数值分析第五版第5章学习资料
数值分析第五章答案
数值分析第五章答案【篇一：数值分析第五版计算实习题】第二章2-1程序：clear;clc;x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];n=length(y1);c=y1(:);or j=2:n %求差商for i=n:-1:jc(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms x df d;df(1)=1;d(1)=y1(1);for i=2:n %求牛顿差值多项式df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1));d(i)=c(i)*df(i);enddisp(4次牛顿插值多项式);p4=vpa(collect((sum(d))),5) %p4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数 pp=csape(x1,y1, variational);%调用三次样条函数 q=pp.coefs;disp(三次样条函数);for i=1:4s=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i));1];s=vpa(collect(s),5)endx2=0.2:0.08:1.08;dot=[1 2 11 12];figureezplot(p4,[0.2,1.08]);hold ony2=fnval(pp,x2);x=x2(dot);y3=eval(p4);y4=fnval(pp,x2(dot));plot(x2,y2,r,x2(dot),y3,b*,x2(dot),y4,co);title(4次牛顿插值及三次样条);结果如下：4次牛顿插值多项式p4 = - 0.52083*x^4 + 0.83333*x^3 - 1.1042*x^2 + 0.19167*x + 0.98 三次样条函数x∈[0.2,0.4]时， s = - 1.3393*x^3 + 0.80357*x^2 - 0.40714*x + 1.04 x∈[0.4,0.6]时，s = 0.44643*x^3 - 1.3393*x^2 + 0.45*x +0.92571 x∈[0.6,0.8]时，s = - 1.6964*x^3 + 2.5179*x^2 - 1.8643*x + 1.3886 x∈[0.8,1.0]时，s =2.5893*x^3 - 7.7679*x^2 + 6.3643*x - 0.80571 输出图如下2-3（1）程序：clear;clc;x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64];y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];%插值点n=length(y1);a=ones(n,2);a(:,2)=-x1;c=1;for i=1:nc=conv(c,a(i,:));endq=zeros(n,n);r=zeros(n,n+1);for i=1:n[q(i,:),r(i,:)]=deconv(c,a(i,:));%wn+1/(x-xk)enddw=zeros(1,n);for i=1:ndw(i)=y1(i)/polyval(q(i,:),x1(i));%系数endp=dw*q;syms x l8;for i=1:nl8(i)=p(n-i+1)*x^(i-1);enddisp(8次拉格朗日插值);l8=vpa(collect((sum(l8))),5)xi=0:64;yi=polyval(p,xi);figureplot(xi,yi,x1,y1,r*);hold ontitle(8次拉格朗日插值);结果如下：8次拉格朗日插值l8 =- 3.2806e-10*x^8 + 6.7127e-8*x^7 - 5.4292e-6*x^6 +0.00022297*x^5 - 0.0049807*x^4 + 0.060429*x^3 - 0.38141*x^2 +1.3257*x输出图如下：第五章4-1（3）程序：clc;clear;y= @(x) sqrt(x).