谈抛物线与x轴的两个交点和顶点连线构成的三角形
抛物线的基本知识点
抛物线的基本知识点抛物线的基本知识点有哪些抛物线是初中数学的重要知识点，主要涉及以下几方面内容：1.定义：指有一个公共的焦点、一条对称轴的两个顶点的二次函数图像，叫抛物线。
2.顶点：在对称轴上，到图象两交点距离相等的点。
3.开口方向：抛物线与X轴的交点叫抛物线的顶点。
4.对称轴：对于二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)对称轴是直线x=-b/2a。
5.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下。
6.与坐标轴的交点：把二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)化为顶点式y=a(x-h)^2+k，则y轴与图像的交点为(0，k)，x轴与图像的交点为h，h，-b/2a。
7.抛物线与坐标轴的交点：把二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)化为顶点式y=a(x-h)^2+k，当h=0时，抛物线与x轴的交点为(0，k)，当k=0时，抛物线与y轴的交点为(0，h)，即抛物线的交点为(0，h)，(h，0)，(0，k)，(k，0)。
以上是抛物线的基本知识点，如果在学习过程中遇到问题，可以咨询数学老师。
抛物线的基本知识点汇总抛物线是初中数学的重要知识点，主要涉及以下内容：1.定义：抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=—b/2a，顶点坐标为（—b/2a，（4ac—b2）/4a）。
2.与坐标轴的交点：令y=0，求得方程（），再令x=0，求得方程（）。
（）与（）的交点为抛物线与y轴的交点，即抛物线在y轴上的截距。
3.开口方向：开口向上，a>0；开口向下，a<0。
4.对称轴：对称轴为直线x=-b/2a。
5.顶点坐标：顶点坐标为（-b/2a，（4ac-b2）/4a）。
6.增减性：在直线x=-b/2a左边，y单调递减；在右边，y单调递增。
7.焦半径：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离。
抛物线与坐标轴交点构成的三角形问题
抛物线与坐标轴交点构成的三角形问题--------思考与探索面积篇例1:已知抛物线3+2x +x －=y 2与x 轴交于A,B 两点，其中A 点位于B 点的左侧，与y 轴交于C 点，顶点为P ， _________=S A O C △ _________=S BO C △ _________=S CO P △ _________=S PAB △_________=S PCB △ _________=S A CP △例：在平面直角坐标系中，有两点A （-1，0），B （3，0），如图，小敏发现所有过A ，B 两点的抛物线如果与y 轴负半轴交于点C ，M 为抛物线的顶点，那么△ACM 与△ACB 的面积比不变，请你求出这个比值。
对称篇例2、如图，一元二次方程2230x x +-=的二根12x x ，（ 12x x < ）是抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点B,C 的横坐标，且此抛物线过A(3，6)点．（1）求此二次函数的解析式．（2）设此抛物线的顶点为p ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标．（3）在X 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求点M 的坐标（4）设AC 与Y 轴交与D 点，E 点坐标为(0,1)，在X 轴上找一点F ，抛物线对称轴上找一点G ，使四边形AFGE 的周长最短，并求出当四边形周长最短时的点F 、G 点坐标，并求出四边形AFGE 的周长。
形状篇1、已知抛物线c +bx +ax =y 2与x 轴正、负半轴分别交于A 、B 两点，与y 轴负半轴交于点C 。
若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。
2、已知：抛物线与x 轴的交点坐标为A(-1,0)和B （3，0）,顶点为C,若∠ACB=90度.问1：C 点的坐标是多少？问2：在抛物线的解析式中，=-ac b 423. 若题设中的A 、B 两点的坐标未知，而已知∠ACB=90度，你能求出 =-ac b 42吗？4. 从上面的探索中我们看到解析式中的△与∠ACB 有关，那么如果△ACB 是等边三角形，则△是多少？最后, ①思因果 ; ②思规律 ; ③思多解 ; ④思变通; ⑤思归类; ⑥思错误．。
二次函数直角三角形问题
1、已知抛物线与x轴交于A、 B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．由，解得，．∴点A、B的坐标分别为（-3，0），（，0）．∴，，．∴，，．〈ⅰ〉当时，∠ACB＝90°．由，得．解得．∴当时，点B的坐标为（，0），，，．于是．∴当时，△A BC为直角三角形．〈ⅱ〉当时，∠ABC＝90°．2：如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。
交Y轴于C，在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点P的坐标。
若没有，请说明理由抛物线y=-x^2+bx+c与x轴交予A(1,0),B(-3,0)两点,得-1+b+c=0-9-3b+c=0得b=-2,c=3该抛物线的解析式y=-x^2-2x+3点C为（0.3）△ABC的面积为1/2AB*OC=6设在抛物线第二象限图象上存在点M(x0,y0)使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形则x0<0,y0>0y0=-x0^2-2x0+3(1)再由MB^2=MC^2+BC^2得(x0+3)^2+(y0-0)^2=(x0-0)^2+(y0-3)^2+(0+3)^2+(3-0)^2(2)(3)由（1）和（2）可解得y0=3,x0=0或者y0=4，x0=-1又x0<0,y0>0所以y0=4，x0=-1在抛物线第二象限图象上存在点M(-1,4)使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形.3：（2012云南）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线的图象过点E（-1，0），并与直线相交于A、B两点（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）直线解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，∴A（0，2），∵抛物线y=x2+bx+c的图象过点A（0，2），E（﹣1，0），∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2+x+2．（2）∵直线y=x+2分别交x轴、y轴于点P、点A，∴P（6，0），A（0，2），∴OP=6，OA=2．∵AC⊥AB，OA⊥OP，∴Rt△OCA∽Rt△OPA，∴，∴OC=，又C点在x轴负半轴上，∴点C的坐标为C（，0）．（3）抛物线y=x2+x+2与直线y=x+2交于A、B两点，令x2+x+2=x+2，解得x1=0，x2=，∴B（，）．如答图①所示，过点B作BD⊥x轴于点D，则D（，0），BD=，DP=6﹣=．点M在坐标轴上，且△MAB是直角三角形，有以下几种情况：①当点M在x轴上，且BM⊥AB，如答图①所示．设M（m，0），则MD=﹣m．∵BM⊥AB，BD⊥x轴，∴，即，解得m=，∴此时M点坐标为（，0）；②当点M在x轴上，且BM⊥AM，如答图①所示．设M（m，0），则MD=﹣m．∵BM⊥AM，易知Rt△AOM∽Rt△MDB，∴，即，化简得：m2﹣m+=0，解得：x1=，x2=，∴此时M点坐标为（，0），（，0）；（说明：此时的M点相当于以AB为直径的圆与x轴的两个交点）③当点M在y轴上，且BM⊥AM，如答图②所示．此时M点坐标为（0，）；④当点M在y轴上，且BM′⊥AB，如答图②所示．设M′（0，m），则AM=2﹣=，BM=，MM′=﹣m．易知Rt△ABM∽Rt△MBM′，∴，即，解得m=，∴此时M点坐标为（0，）．综上所述，除点C外，在坐标轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形．符合条件的点M有5个，其坐标分别为：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）．4：（2012?河池）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点．（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）抛物线y=﹣x2+x+4中：令x=0，y=4，则 B（0，4）；令y=0，0=﹣x2+x+4，解得 x1=﹣1、x2=8，则 A（8，0）；∴A（8，0）、B（0，4）．△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，则OB=OC=4，∴C（0，﹣4）．由A（8，0）、B（0，4），得：直线AC：y=﹣x+4；依题意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；S=S△ABC+S△PAB=×8×8+×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；∴当t=2时，S有最大值，且最大值为64．（3）∵PM∥y轴，∴∠AMP=∠ACO＜90°；而∠APM是锐角，所以△PAM若是直角三角形，只能是∠PAM=90°；由A（8，0）、C（0，﹣4），得：直线AC：y=x﹣4；所以，直线AP可设为：y=﹣2x+h，代入A（8，0），得：﹣16+h=0，h=16∴直线AP：y=﹣2x+16，联立抛物线的解析式，得：，解得、∴存在符合条件的点P，且坐标为（3，10）．5：（2012?海南）如图，顶点为P（4，-4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON，（1）求该二次函数的关系式；（2）若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：①证明：∠ANM=∠ONM；②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．1）∵二次函数图象的顶点为P（4，－4），∴设二次函数的关系式为。
抛物线与直线的交点问题
