换元法的常见形式

换元法的常见形式

在数学解题过程中，根据已知条件的特征，引入新的变量，对题目进行转化，形成一个用新变量表达的问题，通过解决新问题，来达到解决原问题的目的，这种解题方法叫做换元法。换元法的形式很多，但它们有一个共同特点，改变问题的结构形成新问题，为解决问题提供可能性，它是数学中转化和化归思想的一个重要体现。下面举例说明换元法的常见形式的应用。

一、三角换元

例1 已知224a b +=，22

9x y +=，求ax by +的最大值。 解 由224a b +=，可设2cos ,2sin a b αα==；

由229x y +=，可设3cos ,3sin x y ββ==.

于是6cos cos 6sin sin 6cos()6ax by αβαβαβ+=+=-≤

又当2()k k Z αβπ-=∈时，上式中等号成立。即ax by +的最大值是6.

一般地，题目中若有条件222(0)a b r r +=≥，常设cos ,sin a r b r αα==进行三角换元，将问题改变成一个三角函数有关的问题，再利用三角函数知识、方法进行解答，此方法称为三角换元。事实上，对于任意两个实数,x y ，在坐标平面上总有惟一的对应点A(,)x y 与之对应，设此点到原点的距离为r ，射线Ox 逆时针方向旋转到射线OA 时，所转过的最小正角为θ，则cos ,sin x r y θθ==。

例2 实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，求S 的最大值和最小值。 解 设cos ,sin x r y θθ==，则2245cos sin 5r r θθ-=，2545cos sin r θθ

=- 所以222

51045cos sin 85sin 2S x y r θθθ

=+===-- 所以当sin 21θ=时，max 103S =；当sin 21θ=-时，min 1013S =. 二、增量换元

若题目的已知中有形如a b >的条件，则可考虑设,0a b t t =+>，将问题进行转化。此法称为增量换元，也叫设差换元。它的作用是将不等条件转化为相等条件，使得式子方便地进行运算变形。

例3 已知)1,0(,,∈z y x ，且2=++z y x . 1xy yz xz ++>求证

,,(0,1),,,(0,1),1,1,1x y z x y z αβγαβγ

∈∈=-=-=-证明由　存在　且

2(1)(1)(1)21x y z αβγαβγ++=-+-+-=++=由，得，即

(1)(1)(1)(1)(1)(1)

32()()1()11

xy yz xz xy yz xz αββγαγαβγαββγαγαββγαγ∴++=--+--+--=-+++++=+++>∴++>

三、分母换元

将分式的分母看成整体，用新的变量代替，从而可以较方便地进行分式的变形，达到解决问题的目的，不妨称之为分母换元。

例4 已知,,x y z 是正数，求证32

x y z y z x z x y ++≥+++ 证明 设,,a y z b x z c x y =+=+=+， 则,,222b c a a c b a b c x y z +-+-+-=

==. 所以222x y z b c a a c b a b c y z x z x y a b c

+-+-+-++=+++++ 3()()()2222222

b a

c a b c a b a c c b =+++++-3222222222b a c a b c a b a c c b ≥⋅+⋅⋅ 33222222222b a c a b c a b a c c b ≥⋅⋅⋅= 例5 已知1,1,1a b c >>>. 求证：222

12111

a b c b c a ++≥---. 证明：由1,1,1a b c >>>，可设1,1,1,0,0,0a x b y c z x y z >>>－＝－＝－＝.于是222222222

(2)(1)(1)(1)(2)(2)1114()412y a b c x y z x z b c a y z x y x

x y z x y z y z x y z x +++++=++≥+---=+≥⋅⋅⋅=＋

四、根式换元

对于根式用一个变量将其代替，即可把无理式问题转化为有理式问题，实现问题的转化，称之为根式换元。

例6 求函数43P x x =

-的值域。 解 设4a x b x =-=，则224a b +=，0a ≥，0b ≥.

在平面直角坐标系xoy 中，点(,)M a b 是圆弧

224(0,0)

x y x y

+=≥≥上的点，如图所示。

2

P a

==，所以P表示点(,)

M a b

到直线

:0

l x=的距离的2倍。过点(,)

M a b

作直线

:0

l x=的平行线l，则P表示直线

l与l的距离的2倍。设平

行直线

l与l的距离为d.

则当l过点A时（直线

1

l），d取最小值1，此时2

P=；当l与圆弧相切时（直线

2

l），d取最大值2，此时4

P=.

所以函数P=[2,4].

此题通过做,

a b

==问题转化为两直线距离问题，简明直观。当然由224

a b

+=，0

a≥，0

b≥可设2cos,2sin,0

2

a b

π

ααα

==≤≤则是三角换元，也可以解决问题。

五、式子的部分代换

将式子的一部分视为一个整体，用一个变量代替，将问题进行转化，达到解决问题的目的。不妨称之为式子的部分代换。它是上面根式换元的推广。

例7已知0,0,0

a b c

>>>，并且

222

111

1

111

a b c

++=

+++

.

求证abc≥

证明：设

222

111

,,

111

x y z

a b c

===

+++

，则01,01,01

x y z

<<<<<<

并且a b c

===又

222

111

1

111

a b c

++=

+++

，所以1

x y z

++=.

所以a===

同理b c

==

abc=

=≥=本例中，通过换元，使得复杂的已知条件三个分式的和为1，转化为看起来较简单的条件1

x y z

++=，便于将其应用于要证的结论，从而解决问题。

六、和差代换

对于任意两个实数,x y，总存在实数,a b使得,

x a b y a b

=+=-。这就是和差代换，利用它常可独辟溪径、简化问题。

例8实数,x y

满足22

2120

x xy y

-++=，求xy的最小值。

分析：注意到已知条件整理成2

())120

x y x y

-++=，设,

x a b y a b

=+=-，