*log(x);a=0;b=1;tol=1e-4;p=quad(y,a,b,tol);fprintf(采用自适应辛普森积分结果为： %d \n, p);结果如下：采用自适应辛普森积分结果为： -4.439756e-01第九章9-1(a)程序：clc;clear;a=1;b=2;%定义域h=0.05;%步长n=(b-a)/h;y0=1;%初值f= @(x,y) 1/x^2-y/x;%微分函数xn=linspace(a,b,n+1);%将定义域分为n等份 yn=zeros(1,n);%结果矩阵yn(1)=y0;%赋初值%以下根据改进欧拉公式求解for i=1:nxn=xn(i);xnn=xn(i+1);yn=yn(i);yp=yn+h*f(xn,yn);yc=yn+h*f(xnn,yp);yn=(yp+yc)/2;yn(i+1)=yn;endxn=yn;%以下根据经典四阶r-k法公式求解for i=1:nxn=xn(i);yn=yn(i);k1=f(xn,yn);k2=f(xn+h/2,yn+h/2*k1);k3=f(xn+h/2,yn+h/2*k2);k4=f(xn+h,yn+h*k3);yn=yn+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);yn(i+1)=yn;enddisp(改进欧拉法四阶经典r-k法); disp([xn yn])结果如下：改进欧拉法四阶经典r-k法 110.998870.998850.99577 0.99780.991140.996940.985320.996340.978570.996030.971110.996060.963110.996450.95470.997230.945980.998410.9370510.92798 1.0020.91883 1.00440.90964 1.00730.90045 1.01060.89129 1.01430.88218 1.01840.87315 1.02290.86421 1.02780.85538 1.03310.84665 1.0388（b）程序：clc;clear;a=0;b=1;%定义域h=[0.1 0.025 0.01];%步长y0=1/3;%初值f= @(x,y) -50*y+50*x^2+2*x;%微分函数 xi=linspace(a,b,11);y=1/3*exp(-50*xi)+xi.^2;%准确解 ym=zeros(1,11);for j=1:3【篇二：数值分析(第五版)计算实习题第五章作业】题：lu分解法：建立m文件function h1=zhijielu(a,b)%h1各阶主子式的行列式值[n n]=size(a);ra=rank(a);if ra~=ndisp(请注意：因为a的n阶行列式h1等于零，所以a不能进行lu 分解。
清华第五版数值分析第5章课件
第一步：选 ai ,1 max ai 1 ,交换第1行和第i1行，
1 i n
然后进行消元，得
( a111 ) [ A( 2 ) , b ( 2 ) ]
( 1 a121 ) a1( n ) ( (2 a222 ) a2 n )
( an 2 ) 2
(2 ann )
三
高斯列主元消去法
基本思想：在每轮消元之前，选列主元素 （绝对值最大的元素）
设方程组 AX b的增广矩阵为 a11 a (1) (1) 21 [ A , b ] [ A , b] an1 具体步骤为：
1
b1 a22 a2 n b2 an 2 ann bn a12 a1 n
如此至多经过n-1步,就得到与之同解的上三角形方 程组的增广矩阵,再用回代过程即可得方程组的解.
例：用Gauss列主元消去法解方程组 2 4 6 x1 3 4 9 2 x 5 2 1 1 3 x3 4
(1)
1 2 n
a (1) 0 0
a (1) a (1)
12 1n
(2 ( a22 ) a22 ) n
( (2 an22) ann)
b(1) ( 2) b2 ( 2) bn
1
则
a 令m i 1 , i 2,3,...,n a
n
a (1) 0 0
11
a (1) a (1)
12
(2 ( a22 ) a22 ) n
( (2 an22) ann)
数值分析课程第五版课后习题答案
=
1 = 1.7863 × 10 − 2 。 55.982
8、当 N 充分大时，怎样求 ∫ [解]因为 ∫
N +1 N
1 dx ？ 1+ x2
1 dx = arctan( N + 1) − arctan N ，当 N 充分大时为两个相近数相 1+ x2
减，设 α = arctan( N + 1) ， β = arctan N ，则 N + 1 = tan α ， N = tan β ，从而 tan(α − β ) = 因此 ∫
5、计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径 R 允许的相对误差是多少？ 4 ε * ( π (R* )3 ) 4 3 [解]由 1% = ε r* ( π ( R * ) 3 ) = 可知， 4 3 * 3 π (R ) 3 ′ 4 4 4 ε * ( π ( R * ) 3 ) = 1% × π ( R * ) 3 = π ( R * ) 3 ε * ( R * ) = 4π ( R * ) 2 × ε * ( R * ) ， 3 3 3
ε * ( y n ) = 10ε * ( y n −1 ) = 10 n ε * ( y 0 ) ，
