数值分析第五版第5章学习资料
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6
n
即 de(A t) aijAij (i1,2,,n), j1
其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，Aij(1)ijMij, M ij 为元素 a ij 的余子式.
行列式性质：
( ad ) ( A e ) d t B ( A e )d ( t B )A e , ,B t R n n .
有非零解，故系数行列式 deIt (A)0，记
a11 a12 p()det(I A) a21 a22
a1n a2n
（1.3）
an1 an2 ann n c1n1cn1cn 0.
p()称为矩阵 A的特征多项式，方程(1.3)称为矩阵 A的特
征方程.
9
因为 n次代数方程 p() 在复数域中有 n个根
其中用 ri 表示矩阵的第 i行. 由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消
去未知数的方法把原方程组 Axb化为与其等价的三角 形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.
上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化 为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的 问题转化为求解简单方程组的问题.
n
n
trA aii i.
i1
i1
（1.4） （1.5）
称 trA为 A的迹.
A的特征值 和特征向量 x还有一下性质：
(1) AT 与 A有相同的特征值 及特征向量 .
(2)若 A非奇异，则 A1 的特征值为 1，特征向量为 x.
(3)相似矩阵 BS1AS有相同的特征多项式.
11
例1 求 A的特征值及谱半径
4x2x3 5,
2x3 6.
显然，方程组(2.6)是容易求解的，解为
x (1,2,3)T.
上述过程相当于
(2.6)
Ab
1 0
1 4
1 1
6 5
1 0
11 4 1
6 5
2 2 1 1 0 4 1 11
23
1 1
1
1
0 4 1 5
0 0 2 6
( 2 ) r 1 r 3 r 3 r2 r 3 r 3
1 2 2 A 2 2 4 .
2 4 2
解 矩阵 A的特征方程为
1
det(I
A)
2
2
2
2
4
2
4
2
3 32 24 28
( 2)2 ( 7) 0,
故 A特征值为 12 2 , 3 7 ,A 的谱半径为 (A)7.
12
5.1.4 特殊矩阵
设 A(aij)Rnn. (1) 对角矩阵 如果 ij 时 当 ， a i j0 . (2) 三对角矩阵 如果 ij 当 1 ， a ij0 . (3) 上三角矩阵 如果 ij 时 当 ， a i j0 . (4) 上海森伯格（Hessenberg）阵
(4) A的顺序主子式都大于零，即
de A k)t 0 ( (k 1 ,2 , ,n ).
16
定理3 设 ARn为n对称矩阵.如果 de(tAk)0
(k1,2,,n),或 A的特征值 i 0 (i1 ,2 ,,n ),则 A为
对称正定阵.
定理4(若尔当（Jordan）标准型) 设 为A阶n矩阵， 则存在一个非奇异矩阵 P使得
5
其中 e k 0 , ,0 ,1 ,0 , ,0 T ,k 1 ,2 , ,n .
(6) 非奇异矩阵 设 ARnn,BRnn.如果 AB BA I, 则称 B是 A的逆矩阵，记为 A 1 , 且 (A1)T(AT)1. 如果 A1 存在， 则称 A为非奇异矩阵. 如果 A,BRnn均为非奇异矩阵， 则 (AB )1B1A1. (7) 矩阵的行列式 设 ARnn, 则 A的行列式可按任一行(或列)展开，
x1
xRn
x
x
2
x
n
称为 n维列向量.
3
写成列向量的形式
A a 1a 2a n,
其中 a i为 的A第 列i. 也可写成行向量的形式
b
T 1
A
b
T 2
,
b
T m
其中
b
T为
i
的A第
行i.
4
矩阵的基本运算：
(1) 矩阵加法 CAB, c i j a i j b i j(A ,B ,C R m n)
(2) 如果 A的特征值各不相同，则其若尔当标准型必为
对角阵 di(a1,g2,, n).
