概率论习题答案

k 0 k!
2! 3! 4!
第六次
1 若a在(1,6)上服从均匀分布，求x2+ax+1=0有实 根的概率 解 x2+ax+1=0有实根的充要条件是:
a2 4 0 即: a≤-2 或a≥2 a在(1,6)上服从均匀分布 pa
(
x)
1 5
1 a 6
p(x)
0 其余
1/5
12
P{ a≤-2 或a≥2}
（3） A1( A2 A3)
（4） A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1A2 A3 A1 A2 A3
2 袋中有红球，白球，从中抽取三次，每次抽去
一个，取出后不放回记Ai={第i次抽出红球} （i=1,2,3）,用A1, A2, A3表示下列事件
（1）前两次都取红球（2）至少有一次取红球
64
解 A在一次试验中出现的概率为p X表示3次实验中A出现的次数
则X~B(3,p)
P(X 1) 1 P(X 0) 1 (1 p)3 63 64
p3 4
第五次
1 判断是否为分布表 X 1 2 3 …..n…
P
33 5 52
3 …3…
53
5n
解
等比数列求和公式为 Sn
lim
n
Sn
lim
(2)A,B独立 P(A B) P(A) P(B) P(AB)
P(A) P(B) P(A)P(B) 0.7
P(B) 0.5
2 设P(A)=0.3, P(A+B)=0.6在下列条件下求P(B) (1) A,B互不相容 (2) A,B独立 (3) A B 解 (1) A,B互不相容
|
A2 )
0.05
0.95
A2
0.04
A3
0.98
0.96 0.02
35% 4% 25% 5%35% 4% 40% 2%
B
B BB B B
第四次 1 设P(A)=0.4, P(A+B)=0.7在下列条件下求P(B) (1) A,B互不相容 (2) A,B独立
解 (1) A,B互不相容
P(A B) P(A) P(B) 0.7 P(B) 0.3
P(A B) P(A) P(B) 0.6 P(B) 0.3
(2)A,B独立 P(A B) P(A) P(B) P(AB)
P(A) P(B) P(A)P(B) 0.6 P(B) 3
7
(3)A B A B B
P(A B) P(B) 0.6
3 两种花籽，发芽率分别为0.8，0.9 ， 从中各
数Y的分布律
.
解 X1 2 3
4
5
6
P 0.8 0.20.8 0.22 0.8 0.23 0.8 0.24 0.8 0.25 0.8 0.26
5 有一大批产品的次品率为0.006,现从中抽取
500件,求其中只有4件次品的概率
.
解 X------抽取500件中的次品数
则 X~B(500,0.006）
解 Ai={第i次取正品} （i=1，2，3）
P(A1 A2 A3) P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1 A2 ) 10 9 90 100 99 98
10件次品 90件正品
5 某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,买 股票的概率为0.28,两项同时投入的概率为0.19, 求 (1)已知他买入基金的条件下,他再买股票的概率 (2) 已知他买入股票的条件下,他再买基金的概率
C={至少有一颗黑子}
P( A)
C83 C132
P(B)
C82C41 C132
P(C) 1 P(
A)
1
C83 C132
取3子 8白子4黑子
2 从1至200的正整数中任取一数,求此数能被6或8 整除的概率
解 A={此数能被6整除} B={此数能被8整除}
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
1! 2! 3!
n!
a a a a ... a ... ae 1
1! 2! 3!
n!
a1 e
3 袋中有2红球4白球,取3球,求取到的红球数X
的分布律
.
解 X0 1 2
P C43
C63
C21C42 C22C41
C63
C63
4 某人有6发子弹,射击一次命中率为0.8 ,如果命
中了就停止射击,否则一直到子弹用尽,求耗用子弹
解 Ai（i=1，2，3）B={任取一件产品为次品}
(1) P(B) P(A1)P(B | A1) P(A2)P(B | A2) P(A3)P(B | A3) E
25%5% 35% 4% 40% 2% 0.25
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0.4
0.35
(2)
A1
P( A2
|
B)
P( A2B) P(B)
P( A2 )P(B P(B)
取一粒，设花籽发芽独立，求（1）两颗都发芽的
概率 （2）至少有一颗发芽的概率（3）恰有一颗
发芽的概率
.
