高二数学零诊综合训练(1)理科含答案

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四川省成都市2022届高二下学期零诊数学理科模拟押题卷(一)(1)

一、单选题二、多选题1.已知全集，若，且则集合A 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.A．B．C．D．3. 设非零实数，使得曲线：是双曲线，则（）A．B．C．D．4. 我国自主研发的天问一号探测器的飞行轨迹如图所示，天问一号从地球公转轨道上的点A 出发，沿椭圆形转移轨道飞行，与位于圆形轨道的火星在点B 汇合，到达火星，时间为t ．根据开普勒定律，行星（探测器）围绕太阳运行轨道的半长轴（地球和火星的轨道可近似为圆形，则圆的半径就是半长轴）的三次方与其公转周期的平方的比值是相同的．设的半径为，的半径为，地球公转周期为，火星公转周期为，则（）A．B．C．D．5.已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是A．B．C．D．6. 已知，抛物线上的点在轴上的射影为，则以为焦点且过点的双曲线的实轴长的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D ．97.（）A．B．C．D．8.在平面四边形中，，，，，则（）A．B．C．D．9. 下列结论正确的是（）四川省成都市2022届高二下学期零诊数学理科模拟押题卷（一）(1)四川省成都市2022届高二下学期零诊数学理科模拟押题卷（一）(1)三、填空题四、解答题A．B．C．D．10. 我国杂交水稻技术在世界上处于先进水平，某农场有甲、乙两块面积相同的稻田，种植同一品种杂交水稻，连续6年的产量如下，则下列说法正确的是（）年份序号123456甲稻田产量900920900850910920乙稻田产量890960950850860890A ．甲、乙两块稻田的样本平均数相等B ．将两组数据按从小到大的顺序排成一行，则中位数为900C ．两组数据的方差相同D ．甲组数据的标准差大于乙组数据的标准差11. 若曲线C 的方程为，则（）A ．当时，曲线C表示椭圆，离心率为B ．当时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为C ．当时，曲线C 表示圆，半径为1D ．当曲线C 表示椭圆时，焦距的最大值为412. 已知定义在上的函数满足，，且在区间上单调递增.下列结论正确的是（）A．是函数的最小值B ．函数的图像的一个对称中心是点C．D ．函数的图像的一条对称轴是直线13. 已知a ，，（i是虚数单位），则______，_______.14.设点为函数上任意一点，点为直线上任意一点，则，两点距离的最小值为______.15. 请举出一个各项均为正数且公差不为的等差数列，使得它的前项和满足：数列也是等差数列，则_________．16. 某校园格局呈现四排八栋分布，学生从高一入学到高三毕业需踏着层层台阶登攀，这其中寓意着学校对学生的期盼与激励．现假设台阶标有第0，1，2，…，50级，有一位同学抛掷一枚均匀质地的骰子进行登攀台阶游戏，这位同学开始时位于第0级，若掷出偶数点，则向上一步登一级台阶，若掷出奇数点，则向上一步登两级台阶，直到登上第49级（成功）或第50级（失败），游戏结束．设为登攀至第n 级的步数，这位同学登到第n 级的概率为．（I ）求的分布列与数学期望；（Ⅱ）证明：为等比数列．17. 已知中，角，，的对边分别为，，，.（1）求；（2）若角为锐角，且的面积为，求的最小值.18.已知平行六面体中，平面．若，直线与平面所成的角等于，求平行六面体的体积．19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上（不包括端点），点为中点.(1)若，求证：直线平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值；(3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20. 如图，在三棱柱中，，为的中点，，.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值.21. 如图，已知椭圆的一个焦点为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，的中点为.设为原点，射线交椭圆于点.当四边形为平行四边形时，求的值.。

四川省成都市2022届高二下学期零诊数学理科模拟押题卷(一)

一、单选题二、多选题1. 函数的单调递增区间是A．B．C．D．2. 已知复数在复平面上对应的点为，则A．B．C ．是实数D ．是纯虚数3. 若向量，，则（）A．B．C．D．4. 已知抛物线上一点纵坐标为，则点到抛物线焦点的距离为A．B．C．D．5. 已知关于x 的不等式对任意的都成立，则实数k 的最大值为（）A．B．C ．D．6. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有侧面和底面中，面积的最大值为（）A ．2B．C ．3D．7. 吹气球时，气球的体积（单位：）与半径（单位：）之间的关系是．当时，气球的瞬时膨胀率为（）A．B．C．D．8.若圆与圆相交，则正实数a 的取值范围为（）A．B．C．D．9. 等差数列与的前项和分别是与，且，则（）A．B．C．的最大值是17D ．最小值是710. 已知函数，则（）A．的定义域为B．的值域为C ．当时，为奇函数D ．当时，11. 关于函数，则（）四川省成都市2022届高二下学期零诊数学理科模拟押题卷（一）四川省成都市2022届高二下学期零诊数学理科模拟押题卷（一）三、填空题四、解答题A ．是的极大值点B ．函数有且只有1个零点C ．存在正实数，使得恒成立D．对任意两个正实数，，且，若，则12. 连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第i 次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（）A ．事件A与事件是互斥事件B ．事件与事件是相互独立事件C．D．13.将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则__________．14. 计算__________________．15.已知是递增数列，且，则关于数列，对任意的正整数p ，q ，下列结论不可能成立的是______.（填序号）①；②；③；④.16.已知函数（其中为自然对数的底数），．(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的都有不等式成立，求实数a 的值．(3)设，证明：．17. 已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为，，左、右焦点为，，点为椭圆上异于，的动点，且的面积最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)设过定点的直线交椭圆于，两点（与，不重合）证明：直线与直线的交点的横坐标为定值.18. 如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，将折叠至，使得平面平面，且交平面于F.(1)求证：平面平面.(2)求三棱锥的体积.19. 点P 为曲线C 上任意一点，直线，过点P 作PQ 与直线l 垂直，垂足为Q ，点，且．(1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C上的点作圆的斜率为，的两条切线，切线与y 轴交于A ，B ，若，求．20. 某中学选取名优秀学生参加数学知识竞赛，将他们的成绩（单位：分）分成范围为、、、、、，共组，得到频率分布直方图如图所示.（1）若将成绩大于或等于分视为高分，试求参加竞赛学生成绩的高分率；（2）若从参加竞赛的学生中随机抽取人，抽到的学生成绩在范围记分，在范围记分，用表示被抽取得名学生的总记分，求的分布列和数学期望.21. 如图，是正方形的边的中点，将与分别沿、折起，使得点与点重合，记为点，得到三棱锥.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值.。

四川省广安友谊中学2022-2023学年高二第一次“零诊”模拟考试理科数学试题(1)

一、单选题1. 某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中抽取若干人组成调查小组，相关数据见下表：相关人员数抽取人数公务员35b 教师a 3自由职业者284则调查小组的总人数为A ．84B ．12C ．81D ．142. 设全集为，集合，，则等于（）A ．0B．C．D．3. 某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测.如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为、，、、、、、，则样本的中位数在A ．第3组B ．第4组C ．第5组D ．第6组4.已知数列满足，则中的最小项的值为（）A ．-20B．C．D．5.函数在上的图象大致是（）A．B．C．D．6. 已知的内角所对的边分别为，若，函数的最小值为，则的外接圆的周长为（）A．B．C．D．7. 已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若四川省广安友谊中学2022-2023学年高二第一次“零诊”模拟考试理科数学试题(1)四川省广安友谊中学2022-2023学年高二第一次“零诊”模拟考试理科数学试题(1)二、多选题三、填空题四、解答题，则的最小值为（）A．B．C ．8D ．68. 在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，，，，经过直线且与直线平行的平面交直线于点，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．9. 半圆形量角器在第一象限内，且与轴、轴相切于、两点.设量角器直径，圆心为，点为坐标系内一点.下列选项正确的有（）A．点坐标为B．C．D ．若最小，则10.将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，其中.若相邻两个零点之间的距离为，且的图象关于直线对称，则（）A ．直线是图象的一条对称轴B ．直线是图象的一条对称轴C ．点是图象的一个对称中心D ．点是图象的一个对称中心11. 已知a ，b 为正实数，且，则（）A．的最大值为B ．的最小值为4C．的最小值为D ．的最大值为12. 已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（）A．的图象关于点对称B．C．D ．若，则13. 已知直线是圆的一条对称轴，则__________．14. 直线：被圆：截得的弦的长为______．15. 有甲、乙、丙三个开关和A ，B ，C 三盏灯，各开关对灯的控制互不影响．当甲闭合时A ，B 亮，当乙闭合时B ，C 亮，当丙闭合时A ，C 亮．若甲、乙、丙闭合的概率分别为，，，且相互独立，则在A 亮的条件下，B 也亮的概率为____________．16. 已知函数，其中．（1）求函数在处的切线方程；（2），，求实数的取值范围．17. 已知直线与函数、的图像分别交于M 、N 两点．(1)当时，求的值；(2)求关于的表达式，写出函数的最小正周期，并求其在区间内的零点．18. 已知椭圆：经过，两点，M ，N 是椭圆上异于T 的两动点，且，直线AM ，AN 的斜率均存在.并分别记为，.(1)求证：为常数；(2)证明直线MN 过定点.19. 在中，角、、所对的边分别为、、.已知，，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.20. 小军在校园内测对岸广电大厦楼顶无线塔的高度，他在校园水平面上选取两点，测得，测得，，，，.(1)求；(2)求无线塔的高度.21. 已知函数.(1)判断的单调性；(2)设函数，记表示不超过实数的最大整数，若对任意的正数恒成立，求的值.（参考数据：，）。

四川省成都市2022届高三理科数学零诊考试试题(1)

一、单选题二、多选题三、填空题1. 已知，设，，则有（）A．B．C．D．2. 已知向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（）A．B．C．D． 3. 的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（）A．B．C．D．4. 若函数是增函数．则实数的取值范围为（）A．B．C．D．5. 复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6.已知集合，集合，则A B =（）A．B．C．7. 已知复数z 在复平面上对应的点为，为虚数单位，则下列正确的是（）A．B．C．D．是实数8. 在平面直角坐标系中，由直线上任一点向椭圆作切线，切点分别为、，点在轴的上方，则（）A．当点的坐标为时，B ．当点的坐标为时，直线的斜率为C ．存在点，使得为钝角D ．存在点，使得9. 设，若关于x 的不等式在上恒成立，则的最小值是________________．10.如图，正四棱台的上､下底面边长分别为2，分别为的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为___________.11. 把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有__________种．四川省成都市2022届高三理科数学零诊考试试题(1)四川省成都市2022届高三理科数学零诊考试试题(1)四、解答题12.函数的定义域是______．13.在平面直角坐标系中，已知定点，，半径为的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且在轴右侧，圆被轴截得的弦长为．(1)求圆的方程；(2)当变化时，是否存在定直线与动圆相切？如果存在求出定直线的方程；如果不存在，请说明理由．14. 如图所示，直角梯形PABC 中，，，D 为PC 上一点，且，将PAD 沿AD 折起到SAD位置．(1)若，M 为SD 的中点，求证：平面AMB ⊥平面SAD ；(2)若，求平面SAD 与平面SBC 夹角的余弦值．15. 如图，已知，､分别为边､上的点，且，与交于，设存在和使.（1）求和的值；（2）用表示.16. 已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB =2，AB 1⊥BC 1，O ，O 1分别是棱AC ，A 1C 1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值.。

