第2节 微积分基本定理
积分微分知识点及习题和答案（仅供参考）
积分微分知识点及习题和答案（仅供参考）仅供参考积分和微分积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种1、不定积分设F(x) 是函数f(x) 的一个原函数,我们把函数f(x) 的所有原函数F(x)+C （C 为任意常数）叫做函数f(x) 的不定积分. 记作∫f(x)dx其. 中∫叫做积分号, f(x) 叫做被积函数, x 叫做积量,f(x)dx 叫做被积式,C 叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.由定义可知：求函数f(x) 的不定积分,就是要求出f(x) 的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x) 的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x) 的不定积分.也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.2、定积分众所周知,微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数.所以,微分与积分互为逆运算.实际上,积分还可以分为两部分.第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x) 的导数是f(x), 那么F(x)+C （C 是常数）的导数也是f(x), 也就是说,把f(x) 积分,不一定能得到F(x), 因为F(x)+C 的导数也是f(x),C 是无穷无尽的常数,所以f(x) 积分的结果有无数个, 是不确定的,我们一律用F(x)+C 代替,这就称为不定积分.而相对于不定积分,就是定积分.所谓定积分,其形式为∫f(x) dx 上(限 a 写在∫上面,下限 b 写在∫下面).之所以称其为定积分, 是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数.定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分.用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y 轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b] 上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b] 的面积.实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b.我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数.它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢?定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系.把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论, 可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：若F'(x)=f(x) 那么∫f(x) dx(上限 a 下限b)=F(a)-F(b)牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差.正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理.3、微积分积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数.在应用上,积分作用不仅如此, 它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。
第二节微积分基本公式
x
( x x ) ( x )
a x x x
(x)
sin x
例3. 设 f(x )在 ( , )内 f(x )0， 连 续 ， 且
证 明
tf(t) dt 0 (0 , )内 F (x ) x 函 数 在 为 f(t) dt 0
x
单 调 增 加 函 数 .
证
d x d x f ( t ) dt tf ( t ) dt xf ( x ), f(x ), 0 0 dx dx
sin x
tan tdt 0 (3 ). lim 0 . x 0 0 sin tdt tan x
解
tan(sin x ) cos x 原式 lim 2 x 0 0 sin(tan x ) sec x
cos x lim x 2 x 0 0 x sec x =－1
f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) 一 个 原 函 数 ， 则 . a
b
证 已 知 是 的 一 个 原 函 数 ， F ( x ) f ( x )
f ( x ) ( x ) ( t ) dt 又 也 是 的 一 个 原 函 数 , f
a x
[ a ,b ] F ( x ) ( x ) Cx
二、积分上限函数及其导数
1. 定义 设 f ( x ) [ a , b ] 函 数 在 区 间 上 连 续 ， 并
[ a , b ] 且 设 x 为 上 的 一 点 ，
大学数学一年级上册教案
课程名称：高等数学授课班级：数学1班授课时间：2课时教学目标：1. 理解并掌握微积分的基本概念和原理。
2. 能够运用微积分解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
教学内容：1. 微积分基本概念2. 微积分基本定理3. 微积分应用教学重点：1. 微积分基本概念的理解2. 微积分基本定理的运用教学难点：1. 微积分基本概念的应用2. 微积分在解决实际问题中的应用教学过程：一、导入1. 提问：同学们，你们在中学阶段学习过哪些数学知识？2. 回答：函数、几何、代数等。
3. 引入微积分的概念，说明微积分是研究变化和运动规律的一门数学分支。
二、微积分基本概念1. 函数的定义：函数是两个非空数集之间的对应关系。
2. 导数的定义：导数是研究函数在某一点处变化率的概念。
3. 积分的定义：积分是研究函数在区间上累积变化量的问题。
三、微积分基本定理1. 微积分基本定理：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么在(a, b)内存在一点c，使得f'(c)等于f(b) - f(a)除以b - a的值。
2. 举例说明微积分基本定理的应用。
四、微积分应用1. 列举生活中的实际问题，如速度、位移、面积等。
2. 运用微积分知识解决实际问题。
五、课堂练习1. 列举生活中常见的实际问题，运用微积分知识求解。
2. 学生分组讨论，解答问题。
六、总结1. 回顾本节课所学内容，强调微积分基本概念和定理的重要性。
2. 强调微积分在解决实际问题中的应用。
七、布置作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 查阅资料，了解微积分在各个领域的应用。
教学反思：本节课通过讲解微积分基本概念、定理和应用，使学生初步掌握了微积分的基本知识。
在教学过程中，注重理论联系实际，引导学生运用微积分知识解决实际问题。
同时，通过课堂练习和分组讨论，提高学生的动手能力和团队协作能力。
在今后的教学中，应继续加强学生的实际应用能力培养，提高教学质量。
《高等数学》第二节 定积分基本公式
例 1 设f (x) sin 2t d t, 求f (x) 0 x 2 2 解:f (x) sin 2t d t sin 2x 0
2
x
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则 I (x) f (t )dt
a x
是f (x)在[a, b]上的一个原函数.
或记作
证明
b f ( x ) d x F ( x ) a F (b) F ( a ). b a
b a
F (x)是f (x)的一个原函数， 而I (x) f (t )dt也是f (x)的一个原函数，
a x
F (x) I (x) C.
令x a有 F (a) I (a) C.
1 1 1 x2 1 lim . 2 x 0 1 2
I I' ( x) lim lim f ( ) f (x)， x 0 x x
即
d x I ' (x ) f (t )dt f (x ). dx a
a
结论：变上限积分所确定的函数 x f (t )dt 对积分上限 x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).
注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x 是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限 x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间 变化的，因此常记为
x a
x
f (t )dt.
定理1
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则变上限 I (x) f (t )dt
1 1 dx arctan x 1 2 1 x
1 1
arctan 1 arctan( 1) π π ( ) 4 4 π . 2
第五章定积分2
x
果 限 如 上 x 在 间 a, b]上 意 动 则 于 区 [ 任 变 ， 对 每 个 定 x值 定 分 一 对 值 所 一 取 的 ， 积 有 个 应 ， 以 它 [a, b]上 义 一 函 ， 在 定 了 个 数
记 Φ( x) = ∫ f (t )dt . 积分上限函数 a
x
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Q F( x) − ∫a f (t )dt = C, ∴ ∫a f (t )dt = F( x) − F(a),
令 x=b ⇒
x x
a
∫a f ( x)dx = F(b) − F(a).
牛顿—莱布尼茨公式 牛顿 莱布尼茨公式
b
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结束
铃
f ( x)dx = F(b) − F(a) = [F( x)]b ∫a a
(a ≤ x ≤ b)
∆Φ = Φ( x + ∆x) − Φ( x)
=∫
x+∆x a
f (t )dt − ∫ f (t )dt
a
x
Φ(x)
o a
x
x + ∆xb
x
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结束
铃
= ∫a f (t )dt + ∫x
=∫
x+∆x x
x
x+∆x
f (t )dt − ∫a f (t )dt
y
Φ(x Φ(x))
设 5、 I1 =
π
∫−π cos mx ⋅ cos nxdx ,
π
∫−πsinmx ⋅ sinnxdx，
首页 上页 返回 下页 结束 铃
1、 m （ ） 当 = n 时 I1 =__ ,I2 =_____ ， ， （ ） 当 ≠ n 时 I1 =___ ,I2 =_____ . 2、 m ， ___ 设 cos mx ⋅ sin nxdx, 6、 1、 m （ ） 当 = n 时 I3 =____ , ， （ ） 当 ≠ n 时 I3 =_____ . 2、 m ， 7、∫4 x(1 + x)dx = _____ . 3 dx = _____ . 8、∫ 1 2 3 1+ x
第二节 微积分基本公式
x x0
x
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说明:
1)定理 2: 连续函数 f (x) 一定有原函数, 函数
( x)
x
f (t)dt
就是f(x)的一个原函数.
a
2) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 .
