概率论习题答案

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概率论复习题答案

一、单项选择题1 已知随机变量X 在（1，5）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( C ) A. 0.1 B. 0.5 C. 0.25 D 42 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<1）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( B )A. 0B. 2C. 0.5 D 13 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<2）之间服从均匀分布，则其不在此区间的概率密度为( A )A. 0B. 2C. 1 D 44 已知P(A)=0.8 ,则)(A A P ⋃的值为( D )(A) 0.8 (B) 0.2 (C) 0 (D) 1 5 已知P(A)=0.4 ,则)(A A P 的值为( C ) (A) 1 (B) 0.24 (C) 0 (D) Φ6.,,A B C 是任意事件，在下列各式中，成立的是( C ) A.A B =A ⋃B B. A ⋃B =ABC. A ⋃BC=(A ⋃B)(A ⋃C)D. (A ⋃B)(A ⋃B )=AB7 设随机变量X~N(3,16), 则P{X+1>5}为( B ) A. Φ(0.25) B. 1 - Φ(0.25) C. Φ(4 ) D. Φ(-4)8 设随机变量X~N(3,16), Y~N(2,1) ，且X 、Y 相互独立，则P{X+3Y<10}为( A ) A. Φ(0.2) B. 1 - Φ(0.2) C. Φ(0 ) D. Φ(1)9. 已知随机变量X 在区间（0，2）的密度函数为0.5x, 则其在此区间的分布函数为（ C ） A. 0.52x B. 0.5 C. 0.252x D. x10 已知随机变量X 在区间（1，3）的密度函数为0.25x, 则x>3区间的分布函数为（ B ） A. 0.52x B. 1 C. 0.1252x D. 011. 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X=n}=!n e nλλ, n=0,1,2…… 则称随机变量X 服从( B )A. 参数为λ的指数分布B. 参数为λ的泊松分布C. 参数为λ的二项式分布D. 其它分布12. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数，则f (x )值的围必须（ B ）。

《概率论与数理统计》习题及答案

概率论与数理统计第一部份习题第一章概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

大学概率论习题及答案

《经济应用数学三（概率论）》综合测试题（二）一、单项选择题1．设A，B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。

A.B.C.D.2．从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记：A=“取到2只白球”则=（）。

A.取到2只红球B.取到1只红球C.没有取到白球D.至少取到1只红球3．事件A，B相互独立，且（）。

A.0.46B.0.42C.0.56D.0.144．下列函数为正态分布密度的是（）。

A.B.C.D.5．设随机变量服从, 其分布密度函数为, 则（）。

A.0B.1C.D.6．设随机变量的密度函数为，则。

A.0B.C.1D.7．设随机变量X的可能取值为, 随机变量Y的可能取值为,如果, 则随机变量X 与Y （）。

A.一定不相关B.一定独立C.一定不独立D.不一定独立8．若二维随机变量的联合概率密度为，则系数（）。

A.B.C.1D.9．对随机变量来说，如果，则可断定不服从（）。

A.二项分布B.指数分布C.泊松分布D.正态分布10．设服从参数为的指数分布，则（）。

A.B.C.D.二、填空题1．若事件A与B互斥，P(A)=0.6,P(A∪B)=0.8,则2．随机变量X服从区间 [1，4]上的均匀分布，则P { 0＜X＜3} = __________。

3．设随机变量的概率分布为，则__________。

4．设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为：则a=________,b=________。

5．设服从正态分布，则D(-2X+1)= ________三、计算题1．设某产品的合格率为80% 。

检验员在检验时合格品被认为合格的概率为97%，次品被认为合格的概率为2%。

（1）求任取一产品被检验员检验合格的概率；（2）若一产品通过了检验，求该产品确为合格品的概率。

2．设打一次电话所用时间X（分钟）服从参数为的指数分布，如果某人刚好在你前面走进公用电话亭，求你等待时间在10分钟到20分钟之间的概率。

3．已知随机向量的联合概率分布为（1）求的边缘分布；（2）判断与是否独立；4．设系统由100个相互独立的部件组成, 运行期间每个部件损坏的概率为0.1, 至少有85个部件是完好时系统才能正常工作。

概率论课后习题答案

习题1解答1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果；（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为{|0,1,2,,100}ii n nΩ==.（2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为{10|0,1,2,}k k Ω=+=，或写成{10,11,12,}.Ω=（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.（3）取直角坐标系，则有22{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1)A 发生而B 与C 不发生； (2)A 、B 、C 中恰好发生一个； (3)A 、B 、C 中至少有一个发生； (4)A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5)A 、B 、C 中至少有两个发生； (6)A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.解：(1)ABC 或A B C --或()A B C -；(2)ABC ABC ABC ；(3)AB C 或ABCABCABCABCABCABCABC ；(4)ABC ABCABC .(5)AB AC BC 或ABC ABC ABCABC ；(6)ABCABCABCABC .3．设样本空间{|02}x x Ω=≤≤，事件{|0.51}A x x =≤≤，{|0.8 1.6}B x x =<≤，具体写出下列事件：(1)AB ；（2）A B -；（3）A B -；（4）A B .解：（1）{|0.81}AB x x =<≤；（2）{|0.50.8}A B x x -=≤≤；（3）{|00.50.82}A B x x x -=≤<<≤或；（4）{|00.5 1.62}AB x x x =≤<<≤或.4. 一个样本空间有三个样本点，其对应的概率分别为22,,41p p p -，求p 的值. 解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以2241 1.p p p ++-=解之得1233p p =-=-，又因为一个事件的概率总是大于0，所以3p =- 5. 已知()P A =0.3，()P B =0.5，()P A B =0.8，求(1)()P AB ；(2)()P A B -；(3)()P AB .解：(1)由()()()()P AB P A P B P AB =+-得()()()()030.50.80P AB P A P B P A B =+-=+-=.(2) ()()()0.300.3P A B P A P AB -=-=-=. (3) ()1()1()10.80.2.P AB P AB P AB =-=-=-=6. 设()P AB =()P AB ，且()P A p =，求()P B . 解：由()P AB =()1()1()1()()()P AB P AB P AB P A P B P AB =-=-=--+得()()1P A P B +=，从而()1.P B p =-7. 设3个事件A 、B 、C ，()0.4P A =，()0.5P B =，()0.6P C =，()0.2P AC =，()P BC =0.4且AB =Φ，求()P A B C .解：()()()()()()()()0.40.50.600.20.400.9.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 解：依题意可知，基本事件总数为34个.以,1,2,3i A i =表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，则1A 表示每个杯子最多放一个球，共有34A 种方法，故34136().416A P A ==2A 表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，放法总数为211343C C C 种，故211343239().416C C C P A == 3A 表示3个球放入同一个杯子中，共有14C 种放法，故14331().416C P A ==9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为4987487987411098790P ⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯. 10. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第三卷正好在正中.解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p .(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=⨯=p .(3)p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}2217551010=+-=. (4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P .(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P . 11. 把2，3，4，5诸数各写在一X 小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，所以 23342/1/2P A A =⨯=.12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79.事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”.所以包含79A 个样本点，于是7799)(A A P =.13. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次,求他(她)等待时间短于10分钟的概率.解:以分钟为单位, 记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在),60,0(记 “等待时间短于10分钟”为事件,A 则有(0,60),Ω=)60,50(=A ,⊂Ω于是)(A P 6010=.61= 14. 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。

概率论习题解答（第5章）

概率论习题解答（第5章）第5章习题答案三、解答题1. 设随机变量X 1，X 2，…，X n 独⽴同分布，且X ～P (λ)，∑==ni i X n X 11，试利⽤契⽐谢夫不等式估计}2|{|λλ<-X P 的下界。

解：因为X ～P (λ)，∑∑===?===n i i n i i n nX E n X n E X E 111)(1)1()(λλλλn n nX D n X n D X D n i i n i i 11)(1)1()(2121====∑∑==由契⽐谢夫不等式可得nn X P 4114/1}2|{|-=-≥<-λλλλ 2. 设E (X ) = – 1，E (Y ) = 1，D (X ) = 1，D (Y ) = 9，ρ XY = – 0.5，试根据契⽐谢夫不等式估计P {|X + Y | ≥ 3}的上界。

解：由题知()()()Y X Y X E E E +=+=()11+-=0Cov ()Y X ,=()()Y D X D xy ??ρ=()915.0??-= -1.5()()()()()75.1291,2=-?++=++=+Y X Cov Y D X D Y X D所以{}{}97303≤≥-+P =≥+)(Y X Y X P 3. 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100⼩时的指数分布．现随机地取16只，设它们的寿命是相互独⽴的．求这16只元件的寿命的总和⼤于1920⼩时的概率．解：设i 个元件寿命为X i ⼩时，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，则X 1 ，X 2 ，... ，X 16独⽴同分布，且 E (X i ) =100，D (X i ) =10000，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，4161161106.1)(,1600)(?==∑∑==i i i i D E X X ，由独⽴同分布的中⼼极限定理可知：∑=16i iX近似服从N ( 1600 , 1.6?10000)，所以>∑=1920161i i X P =≤-∑=19201161i i X P ???-≤?--=∑=16000016001920100006.116001161i i X P()8.01Φ-==1- 0.7881= 0.21194. 某商店负责供应某地区1000⼈商品，某种商品在⼀段时间内每⼈需要⽤⼀件的概率为0.6，假定在这⼀时间段各⼈购买与否彼此⽆关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某⼀时间段内每⼈最多可以买⼀件）．解：设商店应预备n 件这种商品，这⼀时间段内同时间购买此商品的⼈数为X ，则X ~ B （1000，0.6），则E (X ) = 600，D (X ) = 240，根据题意应确定最⼩的n ，使P {X ≤n }= 99.7%成⽴. 则P {X ≤n })75.2(997.0)240600(240600240600ΦΦP ==-≈-≤-=n n X 所以6.64260024075.2=+?=n ，取n =643。