四川省遂宁市2023届高三零诊考试数学(理科)试题(解析版)

遂宁市高中2023届零诊考试数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．总分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上．并检查条形码粘贴是否正确．2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后，将答题卡收回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合()(){}210A x x x =+-=，{}2,1,0,1,2B =--，那么BAð等于（）A.{}2,0,1- B.{1,0,2}- C.{}2,1,0-- D.{}0,1,2【答案】B 【解析】【分析】根据补集的运算，可得答案.【详解】由题意，{}2,1A =-，则{}1,0,2B A =-ð.故选：B.2.若复数2i2iz =-（i 是虚数单位），则z 的虚部为（）A.25B.2i 5C.45 D.4i 5【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法即可求解.【详解】22i 2i(2+i)4i 2i 24i 2i (2i)(2+i)555z +====-+--，所以z 的虚部为45.故选：C3.已知函数()()23,04cos ,0x x f x x x π⎧->⎪=⎨⎪+≤⎩，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 是偶函数B.函数()f x 是增函数C.函数()f x 是周期函数D.函数()f x 的值域为[)1,-+∞【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的定义、余弦函数的性质、二次函数的性质，可得答案.【详解】对于A ，当0x >时，0x -<，()()()23cos 4f x x x f x π-=-≠-=，故A 错误；对于B ，由余弦函数的性质，易知函数()f x 在(],0-∞上不单调，故B 错误；对于C ，由二次函数的性质，易知函数()f x 在()0,∞+上为增函数，故C 错误；对于D ，由()[]cos 1,1x π+∈-，且当0x >时，233144x ->->-，则()1f x ≥-，故D 正确.故选：D.4.已知α，β都为锐角，1cos 7α=，()11cos 14αβ+=-，则cos β等于（）A.12B.7198C.12-D.7198【答案】A 【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系可得sin α和sin()αβ+，代入cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++，计算可得．【详解】解：αQ ，β都是锐角，1cos 7α=，11cos()14αβ+=-，sin 7α∴==，()sin 14αβ+==，cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα∴=+-=+++11111471472=-⨯+=故选：A ．5.设数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，4614a a +=，735S =，则5S 等于（）A.10B.15C.20D.25【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件求出等差数列{}n a 的首项及公差即可得解.【详解】因数列{}n a 是等差数列，由等差数列的性质知：46572a a a +==，而177477352a a S a +=⨯==，则45a =，等差数列{}n a 公差542d a a =-=，首项1431a a d =-=-，则515(51)5520152S a d ⨯-=+⋅=-+=.故选：B.6.若实数x ，y 满足32122x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则z x y =+的最大值为（）A.8B.7C.2D.1【答案】B 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再结合图象求出目标函数的最值.【详解】由约束条件作出可行域，如图：联立322x y x =⎧⎨=-⎩，解得()3,4A 由z x y =+，得y x z =-+，z 为直线y x z =-+的纵截距.由图可知，当直线y x z =-+过点()3,4A 时，直线的纵截距z 最大，且max 347z =+=.故选：B.7.{}n a 为公比大于1的正项等比数列，且3a 和26a a 是方程2540x x -+=的两根，若正实数x ，y 满足4x y a +=，则12x y+的最小值为（）A.1B.32+C.2D.3+【答案】B 【解析】【分析】先利用等比数列的性质得到2635a a a a =，结合韦达定理2365a a a +=，2364a a a =，得到233540a a -+=，求出31a =或4，结合公比1q >，求出2q =，得到432a a q ==，利用基本不等式“1”的妙用求出12x y+的最小值.【详解】由题意得：2365a a a +=，2364a a a =，因为{}n a 为公比大于1的正项等比数列，所以2635a a a a =，故3355a a a +=，2354a a =，由2354a a =得5234a a =，将其代入3355a a +=得：233540a a -+=，解得：31a =或4，设公比为q ，则1q >，当31a =时，52344a a ==，所以2534a q a ==，因为1q >，解得：2q =当34a =时，523414a a ==，所以253116a q a ==，因为1q >，不合题意，舍去；所以432a a q ==，即2x y +=，()1211212131232222xx y x y x y y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=+++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎝+⎭⎭⎝，当且仅当2y x xy=，即2,4x y ==-时，等号成立，故选：B8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()cos 2()g x x xf x =-，对于[)0,∞+上任意两个不相等实数1x 和2x ，()g x 都满足1212()()0g x g x x x ->-，若12log 7.1a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.9(2)b g =， 1.1(3)c g =，则,,a b c 的大小关系为（）A.b a c <<B.c b a<< C.a b c<< D.b<c<a【答案】A 【解析】【分析】由题知函数()g x 为偶函数，在[)0,∞+上单调递增，进而根据0.91.1222log 7.133<<<<结合函数的性质比较大小即可.【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()cos 2()cos 2g x x x f x x xf x g x -=----=-=，即函数()g x 为偶函数，因为对于[)0,∞+上任意两个不相等实数1x 和2x ，()g x 都满足1212()()0g x g x x x ->-，所以函数()g x 在[)0,∞+上单调递增，因为()()1222log 7.1log 7.1log 7.1a g g g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，因为0.91.1222log 7.133<<<<，所以，()()()0.91.122log7.13g g g <<，即b a c <<.故选：A9.在ABC 中，3AC =，5BC =，D 为线段BC 的中点，12AD BC =，E 为线段BC 垂直平分线l 上任一异于D 的点，则2AE CB ⋅=（）A.73B.4C.7D.6-【答案】C 【解析】【分析】先根据题意得ABC 为直角三角形，2A π=，进而得216AB =，再根据AE AD DE =+ ，CB AB AC =- ，DE CB ⊥得22722AE CB C D B A AB AC =-⋅==⋅ .【详解】解：因为在ABC 中，D 为线段BC 的中点，所以()12AD AB AC =+ ，即2AD AB AC =+ ，因为3AC =，5BC =，12AD BC =，所以22242cos AD AB AC AC AB A =++ ，即2166cos AB AB A =+，因为BC AC AB=-，所以2222cos BC AC AB AC AB A =+- ，即2166cos AB AB A =-，所以，22166cos 6cos AB AB A AB AB A =+=-，即12cos 0AB A = ，所以cos 0A =，因为()0,A π∈，所以2A π=，即ABC 为直角三角形，所以22216AB BC AC=-=因为E 为线段BC 垂直平分线l 上任一异于D 的点，所以AE AD DE =+ ，CB AB AC =- ，DE CB ⊥，所以()()22222AE CB CB C A AD DE AD A B B ACD ⋅⋅=⋅=⋅-=+ ()()221697AB AC AB AC AB AC =+-=-=-= 故选：C10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论错误的是（）A.若sin sin A B >，则A B>B.若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B>C.若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形D.若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 可以是钝角三角形【答案】D 【解析】【分析】A.由正弦定理及三角形中大角对大边即可判断.B.通过内角和为π化简，再借助角C 为锐角得到角,A B 满足的关系，在再取角的正弦值化简即可.C.边化角，运用两角差的正弦公式化简，得到角,,A B C 的关系，再借助内角和为π计算即可得到.D.通过内角和为π化简角C ，再利用两角和的正切公式化简即可得到tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C ++=>，然后判断即可.【详解】A.因为sin sin A B >，所以由正弦定理知a b >，又因为在三角形中大角对大边，所以A B >.故选项A 正确.B.因为ABC 为锐角三角形，所以2A B C ππ+=->，即2A B π>-，所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭.故选项B 正确.C .由正弦定理边化角得()sin sin cos sin cos sin C A B B A A B =-=-,则C A B =-或C A B π+-=（舍），则A B C A π=+=-,即2A π=，则ABC 一定为直角三角形.故选项C 正确.D .()()tan tan tan tan tan 1tan tan A BC A B A B A Bπ+=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦- ()tan tan tan tan tan 1A B C A B ∴+=-()tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan 0A B C C A B C A B C ∴++=-+=>又因为最多只有一个角为钝角，所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，即三个角都为锐角,所以ABC 为锐角三角形.故选项D 错误.故选：D.11.定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于1x =对称；且当[]0,1x ∈时，()32f x x x x =-+．则方程()420f x x -+=所有的根之和为（）A.10B.12C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】根据题意函数为周期为4的周期函数，再根据当[]0,1x ∈时，()32f x x x x =-+，求导分析函数的单调性，从而画出简图，根据函数的图象及性质求解零点和即可.【详解】∵()f x 为奇函数，∴()()0f x f x -+=，又∵()f x 关于直线1x =对称，∴函数()1f x +为偶函数，故()()11f x f x +=-+，所以()()()()()4313122f x f x f x f x f x +=++=--+=--=-+，又()()()()()21111f x f x f x f x f x +=++=--+=-=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 为周期函数，周期为4，当[]0,1x ∈时，()22123213033f x x x x ⎛⎫'=-+=-+> ⎪⎝⎭，所以()f x 在[]0,1上单调递增，作函数()f x 图象如下方程()420f x x -+=可化为()()124f x x =-，方程()()124f x x =-的解即函数()f x 的图象与函数()124y x =-的图象的交点的横坐标，作函数1()(2)4f x x =-的图象，∴方程()420f x x -+=的所有实根之和为()()1524344210x x x x x ++++=++=.故选：A ．12.已知函数()()1e ln xaf x a x xx =+-+（其中1x >，a<0）有两个零点，则a 的取值范围为（）A.()2,e ∞-- B.()2e ,e -- C.(,1)-∞- D.(),e ∞--【答案】D 【解析】【分析】根据函数的零点个数、方程的解个数与函数图象的交点个数之间的关系可得方程ln ln e e x x a a x x ---=-有2个不同的解，构造函数()ln f x x x =-(1)x >，利用导数研究函数()f x 的性质可得e a x x -=，即函数1y a =与ln ()x g x x=-图象在(1,)+∞上有2个交点，利用导数求出min ()g x ，即可求解.【详解】函数()1e (ln )(1,0)a x f x a x x x x a =+-+><有2个零点，则方程1e (ln )0a x a x x x +-+=有2个不同的解，方程ln e x a a x x x --=--ln ln e e x x a a x x --⇔-=-，设函数()ln f x x x =-(1)x >，则11()10xf x x x-'=-=<，所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，由()(e )x a f x f -=，得e a x x -=，即1ln x a x =-，则函数1y a =与ln x y x=-图象在(1,)+∞上有2个交点.设函数ln ()(1)x g x x x =->，则221ln ln 1g (x)x x x x --'=-=，令()01e g x x '<⇒<<，令()0e g x x '>⇒>，所以函数()g x 在(1,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，故1min ()(e)e g x g -==-，所以101e a a-<⎧⎪⎨>-⎪⎩，解得e a <-.故选：D.第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上．2．试卷中横线的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答．本卷包括必考题和选考题两部分．第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(0,4)a m =- ，()21,b m m =+ ，若a 与b 垂直，则实数m 等于____．【答案】0或4【解析】【分析】根据向量坐标运算的垂直关系计算即可.【详解】向量(0,4)a m =- ，()21,b m =+ ，若a 与b垂直，则22(0,4)(1,)40a b m m m m m ⋅=-⋅+=-=，解得0m =或4m =，故答案为：0或4.14.2353π8lg +2lg 2sin 22+-=__【答案】6【解析】【分析】根据指数、对数、三角函数等知识确定正确答案.【详解】原式()()232352lg lg 212=++--252lg 415lg105162⎛⎫=+⨯+=+=+= ⎪⎝⎭.故答案为：615.若命题：“0x ∃∈R ，使2200(1)(1)10m x m x --++≤”是假命题，则实数m 的取值范围为____．【答案】1m ≤-或53m >【解析】【分析】先得出存在量词命题的否定，即为恒成立问题，结合二次函数的图象与性质对21m -的符号分类讨论即可【详解】由题意得，“0x ∀∈R ，使2200(1)(1)10m x m x --++>”是真命题，当2101m m -=⇒=±时，易得1m =-时命题成立；当()2101,1m m -<⇒∈-时，由抛物线开口向下，命题不成立；当()()210,11,m m ->⇒∈-∞-+∞ 时，则命题等价于()()2221413250m m m m ∆=+--=-++<，即()()35101m m m -+>⇒<-或53m >故答案为：1m ≤-或53m >16.()f x '为()f x 的导数，若函数()f x 在区间[],a b 上存在12,x x ，（12a x x b <<<），满足12()()()()f a f b f x f x a b-''==-，则称12,x x 为区间[],a b 上的“对视数”，函数()f x 为区间[],a b 上的“对视函数”．