1 1 从而 ε * ( y10 ) = 1010 ε * ( y 0 ) = 1010 × × 10 − 2 = × 10 8 ，因此计算过程不稳定。 2 2 12、计算 f = ( 2 − 1) 6 ，取 2 ≈ 1.4 ，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最 好？ 1 ( 2 + 1)
* r
x= x
*
ε ( x * ) = n( x * ) n −1 2% x * = 2n% ⋅ x * ，
数值分析第五版李庆扬王能超课件第5章(3)
5
-0.57870369 -0.28536302 0.053880579 -0.0036981168 -4.273521*10E-5 3.79*10E-8
§2.抛物线法
设方程 f x 0的三个近似根为 xk , xk 1 , xk 2 ，则抛物线 法的迭代格式为 2 f xk xk 1 xk 2 4 f xk f xk , xk 1 , xk 释
§1.弦截法
例. 用弦截法求方程 f ( x) x 3 x 1 0 在区间（1，2）内的实根。 解：取x0=1，x1=2，代入迭代公式计算结果,如表所示。
k 0 xk 1 f(xk) -1
1
2 3 4 5 6 7
2
1.166666667 1.253112023 1.337206444 1.323850096 1.324707936 1.324717965
例.设a 0, x0 0，证明迭代格式 xk ( x k2 3a ) xk 1 3 x k2 a 是计算 a 的三阶方法。
f xk , xk 1 f xk , xk 1 , xk 2 xk xk 1
例.证明1 x sin x 0 在 0,1内有一个根，使用二分
1 4 法求误差不超过 10 的根要迭代多少次。 2 例.能不能用迭代法求解下列方程，如果不能时，试将 它改造成能用迭代法求解的形式。 （1）x (cos x sin x) 4 x x 4 2 （2 ）
第三讲
§1.弦截法
§2.抛物线法
§1.弦截法
Newton迭代法有一个较强的要求是 f ( x) 0 且存在。 因此，用弦的斜率近似的替代 f ( x) 。
数值分析第五版李庆扬王能超课件第5章(2)
xk
xk+1
f ( xk ) x k 1 [ x k ] (1 ) xk f ( xk ) xk f ( xk ) f ( xk )
xk 1 (1 ) xk , [0, 1]
注： = 1 时就是Newton’s Method 公式。 当 = 1 代入效果不好时，将 减半计算。
§1.牛顿法
定理 （收敛的充分条件）设 f C2[a, b]，若
(1) f (a) f (b) < 0；(2) 在整个[a, b]上 f ”不变号且 f ’(x) 0；
(3) 选取 x0 [a, b] 使得 f (x0) f ”(x0) > 0；
则Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛到f (x) 在 [a, b] 的 唯一根。 产生的序列单调有 有根 根唯一 定理 （局部收敛性）设 f C2[a, b]界，保证收敛。 ，若 x* 为 f (x) 在[a, b] 上的根，且 f ’(x*) 0，则存在 x* 的邻域 B ( x*) 使得任取初 值 x0 B ( x*)，Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛到x*， 且满足 x * x k 1 f ( x*) lim k ( x * x ) 2 2 f ( x*) k
f ( x) 其中 g( x ) x ，则 f ( x ) f ( x*)2 f ( x*) f ( x*) 1 | g( x*) | 1 1 1 2 f ( x*) n
A1: 有局部收敛性，但重数 n 越高，收敛越慢。 Q2: 如何加速重根的收敛？ A2: 将求 f 的重根转化为求另一函数的单根。
这是一个充分条件。 g ( p ) ( k )
《数值分析》第5章 曲线拟合与函数插值
例如用函数
y Aebx
(5.8)
去拟合一组给定的数据，其中 A和 b是待定参这数时. ，可以在 (5.8) 式两端取
对数，得
ln y ln A bx
记 y ln y，a ln A，则上式可写成 y a b. x这样，仍可用最小二乘法解出
和 a (从而b 也就确定了 和 A) ，于b 是得到拟合函数
区间 [a,b]上是存在的，但往往不知道其具体的解析表达式，只能通过观察、
测量或实验得到一些离散点上的函数值.
我们希望对这种理论上存在的函数用一个比较简单的表达式近似地给出整体 上的描述.
此外，有些函数虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论 分析和数值计算，我们同样希望构造一个既能反映函数特性又便于计算的简 单函数，近似替代原来的函数.