概率论第一章习题答案

习题一（A ） 1. 写出下列事件的样本空间：)1(把一枚硬币连续抛掷两次； )2(掷两颗骰子；)3(连续抛一枚硬币，直至出现正面为止； )4(在某十字路口，一小时内通过的机动车辆数； )5(某城市一天内的用电量．解 )1(1{(,),(,),(,)}H H H T T T Ω=，其中H 表示正面，T 表示反面． )2()}6,6(),5,6(),4,6(),3,6(),2,6(),1,6(),6,5(),5,5(),4,5(),3,5(),2,5(),1,5(),6,4(),5,4(),4,4(),3,4(),2,4(),1,4(),6,3(),5,3(),4,3(),3,3(),2,3(),1,3(),6,2(),5,2(),4,2(),3,2(),2,2(),1,2(),6,1(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1{(2=Ω)3(}),,,,(),,,(),,(),{(3 H T T T H T T H T H =Ω)4(},2,1,0{4 =Ω )5(}0,{5≥=Ωt t2.C B A ,,为三个事件，试将下列事件用C B A ,,表示出来： )1(仅A 发生；)2(均发生；)3(均不发生； )4(A 发生而C B ,至少有一个不发生； )5(A 不发生而C B ,至少有一个发生；)6(不全发生；)7(最多有2个发生；)8(至少有2个发生； )9(最多有一个发生；)10(恰有2个发生．解 )1(C B A ； )2(ABC ； )3(C B A 或C B A ++； )4(BC A ； )5(A C B -+)(； )6(ABC 或C B A ++；)7(ABC 或C B A ++；)8(AC BC AB ++； )9(C B A C B A C B A C B A +++； )10(BC A C B A C AB ++；3．掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件=A ＂偶数点＂，=B ＂奇数点＂，=C ＂点数小于5＂，=D ＂小于5的偶数点＂，讨论上述各事件间的关系．解 }6,5,4,3,2,1{=Ω，}6,4,2{=A ，}5,3,1{=B ，}4,3,2,1{=C ，}4,2{=D ．A 与B 为对立事件，即A B =；B 与D 互不相容；DCD A ⊃⊃,．４．事件i A 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务，3,2,1=i ，B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件B 及C B -的含义，并且用i A )3,2,1(=i 表示出来．解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务．323121A A A A A A B ++=321A A A C B =-表示三个车间均完成生产任务．５．抛两枚硬币，求至少出现一个正面的概率．解设事件A 表示＂两枚硬币中至少出现一个正面＂．若用＂H ＂表示正面，＂T ＂表示反面，其出现是等可能的．则样本空间含有四个等可能样本点：},,,{HH HT TH TT =Ω，由于事件A 含有其中3个样本点．故43)(=A P ．６．抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率．解设事件A 表示＂三次中既有正面又有反面出现＂，则A 表示＂三次均为正面或三次均为反面出现＂，其所包含的样本点数为2．而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，故样本空间的样本点总数为8，因此43821)(1)(=-=-=A P A P ．７．掷两颗骰子，求下列事件的概率： )1(点数之和为7； )2(点数之和不超过5；)3(两个点数中一个恰是另一个的两倍．解)}6,6(),5,6(),4,6(),3,6(),2,6(),1,6(),6,5(),5,5(),4,5(),3,5(),2,5(),1,5(),6,4(),5,4(),4,4(),3,4(),2,4(),1,4(),6,3(),5,3(),4,3(),3,3(),2,3(),1,3(),6,2(),5,2(),4,2(),3,2(),2,2(),1,2(),6,1(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1{(=Ω=A ＂点数之和为7＂)}1,6(),2,5(),3,4(),4,3(),5,2(),6,1{(=， =B ＂点数之和不超过5＂)}1,4(),2,3(),1,3(),3,2(),2,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1{(=，=C ＂两个点数中一个恰是另一个的两倍＂)}3,6(),6,3(),2,4(),4,2(),1,2(),2,1{(=．所以)1(61)(=A P ； )2(185)(=B P ； )3(61)(=C P ．８．10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率．解设事件A 表示＂门锁能被打开＂．则事件A 发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁．1581)(1)(21027=-=-=C C A P A P ．９．袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率及两个球中有黑球的概率．解记事件A 表示＂取到的两个球颜色不同＂．则有利于事件A 的样本点数为1315C C ．而组成试验的样本点总数为235+C ，由古典概型概率公式有2815)(281315==C C C A P ．设事件B 表示＂取到的两个球中有黑球＂，则有利于事件B 的样本点数为25C ．1491)(1)(2825=-=-=C C B P B P ．10. 从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：)1(全是黑桃； )2(同花； )3(没有两张同一花色； )4(同色．解 52张牌中任取4张，共有452C 种等可能的取法．)1(用事件A 表示＂任取4张全是黑桃＂，由于4张黑桃只能从13张黑桃中取出共有413C 种取法，所以 002641.0)(452413==C C A P ． )2(用事件B 表示＂取出的4张牌同花＂，由于共有4种花色，而＂4张同花＂只能从同一花色的13张牌中取出，所以共有4134C 种取法，于是010564.04)(452413==CC B P ． )3(用事件C 表示＂取出的4张牌没有两张同一花色＂，4张牌只能从各种花色(13张牌)中各取1张，共有413种取法，于是 105498.013)(4524==CC P ． )4(用事件D 表示＂取出的4张牌同色＂，共有2种颜色，而每种颜色只能从同一颜色的26张牌中任取4张，共有4262C 种取法，于是 110444.02)(452426==CC D P ．11. 口袋内装有2个伍分、3个贰分、5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率．解设事件A 表示＂取出的5枚硬币总值超过壹角＂．则样本点总数为252510=C ，事件A 所包含的样本点数为126)(25231533123822=++C C C C C C C ．21252126)(==A P ． 12. 袋中有红、白、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：=A ＂三次都是红球＂即＂全红＂，=B ＂全白＂，=C ＂全黑＂，=D ＂无红＂，=E ＂无白＂，=F ＂无黑＂，=G ＂三次颜色全相同＂，=H ＂颜色全不相同＂，=I ＂颜色不全相同＂．解样本点总数为2733=；事件A 、事件B 、事件C 所包含的样本点数为1；事件D 、事件E 、事件F 所包含的样本点数为823=；事件G 所包含的样本点数为事件A 、事件B 、事件C 样本点数之和3；事件H 所包含的样本点数为6!3=；事件I 所包含的样本点数为总样本点数减去事件G 所包含的样本点数24327=-．所以有 271)()()(===C P B P A P ； 278)()()(===F P E P D P ；91273)(==G P ；92276)(==H P ；982724)(==I P ．13.一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率．解设事件A 表示＂有4个人的生日在同一个月份＂．样本点总数为612，C事件A 所包含的样本点数2178011211246=C C ，0073.01221780)(6==A P ．14. 从6,5,4,3,2,1,0，七个数字中任取4个排成一列，求下列事件的概率：（按不重复和可重复取分别计算） )1(可构成四位数； )2(可构成四位偶数； )3(可被5整除的四位数；)4(2不在千位、4在十位的四位数； )5(数字各不相同的四位数．解设)1(,)2(,)3(,)4(,)5(分别为事件A ，B ，C ，D ，E ．不重复选取时总的样本点数为840456747=⨯⨯⨯=A ．)1(A 包含的样本点数为72045663616=⨯⨯⨯=A A (先在六个非零数字中任取1个排在千位，再在六个数字中任取三个排在百位、十位和个位)．所以 857.0840720)(473616≈==A A A A P ．)2(B 包含的样本点数为420300120345545613251536=+=⨯⨯⨯+⨯⨯=+A A A A (将偶数分为两类：一类0作个位的有36A 个，另一类是2、4或6作个位的有132515A A A 个)．所以 5.0840420)(4713251536==+=AA A A AB P ．)3(C 包含的样本点数为220100120455456251536=+=⨯⨯+⨯⨯=+A A A (将能被5整除的数分为两类：一类是以0作个位的有36A 个，另一类是5作个位的有2515A A 个)．所以 262.0840220)(47251536≈=+=AA A A C P ．)4(D 包含的样本点数为804542514=⨯⨯=A A (4在十位，千位不能取2和0，共14A 个取法，剩下的百位和个位共有25A 个取法)．所以 095.084080)(472514≈==AA A D P ．)5(同)1(．857.0840720)(473616≈==A A A E P ．重复选取时总的样本点数为240174=．)1(A 包含的样本点数为20587673316=⨯=A (先在六个非零数字中任取1个排在千位，其余三位可在7个数字中重复选取)．所以 857.02401205877)(4316≈==A A P ．)2(B 包含的样本点数为117688229437767767713216216=+=⨯⨯⨯+⨯⨯=+A A A (将偶数分成两类：一类是以0作个位的，在六个非零数字中选取一个排在千位，百位和十位的数字在七个数字中重复选取)．所以 49.024011176777)(413216216≈=+=A A AB P ．)3(C 包含的样本点数为588776272216=⨯⨯⨯=A (将能被5整除的数分为两类，一类是以0作个位，一类是以5作个位，都是共有2167A 个)．所以 245.02401588772)(4216≈==A C P ．)4(D 包含的样本点数为2457757215=⨯⨯=A (4在十位，千位不能取2和0，共15A 个取法，剩下的百位和个位共有27个取法).所以 102.0240124577)(4215≈==A D P ．)5(E 包含的样本点数为72045663616=⨯⨯⨯=A A ．所以 2999.024017207)(43616≈==A A E P ．15. 有两本外语书，3本数学书，4本政治书，放到书架上排成一排，求下列事件的概率：)1(两本外语书恰排在两侧（一侧一本）； )2(3本数学书排在一起； )3(某指定一本书恰好排在中间； )4(4本政治书一侧两本．解设)1(,)2(,)3(,)4(分别为事件A ，B ，C ，D ．总样本点数为99A ．)1(A 包含的样本点数为7722A A (两本外语书在两侧有22A 种排法，其余7本书在中间有77A 种排法)．所以 0278.0722)(997722≈==AA A A P ．)2(B 包含的样本点数为7733A A (把3本数学书看成一本，与其余6本书共有77A 种排法．3本数学书共有33A 种排法)．所以 083.0726)(997733≈==A A AB P ．)3(C 包含的样本点数为88A (指定书排在中间，其余8本书在8个位置上共有88A 种排法)．所以 111.091)(9988≈==A A C P ．)4(D 包含的样本点数为225524A A A (4本政治书中先取2本排在一侧有24A种排法，剩余人两本排在另一侧有22A 种排法，其余5本书在中间共有55A 种排法)．所以 008.0302424)(99225524≈==A A A A D P ．16. 5封信随机地投到3个信筒中，求下列事件的概率： )1(第一个信筒恰有两封信； )2(第一个信筒至少有两封信； )3(第一个信筒最多有两封信．解设)1(,)2(,)3(分别为事件A ，B ，C . 总样本点数为24335=.)1(A 包含的样本点数为802325=C (5封信中取两封信投入第一个信筒，共有25C 种投法，剩下3封信投入两个信筒中有32种投法)．所以 329.02438032)(5325≈==C A P ．)2(B 包含的样本点数为3122341555=--C (总样本点数减去第一个信筒中没有信有52种投法，再减去第一个信筒中有一封信有4152C 种投法)．所以 539.0243313223)(541555≈=--=C B P ．)3(C 包含的样本点数为1922223254155=++C C (第一个信筒中没有信有52种投法，第一个信筒中有一封信有4152C 种投法，第一个信筒中有两封信有3252C 种投法)．所以 79.02431923222)(53254155≈=++=C C C P ．17. 将5个人等可能地分配到十个房间去住，求下列事件的概率： )1(某指定5个房间各住1人； )2(5人被分配到5个不同的房间； )3(5人被分配到同一个房间； )4(某个指定房间恰住2人．解设)1(,)2(,)3(,)4(分别为事件A ，B ，C ，D ．总样本点数为510．)1(A 包含的样本点数为55A ．所以 0012.01012010)(5555===A A P ．)2(B 包含的样本点数为55510A C (先选出5个房间共510C 种选法，这5个房间各住一人有55A 种住法)．所以 3024.010302410)(4555510===A C B P ．)3(C 包含的样本点数为1．所以 5510101)(-==C P ．)4(D 包含的样本点数为3259C (先选出两人住指定房间有25C 种住法，其余3人分配到剩下的9个房间，有39种分配方法)．所以 0729.010729109)(45325===C D P ．18. 在区间)1,0(中随机地取两个数，求事件“两数之和小于5/6”的概率. 解这个概率可用几何方法确定．在区间)1,0(中随机地取两个数分别记为x 和y ，则),(y x 的可能取值形成如下单位正方形Ω，其面积为1=ΩS ．而事件A ＂两数之和小于5/6＂可表示为}5/6{<+=y x A ，其区域为图1.1中的阴影部分．图1.1 所以由几何方法得 68.02517)54(211)(2==-==ΩS S A P A ． 19. 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果甲船停泊时间是1小时，乙船停泊时间是2小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头的概率．解这个概率可用几何方法确定．记x 和y 分别为甲乙两艘轮船到达码头的时间，则),(y x 的可能取值形成边长为24的正方形Ω，其面积为224=ΩS ．而事件A ＂不需要等候码头空出＂有两种可能情况：一种情况是甲船先到，则乙船在一小时之后到达，即满足1≥-x y ；另一种情况是乙船先到，则甲船在两小时之后到达，即满足2≥-y x ．所以事件A 可表示为}21:),{(≥--≤-=y x y x y x A 或．所以事件A 的区域形成了图1.2中的阴影部分，其面积为)2223(2122+=A S ，所以由几何方法得879.024)2223(21)(222=+==ΩS S A P A ．图1.220. 事件A 与B 互不相容，计算)(B A P +．解由于A 与B 互不相容，有Φ=AB ，0)(=AB P1)(1)()(=-==+AB P AB P B A P ．21. 已知a A P =)(，b B P =)(，)3.0(0a b ab >≠，a B A P 7.0)(=-，求)(A B P +，)(A B P -，)(A B P +．解由于B A -与AB 互不相容，且AB B A A +-=)(，因此有 a B A P A P AB P 3.0)()()(=--=b a AB P B P A P B A P +=-+=+7.0)()()()( a b AB P B P A B P 3.0)()()(-=-=- a AB P A B P 3.01)(1)(-=-=+22. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率．