下列结论正确的有____（写出所有正确结论的序号）①函数32()e 2122xx x f x x =-+-+在任意区间[],a b 上都不可能是“对视函数”；②函数()cos f x x x =+是5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“对视函数”；③函数32(2)f x x x =-+是[]1,2-上的“对视函数”；④若函数()f x 为[],a b 上的“对视函数”，则()f x 在[],a b 上单调．【答案】①③【解析】【分析】由“对视函数”的定义可知()()()f a f b f x a b-'=-在[],a b 上有两个不相等的实数根，据此可判断①②③④.【详解】对于①，2()e 14xx f x x '=-+-，设2()()14e xx g x f x x '==-+-，1()12e xg x x '=-+，设()e x h x =，1()12x x =-ϕ，()e x h x '=，1()2x '=ϕ，当0x ≥时，()1h x '≥，所以()()h x x ''>ϕ，又(0)1h =，(0)1ϕ=-，(0)(0)h >ϕ，而当0x <时，()0h x >，()0x ϕ<，所以()e x h x =图像恒在直线1()12x x =-ϕ上方，所以()0g x '>，即2()e 14xx f x x '=-+-在R 上单调递增，所以不存在12,x x ，使得12()()f x f x ''=，即函数32()e 2122xx x f x x =-+-+在任意区间[],a b 上都不可能是“对视函数”，①正确；对于②，()1sin f x x '=-()()33133f f π5π-=-，令1sin 1x -=，得x π=，只有一个根，所以函数()cos f x x x =+不是5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“对视函数”，②错误；对于③，2()32f x x x ='-，(1)(2)212f f --=--，令2322x x -=，解得1173x -=，2173x =，而1212x x -<<<，所以函数32(2)f x x x =-+是[]1,2-上的“对视函数”,③正确；对于④，若函数()f x 为[],a b 上的“对视函数”，则()0f x '=在[],a b 上有两个不相等的实数根，所以()f x 在[],a b 上不单调，④错误.故答案为：①③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数2()4(1f x x x =-<≤的值域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．（1）当1a =时，求A B ⋂；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(){}3,12A B =- （2）(](),42,-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的值域和()g x 的定义域，求交集即可；（2）根据p 是q 的充分不必要条件，可得A ⫋B ，从而可得实数a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，()g x ==，由题意201x x -≥-，解得1x <或2x ≥，所以{1B x x =<或}2x ≥，又函数2()4(1f x x x =-<≤的值域为集合A ，故(]3,2A =-所以(){}3,12A B =- .【小问2详解】由题意(1)0x a x a -+≥-，即()[(1)]00x a x a x a --+≥⎧⎨-≠⎩，解得：1x a ≥+或x a <，所以{|1B x x a =≥+或}x a <，由题意可知A ⫋B ，又(]3,2A =-所以2a >或13a +≤-，解得2a >或4a ≤-故实数a 的取值范围(](),42,-∞-+∞ .18.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足3520a a +=，48a =，数列{}n b 的通项公式为212n n b +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若n n p q a b =，求数列{}12n n n na p q ++-的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a -=（2）1(1)22(1)n n T n n +=-⋅++【解析】【分析】（1）根据已知条件求得等比数列{}n a 的公比，从而求得n a .（2）结合分组求和法、错位相减求和法求得n T .【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为,1q q >，354208a a a +=⎧⎨=⎩，2333208a a q a q ⎧+=⎨=⎩则2152q q +=，22520q q -+=，解得2q =或12q =（舍去），所以4414822n n n n a a q---=⋅=⨯=.【小问2详解】若n n p q a b =，则12122n n p q -+=，所以121n n p q -=+，22n n p q -=，所以1222nn n n na p q n ++-=⋅+，设1212222nn S n =⋅+⋅++⋅ ，231212222n n S n +=⋅+⋅++⋅ ，两式相减得1212222n n n S n +-=+++-⋅ ()()1111212222221212n n n n n n n n ++++-=-⋅=-+-⋅=-+-⋅-，所以()1122n n S n +=-⋅+.所以()()121221n n n T S n n n +=+=-⋅++.19.已知函数323()2a f x x x axb +=-++（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，探究函数()y f x =的图象与抛物线25532y x x =-+的公共点个数．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）对二次函数()(3)(1)f x x a x '=--零点分布情况分类讨论即可求解；（2）将问题转化为()g x 图象与x 轴有几个公共点的问题，利用导数求得极大值与极小值，即可判断.【小问1详解】因为323()2a f x x x axb +=-++，∴2()3(3)(3)(1)f x x a x a x a x '=-++=--．①若3a >，当13ax <<时，()0f x '<,当1x <或3ax >时，()0f x ¢>，即()f x 在(1,)3a 上单调递减，在(,1)-∞和(,)3a +∞上单调递增；②若3a =，恒有()0f x '≥．即()f 在定义域R 上单调递增；③若3a <，当13ax <<时，()0f x '<,当3ax <或1x >时，()0f x ¢>，即()f x 在(,1)3a 上单调递减，在(,)3a-∞和(1,)+∞上单调递增.【小问2详解】当1a =时，32()2f x x x x b =-++，令23259()()(53)6322g x f x x x x x x b =--+=-++-,则原题意等价于()g x 图象与x 轴有几个公共点．因为2()3963(1)(2)g x x x x x '=-+=--,所以由()0g x '>，解得2x >或1x <；由()0g x '<，解得12x <<．∴()g x 在1x =时取得极大值1(1)2g b =-,()g x 在2x =时取得极小值(2)1g b =-,依题意有:①当1210b b ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解得112b <<，即当112b <<时，函数()y f x =的图象与抛物线25532y x x =-+有3个不同的公共点；②当102b -=或10b -=，即12b =或1b =时，函数()y f x =的图象与抛物线25532y x x =-+有2个不同的公共点；③当10b ->或102b -<，即12b <或1b >时，函数()y f x =的图象与抛物线25532y x x =-+有1个不同的公共点．综上：当112b <<时，函数()y f x =的图象与抛物线25532y x x =-+有3个不同的公共点；当12b =或1b =时，函数()y f x =的图象与抛物线25532y x x =-+有2个不同的公共点；当12b <或1b >时，函数()y f =的图象与抛物线25532y x x =-+有1个不同的公共点．20.已知函数21()cos sin sin()32f x x x x π=++-（1）求函数()f x 的对称中心及()f x 在[]0,π上的单调递增区间；（2）在锐角ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，1()2f C =，8AC =，sin 13B =，D 为边BC 上一点，且2CD DB =，求AD 的值．【答案】（1）对称中心为1(,2124k k Z ππ-∈；单调递增区间为[0,6π，2[,]3ππ.（2）【解析】【分析】（1）先由二倍角公式和辅助角公式化简函数，再根据整体代入法即可求得对称中心和单调区间；（2）由正弦定理和余弦定理即可求解.【小问1详解】函数21()cos sin sin()32f x x x x π=++-211sin (cos sin )cos 222x x x x =++-231cos cos 22x x x=+1311(sin 2cos 2)2224x x =++11sin(2)264x π=++.由26x k ππ+=，Z k ∈，解得212k x ππ=-，Z k ∈．故对称中心为1(,Z 2124k k -∈ππ．由222262k x k πππππ-≤+≤+，Z k ∈，解得36k x k ππππ-≤≤+，Zk ∈令0k =，有36x ππ-≤≤，令1k =，有2736x ππ≤≤，又[]0,x π∈所以所求的单调递增区间为[0,]6π，2[,]3ππ.【小问2详解】因为1()2f C =，所以111sin(2)2642C ++=π，即1sin(2)62C π+=又在锐角ABC 中(0,)2C π∈，所以3C π=，在ABC 中，由正弦定理可得：sin sin ACC B=，所以239sin313ABπ=，解得AB =，又由余弦定理得2222cos 3AB AC BC AC BC =+-⋅⋅π，解得6BC =或2，当BC =2时，22280AB BC AC +-=-<，此时ABC 为钝角三角形，与题设矛盾，所以6BC =，又2CD DB =，所以4CD =，在ADC △中，由余弦定理可得AD =，故AD的值为21.已知函数()ln f x x x =+，()ex ag x x +=+()R a ∈，其中e 为自然对数的底数．（1）求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）当2a =-时，有2815,26()9,6x x x x x x τ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，求证：对[)2,x ∀∈+∞，有()()g x x τ≥；（3）若12()()f x g x a -=，且121x x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）21y x =-；（2）证明见解析；（3）[1,)-+∞.【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求出切线方程；(2)利用导数求出min ()g x ，根据二次函数和一次函数的性质求出max ()x τ，即可求解；(3)根据题意可得12ln 12ln ee x x a x x a ++=++，设()e x h x x =+，则()()12ln h x h x a =+，利用导数研究函数()h x 的单调性可得1222ln ln a x x x x =-≥-，令()ln x x x ϕ=-(0x >)，再次利用导数研究函数的性质，求出()max x ϕ即可.【小问1详解】因为()ln f x x x =+，所以点(1,(1))f 即为点(1,1)1()1f x x'=+，(1)2k f '==切线，故切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-；【小问2详解】因为当2a =-时，2()e x g x x -=+，2()1e 0x g x -'=+>，故()g x 在[2,)+∞上单调递增，所以min ()(2)3g x g ==，当26x ≤<时，22()815(4)1x x x x τ=-+=--，此时max ()(2)3x ττ==；当6x ≥时，()9x x τ=-在[6,)+∞上单调递减，此时max ()(6)3x ττ==，故max ()3x τ=，所以()()g x x τ≥成立；【小问3详解】由题意得：1>0x ，又因为121x x ≥，所以20x >，又12()()f x g x a -=，即2112ln (e )x ax x x a ++-+=，即2112ln e x ax x x a ++=++，所以12ln 12ln ee x x a x x a ++=++①设()e xh x x =+，则①式变形为()()12ln h x h x a =+()1e 0x h x '=+>，所以()e x h x x =+单调递增，所以12ln x x a =+，因为121x x ≥，所以1222ln ln a x x x x =-≥-，令()ln x x x ϕ=-，0x >，则()111x x x xϕ-'=-=，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，则函数()x ϕ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()ln x x x ϕ=-在1x =处取得极大值，也是最大值，有()()1ln111x ϕϕ≤=-=-，故[1,)a ∈-+∞．即实数a 的取值范围为[1,)-+∞.【点睛】破解含双参不等式证明题的3个关键点（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.（3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程］22.平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）曲线1C 与2C 交于M ，N 两点，求与直线MN 平行且过原点的直线l 的极坐标方程及MN 的值．【答案】（1）221x y +=；220x y x +-=（2）5()6R πθρ=∈【解析】【分析】（1）求曲线1C 的普通方程只需把,x y 平方即可，求曲线2C 的方程只需极坐标与直角坐标的转化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化简即可.（2）两圆方程联立即可求相交弦方程，即直线MN 的方程，再根据平行求出直线l 的方程，进而可求直线l 的极坐标方程，再利用圆的弦长与圆心到直线的距离，半径之间的关系即可求出MN 的值．【小问1详解】由曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），可得2222cos sin 1x y αα+=+=，即曲线1C 的普通方程为221x y +=；曲线2C 的极坐标方程为2sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭⇒2sin cos ρθρθ+⇒22x y x +=+.故曲线2C的直角坐标方程为220x y x +--=.【小问2详解】由（1）得22221100x y x x y x ⎧+=⎪⇒+-=⎨+--=⎪⎩即直线MN的方程为10x +-=，则与直线MN 平行且过原点的直线l 的方程为33y x =-，其倾斜角为56π所以直线l 的极坐标方程为()56R πθρ=∈；设曲线221:1C x y +=的圆心(0,0)到直线MN 的距离为d ，则12d =，故MN ==．故：MN =［选修4—5：不等式选讲］23.已知函数()()2R f x x x a x a =-+∈（1）当1a =时，解不等式()1f x >；（2）若()2f x x <+对于任意的13,42x Î恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1{12xx <<∣或1}x >（2）5,26⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题意，分类讨论求解即可；（2）根据题意1x a x -<且1a x x<+对任意的13,42x Î恒成立，再求对应的最值即可得答案.【小问1详解】解：当1a =时，不等式()1f x >，即2|1|1x x x -+>，所以12(1)1x x x x ≥⎧⎨-+>⎩或12(1)1x x x x <⎧⎨-+>⎩，即得21210x x x ≥⎧⎨-->⎩或212310x x x <⎧⎨-+<⎩，解得112x <<或1x >，所以不等式()1f x >的解集为1{|12x x <<或1}x >【小问2详解】解：因为()2f x x <+对任意的13,42x Î恒成立，所以，||1x x a -<对任意的13,42x Î恒成立，即1||x a x -<，即11x a x x x-<<+，第21页/共22页故只要1x a x -<且1a x x<+对任意的13,42x Î恒成立即可，因为12x x +≥=，13,42x Î，当且仅当1x x =时，即1x =时等号成立，所以min 1()2x x+=，令1()g x x x=-，13,42x Î，因为函数1,y x y x==-在13,42x Î上单调递增，所以()g x 在13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增，从而max 35()()26g x g ==，所以，526a <<，即实数a 的取值范围是5,26⎛⎫ ⎪⎝⎭第22页/共22页。