图5-1 人口增长的线性模型
5.1.1 最小二乘问题
设人口 y 与年份 x之间的函数关系为
y a bx
（5.1）
其中 a和 b 是待定参数. 由图5-1可知， (xi , yi并) 不是严格地落在一条直线上，
因此，不论怎样选择 和 a，都b不可能使所有的数据点
(x均i ,满yi )足关系
式 (5.1) .
s0 10, s1 545, s2 29785, u0 18.09, u1 987.78
于是正规方程组为
10 545 a 18.09 545 29785 b 987.78
5.1.2 最小二乘拟合多项式
解得 a 0.570，4 b 0.02，27于是 A ea 1.76，90所求拟合函数为
21 91
441
a1
163
91 441 2275 a2 777
解得 a0 26.8，a1 14.08，57 a2 ，2因此所求拟合多项式为
数值分析第五版李庆扬王能超课件第5章(1)
而 (1) 3 2 1，(2) 3 3 2
即 [(1),(2)][1, 2]，所以 满(x足) 条件（1）。
又，| ' (x)
||
1
(x
2
1) 3
|
1
L 1
x [1, 2]
所以 (满x)足3条件（2）。33 4
故，(x在) [1满, 2]足压缩映射原理。
§3.迭代收敛的加速法
改进、加速收敛 /* accelerating convergence */
➢ 待定参数法：
若 | g’(x) | 1，则将 x = g(x) 等价地改造为
x x Kx Kg( x) (1 K )x Kg( x) ( x) 求K，使得 | ( x) | | 1 K Kg( x) | 1
g
连续，则由
lim
k
xk 1
l可im知g
k
x*k
=
g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f 的根。
y
y=x
p1 p0
y=g(x)
✓
x
x0
x1 x*
y
y=x
y=g(x)
p0
p1
x x1 x0 x*
y p0
y=x
✓
y=g(x) p1
x0
x*
y
y=g(x) p0
x x1
When to stop?
a
xa1 x*
xb2 b
xk1 xk ε1 或 f ( x) ε2
2
x*
x
不能保证 x 的精 度
§1.方程求根与二分法
误差 分析：
数值分析第五版第5章习题答案
第5章
）矩阵行列式的值很小。
）矩阵的范数小。
）矩阵的范数大。
（7）奇异矩阵的范数一定是零。
答：错误，
∞
•可以不为0。
（8）如果矩阵对称，则|| A||1 = || A||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。
答：错误，不选主元时，可能除数为0。
（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。
答：错误。
对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。
（11）|| A ||1 = || A T||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（12）若A是n n的非奇异矩阵，则
)
(
cond
)
(
cond1-
=A
A。
答：正确。
A是n n的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。
根据条件数的定义有：
1
111111 cond()
cond()()
A A A
A A A A A A A
-
------
=•
=•=•=•
习题
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
李庆扬-数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析
WORD格式.分享第5章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？k答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现a的情况，这时消去法无法进行；即kkk时主元素0和舍入增长a，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重kk计误差的扩散，最后也使得计算不准确。
因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和算的准确性。
当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。
计算时一般选择列主元消去法。
2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax=b有何不同？A要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。
用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。
A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，⋯，n-1）不为零。
3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。
向量范数定义见p53，符合3个运算法则。
正定性齐次性三角不等式x为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）设n||x|||x|1ii11n22||x||(x)2ii1||x||max|x i|1in7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A=(a ij)的三种范数||A||1，||A||2，精品.资料WORD格式.分享||A||∞，||A||1与||A||2哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见p162，需要满足四个条件。
数值分析第五版第5章习题答案
第5章
）矩阵行列式的值很小。
）矩阵的范数小。