解记事件A 为＂取到废品＂．总样本点数为350C ，事件A 包含的样本点数为346C ．所以2255.07745.011176009108011)(1)(350346=-≈-=-=-=C C A P A P ．23. 一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率（设一年以365天计算）．解设事件A 表示＂100名学生的生日都不在元旦＂，则有利于A 的样本点数目为100364，而样本空间中样本点数总数为100365，所求概率为2399.03653641)(1)(100100≈-=-=A P A P ．24. 有5副规格不同的手套，现从中任取4只，求至少能配成一副的概率．解设事件A 表示＂取出的四只手套至少有两只配成一副＂，则A 表示＂四只手套中任何两只均不能配成一副＂．21080)(4101212121245==C C C C C C A P ，62.0)(1)(=-=A P A P ．25. 设事件B A ,至少有一个发生的概率为31，A 发生而B 不发生的概率为91，求)(B P ．解由已知条件知31)(=+B A P ，91)()(])[()(=-+=+=B P B A P B B A P B A P ，则 929131)()()(=-=-+=B A P B A P B P ．26. 某单位有%92的职工订阅报纸，%93的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有%85的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率：)1(该职工至少订阅一种报纸或期刊； )2(该职工不订阅杂志，但是订阅报纸．解设事件A 表示＂任找一名职工订阅报纸＂，B 表示＂订阅杂志＂，依题意92.0)(=A P ， 93.0)(=B P ， 85.0)|(=A B P ．则 )1()|()()()()()(A B P A P A P B A P A P B A P +=+=+988.085.008.092.0=⨯+=．)2(058.093.0988.0)()()(=-=-+=B P B A P B A P ．27. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件A 表示数学成绩优秀，B 表示外语成绩优秀，若4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)|(B A P ，)|(A B P ，)(B A P +．解 7.04.028.0)()()|(===B P AB P B A P ，7.0)()()|(==A P AB P A B P ，52.0)()()()(=-+=+AB P B P A P B A P ．28. 为了防止意外，在矿内同时设有两种报警系统A 与B ，各系统单独使用时，其有效的概率系统A 为92.0，系统B 为93.0，在A 失灵条件下，B 有效的概率为85.0，求)1(发生意外时，至少有一个系统有效的概率； )2(在B 失灵的条件下，A 有效的概率．解用事件A 表示＂报警系统A 有效＂，用事件B 表示＂报警系统B 有效＂，依题意 92.0)(=A P ，93.0)(=B P ，85.0)|(=A B P ．)1(068.085.008.0)|()()(=⨯==A B P A P B A P ，988.092.0068.0)()()(=+=+=+A P B A P B A P ．)2(058.093.0988.0)()()(=-=-+=B P B A P B A P ．829.093.01058.0)()()|(≈-==B P B A P B A P ．29. 袋中装有8个球，其中3个红球，5个白球，3个人依次摸球（不返样）．证明3人摸到红球的概率相等．证明用事件A 表示＂第一个人摸到红球＂，事件B 表示＂第二个人摸到红球＂，事件C 表示＂第三个人摸到红球＂． 83)(1813==CC A P ，)|()()|()()()()(A B P A P A B P A P B A P AB P B P +=+=8373857283=⨯+⨯=，)|()()|()()(B A C P B A P AB C P AB P C P +=)|()()|()(B A C P B A P B A C P B A P ++而5667283)|()()(=⨯==A B P A P AB P ， 56157385)|()()(=⨯==A B P A P B A P ， 56157583)|()()(=⨯==A B P A P B A P ， 56207485)|()()(=⨯==A B P A P B A P ，61)|(=AB C P ， 62)|(=B A C P ， 62)|(=B A C P ，63)|(=B AC P ，所以 8363562062561562561561566)(=⨯+⨯+⨯+⨯=C P ．30. 设B A ,为二事件，4.0)(=A P ，7.0)(=+B A P ，当B A ,互不相容时，求)(B P ．当B A ,独立时，求)(B P ．解当B A ,互不相容时)()()(B P A P B A P +=+，所以 3.0)()()(=-+=A P B A P B P ．当B A ,独立时，)()()()()()()()(B P A P B P A P AB P B P A P B A P -+=-+=+， )(4.0)(4.07.0B P B P -+=，5.0)(=B P ．31. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为8.0，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率．解设事件i A 表示＂使用1000小时后第i 个元件没有坏＂，3,2,1=i ，显然321,,A A A 相互独立，事件A 表示＂三个元件中最多只坏了一个＂，则321321321321A A A A A A A A A A A A A +++=．上式右边是四个两两互不相容的事件的和，且8.0)()()(321===A P A P A P)()]([3)]([)(12131A P A P A P A P +=896.02.08.038.023=⨯⨯+=．32. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为3.0，2.0，2.0，并且任何一道工序是否出废品与其他各道工序无关，求零件的合格率．解设事件A 表示＂任取一个零件为合格品＂，依题意A 表示三道工序都合格．448.0)2.01)(2.01)(3.01()(=---=A P ．33. 某单位电话总机的占线率为4.0，其中某车间分机的占线率为3.0，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率（m 为任何正整数）．解设事件i A 表示＂第i 次能打通＂，m i ,,2,1 =，则42.0)3.01)(4.01()(1=--=A P ， 2436.042.058.0)(2=⨯=A P ，42.058.0)(1⨯=-m m A P ．34. 在一定条件下，每发射一发炮弹击中飞机的概率是6.0，现有若干门这样的炮独立地同时发射一发炮弹，问欲以%99的把握击中飞机，至少需要配置多少门这样的炮？解设需配置n 门这样的炮，用i A 表示＂第i 门炮击中飞机＂，n i ,,2,1 =．则击中飞机的概率为nn n A P A P A P A A A P 4.01)()()(1)(12121-=-=- 由 99.04.01≥-n可得 026.5≥n所有至少需要配置6门这样的炮．35. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率．解设i A 表示＂第i 人拿到自己眼镜＂，4,3,2,1=i ．41)(=i A P ，设事件B 表示＂每个人都没有拿到自己的眼镜＂．显然B 则表示＂至少有一个拿到自己眼镜＂．且4321A A A A B +++=． )()(4321A A A A P B P +++=)()()()(4321414141A A A A P A A AP A AP A P k j i k j ij i j ii i-+-=∑∑∑≤<<≤≤<≤=)41(1213141)|()()(≤<≤=⨯==j i A A P A P A A P i j i j i ，)|()|()()(j i k i j i k j i A A A P A A P A P A A A P = )41(241213141≤<<≤=⨯⨯=k j i ，)|()|()|()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =2411213141=⨯⨯⨯=，85241241121414)(3424=-⨯+⨯-⨯=C C B P ，83)(1)(=-=B P B P ．36. 甲、乙、丙三人在同一时间内独立地破一份密码，如果这三人能译出的概率依次为2.0，35.0，25.0，求该密码能译出的概率．解用事件C B A ,,分别表示甲、乙、丙三人能译出密码，事件E 表示＂该密码能被译出＂，则)()()(1)(1)(C P B P A P C B A P E P -=-=61.039.0175.065.08.01=-=⨯⨯-=．37. 甲乙两射手，每次射击命中目标的概率分别为8.0和7.0，射击是独立进行的，求)1(各射击1次，恰有1人命中目标的概率； )2(各射击1次，至少有1人命中目标的概率； )3(各射击2次，恰有2次命中目标的概率．解用事件B A ,分别表示一次射击中甲、乙击中目标，则8.0)(=A P ，7.0)(=B P ．用事件F E D ,,分别表示)1(,)2(,)3()1(38.07.02.03.08.0)()()(=⨯+⨯=+=B A P B A P D P ． )2(94.038.07.08.0)()()(=+⨯=+=D P AB P E P ． )3(用事件i A 表示＂甲第i 次击中目标＂，2,1=i ．用事件i B 表示＂乙第i 次击中目标＂，2,1=i ．则8.0)()()(21===A P A P A P ， 7.0)()()(21===B P B P B P ，所以)()()()(212121212121B B A A P B B A A P B B A A P F P ++=)()()(212121212121B B A A P B B A A P B B A A P +++ 7.07.02.02.03.03.08.08.0⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 7.03.02.08.04⨯⨯⨯⨯+2116.01344.00196.00576.0=++=．38. 设C B A ,,三事件独立，试证B A -与C 独立．证明 )()(])[(ABC AC P BC AC P C B A P -=-=-)()()()()()()(C P B P A P C P A P ABC P AC P -=-= )()]()([)()]()()([C P AB P A P C P B P A P A P -=-= )()()()(C P B A P C P AB A P -=-=所以B A -与C 独立．39. 四重伯努利试验中，事件A 至少发生一次的概率为8704.0，求下列事件的概率：)1(一次试验中A 发生的概率；)2(4次试验A 恰好发生2次的概率．解 )1(设一次试验中A 发生的概率为p ，则依题意可得 8704.0)1(14=--p ， 1296.0)1(4=-p ，6.01=-p ， 4.0=p ．)2(用事件B 表示＂4次试验中事件A 恰好发生2次＂， 3456.0)6.0()4.0()(2224==C B P ．40. 有8门炮，每门炮命中目标的概率均为2.0，各射一炮，求下列事件的概率)1(目标被命中3弹； )2(目标至少被命中2弹； )3(目标至多被命中2弹；解设)1(,)2(,)3(分别为事件A ，B ，C ．)1(1468.032768.0008.056)8.0()2.0()(5338≈⨯⨯==C A P ；)2(4967.0)8.0)(2.0()8.0(1)(7188≈--=C B P ；)3(7969.0)8.0()2.0()8.0)(2.0()8.0()(62287188≈++=C C C P ．41. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为4.0及5.0，问谁先投中的概率较大，为什么？解设事件n n B A 212,-分别表示＂甲在第12-n 次投中＂与＂乙在第n 2次投中＂，显然 ,,,,4321B A B A 相互独立．设事件A 表示＂甲先投中＂． +++=)()()()(543213211A B A B A P A B A P A P A P 743.014.04.0)5.06.0(4.05.06.04.02=-=+⨯⨯+⨯⨯+= ．计算得知5.0)(>A P ，5.0)(<A P ，因此甲先投中的概率较大． 42. 某高校新生中，北京考生占%30，京外其他各地考生占%70，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占%80，而京外学生以英语为第一外语的占%95，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率．解设事件A 表示＂任选一名学生为北京考生＂，B 表示＂任选一名学生以英语为第一外语＂．依题意3.0)(=A P ，7.0)(=A P ，8.0)|(=A B P ，95.0)|(=A B P ．由全概率公式有)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=905.095.07.08.03.0=⨯+⨯=．43. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为4:7:9，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内发病率依次为004.0，002.0，005.0，求A 地的甲种疾病的发病率．解设事件321,,A A A 分别表示从A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见321,,A A A 两两互不下容，其和为Ω．设事件B 表示＂任选一名居民其患有甲种疾病＂，依题意：,45.0)(1=A P 35.0)(2=A P ，2.0)(3=A P ，004.0)|(1=A B P ， 002.0)|(2=A B P ， 005.0)|(3=A B P005.02.0002.035.0004.045.0)|()()(31⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P0035.0=．44. 一个机床有三分之一的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工零件A 时，停机的概率为3.0，加工零件B 时的停机的概率为4.0，求这个机床停机的概率．解设事件A 表示＂机床加工零件A ＂，则A 表示＂机床加工零件B ＂，设事件B 表示＂机床停工＂．37.0324.0313.0)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ．45. 市场供应的灯泡中有%40是甲厂生产的，%60是乙厂生产的，若甲、乙两厂生产的灯泡次品率分别为02.0和03.0，求 )1(顾客不加选择的买一个灯泡为正品的概率；)2(已知顾客买的一个灯泡为正品，它是甲厂生产的概率．解设事件A 表示＂顾客买一个灯泡是甲厂生产的＂，则A 表示＂顾客买一个灯泡是乙厂生产的＂，设事件B 表示＂顾客买一个灯泡是正品＂． )1()|()()|()()(A B P A P A B P A P B P += 974.097.06.098.04.0=⨯+⨯=． )2()|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=4025.0974.0392.097.06.098.04.098.04.0≈=⨯+⨯⨯=．46. 甲袋中装有4个红球，2个白球；乙袋中装有2个红球，4个白球，求下列事件的概率：)1(从甲袋任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，该球为红球； )2(从甲袋任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，该球为红球； )3(从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球放回甲袋，最后从甲袋中任取一球，该球为红球．解 )1(设事件A 表示＂第一次取出红球＂，事件A 表示＂第一次取出白球＂，事件B 表示＂第二次取出红球＂．381.021872627364)|()()|()()(≈=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ．)2(设事件1A 表示＂第一次取出的两球都是红球＂，2A 表示＂第二次取出的两球都是白球＂，3A 表示＂第一次取出的两球一红一白＂，事件B 表示＂第二次取出红球＂．)