m ∥．④如果 m ∥ n ，∥，那么 m 与所成的⾓和 n 与所成的⾓相等．【解析】②③④（15）有三张卡⽚，分别写有1 和 2，1 和 3，2 和 3．甲，⼄，丙三⼈各取⾛⼀张卡⽚，甲看了⼄的卡⽚后说：“我与⼄的卡⽚上相同的数字不是2”，⼄看了丙的卡⽚后说：“我与丙的卡⽚上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡⽚上的数字之和不是 5”，则甲的卡⽚上的数字是【解析】 (1, 3)由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则⼄（2，3），甲（1，3）满⾜，若丙（1，3），则⼄（2，3），甲（1，2）不满⾜，故甲（1，3），（16）若直线 y = kx + b 是曲线 y = ln x + 2 的切线，也是曲线 y = ln ( x + 1) 的切线， b =．【解析】 1 - ln 2y = ln x + 2 的切线为： y = 1x + ln x+ 1 （设切点横坐标为 x ）x 1 y = ln ( x + 1) 的切线为： y = 1x 2 + 1 1x + ln ( x 2 + 1) -1x 2 x 2 + 11 =x 1 ∴ ? ?ln x 1x 2 + 1 + 1 = ln ( x+ 1) - x 21 2x 2 + 1 解得 x =1x = - 11222∴b = ln x 1 + 1 = 1 - ln 2 ．三、解答题：解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本⼩题满分 12 分）S n 为等差数列{a n } 的前 n 项和，且 a 1 = 1 ， S 7 = 28 ．记b n = [lg a n ] ，其中[x ] 表⽰不超过 x 的最⼤整数，如[0.9] = 0 ， [lg 99] = 1 ．（Ⅰ）求b 1 ， b 11 ， b 101 ；（Ⅱ）求数列{b n } 的前1 000 项和．【解析】⑴设{a n } 的公差为d ， S 7 = 7a 4 = 28 ，∴ a = 4 ，∴ d =a 4 - a 1= 1 ，∴ a = a + (n - 1)d = n ．43n 1∴ b 1 = [lg a 1 ] = [lg1] = 0 ， b 11 = [lg a 11 ] = [lg11] = 1 ， b 101 = [lg a 101 ] = [lg 101 ] = 2 ．⑵记{b n } 的前n 项和为T n ，则T 1000 = b 1 + b 2 + ? ? ? + b 1000= [lg a 1 ] + [lg a 2 ] + ? ? ? + [lg a 1000 ] ．当0 ≤ lg a n < 1 时， n = 1∥ 2∥ ? ? ?∥ 9 ；当1≤ lg a n < 2 时， n = 10∥ 11∥ ? ? ?∥99 ；当2 ≤ lg a n < 3 时， n = 100∥ 101∥∥ 999 ；当lg a n = 3 时， n = 1000 ．∴ T 1000 = 0 ? 9 + 1? 90 + 2 ? 900 + 3 ?1 = 1893 ．（18）（本⼩题满分 12 分）某险种的基本保费为 a （单位：元），继续购买该险种的投保⼈称为续保⼈，续保⼈本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种⼀续保⼈⼀年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求⼀续保⼈本年度的保费⾼于基本保费的概率；（Ⅱ）若⼀续保⼈本年度的保费⾼于基本保费，求其保费⽐基本保费⾼出60% 的概率；（Ⅲ）求续保⼈本年度的平均保费与基本保费的⽐值．【解析】⑴设续保⼈本年度的保费⾼于基本保费为事件 A ，P ( A ) = 1 - P ( A ) = 1 - (0.30 + 0.15) = 0.55 ．⑵设续保⼈保费⽐基本保费⾼出60% 为事件 B ， P (B A ) =P ( AB ) = 0.10 + 0.05 = 3 ．P ( A ) 0.55 1110⑶解：设本年度所交保费为随机变量X ．X0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05平均保费EX = 0.85 ? 0.30 + 0.15a + 1.25a ? 0.20 + 1.5a ? 0.20 + 1.75a ? 0.10 + 2a ? 0.05= 0.255a + 0.15a + 0.25a + 0.3a + 0.175a + 0.1a = 1.23a ，∴平均保费与基本保费⽐值为1.23 ．（19）（本⼩题满分12 分）如图，菱形ABCD 的对⾓线AC 与BD 交于点O，AB = 5 ，AC = 6 ，点E，F 分别在AD，CD 上，AE =CF =5，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D'EF 的位置OD'=. 4（I）证明：D'H ⊥平⾯ABCD；（II）求⼆⾯⾓B -D'A -C 的正弦值.【解析】⑴证明：∵AE =CF =5 ，4∴AE=CF ，AD CD∴EF ∥AC ．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，∴E F ⊥BD ，∴EF ⊥DH ，由 1 ? ?∴ EF ⊥ D 'H ．∵ AC = 6 ，∴ AO = 3 ；⼜ AB = 5 ， AO ⊥ OB ，∴ O B = 4 ，∴ O H = AE ? OD= 1 ，AO ∴ DH = D 'H = 3 ，∴ OD ' 2 = OH 2 + D ' H 2 ，∴ D ' H ⊥ OH ．⼜∵ OH I EF = H ，∴ D ' H ⊥⾯ ABCD ．⑵建⽴如图坐标系 H - xyz ．B (5 ∥ 0 ∥ 0) ，C (1∥ 3∥0) ， D '(0 ∥ 0 ∥ 3) ， A (1∥ - 3∥ 0) ，AB = (4 ∥ 3∥ 0) ， AD ' = (-1∥ 3∥ 3) ， AC = (0 ∥6 ∥ 0) ，设⾯ ABD ' 法向量 n 1 = ( x ，y ，z ) ， ?x = 3 n AB = 0 '4x + 3y = 0 -x + 3y + 3z = 0 ，取 ? y = -4 ， ??n 1 ? A D = 0∴ n 1 = (3∥ - 4 ∥5) ．z = 5 得9 + 5 5 2 ? 10 7 51 + - ? 1 ?2 ? k ?1 + k2 1 + k 2 1 28k 6 AM 22 k - 同理可得⾯ AD 'C 的法向量 n 2 = (3∥ 0 ∥ 1) ，∴ cos =∴ si n = 2== ， 2595 ． 25（20）（本⼩题满分 12 分） x 2 + y 2= xk (k > 0)已知椭圆 E : t 1 的焦点在轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为的直线交E 于 A ，M 3两点，点 N 在 E 上，MA ⊥NA.（I ）当t = 4 ， AM = AN 时，求△AMN 的⾯积；（II ）当 2 AM = AN 时，求 k 的取值范围.