）矩阵的范数大。
（7）奇异矩阵的范数一定是零。
答：错误，
∞
•可以不为0。
（8）如果矩阵对称，则|| A||1 = || A||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。
答：错误，不选主元时，可能除数为0。
（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。
答：错误。
对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。
（11）|| A ||1 = || A T||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（12）若A是n n的非奇异矩阵，则
)
(
cond
)
(
cond1-
=A
A。
答：正确。
A是n n的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。
根据条件数的定义有：
1
111111 cond()
cond()()
A A A
A A A A A A A
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=•
=•=•=•
习题
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数值分析第五版答案(全)
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析 第五章学习小结
第五章 插值与逼近--------学习小节一． 本章学习体会本章学习了插值与逼近，经过本章的学习我对插值法有了进一步的认识。
插值与逼近就是寻找一个简单的函数来代替表达式复杂甚至无法写出表达式的函数。
可以说我们现在学习推导出来的方法公式等都是前人的辛苦钻研的结果，本章除了学到了许多的插值与逼近方法，更重要的是了解了许多科学前辈的故事以及他们许多做研究的态度与方法。
我感觉了解一下数学家的人生故事对我们学习数值分析或别的数学知识有很大的帮助。
上课时王老师给我们讲了数学奇才Hermite 的传奇故事，一个不会考试，基本上每次考数学都不及格的‘笨学生’，后来成为了伟大的数学家。
不是每个数学家都特别聪明，他们所具有的是作为一名科学家的品质，想别人没有想过的问题，在研究中创新，我们应该学习他们那种做研究的态度与精神。
学习这章时有一个小小的困惑，在曲线拟合的求法时，求多元函数的极小值*2200[()()]min [()()]im nm njj i i j j i i c i j i j cx f x c x f x φφ====-=-∑∑∑∑2010(,,,)[()()]mnn j j i i i j F c c c c x f x φ===-∑∑ 老师讲时说用0kFc ∂=∂求得，那万一求出的是极大值呢？ 二．本章知识梳理数值分析中的插值是一种有力的工具，它最终得出的曲线图像都是过节点的，我们的目的使用它得出的图像来近似估计插值点的函数值。
我们首先学了代数插值中的一元函数插值，一元函数插值中学了拉格朗日插值但其插值公式没有延续性，后来学了牛顿插值，其优点是插值公式具有延续性，但前两者都有缺点，就是插值节点一般不超过三个，否则会有很大误差。
但实际工程中我们会测的许多的数据，也就有许多的节点，这样前两种差值方法就不能用了，后来我们又引进了分段线性插值，就是将这许多的节点进行分段，在每段中应用拉格朗日插值或牛顿差值。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
《数值分析》第五章课件
取 h = 0.2 ，要求保留六位小数.
校正： cn+1 = y n + 2 ( y n' + mn' +1 )
解：Euler 迭代格式为
校正的改进：
1 y n +1 = c n +1 + ( p n +1 − c n+1 ) 5
yk +1 = yk + 0.2(− yk − xk yk2 ) = 0.8 yk − 0.2 xk yk2
差分方程：关于未知序列的方程.
例如： y n +3 = 5 y n + 2 − 3 y n +1 + 4 y n
例如： y ' ' ( x) − a ( x) y '+b( x) y + c( x) = 0
3
4
微分方程的应用情况
实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在 理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题 的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏 微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来 近似求解.
且
可得，
y(xn+1) − yn+1 = hf y (xn+1,η)[ y(xn+1) − yn+1] − h2 '' y (xn ) + O(h3 ) 2
f (xn+1, y(xn+1)) = y' (xn+1) = y' (x n ) + hy'' (xn ) + O(h2 )
19
20
2 考虑到 1 − hf y ( xn+1 ,η ) = 1 + hf y ( xn+1 ,η ) + O(h ) ，则有
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n
即 de(A t) aijAij (i1,2,,n), j1
其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，Aij(1)ijMij, M ij 为元素 a ij 的余子式.
行列式性质：
( ad ) ( A e ) d t B ( A e )d ( t B )A e , ,B t R n n .
有非零解，故系数行列式 deIt (A)0，记
a11 a12 p()det(I A) a21 a22
a1n a2n
（1.3）
an1 an2 ann n c1n1cn1cn 0.
p()称为矩阵 A的特征多项式，方程(1.3)称为矩阵 A的特
征方程.