成都七中高2021届高二理科数学零诊模拟考试试卷答案

成都七中高2021届零诊模拟试题（理科数学参考答案）一、选择题：CABCD ACDBA BC二、填空题：420π)6 2[22l n 2- 三、解答题：17．解：（Ⅰ）解：（1）/2()32f x x ax b =++由题意得：326a b ++=-111(1)622f =-+=-，即11112a b +++=-，由上述方程解得3,62a b =-=-…………………6分（Ⅱ）323()612f x x x x =--+2()3363(1)(2)f x x x x x ∴=--=+-()f x ∴在区间(,1),(2,)-∞-+∞上递增，在区间(1,2)-的上递减，……………9分 ()(2)9f x f ∴==-极小值，9()(1)2f x f =-=极大值要使方程()f x m =有三个不同的根，则实数m 的取值范围是9(9,)2- …………………12分18．解：（Ⅰ）根据表中数据可得：120,90,x y ==..................1分51()()135i ii x x y y =--=∑521()250ii x x =-=∑51521()()0.54()i i i ii x x y y b x x ∧==--∴==-∑∑..................2分 a y b x ∧=-⋅25.2a ∴= 故所求回归直线的方程为0.5425.2y x =+..................4分易知x 的值为135，∴98.1y =(分)∴故第六次月考物理成绩预测值为98.1分...................6分（Ⅱ）数学成绩超过物理成绩30分的月考有：第三次和第四次，从五次月考中任取两次的所有情况有：（一二），（一三），（一四），（一五），（二三），。

四川省广安市2021-2022学年高二下学期“零诊”考试数学(理)试题

一、单选题二、多选题1. 已知A ､B 是椭圆（）长轴的两端点，P ､Q 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AP ，BQ的斜率分别为，（），若椭圆的离心率为，则的最小值为（）A ．2B．C ．1D．2. 已知函数图象过点，则“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知是纯虚数，复数是实数，则A．B．C．D．4. 集合M ＝{x |2x 2﹣x ﹣1＜0}，N ＝{x |2x +1＜0}，U ＝R ，则M ∩∁U N ＝（）A ．[，1）B ．（，1）C ．（﹣1，）D ．（﹣1，]5. 某学校高一年级进行趣味投篮比赛，规定投进球加2分，没有投进扣1分，已知李同学投篮的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立，则经过5次投篮后李同学得分超过5分的概率为（）A．B．C．D．6.函数的大致图象是A．B．C．D．7.函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．8. 若复数z 满足（i 为虚数单位），则=（）A ．1B．C．D ．29. 直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不含端点），则（）A ．与不垂直B ．平面C．的最小值为D ．的取值范围为10. 如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（）四川省广安市2021-2022学年高二下学期“零诊”考试数学（理）试题四川省广安市2021-2022学年高二下学期“零诊”考试数学（理）试题三、填空题四、解答题A ．直线与直线垂直B ．直线与平面平行C ．平面截正方体所得的截面面积为D．点与点B到平面的距离相等11. 已知a ，b 为正实数，且，则（）A．的最大值为B ．的最小值为4C．的最小值为D ．的最大值为12. 若函数的图象过点，则结论不成立的是（）A ．点是的一个对称中心B．直线是的一条对称轴C．函数的最小正周期是D ．函数的值域是13.的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项.若实数，那么___________.14. 已知平面向量，满足，，则__________．15. 某公司青年、中年、老年员工的人数之比为10∶8∶7，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是0.2，则该公司青年员工的人数为__________．16. 已知向量，，函数，．（Ⅰ）求函数的图像的对称中心坐标；（Ⅱ）将函数图像向下平移个单位，再向左平移个单位得函数的图像，试写出的解析式并作出它在上的图像．17. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底边ABCD 是边长为2的菱形，PA =AC =2，PA ⊥平面ABC ，E ，F 分别为PD ，BC 的中点.（1）求三棱锥P-ABD的体积；（2）证明：EF∥平面PAB（参考公式：锥体的体积公式为V= ，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高）18. 近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展.某城市推出了两套方案，并分别在，两个大型居民小区内试行．方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作．建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类．经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；(2)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案.现从小区内随机抽取5个人，用表示赞成该小区推行方案的人数，求的分布列及数学期望．19. 年新冠来袭!我国迅速应对，彰显“中国速度”.月武汉进行全民筛查新冠“大会战”，首个将“混检”用于大型筛查的城市，从而很大程度上提高了检测的速度，同时也降低了成本.“混检”就是例如将采集的支拭子集合于个采集管中进行核酸检测，如果呈阳性再逐个检测，直到能确定阳性拭子为止；如果呈阴性则说明这个样本都不携带病毒，也称为“合混”检测技术；后来有些城市采用“合混”检测技术.现采集了支拭子，已知其中有支拭子是阳性，需要通过检测来确定哪一个拭子呈阳性.下面有两种检测方法：方案一：逐个检测，直到能确定阳性拭子为止；方案二：采用“合混”检测技术，若检测为阴性，则在另外支拭子中任取支检测.（1）表示依方案一所需检测次数，求的分布列和期望.（2）求依方案一所需检测次数不少于依方案二所需检测次数的概率.20. 政府机构改革是深化行政管理体制改革的重要组成部分，按照精简、统一、效能的原则和决策权、执行权、监督权既相互制约又相互协调的要求，着力优化组织结构，规范机构设置、完善行政运行机制，为调研某地社保中心的改革情况，现特地对某市医保报销流程的简化过程以及老百姓报销所花费的时间是否布有所减少作了调查统计.假设报销时所需携带的资料已经搜集齐全的情况下，来统计将各种所需资料带齐到时.社保中心相关部门申请办理，经审核等各流程办理通过所花费的时间，为此，在该市社保中心的确名报销人员中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选报销人员情况如表所示：组别办理时间（单位：分钟）人数一1二5三3四1（1）估计这60名报销人员中办理时间大于等于10分钟且小于30分钟的人数；（2）现从这10人中随机抽取2人，求这2人全部不来自第二组的概率；（3）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自个组，求随机变量的分布列及数学期望.21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=PC.(1)求直线CE与直线PD所成角的余弦值；(2)当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时的值.。

高2020届6月月考零诊模拟考试(理)参考答案

又 s(8) 0 ， s(9) 0 ，
∴ x0 (8，9) ，使得 s(x0 ) 0 ，即 2 ln x0 x0 4 ，
且当 2 x x0 时， s(x) 0 ；当 x x0 时， s(x) 0 ，
即 g(x) 在 (2，x0 ) 上单调递减；在 (x0， ) 上单调递增，

y1 y2

(m2
1) y1 y2

m3 2
( y1

y2 )

m4 4
(m2 1)
m4 16
m3 (
m3
m4 ) 0，
4(m2 4) 2 m2 4 4
零诊冲刺数学答案第 3 页共 5 页
四川省金堂中学校高 2020 届数学备课组
m4 16m2 16
整理得
0，
即 m4-16m2-16=0，
2
x
3 3
3 3
解得 0 x
或x
3
3
…………………10 分
3 3 3 3
所以函数 f (x) 的单调减区间为 (0,
), (
,)
3
3
…………………12 分
n
xi yi n.x.y
18．解：（1）由已知有 x 45 ， y 36 ， bˆ i1
16310 8 45 36
2
2
∴ (2x-2)2+(2y)2=4(y≥0)，
整理得 C1 的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(y≥0)．
……………………5 分
（2）直线 l 过点 A(-1，0)，
x 1 t cos，

所以直线 l 的参数方程为

2022年巴中市零诊考试题(理科数学)