For personal use only in study and research; not for commercial use抛物线与直线的交点问题1、 抛物线y=ax +bx+c 与直线y=m （坐标系中的水平直线）的交点问题：①把y=m 代入y=ax 2+bx+c 得ax 2+bx+c=m ，即ax 2+bx+（c-m ）=0此时方程的判别式△=b 2-4a(c-m)。
△＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。
②特殊情形：抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的交点问题：令y=0，则ax 2+bx+c=0此时方程的判别式△=b 2-4ac△＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。
2、抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 的交点问题：令ax 2+bx+c=kx+b ，整理方程得：ax 2+(b-k)x+（c-b ）=0此时方程的判别式△=(b-k)2-4a （c-b ）△＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。
总结：判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。
3、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的交点位置问题：若ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为（x 1，0）、（x 2，0）① 若x 1x 2＞0、x 1+x 2＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点右侧② 若x 1x 2＞0、x 1+x 2＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点左侧③ 若x 1x 2＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点分居于原点两侧4、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的两个交点距离公式若ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点（x 1，0）、（x 2，0）的距离为︱x 1-x 2︱=aac b 42 练习1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是____________．2．已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为( )A ．k >－47B ．k <－47且k ≠0C ．k ≥－47D ．k ≥－47且k ≠03．若抛物线y ＝x 2－８x ＋c 顶点在x 轴上，则c 的值等于( )．A ．４B ．８C ．－４D ．１６4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒为负值的条件是( )．A．a＞０, b2－４ac＜０B．a＜０, b2－４ac＞０C．a＞０, b2－４ac＞０D．a＜０, b2－４ac＜０5.直线y=3x－3与抛物线y=x2－x+1的交点的个数是______6．若抛物线y=（m－1）x2+2mx+m+2恒在x轴上方，则m_______．7．抛物线顶点C(２,)，且与x轴交于A、B两点，它们的横坐标是方程2x2－7x＋1＝０的两根，则S△ABC＝．8．直线y=2x1与抛物线y=x2的公共点坐标是______________．9、不等式x2-9＞０的解集为_________________；x2＞2x+1的解集为_____________.10．利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的根．11．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，－4），且过点B（3,0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．12．已知抛物线y＝x2＋ax＋a－2．(1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;(2)求这两个交点间的距离;(用关于a的表达式来表达)(3)a取何值时,两点间的距离最小?13．已知抛物线y=－x2+（m－2）x+3（m+1）交x轴于A（x1，0），B（x2，0）两点，交y•轴正半轴于C点，且x1<x2，│x1│>│x2│，OA2+OB2=2OC+1．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线？如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
二次函数顶点与x轴两交点为等腰直角三角形
二次函数顶点与x轴两交点为等腰直角三角形数学中的二次函数是一种常见的函数形式，它的一般形式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c都是实数且a不为0。
而顶点形式则可以写成y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点的坐标。
令二次函数的顶点坐标为(h,k)。
根据等腰直角三角形的性质，顶点与x轴两交点的距离应该相等，即，x₁-h，=，x₂-h。
令其中一个交点为(x₁,0)，另一个交点为(x₂,0)。
接下来，我们来推导顶点与x轴两交点为等腰直角三角形的条件下，a、h、k和x₁、x₂之间的关系。
根据等腰直角三角形的性质，顶点与x轴两交点的距离应该相等，即，x₁-h，=，x₂-h。
我们可以有以下两种情况进行讨论：情况一：x₁>h（即x₁在顶点右侧）那么，x₁-h，=x₁-h。
同样地，我们有，x₂-h，=h-x₂。
由于顶点与x轴两交点的距离相等，我们有：x₁-h=h-x₂化简得：2h=x₁+x₂又因为顶点的x坐标为h，代入二次函数的顶点形式，我们有：h=-b/(2a)所以，当顶点与x轴两交点为等腰直角三角形时，h=-b/(2a)。
情况二：x₂>h（即x₂在顶点右侧）那么，x₁-h，=h-x₁。
同样地，我们有，x₂-h，=x₂-h。
由于顶点与x轴两交点的距离相等，我们有：h-x₁=x₂-h化简得：2h=x₁+x₂同理可得h=-b/(2a)。
所以，不论x₁>h还是x₂>h，当顶点与x轴两交点为等腰直角三角形时，h=-b/(2a)。
接下来，我们考虑顶点的纵坐标k。
由于顶点是二次函数的最值点，因此顶点的纵坐标k等于二次函数的值在该点的取值。
代入二次函数的顶点形式，我们有：k=a(h-h)^2+k化简得：k=k所以，顶点的纵坐标k可以是任意实数。
最后，我们来具体说明一个例子。
假设我们有一个二次函数y=-2(x-3)^2+5、根据前面的推导，我们可以得出顶点的坐标为(h,k)=(3,5)。
与抛物线有关的两个重要三角形
与抛物线有关的两个重要三角形二次函数是初等函数中最为重要的一个函数，其图象抛物线，进一步加强了代数与几何的联系，其中蕴含的数学思想和方法，对学生观察问题、研究问题、解决问题是十分有益的。
二次函数的图象抛物线与坐标轴交点构成的有关线段、三角形面积等代数与几何综合问题，是历年中考数学压轴题的重点和热点。
抛物线c bx ax y ++=2，当△=b 2-4ac >0时，抛物线与x 轴必有两个交点为)0,(1x A 、)0,(2x B ；当0=x 时，抛物线与y 轴相交于点C （0，c ）。
设抛物线的顶点为P ，此时我们得到与抛物线有关的两个重要三角形：△ABC 与△ABP 。
那么这两个三角形的面积、形状与抛物线的系数a,b,c, 有怎样的内在联系呢？下面就此问题作如下探讨：一、关于△ABC∵抛物线与x 轴的两个交点为)0,(1x A 、)0,(2x B ，则02=++c bx ax 。
根据一元二次方程根与系数的关系有：ac x x a b x x =-=+2121, 所以A 、B 两点间的距离.4444)()(22222121221212a a ac b a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-=⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-= 即 aAB ∆= …………………………………………（1） 这就是抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式。
而|OC|=|y c |=|c|, 所以S △ABC =.212121∆⋅=⋅∆⋅=⋅ac c a OC AB 即 S △ABC =.2∆⋅ac ……………………………………（2） 这就是抛物线与两坐标轴交点构成三角形的面积公式。
二、关于△ABP 由抛物线的对称性可知，它的形状、大小由P ，A ，B 三点坐标确定。
由（1）知：aAB ∆=. 设D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，则|PD|=|y p |=.4442aa b ac ∆=- 设∠PAB=α，在Rt △PAD 中，..4:,21242ααtg a a AD PD tg =∆∆=∆⋅∆==平方整理得 于是我们得到：①当α=600时，△ABP 为等边三角形，此时α24tg =∆02604tg ==12；②当α=450时，△ABP 为等腰直角三角形，此时α24tg =∆02454tg ==4。
抛物线与直角三角形结合的解题方法
抛物线与直角三角形结合的解题方法在数学中，抛物线和直角三角形是两个常见且重要的概念。
它们在解决实际问题和理论推导中都扮演着重要的角色。
本文将探讨如何将抛物线与直角三角形结合起来，以更全面地解决一些数学问题。
一、基本概念1. 抛物线抛物线是一种特殊的曲线，其定义可以是平面内到定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
抛物线在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
2. 直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个90度的直角。
直角三角形的性质和定理在几何学中具有重要意义，也是解决三角函数和特殊角度问题的基础。
二、抛物线与直角三角形的关系在实际问题中，抛物线与直角三角形常常会相互联系，特别是在物体的抛体运动和轨迹分析中。
当我们需要分析一个抛体运动的轨迹时，通常会涉及到抛物线的方程和直角三角形的性质。