9
因为 n次代数方程 p() 在复数域中有 n个根
其中用 ri 表示矩阵的第 i行. 由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消
去未知数的方法把原方程组 Axb化为与其等价的三角 形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.
上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化 为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的 问题转化为求解简单方程组的问题.
n
n
trA aii i.
i1
i1
（1.4） （1.5）
称 trA为 A的迹.
A的特征值 和特征向量 x还有一下性质：
(1) AT 与 A有相同的特征值 及特征向量 .
(2)若 A非奇异，则 A1 的特征值为 1，特征向量为 x.
(3)相似矩阵 BS1AS有相同的特征多项式.
11
例1 求 A的特征值及谱半径
4x2x3 5,
2x3 6.
显然，方程组(2.6)是容易求解的，解为
x (1,2,3)T.
上述过程相当于
(2.6)
Ab
1 0
1 4
1 1
6 5
1 0
11 4 1
6 5
2 2 1 1 0 4 1 11
23
1 1
1
1
0 4 1 5
0 0 2 6
( 2 ) r 1 r 3 r 3 r2 r 3 r 3
1 2 2 A 2 2 4 .
2 4 2
解 矩阵 A的特征方程为
1
det(I
A)
2
2
2
2
4
2
4
2
3 32 24 28
( 2)2 ( 7) 0,
故 A特征值为 12 2 , 3 7 ,A 的谱半径为 (A)7.
12
5.1.4 特殊矩阵
设 A(aij)Rnn. (1) 对角矩阵 如果 ij 时 当 ， a i j0 . (2) 三对角矩阵 如果 ij 当 1 ， a ij0 . (3) 上三角矩阵 如果 ij 时 当 ， a i j0 . (4) 上海森伯格（Hessenberg）阵
(4) A的顺序主子式都大于零，即
de A k)t 0 ( (k 1 ,2 , ,n ).
16
定理3 设 ARn为n对称矩阵.如果 de(tAk)0
(k1,2,,n),或 A的特征值 i 0 (i1 ,2 ,,n ),则 A为
对称正定阵.
定理4(若尔当（Jordan）标准型) 设 为A阶n矩阵， 则存在一个非奇异矩阵 P使得
5
其中 e k 0 , ,0 ,1 ,0 , ,0 T ,k 1 ,2 , ,n .
(6) 非奇异矩阵 设 ARnn,BRnn.如果 AB BA I, 则称 B是 A的逆矩阵，记为 A 1 , 且 (A1)T(AT)1. 如果 A1 存在， 则称 A为非奇异矩阵. 如果 A,BRnn均为非奇异矩阵， 则 (AB )1B1A1. (7) 矩阵的行列式 设 ARnn, 则 A的行列式可按任一行(或列)展开，
x1
xRn
x
x
2
x
n
称为 n维列向量.
3
写成列向量的形式
A a 1a 2a n,
其中 a i为 的A第 列i. 也可写成行向量的形式
b
T 1
A
b
T 2
,
b
T m
其中
b
T为
i
的A第
行i.
4
矩阵的基本运算：
(1) 矩阵加法 CAB, c i j a i j b i j(A ,B ,C R m n)
(2) 如果 A的特征值各不相同，则其若尔当标准型必为
对角阵 di(a1,g2,, n).
19
5.2 高斯消去法
20
5.2.1 高斯消去法
设有线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1,
a21x1 a22x2 a2nxn b2
,
am1x1 am2x2 amnxn bm.
ai(2 j) ai(1 j)m i1a1 (1 j) i,j2,3,,n, bi(2) bi(1)m i1b1 (1) i2,3,,n.
26
(2) 第 k次消元
(k1,2,,n).
设上述第1步，…，第 k 1步消元过程计算已经完成， 即已计算好与(2.1)等价的方程组
a(1) 11
a(1) 12
(2) 矩阵与标量的乘法 CA, cijaij.