理科数学答案第1页共11页巴中市普通高中2020级“零诊”考试数学阅卷参考答案（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．【解析】B ．先写出集合M ，然后逐项验证即可．由{1, 2, 3, 4, 5}U =且{1, 2}U M =ð得{3, 4, 5}M =，故选B ．备注：2022年全国乙卷理数第1题改编.2．【解析】D ．利用复数四则运算，先求出z ，再依照复数的概念求出复数z 的虚部．选D ．方法一：由题意有(34i)(i)34i 43i ii (i)z ---===--⋅-，故复数z 的虚部为3-．方法二：由i 34i i(3i 4)z ⋅=-=--，得43i z =--，故复数z 的虚部为3-．3．【解析】A ．121l l m ⇔=±∥，故“1m =”是“12l l ∥”的充分不必要条件．选A ．4．【解析】D ．不妨取双曲线的右焦点(, 0)c ，渐近线y bx =，由点到直线距离公式得24b =，然后利用离心率的变通公式c ==，进而求得离心率e0)F ，双曲线的渐近线为y bx =，即0bx y -=2b ==，即224b a =，所以离心率e ．选D ．5．【的判定与性质推理论证，需注意相应定理的条件的完备性．对于A 选项，n α⊂也可能；对于B 选项，由条件得不到m α⊥，故不能推断出αβ⊥；对于C 选项，则法线与法向量垂直则两个平面垂直知正确；对于D 选项，条件中缺少m α⊂，故得不到mβ⊥．6．【解析】A ．由任意角的三角函数定义，得tan 12a b θ==，故(2, 2)B a ，||2||OB OA =．由3cos25θ=-得：222222cos sin cos2cos sin cos s 5in 3θθθθθθθ-=-==-+，变形得：221tan 51t 3an θα-=-+，解得2tan 4θ=，所以||OB =．或者，设||OA r =，则221r a =+，1sin , cos ||2a OB r r r θθ===；由3cos25θ=-得222222113cos2cos sin 51a a r a θθθ--=-===-+，解得：24a =，故||2OB r ==．选A ．7．【解析】D ．借助判断函数的奇偶性、对称性和有界性，正弦型函数的符号变化规律，均值不等式等知识进行推断．由2sin()()[2, 2]x x x f x x e eπ-=∈-+知()f x 为奇函数，且在(0, 1)内恒正，故A 、B 选项不正确；又2sin()2x π≤，2x x e e -+≥且等号不同时成立，由不等式的性质知|()|1f x <，排除C 选项．选D ．8．【解析】A ．设公差为d ，则211(1)()22n n n d na d n a d n S -=+=+-，故1()22n S d d n a n =+-；又20232022120232022S S -=，12022a =-，故{}n Sn 是以2022-为首项，1为公差的等差数列，于是得20232022(20231)102023S =-+-⨯=，所以20230S =．选A ．本题也可用基本量法求解，借助等差数列前n 项和的性质运算更为简洁．9．【解析】D ．本题考查平面向量的线性运算、数量积及其几何意义，数量积的坐标表示，数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，运算求解能力．方法一：由点D 在BC 上，设BD xBC =, 01x ≤≤，则()AD AB BD AB xBC AB x AC AB =+=+=+-=(1)x AB xAC -+ ，从而得：()[(1())]x AB xAC AD BC AD AC AB AC AB -⋅=⋅-=⋅-+=22(1)134xAC x AB x +-=- ，由01x ≤≤得41349x --≤≤，故[4, 9]AD BC ⋅∈- ．方法二：以A 为原点，AB ，AC 所在直线分别为, x y 轴建立直角坐标系（如图），则(2, 0), (0, 3), (2, 3)AB AC BC ===- ，设(, )D x y ，则(, )AD x y = ，故23ADBC x y ⋅=-+Axy32BCD（*），由点D 在BC 上得：23260, 0 x x y +-=≤≤（可借助初中的一次函数知识或必修2第三章直线的方程获得, x y 满足的方程），用x 表示y 代入（*）式得：1320239, 2AD BC x x y x ⋅=-+=-≤≤，故[4, 9]AD BC ⋅∈-．方法三：设AD与与BC 的夹角为θ，则由题意得|cos AD BC AD θ⋅ ，故||cos AD θ 取最大值时AD BC ⋅ 最大，||cos AD θ取最小值时AD BC ⋅ 最小，结合上图，用运动变化的观点分析易知：D 在斜边BC 上移动时，当D 与C 重合时AD的模最大且与BC 的夹角最小（ACB ∠），故此时AD BC ⋅ 取得最大值，且max AD BC AC BC ⋅=⋅= ()9AC AC AB ⋅-= ；当D 与B 重合时AD的模最小且与BC 的夹角最大（ABC π-∠），故此时AD BC ⋅ 取得最小值，且min =()4AD BC AB BC AB AC AB ⋅⋅=⋅-=-．选D ．应注意，由向量夹角的定义知ABC ∠不是向量AB 与BC的夹角！！这是向量问题中的易错点！10．【解析】B ．将函数cos()3y x πω=+的图象向左平移3π个单位长度，得cos[()]33y x ππω=++的图象．而5cos[()]cos()sin[()]sin()333323336y x x x x ππωπππωππωππωωωω=++=++=++=++，故由题意知sin x ω=5sin()36x ωππω++，所以5236x k x ωππωπω++=+(k ∈Z )，解得562k ωπ=-(k ∈Z )，由0ω>知：当1k =时取最小值，故min 72ω=．选B ．或者，由cos()3y x πω=+知23x πωπ+=时1y =，由sin y xω=知当2x πω=时1y =，故由题意得5332πππωω-=，解得72ω=．11．【解析】B ．由(1)2()f x f x +=得：()2(1)f x f x =-．又当(0, 1]x ∈时，11()sin [, 0]44f x x π=-∈-，故当(1, 2]x ∈时，1()[2f x ∈-；类推得：当(2, 3]x ∈时，()4(2)sin [1, 0]f x f x x π=-=-∈-，且(2, 3]x πππ∈．如图．由sin x π-=得sin x π=，解得123x πππ=+或223x πππ=+，解得73x =或83x =．故若对任意(, ]x m ∈-∞，都有()f x ≥，则73m ≤．选B ．12．【解析】C ．要比较, , a b c 的大小，可先比较ln , ln , ln a b c 的大小．又ln 22ln 20a =，ln 21ln 21b =，ln 20ln 22c =．方法一：由22202121202242+=+=+=，令函数()(42)ln , 20f x x x x =-≥，则42()ln 1f x x x '=-+-在[20, )+∞上单调递减，所以11()(20)ln 2010f x f ''=-+≤；因为223920e <=<，所以ln 202>，ln 202-<-，所以11191()(20)ln 2010201010f x f '<-+=-'=-+<≤，由此知()f x 在[20, )+∞上单调递减，故(20)(21)(22)f f f >>，即ln ln ln a b c >>，故c b a <<．故选C ．方法二：先比较ln a 与ln c 的大小，易证：函数ln ()x g x x =在(, )e +∞上单调递减，故ln 20ln 222022>，所以ln 22ln 2020ln 22ln a c =>=，从而a c >；再比较比较ln a 与ln b 的大小，令ln (), 201x h x x x =+≥，则21ln ()(1)x xx h x x +-'=+，记1ln x y x x +=-，则2110y x x '=--<，故1ln x y x x +=-在(0, )+∞上是减函数，所以当20x ≥时，21ln 20020y -<≤，从而()0h x '<，由此知()h x 在[20, )+∞上单调递减，故(20)(21)h h >，即ln 20ln 212122>，变形得22ln 2021ln 21>，所以ln ln a b >，由此得a b >；同理可比较得到b c >；故a b c >>．故选C ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．【解析】1-．利用二项展开式的通项公式及已知建立m 的方程求得m 的值．因为展开式中含3x 的项为353332C 2()40mx m x ⋅⋅-=-⋅，所以334040a m =-=，解得1m =-．注：本题原型为人教A 版选修2-3例2（1）题，主要考查二项式定理及其通项公式，及数学运算核心素养和运算求解能力．14．【解析】57．计算得1(2356)44x =+++=，1(28314148)374y =+++=，则样本中心点是(4, 37)，代入回归方程得 5375417a y x =-=-⨯=，所以回归方程是 517y x =+，将8x =代入得 57y =．15．【解析】．由题意有：BD ⊥平面ADC ，, AD DC ⊂平面ADC ，故, BD AD BD CD ⊥⊥；由2BD =AB =，BC =及勾股定理得：2, 4AD CD ==，又AC =222AD CD AC +=，所以AD DC ⊥，即BD ，AD ，CD 两两垂直，所以三棱A BCD -的外接球与以BD ，AD ，CD 分别为长、宽、高的长方体的外接相同（如右图，O 为球心），所以球半径R =343V R ==．16．【解析】3π，．以三角形边角关系的射影定理为背景，综合考查正弦、余弦定理、三角变换的基本公式与方法，三角函数的图象与性质等知识，求角A 时，既可用正弦定理边化角，也可用余弦定理角化边，还可直接用教材中习题的结论——射影定理简化；对于11tan tan BC+的范围问题，可切化弦后转化为求sin sin B C 的范围，利用23B C π+=且0, 2B C π<<转化只含一个角变量的函数的值域，此时可直接代入消元化简也可用对称设元简化；也可用三角形中三内角的正切关系tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++转化；还可以构造几何图形作几何法或坐标法求解．（1）求角A 的过程与方法．①由已知及正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos sin()sin A A C B B C B C A =+=+=，又02A π<<，故1cos 2A =，所以3A π=．②由已知及射影定理得：2cos cos cos a A c B b C a =+=，故1cos 2A =，又02A π<<，所以3A π=．③由已知及余弦定理得：2222222cos 22a c b a b c a A a a +-+-+=，化简得1cos 2A =，又02A π<<，所以3A π=．（2）求11tan tan BC+范围的过程与方法．策略一：切化弦后转化借助正弦型函数的图象与性质．sin()11cos cos cos sin cos sin sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin B C B C B C C B A B C B C B C B C B C +++=+====由3A π=得23B C π+=，故23C B π=-，又B 为锐角，所以62B ππ<<．①211111sin sin sin sin()sin sin )2cos2sin(2)3244264B C B B B B B B B B ππ=-=+=-+=-+．因为52666B πππ<-<，故1sin(2)126B π<-≤，当且仅当3B π=取等号，所以13sin sin (, ]24B C ∈，故11tan tan B C +∈．②令, 33B xC xππ=-=+，由B 、C 均为锐角得66x ππ-<<，故sin sin sin()sin()33B C x x ππ=-+=22211313sin sin )cos sin sin 2244413(, ]24x x x x x x x -+=-=∈，下同．③由和、差角的余弦公式可得：12sin sin cos()cos()cos()2B C B C B C B C =--+=-+，由已知得, 62B C ππ<<，故33B C ππ-<-<，所以1cos()(2B C -∈，故32sin sin (1, ]2B C ∈，下同．策略二：用余弦定理转化．④在ABC △中，由正弦、余弦定理得：222sin sin 2sin sin cos sin B C B C A A +-=，代入3A π=得：223sin sin sin sin 4BC B C =+-，变形得23sin sin (sin sin )4B C B C =--，由已知得10|sin sin |2B C -<≤，故341sin sin 2B C <≤，仅当sin sin B C =时取等号；下同．策略三：用公式tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++转化．⑤由3A π=得：tan tan tan()tan 1tan tan B C B C A B C++=-=-tan 1)tan tan B C B C -=+，故11tan tantan tan tan tanB CB C B C++==；由,62B Cππ<<知：tan1)B C-tan tanB C=+≥，仅当tan tanB C=取等号，解得，故tan tan3B C≥，所以0，从而11tan tanB C+∈．策略四：几何法或坐标法⑥不妨设a=A作AD BC⊥于D，如右图．设, 0BD x x=<<则CD x=，tanADBx=tan C，所以11tan tanB C+=,62B Cππ<<得321AD<≤，故11tan tanB C+∈．⑦不防设ABC△的边a=则其外接圆半径为1．如右图建立直角坐标系，则ABC△的外接圆的方程为221(12x y+-=，设(,)A x y，由已知得x<132y<≤，1122tan tanx xB C y y+=+．