现代控制理论状态空间表达式的建立

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Section2
➢线性定常系统状态空间表达式的建立→ ➢能控标准形实现→ ➢能观标准型实现→ ➢对角标准型[约当型]实现→ ➢关于状态变量图→ ➢由状态空间表达式求传递函数(阵) → ➢关于输入输出解耦控制问题→ ➢性离散系统的状态空间表达式→
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➢线性定常系统状态空间表达式的建立
1、 现代控制论中给定一个传递函数G(s)，若存在一个线性常系数的状态 空间表达式，使之具有原来的传递函数。
传递函数
状态空间 表达式
则称此传递函数是可以实现的。 G(s)传递函数可以实现的充分必要条件：必须是一个严格真有理函数或真有理函数。
2、 同一个G(s)的实现不是唯一的。
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3、 已知系统传递函数，求其几种实现
x1 v, x2 v, x3 v, 则有
•
x1 x2
数变换到时域的微分方程得；
•
x2 x3
•••
••
•
v 7 v14 v 8v u
•
x3 8x1 14 x2 7 x3 u
•• •
y v 8 v15v
(2)、列写状态方程为：
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例：系统传递函数为，G(s)
Y U
s3
s2 8s 15 ，求其实现。 7s2 14s 8
U
X
2
s
1 s2
U
X
3
s
1 s3
U
x• 11 s1 x11 x12
x12 s1x12 x13
•
x13 s1x13 u
•
x
•
2
s2 x2
u
x3 s3 x3 u
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•
x• 11 s1 x11 x12
x12 s1x12 x13
•
x13 s1x13 u
•
G(s)
bm1s m bm s m1 b2s b1 s n an s n1 a2s a1
可得：
0 1 0 0 0
0
•
X
0
0 1
0 0
0
0
X 0u
1
a1 a2 a3 an 1
输出方程为 y b1 b2 bm1 0 0 X
（5）、说明：当状态空间表 达式A、B 具有上述形式时， 能控标准形实现
b2s a2s a1
b1
0
0
00
a1
1 0 0 0 a2
b1
b2
•
X
0
10
0
a3
X
bm
1
u
0 0 0 0 an1
0
0
01
an
0
y 0 0 0 0 1X
（5）、说明：[1] 请注意 A、C中各元素和 G(s)分子分母各项系数之间 的关系。 [2]、能控、能 观标准型实现中， A互为转置， B和C互为转置。
C11 (s s1)3
C12 (s s1 )2
C13 s s1
C2 s s2
C3 s s3
即
Y
(s
C11 s1 )3
(s
C12 s1 )2
C13 s s1
C2 s s2
C3 s s3
U (s) •
选取
X 11
(s
1 s1 )3
U
X 13
s
1U s1
X 12
(s
1 s1 )2
Ao AcT , Bo CcT ,Co BcT
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➢对角标准型实现
例； G(s)
s3
s2 8s 7s2
15 14s
8
s2 8s 15
(s 1)(s 2)(s 4)
8
3
1
s
3
1
s
2
2
s
6 4
Y s U s
8
3
1
Y
(s)
3
2
6
U (s)
s 1 s 2 s 4
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若传递函数有 重根分情况，可将系统化A为对角标准型 或准对角标准型（Jordan 标准型）。
参考《自动控制原理》下册 清华大学 吴麒 P.3 特征值规范型
例：化成约当规范型的 例子 一严格真有理函数，有 三重根 s1 和两两互异特征根 s2， s3。
解：传递函数因式分解 后得到
设
G(s)
请大家注意能控标准型 实现中 A、B元素和对应的传函分子 和分母各项 系数之间的关系。
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2、能观标准型实现
1
已知：
G(s)
s3
s 2 8s 15 7 s 2 14 s 8
Y (s) U (s)
8 U
15
x1
s 1
x2
s 1
xY
s 1 3
8
（1）、确定状态变量，若 选择
若将传递函数进行一般实现，并取积分 器的输出为状态变量。
例：系统传递函数为，G(s) 解： 1、能控标准形实现。
Y U
s3
s2 8s 15 ，求其实现。 7s2 14s 8
引入中间变量V，使G(s)
Y V
V U
s3
s2 8s 15 7s2 14s 8
令
V U
s3
7s2
1
14s
8
（1）、选择状态变量，
•
••
Y s2 8s 15 V
零初始条件下，将上述两个传递函
于是有；
(1)、选状态变量
X1(s)
s
1
U 1
(s),
X 2(s)
s
1
U 2
(s),
X
3
(s)
s
1
U 4
(s)
（2）、列方程有
•
x1
x1 u
•
x2
2x2 u
•
x3
4x3 u
而
y
8 3
x1
3 2
x2
1 6
x3；
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1
即
•
X
2
1
X
1u
4 1
y
8 3
3 2
1 6
•
x1 x2
•
x2 x3
•
x3 8x1 14 x2 7 x3 u
•
X
Biblioteka Baidu
•
x1
•
x2
•
0 0
1 0
0 0
1
X
0u
x3
8
14
7
1
（3）、输出方程为 y 15 8 1X
1
•
x3
x3
x2 8 x1
U
s 1
s 1
s 1
15
Y
7 14 8
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(4)、一般情况，若传递函 数为
X。
对角标准型
（3）、一般情况
G(s)
bm1s m sn
bm s m1 an s n1
b2s a2s a1
b1
n
Ci
i1 s si
若传递函数的特征根两两互异
则对角标准型实现为
s1
1
• X
s2
X
1u
sn
1
y C1 C2 Cn X
此时，系统各状态称解耦 的。
x
•
2
s2 x2
u
x3 s3 x3 u
约当块
•
x11
x•• 12
s1 0
x13 •
0
x2 0
• x3
0
10 s1 1 0 s1 00 00
（2）、列写状态方程
•
x1 8x3 15u
•
x2 x1 14x3 8u
•
x3 x2 7x3 u
（3）、写成矩阵形式
7 14
0 0 8 15
•
X
1
0
14
X
8
u
0 1 7 1
而输出方程为
y 0 0 1X
能观标准型
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（4）、一般情况若
G(s)
bm1s m sn
bm s m1 an s n1