线性代数第四章ppt课件
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线性代数之第4章.向量空间与线性变换
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
Rn的基与向量关于基的坐标 显然Rn的基不是唯一的，而α关于给定的基的坐标是唯 一确定的。以后，我们把n个单位向量组成的基称为自 然基或标准基。 在三维几何向量空间R3中，i, j, k是一组标准基，R3中任 一个向量α可以唯一地表示为： α＝a1i +a2j +a3k 有序数组(a1, a2, a3 )称为α在基i, j, k下的坐标。如果α的 起点在原点，(a1, a2, a3 )就是α的终点P的直角坐标（以 后我们常利用R3中向量α与空间点 P 的一一对应关系， 对Rn中的一些问题及其结论在R3中作几何解释）。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换举例 解：由 β1 ε1 2ε2 ε3
β2 ε1 ε2 β ε ε3 3 1
即
1 1 1 ( β1 , β2 , β3 ) ( ε1 , ε2 , ε3 ) 2 1 0 1 0 1
n n
只有零解xj＝0 (j=1, 2, … , n) 。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换 由于α1, α2, „, αn线性无关，由上式得：
a x
j 1 ij
n
j
0 i 1, 2, , n
因此，前方程只有零解（即上面齐次线性方程组只有零 解）的充要条件是上面齐次线性方程组的系数行列不等 于零，即定理中条件式成立。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换 定义：设Rn的两组基B1={α1,α2,… ,αn}和 B2={η1,η2,… ,ηn}满足下式式的关系，
a11 a η1, η2 , , ηn α1, α2 , , αn 21 an1 a12 a1n a22 a2 n α α , , α A 1, 2 n an 2 ann
高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)
1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组 的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）以非零常数k乘以方程组中某个方程； （3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程 上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组 与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯 形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个 未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫 自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行 变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形， 得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知 是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要 取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理 定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的
线性代数第四章第一节向量组及其线性组合课件
矩阵方程组 AX = B 有解
R( A) R( A,b)
R(A) R(A, B) R(B) R( A)
R( A) R(B) R( A, B)
知识结构图
n维向量 向量组 向量组的线性组合 向量组的线性表示 向量组的等价
向量组与矩阵的对应
判定定理及必要条件 判定定理
存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ，使 AP1 P2 …, Pl = B
把 P 看成
存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B
是 线性表示的
系数矩阵
矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
同理可得
r
A~ B
矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) ≤ R(A) （P.85 定理3） 因为 R(B) ≤ R(A, B)
1
1 0 0
0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
0 0 0
1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
3
x1 x1
4x2 x3 x2 2x3
5 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
(
A,
b)
1
2
1
0
r
~
R( A) R( A,b)
R(A) R(A, B) R(B) R( A)
R( A) R(B) R( A, B)
知识结构图
n维向量 向量组 向量组的线性组合 向量组的线性表示 向量组的等价
向量组与矩阵的对应
判定定理及必要条件 判定定理
存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ，使 AP1 P2 …, Pl = B
把 P 看成
存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B
是 线性表示的
系数矩阵
矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
同理可得
r
A~ B
矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) ≤ R(A) （P.85 定理3） 因为 R(B) ≤ R(A, B)
1
1 0 0
0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
0 0 0
1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
3
x1 x1
4x2 x3 x2 2x3
5 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
(
A,
b)
1
2
1
0
r
~
线性代数第四章线性方程组课件
方程组 AX 0 的两个基础解系， 则由这两个基础解
系分别确定的解集合
S {k11 k22 ktt | k1, k2, 与 T {l11 l22 lt t | l1,l2,
是相等的，即 S T．
, kt是任意常数} , lt是任意常数}
定理5 设 A 是一个 m n矩阵，若齐次线性方程组
一个解．
定理8 设 1,2 是方程组 AX 的两个解，则 1 2 是 AX 导出组 AX 0 的一个解．
由这两个结果， 我们能够得到非齐次线性方程 组解的结构定理．
定理9 设矩阵 A 是一个 mn矩阵．若非齐次线性
方程组 AX 有解， 令 0是 AX 的某一个解
（通常称为特解）．
k1, k2, , ks 是任意常数， 则
k11 k22 kss
也是方程组的解． 即齐次线性方程组解的线性组合
还是方程组的解．
记齐次线性方程组 AX 0的解集合为 S ， 即
S { (c1,c2, ,cn)T | A 0}.