= x 2 + y 2=(-2 ∥ 0)【解析】⑴当t 4 时，椭圆 E 的⽅程为 4 31 ，A 点坐标为，则直线 AM 的⽅程为 y = k ( x + 2) ．x 2 + y 2 =联⽴ ? 1并整理得， (3 + 4k 2 )x 2 + 16k 2 x + 16k 2 - 12 = 0 ? y = k ( x + 2)解得 x = -2 或 x = - 3 + 4k 2，则 =- 8k 2 - 6 + =3 + 4k ? 12 3 + 4k 212 AN == 因为 AM ⊥ AN ，所以1 23 k + 4因为 AM= AN，k > 0 ， 3 + 4 ? 1 - ? ? ?所以 ? 12 =3 + 4k 2 ? 12 3k +4 ，整理得(k - 1)(4k 2 - k + 4) = 0 ， k4k 2 - k + 4 = 0 ⽆实根，所以 k = 1 ．21 ? 12 ?2144 所以∥ AMN 的⾯积为 AM = 2 1 + 1 ? 3 + 4 ? = 49 ．⑵直线 AM 的⽅程为 y = k (x + ? ?t )，u r u u r n 1 ? n 2 u r u u r n 1 n 2 1 + k 2 1 + k 2 k1 + k2 4 3t 1 + k 2 t 6 t ? ?( ) 2x 2 + y 2 =联⽴ ? t 3 并整理得， (3 + tk 2 ) x 2 + 2t tk 2 x + t 2k 2 - 3t = 0 ? y = k ( x + t )t tk 2 - 3 t解得 x = - 或 x = -所以AM = - 3 + tk 2t tk 2 - 3 3 + tk 2 ，3 + tk 2所以 AN = ? 3k + tk 因为 2 AM所以2 ? = AN= 3 + tk 23k + t ，整理得， t =6k 2 - 3k 3 ． k6k 2 - 3k >k - 2(k 2 + 1)(k - 2)因为椭圆 E 的焦点在 x 轴，所以t > 3 ，即 k 3 - 2 3 ，整理得k 3 - 2< 0解得 3 2 < k < 2 ．（21）（本⼩题满分 12 分）(I) 讨论函数 f (x) =x - 2 e x的单调性，并证明当 x > 0 时， (x - 2)e x + x + 2 > 0; x + 2(II) 证明：当 a ∈[0,1)函数 h (a ) 的值域.e x - ax - a 时，函数 g x = (x > 0) x有最⼩值.设 g ( x ) 的最⼩值为 h (a ) ，求【解析】⑴证明： f ( x ) = x - 2 e xx + 2' x ? x - 2 4 ?x 2e x f ( x ) = e x + 2 + = ( x + 2)2( x + 2)2∵当 x ∈ (-∞ ，- 2) (-2 , + ∞) 时， f '( x ) > 0 ∴ f ( x ) 在(-∞ ，- 2)和(-2 , + ∞) 上单调递增∴ x > 0 时，x - 2 e x> f (0) = - 1 x + 2 ∴ ( x - 2)e x + x + 2 > 0 (e x - a ) x 2 - 2x (e x - ax - a )⑵ g '( x ) =x 41 + k2 6 t 1 + k 2 6 t1 + k2 1 + k 2 6 t 12 4 ==e x (x e x - 2e x + ax + 2a)x4( x + 2)?x - 2 ? e x + a ?x + 2 ? =x3 a ∈[0 ，1)由(1)知，当 x > 0 时， f ( x ) = x - 2 ? e x的值域为(-1，+ ∞) ，只有⼀解． x + 2 使得 t - 2 ? e t= -a ， t ∈(0 ，2]t + 2当 x ∈(0, t ) 时 g '(x ) < 0 ， g (x ) 单调减；当 x ∈(t , +∞) 时 g '(x ) > 0 ， g (x ) 单调增h (a ) = e t- a (t + 1) e t2 + (t + 1) t - 2 ? e tt t + 2 2 t t t + 2记 k (t ) = e tt + 2 ，在t ∈(0 , 2] 时， k '(t ) = ? 1e 2 ?e t(t + 1) (t + 2)2> 0 ，∴ k (t ) 单调递增∴ h (a ) = k (t ) ∈， ? ．请考⽣在 22、23、24 题中任选⼀题作答,如果多做,则按所做的第⼀题计分,做答时请写清题号（22）（本⼩题满分 10 分）选修 4-1：⼏何证明选讲如图，在正⽅形 ABCD ，E ，G 分别在边 DA ，DC 上（不与端点重合），且 DE =DG ，过 D 点作 DF ⊥CE ，垂⾜为 F .(I) 证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(II) 若 AB = 1 ，E 为 DA 的中点，求四边形 BCGF 的⾯积.【解析】（Ⅰ）证明：∵ DF ⊥ CE∴ Rt ∥ DEF ∥R t ∥ CED ∴∠GDF = ∠DEF = ∠BCF=DF = CFDG BC∵ D E = DG ， CD = BC ∴DF = CFDG BC∴∥ GDF ∥∥ BCF ∴∠CFB = ∠DFG∴∠GFB = ∠GFC + ∠CFB = ∠GFC + ∠DFG = ∠DFC = 90? ∴∠GFB + ∠GCB = 180? ．∴B ，C ，G ，F 四点共圆．（Ⅱ）∵E 为 AD 中点， AB = 1 ，∴ DG = CG = DE = 1 ，2 ∴在 Rt △GFC 中， GF = GC ，连接GB ， Rt △BCG ≌Rt △BFG ，∴ S ∥∥∥ B C G F= 2S ∥ B C G =2 ? 1 ?1? 1 = 1 ．2 2 2（23）（本⼩题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数⽅程在直线坐标系 xOy 中，圆 C 的⽅程为( x + 6)2 + y 2 = 25 ．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，求 C 的极坐标⽅程；x = t cos（II ）直线 l 的参数⽅程是 ? y = t si n （t 为参数），l 与 C 交于 A 、B 两点， AB =斜率．【解析】解：⑴整理圆的⽅程得 x 2 + y 2 + 12 + 11 = 0 ，2 = x 2 + y 2，求 l 的由 ?cos = x 可知圆C 的极坐标⽅程为 2 + 12cos + 11 = 0 ． ?si n = y⑵记直线的斜率为 k ，则直线的⽅程为 kx - y = 0 ，10-6k1 + k 225 - ? 10 ?22由垂径定理及点到直线距离公式知： = ，即36k 2 = 90 ，整理得 k 2 = 5 ，则= ± 15．1 + k2 4 3k3（24）（本⼩题满分 10 分），选修 4—5：不等式选讲已知函数 f (x ) = x - + x + ，M 为不等式 f ( x ) < 2 的解集.（I ）求 M ；（II ）证明：当 a ， b ∈ M 时， a + b < 1 + ab ．【解析】解：⑴当 x < - 1 时， f ( x ) = 1 - x - x - 1 = -2x ，若 -1 < x < - 1；2 2 2 2当 - 1 ≤ x ≤ 1 时， f ( x ) = 1 - x + x + 1= 1 < 2 恒成⽴；2 2 2 2当 x > 1时， f ( x ) = 2x ，若 f ( x ) < 2 ， 1 < x < 1 ．2 2 综上可得， M = {x | -1 < x < 1} ．⑵当 a ，b ∈(-1，1) 时，有(a 2 - 1)(b 2 - 1) > 0 ，即 a 2b 2 + 1 > a 2 + b 2 ，则 a 2b 2 + +2ab + 1 > a 2 + 2ab + b 2 ，则(ab + 1)2> (a + b )2，即 a + b < ab + 1 ，证毕．1 2 12“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
