倍长中线法(经典例题)84185

初中几何辅助线——“倍长中线法”

初中几何辅助线——“倍长中线法”倍长中线【方法说明】遇到一个中点的时候，通常会延长过该中点的线段．倍长中线指延长一边的中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等．如图所示，点D为△ABC 边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）．【方法归纳】1．如图，AD为△ABC边BC的中线．延长AD至点E，使得AD ＝DE．若连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）；若连接CE，则△ADB≌△EDC（SAS）．2．如图，点D为△ABC边BC的中点．延长ED至点F，使得DE ＝DF，并连接BF，则△EDC≌△FDB（SAS）．3．如图，AB∥CD，点E为线段AD的中点．延长CE交AB于点F，则△EDC≌△EAF（ASA）．【典型例题】1．（09莱芜）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG＝CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．【思路点拨】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG ＝EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF 的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG＝CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG＝NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG＝EG；最后证出CG＝EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF＝90°，在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG＝1/2FD，同理，在Rt△DEF中，EG＝1/2FD，∴CG＝EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG＝CG．【方法一】连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG＝CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG＝NG；∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°，∴四边形AENM 是矩形，在矩形AENM中，AM＝EN，在△AMG与△ENG中，∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG＝EG，∴EG＝CG．【方法二】延长CG至M，使MG＝CG，连接MF，ME，EC，在△DCG与△FMG中，∵FG＝DG，∠MGF＝∠CGD，MG＝CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF＝CD，∠FMG＝∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF＝CB，∠MFE＝∠EBC，EF＝BE，∴△MFE≌△CBE，∴∠MEF＝∠CEB．∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG＝CG，∴EG＝1/2MC，∴EG＝CG．（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F 作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD＝FM，又因为BE＝EF，易证∠EFM＝∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM＝∠BEC，EM＝EC，∵∠FEC＋∠BEC＝90°，∴∠FEC＋∠FEM＝90°，即∠MEC＝90°，∴△MEC是等腰直角三角形，∵G为CM中点，∴EG＝CG，EG⊥CG．。

倍长中线法经典例题

倍长中线法经典例题倍长中线法是三角形测量计算中常用的一种方法，可以应用于测量不同形状的三角形以及解决许多有关三角形的问题。

倍长中线法是一种快速计算三角形高度、底边长度以及其它三角形参数的有效方法，因此极为实用。

倍长中线法是一种利用中线与边长之比来计算三角形高度和底边长度的方法。

倍长中线法可以主要应用于以下几个方面：（1）由一闭合三角形的两条边和角度确定直角三角形的参数；（2）由一闭合三角形的两条边长和一劈裂角确定另一劈裂角，以及三角形的高度和底边长度；（3）由一开端三角形的一条边和另外两条边的夹角确定三角形的高度和底边长度。

目前市面上已经有很多关于倍长中线法的微机应用，几乎所有的计算机软件都涵盖这种方法。

而利用倍长中线法解决的一般问题基本上可以分为三类：（1）求解已知三角形的一边和另外两边的夹角的情况；（2）求解已知三角形的三边的情况；（3）求解已知三角形的两边和一劈裂角的情况。

下面将介绍关于倍长中线法的几个经典例题，以期能够让我们更好地理解使用这一方法的情况：（1）已知闭合三角形ABC，a = 4.6m，C = 25°，求AB的长度：解决这道问题的过程是，由AB和C的夹角可以求出AB的长度，首先可以使用倍长中线法求出三角形ABC的中线长度，即1.5a，由此可以求出AB夹角的正切，即tan(25°) = AB/1.5a，由此AB = 1.5a×tan(25°)=4.6×tan(25°)=2.7m。

（2）已知闭合三角形ABC，a = 4.6m，b = 3.4m，求C的度数：解决这道问题的过程是由AB和BC夹角，两条边长可以求出C 的度数，在这里我们可以使用倍长中线法求出三角形ABC的中线长度，即1.5a，由此可以求出AB的正切，即tanC = (1.5a-b)/a，由此可以求出C的度数，即C = arc tan（(1.5a-b)/a）=arc tan （0.7）=40.23°。

倍长中线最全总结例题+练习(附答案)