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3) 其他变限积分求导
d ( x) f (t )d t f [ ( x)]( x)
设f ( x)
2 sin
x
1
1
t
2
dt
,
求f
(
x
).
解
f ( x)
sin 2
x
1
1
t
2dt
f ( x)
1 1 sin2 x
(sinx)
cos x 1 sin2 x
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例3
设f ( x)
x
2
e
t
dt
,
求f
(
x
).
x3
解
f (x) 0 etdt x2 etdt
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
所以 lim x0
1 e t 2 dt
cos x
x2
lim sin x ecos2 x
x0
2x
1. 2e
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例5 确定常数 a , b , c 的值, 使
解 原式 =
c ≠0 , 故 a 1. 又由
第五章
第二节 微积分基本公式
一、问题的提出 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式 四、小结
D3_2微积分基本公式
,
求 0
2
f
x dx
解
0
2
f
0
x dx
2
1 0
2
y
y 1 x
1
1
x dx
2
1 3 0
1 1 x d x
2 2
1 3
x
x x 2 1
y x
2
x
17 6
o
目录
1
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2
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四 不定积分
定义： 函数 f ( x )的一切原函数F(x)+C的表达式，
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定理2.
函数, 则 a
因此有
b
f t d t F b F a F x
b a
F b F a
n
n
[ F ( x k ) F ( x k 1 )]
k 1
F ( k ) x k
k 1
f ( x)dx
f ( x ) dx
( 2)
F (x) dx F (x) C
证 ：
或
d F (x) F (x) C
f ( x)dx F ( x) C
又
d f ( x )dx d F ( x) C f ( x)dx
h
h 0
lim f ( ) f (x)
h0
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说明:
1) 定理1证明了连续函数的原函数是存在的.同时为
微积分教学大纲
微积分教学大纲一、使用说明一课程性质微积分是高等学校财经、管理类专业核心课程经济数学基础之一,它有着深刻的实际背景,在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用;微积分作为一学年的课程,是为财经类、管理类等非数学专业本科生开设的,制定大纲的原则是具有一定数学基础的学生对该领域的基础知识、背景有所了解,为进一步学习专业课打下坚实的基础;二教学目的通过本课程的学习,使学生较好地掌握微积分特有的分析思想,并在一定程度上掌握利用微积分认识问题、解决问题的方法；对微积分的基本概念、基本方法、基本结果有所了解,并能运用其手法解决实际问题中的简单课题;三教学时数本课程共132学时,8学分;四教学方法采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;五面向专业经济学、管理学所有本科专业;二、教学内容第一章函数一教学目的与要求教学目的使学生正确理解函数的定义;理解函数的各种表示法,特别是分析表示法;了解函数的几何特性及图形特征,了解反函数、复合函数概念;熟练掌握基本初等函数的性质及图形,掌握初等函数的结构并能确定其定义域,能列出简单的实际问题中的函数关系;基本要求1、理解实数与实数的绝对值的概念;2、理解函数、函数的定义域和值域,熟悉函数的表示法;3、了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征;4、了解反函数概念；知道函数与其反函数的几何关系；给定函数会求其反函数;5、理解复合函数的概念；了解函数能构成复合函数的条件；掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法;6、基本初等函数及定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质;7、了解分段函数的概念;8、会建立简单应用问题的函数关系;二教学内容函数的定义,函数的几何特性,反函数,复合函数,初等函数,经济中的常用函数;教学重点：1、五个基本初等函数的分析表达式、定义域、值域及其图形;2、初等函数的概念,复合函数的复合步骤的分解方法;3、几个常用经济量的含义及几个常用的经济函数;教学难点：1、复合函数的复合步骤的分解方法;2、利用图形把抽象的数学问题形象化、直观化研究问题的方法;第一节预备知识一、实数二、绝对值三、区间四、邻域五、集合第二节函数概念一、常量与变量二、函数的定义与表示法三、函数定义域的求法第三节函数的几何特性一、函数的单调性二、有界性三、奇偶性四、周期性第四节反函数一、反函数的定义及其图形二、反三角函数及其主值第五节复合函数一、复合函数的定义二、运算及举例第六节初等函数一、基本初等函数的定义、定义域、值域及其图形二、初等函数的定义第七节分段函数一、分段函数的概念二、分段函数的图形特征第八节建立函数关系的例子一、总成本函数、总收入函数、总利润函数二、需求函数、供给函数三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数6学时;第二章极限与连续一教学目的与要求教学目的通过本章教学使学生理解极限与连续这两个高等数学中的基本概念掌握极限运算法则和两个极限存在准则,了解间断点的概念和闭区间上连续函数的性质;基本要求1、了解数列极限与函数极限概念;关于数列极限与函数极限分析定义不做要求;2、了解无穷小量的概念与基本性质,掌握无穷小量比较的方法；了解无穷大量的概念；知道无穷小量与无穷大量的关系;3、知道两个极限的存在性定理,并能用于求一些简单的极限;夹逼定理,单调有界数列的极限存在性定理;4、熟练掌握两个重要极限,两个重要极限的证明不作要求;5、了解函数连续性的概念,函数间断点的概念；掌握函数间断点的分类；掌握讨论简单分段函数连续性的方法;6、了解连续函数的性质,理解初等函数在其定义区间内必连续的结论;7、了解闭区间上连续函数的基本定理,基本定理的证明不作要求;8、掌握求极限的基本方法：利用极限运算法则、无穷小量的性质、两个重要极限以及函数的连续性等求极限的方法;二教学内容数列极限,函数极限,极限的基本性质,无穷小及无穷大,极限的四则运算,极限存在准则及两个重要极限,函数连续的概念及性质;教学重点：1、极限概念、极限的运算法则;2、两个重要极限,求极限的一些基本初等方法;3、函数连续性的概念、间断点的分类;教学难点：1、极限的概念;2、分段函数的连续性;3、间断点的分类;第一节 数列的极限一、数列的概念二、数列极限的定义与几何意义三、数列极限的唯一性及收敛数列的有界性第二节 函数的极限一、0x x →时,函数()f x 的极限二、x →∞时,函数()f x 的极限三、函数极限的几何解释四、单边极限第三节 极限的基本性质一、唯一性二、有界性三、保号性四、不等式性第四节 无穷小量与无穷大量一、无穷小量的定义与基本性质二、无穷小量的比较三、无穷大量的定义四、无穷小量与无穷大量的关系第五节 极限的运算法则一、极限的四则运算法则二、复合函数的极限运算法则第六节极限的存在性定理一、夹逼定理二、单调有界数列的极限存在性定理第七节两个重要极限一、0sin1lim xx x→=二、1(1)lim