解 A={第一种花籽发芽} B={第二种花籽发芽}
(1) P(AB) P(A)P(B) 0.8 0.9
(2) P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A)P(B)
P( AB) P( AB)
第三次
1 袋中有3红球2白球,不放回地抽取2次,每次取 一个,求(1) 第二次取红的概率 (2) 已知第一次 取白球,求第二次取红球的概率
解 Ai={ 第i次取红球} (i=1,2) E
3
2
2A1
5 2
4
4
5 A1
31
44
不放回
取2次
2白球, 3红球
A2
A2 A2
A2
解 A={买基金} B={买股票}
（1）P(B | A) P( AB) 0.19
P( A) 0.58
（2）P(A | B) P(AB) 0.19
P(B) 0.28
6 某厂有编号为1,2,3的三台机器生产同种产品,其产量 分别占总产量的25%, 35% 40%,次品率分别为5%,4% 2%,今从总产品中取一件 (1) 产品为次品的概率 (2) 若 抽取的为次品求它是编号为2的机器生产的概率
P( A2 ) P( A1)P( A2
P( A2
|
A1 )
3 4
|
A1 )
P( A1)P( A2
|
A1 )
3 5
2 4
2 5
3 4
3 5
2 袋中有3红球2白球,抽取3次,每次取一个,取出 后不放回,再放入与取出的球颜色相同的两个球, 求 连续3次取白球的概率
解 Ai={第i次取白球} （i=1，2，3）
P(A B C) 1 P(A B C) 1 P(ABC)
1 (1 1)(1 1)(1 1) 234
5 加工某零件要经过第一 ,第二 ,第三 ,第四道工 序,次品率分别为2%, 3% ,4% ,5% ,各道工序独 立,求加工出来的零件为次品的概率 解 Ai={第i道工序出次品} ( i=1,2,3,)
.
（1） AB=A (2) A+B=A (3) A+B+C=A
解 (1)A B
(2)B A
(3)B A,C A
第2次 1 罐中有围棋子8白子4黑子，今任取3
子 ，求下列事件的概率 (1) 全是白子 (2) 取到2
黑子1白子 （3）至少有一颗黑子
.
解 A= { 全是白子}
B={ 取到2黑子1白子}
第一次 1某人射击目标3次,记Ai={第i次击中目标}(i=1,2,3) ,用A1, A2, A3表示下列事件（1） 仅有一次击中目标 （2）至少有一次击中目标 （3）第一次击中且第二 三次至少有一次击中 （4） 最多击中一次
（1）A1 A2 A3 A1A2 A3 A1 A2 A3
（2）A1 A2 A3
(2) P{0.4 X 0.6} 2xdx 0.62 0.42 0.4
(3) P{| X 0.5 | a} P{a 0.5 X a 0.5} 0.4
P(AB) 0.1
(2)
A B A AB
A AB P( A B) P( A) P( AB) 0.6
6 设 P(A) P(B) 1 , 求证 P( AB) P( AB)
2
证明 P(A B) P(A) P(B) P(AB)
P(A B) 1 P(AB)
P(A B) 1 P(A B) 1 P(AB)
P{X 4} C5400 0.006 4 • (1 0.006 )496
6 一本合订本100页，平均每页上有2个印刷错 误，假定每页上的错误服从泊松分布,计算合订 本各页错误不超过4个的概率 .
解 X-----合订本各页错误, 则 2
X ~ P(2)
P( X 4) 4 2k e2 e2 2e2 22 e2 23 e2 24 e2
（3）第二次取白球 （4）恰有两次取红球
（5） 后两次至多有一次取红球
.