19
5.2 高斯消去法
20
5.2.1 高斯消去法
设有线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1,
a21x1 a22x2 a2nxn b2
,
am1x1 am2x2 amnxn bm.
ai(2 j) ai(1 j)m i1a1 (1 j) i,j2,3,,n, bi(2) bi(1)m i1b1 (1) i2,3,,n.
26
(2) 第 k次消元
(k1,2,,n).
设上述第1步，…，第 k 1步消元过程计算已经完成， 即已计算好与(2.1)等价的方程组
a(1) 11
a(1) 12
(2) 矩阵与标量的乘法 CA, cijaij.
(3) 矩阵与矩阵乘法 CAB,
n
c i j a ib kkj(A R m n,B R n p,C R m p). k 1
(4) 转置矩阵 A R m n,C A T,ci j a i.j
(5) 单位矩阵 I e 1e 2 e n R n n ,
用 mik 乘(2.8)的第k个方程，加到第 i个方程(ik1,,n),
消去从第 k1个方程到第 n个方程中的未知数 x k , 得到与
(2.1)等价的方程组 A(k 1)xb(k 1).
A(k1),b(k1) 元素的计算公式为
ai(k j 1 ) ai(k j)m ik ak (k)j i,jk1 ,,n, b i(k 1 ) b i(k)m ik b k (k) ik1 ,,n,
(b d( ) A e T ) td(A e )t A , R n n .
(c d ( c ) e ) A c t n d ( A e )c , tR A R ,n n . (dd) e(A t)0 A是奇 非异.矩阵
7
5.1.3 矩阵的特征值与谱半径
定义1 设 Aa，ij 若R 存n在n数 （实数或复数）
如i果 j 1当 时 ， a ij 0 . (5) 对称矩阵 如果 AT A.
13
(6) 埃尔米特矩阵 设 A C n n,如A 果 HA . (7) 对称正定矩阵 如果 (aA )TA,
(b对 ) 任意x 非 Rn,零 (A向 ,x)x量 TA x0. (8) 正交矩阵 如A 果 1AT. (9) 酉矩阵 设 A C n n, 如 A 1 果 A H . (10) 初等置换阵 由单位矩阵 I交换第 i 行与第 j行(或交换第 i列与 第 j 列)，得到的矩阵记为 I ij ,且
25
的未知数 x i , 得到与(2.1)等价的方程组
a1(11)
a(1) 12
0
a(2) 22
0
a(2) m2
a(1) 1n
x1
b1(1)
a(2) 2n
am (2n)
x2 x n
b2( 2) . bm (2)
简记为 A(2)xb(2),
其中 A(2),b(2)的元素计算公式为
（2.7）
数值分析第五版第5章
2. 迭代法 是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法.
2
5.1.2 向量和矩阵
用 R表m示n 全部 实m 矩阵n的向量空间， 表 Cmn
示全部 m复n矩阵的向量空间.
a11 a12 a1n
ARmn
A(aij)
a21 a22
a2n
am1 am2 amn
这种实数排成的矩形表，称为 m行 列n矩阵.
14
IijAA~（为交换 A第 i行与第 j行得到的矩阵）； AIij B（为交换 A第 i列与第 j列得到的矩阵）； (11) 置换阵 由初等置换阵的乘积得到的矩阵. 定理1 设 ARn则n下述命题等价： (1) 对任何 b 方R程n , 组 有A唯x 一b解. (2) 齐次方程组 A只x 有0唯一解 . x0 (3) detA()0. (4) A存1在.
1,2,,n,
故
p () ( 1 )( 2 ) ( n ).
由(1.3)中的行列式展开可得
n
c1 12 n aii, i1
cn (1)n12n (1)ndeA t.
故矩阵 AaijRnn 的 n个特征值 1,2,,n,是它
的特征方程(1.3)的 n个根.
10
并且 及
de A )t (1 2n,
a(2) 22
a(1) 1k
a(2) 2k
a(k ) kk
a(k ) mk
a(1) 1n
x1
b1(1)
a(2) 2n
x2
b2(2)
ak (kn)
xk
,
bk( k)
（2.8）
a(k ) mn
xn
bn(n)
简记为 A(k)xb(k).