倍长中线知识导航中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

倍长中线：延长三角形中线，是得延长后的线段是原中线的2倍。

目的是为构造一对8字型全等三角形（SAS ），从而实现边角的转移。

易错点睛倍长中线的目的在于转移边角，需要注意的是要注意延长哪一条线段或者类中线；倍长之后，需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。

DAB C模块一有关倍长中线的全等模型【范例】（2014秋•江汉区校级月考）如图，在ABC ∆中，AD 为中线，求证：2AB AC AD +>．【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关系可得 2AB AC AD +>。

【解答】证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DE ADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；BB【核心考点1】倍长中线1．（2016秋•五莲县期中）如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DEADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；（2）5AB =，3AC =，53253AD ∴-<<+，14AD ∴<<．DABC2．如图，ABC ∆中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠．【分析】延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，由SAS 证明DEM CEA ∆≅∆，得出C MDE ∠=∠，DM AC =，证出DM BD =，ADM ADB ∠=∠，由SAS 证明ADB ADM ∆≅∆，得出BAD MAD ∠=∠即可．【解答】证明：延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，如图所示：E 是DC 的中点，DE CE ∴=，在DEM ∆和CEA ∆中，EM AE DEM CEADE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEM CEA SAS ∴∆≅∆， C MDE ∴∠=∠，DM AC =，又BD DC AC ==，DM BD ∴=，ADC CAD ∠=∠，又ADB C CAD ∠=∠+∠，ADM MDE ADC ∠=∠+∠，ADM ADB ∴∠=∠，在ADB ∆和ADM ∆中，AD AD ADB ADMBD DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB ADM SAS ∴∆≅∆，BAD MAD ∴∠=∠，即AD 平分BAE ∠。

倍长中线最全总结例题+练习(附答案)

倍长中线最全总结例题+练习(附答案)知识导航中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

倍长中线：延长三角形中线，是得延长后的线段是原中线的2倍。

目的是为构造一对8字型全等三角形（SAS ），从而实现边角的转移。

易错点睛倍长中线的目的在于转移边角，需要注意的是要注意延长哪一条线段或者类中线；倍长之后，需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。

DAB C模块一有关倍长中线的全等模型【范例】（2014秋•江汉区校级月考）如图，在ABC ∆中，AD 为中线，求证：2AB AC AD +>．【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关系可得 2AB AC AD +>。

【解答】证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DE ADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；BB【核心考点1】倍长中线1．（2016秋•五莲县期中）如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DEADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；（2）5AB =，3AC =，53253AD ∴-<<+，14AD ∴<<．ABC2．如图，ABC ∆中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠．【分析】延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，由SAS 证明DEM CEA ∆≅∆，得出C MDE ∠=∠，DM AC =，证出DM BD =，ADM ADB ∠=∠，由SAS 证明ADB ADM ∆≅∆，得出BAD MAD ∠=∠即可．【解答】证明：延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，如图所示：E 是DC 的中点，DE CE ∴=，在DEM ∆和CEA ∆中，EM AE DEM CEADE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEM CEA SAS ∴∆≅∆， C MDE ∴∠=∠，DM AC =，又BD DC AC ==，DM BD ∴=，ADC CAD ∠=∠，又ADB C CAD ∠=∠+∠，ADM MDE ADC ∠=∠+∠，ADM ADB ∴∠=∠，在ADB ∆和ADM ∆中，AD AD ADB ADMBD DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB ADM SAS ∴∆≅∆，BAD MAD ∴∠=∠，即AD 平分BAE ∠。

倍长中线法例题

倍长中线法例题
为了更好地理解倍长中线法，以下是一个例题：
假设有一条直角三角形的直角边长为3cm，我们想要计算斜边的长度。

首先，我们绘制出直角三角形，用A、B、C分别表示三个顶点，其中∠B为直角。

接下来，我们沿着斜边BC的中线CD画一条线段DE，使得DE的长度为BC的两倍。

即DE=2*BC=2*3cm=6cm。

然后，我们将直角三角形ABC对称翻转，使得D点与A点重合。

由于AD与BC交于点E，而DE=6cm，所以AE=EB=6cm。

这样，我们得到了一个新的直角三角形AED，其中
AE=EB=6cm，我们需要计算AD的长度。

根据皮亚诺定理（勾股定理），直角三角形AEB的斜边AE 的平方等于边AE和边EB的平方和，即AE^2=AD^2+DE^2。

联立AE=6cm和DE=6cm，我们可以得到：
(6cm)^2 = AD^2 + (6cm)^2
36cm^2 = AD^2 + 36cm^2
36cm^2 - 36cm^2 = AD^2
AD = 0cm
根据计算结果，我们得知AD的长度为0cm。