xxex→∞+=第八节函数的连续性一、函数的改变量二、函数的连续性,左连续与右连续三、函数的连续性与极限的关系四、函数的间断点及其分类五、连续函数的和、差、积、商的连续性六、反函数与复合函数的连续性七、初等函数的连续性七、分段函数的连续性第九节闭区间上连续函数的基本定理一、有界性定理二、最值定理三、介值定理四、零点定理三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数14学时;第三章导数与微分一教学目的与要求教学目的让学生理解导数与微分的概念,导数的几何意义及函数可导性与连续性之间的关系;掌握导数四则运算法则,初等函数、复合函数、反函数以及隐函数所确定的函数的一阶二阶导数的求导方法,会求简单的n阶导数;基本要求1、了解导数的概念；知道导数的几何意义与经济意义；了解可导与连续的关系;2、熟练掌握基本初等函数的导数公式;3、熟练掌握导数的四则运算法则;4、掌握反函数的导数公式证明不作要求;5、熟练掌握复合函数的链式求导公式证明不作要求6、掌握隐函数求导法与对数求导法;7、了解高阶导数概念,掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的n阶导数的方法;8、了解微分的概念；掌握可导与可微的关系；熟练掌握微分法则与微分基本公式；了解微分形式的不变性;9、知道边际与弹性的概念,会求解简单的经济应用问题;二教学内容导数概念；导数的和、差、积、商的求导法则；反函数的导数；复合函数的求导法则；高阶导数；隐函数的导数；函数的微分；微分在近似计算中的应用;教学重点：1、导数定义,利用求导公式及四则运算法则计算初等函数的导数;2、复合函数的导数;3、微分的定义以及计算方法;教学难点：1、导数概念的建立;2、复合函数的导数;3、微分概念的建立,微分形式不变性;第一节导数的概念一、变速直线运动的速度二、平面曲线的切线斜率三、导数的定义与几何意义四、可导与连续的关系第二节基本初等函数的导数公式推导基本初等函数的导数公式;第三节导数的四则运算导数的和、差、积、商的求导法则;第四节反函数与复合函数的导数,隐函数的导数,对数求导法一、反函数的导数二、复合函数的求导法则三、隐函数的导数四、对数求导法第五节高阶导数的概念与求法一、高阶导数的概念二、高阶导数求法第六节微分一、微分的定义与几何意义二、可导与可微的关系三、微分法则与微分基本公式四、微分形式的不变性第七节导数与微分的简单应用一、边际与弹性概念二、边际与弹性经济学意义三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数16学时;第四章中值定理与导数的应用一教学目的与要求教学目的使学生掌握中值定理的条件和结论;会用中值定理进行简单的推理论证,熟练运用洛必达法则求不定式的极限,掌握利用导数判断函数的单调性、极值、凹凸型和拐点的方法,并会描绘简单函数的图形,会用到书分析一些简单的经济问题;基本要求1、能叙述Rolle 定理、Lagrange 定理、Cauchy 定理,知道这些定理之间的联系,会利用这些定理证明一些简单的证明题如证明不等式;有关这些定理的证明不作要求;2、 熟练掌握00型、∞∞型的洛必达法则,了解其它未定式的定值方法;注意洛必达法则适用的条件;3、熟练掌握函数单调性的判别法;4、熟练掌握求函数的极值与最值的方法；了解函数极值与最值的关系与区别；会求某些简单的经济应用问题;5、掌握曲线凹凸性的判别法；掌握求曲线拐点与渐进线的方法;6、掌握函数作图的基本步骤与方法；会作某些简单函数的图形;二教学内容中值定理；洛必达法则；函数单调性、凹凸性及拐点的判定；函数的极值与最值及其求法；函数图形的描绘;教学重点：1、拉格朗日中值定理的题的条件,结论和有限增量形式;2、用洛必达法则求00,∞∞型的极限化五种不定式∞-∞,0∞, ∞1,00,0∞为00型或∞∞型;3、利用导数研究函数的单调性,极值及曲线的凹凸性;4、经济应用问题:最大利润,最小成本等;教学难点：1、三个中值定理的证明,证明时辅助函数的引进;2、化五种不定式∞-∞,0∞, ∞1,00,0∞为00型或∞∞型; 3、利用单调性和极值证明不等式;第一节 中值定理一、Rolle 定理二、Lagrange 定理三、Cauchy 定理第二节 洛必达法则一、洛必达法则二、洛必达法则的条件及其应用第三节 函数的单调性与凹凸性一、函数的单调性及其判别法二、函数的凹凸性及其判别法、拐点第四节 函数的极值与最值一、函数极值的定义二、函数取极值的必要条件与充分条件三、函数最值的概念四、求函数最值的基本步骤第五节 函数作图一、曲线的渐进线二、函数作图第五节 经济应用举例一、最大利润二、最小成本三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数18学时;第五章 不定积分一教学目的与要求教学目的通过教学让学生理解不定积分的概念与性质.掌握不定积分的基本公式,还原法和分部积分法,会求一些简单的有理函数的积分;基本要求1、了解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质;2、熟悉基本积分公式;3、熟练掌握计算不定积分的两种换元法和分部积分法;4、会计算三种简单的分式的不定积分：A dx x a -⎰, ()m A dx x a -⎰, 22(40)Mx N dx p q x px q+-<++⎰ 二教学内容不定积分的概念与性质；换元积分法；分部积分法；有理函数的积分;教学重点：1、原函数,不定积分的定义,基本积分公式;2、换元法,分部积分法教学难点：1、第一换元法,第二换元法,分部积分法;2、有理函数式化部分分式代数和;第一节 不定积分的概念一、原函数的概念二、不定积分的定义与几何意义三、不定积分的基本性质第二节基本积分表基本积分公式;第三节换元积分法一、第一换元积分法二、第二换元积分法第四节分部积分法一、分部积分公式二、分部积分公式应用第五节有理函数的积分一、简单分式的不定积分二、真分式的分解三、求有理函数不定积分的一般步骤与方法三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数10学时;第六章定积分一教学目的与要求教学目的使学生理解定级分和广义积分的概念,掌握定积分的计算方法.会计算简单的广义积分,另外会用定积分求解一些简单的几何和经济问题;基本要求1、了解定积分的概念与基本性质,掌握积分中值定理;2、会求变上限积分的导数,熟练掌握牛顿——莱布尼兹公式;3、熟练掌握定积分的换元积分公式与分部积分公式;4、会利用定积分求解平面图形的面积、旋转体的体积、及简单的经济应用问题;5、了解广义积分收敛与发散的概念,掌握计算广义积分的方法;知道广义积分11pdx x+∞⎰与101p dxx⎰的收敛条件;知道Γ函数的定义、性质与递推公式;二教学内容定积分的概念与性质；微积分基本定理；定积分的换元积分法和分部积分法；定积分在面积、体积与经济学中的应用；广义积分;教学重点：1、定积分的概念,牛顿—莱布尼兹公式,定积分的计算;2、定积分的换元法及分部积分法;3、平面图形的面积计算;教学难点：1、定积分几何意义,变上限定积分;2、广义积分的敛散性;3、”微元法”的基本思想;第一节定积分的概念与性质一、曲边梯形的面积二、定积分的定义与几何意义三、定积分的基本性质四、积分中值定理第二节微积分基本定理一、变上限积分与原函数存在定理二、变上限积分的求导方法三、牛顿——莱布尼兹公式第三节定积分的计算一、第一换元积分法二、第二换元积分法三、分部积分法第四节定积分的应用一、平面图形的面积二、立体的体积三、简单的经济应用问题第五节广义积分初步一、无穷积分的概念与无穷积分收敛与发散的定义及其计算二、瑕积分的概念与瑕积分收敛与发散的定义及其计算三、广义积分11pdx x+∞⎰与101p dxx⎰的敛散性判别四、Γ函数的定义、性质与递推公式五三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数14学时;第七章多元函数微积分学一教学目的与要求教学目的使学生了解空间直角坐标系的有关概念及多元函数的概念.理解多元函数微分理论,掌握多元函数微分的基本计算方法和在求极值方面的应用.了解二重积分的概念,性质.