27
设
a(k ) kk
0,计算乘数
m ik a i ( k k )/a k ( k )k( i k 1 , ,n ) .
解 第1步.将方程(2.2)乘上 2加到方程(2.4)上去，
消去(2.4)中的未知数 x1 , 得到
4 x 2 x 3 1 . 1
( 2 . 5 )
第2步. 将方程(2.3)加到方程(2.5)上去，消去方程
(2.5)中的未知数 x 2 ,
22
得到与原方程组等价的三角形方程组
x1x2x3 6,
a(2) 22
a(2) 2n
an (nn)
xx n2 bbn2(( n2)) .
由(2.1)约化为(2.10)的过程称为消元过程.
（2.10）
29
如果 ARnn是非奇异矩阵，且 ak (k)k0 (k 1 ,2 , ,n 1 ), 求解三角形方程组(2.10)，得到求解公式
xnb(n)/an (nn),
(5) 的A秩 ran (Ak )n.
15
定理2 设 ARnn为对称正定阵，则
(1) A为非奇异矩阵，且 A1 亦是对称正定阵. (2) 记 A k 为 A的顺序主子阵，则
A k(k1,2,,n)亦是对称正定矩阵，其中
a11 Ak
ak1
a1k akk
(k1,2,,n).
(3) A的特征值 i 0 (i 1 ,2 , ,n ).
24
或者说，对系数矩阵 施A行一些左变换(用一些简单矩 阵)将其约化为上三角矩阵.
下面讨论求解一般线性方程组的高斯消去法. 将(2.1)记为 A(1)xb(1), 其中
A (1 ) (a i(1 j)) (a ij ),b (1 ) b .
用(1)m乘a第aiam 12(111211x步xm x.1111i 1 )的 aaa(m 第21a k222i ( xxx一1 1 ) 222/ 1个) a . 设方1 ( 1 ) 程1 ，aaa( ai 121m(n加n1 1首n)xxxn到n 2 n先, 3 0第计, ,bb b12个算m,,.,方乘m i 程数) .上（，2.1） (i2,3,,m )消去(2.1)的从第二个方程到第 个m方程中
和非零向量 x(x1,x2, ,，xn 使)T R n
Axx,
（1.1）
则称 为 A的特征值，x为 A对应的特征向量，A的全
体特征值记为 A的谱，记作 ( A) ，即(A ){1,2,,n}.
记
(A)m 1ian i .
称为矩阵 A的谱半径.
（1.2）
8
由(1.1)可知 可使齐次线性方程组
(IA)x0
J1(1)
P1AP
J2(2)
,
Jr (r )
17
其中
i 1
i
J
i
(
i
)
i 1
i n i n i
r
n i 1( i 1, 2 , , r ), 且 n i n . i 1
为若尔当块.
(1) 当 的A 若当标准型中所有若尔当块 均为J i一阶时， 此标准型变成对角矩阵.
18
xk(bk(k) n ak(kj)xj)/ak(kk) jk1
(k n 1 ,n 2 , ,1 ).
（2.11）
(2.10)的求解过程(2.11)称为回代.
或写为矩阵形式
a11 a12
a21 a22
am1
am2
a1n x1 b1
a2n a mn
x2 x n
bb m 2 ,
简记为 Axb.
（2.1）
21
例2 用消去法解方程组
x1x2x3 6, 4x2x3 5,
2x12x2x3 1.
(2.2) (2.3) (2.4)
（2.9）
显然 A(k1) 中从第1行到第 k行与 A(k )相同.
28
(3) 继续上述过程，且设a k (k) k 0 (k 1 ,2 , ,n 1 ), 直到完成第n 1步消元计算.