这是因为我们在图中示意的过程中可能出现了一些绘图或者测量误差，导致最终结果不准确。

在实际情况中，使用倍长中线法计算斜边的长度，通常不会出现AD长度为0cm的情况。

这个例题说明了倍长中线法的基本思想和步骤。

通过绘制等边三角形和对称翻转，我们可以利用平面几何中的定理和公式计算出目标线段的长度。

倍长中线法(经典例题)

N作 BE! AD 的延长线于倍长中线法知识网络详解:中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时, 常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法倍长中线△ ABC 中式1:延长AD 到E,B --------------- ■ ------------- CDAD 是E BC使 DE=AD接BE方式2:间接倍长 AB 延长MD 到N, CE连接CN 经典例题讲解：例〔：△ ABC 中，AB=5 AC=3求中线 AD 的取值范围例2:已知在△ ABC 中，AB=AC D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F ,且 DF=EF 求证：BD=CE例3：已知在△ ABC 中 , AD 是 BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE 二AC例4:已知：如图，在- ABC 中，AB = AC , DE 在 BC 上 ,且 DE 二EC 过 D 作 DF//BA 交 AE 于点 F , DF=AC.例 5：已知 CD=AB Z BDA M BAD AE 是A ABD 的中线，求证：/ C=Z BAE自检自测:1、如图，△ ABC 中 , BD=DC=AC,是 DC 的中点，求证，AD 平分/ BAE.使 DN=M ,BE延长BE 交AC 于F ,求证：AF=EF求证：AE 平分.BACDEAECCFAC2、在四边形ABCD K AB// DC E 为BC 边的中点，/ BAE K EAF AF与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、如图，AD 为 MBC 的中线，DE 平分.BDA 交AB 于E,DF 平分.AD 交 AC 于 F.求证：BE CF EF4、已知：如图， ABC 中， C=90，CM AB 于 M AT 平分 BAC 交 CM 于 D,交 BC 于 T ，过 D 作 DE//AB 交 BC 于 E ，求证：CT=BE.ADBF。

倍长中线法(经典例题)2

倍长中线法〔加倍法〕知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法〞添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么〔延长的那一条〕，用SAS证全等〔对顶角〕倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。

例2：在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+例5：CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE第 14 题图DF CBEAB自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。

2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠F EAB C DABFDEC4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．5、如图△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF＝2AD.4、：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.倍长中线法〔加倍法〕知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法〞添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么〔延长的那一条〕，用SAS 证全等〔对顶角〕倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

倍长中线最全总结。例题+练习(附答案)