那么，上面的定理 3 就可以表述为：
对于任意的 1, 2 S ， k1, k2是两个任意常数，有
1）当 R(A) R(A) n 时，0是 AX 唯一的解； 2）当 R(A) R(A) n 时，AX 的导出组 AX 0 存在无穷多解， 则 AX 的解集合为 S {0 k11 k22 kss | k1, k2, , ks是任意常数}， 其中 1,2, ,s是 AX 0 的一个基础解系．
是线性无关的．
1, 2, , n
定理2（齐次线性方程组有非零解的判别定理） 齐
次线性方程组 AX 0 有非零解的充分必要条件是
它的系数矩阵 A 的秩 R(A) n ．
推论1 如果齐次线性方程组 AX 0 中的方程个数
系分别确定的解集合
S {k11 k22 ktt | k1, k2, 与 T {l11 l22 lt t | l1,l2,
是相等的，即 S T．
, kt是任意常数} , lt是任意常数}
定理5 设 A 是一个 m n矩阵，若齐次线性方程组
一个解．
定理8 设 1,2 是方程组 AX 的两个解，则 1 2 是 AX 导出组 AX 0 的一个解．
由这两个结果， 我们能够得到非齐次线性方程 组解的结构定理．
定理9 设矩阵 A 是一个 mn矩阵．若非齐次线性
方程组 AX 有解， 令 0是 AX 的某一个解
（通常称为特解）．
k1, k2, , ks 是任意常数， 则
k11 k22 kss
也是方程组的解． 即齐次线性方程组解的线性组合
还是方程组的解．
记齐次线性方程组 AX 0的解集合为 S ， 即
S { (c1,c2, ,cn)T | A 0}.
那么，上面的定理 3 就可以表述为：
对于任意的 1, 2 S ， k1, k2是两个任意常数，有
1）当 R(A) R(A) n 时，0是 AX 唯一的解； 2）当 R(A) R(A) n 时，AX 的导出组 AX 0 存在无穷多解， 则 AX 的解集合为 S {0 k11 k22 kss | k1, k2, , ks是任意常数}， 其中 1,2, ,s是 AX 0 的一个基础解系．
是线性无关的．
1, 2, , n
定理2（齐次线性方程组有非零解的判别定理） 齐
次线性方程组 AX 0 有非零解的充分必要条件是
它的系数矩阵 A 的秩 R(A) n ．
推论1 如果齐次线性方程组 AX 0 中的方程个数
线性代数第四章齐次线性方程组PPT
0
b1r b2r
brr
x1 x2
xr
b1,r 1 b2,r 1 br ,r 1
.
....
....
.
(4.6)
系数行列式D b11b22 brr 0，
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由 G r a m e r 法 则 ，( 4 . 6 ) 有 唯 一 解 ，得 ( 4 . 2 )
的 一 个 解X1 (c11 , c21 , , cr1 ,1,0, ,0)T 。
向量的(I)线性表出 ，故线性相关。
(3) 若 1 , 2 , , n r ( III )是AX = 0的线性无关 的解， 是AX = 0的任一解， 1 , 2 , , nr , 线性 相关。因而 可由(III)线性表 出，(III)是
AX = 0的基础解系。
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例2 求齐次线性方程组
(2)--3)-(4)-(3)-(2)-(1) 于是, 以上4个命题相互等价.
推论：齐次线性方程组 (4.2) 只有零解 r An
2. 齐次线性方程组解的性质 (解向量的和,数乘仍是 解)
性质1 若 X1,X2是 A X0(4.2)的,解 则 x k 1 X 1 k 2X 2 是 A X 0(4 .2 )的 . 解
2x1x122x2x2x33
2x4 4x5 x3 2x5 0
0
4x1 2x2 7x3 4x4 2x5 0
的通解。
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解：写出系数矩阵A，
并作初等变换化简
1 2 1 2 A 2 2 3 0
4 2(1) ( 2 )
2 4 (1 ) ( 3 )
4 2 7 4 2
同济大学线性代数第四章PPT课件
讨论它们的线性相关性.
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m
线性代数课件PPT复习四五章
0 0 0
1
a1 a2
1
an
0 0 0
0 0 0
a1 a2
1
1
an
a1
a2 a1
a3 a2
an an1
此即 在基底
1,
2
,
,
n
下的坐标.8
例3 在R3中取两组基
1 (1,2,1)T ,2 (2,3,3)T ,
1 (3,1,4)T , 2 (5,2,1)T ,
对应.
17
0 1 0
0
故在该基底下的矩阵为
0
A
0
1
0
0
0
0
1
0 0 0
0
A的特征多项式为
1 0
0
0 1
0
| E A |
n
00 0
1
00 0
故A的特征根为 ＝0 (n重)
把＝0 代入 ( E A)X 0 得基础解系1 (1,0, ,0)T
因此，A的属于特征根＝0的特征向量为
20
1. 计算A的特征多项式 | E−A| ; 2. 求特征方程 |E−A| = 0的全部根1, 2, ···, n, 也就
是A的全部特征值;
3. 对于特征值i, 求齐次方程组(iE−A)x = 0 的非零 解, 也就是对应于i 的特征向量.