最后得到与原方程组等价的简单方程组 A(n)xb(n),
a1(11)
a(1) 12
a(1) 1n
x1
b(1) 1
n
即 de(A t) aijAij (i1,2,,n), j1
其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，Aij(1)ijMij, M ij 为元素 a ij 的余子式.
行列式性质：
( ad ) ( A e ) d t B ( A e )d ( t B )A e , ,B t R n n .
有非零解，故系数行列式 deIt (A)0，记
a11 a12 p()det(I A) a21 a22
a1n a2n
（1.3）
an1 an2 ann n c1n1cn1cn 0.
p()称为矩阵 A的特征多项式，方程(1.3)称为矩阵 A的特
征方程.
9
因为 n次代数方程 p() 在复数域中有 n个根
其中用 ri 表示矩阵的第 i行. 由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消
去未知数的方法把原方程组 Axb化为与其等价的三角 形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.
上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化 为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的 问题转化为求解简单方程组的问题.
n
n
trA aii i.
i1
i1
（1.4） （1.5）
称 trA为 A的迹.
A的特征值 和特征向量 x还有一下性质：
(1) AT 与 A有相同的特征值 及特征向量 .
(2)若 A非奇异，则 A1 的特征值为 1，特征向量为 x.
(3)相似矩阵 BS1AS有相同的特征多项式.
11
例1 求 A的特征值及谱半径
4x2x3 5,
2x3 6.
显然，方程组(2.6)是容易求解的，解为
x (1,2,3)T.
上述过程相当于
(2.6)
Ab
1 0
1 4
1 1
6 5
1 0
11 4 1
6 5
2 2 1 1 0 4 1 11
23
1 1
1
1
0 4 1 5
0 0 2 6
( 2 ) r 1 r 3 r 3 r2 r 3 r 3
1 2 2 A 2 2 4 .
2 4 2
解 矩阵 A的特征方程为
1
det(I
A)
2
2
2
2
4
2
4
2
3 32 24 28
( 2)2 ( 7) 0,
故 A特征值为 12 2 , 3 7 ,A 的谱半径为 (A)7.
12
5.1.4 特殊矩阵
设 A(aij)Rnn. (1) 对角矩阵 如果 ij 时 当 ， a i j0 . (2) 三对角矩阵 如果 ij 当 1 ， a ij0 . (3) 上三角矩阵 如果 ij 时 当 ， a i j0 . (4) 上海森伯格（Hessenberg）阵
(4) A的顺序主子式都大于零，即
de A k)t 0 ( (k 1 ,2 , ,n ).
16
定理3 设 ARn为n对称矩阵.如果 de(tAk)0
(k1,2,,n),或 A的特征值 i 0 (i1 ,2 ,,n ),则 A为
对称正定阵.
定理4(若尔当（Jordan）标准型) 设 为A阶n矩阵， 则存在一个非奇异矩阵 P使得
5
其中 e k 0 , ,0 ,1 ,0 , ,0 T ,k 1 ,2 , ,n .
(6) 非奇异矩阵 设 ARnn,BRnn.如果 AB BA I, 则称 B是 A的逆矩阵，记为 A 1 , 且 (A1)T(AT)1. 如果 A1 存在， 则称 A为非奇异矩阵. 如果 A,BRnn均为非奇异矩阵， 则 (AB )1B1A1. (7) 矩阵的行列式 设 ARnn, 则 A的行列式可按任一行(或列)展开，
x1
xRn
x
x
2
x
n
称为 n维列向量.
3
写成列向量的形式
A a 1a 2a n,
其中 a i为 的A第 列i. 也可写成行向量的形式
b
T 1
A
b
T 2
,
b
T m
其中
b
T为
i
的A第
行i.
4
矩阵的基本运算：
(1) 矩阵加法 CAB, c i j a i j b i j(A ,B ,C R m n)
(2) 如果 A的特征值各不相同，则其若尔当标准型必为
对角阵 di(a1,g2,, n).