2016年高考理科数学试题全国卷2及解析word完美版
《2016年高考理科数学试题全国卷2及解析word完美版》摘要：、(题满分分)()讨论函数(x)x单调性并证明当x0(x–)x+x+0，参考答案、析∴+30–0∴–3故选．、析B{x|(x+)(x–)0x∈Z}{x|–xx∈Z}∴B{0,}∴∪B{0,,,3}故选． 3、析向量+b(,–)∵(+b)⊥b∴(+b)·b0–(–)0得8故选．、析圆x+–x–8+30化标准方程(x–)+(–)故圆心(,)得–故选． 5、析→有6种走法→G有3种走法由乘法原理知共6×38种走法故选B．析二由题明从街道处出发到处短有条路再从处到G处短共有条路则明到老年公寓可以选择短路径条数·8条故选B，析次运算0×+二次运算×+6三次运算6×+57故选． 9、析∵(–α)α(–α)(–α)–故选．法二对(–α)展开直接平方法三换元法 0、析由题得(x,)(3)如图所示方格而平方和如图阴影由几何概型概率计算公式知∴π故选．、析离心率由正弦定理得．故选．、析由(–x)–(x)得(x)关(0,)对称而+也关(0,)对称∴对每组对称x+x＇0+＇∴故选B． 3、析∵∴B(+)+ 由正弦定理得b．、析对①⊥⊥...06年全国高考理科数学试题全国卷、选择题题共题每题5分每题给出四选项只有项是合题目要、已知z(+3)+(–)复平面对应四象限则实数取值围是( ) ．(–3,) B．(–,3) ．(,+∞) ．(–∞,–3) 、已知集合{,,3}B{x|(x+)(x–)0x∈Z}则∪B( ) ．{} B．{,} ．{0,,,3} ．{–,0,,,3} 3、已知向量(,)b(3,–)且(+b)⊥b则( ) ．–8 B．–6 ．6 ．8 、圆x+–x–8+30圆心到直线x+–0距离则( ) ．– B．–．． 5、如下左图明从街道处出发先到处与红会合再起到位G处老年公寓参加志愿者活动则明到老年公寓可以选择短路径条数( ) ． B．8 ．．9 6、上左图是由圆柱与圆锥组合而成几何体三视图则该几何体表面积( ) ．0πB．π．8π．3π 7、若将函数x图像向左平移单位长则平移图象对称轴( ) ．x–(k∈Z) B．x+(k∈Z) ．x–(k∈Z) ．x+(k∈Z) 8、国古代有计算多项式值秦九韶算法上左3图是实现该算法程序框图执行该程序框图若输入x依次输入5则输出( ) ．7 B．．7 ．3 9、若(–α)则α ( ) ． B．．–．– 0、从区[0,]随机抽取数xx…x…构成数对(x,)(x,)…(x,)其两数平方和数对共有则用随机模拟方法得到圆周率π近似值( ) ． B．．．、已知、是双曲线–左右焦上与x轴垂直∠,则离心率( ) ． B．．．、已知函数(x)(x∈R)满足(–x)–(x)若函数与(x)图像交(x,)(x,)(x,)则( ) ．0 B．．．二、填空题题共题每题5分 3、△B角B对边分别b若则b___________．、α、β是两平面是两条直线有下列四命题 ()如⊥⊥α∥β那么α⊥β()如⊥α∥α那么⊥(3)如α∥β⊂α那么∥β()如∥α∥β那么与α所成角和与β所成角相等其正确命题有____________________(填写所有正确命题编)5、有三张卡片分别写有和和3和3．甲乙丙三人各取走张卡片甲看了乙卡片说“我与乙卡片上相数不是”乙看了丙卡片说“我与丙卡片上相数不是”丙说“我卡片上数和不是5”则甲卡片上数是____________．6、若直线kx+b是曲线lx+切线也是曲线l(x+)切线则b__________．三、答题答应写出说明证明程或演算步骤7、(题满分分)等差数列{}前项和且78记b[lg]其[x]表示不超x整数如[09]0[lg99]． ()bbb0； ()数列{b}前 000项和． 8、(题满分分)某险种基保费(单位元)继续购买该险种投保人称续保人续保人年保费与其上年出险次数关如下上年出险次数0 3 ≥5 保费 085 5 5 75 设该险种续保人年出险次数与相应概率如下[] 年出险次数0 3 ≥5 概率 030 05 00 00 00 0 05 ()续保人年保费高基保费概率； ()若续保人年保费高基保费其保费比基保费高出60%概率； (3)续保人年平保费与基保费比值． 9、(题满分分)如图菱形B对角线与B交B56、分别、上交B．将△沿折到△＇位置＇． ()证明＇⊥平面B； ()二面角B–＇–正弦值． 0、(题满分分)已知椭圆+焦X轴上是左顶斜率k(k0)直线交两上⊥． ()当||||△面积； ()当||||k取值围．、(题满分分)()讨论函数(x)x单调性并证明当x0(x–)x+x+0； ()证明当∈[0,)函数g(x)(x0)有值设g(x)值()函数()值域．请考生、3、题任选题作答如多做则按所做题计分做答请写清题、(题满分0分)[选修–几何证明选讲]如图正方形B、G分别边上(不与端重合)且G作⊥垂足． () 证明BG四共圆； ()若B四边形BG面积． 3、(题满分0分)[选修–坐标系与参数方程]直角坐标系x圆方程(x+6)+5． ()以坐标原极x轴正半轴极轴建立极坐标系极坐标方程； ()直线l参数方程是(参数)l与交B两|B|l斜率．、(题满分0分)[选修–5不等式选讲]已知函数(x)|x–|+|x+|不等式(x)集． ()； ()证明当b∈|+b||+b|．参考答案、析∴+30–0∴–3故选．、析B{x|(x+)(x–)0x∈Z}{x|–xx∈Z}∴B{0,}∴∪B{0,,,3}故选． 3、析向量+b(,–)∵(+b)⊥b∴(+b)·b0–(–)0得8故选．、析圆x+–x–8+30化标准方程(x–)+(–)故圆心(,)得–故选． 5、析→有6种走法→G有3种走法由乘法原理知共6×38种走法故选B．析二由题明从街道处出发到处短有条路再从处到G处短共有条路则明到老年公寓可以选择短路径条数·8条故选B6、析几何体是圆锥与圆柱组合体设圆柱底面圆半径r周长圆锥母线长l圆柱高．由图得rπrπ由勾股定理得l表πr++lπ+6π+8π8π故选． 7、析由题将函数x图像向左平移单位得(x+)(x+)则平移函数对称轴x++kπk∈Z即x+k∈Z故选B8、析次运算0×+二次运算×+6三次运算6×+57故选． 9、析∵(–α)α(–α)(–α)–故选．法二对(–α)展开直接平方法三换元法 0、析由题得(x,)(3)如图所示方格而平方和如图阴影由几何概型概率计算公式知∴π故选．、析离心率由正弦定理得．故选．、析由(–x)–(x)得(x)关(0,)对称而+也关(0,)对称∴对每组对称x+x＇0+＇∴故选B． 