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++= 18132614121812262218142624C C C C C C C C C C C C C ⋅+⋅+⋅=4167.0831588215184156≈⨯+⨯+⨯=．)3(设事件A 表示＂第一次取出的是红球＂，A 表示＂第一次取出的是白球＂，事件B 表示＂第二次取出的是红球＂，B 表示＂第二次取出的是白球＂，事件C 表示＂第三次取出的是红球＂．)|()()|()()(B A C P B A P AB C P AB P C P +=)|()()|()(B A C P B A P B A C P B A P ++)|()()|()|()()|(A B P A P B A C P A B P A P AB C P += )|()()|()|()()|(A B P A P B A C P A B P A P B A C P ++ 756264646463726265736464⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=619.02113≈=． 47. 有编号为)1(、)2(、)3(的3个口袋，其中)1(号袋内装有两个1号球，1个2号球和1个3号球，)2(号袋内装有两个1号球和1个3号球，)3(号袋内装有3个1号球和两个2号球，现在先从)1(号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大？为什么？解设事件i A 表示＂第一次取到i 号球＂，i B 表示＂第二次取到i 号球＂，3,2,1=i ．依题意，321,,A A A 构成一个完全事件组．21)(1=A P ， 41)()(32==A P A P ，21)|(11=A B P ，41)|()|(1312==A B P A B P ， 21)|(21=A B P ，41)|()|(2322==A B P A B P ，21)|(31=A B P ，31)|(32=A B P ，61)|(33=A B P ，应用全概率公式)|()()(31i j i i j A B P A P B P ∑==可依次计算出21)(1=B P ，4813)(2=B P ，4811)(3=B P ，因此第二次取到1号球的概率最大．48. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为2:3:5，各机床所加工的零件合格率，依次为%94，%90，%95，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率．解设事件321,,A A A 分别表示＂受检零件为甲机床加工＂，＂乙机床加工＂，＂丙机床加工＂．B 表示＂废品＂，应用贝叶斯公式有 ∑==31111)|()()|()()|(i iiA B P A P A B P A P B A P7305.02.01.03.006.05.006.05.0=⨯+⨯+⨯⨯=，74)|(1)|(11=-=B A P B A P ．49. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为%5，%15，%30，%50，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为%100，%70，%60与%90，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率．解设事件4321,,,A A A A 分别表示外出人＂乘坐飞机＂，＂乘坐火车＂，＂乘坐轮船＂，乘坐汽车＂，B 表示＂外出人如期到达＂．∑==41222)|()()|()()|(i iiA B P A P A B P A P B A P21.01.05.04.03.03.015.0005.03.015.0≈⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．50. 设发报台分别以6.0和4.0的概率发出＂－＂和＂∙＂信号．由于干扰作用，发＂－＂信号时，收报台以9.0的概率收到＂－＂，以1.0的概率收到＂∙＂；发＂∙＂信号时，收报台收到＂∙＂＂－＂＂不清＂的概率分别为8.0，1.0和1.0，求下列事件的概率． )1(收报台收到＂－＂信号； )2(收报台收到＂∙＂信号；)3(收报台收到＂－＂信号，确系发的＂－＂； )4(收报台收到＂∙＂信号，确系发的＂∙＂．解设事件21,A A 分别表示＂发出＂－＂＂和＂发出＂∙＂＂，事件321,,B B B 分别表示＂收到＂－＂＂，＂收到＂∙＂＂，＂收到＂不清＂＂．依题意 6.0)(1=A P ，4.0)(2=A P ； 9.0)|(11=A B P ，1.0)|(12=A B P ；1.0)|(21=A B P ，8.0)|(22=A B P ，1.0)|(23=A B P ． )1()|()()|()()(2121111A B P A P A B P A P B P += 58.01.04.09.06.0=⨯+⨯=．)2()|()()|()()(2221212A B P A P A B P A P B P += 38.08.04.01.06.0=⨯+⨯=．)3(58.054.0)|()()|()()|()()|(11211111111=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P931.0≈． )4()|()()|()()|()()|(22212122222A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=842.038.032.08.04.01.06.08.04.0==⨯+⨯⨯=．51. 某企业采取三项深化改革措施，预计各项改革措施成功的可能性分别为6.0，7.0和8.0，设三项措施中有一项、两项、三项成功可取得明显经济效益的概率分别为4.0，7.0和9.0，若各项措施成功与否相互独立，求 )1(企业可取得明显经济效益的概率；)2(企业已取得经济效益，是由于有两项措施成功而引起的概率．（假定三项均不成功不会取得明显经济效益）解设企业采取甲、乙、丙三项改革措施，用事件C B A ,,分别表示甲、乙、丙三项改革措施成功，则6.0)(=A P ，7.0)(=B P ，8.0)(=C P ，用事件D 表示“企业可取得明显经济效益”，用事件G F E ,,分别表示有一项、二项、三项措施成功，则 )()(C AB C B A BC A P E P ++=)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 188.08.03.04.02.07.04.02.03.06.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， )()(C AB BC A C AB P F P ++=)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 452.08.03.06.08.07.04.02.07.06.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 336.08.07.06.0)()()()()(=⨯⨯===C P B P A P ABC P G P ，4.0)|(=E D P ，7.0)|(=F D P ，9.0)|(=G D P ． )1()|()()|()()|()()(G D P G P F D P F P E D P E P D P ++=694.09.0336.07.0452.04.0188.0=⨯+⨯+⨯=． )2()|()()|()()|()()|()()|(G D P G P F D P F P E D P E P F D P F P D F P ++=456.0694.03164.0≈=．52. 一条生产线正常生产的时间为%95，不正常生产的时间为%5．正常运转时，产品%90为合格品，%10为不合格品；不正常运转时，产品合格品只占%40，从产品中任取1件检查，求下列事件的概率： )1(取出的产品为合格品；)2(取出的是合格品，它是正常运转时生产的； )3(取出的是合格品，它是不正常运转时生产的．解用事件21,A A 分别表示生产线正常生产与不正常生产，用事件21,B B 分别表示取出一件产品为合格品与不合格品．依题意 95.0)(1=A P ，05.0)(2=A P ； 9.0)|(11=A B P ，1.0)|(12=A B P ； 4.0)|(21=A B P ，6.0)|(22=A B P .)1()|()()|()()(2121111A B P A P A B P A P B P +=875.04.005.09.095.0=⨯+⨯=；)2(977.0875.0855.0)()()|()()|()()|(21211111111≈=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ．53. 某种零件可以用两种工艺方法加工制造，第一种方法需三道工序，其中各道工序出现废品的概率分别是1.0，2.0和3.0；第二种方法需两道工序，每道工序出现废品的概率均为3.0．设在合格品中得到优等品的概率分别为9.0和8.0．比较哪种方法得到优等品的概率较大？解用事件A 表示＂用第一种方法生产出合格品＂，用事件B 表示＂用第二种方法生产出合格品＂．用事件21,C C 分别表示用第一、第二种方法生产出优等品．依题意504.07.08.09.0)(=⨯⨯=A P ， 49.07.07.0)(=⨯=B P ， 9.0)|(1=A C P ， 8.0)|(2=B C P ．4536.09.0504.0)|()()(11=⨯==A C P A P C P ， 392.08.049.0)|()()(22=⨯==B C P B P C P ．所以第一种方法得到优等品的概率较大． 54. 设一条昆虫生产n 个卵的概率为 λλ-=en p nn !， ,2,1,0=n ，其中0>λ．又设一个虫卵能孵化成昆虫的概率等于)10(<<p p ．如果卵的孵化是互相独立的．问此虫的下一代有k 条的概率是多少？解设事件=n A ＂一个虫产下几个卵＂， ,2,1,0=n ．=R B ＂该虫下一代有k 条虫＂， ,2,1,0=k ．依题意λλ-==en p A P nn n !)(，⎩⎨⎧≤≤>=-nk qp C n k A B P kn k k n n k 00)|(其中p q -=1．应用全概率公式有)|()()|()()(0n k kn nn k n nk A B P AP A B P AP B P ∑∑∞=∞===∑∑∞=----∞=-=-=kn kn k kn k kn nk n q ek p qp k n k n en )!()(!)()!(!!!λλλλλ由于qk n kn kn kn ek n q k n q λλλ=-=-∑∑∞=--∞=-0)!()()!()(，所以有ppqkk ekp eek p B P λλλλλ--==)(!)()(， ,2,1,0=k ．（B ）1. 对于任意二事件A 和B ，与B B A =⋃不等价的是：)(a B A ⊂ )(b A B ⊂ )(c Φ=B A )(d Φ=B A解 )(dΦ=⇔⊂⇔⊂⇔=⋃B A A B B A B B A ，而B A B A ⊃⇔Φ=．2. 设B A ,为两个随机事件，且1)|(,0)(=>B A P B P ，则必有： )(a )()(A P B A P >⋃ )(b )()(B P B A P >⋃ )(c )()(A P B A P =⋃ )(d )()(B P B A P =⋃ 解 )(c由题设条件可得1)()()|(==B P AB P B A P ，所以)()(B P AB P =，即B A ⊃，于是 A B A =⋃，故有)()(A P B A P =⋃．3. 当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则必有： )(a )()(AB P C P = )(b )()(B A P C P ⋃=)(c 1)()()(-+≤B P A P C P )(d 1)()()(-+≥B P A P C P 解 )(d当事件A 与B 同时发生时，事件C 发生AB C ⊃⇔，所有，)(a 非正确答案．虽然AB C ⊃，但可能有C B A ⊃⋃，所以，)(b 非正确答案．显然，01)()(<-+B P A P 可能成立，所有，)(c 非正确答案． 4. 设a A P =)(，b B P =)(，c B A P =+)(，则_______)(=B A P ． )(a b a - )(b b c - )(c )1(b a - )(d )1(c a - 解 )(b)()()()]([)(AB P A P AB A P B A P B A P -=-=-Ω=，c AB P B P A P B A P =-+=+)()()()(，即c AB P b a =-+)(，所以c b a AB P -+=)(，于是得 b c c b a a AB P A P B A P -=-+-=-=)()()()(．5. 设C B A ,,三个事件两两独立，则C B A ,,相互独立的充分必要条件是： )(a A 与BC 独立 )(b AB 与C A ⋃独立 )(c AB 与AC 独立 )(d B A ⋃与C A ⋃独立解 )(aC B A ,,相互独立C B A ,,⇔两两独立且)()()()(C P B P A P ABC P =．由题设条件已经知道了C B A ,,两两独立，因此C B A ,,相互独立)()()()(C P B P A P ABC P =⇔．对于)(a ，因为B 与C 已经相互独立，所以A 与BC 独立 )()()()()()()(C P B P A P ABC P BC P A P ABC P =⇔=⇔，故应选)(a ．6. 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：=1A ｛掷第一次出现正面｝， =2A ｛掷第二次出现正面｝， =3A ｛正、反面各出现一次｝， =4A ｛正面出现两次｝则事件（）)(a 321,,A A A 相互独立 )(b 432,,A A A 相互独立 )(c 321,,A A A 两两独立 )(d 432,,A A A 两两独立解 )(c21)(1=A P ， 21)(2=A P ， 21)(3=A P ， 41)(4=A P ．Φ=321A A A ， Φ=432A A A ， Φ=43A A ，所以)(a ，)(b ，)(d 非正确答案．)()(41)()(21421A P A P A P A A P ===，)()(31二次出现反面掷第一次出现正面，第P A A P =)()(4131A P A P ==，)()(32二次出现正面掷第一次出现反面，第P A A P =)()(4132A P A P ==，所以)(c 正确．7. 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为)10(<<p p ，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）． )(a 2)1(3p p - )(b 2)1(6p p - )(c 22)1(3p p - )(d 22)1(6p p -解 )(c前3次射击恰好1次命中目标的概率为2213)1(3)1(p p p p C -=-，第4次命中目标的概率为p ，再由独立性可得第4次射击恰好第2次命中目标的概率为22)1(3p p -．8. 把n 个＂0＂与n 个＂1＂随机地排列，求没有两个＂1＂连在一起的概率．解考虑n 个＂1＂的放法：n 2个位置上＂1＂占有n 个位置，所有共有nn C 2种放法．而＂没有两个1连在一起＂，相当于在n 个＂0＂之间及两头（共1+n 个位置）去放＂1＂，这共有nn C 1+种放法．所以没有两个＂1＂连在一起的概率为n nn nnn Cn CC 2211+=+．9. 从数字9,,2,1 中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率．解记事件A 为＂至少取到一次5＂，事件B 为＂至少取到一次偶数＂，则所求概率为)(AB P ．因为nn A P 98)(=， nn B P 95)(=， nn B A P 94)(=⋂，所以)()()(1)(1)(B A P B P A P B A P AB P ⋂+--=⋃-=nnn n 94581-+-=．10. 考虑一元二次方程02=++C Bx x ，其中C B ,分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q ．解 C B ,均可取值6,5,4,3,2,1，而且取每一个值的概率均为61．一枚骰子接连掷两次，其基本事件总数为36=n ，且这36个基本事件是等可能的，所以，这是一个古典概型问题．当C B 42≥时方程有实根；C B 42=时方程有重根．关键的问题是求出满足C B 42≥和C B 42=的基本事件数．用表格列出分析结果：由此可得，使方程有实根的基本事件数为1966421=++++，所以3619=p ．使方程有重根的基本事件数为2个，所有181362==q ．11. 已知事件B A ,满足)()(B A P AB P ⋂=，记p A P =)(，试求)(B P ．解因为)(1)()()(B A P B A P B A P AB P ⋃-=⋃=⋂=)()()(1AB P B P A P ---=，由此得 0)()(1=--B P A P ，所以 p A P B P -=-=1)(1)(．。