[求出一组基础解系，它们就是对应于该特征根的线性无关
特征向量，它们的所有非零线性组合即为属于该特征根的
全部特征向量.]
注意：一般说求特征向量是求全部的特征向量，而 且要保证特征向量不为零. 如 k1X1+k2X2 (k1, k2不同时为0)
16
4. 掌握相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化 的充要条件及方法.
(线性代数)第四章 矩阵的特征值和特征向量
an − a1
∴η1
=
a2 − a1
1 0 0 0 ,η 2 = 1 ,L ,η n −1 = 0 M M M 0 1 0
对应λ=0的 =0的 特征向量为 k1η1 + L + kn −1η n −1 , k ,L , k 不全 n −1 1
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.1 相似矩阵
§4.1 相似矩阵 一. 相似矩阵的定义和性质 AP= 都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P 设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使P−1AP=B, 则称矩阵A 相似. 记为A 相似变换矩阵. 则称矩阵A与B相似. 记为A~B. P为相似变换矩阵. 相似是相抵的特例 相似必相抵,反之不然. 特例: 注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然. 注2: 矩阵间的相似关系是一种等价关系 (1) 反身性: A~A; 反身性: P−1AP =B (2) 对称性: A~B ⇒ B~A; 对称性: PBP−1 =A (3) 传递性: A~B, B~C ⇒ A~C. 传递性: 相抵关系下的不变量： 相抵关系下的不变量：矩阵的秩 相似关系下的不变量： 相似关系下的不变量： 矩阵的秩
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.2 特征值与特征向量
解: |λE–A| = (λ+1)(λ –2)2. +1)( 所以A 所以A的特征值为λ1= –1, λ2= λ3= 2. (–E–A)x = 0的基础解系: ξ1=(1,0,1)T. 的基础解系: 对应于λ1= –1的特征向量为kξ1 (0≠k∈R). 的特征向量为k (0≠ (2E–A)x = 0的基础解系: (2E 的基础解系: ξ2=(0, 1, –1)T, ξ3=(1, 0, 4)T. =2的特征向量为 的特征向量为k 对应于λ2=λ3 =2的特征向量为k2ξ2 +k3ξ3 (k2, k3不同时为零). 不同时为零).
∴η1
=
a2 − a1
1 0 0 0 ,η 2 = 1 ,L ,η n −1 = 0 M M M 0 1 0
对应λ=0的 =0的 特征向量为 k1η1 + L + kn −1η n −1 , k ,L , k 不全 n −1 1
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.1 相似矩阵
§4.1 相似矩阵 一. 相似矩阵的定义和性质 AP= 都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P 设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使P−1AP=B, 则称矩阵A 相似. 记为A 相似变换矩阵. 则称矩阵A与B相似. 记为A~B. P为相似变换矩阵. 相似是相抵的特例 相似必相抵,反之不然. 特例: 注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然. 注2: 矩阵间的相似关系是一种等价关系 (1) 反身性: A~A; 反身性: P−1AP =B (2) 对称性: A~B ⇒ B~A; 对称性: PBP−1 =A (3) 传递性: A~B, B~C ⇒ A~C. 传递性: 相抵关系下的不变量： 相抵关系下的不变量：矩阵的秩 相似关系下的不变量： 相似关系下的不变量： 矩阵的秩
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.2 特征值与特征向量
解: |λE–A| = (λ+1)(λ –2)2. +1)( 所以A 所以A的特征值为λ1= –1, λ2= λ3= 2. (–E–A)x = 0的基础解系: ξ1=(1,0,1)T. 的基础解系: 对应于λ1= –1的特征向量为kξ1 (0≠k∈R). 的特征向量为k (0≠ (2E–A)x = 0的基础解系: (2E 的基础解系: ξ2=(0, 1, –1)T, ξ3=(1, 0, 4)T. =2的特征向量为 的特征向量为k 对应于λ2=λ3 =2的特征向量为k2ξ2 +k3ξ3 (k2, k3不同时为零). 不同时为零).
线代第四章优质获奖课件
= 2(A2)x–3Ax +4x
= 22x–3x +4x
= (22 –3 +4)x
= ()x,
所以()为(A)旳特征值.
例6. 设1, 2, …, m为方阵A旳m个不同旳特征值,
p1, p2, …, pm为依次相应于这些特征值旳特
征向量, 证明p1, p2, …, pm线性无关.