当我们需要求解一个物体从抛出到落地的时间、速度和位置等问题时，我们可以通过解析几何的方法，将抛物线的轨迹和直角三角形的性质结合起来，从而得到更加全面和深入的解答。
三、抛物线与直角三角形结合的解题方法1. 利用抛物线方程构建直角三角形在解决与抛物线和直角三角形相关的问题时，可以先利用抛物线的方程构建出相关的直角三角形。
当我们需要分析抛体运动的轨迹时，可以通过抛物线的方程构建出相关的直角三角形，从而推导出物体的运动规律和轨迹特性。
2. 利用直角三角形的性质求解抛物线方程另一种常见的方法是利用直角三角形的性质来求解抛物线的方程。
在一些特殊的问题中，可以通过构建直角三角形、利用三角函数和三角恒等式等方法，从而简化抛物线方程的求解过程，使问题得到更加清晰和简化的解答。
四、个人观点和总结在数学问题的解决过程中，抛物线与直角三角形的结合是一种常见且有效的方法。
通过将抛物线的特性和方程与直角三角形的性质相结合，不仅可以更全面地理解和分析问题，也可以从不同角度和方法解决问题，使解题过程更灵活和丰富。
抛物线与直角三角形的结合在解决实际问题和理论推导中具有重要的意义。
抛物线与坐标轴交点构成的三角形问题PPT优选课件
1
(-1,0)
A O
B(3,0)
2
3
S△ COP=_1_.5_ S△ PAB=__8__
(1,4)
P
4
(0,3) C 3
2
1
(-1,0)
A O
(3,0)
B
2
2020/10/18
4
S△ PCB=___3____
(1,4) E4 P
(0,3) C 3
2
S△ ACP=___1____ 1
(-1,0)
A
3 Bx
C M
6
解:设抛物线解析式为y=a(x+1)(x－3), 即y=ax2－2ax－3a,即y=a(x－1)2－4a y
∴C点与M点坐标分别是(0,－3a),
(1,－4a)
S△ACB=
1 2
×4×3a=6a
-1 D
AO
3 Bx
∴S△ACM=S△AOC+S梯形OCMD－S△ADM
C M
1
1
1
= 2 ×1×3a+ 2 ×(3a+4a) ×1－ 2 ×2×4a
抛物线与坐标轴交点 构成的三角形问题
2020/10/18
1
2020/10/18
2
1、已知抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于
A,B两点，其中A点位于B点的左侧，与
y轴交于C点，顶点为P，请你求出
S△AOC=_1_._5_
(1,4)
P
4
(0,3) C 3
S△ BOC=_4_._5_
2
2020/10/18
2020/10/18
9
Y C
2、若题设中的A、B两点的坐 标未知，而只知∠ACB=90度，
抛物线与坐标轴交点构成的三角形问题
抛物线与坐标轴交点构成的三角形问题 -- 思考与探索面积篇例 1:已知抛物线 y=－x 2+2x+3与 x 轴交于 A,B 两点，其中 A 点位于 B 点的左侧，与 y 轴交于 C 点，顶点为 P ， 半轴交于点 C ，M 为抛物线的顶点，那么△ ACM 与△ ACB 的面积比不变，请你求出这个比值。
2例 2、如图，一元二次方程 x 2 2x 3 0的二根 x 1，x 2（ x 1 x 2 ）是抛物线 y ax bx c 与 x 轴 的两个交点 B,C 的横坐标，且此抛物线过 A （3，6）点．（1）求此二次函数的解析式．（2）设此抛物线的顶点为 p ，对称轴与线段 AC 相交于点 Q ，求点 P 和点 Q 的坐标．（3）在 X 轴上有一动点 M ，当 MQ+MA 取得最小值时，求点 M 的坐标（4）设 AC 与Y 轴交与 D 点， E 点坐标为（0,1），在 X 轴上找一点 F ，抛物线对称轴上找一点 G ，使四 边形 AFGE 的周长最短，并求出当四边形周长最短时的点 F 、G 点坐标，并求出四边形 AFGE 的周长。
S △COP S△PABy轴负 S △ AOC = _______ S △ BOC 例：在平面直角坐标系中，有两点 小敏发现所有过 A ，B 两点的抛物线如果与形状篇1、已知抛物线y =ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y 轴负半轴交于点C。
若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。
A(-1,0)和B( 3，0),顶点为C,若∠ ACB=90度.问2：在抛物线的解析式中，b2 4ac3. 若题设中的A、B 两点的坐标未知，而已知∠ACB有关，那么如果△ ACB是等边三角形，则△是多少？最后, ①思因果; ②思规律; ③思多解; ④思变通;⑤思归类;⑥思错误．ACB=90度，你能求出b2 4ac 吗？4. 从上面的探索中我们看到解析式中的△与∠问1： C 点的坐标是多少？。
第11讲 函数抛物线中的三角形
初三（上）数学第十讲 抛物线中特殊的三角形【知识梳理】一、重要基础知识回顾①抛物线顶点的坐标公式：（ ),顶点为 。
②若抛物线与x 轴有两个交点A )0(1，x ,B )0,(2x ,AB=_________=__________. ③韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 有两实根21,x x ，则_______________。
二、抛物线中的重要公式及应用1.抛物线交x 轴与A 、B 两点，与y 轴交于C 点，顶点为M ，△ABC 为直角三角形，则： AB=_______,并探索此时a 与c 的关系.2.第一类抛物线内接三角形的规律，当y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点，C 是顶点（利用含30°、45°角的直角三角形）可推导出以下结论： ①.当△ABC 是等腰Rt △时，△=_______;面积=_______. ②.当△ABC 是等边三角形时，△=_______;面积=______.③.当△ABC 是顶角为120°的等腰三角形时，△=_______；面积_______。
（ 以上结论在填空、选择、探索性问题中比较简洁、高效。
有时在考试中甚至可做到“秒杀”。
）① ② ③3.一直线与抛物线交于A 、B 两点，在直线下方抛物线上有一动点C ，满足ABC S ∆面积最大值，时，有_________________。
☆4.探索：二次函数与等腰三角形、直角三角形的探索结合。
联想一次函数中等腰三角形、直角三角形的探索。
【典例解析】☆【知识随堂】1.二次函数y=x2-mx+m-2 图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C点，M为顶点.（1）当m=________时，△AMB为直角三角形；（2）当m=________时，△AMB为正三角形；(3) 当m=________时，AB=3AM；(4) 若∠ACB=90°则m=________.2.设二次函数y=x2+2ax+3(a<0)的图象顶点为M，与x轴交点为A、B，当△ABM为等边三角形时，a的值为________。
初三抛物线知识点归纳总结
初三抛物线知识点归纳总结抛物线是数学中的一种重要曲线，具有许多特殊的性质和应用。
在初三数学中，学生将接触到抛物线的相关知识，并需要进行归纳总结。
本文将对初三抛物线的知识点进行系统整理，以帮助学生更好地掌握和运用这一知识。
一、抛物线的定义和性质抛物线是一个平面曲线，其定义为到定点（焦点）和直线（准线）的距离相等的点所构成的轨迹。
抛物线有以下性质：1. 对称性：抛物线关于准线对称，焦点和准线的中点是抛物线的对称中心。
2. 准线上的点：准线上的点到焦点的距离等于到抛物线的顶点的距离。
3. 焦点和直线关系：焦点到直线的距离等于焦距（焦点到抛物线顶点的距离）。
二、抛物线的方程及其性质抛物线的方程有两种常见形式：一般形式和顶点形式。
1. 一般形式：$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$是常数。
- 当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。
- 抛物线的平移：通过改变常数$b$和$c$，可以使抛物线平移。
2. 顶点形式：$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$是抛物线的顶点。
- 顶点坐标$(h,k)$为抛物线的最低点或最高点。
- 抛物线的平移：通过改变顶点坐标$(h,k)$，可以使抛物线平移。
三、抛物线的焦点和准线1. 焦点的坐标：对于一般形式的抛物线，焦点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$y=\frac{1}{4a}-\frac{b^2}{4ac}+c$。
2. 焦距的计算：焦距等于$\frac{1}{4a}$。
3. 准线的方程：对于一般形式的抛物线，准线方程为$y=\frac{-b^2+4ac}{4a}$。
四、与抛物线相关的常见问题1. 抛物线的判别式：对于一般形式的抛物线，判别式$D=b^2-4ac$可以判断抛物线的开口方向和与坐标轴的交点情况。
- 当$D>0$时，抛物线与$x$轴有两个交点。
- 当$D=0$时，抛物线与$x$轴有一个交点，抛物线为切线。
2019年中考数学二次函数真题汇编试卷(附详细答案)
2019年中考数学二次函数真题汇编试卷(名师全国选择压轴真题+详细解析答案，值得下载练习)1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a ＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图：二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．﹣23．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1＝0，（a＞b），x1、x2是此方程的两个实数根，且x1＜x2．现给出四个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2；④x1＜x2＜b＜a其中正确结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y 与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD ＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A．①②③B．②③C．①③④D．②④5．已知抛物线y＝﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结P A、PD，PD交AB于点E，△P AD与△PEA相似吗？（）A．始终不相似B．始终相似C．只有AB＝AD时相似D．无法确定6．