掌握在直角坐标系下二重积分的计算方法及对特殊区域会用极坐标系去计算积分;基本要求1、了解空间直角坐标系的有关概念,会求空间两点间的距离;了解平面区域、区域的边界、点的领域、开区域与闭区域等概念;2、了解多元函数的概念；掌握二元函数的定义与表示法;3、知道二元函数的极限与连续性的概念;4、理解多元函数的偏导数与全微分的概念；熟练掌握求偏导数与全微分的方法；掌握求多元复合函数偏导数的方法;5、掌握由一个方程确定的隐函数的求偏导数的方法;6、了解二元函数极值与条件极值的概念；掌握用二元函数极值存在的必要条件与充分条件求二元函数极值的方法；掌握用拉格朗日乘数法求解二元函数极值的方法;7、了解二重积分的概念、几何意义与基本性质；掌握在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分的常用方法,会计算一些简单的二重积分二教学内容多元函数的概念；偏导数；多元复合函数偏导数；隐函数的求偏导数；全微分；二元函数极值与条件极值；二重积分的概念、性质、计算法及应用;教学重点：1、偏导数的运算;2、复合函数的偏导数和全微分;3、条件极值与拉格朗日乘数法;4、二重积分定义,性质;5、在直角坐标系及极坐标系下计算二重积分教学难点：1、二元函数极限的概念;2、高阶偏导数的运算;3、复合函数的偏导数;4、极值应用问题的求解;5、二重积分定义;6、二重积分的定限第一节预备知识一、空间直角坐标系、空间两点间的距离与空间曲面与曲面方程二、平面上的区域、区域的边界、点的领域、开区域与闭区域的概念第二节多元函数的概念一、多元函数的定义二、二元函数的定义域与几何意义三、二元函数的极限与连续性第三节偏导数与全微分一、偏导数的定义与计算方法二、全微分的定义与计算方法第四节多元复合函数微分法与隐函数微分法一、多元复合函数概念与微分法二、隐函数微分法第五节高阶偏导数一、高阶偏导数的定义二、高阶偏导数的求法第六节多元函数的极值与最值一、二元函数极值的定义二、极值的必要条件与充分条件三、条件极值与拉格朗日乘数法四、多元函数最值的概念与求法第七节二重积分一、曲顶柱体体积二、二重积分的定义与基本性质三、二重积分的计算法四、在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数28学时;第八章无穷级数一教学目的与要求教学目的使学生掌握关于级数的基本概念和基本理论及有关级数收敛性的理论和方法.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念,能熟练掌握简单的幂级数收敛区间的求法.基本要求1、了解无穷级数及其一般项、部分和、收敛与发散、收敛级数的和等基本概念;2、掌握几何级数与P级数敛散性判别条件；知道调和级数的敛散性;3、掌握级数收敛的条件,以及收敛级数的基本性质;4、掌握正项级数的比较判别法；熟练掌握正项级数的达朗贝尔比值判别法;5、掌握交错级数敛散性的莱布尼兹判别法;6、了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念；掌握绝对收敛与条件收敛的判别法; 二教学内容常数项级数的概念与性质；正项级数的判别法；任意项级数的判别法；幂级数的概念；收敛半径；收敛区间;教学重点：1、正项级数收敛性的判别;2、交错级数的判敛.任意级数绝对收敛与条件收敛的概念;3、幂级数的收敛半径和收敛区间教学难点：1、对级数通项的认识并选定恰当的判敛法;2、任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念;第一节无穷级数的概念与性质一、无穷级数及其一般项与部分和的概念二、无穷级数收敛与发散的定义三、收敛级数和的概念四、几何级数与调和级数的收敛性五、无穷级数收敛的必要条件六、收敛级数的基本性质第二节正项级数一、正项级数收敛的概念二、正项级数收敛的充分必要条件三、正项级数敛散性的比较判别法、达朗贝尔比值判别法四、P级数的敛散性第三节任意项级数一、交错级数的概念二、交错级数敛散性的莱布尼兹判别法三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念四、绝对收敛与条件收敛的判别法第四节广义积分的敛散性判别法一、无穷积分与瑕积分的比较判别法与极限判别法二、广义积分的绝对收敛性三、Β函数的定义四、Β函数与Γ函数的关系第五节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数的概念三、幂级数收敛半径、收敛区间、和函数的概念四、幂级数敛散性判别法五、幂级数收敛半径、收敛区间的求法六、幂级数的基本性质第六节函数的幂级数展开一、泰勒公式及其余项二、泰勒级数与麦克劳林级数三、幂级数展开定理四、将函数展成幂级数的方法直接展开法、间接展开法五、基本初等函数的幂级数展开三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数10学时;第九章微分方程初步一教学目的与要求教学目的使学生了解微分方程的一些基本概念,掌握一些特殊而又简单的微分方程的解法,以及一阶线性方程,二阶常系数线性方程的解法,并会解一些简单的经济应用问题.基本要求1、了解微分方程的阶、解、通解、特解等概念;2、掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法;3、掌握二阶常系数线性微分方程的解法;4、会求解一些简单的经济应用问题;二教学内容微分方程的基本概念；可分离变量的微分方程；齐次微分方程；一阶线性微分方程；二阶常系数线性微分方程；微分方程在经济学中的应用;教学重点：1、微分方程的概念;2、变量可分离的微分方程,齐次方程,一阶线性微分方程,二阶常系数线性微分方程的解法;教学难点：1、各种类型的微分方程的判别;2、建立实际问题的微分方程第一节微分方程的基本概念一、微分方程的定义二、微分方程的阶、解通解、特解、定解条件三、微分方程的初值问题第二节一阶微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次微分方程三、一阶线性微分方程第三节高阶微分方程一、n阶微分方程的一般形式二、二阶常系数线性微分方程的特征根解法三、几种特殊的高阶微分方程的解法三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数8学时;第十章差分方程初步一教学目的与要求教学目的使学生了解差分方程的基本概念;掌握一阶,二阶常系数线性齐次差分方程的解法;会解一些特殊的一阶,二阶常系数线性非齐次差分方程;了解差分方程在经济学中的简单应用; 基本要求1、了解差分与差分方程的阶、解、通解、特解等概念;2、掌握一阶与二阶常系数线性齐次差分方程的解法;3、会求某些特殊的一阶与二阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解;4、会求解一些简单的经济应用问题;二教学内容差分方程的基本概念；一阶与二阶差分方程的解法；差分方程在经济学中的应用;教学重点：1、差分与差分方程的概念;2、一阶、二阶常系数线性差分方程的特解、通解;教学难点：二阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解;第一节差分方程的基本概念一、差分与差分方程的概念二、差分方程的阶、解通解、特解第二节一阶常系数线性差分方程一、一阶齐次差分方程的通解二、一阶非齐次差分方程的特解与通解第三节二阶常系数线性差分方程一、二阶齐次差分方程的通解特征根解法二、二阶非齐次差分方程的特解与通解。
定积分的直接积分法
2
x
|dx
解
3 |
1
2
x
|dx
2 (2
1
x)dx
3
2
(
x
2)dx
(2x
x2 2
)
|2
1
x2 (
2
2x) |32
2 5 ( 3) 2 5 22
同学练习2
1．
已知
f
(x)
2x , 3x2
1,
x0
，
x0
2
求 f (x)dx ． 1
例8(*)
dx 1
因此
lim
1et2 dt
cos x
lim
ecos2
x
sin
x
1
x x0
2
x0
2x
2e
同学练习2
1.
lim
x
0
1
1 t
t
dt
x
x
2.
lim
x0
1 et2 dt
cos x
x2
定积分的直接积分法
三、微积分基本公式
1.定理3 若函数 F x是连续函数 f x在区 间 a,b上的一个原函数，则
知识回顾 Knowledge Review
y
p( x)
oa x
bx
定理6.1 若 f x 在a,b上连续，则积分
上限函数
px
x
a
f
t dt
在 a, b 可导，
且 p'x f x a x b
(5.2) 第二节 微积分基本公式(少学时简约版)
就是 f( x )在区间[ a ,b ]上的一个原函数。
(3) 积分上限函数的性质的应用
例：设 f( x )在[ 0 ,+ )上连续，且满足
x21xftdtx,求 : f2. 0
从一般性的角度考虑，为求 f( 2 )需知 f( x )的
表达式，为此需解给定的积分方程。 解积分方程通常就是设法消去方程中的积分记号。
lim x 1. x x0
有了变上限函数的概念及对原函数结构的认识，便 可方便地证明最初的猜测，即定积分这样复杂的和式极 限可归结为它的一个原函数在积分区间上增量的计算。
定理 3 牛顿－莱布尼兹公式 如果函数 F( x )是连续函数 f( x )在区间[ a ,b ]上的
一个原函数，则有
bfxdxFbFa. a
a
a
即有 S ta tv td t S a l i m 0 i n 1 v iti S a .