证明: 若k1p1 +k2p2 +…+kmpm = 0, 则
线性代数
第四章 矩阵旳特征值和特征向量
§4.1 相同矩阵
一. 问题
习题1(B). 23
设P1AP = , P = 1 4 , = 1 0 ,
11
02
求A11.
A = PP1
11 =
1 0 0 211
A11 = P11P1
第四章 矩阵旳特征值和特征向量
§4.1 相同矩阵
二. 相同矩阵旳定义
设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使得 P 1AP =B, 则称矩阵A与B相同. 记为A~B. P称为相同变换矩阵或过渡矩阵.
第四章 矩阵旳特征值和特征向量
§4.4 实对称矩阵旳相同对角化
§4.4 实对称矩阵旳相同对角化
一. 实对称矩阵旳特征值和特征向量
定理4.7. 实对称矩阵旳特征值均为实数.
定理4.8. 设1, 2是实对称矩阵A旳两个不同
旳特征值, p1, p2是相应与它们旳特 征向量, 则p1与p2正交.
实际上, 1 p1T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA, 从而1p1Tp2 = p1TAp2 = p1T(2p2) = 2p1Tp2. 于是(1–2) p1Tp2 = 0, 但是1 2, 故p1Tp2 = 0.
《线性代数》第四章：线性方程组-PPT课件
三角形线性方程组要求方程组所含方程的个数等于未知量的个数且第个方程第个变量的系数三角形线性方程组是一类特殊的情形解法也简单由克莱姆法则可以判断其解惟一一般只需要从最后一个方程开始求解逐步回代就可求出方程组的全部解11定义416线性方程组中自上而下的各方程所含未知量个数依次减少这种形式的方程组称为n元阶梯形线性方程组
❖ 例如 axbyc 是一个二元方程，a , b 不同时
为零时，方程有无穷多解，如 b0时，x0,yc
b
为二元方程 的一个特解， axbyc
b0 时 ， xk,ycakk R
bb
为二元方程的通解；当 a , b 同时为零,若时c ，0
方程无解；当
a同, b 时为零,若 时c ， 0 方程
有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。
❖ 消元法的目的就是利用方程组的初等变换将 原方程组化为阶梯形方程组, 由于这个阶梯形 方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方 程组得到的解就是原方程组的解。
❖ 注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的 步骤并不是惟一的, 所以，同一个方程组的行 阶梯形方程组也不是唯一的。
❖ n元线性方程组的一般形式为
cnnxn 0
❖ 其中 crr 0 则线性方程组有唯一解，即仅有零解。
❖ (2) 当 r n 时，方程组可以化为
c11x1 c12x2 c1rxr c1nxn 0
c22x2 c2rxr c2nxn 0 ..........................
crrxr crnxn 0
❖ 其中 crr 0 将其改写成
a11x1a12x2 a1rxrb1a1r1xr1 a1nxn a22x2 a2rxrb2a2r1xr1 a2nxn arrxrbrarr1xr1 arnxn
❖ 例如 axbyc 是一个二元方程，a , b 不同时
为零时，方程有无穷多解，如 b0时，x0,yc
b
为二元方程 的一个特解， axbyc
b0 时 ， xk,ycakk R
bb
为二元方程的通解；当 a , b 同时为零,若时c ，0
方程无解；当
a同, b 时为零,若 时c ， 0 方程
有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。
❖ 消元法的目的就是利用方程组的初等变换将 原方程组化为阶梯形方程组, 由于这个阶梯形 方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方 程组得到的解就是原方程组的解。
❖ 注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的 步骤并不是惟一的, 所以，同一个方程组的行 阶梯形方程组也不是唯一的。
❖ n元线性方程组的一般形式为
cnnxn 0
❖ 其中 crr 0 则线性方程组有唯一解，即仅有零解。
❖ (2) 当 r n 时，方程组可以化为
c11x1 c12x2 c1rxr c1nxn 0
c22x2 c2rxr c2nxn 0 ..........................
crrxr crnxn 0
❖ 其中 crr 0 将其改写成
a11x1a12x2 a1rxrb1a1r1xr1 a1nxn a22x2 a2rxrb2a2r1xr1 a2nxn arrxrbrarr1xr1 arnxn
《线性代数》课件第4章
此时A的第j列元素恰为αj表示成β1, β2,…, βt的线性组合时的
系数.
证明：若向量组a1,a2,…,as可由β1, β2,…, βt线性表示，即每个ai
均可由β1, β2,…, βt线性表示，则有
α1 = a11β1 + a21β2 + + at1βt = (β1, β2,
, βt )⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝aaa12t111 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,
我们有下面的定理： 定理 1.1 矩阵的秩数=行秩数=列秩数.