定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B n（n，y n）（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…A n+1（x n+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A．或B．或C．或D．7．二次函数y＝x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a﹣1时，函数值（）A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若M＝a+b﹣c，N＝4a﹣2b+c，P＝2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个9．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C﹣D﹣E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（﹣1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），则下列结论中正确的有（）（1）a＞0；（2）c＜0；（3）2a﹣b＝0；（4）a+b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，记抛物线y＝﹣x2+1的图象与x正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P1，P2，…P n﹣1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Q n﹣1，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…，P n﹣2P n﹣1Q n﹣1的面积分别为S1，S2，…，这样就有S1＝，S2＝，…；记W＝S1+S2+…+S n﹣1，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（）A．B．C．D．12．为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12m处的挑射正好射中了2.4m高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线y＝ax2+bx+c（如图所示）则下列结论：①a＜﹣，②﹣＜a＜0，③a﹣b+c＞0，④0＜b＜﹣24a，其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④13．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，分别过点P i（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点A i，交直线于点B i．则的值为（）A．B．2 C．D．15．如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（）A．πB．πC．πD．条件不足，无法求16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c ﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．317．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x＝﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a＝0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④18．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA＝3，AB＝2．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A和点B，与x轴分别交于点D、E（点D在点E左侧），且OE＝1，则下列结论：①a＞0；②c＞3；③2a﹣b＝0；④4a﹣2b+c＝3；⑤连接AE、BD，则S梯形ABDE＝9．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③20．边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O 顺时针旋转75°，使点B落在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上．则抛物线y＝ax2的函数解析式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣2x2D．y＝﹣21．已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y＝x2的图象上，则使得S△ABC ＝2的点有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1参考答案1．解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x＝＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，当x＝1时，a+b+c＝2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选：D．2．解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点C（0，t），∴t＝2；∵AC⊥BC，∴OC2＝OA•OB，即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，根据韦达定理知x1x2＝，∴a＝﹣．故选：A．3．解：如图所示，关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1＝0，x1，x2是此方程的两个实数根，x1，x2是抛物线y＝x2﹣（a+b）x+ab与直线y＝1的交点的横坐标，（不妨设x1＜x2且a＜b）观察图象可知，x1≠x2，故①正确设抛物线的对称轴为x＝h，x2＝h+m，x1＝h﹣m，b＝h+n，a＝h﹣n，m＞n，∴x1•x2＝h2﹣m2，ab＝h2﹣n2，∵m＞n，∴x1•x2＜ab，故②正确，∵＝，∴x1+x2＝a+b，∴x12+2x1x2+x22＝a2+2ab+b2，∵2x1x2＜2ab，∴x12+x22＞a2+b2，故③错误，观察图象可知x1＜b＜a＜x2，故④错误．故选：B．4．解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC＝BE＝5，∴AD＝BE＝5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED＝2，∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，∴cos∠ABE＝＝，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠PBF，∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PB sin∠PBF＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2，故③小题正确；当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，∵＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．故选：C．5．解：令x＝0，则y＝1，∴OP＝1，设点A的横坐标为m，则AD＝﹣m2+1，∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，∴AF＝OD＝m，OF＝﹣m2+1，PF＝1﹣（﹣m2+1）＝m2，在Rt△P AF中，P A2＝PF2+AF2＝（m2）2+m2＝m4+m2，在Rt△POD中，PD＝＝＝，由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO，∴＝，即＝，解得，PE＝m2，∴P A2＝PD•PE＝m4+m2，∴＝，∵∠APE＝∠DP A，∴△P AD∽△PEA，即，△P AD与△PEA始终相似．故选：B．6．解：直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝；∴直线l：y＝x+．由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．∵0＜d＜1，∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；∵当x＝1时，y1＝×1+＝＜1，当x＝2时，y2＝×2+＝＜1，当x＝3时，y3＝×3+＝＞1，∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．①若B1为顶点，由B1（1，），则d＝1﹣＝；②若B2为顶点，由B2（2，），则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝，综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线．故选：B．7．解：∵对称轴是x＝，0＜x1＜故由对称性＜x2＜1当x＝a时，y＜0，则a的范围是x1＜a＜x2，所以a﹣1＜0，当x时y随x的增大而减小，当x＝0时函数值是m．因而当x＝a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．故选：C．8．解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴a＜0，b＜0，∵图象经过y轴正半轴，∴c＞0，∴M＝a+b﹣c＜0当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴N＝4a﹣2b+c＜0，∵﹣＞﹣1，∴＜1，∵a＜0，∴b＞2a，∴2a﹣b＜0，∴P＝2a﹣b＜0，则M，N，P中，值小于0的数有M，N，P．故选：A．9．解：由图知：当点B的横坐标为1时，抛物线顶点取C（﹣1，4），设该抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2+4，代入点B坐标，得：0＝a（1+1）2+4，a＝﹣1，即：B点横坐标取最小值时，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4．