由归纳法可猜测，f( x )的原函数的结构应是一个 复杂的和式极限，其一般形式应为
F xa xfxdxli m 0 i n 1fi xi.
与熟悉的初等函数相比，这是一种相对复杂的函数
形式。为证明上述猜测，需验证对此函数形式有
x l x i m 0 x x l x i m 0 f l i m x f f x .
即证得当 x ( a,b )时有
xd d xa xftdtfx.
定理 2 连续函数的原函数的存在性
若 f( x )在区间[ a ,b ]上连续，则
x
x
f tdt
a
构造变上限辅助函数进行证明
构造辅助函数 xa xftdt,x a,b.
由于函数 f( x )在区间[a ,b]上连续，故其在区间
微积分基本定理
1
2
x ,0 ≤ x < 1 ， 例8 设 f ( x ) = x,1 ≤ x ≤ 2
2
上的表达式. 求 Φ( x ) = ∫0 f (t )dt ，在 [0,2] 上的表达式
x
解
当 0 ≤ x < 1 时，
Φ( x ) = ∫0 f (t )dt = ∫0 t dt
x x 2
1 t 3 = 1 x 3 = 3 0 3
3 2
3x 2 2x = − 12 1+ x 1 + x8
x 0 “ 型未定式，可利用洛必达法 型未定式， 解 这是一个 ” 0 1 −t cos x −t e 则计算， 则计算，分子为 ∫cos x dt＝－∫1 e dt
2 2
例4
e ∫cos x 求 limt
由法则2得 由法则 得
(2)定理2 (2)定理2 定理
分上限函数Φ ( x ) = ∫ f (t )dt 是 f ( x ) 在区间
x
上连续， 若函数 f ( x ) 在 [a, b]上连续，则积
a
上的一个原函数. [a, b] 上的一个原函数.
此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数， 此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数， 另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系， 另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系， 从而可能用原函数来计算定积分. 从而可能用原函数来计算定积分
3.法则3 3.法则3 法则
α ( x ) ∈ [a , ， β ( x ) ∈ [a , b] 且α ( x ) 与 β ( x ) b] ，
都可微， 都可微，则有
若函数 f ( x )在区间 [a, b]上连续， 上连续，
微积分基本公式说
微积分基本定理说课稿一、教材分析1、地位与作用“微积分基本定理”是高中人教版选修2-2第一章第6的内容。
这节课的主要内容是：微积分基本定理的形成，以及用它求定积分。
在本节课之前教材已经引入导数和定积分的概念，并研究了其性质。
该定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。
本节内容不仅是本书一个非常重要的内容，也是整个数学学习中的一块重要知识，该定理为下一节定积分的应用的学习奠定了基础，同时也为学生深入研究数学作了一个知识储备。
2、教学目标根据以上的教材分析，确定本节课的教学目标如下：知识与技能：（1）了解微积分基本定理，学会应用微积分基本定理求定积分；（2）通过对本课学习，培养应用微积分思想解决实际问题的能力。
过程与方法：（1）通过自主探究速度与位移的关系对图像的研究，巩固数形结合的方法，；（2）通过设问，探究速度与位移的关系，培养化整为零，以直代曲的思想。
情感态度与价值观：（1）感知寻求计算定积分新方法的必要性，激发求知欲；（2）通过对定理的应用，体会微积分基本定理的优越性；（3）帮助建立微观与宏观的联系桥梁。
3、教学重点根据教材分析，及教学目标我对本节课确定了以下重点：通过探究变速直线运动中的速度和位移的关系导出出微积分基本定理，以及对微积分基本定理的应用。
二、学情分析1、已有的知识与能力学生是在高二时学习该定理，因此学生具备了以下知识和能力储备（1）学生在学习本节内容之前，变速直线运动中的位移、速度、时间三者的关系已经很熟悉；（2）已经熟练掌握高中导数的知识，并能应用这些知识解决问题； （3）理解了定积分的定义及其几何意义，并能按定积分的定义求解定积分； （4）相对高一而言具有更好地抽象思维能力和计算、化简能力。
2、学生可能遇到的困难（1）学生在本学期才开始接触微分和逐步逼近的思想，所以大部分学生微积分基本定理的形成还是比较困难的，因此只要求学生通过实例了解微积分基本定理；（2）在用微积分基本定理计算定积分时，部分学生对该定理的条件的理解和找满足()()x f x F ='的()x F 还是存在困难，但在高中对此要求不高，故提醒学生不必深究。
5-2第二节 微积分基本公式
证明: 根据定理1我们得到
F ( x) f (t )dt C, x a C F (a) f (t )dt F ( x) F (a)
a a x x
x b f (t )dt F (b) F (a) F ( x) |b a
a
b
此定理表明:在某区间[a,b]上,连续函数f(x)的定积分等于它的 任意一个原函数在该区间的增量△F=F(b)-F(a).这样我们将求
量x求导数,就等于被积函数在上限变量x处的值.(2)
是错误的.这里的上限为x2.因此必须利用复合函数求 导公式 x 2 x sin x x 2 x sin x x 2 sin x 2 2 ( dx)x ( dx)x 2 ( x ) 2x 2 2 2 2 0 1 cos x 0 1 cos x 1 cos ( x )
x
a
f (t )dt
高 等 数 学 电 子 教 案
这个定理指出一个重要结论:连续函数f(x)取变上 限x的定积分然后求导,其结果还原为f(x)本身.由 原函数的定义,我们知道φ(x)是连续函数f(x)的一
个原函数.因此,这里引出定理2
定理2 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
dx 0 1 x 2
1
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
与分法及取法无关,可用上述分法与取法,这样一 来,原式
高 等 数 学 电 子 教 案
1 lim xi 2 0 i 1 1 i
n
dx 1 0 1 x 2 arctgx 0 4 .
1
例8 计算 1.∫cosxdx. 2.∫0π/2 cosxdx.
第二节 微积分基本公式
d α( x) ∫a f (t ) dt = f [α ( x )] ⋅ α ′( x ) . dx
证 设 Φ( x) =
∫
x
a
则 f (t )dt ， ∫a
α ( x)
f (t) dt = Φ[α(x)]，
d α ( x) 所以 ∫a f (t ) dt = Φ′[α( x)]⋅α′( x) = f [α ( x )] ⋅ α ′( x ) . dx
例2 设 f ( x ) 为连续函数, F ( x ) = 为连续函数,
∫
ln x 1 x
f ( t ) dt , 则
1 1 1 F ′( x ) = f (ln x ) ⋅ ( ) − f ( ) ⋅ ( − 2 ) x x x
1 1 1 = f (ln x ) + 2 f ( ) . x x x
1 0
F (1) = 1 − ∫ f ( t ) dt = ∫ [1 − f ( t )] dt > 0, 0
由零点定理可知， 由零点定理可知，F (x) 在 (0,1) 内至少有一个零点； 内至少有一个零点； 另一方面，Q f ( x ) < 1, ∴ F ′( x ) = 2 − f ( x ) > 0 , 另一方面，
上连续， 且 例6 设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续， f ( x ) < 1 .证明方程
2 x − ∫ f ( t ) dt = 1 在 [0,1] 上只有一个实根 .
0
x
证
令 F ( x) = 2 x −
1
∫
x 0
f ( t ) dt − 1 , F ( 0 ) = − 1 < 0 ,
定积分与微积分基本定理.
3 ＝(x3－x2＋x)|－ 1＝24.
(2)
2 1 π
1 1 3 2 2 x－xdx＝2x －ln x|1＝ －ln 2. 2
π π
(3) (sin x－cos x)dx＝ sin xdx－ cos xdx＝
定积分与微积分基本定理
结束
2．计算下列定积分： (1) (3)
3 -1 π 0
(3x －2x＋1)dx；(2)
2
2 1 2 0
1 x－xdx； |1－x|dx.