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）解：（1）方法一：由122n nS S+-=得：2122n nS S++-=·······································································1分∴12122n n n nS S S S+++-=-，变形得2112()n n n nS S S S+++-=-···································2分∴212n na a++=①···························································································3分又12a=且2112S S S-=+∴212a a=②·································································································4分由①②知：对任意*n∈N，恒有12n na a+=，且12a=∴数列{}n a是首项与公比均为2的等比数列·························································5分∴2nn a=·······································································································6分方法二：由122n nS S+-=变形得：122(2)n nS S++=+·····························································2分又12a=，故11224S a+=+=·············································································3分∴数列{2}n S+是以4首项，2为公比的等比数列∴112422n nn S-++=⨯=，故122nn S+=-······························································4分∴当2n≥时，1122(22)2n n nn n na S S+-=-=---=················································5分又12a=也适合上式∴2nn a=·······································································································6分方法三：（归纳猜想，然后用数学归纳法证明）由112a S==且2122S S-=得：32622S==-由3222S S-=得：431422S==-同理可得：543022S==-····················································································1分猜想：122nn S+=-·····························································································2分证明：当1n=时，211222S a==-=，结论正确假设当n k=时，有122kk S+=-成立那么，当1n k=+时，1(1)11222(22)222k kk kS S++++=+=-+=-··················3分故当1n k=+时，结论正确综上可知，122nn S+=-··············································································4分OD CB xA1A2Ay下同方法二（2）方法一：由（1）知，2n n n b na n ==⋅··················································································7分∴231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⨯ 2312 1222(1)22n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ···················································8分两式相减得：23122222n n n T n +-=+++-⨯ ···························································9分112(12)2(1)2212n n n n n ++-=-⨯=-⨯--··············································11分∴1(1)22n n T n +=-⨯+．··················································································12分方法二：由（1）知，2n n n b na n ==⋅··················································································7分裂项变形得：12(1)2(2)2n n n n b n n n +=⋅=-⨯--⨯······················································9分∴231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⨯ 34354122(222)(3222)[(1)2(2)2]n n n n +=++⨯-+⨯-⨯++-⨯--⨯ ···················10分12(2)2n n +=+-⨯即1(1)22n n T n +=-⨯+．·················································································12分18．（12分）解：（1）由题意得，总人数为20045岁以上（含45岁）的人数为32001205⨯=，45岁以下的人数为80···························1分一周内健步走少于5万步的人数为20060310⨯=人····················································2分由此得如下列联表：···························································································3分一周内健步走≥5万步一周内健步走<5万步总计45岁以上(含45岁)903012045岁以下503080总计14060200故22200(90305030)253 2.70614060801207K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯·······················································5分∴有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关································6分（2）由题意，抽取的8人中一周内健步走≥5万步有6人，少于5万步的有2人∴X 的所有可能取值为0，1，2，且X 服从超几何分布··········································7分由组合数公式及等可能事件的概率公式得：026228C C 1(0)28C P X ===···························································································8分116228C C 12(1)28C P X ===···························································································9分206228C C 15(2)28C P X=== (10)分∴X 的分布列为····························································································11分X 012P128122815281121530122828282EX =⨯+⨯+⨯=．··························································12分理科数学答案第6页共11页19．（12分）解：（1）证明方法一：由正方形ABCD 的性质得：AB CD ∥······································································1分又AB ⊄平面DCF ，CD ⊂平面DCF∴AB ∥平面DCF ··························································································2分∵BE CF ∥，BE ⊄平面DCF ，CF ⊂平面DCF ∴BE ∥平面DCF······················································································································3分∵, , AB BE B AB BE =⊂ 平面ABE ∴平面ABE ∥平面DCF············································································································4分∵AE ⊂平面ABE∴AE ∥平面DCF ····························································································6分方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG 、DG ∵BE CF ∥∴四边形BEGC 是平行四边形···········································································1分故EG BC ∥，且EG BC =··················································································2分又, AD BC AD BC=∥∴, AD EG AD EG =∥·······················································································3分∴四边形ADGE 是平行四边形···········································································4分∴AE DG ∥·····································································································5分又AE ⊄平面DCF ，DG ⊂平面DCF∴AE ∥平面DCF······················································································································6分方法三：∵平面BCFE ⊥平面ABCD ，平面BCFE 平面ABCD =BCBE BC ⊥，BF ⊂平面BCFE∴BE ⊥平面ABCD ··························································································1分又BE CF∥∴CF ⊥平面ABCD ·························································································2分又CD BC ⊥，故CB CF CD ，，两两垂直以C 为原点，, , CD CB CF的方向分别为, , x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -由2AB BC CD DA BE =====，3CF =得：(0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 2, 0), (2, 2, 0), (0, 2, 2), (0, 0, 3)C D B A E F ·································3分∴(2, 0, 2)AE =-·····························································································4分∵(0, 2, 0)(2, 0, 2)0CB AE ⋅=⋅-=∴CB AE ⊥·····································································································5分又(0, 2, 0)CB =是平面CDF 的一个法向量，且AE ⊄平面CDF∴AE ∥平面DCF ····························································································6分或者，由2(2, 0, 2)3AE DC CF =-=+ 知：向量, , AE DC CF共面又AE ⊄平面CDF ，, DC CF ⊂平面CDF∴AE ∥平面DCF（2）在（1）中方法三的坐标系下，有：(2, 0, 2), (0, 2, 1)AE EF =-=- ，平面CEF 的一个法向量为(2, 0, 0)CD =····················8分设平面AEF 的一个法向量为(, , )m x y z =，则由0,0.m AE m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：220,20.x z y z -+=⎧⎨-+=⎩取1y =得：(2, 1, 2)m = ·········································10分∴2cos , 3||||m CDm CD m CD ⋅〈〉== ·····················································11分故由几何体的空间结构知：二面角A EF C --的余弦值为23．··································12分20．（12分）ABC D EFABC D E FG。