当A点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取E（3，1），则此时抛物线的解析式：y ＝﹣（x﹣3）2+1＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣2）（x﹣4），即与x轴的交点为（2，0）或（4，0）（舍去），∴点A的横坐标的最大值为2．故选：B．10．解：（1）∵将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）（如虚线部分），∴y＝ax2+bx+c的对称轴为：直线x＝﹣1；∵开口方向向上，∴a＞0，故①正确；（2）∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上∴c＜0，故②正确；（3）∵对称轴x＝＝﹣1，∴2a﹣b＝0，故③正确；（4）当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故④正确．故选：D．11．解：由图象知S3＝，总结出规律：，则w＝S1+S2+…+S n﹣1＝++…+＝＝＝＝﹣﹣+﹣＝﹣﹣，当n越来越大时，可知W最接近的常数为．故选：C．12．解：由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴为x＝＞0，∴a、b异号，即b＞0．与y轴的交点坐标为（0，2.4），∴c＝2.4把点（12，0）代入解析式得：144a+12b+2.4＝0．∴144a＝﹣2.4﹣12b，12b＝﹣2.4﹣144a∴144a＜﹣2.4，12b＜﹣144a∴a＜﹣，b＜﹣12a，∴2b＜﹣24a，即b＜﹣12a，∴b＜﹣24a，∴①④正确，②错误∵此题是实际问题，∴x不能取﹣1，∴③a﹣b+c＞0错误．故选：B．13．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过原点，∴c＝0，∴abc＝0∴①正确；∵x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是x＝﹣，∴﹣，b＜0，∴b＝3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正确；综上，可得正确结论有3个：①③④．故选：C．14．解：根据题意得：A i B i＝x2﹣（﹣x）＝x（x+1），∴＝＝2（﹣），∴++…+＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝．故选：A．15．解：由分析知图中阴影面积等于半圆的面积，则s＝＝．故选：B．16．解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x＝﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，∴y＝ax2+bx+c和y＝m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．故选：D．17．解：∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，b＝2a，∴b﹣2a＝0，故①正确；∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），∴把x＝﹣2代入得：y＝4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c＝0，又∵b＝2a，∴c＝﹣4a﹣2b＝﹣8a，∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，故③正确；根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y1），∵（，y2），1＜，∴y1＞y2，故④正确；即正确的有①③④，故选：B．18．解：由函数图象可得：抛物线开口向下，∴a＜0，选项①错误；又OA＝3，AB＝2，∴抛物线与y轴交于A（0，3），即c＝3，选项②错误；又A和B关于对称轴对称，且AB＝2，∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，即2a﹣b＝0，选项③正确；∴B（﹣2，3），将x＝﹣2，y＝3代入抛物线解析式得：4a﹣2b+c＝3，选项④正确；由OE＝1，利用对称性得到CD＝OE＝1，又OC＝AB＝2，∴DE＝CD+OC+OE＝1+2+1＝4，又OA＝3，则S梯形ABDE＝OA（AB+DE）＝9，选项⑤正确，综上，正确的个数为3个．故选：C．19．解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x＝1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3＝﹣3，∴＝﹣3，则a＝﹣．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣．故③正确；④根据题意知，a＝﹣，﹣＝1，∴b＝﹣2a＝，∴n＝a+b+c＝c．∵2≤c≤3，∴≤c≤4，即≤n≤4．故④错误．综上所述，正确的说法有①③．故选：D．20．解：如图，作BE⊥x轴于点E，连接OB，∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，∴∠AOE＝75°，∵∠AOB＝45°，∴∠BOE＝30°，∵OA＝1，∴OB＝，∵∠OEB＝90°，∴BE＝OB＝，∴OE＝，∴点B坐标为（，﹣），代入y＝ax2（a＜0）得a＝﹣，∴y＝﹣．故选：B．21．解：∵S△ABC＝×2×2＝2，可见，当O与C重合时，S△ABC＝2，作CD⊥AB，∵AO＝BO＝2，可见，△ACB为等腰直角三角形，CD＝2×cos45°＝2×＝．由图易得，到AB距离为的点有C、C1、C2，作CC3∥AB，则CC3的解析式为y＝﹣x，将y＝﹣x和y＝x2组成方程组得，，解得，，，则C3坐标为（﹣1，1），可见，有四个点，使得S△ABC＝2．故选：A．。
抛物线的阿基米德焦点三角形问题及其应用
2019年10月高中*项目基金:本文系福建省科学教育“十三五”规划2018年度立项课题《提升学生核心素养的高中数学校本课程开发研究》(课题立项批准号:FJJKXB18-243)的阶段研究成果之一。
抛物线的弦与过弦的两端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.特别地，抛物线过焦点的弦与过弦的两端点的两条切线所围成的特殊三角形称为阿基米德焦点三角形.有关抛物线的阿基米德焦点三角形问题在近几年高考等试卷中时有出现.了解涉及抛物线的阿基米德焦点三角形的一些基本性质，对于解决相应问题很有帮助，其可以更加快捷地处理相应问题，也能有效地拓展知识面.一、结论展示抛物线C ：x 2=2py （p >0）的焦点为F ，弦AB 过焦点F ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别是l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，则△PAB 就是阿基米德焦点三角形.该阿基米德焦点三角形有以下几个基本性质：（1）点P 必在抛物线C 的准线上；（2）△PAB 是以P 为直角的直角三角形（即PA ⊥PB ）；（3）PF ⊥AB.根据抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质，可以用其破解很多与之相关的抛物线问题，从而使问题的求解变得简单快捷，易于操作.二、应用问题1.三角形形状的判定例1已知抛物线C ：x 2=2py （p >0）的焦点为F ，弦AB过焦点F ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别是l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，则△PAB 的形状为（）.A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .随点P 位置变化前三种情况都有可能分析:常规方法是设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立确定两端点的坐标，结合导数的几何意义确定两切线l 1，l 2的方程，进而求解交点P 的坐标关系式，结合直线的斜率公式及两直线垂直的关系加以分析.此过程比较烦琐，解答起来比较费时，而结合阿基米德焦点三角形的基本性质，基本可以达到“秒杀”的效果.解:结合抛物线的阿基米德焦点三角形的性质，可知△PAB 是以P 为直角的直角三角形.故答案为B .点评:利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质来判定对应的三角形的形状,不但处理起来比较简单,而且效果良好.2.直线位置关系的判定例2已知抛物线C ：x 2=2py （p >0）的焦点为F ，弦AB过焦点F ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别是l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，则直线PF 与弦AB 所在的直线的位置关系为（）.A .相交但不垂直B .相交且垂直C .平行D .相交但是否垂直随点P 位置变化而改变分析:常规方法也是设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立确定两端点的坐标，结合导数的几何意义确定两切线l 1，l 2的方程，进而求解交点P 的坐标关系式，结合直线的斜率公式及两直线垂直的关系加以分析.若直接利用阿基米德焦点三角形的基本性质，则更为简单快捷.解:结合抛物线的阿基米德焦点三角形的性质，可知PF ⊥AB.故答案为B .点评:利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质来判定两直线的位置关系,可以很好地确定其相应的垂直关系,避免了繁杂的运算过程,节约时间,提高效益.3.线段长度的求解例3已知F 为抛物线C ：x 2=2py （p >0）的焦点，过点F抛物线的阿基米德焦点三角形问题及其应用*◉福建省石狮市石光中学林建森教学参谋解法探究272019年10月高中的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别是l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，设|AB|=q ，则|PF|的值为______.