例1.3 设
α1 = (1, 2, 0,1)T , α2 = (0,1,1,1)T , α3 = (1, 3,1, 2)T , α4 = (1,1,−1, 0)T
求此向量组的秩数及一个极大无关组.
解 考虑向量组构成的矩阵
A=(α1,
α2,
我们有下面的命题：
命题1.
1. α1, α2,…, αs线性无关； 2.方程x1α1 + x2α2 + … + xxαs只有零解 3. 对于任意一组不全为零的数c1,c2,…,cs均有
c1α1 + c2α2 + + csαs ≠ 0, 4. 对于任意一组数c1,c2,…,cs, 若c1α1 + c2α2 +
定义1.4 两个可以互相表示的向量组称为等价向量组.
容易看出： 1. 向量组的等价是一个等价关系； 2. 等价向量组的秩数相同； 3. 任何向量组等价于其极大无关组; 4. 两个向量组等价当且仅当它们的极大无关组等价.
最后我们给出化简向量组的一种技巧 为此先给出一个定义
定义1.5 设α1, α2,…, αs和β1, β2,…, βs是两个向量组， 若对于任意一组数c1,c2,…,cs均有
线性代数_第四章
从本例中,我们可看出,对角矩阵中的主对角
元素恰为矩阵A的特征值.相似因子阵P的各
列恰为A的对应于各特征值的特征向量.
定理7 n阶矩阵A相似于对角矩阵的充 要条件是A有n个线性无关的特征向量.
证明: (必要性)
设A相似于对角矩阵D=diag{l1, l2, …,ln} ,
则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=D，即AP=PD。
即可求得对于该特征值的特征向量.
例4 设三阶方阵
1 2 2 A= 2 1 2 2 2 1
求A的特征值与对应于各特征值 的全部特征向量.
解: 求解特征方程|lI – A|=0,
l 1
| l I A |= 2 2 2 2 2 = (l 1) 2 (l 5) l 1
l 1
2
证明: 设A~B,则存在可逆矩阵X,使得B=X-1AX.
于是:
|B|=|X-1AX|=|X-1||A||X|=|A|
故行列式是相似不变量.
定理3
ห้องสมุดไป่ตู้
矩阵的迹是相似不变量.
定理4 矩阵的秩是相似不变量.
证明: 设矩阵A, B相似, 从而有A与B等价. 故A与B的秩相等. 因此, 矩阵的秩是相似不变量.
定理4 如果l1, l2, …,ls如(s<n)是n阶方阵A的
不同特征值,而 X , X , i1 i2
, X iri (i=1,…,s)是
A的对应于特征值li的ri个线性无关的特征向 量，那么向量组
X11 , X12 , , X1r1 , X 21, X 22 ,
, X 2r2
, X s1 , X s 2 ,
对P进行分块有：P=(X1, X2, …,Xn)，代入上式
线性代数第四讲PPT课件
1 1 0 -5 D
记 Aij =(－1)i+j Mij , Aij 称为元素 aij 的代数余子式。
2020/11/23
2
a11 a12 a13 a14 例如四阶行列式 D a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
元素 a32 的余子式是：
a11 a13 a14 M32 a21 a23 a24 ,
3A11 5A12 3A13 27.
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6
3 5 3 例2 计算行列式 D 0 1 0
7 72
解 按第二行展开，得
D1(1)223 3 72
27.
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7
例3 计算行列式
3 1 1 2 5 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3
保留 a33 ，把第 3 行其余元素变为 0 ，然后按 3 行展开：
40.
2020/11/23
10
例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 1 1
x1 Dn x12
x2 xn
x22 xn2 (xi xj ). (1 )
nij1
比如
x1n1 x2n1 xnn1
1 1 11
4 - 1 3 2 120 16 1 9 4
64 - 1 27 8
2020/11/23
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例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1
x1 Dn x12
1 1
x2 xn
x22 xn2 (xi xj ). (1 )
nij1
x1n1 x2n1 xnn1
证 用数学归纳法
1 D2 x1
武汉大学《线性代数》04 第四章.ppt
2 1
,
a3
1 2
,
b
3 3
则 b 能由 a1 , a2 , a3 线性表示.
