二向应力状态分析解析法和图解法

1 方向角与应力分量的正负号规定
x' y'
正应力正负规定 拉应力为正压应力为负
切应力正负号规定
xy
使微元或其局部顺时针方向转动为正；
反之为负
yx
方向角的正负号规定
由 x正向转到截面外法线
逆时针 为正 反之为负
注意：方向角的定义
y 外法线
n
x
以及正负号规定
问题 已知原始单元体互相垂直面上的应力
2
排序??
-48.3MPa
1 6 .3 M 8 P 2 0 a , ,3 - 4 .3 M 8 Pa
2 面内最大切应力
y xy
x
xyx-630M 0MPP，aa, y -40MP,a
max
(x -y)22xy
2
3400
3 主平面的位置
y xy
x
代入 表达式可知
x 60MP，a y -40MP,a
二向应力状态分析解 析法和图解法
§7-3 二向应力状态分析？？---解析法
主应力（计算）、主平面（位置确 定！）
思路 ----分析任意斜截面上的应力 一 任意斜截面上的应力 要求： 1 掌握解决问题的思想 要求： 2 考研的同学理解记忆公式
y
yx
x
xy
x
y
各量的含义 1) 左右面上的正应力 上下面上的正应力 2 ) 左 右 面 上 的 切 应力
4 主单元体
分析破坏原因
Me
Me
§7-4 二向应力状态分析-图解法？？ 一、 应力圆方程 二、 应力圆的画法 三、 应力圆的应用 四、 几种特殊应力状态的应力圆
如何绘制圆？？
一、 应力圆方程
x 2yx- 2yco 2 - sxs y i2 n
(- x 2 y)x- 2 yco 2 - sxs y 2 i n
y
y yx
x
xy x
x
求任意斜截面上的应力 （斜截面的 位y 置？？）
解决问题的方法 平衡 的思想
2、单元体的局部平衡
y
y yx
n+
x
xy
x
x
x
xy
y
yx
y
2、单元体的局部平衡
Fn 0
????
x
n
x y dA
yx
t
y
dA + 0 - x (dA cos) cos xy(dAcos) sin - y (dAsin) sin yx (dAsin) cos 0
例题3
P
70
50
解：
x -70MPa
1 主应力大小 2 主平面位置 3 绘出(主应力)单元体。
y 0
xy 50MPa
1 求主应力
大 27.5 大
m mainxx 2y
x-y
2
2x2y
-70 0 (-70 -0)2(5)02
2
2
1
3
70
二向应力状态 26M Pa
-Hale Waihona Puke Baidu
9
6
M
P
a
50
大大
1 26MPa 2 0MPa 3 -96MPa 3 主单元体
点面对应
y yx
e xy
E
C
x
转向对应 与二倍角对应
y
yx
n
xy x
e
x
d
D
E 2
C
二倍角对应
具体作圆步骤
yy
yx
B
A
x
xy
O
C
D’(y ,yx)
确建定立圆由坐心面标和找系半点径
圆心的特点
D D’两点一定是直径的两个端点?
D(x ,xy)
三、 应力圆的应用 信息源
在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分 析问题的工具，而不是计算工具
主平面上的正应力 ??
3 主应力方向 ------主平面的法线方向
要求 掌握主应力计算！！牢记公式，并进行 排序！
二 主平面、主应力与主应力方向
x x 2 - 2 y y s ix n - 2 2 y c xcyo o - ss2 x 2syi n2
1 切应力为零的面为主平面
0x- 2ysi n 0 2 xc y o 0s2 0
tan20＝
－2τxy
x -y
0 090O
该式确定了两个相互垂直的主平面的位置
对于平面应力状态， 平行于xy坐标面的平 面，其上既没有正应 力，也没有切应力作 用，前后面是一个主 平面。
σ
σ 0
σ
这一主平面上的主应力等于零
2 求正应力的极值面
x 2yx- 2yco- s2 xsyi n2
上式对α 求一次导数，并令其等于零
A B
D’
C
o
D
2：纯剪切状态的应力圆
σ-45＝
45＝-
D (0, )
B
be
A
C
o
D'(0,- )
四 几种特殊应力 3：二向等值拉伸应力状态
状态下的应力圆
的应力圆
o
结论：二向等值拉伸下,
习题7-5 P253-254 所有的面 都是主平面
要求 一、 应力圆方程
二、 应力圆的画法 三、 应力圆的应用 四、 几种特殊应力状态的应力圆
的面对应的点
D
e
o
2 α 0
Cb
D’ 大的正应力的
面对应的点
转向 顺时针
有几个主应力？
σ e o
d
a
C b
σ1 σ σ 2 σ
3 0
4 从应力圆上确定面内最大切应力
τmax
C o
应力圆上的最高点的纵坐标 对应 “ 面内最大切应力” 。
四 几种特殊应力 状态下的应力圆
1：单向拉伸应力状态的应力圆
b
30
0
20MPa 1 0 - 3 0 1 0 3 0 c o s6 0- 2 0 s in 6 0
3 0
2
2
30MPa
-17.32M Pa
x- 2ysin2xycos2
30
1030sin6020cos60 27.32M Pa 2
思考 900 ？ 900 ？？
x
yx
用 斜截面截取，此截面上的应力为
y -40MP,a
1 主应力大小 2 （面内）最大切应力 3 主平面位置 4 绘出主（应力)单元体
y xy
x
1 主应力计算 正应力的两个极值就是
xyx-630M 0MPP，aa, y -40MP,a
两个主应力
y
公式
xy
max
x
2
y
(x -y)2 2xy
2
68.3MPa
x
min
x
2
y
-
(x -y)2 2xy
y yx
x
xy x
x
y
例题1求斜面ab上的正应力和切应力
y
解：x 1 0 M P a, y - 3 0 M P a
20MPa
a
x y 2 0 M P a , y x - 2 0 M P a , 30
10MPa 3 0 0 30
x x 2 y x- 2 yco s2 - xysin2
20 40
顺时针!!