3、析∵∴B(+)+ 由正弦定理得b．、析对①⊥⊥α∥β则αβ位置关系无法确定故错误；对②因所以直线作平面γ与平面β相交直线则∥因⊥α∴⊥∴⊥故②正确；对③由两平面平行性质可知正确；对④由线面所成角定义和等角定理可知其正确故正确有②③④ 5、析由题得丙不拿(,3)若丙(,)则乙(,3)甲(,3)满足；若丙(,3)则乙(,3)甲(,)不满足；故甲(,3) 6、析lx+切线·x+lx+(设切横坐标x) l(x+)切线·x+l(x+)–∴ 得xx–∴blx+–l． 7、析()设{}公差778∴∴∴+(–)．∴b[lg][lg]0b[lg][lg]b0[lg0][lg0]． ()记{b}前项和则000b+b++b000[lg]+[lg]++[lg000]．当0≤lg9；当≤lg099；当≤lg3000999；当lg3000．∴0000×9+×90+×900+3×893． 8、()设续保人年保费高基保费事件()–()–(030+05)055． ()设续保人保费比基保费高出60%事件B(B|)．⑶设年所交保费随机变量X． X 085 5 5 75 030 05 00 00 00 005 平保费X085×030+05+5×00+5×00+75×00+×0053 ∴平保费与基保费比值3． 9、析()证明如下左图∵∴∴∥．∵四边形B菱形∴⊥B∴⊥B∴⊥∴⊥＇．∵6∴3；又B5⊥B∴B∴·∴＇3∴|＇|||+|＇|∴＇⊥．又∵∩∴＇⊥面B． ()方法、几何法若B56则3B0∵B5∴5–∵∥∴∴3–3 ∵’3’∴满足’’+则△’直角三角形且’⊥ 即’⊥底面B即’是五棱锥’–B高．底面五边形面积×·B+×6×++ 则五棱锥’–B体积V·’××．方法二、向量法建立如下左图坐标系–xz．B(5,0,0)(,3,0)＇(0,0,3)(,–3,0) ∴向量B(,3,0)＇(–,3,3)(0,6,0) 设面B＇法向量(x,,z)由得取∴(3,–,5)．理可得面＇法向量(3,0,) ∴|θ|∴θ0、析()当椭圆方程+坐标(–,0)则直线方程k(x+)．立椭圆和直线方程并整理得(3+k)x+6kx+6k–0得x–或x–则|||–+|·∵⊥∴||··∵||||k0∴··整理得(k–)(k–k–)0 k–k+0无实根∴k．所以△面积||(·)． ()直线方程k(x+) 立椭圆和直线方程并整理得(3+k)x+kx+k–30得x–或x–∴|||–+|·∴||· ∵||||∴···整理得．∵椭圆焦x轴∴3即3整理得0得k．、析()证明(x)x∴＇(x)x(+)∵当x∈(–∞,–)∪(–,+∞)＇(x)0∴(x)(–∞,–)和(–,+∞)上单调递增∴x0x(0)–∴(x–)x+x+0()g＇(x)∈[0,)由()知当x0(x)x值域(–,+∞)只有．使得·–∈(0,]当x∈(0,)g＇(x)0g(x)单调减；当x∈(,+∞)g＇(x)0g(x)单调增 ()记k()∈(0,]k＇()0∴k()单调递增∴()k()∈(,]．、析()证明∵⊥∴R△∽R△∴∠G∠∠B∵GB∴∴△G∽△B∴∠B∠G∴∠GB∠G+∠B∠G+∠G∠90°∴∠GB+∠GB80°．∴BG四共圆．()∵B ∴GG∴R△GGG连接GBR△BG≌R△BG∴四边形BG△BG×××． 3、()整理圆方程得x++x+0 由ρx+、ρθx、ρθ可知圆极坐标方程ρ+ρθ+0． ()记直线斜率k则直线方程kx–0 由垂径定理及到直线距离公式知即整理得k则k±．、析()当x–(x)–x–x––x若–x–；当–≤x≤(x)–x+x+恒成立；当x(x)x若(x)x．综上可得{x|–x}． ()当b∈(–,)有(–)(b–)0即b++b则b+b++b+b则(b+)(+b)即|+b||b+| 证毕．。
(最新)2016年高考全国2卷理科数学试题及答案解析
2016高考全国II 卷理数（1）已知(3)(1)i zm m 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（）（A ）(31)，（B ）(13)，（C ）(1,)+（D ）(3)-，【答案】A 考点：复数的几何意义.（2）已知集合{1,}A2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x Z ，则A B （）（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}，，，，【答案】C【解析】试题分析：集合B {x |1x 2,x Z}{0,1}，而A {1,2,3}，所以A B {0,1,2,3}，故选 C.考点：集合的运算.（3）已知向量(1,)(3,2)am a ，=，且()a b b +，则m=（）（A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】试题分析：向量a b (4,m 2)，由(a b )b得43(m 2)(2)0，解得m 8，故选D.考点：平面向量的坐标运算、数量积. （4）圆2228130x yx y 的圆心到直线10ax y 的距离为1，则a=（）（A ）43（B ）34（C ）3（D ）2【答案】A 考点：圆的方程、点到直线的距离公式. （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）（A ）24（B ）18 （C ）12 （D ）9【答案】B【解析】试题分析：由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短有24C 条路，再从F 处到G 处最短共有13C 条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为214318C C 条，故选 B.考点：计数原理、组合.。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标II卷)数学试题 (理科)解析版
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）(31)-， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--， 【答案】A考点： 复数的几何意义.【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ .（2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 【答案】C 【解析】试题分析：集合B {x |1x 2,x Z}{0,1}=-<<∈=，而A {1,2,3}=，所以A B {0,1,2,3}=，故选C.考点： 集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.（3）已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D 【解析】试题分析：向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D. 考点： 平面向量的坐标运算、数量积.【名师点睛】已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43-（B ）34- （C （D ）2 【答案】A考点： 圆的方程、点到直线的距离公式. 