解方程组 x1a1 x2a2 x3a3 b
即解方程组
2 x1 x1 2
x2 x2
x3 x3
0 3
x1 x2 2 x3 3
2020/10/15
10
得
x1 1 1
x2 x3
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14
定义3: 设向量组 A :1,2 , ,m 及 B : 1, 2 , , l
若 B 组中的每一个向量都能由向量组 A 线性表示， 则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。
若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示， 则称向量组 A 与向量组 B 等价。
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第四章 向量组的线性相关性
2020/10/15
1
§1 向量组及其线性组合
定义1：n 个数 a1 , a2 , , an 所组成的有序数组
称为一个 n 维向量，这 n 个数称为该向量 的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量。
这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵。
2020/10/15
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8
定义2：设向量组 A :1,2 , ,m , 和向量 b 若存在一组实数 1,2 , m , 使得 b 11 22 mm
则称向量 b 是向量组 A的一个线性组合， 或称向量 b 能由向量组 A 线性表示。
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9
例如： 2
1
1 0
a1
1 1
,
a2
称为 n 维Euclid空间 Rn 中的 n-1维超平面。
线代第四章课件
n , 则有
( 2) 12 n A .
矩阵A的迹
(1) 1 2 n a11 a22 ann ;
5. 设 i 为 方 阵 A 的一 个 特 征值 , 则 由 方 程
(i I A) x 0 可求得非零解 x pi ,那么 pi 就是
以a 左乘上式两端 得 1 1 1 0 ,
T 1
T
由 1 0 1 1 1
T
2
0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1 , 2 ,, r 线性无关.
施密特正交化方法
若a1, a2 ,, ar 为R 的线性无关向量组 , b1 a1
二、向量的长度及性质
定义2
令
x
x, x
x x x ,
2 1 2 2 2 n
称 x 为n 维向量 x的长度 或范数 .
向量的长度具有下述性质：
1. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
称(x,y)为向量的内积（点乘x . y）
说明
1 nn 4 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． 2 内积是向量的一种运算，如果x，y都是列 向量，内积可以用矩阵记号表示为
x, y xT y.
内积的运算性质 （其中x，y，z为n维向量，λ为实数） (1) (x, y)=(y, x) (2) (λx , y)= λ(x, y) (3) (x+y, z)=(x, z)+ (y, z) (4) (x,x)≥ 0, 且当x≠0时有 (x, x)>0
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=(a1, a2,…, an)
7
向量的和:设=(a1, a2,…, an)， =(b1, b2,…, bn), 则与的和为
+ =(a1+ b1, a2+ b2 ,…, an+ bn) 数乘向量:设=(a1, a2,…, an )，k是任一实数， 则数 k与向量的积为
k =k(a1, a2,…, an) =(ka1, ka2,…, kan)
2
§4.1 向量空间和子空间的定义 §4.2 线性组合与线性表出 §4.3 线性相关与线性无关 §4.4 向量空间的基和维数 §4.5 极大无关组和向量组的秩 §4.6 矩阵的秩 §4.7 线性方程组解的结构 §4.8 基变换和坐标变换*
3
§4.1 定义及性质
一、 向量空间的定义 定义4.1.1 任意n个(实)数a1, a2,…, an 构成的如 下的n元有序组
线性代数第四章
向量之间关于这两个运算的关系, 即所谓的线 性关系则是线性代数所要研究的核心内容. 利用 这些理论去解释线性方程组求解过程, 将会发现 对线性方程组的系数矩阵施行初等行变换并将其 化为行阶梯型时, 这些阶梯型矩阵中其元素不全 为零的行的数目其实是该矩阵行向量间和列向量 间所共有的一个十分重要的数字特征, 从而我们 能够更深入地了解线性方程组解的结构.
11
二. 向量子空间
定义4.1.3 设W是的Rn一个非空子集. 如果
(i) 对任意的, ∈W，均有 + ∈W ; (ii) 对任意的∈W 和任意的k∈R，有k∈W.
则称W是Rn的一个子空间.
子空间中向量加法和数乘向量满足向量空间定 义中的八条运算律. 从而 将向量空间和它的子空 间均称为向量空间.
条运算律)称为n维实向量空间.
1． + = +
（加法交换律）
2． +(+)=(+)+
（加法结合律）
3． +O=
4． +(-)=O
5． 1=
6． k(l)=(kl)
7. k( + )=k+k
8. (k+l)= k+l
其中, , , 是任意向量, k, l是任意的实数.
10
特别地我们有：设, 是Rn中任意两个向量，则 (i) 0 =O，kO=O；k为任意实数； (ii) 如k=O，那么k=0 或者=O； (iii) 如+ =O，那么 = ； (iv) (1) =
15
，
定义4.2.2 设 1, 2, …, m, Rn, 如果存在数
l1, l2, …, lm 使得
=l11+l22+…+lmm 则称向量 可由向量组1, 2, …, m线性表出. 注. 显然, 一向量 可由向量组1, 2, …, m 线性 表出当且仅当 也是向量组1, 2, …, m 的一个
线性组合.