概率论习题与答案

概率论习题一、填空题1、掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是 .2、把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率.3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率 .4、已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则().P AB =5、已知()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P A B === 则(|).P B A B ⋃=6、掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为..7、设()0.4,()0.7,P A P A B =⋃= 若,A B 独立，则().P B =8、设,A B 为两事件，11()(),(|),36P A P B P A B === 则(|).P A B =9、设123,,A A A 相互独立，且2(),1,2,3,3i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概率是.10、某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为 .11、一枚硬币独立的投3次，记事件A =“第一次掷出正面”，事件B =“第二次掷出反面”，事件C =“正面最多掷出一次”。

那么(|)P C AB = 。

12、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,求此人是男性的概率。

13、将3个球随机的放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。

14、把C B A ⋃⋃表示为互不相容事件的和是。

15、,,A B C 中不多于两个发生可表示为。

二、选择题1、下面四个结论成立的是（）.()().,.().()A A B C A B C B AB C A BC C A B B A D A B B A--=-⋃=∅⊂=∅⋃-=-⋃=若且则2、设()0,P AB =则下列说法正确的是（）...()0()0.()()A AB B ABC P A P BD P A B P A ==-=和不相容是不可能事件或3、掷21n +次硬币，正面次数多于反面次数的概率为（）1..21211.0.5.21nn A B n n n C D n -++++ 4、设,A B 为随机事件，()0,(|)1,P B P A B >= 则必有（）.()()..()().()()A P AB P A B B AC P A P BD P AB P A ⋃=∈==5、设A 、B 相互独立，且P (A )>0，P (B )>0，则下列等式成立的是（）.A P (AB )=0 .B P (A -B )=P (A )P (B ) .C P (A )+P (B )=1 .D P (A |B )=06、设事件A 与B 互不相容，且P (A )>0，P (B ) >0，则有（）.A P (AB )=l .B P (A )=1-P (B ) .C P (AB )=P (A )P (B ).D P (A ∪B )=17、已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A B +=，则(|)P A B =（）.A 0.2 .B 0.45 .C 0.6 .D 0.758、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（）.A 0.125 .B 0.25 .C 0.375.D 0.509、设事件,A B 互不相容，已知()0.4P A =，()0.5P B =，则()P AB =（）.A 0.1 .B 0.4 .C 0.9 .D 110、已知事件A ，B 相互独立，且()0P A >，()0P B >，则下列等式成立的是（）.A ()()()P A B P A P B ⋃=+ .B ()1()()P A B P A P B ⋃=- .C ()()()P A B P A P B ⋃= .D ()1P A B ⋃=11、设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，1)|()|(=+B A P B A P ，则（）．.A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立.D 事件A 与B 互不独立12、对于任意两事件A 和B ，)(B A P -=（）．.A )()(B P A P - .B )()()(AB P B P A P +- .C )()(AB P A P -.D )()()(B A P A P A P -+13、设A 、B 是两事件，且P （A ）=0.6,P(B)=0.7则P （AB ）取到最大值时是（）.A 0.6 .B 0.7 .C 1 .D 0.4214、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。

概率论答案

数学兴趣小组---概率论自测习题（一）答案第二章随机变量及其分布一、填空题1. 设~()X P λ，且(1)(2P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，2(03)P X <<=__________。

解：122(1)2(0)1!2!2P Xeeλλλλλλλλ--===⇒=⇒=>2(1)1(0)110!P X P X e e λλ--≥=-==-=-22(03)(1)2P X P X e -<<===2. 设 X ～⎩⎨⎧<<=0102)(x x x f ，对X 的三次独立重复观察中，事件{X ≤0.5}出现的次数为随机变量Y,则P{Y =2}= 9/64 。

解：P{X ≤0.5}=0.25, Y 服从B(3,0.25)分布,则P{Y=2}=75.025.0223C =649 3. 设随机变量X 在区间[2，5]上服从均匀分布，求对X 进行的三次独立观测中，至少有两次的观测值大于3的概率为。

解：P(X ＞3)=⎰5331dx = 32, 则所求概率即为2720323132323223=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C C 4. 设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布，设Ф（x ）为标准正态分布函数，已知Ф（2.5）=0.9938,则X 落在区间（9.95,10.05）内的概率为 0.9876 。

5. 在区间[0, a ]上任意投掷一个质点，以X 表示这个质点的坐标，设这个质点落在[0, a ]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，则X 的分布函数F(x)=。

6. 设X ~U(0,2),则Y=2X 在(0,4)内的概率密度=)(y f Y y41。

解：当0＜y ＜4时，)(}{}{}{)(2y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤=此时，=)(y f Y yy f yy F y F X x Y 21)(21)()(='='=y417. 设随机变量X 的概率密度函数221(),x x f x Ae-+-=则A =________，E(X )=________________。

概率论课后习题解答

一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i(5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

概率论课后习题解答

一、习题详解：写出下列随机试验的样本空间：(1)某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2)掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4)从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：(5)检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7)在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8)在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

概率论课后习题答案第一章

2008年4月第一章1.1 解⑴记9件合格品分别为正1正2�6�7正9记不合格品为次则Ω正1正2正1正3正1正4�6�7正1正9正1次正2正3正2正4�6�7正2正9正2次正3正4�6�7正3正9正3次�6�7 正8正9正8次正9次A正1次正2次正3次�6�7正9次⑵记2个白球分别为w1w23个黑球分别为b1b2b34个红球分别为r1r2r3r4。

则Ωw1w2b1b2b3r1r2r3r4 ⅰA w1w2。

ⅱB r1r2r3r4。

1.2 解⑴事件ABC表示该生是三年级男生但不是运动员。

⑵ABCC等价于CAB表示全系运动员都是三年级的男生。

⑶当全系运动员都是三年级学生时。

⑷当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。

1.3 解⑴1niiA⑵22221222211nCDniCDiCDCDnCDACDCD ⑶11nnijijjiAA⑷原事件即“至少有两个零件是合格品”可表为1nijijijAA。

1.4 解1—4显然5和6的证法分别类似于课文第10—12页1.5式和1.6式的证法。

1.5 解样本点总数为28A8×7。

所得分数为既约分数必须分子分母或为71113中的两个或246812中的一个和71113中的一个组合所以事件A“所得分数为既约分数”包含28A218A×15A3×22×3×52×3×6个样本点。

于是PA23698714。

1.6 解样本点总数为5310。

所取三条线段能构成一个三角形这三条线段必须是3、5、7或5、7、9。

所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点于是PA310。

17解显然样本点总数为13事件A“恰好组成MATHEMATICIAN”包含3222个样本点。

所以3222481313PA 18解任意固定红“车”的位置黑“车”可处在9×10-189个不同位置当它处于和红“车”同行或同列的9817个位置之一时正好互相“吃掉”。

概率论课后习题答案

概率论课后习题答案概率论与数理统计习题及答案习题⼀4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.66.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0，P （AC ）=1/12，求A ，B ，C ⾄少有⼀事件发⽣的概率.【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )=14+14+13-112=3413. ⼀个袋内装有⼤⼩相同的7个球，其中4个是⽩球，3个是⿊球，从中⼀次抽取3个，计算⾄少有两个是⽩球的概率. 【解】设A i ={恰有i 个⽩球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=23. 设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ）【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-33. 三⼈独⽴地破译⼀个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】设A i ={第i ⼈能破译}（i =1,2,3），则310.6534=-= 34. 甲、⼄、丙三⼈独⽴地向同⼀飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有⼀⼈击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两⼈击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三⼈都击中，则飞机⼀定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i ⼈击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458习题⼆1.⼀袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表⽰取出的3只球中的最⼤号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ========== 故所求分布律为4.（1）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1）由分布律的性质知1()e !ka λ-=(2) 由分布律的性质知111()N Nk k aP X k a N======∑∑即 1a =.8.已知在五重贝努⾥试验中成功的次数X 满⾜P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则1422355C (1)C (1)p p p p -=-故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 21.设X ~N （3，22），（1）求P {222X P X P ---??<≤=<≤11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ=--=-+ ? ?=-+=433103(410)222X P X P ----??(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----=>+< ? ?=--+-=+- ? ? ? ?????????=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器⽣产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求⼀螺栓为不合格品的概率.【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ?-?->=>1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-?+≥>?（1）求常数A ，B ；（2）求P {X ≤2}，P {X ＞3}；（3）求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-==??得11A B =??=-?（2） 2(2)(2)1e P X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e )e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-?≥'==?44.若随机变量X 在（1，6）上服从均匀分布，则⽅程y 2+Xy +1=0有实根的概率是多少？0,x f x ?<24(40)(2)(2)(2)5P X P X P X P X -≥=≥+≤-=≥=习题三（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布；（2） X 与Y 是否相互独⽴？【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===? 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独⽴.习题四1.设随机变量X 的分布律为求【解】(1) 11111()(1)012;82842E X =-?+?+?+?= (2) 2222211115()(1)012;82844E X =-?+?+?+?=(3) 1(23)2()32342E X E X +=+=?+=5.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=??≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E （X ），D （X ）. 【解】12201()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞=332011 1.33x x x ??=+-=?122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=故 221()()[()].6D XE X E X =-=7.设随机变量X ，Y 相互独⽴，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=?-?=(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=?+?=习题七2.设总体X 的密度函数f （x ,θ）=22(),0,0,.x x θθθ?-<X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】23022()()d ,233x x E X x x x θθθθθθθ??=-=-=令E (X )=A 1=X ,因此3θ=X 所以θ的矩估计量为 ^3.X θ=3.设总体X 的密度函数为f （x ，θ），X 1，X 2，…，X n 为其样本，求θ的极⼤似然估计.（1） f （x ，θ）=,0,0,0.e x x x θθ-?≥?（2） f （x ，θ）=1,01,0,.x x θθ-?<【解】（1）似然函数111(,)ee eniii n nx x nn ii i L f x θθθθθθ=---==∑===∏∏1ln ln ni i g L n x θθ===-∑i i g L n x θθθ===-=∑知 1 nii nxθ==∑所以θ的极⼤似然估计量为1 Xθ=. (2) 似然函数11,01nni i i L x x θθ-==<<∏,i =1,2,…,n.1ln ln (1)ln ni i L n x θθ==+-∏由1d ln ln 0d ni i L n x θθ==+=∏知11?ln ln nniii i n nxx θ===-=-∑∏ii nxθ==-∑10.设某种砖头的抗压强度X ~N （µ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg ·cm -2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1）求µ的置信概率为0.95的置信区间. （2）求σ2的置信概率为0.95的置信区间. 【解】76.6,18.14,10.950.05,20,x s n α===-==/20.025222/20.0250.975(1)(19)2.093,(1)(19)32.852,(19)8.907t n t n ααχχχ-==-===(1) µ的置信度为0.95的置信区间/2(1)76.6 2.093(68.11,85.089)a x n-== ? ?????(2)2σ的置信度为0.95的置信区间222222/21/2(1)(1)1919,18.14,18.14(190.33,702.01)(1)(1)32.8528.907n s n s n n ααχχ-??--??=??= ?--其中θ(0<θ<2)是未知参数，利⽤总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极⼤似然估计值. 【解】8i x E X E X x x x θθ=-=-====∑令得⼜所以θ的矩估计值31 .44x θ-== （2）似然函数86241(,)4(1)(12).ii L P x θθθθ===--∏2ln ln 46ln 2ln(1)4ln(1),d ln 628628240,d 112(1)(12)L L θθθθθθθθθθθθ=++-+--+=--==----解2628240θθ-+=得 1,2θ=.由于71,122+>所以θ的极⼤似然估计值为 7?2θ=。