【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d >r ，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）（A）24 （B）18 （C）12 （D）9【答案】B考点：计数原理、组合.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．（6）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为122416S ππ=⋅⋅=，圆锥的侧面积为2122482S ππ=⋅⋅⋅=，圆柱的底面面积为2324S ππ=⋅=，故该几何体的表面积为12328S S S S π=++=，故选C. 考点： 三视图，空间几何体的体积. 【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:（7）若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B考点： 三角函数的图象变换与对称性.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2,2x n ==，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（ ）（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【答案】C考点： 程序框图，直到型循环结构.【名师点睛】直到型循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．当型循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．（9）若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725（B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.考点：三角恒等变换.【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n【答案】C 【解析】试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为224S R mS R nπ==圆正方形，所以4m n π=.选C.考点： 几何概型.【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．（11）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A （B ）32（C （D ）2【答案】A考点：双曲线的性质.离心率.【名师点睛】区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)．（12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】B考点： 函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13 ～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13) ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B A C A B A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a bA B=，所以sin 21sin 13a Bb A ==.考点： 三角函数和差公式，正弦定理.【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(14) ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④考点： 空间中的线面关系.【名师点睛】求解本题应注意在空间中考虑线、面关系.（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．【答案】1和3 【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 考点： 逻辑推理.【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.（16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 【答案】1ln 2-考点： 导数的几何意义.【名师点睛】函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的不同．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差d ，从而求得通项n a ，再根据已知条件[]x 表示不超过x 的最大整数，求111101b b b ，，；（Ⅱ）对n 分类讨论，再用分段函数表示n b ，再求数列{}n b 的前1 000项和． 试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.18.（本题满分12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.23. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）一续保人本年度的保费高于基本保费，当且仅当一年内出险次数大于3，由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，求X 的分布列，再根据期望公式求解.试题解析：（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+= 又()()P AB P B =，故()()0.153(|).()()0.5511P AB P B P B A P A P A ==== 因此所求概率为3.11考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望. 【名师点睛】条件概率的求法：(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P (AB )P (A )，求P (B |A )；(2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ).求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值；(2)求X 的每个值的概率；(3)写出X 的分布列；(4)由均值定义求出E (X )．19.