向量的差:设=(a1, a2,…, an)， =(b1, b2,…, bn), 则与的差为
=(a1 b1, a2 b2 ,…, an bn)
8
显然, 关于向量的加法和数乘, 定理2.1.1中运 算律成立. 我们现在定义：
9
定义4.1.2 所有n维实向量的集合Rn中定义了如上
的向量加法和数乘向量两种运算, (并满足如下的8
12
例1 证明: 如果W是Rn的一个子空间, 则必有OW.
例2 设S为R2中所有形如
a
3a
(a为任意实数) 的向
量的集合, 验证S是R2的一个子空间.
例3 验证下述集合是Rn(n2)的一个子空间. S (a1, a2, L , an1, 0) | a1, a2, L , an1 R
13
例4 验证如下形式的向量的全体构成的集合 不是 的子空间.
16
例4.2.1 线性方程组的向量形式: 给定一线性方
程组
a11x1 a12 x 2 a1n xn b1 a21x1 a22 x2 a2n xn b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
令系数矩阵 [aij]mn的列向量组为1, 2, …, n, 而 且令向量 =(b1, b2, …, bm)T,则该线性方程组可以
(a1, a2, 1), a1, a2 R
明显地， Rn是Rn自身的子空间; 另外, 只含零 向量的子集 ={O }也是Rn 的一个子空间.
14
，
§4.2 线性组合与线性表出
一、 线性组合与线性表出
定义4.2.1 设 1, 2, …, mRn, k1, k2, …, km
为m个数, 称向
k11+k22+…+kmm 为向量组1, 2, …, m的一个线性组合.
6
向量的相等: 两个向量=(a1, a2,…, an) 和 =(b1, b2,…, bn) 相等，当且仅当 ai= bi, i=1, 2, …, n, 并记为= .
零向量:分量全为零的向量称为零向量，记为 O=(0, 0, …, 0)
负向量:任一向量=(a1, a2,…, an)的各分量反号得 到的向量称为 的负向量，记为
(a1, a2,…, an) 称为n维(实)向量, 每一ai称为此向量的第i个分量.
如上定义的n维向量也称为n维行向量. n维向 量也可以用列的形式写出, 称为列向量:
4
其中，b1, b2,…, bn 为任意（实）数. 如无特别申 明，n维向量均为实向量.
5
通常, 记为R所有实数的集合, 并记Rn为所有n维行 向量的集合或所有n维列向量的集合. 现考虑为所 有n维行向量的集合的情形（同理可讨论为所有n 维列向量的集合的情形）.
表示为以下向量形式：
x11+ x22+…+xnn =
从而, 线性方程组(4.2.1)是否有解当且仅当该方程
组的常数项向量是否可由其系数矩阵的列向量组 1, 1, …, n线性表出.
17
例4.2.2 试判定向量=(1Fra bibliotek 2, 0, 2)T是否可由向
量组
1=(1, 1, 1, 0)T, 2=(1, 1, 0, 1)T, 3=(1, 0, 1, 1)T, 4=(0,1, 1, 1)T
线性表出.
18
二、生成子空间*
设 1, 2, …, m 是 Rn 中任一组向量. 构造集合 span(1, 2, …, m)= {k11+k22+…+kmm | kiR, i=1, 2, … , m}
即 span(1, 2, …, m)是 1, 2, …, m 的所有线性
组合的集合.
7
向量的和:设=(a1, a2,…, an)， =(b1, b2,…, bn), 则与的和为
+ =(a1+ b1, a2+ b2 ,…, an+ bn) 数乘向量:设=(a1, a2,…, an )，k是任一实数， 则数 k与向量的积为
k =k(a1, a2,…, an) =(ka1, ka2,…, kan)
2
§4.1 向量空间和子空间的定义 §4.2 线性组合与线性表出 §4.3 线性相关与线性无关 §4.4 向量空间的基和维数 §4.5 极大无关组和向量组的秩 §4.6 矩阵的秩 §4.7 线性方程组解的结构 §4.8 基变换和坐标变换*
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§4.1 定义及性质
一、 向量空间的定义 定义4.1.1 任意n个(实)数a1, a2,…, an 构成的如 下的n元有序组
线性代数第四章
向量之间关于这两个运算的关系, 即所谓的线 性关系则是线性代数所要研究的核心内容. 利用 这些理论去解释线性方程组求解过程, 将会发现 对线性方程组的系数矩阵施行初等行变换并将其 化为行阶梯型时, 这些阶梯型矩阵中其元素不全 为零的行的数目其实是该矩阵行向量间和列向量 间所共有的一个十分重要的数字特征, 从而我们 能够更深入地了解线性方程组解的结构.