成都七中2022-2023学年度2024届高二(下)零诊模拟考试数学试题(理科)含答案

成都七中高 2024 届零诊模拟考试数学试题(理科)时间: 120 分钟满分:150 分一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分.1.设121iz i i-=++，则z 的虚部为 A.i B.3i C.1 D.32.直线1:10l x ay +-=与直线2:10l ax y ++=平行，则a= A.0 B.1 C.-1 D.1或-13.一组数据包括47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为B.C.10 D.504.已知函数()f x 在其定义域R 上的导函数为()f x '，当x R ∈时，()0 f x '>是“()f x 单调递增”的 A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件5.如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的a 、b 分别为36、96，则输出的a=（）A.0B.8C.12D.246.直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D 、E 两点，若0OD OE ⋅=，其中O 为坐标原点，则C 的准线方程为( )A.14x =-B.12x =-C.1x =-D.2x =-7.函数lg y x =的图象经过变换10:2x xy y ϕ''⎧=⎨=+⎩后得到函数()y f x ''=的图象，则()f x =A.1lg x -+B.1lg x +C.3lg x -+D.3lg x +8.有甲、乙、丙、丁四名学生参加歌唱比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四人，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁9.设曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数，且,22πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)，曲线C 上动点P 到直线:143x y l +=的最短距离为A.0B.15C.25D.110.关于圆周率π，数学史上出现过很多有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，可通过设计如下实验来估计π值：先请100名同学每人随机写下一组正实数对(x ，y)，且要求x ，y 均小于1；再统计x 、y 和1作为三边长能形成钝角三角形的数对(x ，y)的个数m ；最后利用统计结果估计π值.假如某次实验结果得到m=28，那么本次实验可以将π值估计为 A.227 B.4715 C.7825 D.531711.点A 、B 在以PC 为直径的球O 的表面上，且AB BC ⊥，AB=BC=2，已知球O 的表面积是12π，设直线PB 和AC 所成角的大小为α，直线PB 和平面PAC 所成角的大小为β，四面体PABC 内切球半径为r ，下列说法中正确的个数是①BC ⊥平面PAB ；②平面PAC ⊥平面ABC ； ③sin cos αβ=：④12r > A.1 B.2 C.3 D.412.函数()1sin(11)x f x e x =--在[0,)+∞上的零点个数为A.1B.2C.3D.4二、填空题:共4道小题,每题5分，共20分.13.命题“0tan x x x ∀>>，”的否定为_____________.14.函数()cos xf x x=的图象在x π=处的切线方程为_____________.15.某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为____________.16. 双曲线2222:1(,0)x y H a b a b -=>其左、右焦点分别为12,F F ，倾斜角为3π的直线2PF 与双曲线H 在第一象限交于点P ，设12F PF 内切圆半径为r ，若223PF r ≥∣，则双曲线H 的离心率的取值范围为______. 三、解答题：共5道大题，共70分.17.（12分）设函数321(1)()2(1)34f f x x x x f '-=-+-(1)求()1f '-、()1f 的值； (2)求()f x 在[0,2]上的最值.18.（12分)信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一.在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力.下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年对应的代码依次为1~5.(1)从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率.（2）由上表数据可知，可用指数型函数模型x y a b =⋅拟合y 与x 的关系，请建立关于x 的回归方程(a ，b 的值精确到0.01)，并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元. 参考数据:其中ln i i v y =,5115i i v v ==∑参考公式：对于一组数据()11,u w ，()22,u w ，…，(),n n u w ，其回归直线ˆˆˆwu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆni ii nii u w nwunu β=-=-=-∑∑，ˆˆw u αβ=- 19.（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形，AB AC ⊥且AB=AC=2,D 为11B C 的中点，1122AA B C ==. (1)证明:1//AC 平面1A BD ;（2）求平面1AB C 与平面1AA D 所成锐二面角的余弦值20.（12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上顶点为B ，左焦点为F ，中心为0.已知T 为x 轴上动点，直线BT 与椭圆C 交于另一点D ；而P 为定点，坐标为(2,3)-，直线PT 与y 轴交于点Q.当T 与F 重合时，有||||PB PT =，且2BT BP BQ =+. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设T 的横坐标为t ，当(0,2)t ∈时，求DTQ 面积的最大值. 21.(12分）设函数()x f x e ax =-，其中a R ∈.(1)讨论函数()f x 在[1,)+∞上的极值；(2)若函数f(x)有两零点()1212,x x x x <，且满足1211x x λλ+>+，求正实数λ的取值范围. 22.（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C和直线l 的极坐标方程分别为2sin 2cos a ρθθ=+和sin 4x πρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且二者交于M ，N 两个不同点.(1)写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；(2)若点P 的极坐标为(2,),||||PM PN π+=a 的值.理科数学参考答案13.00x ∃>，00tan x x ≤ 14.0x y += 15.80.516.5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：共5道大题，共70分. 17.解:(1)由题设知2(1)()22f f x x x ''-=-+,取1x =-，则有(1)(1)32f f ''--=+,即(1)6f '-=: 也即3213()2(1)32f x x x x f =-+-，取1x =，则有5(1)(1)6f f =-，即5(1)12f =故(1)6f '-=,5(1)12f =.(2)由(1)知32135()23212f x x x x =-+-,2()32(1)(2)f x x x x x '=-+=--,故max 5()(1)12f x f ==,min 5()(0)12f x f ==- 18.解：(1)从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据有(8.1,9.6)，（8.1,11.5)，（8.1,13.8)，（8.1,16.7)，（9.6,11.5)，（9.6,13.8），(9.6,16.7），（11.5,13.8)，（11.5,16.7)，（13.8,16.7)，共10种情况，其中这2个数据都大于10的有(11.5,13.8)，（11.5,16.7)，(13.8,16.7)，共3种情况，所以2个数据都大于10的概率310P =(2)x y a b =⋅两边同时取自然对数得()ln ln ln ln x y a b a x b =⋅=+，则v lna xlnb =+. 因为5213, 2.45,55i i x v x ====∑,所以5152221538.5253 2.45ln 0.17755535i i i ii x v xvb xx =-=--⨯⨯===-⨯-∑∑ ·1 2.450.1773 1.919lna v x nb =-=-⨯=，所以 1.9190.177v x =+ 即ln 1.9190.177y x =+，所以 1.9190.177ˆe 6.81 1.19x x y+==⨯，即y 关于x 的回归方程为ˆ 6.81 1.19x y=⨯. 2023年的年份代码为6，把x=6代入ˆ 6.81 1.19x y =⨯, 得66.81 1.19 6.81 2.8419.3420y =⨯=⨯≈<，所以预测2023年中国信创产业规模不会超过20千亿元. 19.公众号：高中试卷君解：（1）连接1AB 与A 、B 交于点O ，连接OD111ABC A B C -为三棱柱，11ABB A ∴为平行四边形，点O 为1AB 的中点又D 为11B C 的中点，则1//AC OD ,又OD ⊂平面1A BD ,1AC ⊂/平面11,//A BD AC ∴平面1A BD . (2)CA AB ⊥，1CA AA ⊥,AB∩1AA A =，CA ∴⊥平面11ABB A1AB ⊂面11ABB A ，1CA AB ∴⊥ 222211(22)22AB CB AC ∴=-=-=AB=2，12AB =,122BB =，∴22211AB AB BB +=，即1AB AB ⊥以A 为坐标原点，AB ，1AB ，AC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，A(0,0,0)，1(2,2,0)A -,B(2,0,0),1(0,2,0)B ,1(2,2,2)C -,D(-1,2,1)1(2,2,0)AA ∴=-,1(1,0,1)A D =1AB AB ⊥,AB AC ⊥,1AB AC A ⋂=AB ∴⊥平面1AB C ，则平面1AB C 的一个法向量为1(1,0,0)n =设平面1AA D 的法向量为2(,,)n x y z =，则121200AA n A D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2200x y x z -+=⎧⎨+=⎩令x=1,y=1,z=-1,∴2(1,1,1)n =-,设平面1AB C 与平面1AA D 所成二面角的大小为θ1212|1cos 31n n n n θ⋅⨯∴====∴平面1AB C 与平面1AA D20.解：(1)设F(-c,0)，由2BT BP BQ =+知2(-c ）=-2+0，即c=1，由||||PB PT=知2222(20))[2(1)]0)b--+=---+，即b =则a=2，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=(2)直线BT 的方程为x y =,与22143x y +=联立，可得()222243120t y y t +-+-=，且0>，有223124D t y t -=+，即D y =直线PT 的方程为2x y +=-,令x=0，可得Q y =由sin sin 3DTQ Q DDTQPTBPTBS y y y y QT DT DTQ QT DT SSSPT BT BTP PT BT ⋅-⋅⋅∠⋅====-⋅⋅∠⋅即2224DTQt t St -=+，(0,2)t ∈ 而22214t tt -≤+，当2t +=2t =时取等,且()0,2t ∈ 故DTQ 面积的最大值为221.解：(1)由()x f x e ax =-知()x f x e a '=-,1）当a e ≤时，且有[1,)x ∈+∞，()0f x '≥，()f x 单增，故无极值；2）当a e >时，有(1,ln )x a ∈，()0f x '<，()f x 单减，而(ln ,)x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单增，故()(ln )ln f x f a a a a ==-极小值，()f x 无极大值.综上，当a e ≤时，()f x 无极值；当a e >时，()f x 极小值为ln a a -，()f x 无极大值.（2）由（1）可知当a e >时，(ln )(1ln )0f a a a =-<，1(00f =>），且x f x →+∞→+∞，（），由零点存在定理可知120ln x a x <<<，而题设可知12120x x e ax e ax -=-=，消去a 可得221121x x x x x e e e x -==，令211x t x =>，且21ln t x x =-，即2ln 1t t x t =-,1ln 1t x t =-，将其代入1211x x λλ+>+，整理可令得(1)(1)()ln 01t F t t t λλ+-=->+而()22221(1)1(1)()(1)(1)t t F t t t t t λλλλ'--+=-=++,1)当1λ≥时，且(1,)t ∈+∞，有22(1)()0(1)t F t t t λ'-≥>+，()F t 单增，F(t)>F(1)=0，满足题设； 2)当0<λ<1时，且211,t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有()0F t '<，()F t 单减，F(t)<f(l)=0，不满足题设；综上，λ的取值范围为[1,)+∞.22.解：(1)由2sin 2cos a ρθθ=+，得22sin 2cos a ρρθρθ=+，故曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即222()(1)1x a y a -+-=+;由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 2ρθρθ-=故直线l 的直角坐标方程为2y x =+.（2）点P 的直角坐标为（-2,0），在直线l 上，而直线l的标准参数方程为2x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数），将其代入2222x y y ax +=+，整理可得2)440t t a -++=. 由题设知222(3)4(44)2(1)0a a a ∆=+-+=->，解得1a ≠又12t t +=，1244t t a =+当a>-1,且a≠1时，有12,0t t >，则)12123PM PN t t t t a ++=+===+ 解得a=2;当1a ≤-时，有120t t ≤，则12121PM PN t t t t ++=-===- 得a=-4.故a 的值为2或-4..。

四川省棠湖中学高二数学零诊模拟试题理

2018年春期四川省棠湖中学高二年级零诊模拟考试理科数学一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．12i12i+=- A ．43i 55-- B ．43i 55-+ C ．34i 55-- D ．34i 55-+2.已知集合{}x x x A 22≤=，B={–2，0，1，2}，则AB=A.{0，1}B.{0，1，2}C.{1，2}D.{–2，0，1，2} 3．函数()21010x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||2=a ，6⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．10 B ．12 C ．14 D ．165．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y x =±C ．y =D ．y = 6．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112 B ．114 C ．115 D ．1187．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2018)f f f f ++++=…A ．2018-B ．0C ．2D ．508．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A.23 B ．12 C ． 13 D ．149．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=A ．5B ．6C ．7D ．810．设函数()sin 2(1)sin f x x a x x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．3y x =11．已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A．C．．12．已知函数222()28(1010)x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．4B ．3C ．2D ．2- 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试理科数学试题含解析