概率论习题及答案

概率论习题及答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1一．填空题1．已知41)(=A P ,31)(=A B P ,21)(=B A P ,则=)(B A P 31。

2．有零件8件，其中5件为正品，3件为次品。

从中任取4件，取出的零件中有2件正品2件次品的概率为73482325=⋅C C C ； 3．抛掷均匀的硬币，直到出现正面向上为止，则抛掷次数X 的概率分布为 ,2,1,5.05.05.0)(1==⋅==-k k X P k k ，X 服从分布)5.0(G 。

4．设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,01,)(2x x x c x p ，则常数=c 1 ，X 的分布函数=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤1,111,0x x x 。

5．设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x p X ，则随机变量2X Y =的密度函数=)(y p Y ⎩⎨⎧<< 其它,010,1y 。

6．已知),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则=≤<≤<),(d Y c b X a P),(),(),(),(c a F d a F c b F d b F +--。

7．设)2,1(~N X ，)4,3(~N Y ，且X 和Y 相互独立，则Y X Z +=2的密度函数=)(z p Z +∞<<-∞--z e z ,62124)5(2π。

8．)5.0,9,4,0,1(~),(N Y X ，则~Y )9,0(N ，=-])[(2Y X E 8 。

9．设),(Y X 的联合概率分布为则X 的概率分布为相关系数=XY ρ32-。

10．设随机变量n X X X ,,21 独立同分布, μ=1EX , 81=DX ,记∑==ni i n X n Y 11，则用切比雪夫不等式估计≥<-)2(μn Y P n21-。

概率论习题解答

第4章习题答案三、解答题1. 设随机变量X求)(X E ，)(2X E ，)53(+X E ．解：E (X ) =∑∞=1i ixp= ()2-4.0⨯+03.0⨯+23.0⨯=E (X 2) = ∑∞=12i i p x = 44.0⨯+ 03.0⨯+ 43.0⨯=E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3()2.0-⨯+5 =2. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望．解：记掷1颗骰子所掷出的点数为X i ，则X i 的分布律为6,,2,1,6/1}{ ===i i X P记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验， E (X i ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=283. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p 1，借阅乙种图书的概率为p 2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的． (1) 某天恰有n 个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望．(2) 某天恰有n 个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望．解：(1) 设借阅甲种图书的人数为X ，则X~B (n , p 1),所以E (X )= n p 1 (2) 设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y , 则Y ~B (n , p ),记A ={借甲种图书}， B ={借乙种图书}，则p =｛A ∪ B ｝= p 1+ p 2 - p 1 p 2 所以E (Y )= n (p 1+ p 2 - p 1 p 2 )4. 将n 个考生的的录取通知书分别装入n 个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X 表示n 个考生中收到自己通知书的人数，求E (X )．解：依题意，X~B (n ，1/n )，所以E (X ) =1.5. 设)(~λP X ，且}6{}5{===X P X P ，求E (X )．解：由题意知X ～P （λ），则X 的分布律P {}k X ==λλ-e k k!，k = 1,2,...又P {}5=X =P {}6=X , 所以λλλλ--=e e!6!565解得 6=λ，所以E (X ) = 6.6. 设随机变量X 的分布律为,,4,3,2,1,6}{22 --===k kk X P π问X 的数学期望是否存在解：因为级数∑∑∑∞=+∞=+∞=+-=-=⨯-11212112211)1(6)6)1(()6)1((k k k k k k kk k k πππ，而 ∑∞=11k k 发散，所以X 的数学期望不存在.7. 某城市一天的用电量X （十万度计）是一个随机变量，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-.0,0,91)(3/其它x xe x f x 求一天的平均耗电量．解：E (X ) =⎰⎰⎰∞-∞-∞∞-==03/203/9191)(dx e x dx xe xdx x f x x x =6.8. 设某种家电的寿命X （以年计）是一个随机变量，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>-=.0,5,251)(2其它x x x F求这种家电的平均寿命E (X )．解：由题意知，随机变量X 的概率密度为)()(x F x f '=当x >5时，=)(x f 3350252xx =⨯--，当x ?5时，=)(x f 0. E (X ) =10|5050)(5-53=-==∞++∞∞+∞⎰⎰xdx x x dx x xf所以这种家电的平均寿命E (X )=10年.9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例X 的概率密度为⎩⎨⎧<<-=.0,10,)1(42)(5其它x x x x f 求X 的数学期望E (X )．解：E (X ) =dx x x dx x xf ⎰⎰+∞∞-=-152)1(42)(=1/410. 设随机变量X 的概率密度如下，求E (X )．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=.010,)1(2301)1(23)(22其它，，，，x x x x x f解：0)1(1023)1(0123)()(22=-++-=+∞∞-=⎰⎰⎰dx x x dx x x dx x xf X E .111. 设),4(~p B X ，求数学期望)2(sinX E π．解：X 的分布律为k n kk n p p C k X P --==)1(}{， k = 0，1，2，3，4，X 取值为0，1，2，3，4时，2sin X π相应的取值为0，1，0，-1，0，所以)21)(1(4)1(1)1(1)2(sin 13343114p p p p p C p p C X E --=-⨯--⨯=π12. 设风速V 在(0，a )上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数：2kV W =，（k > 0，常数），求W 的数学期望．解：V 的分布律为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它 ,00 ,1)(a v a v f ，所以 ===+∞∞-=⎰⎰aa v a k dv a kv dx v f kv W E 03022|)31(1)()(231ka13. 设随机变量(X , Y )的分布律为求E (X )，E (Y )，E (X – )．解：E (X )=0×(3/28+9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E (Y )=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4 E (X -Y ) = E (X )- E (Y )=1/2-3/4= -1/4.14. 设随机变量(X ，Y )具有概率密度⎩⎨⎧≤+≤≤≤≤=其它,01,10,10,24),(y x y x xy y x f ，求E (X )，E (Y )，E (XY )解：E (X )=⎰⎰⎰⎰-=⋅11022424xDydydx x xydxdy x dx x x ⎰-⋅=1022)1(2124dx x x x ⎰+-=10432)2412(52)51264(1543=+-=x x x.152)34524638()1(31242424)(5/22424)(10654311010322210102=-+-=-⋅==⋅===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--x x x x dx x x dydx y xxydxdy xy XY E xdxdy y xydxdy y Y E DxDy15. 某工厂完成某批产品生产的天数X 是一个随机变量，具有分布律所得利润（以元计）为)12(1000X Y -=,求E (Y )，D (Y )．解： E (Y) = E ［1000(12-X )］=1000×[(12-10)×+(12-11)]×+(12-12)×+(12-13)×+(12-14)×] = 400E (Y 2) = E ［10002(12-X )2］=10002[(12-10)2×+（12-11）2×+（12-12）2×+（12-13）2×+（12-14）2×]=×106D (Y )=E (Y 2)-［E (Y )］2=×106- 4002=×10616. 设随机变量X 服从几何分布，其分布律为,,2,1,)1(}{1 =-==-k p p k X P k 其中0 < p < 1是常数，求E (X )，D (X )．解：令q=1- p ,则∑∑∑∑∞=∞=-∞=-∞==⨯=⨯==⨯=111111)()}{()(k kk k k k k dqdq p qk p p qk k X P k X Ep q dq d p q dq d p k k /1)11(0∑∞==-==∑∑∑∑∞=-∞=-∞=-∞=⨯+⨯-=⨯==⨯=1111112122])1([)()}{()(k k k k k k k q k qk k p p qk k X P k X Ep qk k pq k k /1)1(12+⨯-=∑∞=-p qdq d pq p q dqd pq k k kk /1)(/1012222∑∑∞=∞=+=+=p p q p q pq p q dq d pq /1/2/1)1(2/1)11(2322+=+-=+-= D (X ) = E (X 2)- E (X ) =2q /p 2+1/p -1/p 2 = (1-p )/p 217. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它,01||,11)(2x x x f π，试求E (X )，D (X )．解：E (X )= 011)(112=-=⎰⎰-∞∞-dx xxdx x f x πD (X )=E (X 2)= ⎰⎰⎰--∈-∞∞-=-=2/2/2]2/,2/[11222cos sin sin 11)(ππππππdt tt tx dx xxdx x f x t2122cos 122/0=-=⎰ππdt t 18. 设随机变量(X ，Y )具有D (X ) = 9，D (Y ) = 4，6/1-=XY ρ，求)(Y X D +，)43(+-Y X D ．解：因为)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ，所以)()(),(Y D X D Y X Cov XY ρ==-1/6×3×2=-1,11249),(2)()()(=-+=++=+Y X Cov Y D X D Y X D51)1(6369)3,(2)(9)()43(=--+=-++=+-Y X Cov Y D X D Y X D19. 在题13中求Cov (X ，Y )，?XY ．解：E (X ) =1/2, E (Y ) =3/4,E (XY )=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+1×3/14+2×0+4×0=3/14,E (X 2)= 02×（3/28+9/28+3/28）+12×(3/14+3/14+0)+ 22×(1/28+0+0)=4/7,E (Y 2)= 02×（3/28+3/14+1/28）+12×(9/28+3/14+0)+ 22×(3/28+0+0)=27/28,D (X )=E (X 2) -［E (X )］2 = 4/7-(1/2)2= 9/28,D (Y )=E (Y 2)- ［E (Y )］2=27/28-(3/4)2= 45/112,Cov (X ，Y )= E (XY )- E (X ) E (Y ) =3/14- (1/2) ×(3/4)= -9/56, ?XY = Cov (X ，Y ) /()(X D )(Y D )=-9/56 ? (28/9112/45)= -5/520. 在题14中求Cov (X ，Y )，?XY ，D (X + Y )．解：52)()(==Y E X E ,,)(152=XY E 752)()()(),(-=-=Y E X E XY E Y X Cov)(5124)(2101032Y E dydx y x X E x ===⎰⎰-[])(25125451)()()(22Y D X E X E X D ==-=-=752),(2)()()(32)()(),(=++=+-==Y X Cov Y D X D Y X D Y D X D Y X Cov XYρ21. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=.0,1,1),(22其它y x y x f π试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．解：0/12/)(112111122=-==⎰⎰⎰-----dx x x dydx x X E x xππ 0/)(111122==⎰⎰----x x dydx y Y E π 0/)(111122==⎰⎰----x x dydx xy XY E π，所以Cov (X ，Y )=0，?XY =0，即X 和Y 是不相关.Ox2x2⎪⎩⎪⎨⎧<<--=⎪⎩⎪⎨⎧<<-==⎰⎰---∞+∞-其他，，其他，01112011,/1),()(21122x x x dy dy y x f x f x x X ππ ⎪⎩⎪⎨⎧<<--=⎪⎩⎪⎨⎧<<-==⎰⎰---∞+∞-其他，，其他，01112011,/1),()(21122y y y dx dx y x f y f y y Y ππ 当x 2+ y 2≤1时，f ( x,y )≠f X ( x ) f Y (y ),所以X 和Y 不是相互独立的22. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<=.010,2||,2/1),(其它x x y y x f 验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．解：由于f ( x,y )的非零区域为D : 0 < x < 1, | y |< 2x32221102212====⎰⎰⎰⎰⎰-dx x xdydx dxdy y x xf X E xx D ),()(,0211022⎰⎰⎰⎰-===xx Dydydx dxdy y x yf Y E ),()(,0211022⎰⎰⎰⎰-===xx Dxydydx dxdy y x xyf XY E ),()(,所以Cov (X ，Y )=0，从而0)()(),(==y D x D y x Cov xy ρ，因此X 与Y 不相关 .⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎰⎰-∞∞-其他,010,221),()(22Xx x dy dy y x f x x x f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-=<<-+===⎰⎰⎰-∞+∞-其他,020,421202,42121),()(1212Y y y dx y y dx dx y x f y y y f所以，当0<x <1, -2<y<2时，)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 和Y 不是相互独立的 . 四、应用题.1. 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利m 元，而积压一件产品导致n 元的损失，再者，他们预测销售量Y （件）服从参数θ的指数分布，问若要获利的数学期望最大，应该生产多少件产品（设m,n ,θ均为已知）.⎪⎩⎪⎨⎧≤>>=⎩⎨⎧≥<<--==-0,00,0,1)(,0),()(y y e y f Y x Y mx xY Y x n mY Y Q Q y Y θθθ的密度函数为[]()()()取最大值时，当又则令)(n ln 0n m )(d n ln,n 0)(1)()(d )()()()(1.1.)()(.)()( 20000000Q E n m x e dx Q E n m x n m e n e n m n e n m dx Q E nxn m e n m mxenx nxe e n m xe n m mxe nxe dy n m e ye n m mxde de nx yde n m dye mx dy e y x n my dy Yf Y Q Q E xxxx x x x x y x xyx y x y x y x y x y y x x y x y Y +-=∴<+-=+-=∴+==-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-+++-=+-++-+-=-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+=-++-=+--==---------∞+----∞+---∞+--∞∞-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ解：设生产x 件产品时，获利Q 为销售量Y 的函数2. 设卖报人每日的潜在卖报数为X 服从参数为λ的泊松分布，如果每日卖出一份报可获报酬m 元，卖不掉而退回则每日赔偿n 元，若每日卖报人买进r 份报，求其期望所得及最佳卖报数。