（结果用含q 的代数式表示）分析:设出|AF|=m ，|BF|=n ，结合阿基米德焦点三角形的性质并通过直角三角形的射影定理来建立相应的关系式，得到|PF|2=|AF|·|BF|=mn ，进而由抛物线的焦点弦性质1|AF|+1|BF|=2p的变形与转化来确定|PF|的值.解:设|AF|=m ，|BF|=n ，则有|AB|=m+n=q ，由阿基米德焦点三角形的基本性质可得PA ⊥PB ，PF ⊥AB ，结合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF|·|BF|=mn ，由抛物线的焦点弦性质1|AF|+1|BF|=2p ，可得m+n mn =2p ，则有q|PF|2=2p ，则有|PF|=2pq√2.故填答案为2pq√2.点评:利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质,以确定相应的三角形的形状,结合直角三角形的射影定理加以转化与应用,从而提升效率,拓展思维.4.三角形面积的破解例4已知抛物线C ：x 2=2py （p >0）的焦点为F ，弦AB过焦点F ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别是l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，则△PAB 的面积的最小值是______.分析:设出弦AB 所在直线的倾斜角θ，结合抛物线的极径公式得到|AF|与|BF|的三角表达式，再利用阿基米德焦点三角形的性质来确定|PF|的三角表达式，通过三角形的面积公式来进行转化，结合三角函数的图像与性质来确定最值即可.解:设直线AB 的倾斜角为θ，不失一般性，根据抛物线的对称性，不妨设θ∈0，π2[)，由抛物线的极径公式可得|AF|=p 1-sin θ，|BF|=p 1-sin （π+θ）=p1+sin θ，可得|AB|=|AF|+|BF|=p 1-sin θ+p 1+sin θ=2pcos 2θ.由阿基米德焦点三角形的性质可得PA ⊥PB ，PF ⊥AB ，结合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF|·|BF|=p 1-sin θ·p 1+sin θ=p 2cos 2θ，即|PF|=p cos θ，那么S △PAB =12|AB||PF|=p 2cos 3θ≥p 2，当且仅当cos θ=1，即θ=0时，△PAB 的面积取得最小值为p 2.故填答案为p 2.点评:利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质,结合抛物线的极径公式及直角三角形的射影定理,有效转化三角形的面积关系式,进而转化为有关的三角函数问题,结合三角函数的图像与性质即可有效破解.5.最值问题的应用例5（2019届四川省成都市高三模拟·16）已知F 为抛物线C ：x 2=4y 的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别是l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，则|PF|+32|AB|的最小值为______.分析:设出|AF|=m ，|BF|=n ，结合阿基米德焦点三角形的性质并通过直角三角形的射影定理来建立相应的关系式，得以|PF|2=|AF|·|BF|=mn ，由抛物线的焦点弦性质1|AF|+1|BF|=2p的变形与转化得到m+n=mn ，结合条件通过均值不等式的应用，利用配凑法来确定|PF|+32|AB|的最小值.解:设|AF|=m ，|BF|=n ，则有|AB|=m+n ，由阿基米德焦点三角形的基本性质可得PA ⊥PB ，PF ⊥AB ，结合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF|·|BF|=mn ，由抛物线的焦点弦性质1|AF|+1|BF|=2p ，可得1m +1n=1，变形可得m+n=mn ，即|AB|=|PF|2=mn ，结合均值不等式，可得|PF |+32|AB |=mn √+32mn =mn√2+mn√2+32mn≥3mn √2×mn√2×32mn 3√=6，当且仅当mn√2=32mn，即mn=16时取等号，所以|PF|+32|AB|的最小值为6.故填答案为6.点评:利用抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质,结合抛物线的焦点弦性质及均值不等式,能很好地达到转化与应用,进而为求解复杂关系式的最值问题奠定基础,有效拓展思维,提高素养.在破解一些相关问题时，如果能够巧妙地借助抛物线的阿基米德焦点三角形的基本性质来处理，特别在解答一些选择题或填空题时，不失为一种很好的方法.灵活借助抛物线的阿基米德焦点三角形相关的基本性质，可以很好地处理问题，从而有效提升学习的宽度与深度，提高数学效益，培养数学素质，提升思维品质.F教学参谋解法探究28。
抛物线与坐标轴交点构成的三角形问题PPT教学课件
=
12×1×3a+
1 2
×(3a+4a)
×1－
1 2
×2×4a
=a
∴ SACM a 1
S ACB 6a 6
Y A(-1,0)
1、已知：抛物线与x轴的交点坐标为 A(-1,0)和B（3，0）,点C是抛物线的 C 顶点.若∠ACB=90度
问1：顶点C的坐标是多少？
B(3,0) （1，2）
D
X
问2：在抛物线的解析式
抛物线与坐标轴交点 构成的三角形问题
1、已知抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于
A,B两点，其中A点位于B点的左侧，与
Hale Waihona Puke y轴交于C点，顶点为P，请你求出
S△AOC=_1_._5_
(1,4)
P
4
(0,3) C 3
S△ BOC=_4_._5_
2
1
(-1,0)
A O
B(3,0)
2
S△ COP=_1_.5_ S△ PAB=__8__
竹 竹鸟图
山寺松泉
教学目标
• 了解回忆性叙事文的主要 特点
• 初步学会按照内容划分文 章的段落层次概括中心
• 感受作者对老师的真切感 情
检测预习
• 呵斥 敷衍 懊丧 蕴寓 癖好 临摹 寥寥 揶揄 悚然 悼念 伫立 鞭策
• 灵柩
疾言厉色
络绎不绝 语重心长
• 娓娓动听 茅塞顿开
• 促膝长谈 一瓣心香
见识独到 修养深厚
看 沉思 寥寥数语 一针见血
茅塞顿开 精益求精
炫耀诗才 先生批评
劝戒警勉 育我成人
淡淡地笑道 警勉而略带揶揄
惶恐不安 发人深省 鞭策至今
抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式
抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式1. 引言1.1 什么是抛物线抛物线是平面几何中非常重要的一种曲线，它是一种U形的曲线，可以由二次方程定义。
在笛卡尔坐标系中，抛物线通常是关于x轴对称的。
抛物线在数学、物理等领域都有着广泛的应用，比如在物理学中描述抛物运动的轨迹、在工程学中设计拱形结构等。
抛物线的形状是由一条直线（焦点到直线）和一定点（焦点）组成的几何图形。
在抛物线上，每个点到焦点的距离等于这个点到直线的距离。
这也是抛物线得名的原因，因为“parabola”在希腊语中意为“平行”。
抛物线有许多重要的性质，比如焦距、准线等，它们对于抛物线的性质和特征有着重要的作用。
抛物线是一种非常有趣和重要的曲线，它在数学中有着深远的影响，也在实际生活和工程中有着广泛的应用。
研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式，有助于我们更深入地理解抛物线的性质和特点，也有助于我们解决与抛物线相关的问题和应用。
【这里可以添加更多内容，或者过渡到下一个部分】。
1.2 为什么要研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式抛物线是代数曲线的一种特殊形式，它在数学和物理领域都有广泛的应用。
研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式，可以帮助我们更深入地理解抛物线的性质和特点。
通过分析抛物线与坐标轴的交点，我们可以探讨抛物线在不同位置的表现，了解其与坐标轴的关系。
研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式还可以帮助我们解决实际问题中的数学计算和建模工作。
通过求解抛物线与x轴的交点，我们可以确定抛物线的零点，从而找到函数的根；通过求解抛物线与y轴的交点，我们可以确定抛物线的焦点坐标；通过求解抛物线与y=x线的交点，我们可以推导出抛物线的对称性质。
研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式具有重要的理论和实际意义，对于深化我们对抛物线的认识和应用具有重要意义。
2. 正文2.1 抛物线的一般方程抛物线是平面上一种特殊的几何曲线，具有许多重要的性质和特征。
它是二次函数的图像，其一般方程可以用一般形式的二次方程表示。
抛物线中由动点产生的特殊三角形的存在性问题
抛物线中由动点产生的特殊三角形的存在性问题解析二次函数的图像与三角形的结合是代数与平面几何生成的综合性问题的一种重要形式.其呈现方式多以抛物线为载体、探索满足某种条件的三角形的存在性.这类试题旨在全面考查学生分析问题、解决问题的能力和创新思维能力.由于其涉及的知识面广,内容丰富,综合性和灵活性以及解题技巧性都较强,因而对大多数考生来说常感到束手无策.解决这类问题的关键是,弄清函数与几何图形之间的关系,在解题过程中将函数问题几何化,几何问题数量化,数形统一.一般步骤是：先假设其存在,再画出相应的图形,然后根据所画的图形进行解答,得出某些结论；最后,如果结论符合题目要求或定义、定理,则假设成立;如果出现与题目要求或定义、定理相悖的情况,则假设错误,所设不存在.一.由抛物线上的动点产生的等腰三角形用代数方法探求等腰三角形问题一般分三步：按腰相等分三种情况,再根据两点间距离列方程,解之并检验.有些等腰三角形当角度特殊时,三种情况下的动点可能会重合在一起.例1.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+10与x 轴,y 轴相交于A,B 两点,点C 的坐标是(8,4),连接AC,BC ．(1)求过O,A,C 三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状；(2)动点P 从点O 出发,沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；同时,动点Q 从点B 出发,沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒,当t 为何值时,PA=QA ？