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5.2 高斯消去法
20
5.2.1 高斯消去法
设有线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1,
a21x1 a22x2 a2nxn b2
,
am1x1 am2x2 amnxn bm.
ai(2 j) ai(1 j)m i1a1 (1 j) i,j2,3,,n, bi(2) bi(1)m i1b1 (1) i2,3,,n.
26
(2) 第 k次消元
(k1,2,,n).
设上述第1步，…，第 k 1步消元过程计算已经完成， 即已计算好与(2.1)等价的方程组
a(1) 11
a(1) 12
(2) 矩阵与标量的乘法 CA, cijaij.
(3) 矩阵与矩阵乘法 CAB,
n
c i j a ib kkj(A R m n,B R n p,C R m p). k 1
(4) 转置矩阵 A R m n,C A T,ci j a i.j
(5) 单位矩阵 I e 1e 2 e n R n n ,
用 mik 乘(2.8)的第k个方程，加到第 i个方程(ik1,,n),
消去从第 k1个方程到第 n个方程中的未知数 x k , 得到与
(2.1)等价的方程组 A(k 1)xb(k 1).
A(k1),b(k1) 元素的计算公式为
ai(k j 1 ) ai(k j)m ik ak (k)j i,jk1 ,,n, b i(k 1 ) b i(k)m ik b k (k) ik1 ,,n,
(b d( ) A e T ) td(A e )t A , R n n .
(c d ( c ) e ) A c t n d ( A e )c , tR A R ,n n . (dd) e(A t)0 A是奇 非异.矩阵
7
5.1.3 矩阵的特征值与谱半径
定义1 设 Aa，ij 若R 存n在n数 （实数或复数）
如i果 j 1当 时 ， a ij 0 . (5) 对称矩阵 如果 AT A.
13
(6) 埃尔米特矩阵 设 A C n n,如A 果 HA . (7) 对称正定矩阵 如果 (aA )TA,
(b对 ) 任意x 非 Rn,零 (A向 ,x)x量 TA x0. (8) 正交矩阵 如A 果 1AT. (9) 酉矩阵 设 A C n n, 如 A 1 果 A H . (10) 初等置换阵 由单位矩阵 I交换第 i 行与第 j行(或交换第 i列与 第 j 列)，得到的矩阵记为 I ij ,且
25
的未知数 x i , 得到与(2.1)等价的方程组
a1(11)
a(1) 12
0
a(2) 22
0
a(2) m2
a(1) 1n
x1
b1(1)
a(2) 2n
am (2n)
x2 x n
b2( 2) . bm (2)
简记为 A(2)xb(2),
其中 A(2),b(2)的元素计算公式为
（2.7）
数值分析第五版第5章
2. 迭代法 是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法.
2
5.1.2 向量和矩阵
用 R表m示n 全部 实m 矩阵n的向量空间， 表 Cmn
示全部 m复n矩阵的向量空间.
a11 a12 a1n
ARmn
A(aij)
a21 a22
a2n
am1 am2 amn
这种实数排成的矩形表，称为 m行 列n矩阵.
14
IijAA~（为交换 A第 i行与第 j行得到的矩阵）； AIij B（为交换 A第 i列与第 j列得到的矩阵）； (11) 置换阵 由初等置换阵的乘积得到的矩阵. 定理1 设 ARn则n下述命题等价： (1) 对任何 b 方R程n , 组 有A唯x 一b解. (2) 齐次方程组 A只x 有0唯一解 . x0 (3) detA()0. (4) A存1在.
1,2,,n,
故
p () ( 1 )( 2 ) ( n ).
由(1.3)中的行列式展开可得
n
c1 12 n aii, i1
cn (1)n12n (1)ndeA t.
故矩阵 AaijRnn 的 n个特征值 1,2,,n,是它
的特征方程(1.3)的 n个根.
10
并且 及
de A )t (1 2n,
a(2) 22
a(1) 1k
a(2) 2k
a(k ) kk
a(k ) mk
a(1) 1n
x1
b1(1)
a(2) 2n
x2
b2(2)
ak (kn)
xk
,
bk( k)
（2.8）
a(k ) mn
xn
bn(n)
简记为 A(k)xb(k).