倍长中线最全总结。

例题+练习(附答案)中线是三角形中的重要线段之一。

在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

倍长中线指的是延长三角形中线，使得延长后的线段是原中线的2倍。

其目的是为了构造一对8字型全等三角形（SAS），从而实现边角的转移。

以三角形ABC为例，延长中线AD至点E，使得DE=AD，连接BE。

根据三角形的SAS全等条件，可以得出结论：△ACD≌△BED，AC=BE，∠CAD=∠BED，AC∥BE。

同样地，延长中线CD至点F，使得DE=DF，连接CF。

根据三角形的SAS全等条件，可以得出结论：△BED≌△CFD，CF=BE，∠CFD=∠BED，CF∥BE。

在利用倍长中线法时，需要注意延长哪一条线段或者类中线。

倍长之后，需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。

举例来说，如图所示，在三角形ABC中，需要证明AB+AC>2AD。

延长中线AD至点E，使得DE=AD，构造△ADC和△EDB，根据三角形的三边关系可得AB+AC>2AD。

另外，还有一道题目是需要求解AD的取值范围。

在三角形ABC中，D为BC的中点。

根据三角形的三边关系可得5-3<2AD<5+3，即AD的取值范围为1<AD<4.证明：延长AD到F，使DF=AD，连接BF（如图）。

因为AD是中线，所以BD=DC=AC，又因为DF=AD，所以BD=BF，所以AB>BF。

由三角形的三边关系，在三角形ABF中，有AB+BF>AF，即2AD<AB+AC，证毕。

2）因为AD是中线，所以BD=DC=AC，又因为DF=AD，所以BD=BF，所以AB>BF。

由相似三角形ADC和FDB，得到∠CAD=∠F，由边的大小关系可得到∠BAD>∠DAC，证毕。

3）同（2），由相似三角形ADC和FDB，得到AE/AD=BF/BD<1，即AE<AD，证毕。

13.13专题11：--倍长中线法

13.13专题11：--倍长中线法一．【知识要点】1.倍长中线法:通过将中线或类似于中线的线段向中点方向延长，使延长的部分线段与中线相等，俗称中线倍长.二．【经典例题】1．如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是__________.2.如图,在△ABC中,点E为BC的中点,CF∥AB且∠BAE=∠EAF,求证:AF+CF=AB.3.如图,点D为BC的中点,DE⊥DF交AB于E,交AC于F,连EF,若BE=5,CF=3,求EF 的取值范围.4．如图，在△ABC中，CE为△ABC的角平分线，AD⊥CE交BC于点D，垂足为点F，且∠ACB ＝2∠B．（1）当∠B＝31°时，求∠BAD的度数；（2）求证：BE＝EC；（3）求证：AB＝2CF．5.如图,△ABC为等边三角形,EC=ED,∠CED=120°,P为BD的中点.求证:AE=2PE.三．【题库】【A】1. 如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是 .2.如图,△ABC中,D为BC的中点.(1)求证:AB+AC>2AD;(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.【B】1.已知,在△ABC中,AD为BC边上的中线,AC=5,AD=4,则AB的取值范围是( )A. 1<AB<9B. 3<AB<13C. 5<AB<13D. 9<AB<132.AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则边BC的取值范围是____________；中线AD的取值范围是_________________．3.如图,AD是△ABC的中线,点E在BC的延长线上,CE=AB,∠BAC=∠BCA,求证:AE=2AD.【C】1.如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，过B点作直线分别交AC，AD于点E，F,当AE=EF 时，图中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出并加以证明，若不存在，说明理由。

倍长中线法经典例题

倍长中线法经典例题倍长中线法是一种既简单又重要的几何概念，其原理是双曲线的对称中线，也就是在任意一条双曲线的上，延长出一条斜率为零的中线，而原来的双曲线可以按照这条中线折叠再得到一条双曲线，这就是倍长中线法。

倍长中线法在数学教育中占据着重要的地位，它可以用来解决各种几何问题，教师可以利用它让学生对几何概念有更深入的理解。

倍长中线法最常用的例题之一是：在任意一条双曲线上给定任意一点，任意在双曲线上面给出延长至另一侧两个点，设此两点中心点的直线的斜率的倒数是k，求给定点到中心点直线的距离。

解：假设给定点为A，左右两侧的点分别为B，C。

先画出ABC的三角形，根据可知，斜线BAC的斜率为$K=frac{1}{m}$（m是斜线BC 的斜率），根据斜率可以求出直角三角形ABC的斜边是$sqrt{1+K^2}$，则AB=AC=$sqrt{1+K^2}$，根据勾股定理，BC=$2sqrt{1+K^2}$，此时BC/2就是给定点A到中心点的距离，因此最终求得给定点A到中心线的距离为$sqrt{1+K^2}$倍长中线法不仅可以用于几何概念的研究，还可以用于几何图像的分析，例如分析圆形图像中的双曲线等等。

考虑到，在双曲线的上的任意一点，其延长到另一侧的距离是一定的，因此倍长中线法可以帮助我们更加精准的分析出图像中细微的变化。

另外，倍长中线法还可以应用于最佳路径规划，运用倍长中线法可以计算出在同一条双曲线上的两点之间的距离，从而可以更快更准确的确定最佳的路径。

倍长中线法的应用领域非常广泛，除了研究几何和图像外，还可以用于机器学习，具有很大的应用前景。

另外，倍长中线法的解题过程也可以引导学生更加深入的思考几何问题，有助于培养学生的逻辑思维能力。

总之，可以看出倍长中线法是一种重要的几何概念，既可以研究几何图像，机器学习，又可以指导学生培养逻辑思维能力，从而使学生更好的掌握几何知识。

(完整版)倍长中线法(经典例题)