x -40MP\\a\\y-20MPa xy-40MPa 40 11.12MP\\a \\3-7.12MPa 20
max41.2MPa
0 -37059'
铸铁扭转
为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
例题4：讨论圆轴扭转时 的应力状态， 并分析铸铁试件受扭 时的破坏现象
Me
这也是横力弯曲中性轴上 点的单元体
max
min
xy
2
(x-y
2
)2
2 xy
''' 0
将三个主应力代数值由大到小顺序排列;
123 就是所谓的应力状态的不变性
主应力是一点应力状态的最终度量
三 面内最大切应力
不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变 化，因而切应力亦存在极值
x- 2ysin2 xcy os2
对α求一次导数，并令其等于零；
3
最大主应力
(代数值大)
xy
15.5 1
起点
x
代数值大
?????
1 6 .3 M 8 P 2 0 a , ,3 - 4 .3 M 8 Pa
二向应力状态 若 y 0, 二向应力状态
特别说明
y 0,
二向应力状态
横力弯曲
xy
x
中性轴
其它点
中性轴
xy
圆轴扭转
除了梁顶(底) 二向应力状态
3 判断 最大主应力(的区间) 面的法线方向(的区间)
(两个切应力箭头指向决定) 第一主应力方向
大 4 (求出的主应力) 之间夹角 (小)
大(原始单元体中代数值)
4 主(应力)单元体： x 60MP，a
0 15.5,
xy -30MPa,
01.59010.55
y ?????
y
-40MP,a转向逆时针?
谢谢！
d d (x- y)co - s2 2 xsyi n 0 2
由此得出另一特征角，用α1表示
tan21＝x2-τxy y
tan21＝x2-τxy y
得到α 的极值
x- 2ysin12xc y os12
max
min
(x -y
2
)2 x2y
特别指出：
上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言， 因而称为面内最大切应力与面内最小切应力
d d - (x- y)si n - 2 2 xc y o s0 2
表解明出∶的正角应度力的极ta值n2面＝ 与主－平x2-τ面xy重y 合角；度taαn与2α0＝ 0 完全－重x2合-τx。y y
正应力的极值就是主应力；
3 平面应力状态的三个主应力
tan20＝
－2τxy
x -y
x 2yx- 2yco 0 s- 2 xs yi n 0 2
平衡方程
Ft 0
x
n
x y dA
yx
t
y
dA -x (dAcos) sin -xy (dAcos) cos
yx (dAsin) sin y (dAsin) cos 0
3、平面应力状态任意方向面上的正应力
与切应力
x 2yx- 2yco- s2 xsyi n2
x- 2ysin2 xcy osy 2
xy -30MPa,
tg20
- 2xy x -y
- -60 0.6 6040
0 15.5,
01.59010.55
主应力 1 方向：0 15.5
主应力方向
主应力 3 方向：0 10.55 ---主平面的法线方向
简单方法 主（应力）单元体 1 习惯直角坐标系按公式确定 绝对值小于45度角的
0
2 判断 给出原始单元体中代数值大的那个正应力
1 从应力圆上确定任意斜截面上的应力
y
xy
B
n
α
x
A yx
E
D
2α
o
C
D’
E点的横、纵坐标即位该任意斜截面上的正应力 和切应力
2 从应力圆上确定主应力大小
y
yx
B
x
A xy
D
e
o
Cb
D’
σmin
σmax
应力圆和横轴交点的横坐标值
3 从应力圆上确定主平面位置
y
xy
EB
x
B A
α0 σ’
yx
起点代数值大
y
x
解: 1 (取单元体) 圆轴扭转时，在横截面的边缘 处切应力最大，其值为
T (Me)
Wt
x y 0 xy
2 求主应力
m mainxx 2y
x-y
2
2x2y
y
1
3
45 x
1
2 0
3 -
3 求主平面位置 二向应力状态
tan20-x2-x y y
-2 -
0-0
0-45或 -135
二者不一定是过一点的所有方向面中切应力的最
大和最小值 切记!
主平面 主应力 面内最大(小)切应力总结
tan20＝
－2τxy
x -y
0 090O
max
min
xy
2
(x
-y
2
)2
2 xy
''' 0
max
min
(x -y
2
)2 x2y
例题2：一点处的应力状态如图。
已知 x 60MP，a xy -30MPa,
2 求主平面位置
tg20-x 2-xyy
-25010 -7- 00 7
027.5或 117.5
逆时针转?
主应力、主平面
max
min
(x -y
2
)2 x2y
max
min
xy
2
(x
-y
2
)2
2 xy
''' 0
tan20＝
－2τxy
x -y
0 090O
练习求单元体 1 主应力的大小 2 主单元体 3 (面内)最大切应力（应力单位取MPa)
x- 2ysi2nx y co2s
(-x 2y)22 (x- 2y)22xy
二、 应力圆的画法
1、点面对应
y y y x
x
xy x
x
——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一 y 方向面上的正应力和切应力；
2、转向对应
——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；
3、二倍角对应
——半径转过的角度是方向面 法线旋转角度的两倍；
y
xy
2
- x 2 xy - - yx- 2 sy i2 c no 2 - s xx y cs yoi2 2 n s
900xy
x
即单元体两个相互垂直面上
的正应力之和是一个常数
-900
yx
xy y
即又一次证明了切应力的互等定理
二 主平面、主应力与主应力方向 1 切应力为零的面为主平面?? 2 主应力