（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ， 5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，OD '= （Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；.又D H EF '⊥，而OH EF H ⋂=， 所以D H ABCD '⊥平面.B（II ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=.设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则00m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩， 所以可以取()4,3,5m =-.设()222,,n x y z =是平面'ACD 的法向量，则0n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，所以可以取()0,3,1n =-.于是cos ,||||50m n m n m n ⋅<>===⋅，295sin ,m n <>=因此二面角B D A C '--考点：线面垂直的判定、二面角.【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20.（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）).试题解析：（I ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749=⨯⨯⨯=.因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332132022k k k k k k k -+-+-=<--，即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩2k <.因此k 的取值范围是).考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．（21）（本小题满分12分） (Ⅰ)讨论函数xx 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>； (Ⅱ)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax a g x x -->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）21(,].24e .（II ）22(2)(2)2()(()),x x e a x x g x f x a x x-+++==+ 由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =， 当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减； 当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增. 因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为000000022000(1)+()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+考点： 函数的单调性、极值与最值. 【名师点睛】求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)解出相应的x 的范围．当f ′(x )＞0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )＜0时，f (x )在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ．(Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ， 由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆ 因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=考点： 三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||AB ，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）.试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB得23cos ,tan 8αα==， 所以l的斜率为3或3-. 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+． 【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.试题解析：（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-；当1122x -<<时， ()2f x <； 当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<， 从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<， 因此|||1|.a b ab +<+考点：绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用||||(0)x a x b c c -+->>的几何意义：数轴上到点1x a =和2x b =的距离之和大于c 的全体，|||||()|||x a x b x a x b a b -+-≥---=-.(3)图象法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解．。
2016年高考全国2卷理数试题(解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1。
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页. 2。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3。