(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】(1)先确定出点A,B 坐标,再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC 是直角三角形；(2)根据运动表示出OP=2t,CQ=10﹣t,判断出Rt△AOP ≌Rt△ACQ ,得到OP=CQ 即可；(3)分三种情况用平面坐标系内,两点间的距离公式计算即可.【解答】(1)∵直线y=﹣2x+10与x 轴,y 轴分别交于A,B 两点,∴A(5,0),B(0,10).∵抛物线过原点, ∴设抛物线解析式为y=ax 2+bx,∵抛物线过点B(0,10),C(8,4),∴2550,6484a b a b +=⎧⎨+=⎩ ∴16,56a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩图1∴抛物线解析式为y=16x 2﹣56x, ∵A(5,0),B(0,10),C(8,4),∴AB 2=52+102=125,BC 2=82+(8﹣5)2=100,AC 2=42+(8﹣5)2=25, ∴AC 2+BC 2=AB 2, ∴△ABC 是直角三角形．(2)如图2,当P,Q 运动t 秒,即OP=2t,CQ=10﹣t 时,由(1)得,AC=OA,∠ACQ=∠AOP=90°,在Rt△AOP 和Rt△ACQ 中,,AC OA PA QA=⎧⎨=⎩ ∴Rt△AOP ≌Rt△ACQ , ∴OP=CQ, ∴2t=10﹣t, ∴t=103, ∴当运动时间为103时,PA=QA ； (3)存在,∵y=16x 2﹣56x, ∴抛物线的对称轴为x=52, ∵A(5,0),B(0,10), ∴AB=55 如图3,设点M(52,m), 按边相等分为三种情况： ①当BM=BA 时, ∴(52)2+(m ﹣10)2=125, ∴m 1=205192+,m 2=205192-, ∴M 1(52,205192+),M 2(52,205192-). ②当AM=AB 时, ∴(52)2+m 2=125, ∴m 3=5192, m 4=﹣5192, ∴M 3(52,5192),M 4(52,﹣5192). ③当MA=MB 时,∴(52﹣5)2+m 2=(52)2+(10﹣m)2, ∴m=5, ∴M 5(52,5),此时点M 恰为线段AB 的中点,构不成三角形,舍去. x OA 2M 1M C3M 4M B y 图3 图2∴综合上所述点M 的坐标为：M 1(52,205192+),M 2(52,205192-),M 3(52,5192),M 4(52,﹣5192) 【点评】本题作为压轴题,立意新颖,具有较强的综合性.试题主要考查一次函数、二次函数的性质,待定系数法求函数解析式,三角形全等的性质和判定,等腰三角形、直角三角形的性质.解本题第三问的关键是分情况讨论,这也是本题的难点．二.由抛物线上的动点产生的直角三角形对于直角三角形问题,若用代数方法探求,也需先按直角分三种情况,再根据两点间的距离列方程,然后解方程并检验.但下面例题中已指明斜边,故不需讨论.例2.如图4,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线l 与抛物线y=mx 2+nx 相交于A(1,33),B(4,0)两点．(1)求出抛物线的解析式；(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD 是以线段AB 为斜边的直角三角形？若存在,求出点D 的坐标；若不存在,说明理由；(3)点P 是线段AB 上一动点,(点P 不与点A 、B重合),过点P 作PM ∥OA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M 作MC ⊥x 轴于点C,交AB 于点N,若△BCN 、△PMN 的面积S △BC N 、S △P MN 满足S △B C N =2S △PMN ,求出MN NC的值,并求出此时点M 的坐标． 【分析】(1)由A 、B 两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)分D 在x 轴上和y 轴上,分别向不同的坐标轴坐垂线段.用点D 的坐标表示出AD 、BD ，列出关于d 的方程,即可求得D 点的坐标；(3)过P 作PF ⊥CM 于点F,利用Rt △ADO ∽Rt △MFP 以及三角函数,可用PF 分别表示出MF 和NF,从而可表示出MN,设BC=a,则可用a 表示出CN,再利用S △BC N =2S △PMN ,可用PF 表示出a 的值,从而可用PF 表示出CN,可求得MN NC的值；借助a 可表示出M 点的坐标,代入抛物线解析式可求得a 的值,从而可求出M 点的坐标．【解答】(1)∵A(1,33),B(4,0)在抛物线y=mx 2+nx 的图象上,∴33,1640m n m n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得3,43m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ ∴抛物线解析式为y=﹣3x 2+43x ；图4(2)存在三个点满足题意,理由如下：①当点D 在x 轴上时,如图4,过点A 作AD ⊥x 轴于点D,∵A(1,33), ∴D 坐标为(1,0)；②当点D 在y 轴上时（图略）,设D(0,d),则AD 2=1+(33﹣d)2,BD 2=42+d 2,且AB 2=(4﹣1)2+(33)2=36,∵△ABD 是以AB 为斜边的直角三角形,∴AD 2+BD 2=AB 2, 即1+(33﹣d)2+42+d 2=36,解得d=33112±, ∴D 点坐标为(0, 33112+)或(0, 33112-)； 综上可知存在满足条件的D 点,其坐标为(1,0)或(0,33112+) 或(0,33112-)； (3)如图5,过P 作PF ⊥CM 于点F,∵PM ∥OA, ∴Rt △ADO ∽Rt △MFP,∴MF AD PF OA==33, ∴MF=33PF, 在Rt △ABD 中,BD=3,AD=33,∴tan ∠ABD=3,∴∠ABD=60°,设BC=a,则CN=3a,在Rt △PFN 中,∠PNF=∠BNC=30°,∴tan ∠PNF=33PF FN =, ∴FN=3PF, ∴MN=MF+FN=43PF,∵S △BC N =2S △P MN , ∴32a 2=2××43PF 2, 图5∴a=22PF,∴NC=3a=26PF,∴4326MN PF NC PF==2, ∴MN=2NC=2×3a=6a, ∴MC=MN+NC=(6+3)a, ∴M 点坐标为(4﹣a,(6+3)a),又M 点在抛物线上,代入可得﹣3(4﹣a)2+43(4﹣a)=(6+3)a, 解得a=3﹣2或a=0(舍去), OC=4﹣a=2+1,MC=26+3, ∴点M 的坐标为(2+1, 26+3)．【点评】本题是二次函数综合题,主要考查待定系数法求函数解析式,相似三角形、全等三角形以及直角三角形的性质.本题已指明了直角三角形的斜边是线段AB,不需要讨论；但需按点D 的位置分类讨论,这是解本题（2）的关键,也是本题之难点所在.三.由抛物线上的动点产生的等腰直角三角形此类问题可仿问题一、二的方法讨论.例3.如图6,已知点A 的坐标为(﹣2,0),直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 和点C,连接AC,顶点为D 的抛物线y=ax 2+bx+c 过A 、B 、C 三点．(1)请直接写出B 、C 两点的坐标,抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2),设抛物线的对称轴DE 交线段BC 于点E,P 是第一象限内抛物线上一点,过点P 作x 轴的垂线,交线段BC 于点F,若四边形DEFP 为平行四边形,求点P 的坐标；(3)设点M 是线段BC 上的一动点,过点M 作MN ∥AB,交AC 于点N,点Q 从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A 运动,运动时间为t(秒),当t(秒)为何值时,存在△QMN 为等腰直角三角形？【分析】(1)由 y=﹣34x+3易得B 和C 的坐标,然后设抛物线的交点式为y=a(x+2)(x ﹣4),把C 的坐标代入抛物线解析式即可求出a 的值和顶点D 的坐标；(2)若四边形DEFP 为平行四边形,则DP ∥BC,设直线DP 的解析式为y=mx+n,则m=﹣34,求出直线DP 的解析式后,联立抛物线解析式和直线DP 的解析式即可求出P 的坐标；(3)由题意可知,0≤t≤6,若△QMN 为等腰直角三角形,则共有三种情况,①∠NMQ=90°；②∠MNQ=90°；③∠NQM=90°．【解答】(1)B(4,O),C(0,3)．抛物线的解析式为233 3.84y x x =++顶点D 的坐标为)827,1( .(2)如图6,把x=1代入,49343=+-=y x y 得， 9(1,),4E ∴,8949827=-=∴DE 因点P 为第一象限内抛物线上一点,所以可设点P 坐标为),34383,(2++-x x m 点F 的坐标为(m,-43m+3)． 若四边形DEFP 为平行四边形,则PF=DE. 即-83m 2+43m+3-(-43m+3)=89. 解之,得m 1=3,m 2=1(不合题意,舍去)．∴当点P 坐标为(3,815)时,四边形DEFP 为平行四边形. (3)设点M 的坐标为(m,-343+m ),MN 交y 轴于点G ． ,//AB MN ∴∆MNC ∽∆BAC, COCG AB MN =∴ ①如图图7-①,当∠QMN=90°,MN=MQ=OG 时,,336MN MN -=解之,MN=2． ,2343=+-∴m 解之,⋅=)2,34(,34M m ⋅=-=∴38344),0.34(t Q 即 ②如图7-②,当∠QNM=90°,MN=NQ=OG 时∵,336MN MN -=解之,MN=2． ,2343=+-∴m 解之,⋅=)2,34(,34M m ∴GM=43,NG=23, ⋅-)0,32(Q ⋅=--=∴314)32(4t ③如图7-③当∠MQN=90°,QM=QN 时,OG= QK= 21NM, ,32136MN MN -=∴解之,得MN=3．⋅=∴23OG ,23343=+-∴x 解之,得x=2,即).23.1(),23,2(-N M MN 的中点K 的坐标为⋅⋅)2321().0,21(Q ∴即.27214=-=t ∴当t 为38或314或27时,存在△QMN 为等腰直角三角形． 图7-① G 图7-② G 图7-③ K G【点评】本题考查待定系数法求函数的解析式,及一次函数中k 值和点的坐标的求法,抛物线的对称性,相似三角形、等腰直角三角形等知识. 是一道综合性较强的试题.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系．由于本题未指明三角形的直角,故需按直角分类讨论.例4.