(sin x－cos x)dx；(4)
3 -1
解：(1)
(3x2－2x＋1)dx
0 0 0 π (－cos x) |0 －sin x |π 0 ＝2.
数学
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第十二节
定积分与微积分基本定理
结束
(4) |1－x|dx＝ (1－x)dx＋ (x－1)dx
0 0 1
2
1
2
1 2 1 1 2 ＝x－2x |0＋2x －x |2 1 1 1 1 2 2 ＝1－2－0＋2×2 －2－2×1 －1＝1.
1 0 1 1 1－x dx 的几何意义是求单位圆面积的 ，所以 0 4
如：定积分 π 1－x dx＝ . 4
2
2
数学
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第十二节
定积分与微积分基本定理
结束
[练一练]
若 f(x)dx＝1， f(x)dx＝－1，则 f(x)dx＝________.
解析：∵ f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx， ∴ f(x)dx＝ f(x)dx－ f(x)dx＝－1－1＝－2.
安徽农业大学汪宏喜高等数学微积分第二章--导数及微分第2节
sec x tan x.
同理可得 (csc x) csc x cot x.
例3 求 y sin 2x ln x 的导数 .
解 y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x) ln x
2 sin x cos x 1 x
2 cos 2x ln x 1 sin 2x. x
二、反函数的导数
定理2
如果函数
x
(
y)在某区间
I
内单调、可导
y
且( y) 0 , 那末它的反函数 y f (x)在对应区间
I
内也可导
x
,
且有
f (x) 1 .
( y)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x )
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x))
1 (sin y)
1 cos
y
1 1 sin2 y
1 .
1 x2
同理可得 (arccos x) 1 .
1 x2
(arctan
x
)
1
1 x
2
;
(
arccot
x)
1
1 x2
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
微积分的基本定理(2)
b f (t)dt 称为积分下限函数. x
4
定理 6.1 (原函数存在性定理)
若 f (x) C([a,b]), 则 (x) x f (t) d t 在[a,b] a
上可导, 且
dx
'(x) d x a f (t) d t f (x) (a x b) .
5
例1
(
x
cost dt )
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第2节 微积分的基本定理
1
第六章 定积分
第二节 微积分的基本公式
一. 积分上限函数 二. 微积分基本公式
2
一. 积分上限函数 (变上限的定积分)
对可积函数 f (x) 而言, 每给定一对 a, b 值, 就有
确定的定积分值I
b
f
(x)d x
与之对应.
a
这意味着 f (x) 的定积分 b f (x)d x 与它的上下限 a
一个原函数, 则
b a
f
(x)d x
F ( x)
b a
F (b)
F (a).
牛顿— 莱布尼茨公式 将定积分的计算与求原函数的计算联系起来了.
10
例4
(sin x) cos x,
2 cos x d x
0
sin
x
2 0
sin
2
sin 0
1.
11
例5
1 1
11 x2
dx
arctan x
1 1
lim
x0
cos x
x2
lim x0
1
x2
罗必达法则
lim ecos2 x (sin x)
微积分第二版课件第二节微积分基本公式
y
y=f (x)
(x) ax f (t)dt ,
称为变上限的积分.
oa
x
bx
定理（微积分基本定理）
若函数f (x)在区间[a,b]上连续，则变上限函数
Φ(x)
x
f (t)dt
(a
x b)在[a,b]上具有导数，且
a
Φ '(x)
d dx
ax
f
(t
)dt
f (x)
(a x b).
即上限函数Φ(x)是f (x)在[a,b]上的一个原函数.
对应变上限积分函数还有变下限积分函数
(x) xb f (t)dt 对于变上（下）限积分函数也可以进行函数的复合， 由变上限积分函数导数与复合函数求导法则有结论：
若函数 (x), (x) 可微，函数 f (x) 连续，则
(1) d dx
a x
f
(t)dt
d dx
x a
f
(t
)dt
f (x)
0
cos
t
2
d
t
x2
lim
x0
2x cos 2x
x4
lim cos
x0
x4
1
1
lim
x0
0xarctan x2
tdt
.
lim
x0
arctan 2x
x
1 2
lim
x0
1
x2
1
1. 2
二、微积分基本公式
变速直线运动的路程问题
设物体作变速直线运动其路程函数为s=s(t) , 速度
函数为v=v(t) .则在时间间隔 [T1,T2 ] 内有
根据导数的定义及函 数的连续性，有
高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式
b
1 b ∴ m≤ ∫a f ( x )dx ≤ M ba
由闭区间上连续函数的介值定理知
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在区间[a , b]上至少存在一个点ξ ,
使 即
1 b f (ξ ) = ∫a f ( x )dx , ba
f (ξ )(b a ) . (a ≤ ξ ≤ b ) 积分中值公式的几何解释:
b
∫a g ( x )dx .
b
(a < b)
证
∵ f ( x ) ≤ g ( x ),
∴ g ( x ) f ( x ) ≥ 0,
∴
∫a [ g( x ) f ( x )]dx ≥ 0, b b ∫a g( x )dx ∫a f ( x )dx ≥ 0,
b
于是
∫a f ( x )dx ≤ ∫a g( x )dx .
b
(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)
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性质2 证
b
∫a kf ( x )dx = k ∫a f ( x )dx
∫a kf ( x )dx = lim ∑ kf (ξ i )xi λ → 0 i =1
n
b
b
( k 为常数).
= lim k ∑ f (ξ i )xi = k lim ∑ f (ξ i )xi
b
∑ f ( ξ i ) x i ≥ 0, i =1
n
∴ lim ∑ f (ξ i )xi = ∫ f ( x )dx ≥ 0. a λ →0
i =1
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例 1 比较积分值 ∫0 e dx 和 ∫0 xdx 的大小.