全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1)已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是(A ）()31-，(B ）()13-， （C ）()1,∞+（D)()3∞--，【解析】A∴30m +>,10m -<，∴31m -<<，故选A ．(2)已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，,则AB =（A ）{}1（B ）{12}，(C){}0123，，， （D ）{10123}-，，，， 【解析】C()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，，∴{}01B =，，∴{}0123A B =，，，，故选C ．（3)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b +⊥,则m = （A ）8-（B ）6-（C)6（D ）8【解析】D()42a b m +=-，,∵()a b b +⊥，∴()122(2)0a b b m +⋅=--= 解得8m =， 故选D ．（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=(A)43- (B ）34- （C ）3 （D)2【解析】A圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为:()()22144x y -+-=， 故圆心为()14，，24111a d a +-==+，解得43a =-,故选A ．（5）如图，小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A)24 （B ）18 (C ）12 （D ）9 【解析】BE F →有6种走法,F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法故选B ．（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(A ）20π （B)24π （C)28π （D)32π 【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ． 由图得2r =,2π4πc r ==，由勾股定理得：()222234l =+=,21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．（7)若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z (B ）()ππ26k x k =+∈Z （C)()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 【解析】B平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈， 故选B ．（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图。
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2016年全国高考理科数学试题全国卷2一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知z=(m+3)+(m –1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(–3,1) B ．(–1,3) C ．(1,+∞) D ．(–∞,–3)2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x –2)<0，x ∈Z}，则A ∪B=( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{–1,0,1,2,3}3、已知向量a =(1,m)，b =(3,–2)，且(a +b )⊥b ，则m=( ) A ．–8 B ．–6 C ．6 D ．84、圆x 2+y 2–2x –8y+13=0的圆心到直线ax+y –1=0的距离为1，则a=( )A ．–43B ．–34 C ． 3 D ．25、如下左1图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A ．24 B ．18 C ．12 D ．96、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π7、若将函数y=2sin2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x=kπ2–π6(k ∈Z)B ．x=kπ2+π6(k ∈Z)C ．x=kπ2–π12(k ∈Z)D ．x=kπ2+π12(k ∈Z)8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。
执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=( ) A ．7 B ．12 C ．17 D ．349、若cos(π4–α)=35，则sin2α= ( )A ．725B ．15C ．–15D ．–72510、从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4n mB ．2n mC ．4m nD ．2m n11、已知F 1、F 2是双曲线E ：x2a2–y2b2=1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为( )A ． 2B ．32 C ．3 D ．212、已知函数f(x)(x ∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=x+1x 与y=f(x)图像的交点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，...(x m ,y m )，则1()miii x y =+=∑( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA=45，cosC=513，a=1，则b=___________．14、α、β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：(1)如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β。
(2)如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n 。
(3)如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β。
(4)如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。
其中正确的命题有____________________(填写所有正确命题的编号)。
15、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________．16、若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=__________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、(本题满分12分)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S 7=28。