如图8,抛物线y=﹣53[(x﹣2)2+n]与x轴交于点A(m﹣2,0)和B(2m+3,0)(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连结BC．(1)求m、n的值；(2)如图9,点N为抛物线上的一动点,且位于直线BC上方,连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；(3)如图10,点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点,连接PM、PC,是否存在这样的点P,使△PCM为等腰三角形,△PMB为直角三角形同时成立？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】(1)易知抛物线的对称轴为直线x=2,由对称性得2﹣(m﹣2)=2m+3﹣2,解得m的值,即得A(﹣1,0),B(5,0),然后把A点坐标代入y=﹣35 [(x﹣2)2+n]可求n的值；(2)作ND∥y轴交BC于D,如图9,由抛物线解析式确定C(0,3),再利用待定系数法求出BC的解析式为y=﹣35x+3,设N(x,﹣35x2+125x+3),则D(x,﹣35x+3),根据三角形面积公式,利用S△NBC=S△NDC+S△NDB可得S△BCN=﹣32x2+152x,然后利用二次函数的性质求解；(3)先由勾股定理求出BC=34,再分类讨论:当∠PMB=90°,则∠PMC=90°,△PMC为等腰直角三角形,MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,证明△BMP∽△BOC,利用相似比可求出BP的长,再计算OP后可得到P点坐标；当∠MPB=90°,则MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,证明△BMP∽△BCO,利用相似比求出BP的长,再计算OP后可得P点坐标．【解答】解：(1)∵抛物线的解析式为y=﹣35[(x﹣2)2+n]=﹣35(x﹣2)2﹣35n,∴抛物线的对称轴为直线x=2,∵点A和点B为对称点, ∴2﹣(m﹣2)=2m+3﹣2,解得m=1, ∴A(﹣1,0),B(5,0),把A(﹣1,0)代入y=﹣35[(x﹣2)2+n]得9+n=0,解得n=﹣9；图8(2)作ND ∥y 轴交BC 于D,如图9,抛物线解析式为y=﹣35[(x ﹣2)2﹣9]=﹣35x 2+125x+3, 当x=0时,y=3,则C(0,3),设直线BC 的解析式为y=kx+b,把B(5,0),C(0,3)代入得 50,3k b b +=⎧⎨=⎩ 解得3,53k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为y=﹣35x+3, 设N(x,﹣35x 2+125x+3),则D(x,﹣35x+3), ∴ND=﹣35x 2+125x+3﹣(﹣35x+3)=﹣35x 2+3x, ∴S △NBC =S △NDC +S △NDB =12•5•ND=﹣32x 2+152x=﹣(x ﹣52)2+758, 当x=52时,△NBC 面积最大,最大值为758； (3)存在．∵B(5,0),C(0,3),∴BC=223534,+=①如图10,当∠PMB=90°时,亦有∠PMC=90°,而MP=M,故△PMC 为等腰三角形,∴△PMC 为等腰直角三角形,MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,∵∠MBP=∠OBC, ∴△BMP ∽△BOC ,∴,PM BM BP OC OB BC == 即 34,3534t t BP -== 解得 334,8t =17,4BP = ∴OP=OB ﹣BP=5﹣174=34, 此时P 点坐标为(34,0)； ②如图11,当∠MPB=90°时,则MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,∵∠MBP=∠CBO, ∴△BMP ∽△BCO ,∴ ,MP BM BP OC BC BO == 即34,3534t t BP -== 图10 M 图11M解得10225t -= 345BP -=∴OP=OB ﹣BP=5 , 此时P 点坐标为,0). 综上所述,P 点坐标为(34,0)或 (34,0). 评析：本题中虽然有“△PCM 为等腰三角形”, 但结合”△PCM 为等腰三角形,△PMB 为直角三角形同时成立”进行分析, 故不需对“等腰”分类,只需对“直角”讨论,解题过程迅速得以简化.通过对以上例题的分析与解答,我们对这类问题有了新的认识与了解,对解决抛物线中的等腰三角形及直角三角形问题寻求到了有效的解题途径,为今后九年级师生解决同类问题起到了抛砖引玉的作用.。
中考数学压轴题-抛物线与直线的交点问题
中考数学压轴题专题 抛物线与直线交点问题教学目标：1、 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。
2、 理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进一步培养学生数形结合思想。
3、 通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。
教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。
2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。
教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。
讲授方法：讲授与讨论相结合 教学过程：一、抛物线与x 轴的交点问题例1：已知：抛物线322--=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。
练习：1、已知：抛物线)1(3)2(2++-+-=m x m x y （1）求证：抛物线与x 轴有交点。
（2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。
2、已知抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式.方法总结：1、 抛物线与x 轴相交：抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴相交 ）（002≠=++a c bx ax2.抛物线与x 轴的交点的个数（1 △抛物线与x 轴相交（2 △抛物线与x 轴相切（3 △抛物线与x 轴相离二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点例2：求抛物线322--=x x y 与y =1的交点坐标 练习：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 如果抛物线与y =3有两个交点，求c 的取值范围。
（2） 如果对于任意x ，总有y >3，求c 的取值范围方法总结：1、抛物线与平行于x 轴的直线相交抛物线c bx ax y ++=2的图象与平行于x 轴的直线相交⎩⎨⎧=++=my c bx ax y 2新的一元二次方程m c bx ax =++22.抛物线与平行于x 轴的直线的交点的个数（1 △抛物线与直线相交（2 △抛物线与直线相切（3 △抛物线与直线相离三：抛物线与直线的交点问题 例3：若抛物线221x y =与直线y =x +m 只有一个交点，求m 的值练习：已知:抛物线），（和点0,1-3-2A x x y =过点A 作直线l 与抛物线有且只有一个交点， 并求直线l 的解析式 方法总结：抛物线与直线相离没有交点与方程组没有解时抛物线与直线相切有一个交点与方程组有一组解时抛物线与直线相交有两个交点与时方程组有两组不同的解的解的数目来确定由的交点个数的图象与抛物线的图象一次函数⇔⇔⇔⇔⇔⇔⎩⎨⎧++=+=≠++=≠+=G l G l G l c bx ax y b kx y G a c bx ax y l k b kx y 22)0()0(例4：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 当c =-3时，求出抛物线与x 轴的交点坐标（2） 当-2<x <1时，抛物线与x 轴有且只有一个交点，求c 的取值范围方法总结：线段与抛物线的交点，要结合直线与抛物线交点和函数的图象综合分析 练习：1、 抛物线222-m mx x y +=与直线y =2x 交点的横坐标均为整数，且m <2,求满足要求的m 的整数值2、 已知：抛物线14-2+=x x y ，将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线（1）求平移后的抛物线的解析式（2）请结合图象回答，当直线y =m 与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数m 的取值范围3、已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++，在0x =和2x =时的函数值相等。
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形,这个三角
2 ；设 BI 3
与抛物线所围面积为 S1 ，AI 与抛物线 所围面积为 S2 ，AB 与抛物线所围面积为 S ， 则S =
ABI
S
QAB
3 S S QST 2 3 = S ABI S 2
3 3 S1 S 2 2 2 3 3 3 S1 S 2 = ( S S1 S2 ) S 2 2 2 S
阿基米德三角形的性质
性质 8 在抛物线上任取一点 I（不与 A、B 重合） ，过 I 作抛物线切线交 QA、QB 于 S、T，则△QST 的垂心在准线上．
2 证明：设 A(2 pt1 , 2 pt1 ) 、 2 B(2 pt2 , 2 pt2 ) 、 2 I (2 pt3 , 2 pt3 ) ，
了解
性质 2 若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内定点 C，则另一顶点 Q 的轨迹为一条直线． 证明：设 Q(x，y)，由性质 1，
y y2 y1 y2 ，y= 1 ， 2 2p ∴ y1 y2 2 px
x= 由 A、B、C 三点共线知
了解
l
y1 y0 y1 y2 2 ， 2 2 y1 y y1 2 x0 2p 2p 2p
显然在抛物线上；过 P 的切线的 斜率为
p 2p = k AB ， y1 y2 y1 y2 2
结论得证．
y1 y p( x x1 ) y y p( x x ) 2 2 2 y1 2 px1 y 2 2 px 2 2
解得两切线交点 Q(
掌握
y y2 y1 y2 ， 1 )， 2 2p
进而可知 QM ∥x 轴. 此性质即为题 3 考查内容．
阿基米德三角形的性质