x
2
第二节 牛顿的微积分
第二节牛顿的微积分一《流数简论》《流数简论》表明，牛顿微积分的来源是运动学．1666年，他在坐标系中通过速度分量来研究切线，既促使了流数法的产生，又提供了它的几何应用的关键．牛顿把曲线f(x，y)＝0看作动点的轨迹，动点的坐标x，y是时间的函数，而动点的水平速度分量和垂直速度和垂直速度为边的矩形对角线，所以曲线f(x，y)＝0的切线斜率所以牛顿便在后来称它们为流数，实际上就是x和y对t的导数：而它们的比就是y对x的导数布尼茨发明的，我们这里采用它们是为了叙述方便．牛顿考虑的第一个问题是：给定x和y的关系f(x，y)＝0，求的次数……令这些乘积的总和等于零．这个方程就给出速度(流数)之间的关系．若用子表示，则为它是牛顿用来计算流数之比(即求导)的基本法则．实际上，这个式子牛顿是用“无穷小”概念和他一年前发明的二项式定理来证明(1)式的．他认为，作非匀速运动的物体在无穷小时间间隔o中的运动情况同作匀速运动的物体在有限时间间隔中的情况相同，“因此，如果到某一时刻，它们已描绘的线段为x和y，那么到下一时刻所描绘的线段就是x＋xo和y＋yo．”牛顿用x＋xo和y＋yo代替f(x，y)＝0中的x和y，于是有按二项式展开并略去o的二次以上(含二次)的项，得除以o后便得到(1)式．作为一个实例，可把y＝x n写成f(x，y)＝y－x n的形式，由(1)式推出的代数式)．他对这一问题的研究导致了微积分基本定理的发现，即：其中A表示曲线y=f(x)下的面积．从《流数简论》可以看出，他是用如下方法推导这一重要定理的：设y表示曲线f(x)下的面积abc(图11．13)，并把它看作垂平行移动，描绘出面积x和y，它们随时间而增加的速度是be和bc，”显然，be＝1而bc=f(x)．因此，牛顿认为面积y随时间的变化率是这显然等价于(2)式，就是说函数曲线下的面积的变化率等于曲线的纵坐标．他把求积问题看作求变化率的逆过程，即把y看作f(x)的积分(不定积分)．牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆关系．如果面积y＝在解决了基本的微积分问题后，牛顿又进一步提出变量代换法，它变量z＝1＋x n，其流数比为这便是我们熟知的幂函数微分公式，它的现代形式为类似地，牛顿在积分中也采用了代换法，并在稍后的著作中总结出代换积分公式．这个问题将在下面讨论．《流数简论》中，牛顿还导出函数的积和商的微分法则．设y=u(x)·v(x)，则由计算流数之比的基本法则得到至于函数和的微分，牛顿认为是显然的，没有作为公式列出．由于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念，明确提出一般性的微积分算法，特别是提出微积分基本定理，所以说他“发明”了微积分．不过，他当时只是观察到这一重要定理，至于定理的证明则是在他的第二本微积分著作中才出现的．二、《运用无穷多项方程的分析学》(下简称《分析学》)在这本书中，牛顿假定曲线下的面积为z＝ax m，其中m是有理数．他把x的无穷小增量叫x的瞬，用o表示．由曲线、x轴、y轴及x＋o处纵坐标所围成的面积用z ＋oy表示(图11．14)，其中oy是面积的瞬，于是有z+oy＝a(x＋o)m．根据二项式定理考虑到z＝ax m，并用o去除等式两边，得略去仍然含o的项，得xy=max m-1．这就是相应于面积z的纵坐标y的表达式，或者说是面积z在点的变化率线为y=max m-1；反之，若曲线是y＝max m-1，则它下面的面积是z=ax m．在这里，牛顿不仅给出了求变化率的普遍方法，而且证明了微积分基本定理．从计算角度来说，他实际上给出了两个基本的求导和积分公式(用现代符号表出)(ax m)′＝max m-1；在证明了面积的导数是y值，并断言逆过程是正确的以后，牛顿给出下面的法则：若y值是若干项的和，则面积是由每一项得到的面积的和，用现在的话来说，就是函数之和的积分等于各函数的积分的和：∫[f1(x)+f2(x)＋…+f n(x)]dx=∫f1(x)dx＋∫f2(x)dx+…+∫f n(x)dx．他对如下的积分性质也有明确认识：∫af(x)dx ＝a∫f(x)dx．他利用上述知识得到各种曲线下的面积，解决了许多能表成和式的问题．在此基础上，牛顿提出了利用无穷级数进行逐项积分的方法．例如然后对这个无穷级数逐项积分，得他说，只要b是x的倍数，取最初几项就可以了．y＝1-x2＋x4－x6＋x8－ (1)y＝x-2－x-4＋x-6-x-8＋ (2)他说，当x很小时，应该用(1)式，若x较大就必须用(2)式了．可见他已意识到级数收敛和发散的区别，不过还没有提出收敛的概念．同《流数简论》相比，《分析学》的另一项理论进展表现在定积分上．牛顿把曲线下的面积看作无穷多个面积为无限小的面积之和，这种观念与现代是接近的．为了求某一个区间的确定的面积即定积分，牛顿提出如下方法：先求出原函数，再将上下限分别代入原函数而取其差．这就是著名的牛顿—莱布尼茨公式，是他与莱布尼茨各自独立发明的．若采用现代数学符号，该公式可表述为：若F(x)是f(x)在区间[a，b]中应用极广的定积分计算问题便转化为求原函数问题，所以它是十分重要的．《分析学》中还有其他一些出色的成果，例如，书中给出求高次方程近似根的方法(即牛顿法)，导出正弦级数及余弦级数，等等．到此为止，牛顿已经建立起比较系统的微积分理论及算法．不过他在概念上仍有不清楚的地方．第一，他的无穷小增量o是不是0？牛顿认为不是．既然这样，运算中为什么可以略去含o的项呢？牛顿没有给出合乎逻辑的论证．第二，牛顿虽然提出变化率的概念，但没有提出一个普遍适用的定义，只是把它想象成“流动的”速度．牛顿自己也认为，他的工作主要是建立有效的计算方法，而不是澄清概念，他对这些方法仅仅作了“简略的说明而不是准确的论证．”牛顿的态度是实事求是的．三、《流数法和无穷级数》(下简称《流数法》)这是一部内容广泛的微积分专著，是牛顿在数学方面的代表作．在前两部书的基础上，牛顿提出了更加完整的理论．从书中可以看出，牛顿的流数概念已发展到成熟的阶段．他把随时间变化的量，即以时间为自变量的函数称为流量，以字母表的后几个字母v，x，y，z来表示；把流量的变化速度，即变化率称为流数，以表保留，并且仍用o表示．他在书中明确表述了他的流数法的理论依据，说：“流数法赖以建立的主要原理，乃是取自理论力学中的一个非常简单的原理，这就是：数学量，特别是外延量，都可以看成是由连续轨迹运动产生的；而且所有不管什么量，都可以认为是在同样方式下产生的．”又说：“本人是靠另一个同样清楚的原理来解决这个问题的，这就是假定一个量可以无限分割，或者可以(至少在理论上说)使之连续减小，直至……比任何一个指定的量都小．”牛顿在这里提出的“连续”思想及使一个量小到“比任何一个指定的量都小”的思想是极其深刻的，他正是在这种思想的主导下解决了如下两类基本问题．第一类：已知流量的关系求它们的流数之比，即已知y＝f(x)或例如书中的问题1：如果流量x和y之间的关系是x3－ax2+axy－y3=0，求它们的流数之比．程中的x和y，得展开后利用x3－ax2＋axy－y3＝0这一事实再把余下的项除以o，得至此牛顿说：“我们已假定o是无限微小，它可以代表流动量的瞬，所以与它相乘的诸项相对于其他诸项来说等于没有．因此我把它们丢掉，而剩下从表面看，这种方法与《流数简论》中的方法一致．所不同的是，数．《简论》中求流数之比的基本法则也被牛顿赋予一般的意义．例如，假定y=x n，牛顿首先建立然后用二项式定理展开右边，消去y＝x n，用o除两边，略去仍含o的项，结果得当然，在对具体函数微分时，不必采用无穷小而可直接代入公式．第二类：已知一个含流数的方程，求流量，即积分．(x)，则数简论》中，牛顿在具体积分中已经采用了这种方法，只是到这时才明确总结出公式．从《简论》及《流数法》两书来看，他推导此式的思路大致如下：由(2)，(3)得由微积分基本定理，得牛顿在书中还推出分部积分公式，即∫uv′dx=uv-∫vu′dx．其中u和v都是x的函数．若求∫uv′dx有困难而求∫vu′dx 比较容易时，就可利用分部积分公式求积分．牛顿总结了他的积分研究成果，列成两个积分表，一个是“与直线图形有关的曲线一览表”，另一个是“与圆锥曲线有关的曲线一览表”．这两个表为积分工作提供了许多方便．至此，牛顿已建立起比较完整的微分和积分算法，他当时统称为流数法．他充分认识到这种方法的意义，说流数法(即微积分)是一种“普遍方法”，它“不仅可以用来画出任何曲线的切线……而且还可以用来解决其他关于曲度、面积、曲线的长度、重心的各种深奥问题．”《流数法》一书便充分体现了微积分的用途，下面略举几例．例1，在“问题3——极大值和极小值的确定”中，牛顿给出了通过解方程f′(x)＝0来求f(x)极值的方法．