记b n =[lga n ]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1． (1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．18、(本题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．19、(本小题满分12分)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E 、F 分别在AD 、CD上，AE=CF=54，EF 交BD 于点H ．将△DEF 沿EF 折到△D'EF 位置，OD'=10． (1)证明：D'H ⊥平面ABCD ；(2)求二面角B –D'A –C 的正弦值．20、(本小题满分12分)已知椭圆E ：x2t +y23=1的焦点在X 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．(1)当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM|=|AN|时，求k 的取值范围．21、(本小题满分12分)(1)讨论函数f(x)=x –2x+2e x 的单调性，并证明当x>0时，(x –2)e x +x+2>0；(2)证明：当a ∈[0,1)时，函数g(x)=ex –ax –ax2(x>0)有最小值。
设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22、(本小题满分10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图，在正方形ABCD 中，E 、G 分别在边DA ，DC 上(不与端点重合)，且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F ． (1) 证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(2)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．23、(本小题满分10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25． (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x=tcosαy=tsinα(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=10，求l 的斜率．24、(本小题满分10分)[选修4–5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x –12|+|x+12|，M 为不等式f(x)<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a+b|<|1+ab|．参考答案1、解析：∴m+3>0，m –1<0，∴–3<m<1，故选A ．2、解析：B={x|(x+1)(x –2)<0，x ∈Z}={x|–1<x<2，x ∈Z}，∴B={0,1}，∴A ∪B={0,1,2,3}，故选C ．3、解析： 向量a +b =(4,m –2)，∵(a +b )⊥b ，∴(a +b )·b =10–2(m –2)=0，解得m=8，故选D ．4、解析：圆x 2+y 2–2x –8y+13=0化为标准方程为：(x –1)2+(y –4)2=4，故圆心为(1,4)，d=|a+4–1|a2+1=1，解得a=–43，故选A ．5、解析一：E →F 有6种走法，F →G 有3种走法，由乘法原理知，共6×3=18种走法，故选B ．解析二：由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短有C 24条路，再从F 处到G 处最短共有C 13条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为C 24·C 13=18条，故选B 。
6、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得r=2，c=2πr=4π，由勾股定理得：l =22+(23)2=4，S 表=πr 2+ch+12c l =4π+16π+8π=28π，故选C ．7、解析：由题意，将函数y=2sin2x 的图像向左平移π12个单位得y=2sin2(x+π12)=2sin(2x+π6)，则平移后函数的对称轴为2x+π6=π2+k π，k ∈Z ，即x=π6+kπ2，k ∈Z ，故选B 。
8、解析：第一次运算：s=0×2+2=2，第二次运算：s=2×2+2=6，第三次运算：s=6×2+5=17，故选C ．9、解析：∵cos(π4–α)=35，sin2α=cos(π2–2α)=2cos 2(π4–α)–1=725，故选D ．解法二：对cos(π4–α)=35展开后直接平方 解法三：换元法10、解析：由题意得：(x i ,y i )(i=1，2，3，...，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图的阴影中由几何概型概率计算公式知π/41=m n ，∴π=4mn ，故选C ．11、解析： 离心率e=F1F2MF2–MF1，由正弦定理得e=F1F2MF2–MF1=sinMsinF1–sinF2=2231–13=2．故选A ．12、解析：由f(–x)=2–f(x)得f(x)关于(0,1)对称，而y=x+1x =1+1x 也关于(0,1)对称， ∴对于每一组对称点x i +x'i =0，y i +y'i =2，∴()111022m m mi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．13、解析：∵cosA=45，cosC=513，sinA=35，sinC=1213，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=6365， 由正弦定理：b sinB =a sinA ，解得b=2113．14、解析：对于①，m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α，β的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为//n α，所以过直线n 作平面γ与平面β相交于直线c ，则n ∥c ，因为m ⊥α，∴m ⊥c ，∴m ⊥n ，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.15、解析：由题意得：丙不拿(2,3)，若丙(1,2)，则乙(2,3)，甲(1,3)满足；若丙(1,3)，则乙(2,3)，甲(1,2)不满足；故甲(1,3)，16、解析：y=lnx+2的切线为：y=1x1·x+lnx 1+1(设切点横坐标为x 1)y=ln(x+1)的切线为：y=1x2+1·x+ln(x 2+1)–x2x2+1，∴⎩⎨⎧1x1=1x2+1lnx1+1=ln(x2+1)–x2x2+1解得x 1=12，x 2=–12。