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二. 向量子空间
定义4.1.3 设W是的Rn一个非空子集. 如果
(i) 对任意的, ∈W，均有 + ∈W ; (ii) 对任意的∈W 和任意的k∈R，有k∈W.
则称W是Rn的一个子空间.
子空间中向量加法和数乘向量满足向量空间定 义中的八条运算律. 从而 将向量空间和它的子空 间均称为向量空间.
条运算律)称为n维实向量空间.
1． + = +
（加法交换律）
2． +(+)=(+)+
（加法结合律）
3． +O=
4． +(-)=O
5． 1=
6． k(l)=(kl)
7. k( + )=k+k
8. (k+l)= k+l
其中, , , 是任意向量, k, l是任意的实数.
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特别地我们有：设, 是Rn中任意两个向量，则 (i) 0 =O，kO=O；k为任意实数； (ii) 如k=O，那么k=0 或者=O； (iii) 如+ =O，那么 = ； (iv) (1) =
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定义4.2.2 设 1, 2, …, m, Rn, 如果存在数
l1, l2, …, lm 使得
=l11+l22+…+lmm 则称向量 可由向量组1, 2, …, m线性表出. 注. 显然, 一向量 可由向量组1, 2, …, m 线性 表出当且仅当 也是向量组1, 2, …, m 的一个
线性组合.
向量的差:设=(a1, a2,…, an)， =(b1, b2,…, bn), 则与的差为
=(a1 b1, a2 b2 ,…, an bn)
8
显然, 关于向量的加法和数乘, 定理2.1.1中运 算律成立. 我们现在定义：
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定义4.1.2 所有n维实向量的集合Rn中定义了如上
的向量加法和数乘向量两种运算, (并满足如下的8
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例1 证明: 如果W是Rn的一个子空间, 则必有OW.
例2 设S为R2中所有形如
a
3a
(a为任意实数) 的向
量的集合, 验证S是R2的一个子空间.
例3 验证下述集合是Rn(n2)的一个子空间. S (a1, a2, L , an1, 0) | a1, a2, L , an1 R
13
例4 验证如下形式的向量的全体构成的集合 不是 的子空间.
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例4.2.1 线性方程组的向量形式: 给定一线性方
程组
a11x1 a12 x 2 a1n xn b1 a21x1 a22 x2 a2n xn b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
令系数矩阵 [aij]mn的列向量组为1, 2, …, n, 而 且令向量 =(b1, b2, …, bm)T,则该线性方程组可以
(a1, a2, 1), a1, a2 R
明显地， Rn是Rn自身的子空间; 另外, 只含零 向量的子集 ={O }也是Rn 的一个子空间.
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§4.2 线性组合与线性表出
一、 线性组合与线性表出
定义4.2.1 设 1, 2, …, mRn, k1, k2, …, km
为m个数, 称向
k11+k22+…+kmm 为向量组1, 2, …, m的一个线性组合.
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向量的相等: 两个向量=(a1, a2,…, an) 和 =(b1, b2,…, bn) 相等，当且仅当 ai= bi, i=1, 2, …, n, 并记为= .
零向量:分量全为零的向量称为零向量，记为 O=(0, 0, …, 0)
负向量:任一向量=(a1, a2,…, an)的各分量反号得 到的向量称为 的负向量，记为
(a1, a2,…, an) 称为n维(实)向量, 每一ai称为此向量的第i个分量.
如上定义的n维向量也称为n维行向量. n维向 量也可以用列的形式写出, 称为列向量:
4
其中，b1, b2,…, bn 为任意（实）数. 如无特别申 明，n维向量均为实向量.
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通常, 记为R所有实数的集合, 并记Rn为所有n维行 向量的集合或所有n维列向量的集合. 现考虑为所 有n维行向量的集合的情形（同理可讨论为所有n 维列向量的集合的情形）.
表示为以下向量形式：
x11+ x22+…+xnn =
从而, 线性方程组(4.2.1)是否有解当且仅当该方程
组的常数项向量是否可由其系数矩阵的列向量组 1, 1, …, n线性表出.
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例4.2.2 试判定向量=(1Fra bibliotek 2, 0, 2)T是否可由向
量组
1=(1, 1, 1, 0)T, 2=(1, 1, 0, 1)T, 3=(1, 0, 1, 1)T, 4=(0,1, 1, 1)T
线性表出.
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二、生成子空间*
设 1, 2, …, m 是 Rn 中任一组向量. 构造集合 span(1, 2, …, m)= {k11+k22+…+kmm | kiR, i=1, 2, … , m}
即 span(1, 2, …, m)是 1, 2, …, m 的所有线性
组合的集合.