27
设
a(k ) kk
0,计算乘数
m ik a i ( k k )/a k ( k )k( i k 1 , ,n ) .
解 第1步.将方程(2.2)乘上 2加到方程(2.4)上去，
消去(2.4)中的未知数 x1 , 得到
4 x 2 x 3 1 . 1
( 2 . 5 )
第2步. 将方程(2.3)加到方程(2.5)上去，消去方程
(2.5)中的未知数 x 2 ,
22
得到与原方程组等价的三角形方程组
x1x2x3 6,
a(2) 22
a(2) 2n
an (nn)
xx n2 bbn2(( n2)) .
由(2.1)约化为(2.10)的过程称为消元过程.
（2.10）
29
如果 ARnn是非奇异矩阵，且 ak (k)k0 (k 1 ,2 , ,n 1 ), 求解三角形方程组(2.10)，得到求解公式
xnb(n)/an (nn),
(5) 的A秩 ran (Ak )n.
15
定理2 设 ARnn为对称正定阵，则
(1) A为非奇异矩阵，且 A1 亦是对称正定阵. (2) 记 A k 为 A的顺序主子阵，则
A k(k1,2,,n)亦是对称正定矩阵，其中
a11 Ak
ak1
a1k akk
(k1,2,,n).
(3) A的特征值 i 0 (i 1 ,2 , ,n ).
24
或者说，对系数矩阵 施A行一些左变换(用一些简单矩 阵)将其约化为上三角矩阵.
下面讨论求解一般线性方程组的高斯消去法. 将(2.1)记为 A(1)xb(1), 其中
A (1 ) (a i(1 j)) (a ij ),b (1 ) b .
用(1)m乘a第aiam 12(111211x步xm x.1111i 1 )的 aaa(m 第21a k222i ( xxx一1 1 ) 222/ 1个) a . 设方1 ( 1 ) 程1 ，aaa( ai 121m(n加n1 1首n)xxxn到n 2 n先, 3 0第计, ,bb b12个算m,,.,方乘m i 程数) .上（，2.1） (i2,3,,m )消去(2.1)的从第二个方程到第 个m方程中
和非零向量 x(x1,x2, ,，xn 使)T R n
Axx,
（1.1）
则称 为 A的特征值，x为 A对应的特征向量，A的全
体特征值记为 A的谱，记作 ( A) ，即(A ){1,2,,n}.
记
(A)m 1ian i .
称为矩阵 A的谱半径.
（1.2）
8
由(1.1)可知 可使齐次线性方程组
(IA)x0
J1(1)
P1AP
J2(2)
,
Jr (r )
17
其中
i 1
i
J
i
(
i
)
i 1
i n i n i
r
n i 1( i 1, 2 , , r ), 且 n i n . i 1
为若尔当块.
(1) 当 的A 若当标准型中所有若尔当块 均为J i一阶时， 此标准型变成对角矩阵.
18
xk(bk(k) n ak(kj)xj)/ak(kk) jk1
(k n 1 ,n 2 , ,1 ).
（2.11）
(2.10)的求解过程(2.11)称为回代.
或写为矩阵形式
a11 a12
a21 a22
am1
am2
a1n x1 b1
a2n a mn
x2 x n
bb m 2 ,
简记为 Axb.
（2.1）
21
例2 用消去法解方程组
x1x2x3 6, 4x2x3 5,
2x12x2x3 1.
(2.2) (2.3) (2.4)
（2.9）
显然 A(k1) 中从第1行到第 k行与 A(k )相同.
28
(3) 继续上述过程，且设a k (k) k 0 (k 1 ,2 , ,n 1 ), 直到完成第n 1步消元计算.
最后得到与原方程组等价的简单方程组 A(n)xb(n),
a1(11)
a(1) 12
a(1) 1n
x1
b(1) 1