（1） A1A2
（2） A1 A2 A3
（3） A2
（4） A1A2 A3 A1 A2 A3 A1A2 A3
（5） A2 A3 A2 A3 A2 A3
3 随机抽查三件产品，A={三件中至少有一件废品} B={三件中至少有二件废品} C={三件正品}，问
2白球, 3红球
P( A1A2 A3 ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 ) 234 567
3 10件产品中有7件正品，3件次品（1）不放回
地每次从中取一个，共取三次，求取到3件次品
的概率 （2）有放回地每次从中取一个，共取三
次，求取到3件次品的概率
.
解 Ai={第i次取次品} （i=1，2，3）
3
1
(1)n 5
n 5 1 1
3 4
1
a1(1 qn 1 q
5
所以此表不是分布表
2 已知离散型随机变量的分布律如下,求常数a=?
(1)
P{X m} a 5
m=1,2,3…25
(2) P{X m} a m=0,1,2,3…
m!
解 (1) a 25 1
5
(2)注意到:
a1 5
1 1 1 1 ... 1 ... e
解 A={ 其中至少有1个白球}
B= {其中至多有2个白球}
P(
A)
1
P(
A)
1
C95 C152
取5个球
3个白球, 9个红球
P(B)
1
P(B)
1
C33C92 C152
5设A,B为两个事件,且P(A)=0.5 P(B)=0.4
P(A+B)=0.8 求 (1) P( A B) (2)P( AB)
解 P(A B) P(A) P(B) P(AB)
（1）P( A1A2
A3
)
P(
A1 ) P(
A2
|
A1 ) P(
A3
|
A1 A2
)
3 10
2 9
1 8
（2）P(
A1 A2
A3
)
P(
A1 ) P(
A2
|
A1)P( A3
|
A1 A2
)
3 10
3 10
3 10
4 100件产品中有10件次品90件正品，每次取 1件，取后不放回，求第三次才去到正品的概率
0.8 0.9 0.80.9
(3) P(AB AB) P(AB) P(AB) P(A)P(B) P(A)P(B)
0.80.1 0.20.9
4 甲,乙,丙三人独自破译某个密码,他们各自破 译的概率是1/2,1/3,1/4,求密码被破译的概率
解 A={密码被甲破译} B={密码被乙破译} C={密码被丙破译} {密码被破译}=A+B+C
B={加工出来的零件为次品}
P(B) P(A1 A2 A3) 1 P(A1 A2 A3 A4) 1 P(A1 A2 A3 A4)
1 P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) 1 (1 2%)(13%)(1 4%)(15%)
6 3次独立重复试验,事件A至少出现一次的概率为 63 ,求A在一次试验中出现的概率
x 6
P{2 a 6} 4 5
0 x0
2设随机变量X的概率密度为
p(x) Cx 0 x 1
0 x 1
(1)求常数C (2) P{0.4<X<0.6}(3)若P{| X 0.5 | a} 0.4 ,求a
(4) 若 P{X b} P{X b} ,求b
解 (1) c=2
0.6
33 25 8
=
200 200 200
1 4
3 从一副扑克牌的13张红桃中,一张接一张有放
回抽取3次,求 (1) 三张号码不同的概率 .
(2) 三张中有相同号码的概率
.
解 A={三张号码不同} B={三张中有相同号码}
P(
A)
13
12 133
11
P(
B)
1
P(
A)
1
13
12 133
11
4 袋中有9红球3白球,任取5球,求(1) 其中至少有1 个白球的概率(2) 其中至多有2个白球的概率
A B AC A C A B
各表示什么事件（用文字描述）
解 A ----- 三件产品全为正品
B -----三件中至多一件废品
AC S
A B----恰有一件废品
4 下列各式是否成立 （1)（A-B)+B=A （2） (A+B)-C=A+(B-C）
(1)(A B) B A B
5 下列各式说明什么关系？