(3) 矩阵与矩阵乘法 CAB,
n
c i j a ib kkj(A R m n,B R n p,C R m p). k 1
(4) 转置矩阵 A R m n,C A T,ci j a i.j
(5) 单位矩阵 I e 1e 2 e n R n n ,
用 mik 乘(2.8)的第k个方程，加到第 i个方程(ik1,,n),
消去从第 k1个方程到第 n个方程中的未知数 x k , 得到与
(2.1)等价的方程组 A(k 1)xb(k 1).
A(k1),b(k1) 元素的计算公式为
ai(k j 1 ) ai(k j)m ik ak (k)j i,jk1 ,,n, b i(k 1 ) b i(k)m ik b k (k) ik1 ,,n,
(b d( ) A e T ) td(A e )t A , R n n .
(c d ( c ) e ) A c t n d ( A e )c , tR A R ,n n . (dd) e(A t)0 A是奇 非异.矩阵
7
5.1.3 矩阵的特征值与谱半径
定义1 设 Aa，ij 若R 存n在n数 （实数或复数）
如i果 j 1当 时 ， a ij 0 . (5) 对称矩阵 如果 AT A.
13
(6) 埃尔米特矩阵 设 A C n n,如A 果 HA . (7) 对称正定矩阵 如果 (aA )TA,
(b对 ) 任意x 非 Rn,零 (A向 ,x)x量 TA x0. (8) 正交矩阵 如A 果 1AT. (9) 酉矩阵 设 A C n n, 如 A 1 果 A H . (10) 初等置换阵 由单位矩阵 I交换第 i 行与第 j行(或交换第 i列与 第 j 列)，得到的矩阵记为 I ij ,且
25
的未知数 x i , 得到与(2.1)等价的方程组
a1(11)
a(1) 12
0
a(2) 22
0
a(2) m2
a(1) 1n
x1
b1(1)
a(2) 2n
am (2n)
x2 x n
b2( 2) . bm (2)
简记为 A(2)xb(2),
其中 A(2),b(2)的元素计算公式为
（2.7）
数值分析第五版第5章
2. 迭代法 是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法.
2
5.1.2 向量和矩阵
用 R表m示n 全部 实m 矩阵n的向量空间， 表 Cmn
示全部 m复n矩阵的向量空间.
a11 a12 a1n
ARmn
A(aij)
a21 a22
a2n
am1 am2 amn
这种实数排成的矩形表，称为 m行 列n矩阵.
14
IijAA~（为交换 A第 i行与第 j行得到的矩阵）； AIij B（为交换 A第 i列与第 j列得到的矩阵）； (11) 置换阵 由初等置换阵的乘积得到的矩阵. 定理1 设 ARn则n下述命题等价： (1) 对任何 b 方R程n , 组 有A唯x 一b解. (2) 齐次方程组 A只x 有0唯一解 . x0 (3) detA()0. (4) A存1在.
1,2,,n,
故
p () ( 1 )( 2 ) ( n ).
由(1.3)中的行列式展开可得
n
c1 12 n aii, i1
cn (1)n12n (1)ndeA t.
故矩阵 AaijRnn 的 n个特征值 1,2,,n,是它
的特征方程(1.3)的 n个根.
10
并且 及
de A )t (1 2n,
a(2) 22
a(1) 1k
a(2) 2k
a(k ) kk
a(k ) mk
a(1) 1n
x1
b1(1)
a(2) 2n
x2
b2(2)
ak (kn)
xk
,
bk( k)
（2.8）
a(k ) mn
xn
bn(n)
简记为 A(k)xb(k).
27
设
a(k ) kk
0,计算乘数
m ik a i ( k k )/a k ( k )k( i k 1 , ,n ) .
解 第1步.将方程(2.2)乘上 2加到方程(2.4)上去，
消去(2.4)中的未知数 x1 , 得到
4 x 2 x 3 1 . 1
( 2 . 5 )
第2步. 将方程(2.3)加到方程(2.5)上去，消去方程
(2.5)中的未知数 x 2 ,