概率论课后习题第3章答案

第三章多维随机向量及其概率分布(一)基本题答案1、设X 和Y 的可能取值分别为.2,1,0;3,2,1,0,==j i j i 则与因盒子里有3种球，在这3种球中任取4个，其中黑球和红球的个数之和必不超过4.另一方面，因白球只有2个，任取的4个球中，黑球和红球个数之和最小为2个，故有j i 与ٛ且,42≤+≤j i ./),(474223C C C C j Y i X p j i j i −−===因而或0),(===j Y i X P 2).2,1,0;3,2,1,0,4(<+j i ==>+j i j i于是 ,0)0,0(1111======y Y x X P P ,0)0,0(2112======y Y x X P p.35/1/)0,0(472212033113=======C C C C y Y x X P p即 2、X 和. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡04.032.064.0210~X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡25.05.025.0210~Y 由独立性知，X 和Y 的联合分布为3、Y 的分布函数为显知有四个可能值：).0(0)(),0(1)(≤=>−=−y y F y e y F y ),(21X X }{{}{}11−=e ,2,10,0).1,1(),0,1(),1,0(),0,0(121−≤=≤≤===Y P Y Y P X X P 易知{}{}{}{}{},221−−−=e e 12<=P ,10,1,02,11,02121≤≤>====>≤===Y Y Y P X X P Y Y P X X P{}{}{},212,10,12121−=≤<=≤>===e e Y P Y Y P X X P {}−− {}{}.22,11,1221−=>=>>===e Y P Y Y P X X P于是，可将X 1和X 24、∑=====nm m n P n X P 0),()(ηζ∑=−−−−=nm mn m n e m n m p p 0)!(!)1(λλ()[]).,2,1,0(!1!)1()!(!!!==−+=−−=−−−=−∑n n e p p n e p p m n m n n e n n n mn m nm n λλλλλλ即X 是服从参数为λ的泊松分布.∑∑∞=−−∞=−−−−−=−−==mn mn m n mn m m mn m n m n p m e p em n m p p m Y P )!()1(!)!(!)1()(λλλλλ).,2,1,0(,!)(!)()1( ==⋅=−−−−m m ep e e m ep pmp mλλλλλλ即Y 是服从参数为λp 的泊松分布.5、由定义F （y x ,）=P {}∫∫∞−∞−=≤≤x y dxdy y x y Y x X .),(,ϕ因为ϕ（y x ,）是分段函数，要正确计算出F （y x ,;1>y ），必须对积分区域进行适当分块：等5个部分.10,10,1;1,1;10,100≤≤≤≤>>>≤≤<x y x y x y y x 或;0<≤≤x （1）对于有 F （,00<<y x 或y x ,）=P{X ≤,x Y ≤y}=0; （2）对于有 ;,10,10≤≤≤≤y x 2204),(y x vdudv u y x F x y ==∫∫（3）对于, 有 10,1≤≤>y x {};,1),(2y y Y X P y x F =≤≤= （4）对于, 有 10,1≤≤>x y {}21,),(x Y x X P y x F =≤≤=; （5）对于有 ,1,1>>y x 1),(=y x F .故X 和Y 的联合分布函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<≤≤<<≤≤≤≤≤≤<<=.1,1,.1,10,1,,1,10,,10,10,,00,0),(2222y x y x y y x x y x y x y x y x F 或6、（1） ,0,0;0),(,00>>=≤≤y x y x F y x 或),(y x F =∫∫+−x y t s dsdt ze)2())(())((200202yt x s y t x se e dt e ds e−−−−−−==∫∫=)1)(1(2y x e e −−−−即⎩⎨⎧>>−−=−−.,0,0,0),1)(1(),(2其它y x e e y x F y x （2）P ()()220(),22x x y x yxy xY X f x y dxdy dx e dy e e d +∞+∞−−−−<≤===−∫∫∫∫∫x∫∫∞+−−−∞+−−=−−=03220)(2)1(2dx e e dx e e x x x x .312131(2)2131(2023=−−=−=∞+−−x x e e7、（1）时，0>x ,0)(,0;)(=≤==∫∞+−−x f x e dy e x f X Xx y X 时即 ⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,)(x x e x f x X （2）{}2/111210121),(1−−≤+−−−+===≤+∫∫∫∫e e dy e dxdxdy y x f Y X P y x x xy8、（1）（i ）时,，;),()(计算根据公式∫∞+∞−=dy y x f x f X 0≤x 当10;0)(<<=x x f X 当时()();24.224.2)2(8.4)(202x x x y dy x y x f xx X −=−=−=∫0)(,1=≥x f x X 时当即⎩⎨⎧<<−=.,0;10),2(4.2)(2其它x x x x f X （ii ）利用公式计算. 当∫∞+∞−=dx y x f y f Y ),()(;0)(,0=≤y f y Y 时,10时当<<y112)22(8.4)2(8.4)(y y Y x x y dx x y y f ∫−=−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=222128.42y y y );43(4.2)2223(8.422y y y y y y +−=+−=当时，1≥y .0)(=y f Y 即⎩⎨⎧<<+−=.0;10),43(4.2)(2其它y y y y y f Y 121111222211111(2)((1(,1(,)1.22222P X Y P X Y f x y dxdy dx dxdy +∞+∞⎧⎫<<=−≥≥=−=−=⎨⎬⎩⎭∫∫∫∫∪58、47809、本题先求出关于x 的边缘概率密度，再求出其在2=x 之值. 由于平面区域D 的面积为)2(X f ,2121=dx =∫x S e D 故（X,Y ）的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,0;),(,21),其它D y x y x (f易知，X 的概率密度为∫∞+∞−⎪⎩⎪⎨⎧<<==,,0,1,21),()(2其它e x xdy y x f x f X 故.41221)2(=×=X f 10、（1）有放回抽取：当第一次抽取到第个数字时，第二次可抽取到该数字仍有十种可能机会，即为 k {}).9, ,1,0(101====i k Y i X P （2）不放回抽取：（i ）当第一次抽取第)90(≤≤k k 个数时，则第二次抽到此（第个）数是不可能的，故 k {}.)9,,1,0,; =k i k (0====i k Y i X P（ii ）当第一次抽取第个数时，而第二次抽到其他数字（非k ）的机会为，知)90(≤≤k k 9/1{}.)9,,1,0,; =k i k (9/1≠===i k Y i X P 11、（1）因∫−=−=12,)1(12)1(24)(yy y ydx x y f η.,0)(;10其它=≤≤y f y n 故在0≤y ≤1时，⎩⎨⎧≤≤−−=;1)1/()1(2)(2其它x y y x y x f ηξ因()∫−=−=x y x ydy x x f 022,)1(12124)(ξ.,0)(;10其它=≤≤x f x ξ故在0≤x ≤1时，⎩⎨⎧≤≤=.0,0/2)(2其它x y x y x y f ξη（2）因;1,121)(2/12∞≤≤==∫x x nxdy y x X f x x ξ;,0)(其它=x f ξ故在1≤x<时，∞⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,1121)(其它x y xnxy x y f ξη因 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<<=≤<==∫∫∞∞,002121102121)(22/12其它y y dx y x y dx y x y f y y η 故在10≤<y 时,⎪⎩⎪⎨⎧∞<<=;011)(2其它x y y x x y f ξη 而在,1时∞<<y ⎪⎩⎪⎨⎧∞<<=.0)(2其它x y x yx y f ξη（3）在x >0,.0,0)(;0,)(≤=>==∫∞−−x x f x e dy e x f x xy ξξ⎪⎩⎪⎨⎧>=−.0,)(其它x y e x y f y x ξη ;0,)(0>==∫−−y ye dx e y f y yy η .故在y>0时，0,0)(≤=y y f η⎪⎩⎪⎨⎧<<=.0,01)(其它y x y y x f ηξ12、1(1)(2)2(),0(1)(1)X n n n n n f x dy x x y x ∞−−−−==+++∫>，故12(1)(2)0,(/1)0.n nY X n y y f y −⎧−+>=⎨⎩其它 13、X 和Y 是否独立，可用分布函数或概率密度函数验证.方法一：X 的分布函数的分布函数分别为 Y x F X 和)()(y F Y ⎩⎨⎧<≥−=+∞=−,0001),()(5.0x x e x F x F x X ⎩⎨⎧<≥−=+∞=−.0001),()(5.0y y e y F y F yY 由于独立.Y X y F x F y x F Y X 和知),()(),(={}{}{}[][]1.005.005.0)1.0(1)1.0(11.01.01.0,1.0−−−=⋅=−⋅−=>⋅>=>>=e e e F F Y P X P Y X P Y X αY X Y X x f x f y x f Y X 和分别表示和),,()()(),,(方法二：以的概率密度，可知 ⎩⎨⎧≥≥=∂∂∂=+−.00,025.0),(),()(5.02其它y x e y x y x F y x f y x ∫∞+∞−−⎩⎨⎧<≥==,0005.0),()(5.0x x e dy y x f x f x X ∫∞+∞−−⎩⎨⎧<≥==.00,05.0),()(5.0y y e dx y x f y f yY ∫∫∞+∞+−+−==>>==1.01.01.0)(5.0.25.0}1.0,1.0{.),()(),(e dxdy e Y X P a Y X y f x f y x f y x Y X 独立和知由于)()(),(j i j i y Y P x x P y Y x X P =⋅====14、因知X 与Y 相互独立，即有 . )3,2,1,2,1(==j i 首先，根据边缘分布的定义知 .2418161),(11=−===y Y x X P 又根据独立性有),(61)()(},{2411111i x X p y Y p x X p y Y x X p ===⋅===== 解得41)(==i x X P ,从而有 1218124141),(31=−−===y Y x X P 又由 )()(),(2121y Y P x X P y Y x X P =⋅====, 可得 ),(41812y Y P == 即有21)(2==y Y P , 从而 838121),(22=−===y Y x X P .类似地，由),()(),(3131y Y P x X P y Y x X P ===== 有),(411213y Y P ==得31)(3==y Y P ,从而,.111),(31=−===y Y x X P 最后=)(2x X P =1+3+1=3. 将上述数值填入表中有1x1/24 1/8 1/12 1/4 2x1/8 3/8 1/4 3/4 {}j P y X P j ⋅==1/6 1/2 1/3115、本题的关键是由题设P{X 1X 2=0}=1，可推出P{X 1X 2≠0}=0；再利用边缘分布的定义即可列出概率分布表.(1)由P{X 1X 2=0}=1,可见易见,0}1,1{}1,1{2121=====−=X X P X X P 25.0}1{}0,1{121=−===−=X P X X P 5.0}1{}1,0{221=====X P X X P 25.0}1{}0,1{121=====X P X X P 0}0,0{21===X X P121212.16、(1) ⎩⎨⎧<<=,,0,10,1)(其他x x f X ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,021)(2y y ey f yY 因为X ，Y 独立，对任何y x ,都有 ).,()()y x f y f x Y =⋅(f X ⎪⎩⎪⎨⎧><<=−.,0,0,10,21),(2其他所以有y x e y x f y（2）二次方程有实根，△ t Y Xt t 中022=++,04)2(2≥−=Y X ,02≥−Y X 即,2X Y ≤ 故=)(有实根t P dydx e dydx y x f X Y P yx y x 2122221),(}{−≤∫∫∫∫==≤∫−−=1022)(dx ex y=dx edx edx x x x 2101010222221211)21(−−∫∫−=−=−πππ21−=［∫∫∞−∞−−−−1022222121dx edx exx ππ］.1445.08555.01]5.08413.0[21)]0()1([21=−≈−−≈Φ−Φ−=ππ17、（1）因为X ，Y 独立，所以 .