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法” 增加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用 SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线增加方法——倍长中线AAB CD △ ABC中方式1：延长AD到E，AD 是 BC 边中线使DE=AD，B C连接BED方式 2：间接倍长AFB D CEEA作 CF⊥ AD于 F，M 延长 MD到N，D作 BE⊥ AD的延长线于 E B 使 DN=MD，C连接 BEN连接 CN经典例题讲解：例 1：△ ABC中， AB=5， AC=3，求中线AD 的取值范围例2：已知在△ ABC 中， AB=AC，D 在 AB 上， E在 AC的延长线上， DE 交 BC 于 F，且DF=EF，求证： BD=CEADBCFE例 3：已知在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点，且BE=AC，延长 BE 交 AC于F，求证： AF=EFAFEBD C例 4：已知：如图，在ABC 中， AB AC ，D、E在BC上，且DE=EC，过D作 DF // BA交AE于点 F， DF=AC.A求证： AE 均分BACFB D E C例5：已知 CD=AB，∠ BDA=∠BAD，AE 是△ ABD的中线，求证：∠ C=∠ BAEAB CE D自检自测：1、如图，△ ABC中， BD=DC=AC,E是 DC的中点，求证， AD 均分∠ BAE.2、在四边形 ABCD中， AB∥ DC， E 为 BC边的中点，∠ BAE=∠EAF， AF 与 DC 的延长线订交于点 F。

试试究线段 AB 与 AF、 CF之间的数量关系，并证明你的结论 .ADBE CF3、如图，AD 为ABC 的中线，DE均分BDA 交AB于E，DF均分ADC 交AC于F.求证：BE CF EFAEFB CD第 14 题图4、已知：如图， ABC中， C=90 ， CM AB 于 M ，AT 均分 BAC交 CM 于 D，交 BC 于 T，过 D 作DE//AB 交 BC 于 E，求证： CT=BE.MAD BETC。

三角形全等之倍长中线法经典例题

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中方式1：延长AD 到E ，AD 是BC 边中线使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于 E 使DN=MD，连接BE连接CN经典例题讲解：例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围DABCEDABCFEDCBAND C BAM例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC 中，AC AB ，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BADF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BACFEDABCFEC ABD ABFDEC例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E DABCFEABCD3、如图，AD 为ABC 的中线，DE 平分BDA 交AB 于E ，DF 平分ADC 交AC 于F. 求证：EFCF BE 4、已知：如图，ABC 中，C=90，CM AB 于M ，AT 平分BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DFCBEADABCMTE。

倍长中线法经典例题

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【方法精讲】△ABC中方式1AD是BC连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于E使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠ 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F.求证：EF CF BE >+AB FD E C4、已知：如图，?ABC中，?C=90?，CM?AB于M，AT平分?BAC交CM于D，交BC于T，过D 作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.。

初中数学倍长中线法(最全最新倍长中线法专题)

课堂练习
练习3.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1， BF＝2，∠GEF＝90°，求GF的长.
课堂练习
练习4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6. 求CE的长.
课后练习
4.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG.
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），证明: EG＝CG且EG⊥CG．（2）如图（3）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，证明: EG＝CG且EG⊥CG．
几何模型四：倍长中线法
倍长中线法
当线段出现一个中点时，特别是三角形中，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法: △ABC中AD是BC边中线方式1: 延长AD到E，使DE=AD，连接BE
课堂练习
练习7.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证: AD是∠EAC的平分线．
例题讲解
例5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证: BG＝CF．
证明: 作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM， ∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中点， ∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，
证明: 如图，过点D作DG∥AE，交BC于点G；则△DGF≌△ECF， ∴DG＝CE； ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB；