他写道：“当一个量取极大值或极小值时，它的流数既不增加也不减少，因为如果增加，就说明它的流数还是较小的，并且即将变大；反之，如果减少，则情况恰好相反．所以求出它的流数，并且令这个流数等于0．”他用这种方法解出了九个问题．其中之一是求方程x3－ax2＋axy－y3=0中x的最大值．他先求出x和y的流数之比，得即 3y2＝ax．把上式代入原方程后，就很容易求得相应的x值和y值了．例2，已知曲线方程为x3－ax2＋axy y3＝0，AB和BD分别为曲线上D点的横、纵坐标，求作过D点的切线(图11．15)．牛顿先求得流数之间的关系由此得出因BD＝y，所以牛顿说：“给定D点后，便可得出DB和AB，即y和x，BT的长度也就给定，由此可确定切线TD．”例3，在“问题12——曲线长度的确定”中，牛顿采用流数法计算弧长．设QR是给定曲线，RN⊥MN，牛顿分别记MN ＝s．NR＝t，QR＝v(图11．16)，它们的流数分别为s，t，v，然后“想象直线NR向右移动到最接近的可能位置nr，由R 向nr引垂线RS，则MN，NR和QR分别增加RS，Sr和Rr．”牛顿说：“因为RS，Sr和Rr相互之比是这些线段的流数之间的若换成现在通用的坐标x，y和弧长s，则牛顿的结果为只要对t积分，就可求出弧长s了．综上所述，《流数法》不仅在基本思想上比《分析学》有了发展，而且提供了更加有效的计算方法．但牛顿的基本方法仍是弃去无穷小，因而同《分析学》一样出现逻辑困难．他尝试建立没有无穷小的微积分，于是有《曲线求积术》(下简称《求积术》)之作．四、牛顿的极限理论牛顿的四部微积分专著中，《曲线求积术》是最后写成(1693)但最早出版(1704)的一部．在书中，导数概念已被引出，而且把考察对象由二个变量构成的方程转向关于一个变量的函数．牛顿的流数演算已相当熟练和灵活了，他算出许多复杂图形的面积．阿达玛(J．Hadamard，1865—1963)称赞说，该书“论述的有理函数积分法，几乎不亚于目前的水平．”值得注意的是，在《求积术》中，牛顿认为没有必要把无穷小量引入微积分．他在序言中明确指出：“数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的．直线不是一部分一部分的连接，而是由点的连续运动画出的，因而是这样生成的；面是由线的运动，体是由面的运动，角是由边的旋转，时间段落是由连续的流动生成的．”在这种思想指导下，他放弃了无穷小的概念，代之以最初比和最后比的新概念．为了求函数y=x n的导数，牛顿让x“由流动”而成为x＋o，于是x n变为的最后比等于1比nx n-1．所以量x的流数与量x n的流数之比等于1比nx n-1．”牛顿认为这个比即增量的最初比，可见最初比与最后比的实质是一样的，都表示y关于x的导数，或者说是y对于x的变化率．用现在的符号可写成y′=nx n-1．牛顿还对他的最后比作出下面的几何解释：如图11．17，假定bc移向BC，使得c和C重合，那么增量CE、Ec、Cc 的最后比等于△CET的各边之比，即把这些增量看作初生量的最初比．”他说，“只有点C与c完全重合了，直线CK才会与切线(CH)重合，而CE、Ec、Cc的最后比才能求出．”显然，他是把切线CH当作割线CK的极限位置．实际上，早在《自然哲学的数学原理》(下简称《原理》)一书中，牛顿就表述了明确的极限思想．他说：“消失量的最后比严格地说并不是最后量的比，而是这些量无限减小时它们的比所趋近的极限．它们与这个极限之差虽然可以比任何给定的差更小，但这些量在无限缩小之前既不能超过也不能达到它．”在这部最早发表的包含微积分成果的书(当然不是最早写成的)中，牛顿已经把微积分的大厦建筑在极限的基础之上，他用极限观点解释了微积分中的许多概念．例如，他认为表示定积分的曲边图形与“消失的平行四边形的终极和”相重合．牛顿指出，当这些平行四边形(相当于今天讲定积分几何意义时的长条矩形)的最大宽度无限减小时，就成为“消失的平行四边形”，而曲边图形就是所有这些消失图形的终极和了．牛顿在《原理》中阐发的极限思想，成为他撰写《求积术》的理论基础．当然，他还没有提出如同我们现在使用的严格的极限定义．。
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• a x 0 x 1 x 2 L x i L x n b ，用 x i 表示
区间[ xi1 , xi ] (i1,2,Ln) 的长度，记
,
在区间 [ xi1 , xi ] 上任取一点 i ，作和
数
Sn
n
f
(i
)xi
，若当(T)
0时，S n
（I 有限
i1
数），且 I
与分割 T
及 在区间 i
a5m/s2. 所以 vt v0at105t，
而停车时 v t 0 ，因此 t 2 .故 S0 2vtdt0 2(105t)dt10.
即刹车后，汽车需要走1 0 m 才能停住 .
随堂练习： P86 7
小结：这节课主要讲原函数的定义，微积分 基本定理及运用.
作业： P85 A6
• a bf(x)dxF (x)b aF (b)F (a).
• 上述公式是Newton —Leibniz公式，也称作
微积分基本公式.
• 注意： 定理的证明放到大学里去证，要用到 积上限函数
•
(x)
x
f (t)dt
,
a
x[a,b] .
例1 计算下列定积分：
• （1）
1
2xdx ;
0
• （2） 1 x 2 d x ; 0
第2节 微积分基本定理
乐安一中 王朝华
一.教学目的：使学生掌握微积分基本 定理，并运用求定积分 二．教学重点：应用微积分基本定理 计算微积分 三．教学难点：求一个函数的原函数 四．教学方法：讲练结合
• （一）复习提问 • 1定积分概念
(T)Max{xi} 1in
• 设函数y f (x)定义在区间[ a , b ] 上，用分割T 将区间 [ a , b ] 分成n个小区间，分点依次为
• （5）a x 的原函数是 a x c ； ln a
• （6）s i n x 的原函数是 cosxc；
• （7）cos x的原函数是 sinxc ；
• （8） 1 的原函数是arcsinxc. 1 x2
• 3微积分基本定理
• 设函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续，若 F ( x ) 是 f ( x ) 在区间[ a , b ] 上的一个原函数，则
b
b
• （2） a [f(x ) g (x )]d x af(x )d x ag (x )d x;
• （3） 积分区间的可加性
•
bf(x)dxcf(x)dxbf(x)dx,
a
a
c
(
acb
).
• （二）讲新课
• 1原函数的定义
• 设函数 f ( x ) 定义在某区间 I 上，如果存 在函数 F ( x ) 使得 x I 都有F(x)f(x) ，
那么称函数 F ( x ) 为 f ( x ) 在区间 I 上的一
个原函数.
• 易知：f ( x ) 的所有原函数可以表示为 F(x) C （ C 为任意常数）.
• 2 常见基本初等函数的原函数表 • （1）1的原函数是 x c ；
• （2）x 的原函数是 1 x1+C(1)；
1
（3）1x 的原函数是 ln x c ； • （4）e x 的原函数是 e x c ；
[ x i1 , x i ] (i1,2,Ln)
上的选取无关，则称此极限为 f ( x ) 在区间 [ a , b ]
上的定积分，记为
b
I a f (x)dx
.
• 2定积分几何的意义 • 就是曲边梯形的面积. • 3定积分的性质
• （1） abkf(x)dxkabf(x)dx（k为任意常数）;
b
x • 例2 计算 y sin x在 [0， ] 上与 轴所围成 平面图形的面积.
• 【解】 A0 sinxdxcosx 02.
• 例3 汽车以每小时 36km 的速度行驶，到某处 需要减速停车，设汽车以等加速度 a 5m s2
• 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了距离？
【解】因为当 t 0时， v0 10m/ s；又
• （3）
2 0
c
o
s
xd
x
;
• （4） 2 e x d x . 1
【解】（1）原式= 20 1xdx21 2x21 012021.
（2）原式=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1x3 3
1 0
1(13 3
03)1 3
.
（3）原式=
sinx
2 0
sin sin01
2
.
（4）原式= 12exdxex1 2e2e1e2e.
随堂练习：P8 5 1 .