⎩⎨⎧>>==+−.,0,0,0,)()(),()(其他y x e y f x f y x f uy x Y X λλμ（2）根据Z 的定义，有 P{z=1}=P{Y ≥X}∫∫∫∫∞+∞−+−≥==)(),(xy x xy dydx e dydx y x f μλλμ∫∫∞+∞+−−=)(dx dy e e xy x μλμλ ),0u dx ee x x +=⋅=∫∞+−−λλλμλ{}{110=−==Z P Z P Z 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=.1,1,10,,0,0)(z z z z F Z μλμ18、∵X 、Y 分别仅取0，1两个数值，∴Z 亦只取0，1两个数值. 又∵X 与Y 相互独立，∴{}{}{}{}==========00)0,0(0),max(0Y P X P Y X P Y X P Z P 1/2×1/2=1/4，故{}{}.4/34/110111=−==−===Z P Z P 19、 X 由2×2阶行列式表示，仍是一随机变量，且X=X 1X 4--X 2X 3，根据X 1，X 2，X 3，X 4的地位是等价且相互独立的，X 1X 4与X 2X 3也是独立同分布的，因此可先求出X 1X 4和X 2X 3的分布律，再求X 的分布律. ,则X=Y 1--Y 2.随机变量Y 1和Y 2独立同分布：322411,X X Y X X Y ==记}{}{}{{}.84.016.01}0{0112121=−========Y P Y Y P Y P 16.01,132===P X X P 显见, 随机变量X=Y 1--Y 2有三个可能值--1,0,1.易见 P{X=--1}=P{Y 1=0,Y 2=1}=0.84×0.16= 0.1344， P{X=1}=P{Y 1=1,Y 2=0}=0.16×0.84=0.1344, P{X=0}=1--2×0.1344=0.7312. 于是，行列式的概率分布为 4321X X X X X =~ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1344.07312.01344.010120、因为{Z=i }={X+Y=i }={X=0,Y=i }}.0,{}1,1{==−==Y i X i Y X ∪ ∪∪ 由于上述各事件互不相容，且注意到X 与Y 相与独立，则有 ∑∑==−===−====i k ik k i Y P k X P k i Y k X P i Z P 00}{}{},{}{∑=+−−−−−=−−=iik ki n ki k i nkn kk n P p pC P p c 022111()1()1∑=−−+ik k i n k n in n C Cp 02121)(,,1,0,)1(212121n n i p p C i n n i i n n+=−=−++).,(~21p n n B Y X Z ++=故注：在上述计算过程中，已约定：当r>n 时，用到了公式并,0=rnC .12121∑=+−=ik i n n k i n k n C C C21、X 和Y 的概率分布密度为},2)(exp{21)(22σσπy x x f X −−=);(+∞<<−∞x ⎩⎨⎧≤≤−=.,0,),2/(1)(其它πππy y f Y 因X 和Y 独立，考虑到 )仅在[)(y f Y ππ,−]上才有非零值，故由卷积公式知Z 的概率密度为.221)()()(222)(dy edy y f y z f z f a y z Y X Z ∫∫−−−−∞+∞−=−=ππμσππ令σμ−−=y z t ,则上式右端等于.(2122122⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−Φ−−+Φ=∫−+−−−σμπσμππππσμπσμπz z dt e z z t 22、（1）由题设知 {}y X X P y M P y F n M ≤=≤=),,max()()(1),,(1y X y X P n ≤≤= )()()()()(121y F y F y X P y X P y X P Xn X n =≤≤≤=.∵),1(],0[~:,,1n i U X X X i n ≤≤θ独立且同分布 ∴⎪⎩⎪⎨⎧><<≤=,0,1,0,,0,0)(x x x x x F i X θθ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=.,1,0,,0,0)(θθθy y y y y F n n M 故⎪⎩⎪⎨⎧<<=−.,0,0,)(1其它θθy ny y f n n M（2）{}y X X P y N P y N P y F n N >−=>−=≤=),,min(1)(1)()(1()y X P y X P y X P y X y X y X P n n >>>−=>>>−= )()(1,,,12121()[])(11)(11y F y X P i X i ni −−=>Π−==故 ⎪⎩⎪⎨⎧<<−=⎪⎩⎪⎨⎧<<−−−=−−其它其它,0,00,)(,001(1()(11y y n y y n y f n n n N θθθθθ 23、由题设容易得出随机变量（X ，Y ）的概率密度，本题相当于求随机变量X 、Y 的函数S=XY 的概率密度，可用分布函数微分法求之.依题设，知二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为()()()⎩⎨⎧∉∈=G y x Gy x y x f ,,0,2/1,若若设为S 的分布函数,则当{s S P s F ≤=)(}0≤s 时,()0=s F ；当时, .2≥s ()1=s F 现设0<s<2. 曲线s xy =与矩形G 的上边交于点(s,1);位于曲线s xy =上方的点满足s xy >,位于下方的点满足s xy <. 故(){}{}{}).ln 2ln 1(2211211121s sdy dx dxdy S XY P s XY P s S P s F s x s sxy −+=−=−=>−=≤=≤=∫∫∫∫>于是,⎩⎨⎧≥≤<<−=.20,0,20,2/)ln 2(ln )(s s s s s f 或若若（二）、补充题答案1.由于即{},0)(),,min(,,max =<==Y X P Y X 故知ηξηξ{}{}{}03,23,12,1=========Y X P Y X P Y X P ；又易知{}{}{}{},9/1111,11,1==⋅=======ηξηξP P P Y X P{}{},9/12,22,2======ηξP Y X P {}{},9/13,33,3======ηξP Y X P {}{}{},9/29/19/11,22,11,2=+===+=====ηξηξP P Y X P{}{}{},9/22,33,22,3===+=====ηξηξP P Y X P {}.9/29/711,3=−===Y X P 所以2.（1）x{}.,2,1,0,0,)1( =≤≤−===n n m P P C n X m Y P m n {}（2）{}{}n X P n X m Y P m Y n X P ======,.,2,1,0,0,!)1( =≤≤⋅⋅−=−−n n m e P P C n m n mm n λλ3.22)1()1()1()0()0()1(p p Y P X P Y P X P z P +−===+====)1(2)0()1()1()0()0(p p Y P X P Y P X P z P −===+====而，由2)1,1()1,1(p Y X P Z X P ======),1()1()1,1(=====Z P X P Z X P 得. 2/1=p 5.:设随机变量ξ和η相互独立，都服从分 )1,0(N 布.则⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−⋅=)(21exp 21),(22y x y x p π.显然， ,),(),(∫∫∫∫<SGdxdy y x p dxdy y x p,其中 G 和S 分别是如图所示的矩形ABCD 和圆.22/)21(),(2∫∫∫−−=a ax Gdx e dxdy y x p π，令,sin ,cos ϕγϕγ==y x 则 ∫∫∫∫=ππ20221),(a aSdxdy y x p 所以221212/a aaxe dx e −−−−<∫π.6.设这类电子管的寿命为ξ，则（1）三个管子均不要替换的概率为；（2）三个管子均要替换的概率为 .∫∞+==>1502.3/2)/(100)150(dx x P ξ21(−27/8)3/2(3=27/1)3/3=7.假设总体X 的密度函数为，分布函数为，第次的观察值为，独立同分布，其联合密度函数)(x f ,(1x f )(x F )()2x f i (n x )1(n i X i ≤≤i X )(),1n f x f x =.依题意，所求的概率为{}∫∫∫∫∫∫∞+∞−∞−∞−∞−−−−=−==>>><n n n nx i x x x x n n nn nn n i n n n n dx x f dx x f dx x f dx x f dx dx xx f X X X X X X P 112211111,...,2,1121)(...)()()(),,(.,...,,∫∫∞+∞−∞+∞−−−==)()()()(11n n n n n n n x dF x F dx x f x F.1)(1n x F nn n=∞−∞+=8.)(),()(21211211n P n k P n k P =+=+===+=ξξξξξξξξ)()()(2121n P k n P k P =+−===ξξξξ.由普哇松分布的可加性，知服从参数为的普哇松分布，所以 21ξξ+21λλ+)(21212112121!)()!(!)(λλλλλλλλξξξ+−−−−+−⋅==+=e n e k n ek n k P n k n k.1211211kn kk n −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=λλλλλλ9.当，0≤z (),0)(=≤=z Z P z F z ,0>z 当()z Z P z F z ≤=)(∫∫−+−=20)2(02xz y x z dy e dx∫∫−−−−−−−==202012x z z z y z x ze e dy e dxe ，所以 Y X z 2+=的分布函数为 ⎩⎨⎧>+−≤=−.0,)1(1,0,0),(z e z z y x F z10.由条件知X 和Y 的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他若,0,31,31,41),(y x y x p以表示随机{})()(∞<<−∞≤=u u U P u F 变量U 的分布函数.显然，当0≤u 时， 0)(=u F ；当时，； 2≥u 1)(=u F 当，则20<<u []∫∫∫∫≤−uy x y x p ||,(≤−−−=−−===uy x u u dxdy dxdy u F ||2)2(411)2(44141))(2u−于是，随机变量的密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=其他,0;20),2(21)(u u u p .11.记为这3个元件无故障工作的时间，则的分布函数321,,X X X ),,min(321X X X T ={}[][].)(1),,min(1(31321t X P t X X X P t F T −=>−(11)13X P t ≤−−=>)()t T P =≤=⎩⎨⎧≤>−=∴⎩⎨⎧=≤>−=−−,0,0,0,1)()3,2,1(,0,0,0,1)(~3t t e t F i t t e t F X t T t i λλ∵ 故 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>==−.0,0,0,3)(')(3t t e t F t f t T T λλ。

概率论基础复习题答案

填空题（含答案）1．设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0;⎰∞∞-dx x p )(= 1 ；Eξ=⎰∞∞-dx x xp )(。

考查第三章2．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为：C B A ；A,C 发生而B 不发生可表示 C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。

考查第一章3．设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ϕ，分布函数为)(0x Φ，则)0(0ϕ等于π21，)0(0Φ等于 0.5 。

考查第三章 4．设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=51，k=1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ= 2 。

考查第五章5．已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 XY r 。

考查第五章6．设),(~2σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 211k - 考查第五章7．设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ 0 ；∑∞=1i ip=1 ；Eξ=∑∞=1i ii px 。

考查第一章8．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为：ABC ；A 发生而B,C 不发生可表示为：C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。

考查第一章9．)4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 5 。

考查第三章10．设随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则方程012=++x x ξ有实根的概率为45。

考查第三章较难 11．若随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,U=2X+1,V=5Y+10 则U ，V 的相关系数=XY r 。

考查第三章12．若 θ服从[,]22ππ-的均匀分布， 2ϕθ=，则 ϕ的密度函数 ()g y ＝ 1()2g y y πππ=-<<。