全等三角形倍长中线法的经典例题

全等三角形倍长中线法的经典例题示例文章篇一：嘿，同学们！今天我要跟你们讲讲全等三角形倍长中线法，这可太有趣啦！先来说说啥是倍长中线法。

就好像我们搭积木，找到了关键的那块积木，整个造型就稳啦！倍长中线法就像是那个关键的“积木”，能帮我们解决好多全等三角形的难题呢。

比如说有这样一道题：在三角形ABC 中，AD 是中线。

那我们就延长AD 到点E，让AD = DE 。

这时候，连接BE ，哇塞，神奇的事情发生啦！“小明，你说说这时候能发现啥？”我问同桌小明。

小明挠挠头说：“好像能得到一些相等的边和角。

”“对呀！”我兴奋地说，“你看，因为AD 是中线，BD = DC ，又因为我们延长AD ，让AD = DE ，再加上对顶角相等，这不就可以证明三角形ADC 和三角形EDB 全等嘛！”再看这道题，三角形ABC 中，AD 是中线，AB = 5 ，AC = 3 ，求中线AD 的取值范围。

这可难倒了不少同学，可咱们用倍长中线法，不就轻松多啦？我跟后桌的小红一起讨论，我说：“小红，你想想，倍长中线之后，是不是能把条件都联系起来啦？”小红眼睛一亮：“对呀，这样就能构造出全等三角形，然后就能找到边的关系啦！”哎呀，这不就像我们找宝藏，倍长中线法就是那把能打开宝藏大门的钥匙嘛！通过这些例题，咱们是不是发现，倍长中线法简直就是解决全等三角形问题的神器呀！只要我们灵活运用，那些难题就都不在话下啦！我觉得呀，数学就像一个大宝藏，而这些解题方法就是我们挖掘宝藏的工具，只要我们用心去寻找，就能发现无数的惊喜！示例文章篇二：哎呀呀，同学们，今天咱们来聊聊全等三角形里倍长中线法的那些经典例题！先来说说啥是倍长中线法吧。

就好像我们走路遇到一条河，直接过去太困难，但是如果修一座桥，是不是就轻松多啦？倍长中线法就像是那座桥，能让我们在解全等三角形的难题时，一下子找到出路！比如说有这么一道题：在三角形ABC 中，AD 是中线。

延长AD 到E，使DE = AD。

初中数学倍长中线法(最全最新倍长中线法专题)

∴△CBD≌△CBF（SAS）， ∴CD＝CF，∵CF＝CE+EF，CE＝EF， ∴CF＝2CE，∴CD＝2CE.
课堂练习
练习5.已知: 如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点．求证: CD＝2CE
课堂练习
练习6.已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证: ∠C＝∠BAE．
课后练习
5.如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作FM∥AD交AC于F，求FCE＝90°，M是BE的中点，AB＝AC，AD＝AE，求证: AM⊥CD．
课后练习
7.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD.BC的延长线交 MN于E、F．
课堂练习
练习7.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证: AD是∠EAC的平分线．
例题讲解
例5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证: BG＝CF．
证明: 作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM， ∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中点， ∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，
求证: ∠DEN＝∠F．
课后练习
1.如图1已知：AD为△ABC的中线，易证AB+AC＞2AD．（1）如图2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积．（2）问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF＝AC，连接并延长BF交AC于点E．求证AE＝EF．
例2.已知，如图△ABC中，AB＝5，AC＝3，则中线AD的取值范围是

倍长中线例题

倍长中线例题
倍长中线是一种常用的几何解题技巧，通过延长中线来构造新的三角形，从而利用中线的性质来解决问题。

下面是一个倍长中线的例题：
题目：已知△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF。

证明：
第一步，由题目信息，可知AD是BC的中线，所以BD=CD。

第二步，延长AD到点G，使得DG=AD，连接BG。

由于BD=CD 和AD=GD，并且∠ADC=∠GDB（对顶角相等），根据SAS全等条件，我们可以得出△ADC≌△GDB。

第三步，由于△ADC≌△GDB，所以∠CAD=∠BGD。

同时，因为BE=AC，所以△BEG≌△ACE（SAS）。

第四步，由于△BEG≌△ACE，所以AF=EF。

综上所述，我们证明了AF=EF。

倍长中线法经典例题

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中方式1：延长AD 到E ， AD 是BC 边中线使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，?ABC 中，?C=90?，CM ?AB 于M ，AT 平分?BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.D A B CE D A B C A B FD E C。

倍长中线法(经典例题)84185

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