成都石室中学2022-2023年度下期高2024届零诊模拟数学试题（理科）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.若复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，则||z =（）A.2B.C.D.32.在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A.甲得分的极差是18B.乙得分的中位数是16.5C.甲得分更稳定D.甲的单场平均得分比乙低3.某老师为了了解数学学习成绩得分y （单位：分）与每天数学学习时间x （单位：分钟）是否存在线性关系，搜集了100组数据100100115600,11200i i i i x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑，并据此求得y 关于x 的线性回归方程为 56y bx=+ .若一位同学每天数学学习时间约80分钟，则可估计这位同学数学成绩为（）A.106B.122C.136D.1404.利用随机模拟方法可估计无理数π的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand 表示产生区间(0,1)上的随机数,P 是s 与n 的比值，执行此程序框图，输出结果P 的值趋近于A.πB.4π C.2π D.225.已知命题p ：1k <，命题q ：直线10kx y -+=与抛物线24y x =有两个公共点，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道中的一位选手得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是A.甲B.乙C.丙D.丁7.已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =的图像大致为（）A. B. C. D.8.某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为A.22B.23C.4D.269.若过点()1,2的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线290x y +-=的距离为()A.655B.5C.455D.25510.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 的渐近线上，120⋅=PF PF ，60MPN ︒∠=，则双曲线的C 的渐近线方程为（）A.22y x =±B.32y x =±C.2y =D.233y x =±11.若函数321()4(0)3f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x 和2x ，则12()()f x f x +取值范围为（）A.16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.1623⎛-∞ ⎝C.16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1623⎛-∞ ⎝12.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别为棱111,,AB CC C D 的中点，动点Q ∈平面MNP ，2DQ AB ==，则下列说法错误的是（）A.1B MBC -的外接球面积为9πB.直线//PQ 平面11A BCC.正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D.点Q 的轨迹长度为3π第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设命题2:0,p x x a x∀>+>，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是__________.14.在同一平面直角坐标系xOy 中，曲线22:1C x y +=所对应的图形经过伸缩变换23x xy =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到图形C '.点P 在曲线C '上，则点P 到直线:60l y +-=的距离的最小值为____________.15.已知函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭，其导函数是()f x '.有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式π()2cos 3f x f x ⎛⎫>⎪⎝⎭的解集为_________.16.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，经过抛物线上一点P ，作斜率为34的直线交C 的准线于点Q ，R 为准线上异于Q 的一点，当PQR PQF ∠∠=时，PF =______．三、解答题（本题共6道小题，22题10分，其余各题12分，共70分）17.已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-？若存在，求出求a 的值，若不存在，请说明理由.18.今年是中国共青团建团100周年，我校组织了1000名高中同学进行团的知识竞赛.成绩分成6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400.（1）求出直方图中a ，b ，c 的值；（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）在区间[]80,100内的学生中通过分层抽样抽取了5人，现从5人中再随机抽取两人进行现场知识答辩，求抽取两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内的事件概率.19.如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是以,AB CD 为底边的等腰梯形，且124,60,AB AD DAB AD D D ︒==∠=⊥.（I ）求证：平面11D DBB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若112D D D B ==，求直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.20.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.以点F 、E 所在的直线为x 轴，线段EF 中点为原点建立平面直角坐标系.（1）求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21.设函数()()2cos 102x f x x x =-+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i i iA g i n n ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =-，证明：1217 (6)n k k k n -+++>-.22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为()11x my k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，直线2l 的参数方程2x nn y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数).若直线12,l l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C .（1）求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点,A B 是曲线C 两动点，60AOB ∠=︒，求AOB 面积的最大值.成都石室中学2022-2023年度下期高2024届零诊模拟数学试题（理科）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.若复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，则||z =（）A.2B.C.D.3【答案】C 【解析】【分析】设复数(,)z x yi x y R =+∈，利用相等，求得1,1x y ==-，进而可求复数的模.【详解】设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22233z z x yi x yi x yi i +=++-=+=-，则1,1x y ==-，所以1z i =-，所以z =，故选：C.【点睛】本题考查了复数相等的概念和复数模的求解，着重考查了学生的推理与运算能力.2.在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A.甲得分的极差是18B.乙得分的中位数是16.5C.甲得分更稳定D.甲的单场平均得分比乙低【答案】B 【解析】【分析】根据图一中甲的得分情况可判断ABC 的正误，结合图二可判断图一丢失的数据，计算两者的均值后可判断D 的正误.【详解】对于甲，其得分的极差大于或等于28919-=，故A 错误；从折线图看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分数有3个，故其得分不稳定，故C 错误；乙的数据由小到大依次为：9,14,15,16,17,18,19,20乙得分的中位数为161716.52+=，故B 正确.乙得分的平均数为914151819171620168+++++++=，从折线图上，茎叶图中甲的得分中丢失的数据为一个为15，另一个可设为m ，其中1015m <<，故其平均数为912131520262812313316888m m ++++++++=>>，故D 错误.故选：B.3.某老师为了了解数学学习成绩得分y （单位：分）与每天数学学习时间x （单位：分钟）是否存在线性关系，搜集了100组数据100100115600,11200i i i i x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑，并据此求得y 关于x 的线性回归方程为 56y bx =+ .若一位同学每天数学学习时间约80分钟，则可估计这位同学数学成绩为（）A.106 B.122C.136D.140【答案】C 【解析】【分析】利用回归方程经过样本中心可求b ，故可估计这位同学每天数学学习时间约80分钟后的数学成绩.【详解】由题设可得56001120056,112100100x y ====，故1125656b =⨯+ ，故1b = ，故 56y x =+，故当80x =时，8056136y =+=，故选：C.4.利用随机模拟方法可估计无理数π的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand 表示产生区间(0,1)上的随机数,P 是s 与n 的比值，执行此程序框图，输出结果P 的值趋近于A.πB.4π C.2π D.22π【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图可知由几何概型计算出x ，y 任取（0，1）上的数时落在221x y +<内的频率，结合随机模拟实验的频率约为概率，即可得到答案．【详解】解:根据程序框图可知P 为频率，它趋近于在边长为1的正方形中随机取一点落在扇形内的的概率21414πππ⨯⨯=故选B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，根据已知中的程序框图分析出程序的功能，并将问题转化为几何概型问题是解答本题的关键，属于基础题.5.已知命题p ：1k <，命题q ：直线10kx y -+=与抛物线24y x =有两个公共点，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】联立直线方程和抛物线方程，消元后利用判别式为正可求k 的范围，故可得正确的选项.【详解】由10kx y -+=和24y x =可得()214kx x +=，整理得到：()222410k x k x +-+=，因为直线与抛物线有两个不同的交点，故()22Δ2440k k k ≠⎧⎪⎨=-->⎪⎩，故1,0k k <≠，故命题q 成立能推出命题p 成立；反之，若1k <，取0k =，此时()222410k x k x +-+=仅有一个实数根14x =，故此时直线与抛物线仅有一个不同的交点，故命题p 成立不能推出命题q 成立，故p 是q 的必要不充分条件，故选：B .6.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道中的一位选手得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是A.甲 B.乙C.丙D.丁【答案】D 【解析】【详解】若甲对,则乙也对,所以甲错;若甲错乙对,则丙也对,所以乙错,即3道的选手得第一名,此时只有丁对,因此选D.7.已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【详解】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f xg x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B.考点：1、函数图象；2、对数函数的性质.8.某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为A. B. C.4 D.【答案】B 【解析】【详解】解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥-P ABC ，其中面积最大的面为：122PBC S =⨯= .本题选择B 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．9.若过点()1,2的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线290x y +-=的距离为() A.655B.C.455D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得圆在第一象限，根据几何关系可设圆的方程为222()()x a y a a -+-=，a >0，代入()1,2即可求出a ，根据点到直线距离公式即可求出答案．【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为(),a a ，则半径为a ，0a >．故圆的方程为222()()x a y a a -+-=，再把点(2,1）代入，222(2)(1)a a a -+-=，解得5a =或1，故要求的圆的方程为22(5)(5)25x y -+-=或22(1)(1)1x y -+-=．故所求圆的圆心为()5,5或()1,1；故圆心到直线290x y +-=的距离655d ==或655d ==；故选：A ．10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 的渐近线上，120⋅=PF PF ，60MPN ︒∠=，则双曲线的C 的渐近线方程为（）A.2y x =± B.32y x =±C.y =D.233y x =±【答案】D【解析】【分析】由题可得12PF F △是直角三角形，则可得121||2OP F F c ==.又在OPN 中，由余弦定理可求得||PN b =，根据勾股定理可知PN ON ⊥，则在Rt PMN 中，利用||tan ||MN MPN PN ∠=可得3b a =，即渐近线方程为3y x =±.【详解】连接OP ，则由120PF PF ⋅=可知12PF PF ⊥，则在12Rt PF F 中，121||2OP F F c ==，在OPN 中，tan b PON a ∠=，则cos aPON c∠=，又||ON a =，则由余弦定理得：222||||||2||||cos PN OP ON OP ON PON =+-⋅⋅∠，解得||PN b =，由222||||||OP ON PN +=知PN ON ⊥，即PN MN ⊥，所以在Rt PMN 中，||tan ||MN MPN PN ∠=，即2ab =233b a =，所以所求渐近线方程为：233y x =±.故选D .【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，利用余弦定理解三角形，属于中档题.11.若函数321()4(0)3f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x 和2x ，则12()()f x f x +取值范围为（）A.16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.⎛-∞ ⎝C.16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.⎛-∞ ⎝【答案】C 【解析】【分析】求出函数的导数，根据原函数有两个极值点可求2a >，再根据零点的性质可得()3222448x a x a =--、()3211448x a x a =--，据此可用a 表示12()()f x f x +，利用导数可求其范围.【详解】2()24f x x ax '=-+，因为()f x 存在两个极值点1x 和2x ，故1x 和2x 为2240x ax -+=的两个不同的根，故24160a ∆=->且211240x ax -+=，222240x ax -+=，122x x a +=，故2a <-（舍）或2a >且21124x ax =-，所以()()322111111242244448x ax x a ax x a x a =-=--=--，同理()3222448x a x a =--，故()()()()2121212121()()44162843f x f x a x x a a a x x x x ⎡⎤+=-+--+-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212441622883a a a a a a a ⎡⎤=---⨯-+⎣⎦3338448833a a a a a =-+=-+，设()348,23a s a a a =-+>，故()2480s a a '=-+<，故()s a 在()2,+∞上为减函数，故()()321621633s a s <=-=，故12()()f x f x +的取值范围为：16,3⎛⎫-∞⎪⎝⎭，故选：C.12.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别为棱111,,AB CC C D 的中点，动点Q ∈平面MNP ，2DQ AB ==，则下列说法错误的是（）A.1B MBC -的外接球面积为9πB.直线//PQ 平面11A BCC.正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D.点Q 的轨迹长度为3π【答案】D 【解析】【分析】可证明正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形，故可判断C 的正误，利用面面平行的判定定理可判断B 的正误，利用补体法可求1B MBC -的外接球的直径后可判断A 的正误，利用向量的方法可求D到平面MNP 的距离，从而可求点Q 的轨迹长度，故可判断D 的正误.【详解】如图，设111,,A D A A BC 的中点分别为,,S R T ，连接,,,,PS SR RM MT TN .由正方体的性质可得11//A C RN ，而SP 为三角形111A D C 的中位线，故11//SP A C ，故//SP RN ，故,,,S P R N 四点共面，同理，,,,S P T N 也四点共面，故,,,,S P R N T 五点共面，同理,,,R N T M 也四点共面，故,,,,,S P R N T M 六点共面.正方体被平面MNP 截得的截面为六边形，SP PN NT TM MT RS SP =======，因为平面MNP I 平面11B BCC NT =，平面MNP I 平面1A DDA SR =，而平面11//B BCC 平面1A DDA ，故//NT SR ，而NT 为三角形1BCC 的中位线，故1//NT BC ，故1//SR BC ，但PSR ∠与11AC B ∠方向相反，故PSR ∠与11AC B ∠互补，而11A C B △为等边三角形，故1160A C B ∠=︒，故120PSR ∠=︒，同理120SRM RMT MTN TNP NPS ∠=∠=∠=∠=∠=︒，故正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形，故C 正确.由11//A C RN ，RN ⊄平面11A B C ，11AC ⊂平面11A B C ，故//RN 平面11A B C ，同理故//RS 平面11A B C ，而,,RN RS R RN RS =⊂ 平面MNP ，故平面11//A B C 平面MNP ，而PQ ⊂平面MNP ，故//PQ 平面11A B C ，故B 正确.对于A ，将三棱锥1B MBC -补成如图所示的长方体11MBCG HB C P -，其中,H G 分别为11A B 、DC 的中点，则其外接球的直径即为11MBCG HB C P -3=，故三棱锥1B MBC -的外接球的表面积为2π39π⨯=，故A 正确.建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2D M N P ，故()()2,1,1,2,0,2MN MP =-=-，设平面MNP 的法向量为(),,m x y z = ，则00m MN m MP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，故20220x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则1,1z y ==，故()1,1,1m = ，而()0,1,2DP =，故D 到平面MNP的距离为DP md m⋅== 而2DQ =，故点Q 的轨迹为平面MNP 与球面的截面（圆），1=，故圆的周长为2π12π⨯=，故D 错误.故选：D.【点睛】思路点睛：空间几何题外接球的半径的求法，可先根据几何性质确定球心的位置，然后把球的半径放置在可解的图形中求解，也可以通过补体转化为规则几何体的外接球的半径，而与球的截面的计算问题，则需计算球心到截面的距离.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设命题2:0,p x x a x∀>+>，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是__________.【答案】a <【解析】【分析】根据原命题为真结合基本不等式可求参数的取值范围.【详解】因为p ⌝是假命题，故p 为真命题，因为0x >，故2x x+≥x =时，等号成立，故a <.故答案为：a <.14.在同一平面直角坐标系xOy 中，曲线22:1C x y +=所对应的图形经过伸缩变换2x xy =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到图形C '.点P 在曲线C '上，则点P到直线:60l y +-=的距离的最小值为____________.【答案】6152【解析】【分析】通过2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，然后代入到曲线C 的方程即可得到曲线C '的方程，再设()2cos P θθ利用点到直线的距离公式、辅助角公式及三角函数的性质计算可得.【详解】由2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入到221x y +=中得22()()143x y ''+=．即22143x y +=为曲线C '的直角坐标方程，设()2cos P θθ，则点P到直线60l y +-=的距离d ==其中（25sin 5ϕ=，5cos 5ϕ=），所以当sin()1θϕ+=时min d =，即点P 到直线l 的距离最小值为6152-.故答案为：615215.已知函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭，其导函数是()f x '.有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式π()2cos 3f x f x ⎛⎫>⎪⎝⎭的解集为_________.【答案】ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】构造函数()()cos f x F x x=，利用导数说明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】依题意令()()cos f x F x x =，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则2()cos ()sin ()cos f x x f x xF x x'+'=，因为当ππ22x -<<时，()()cos sin 0f x x f x x '+<，所以当2,ππ2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0F x '<，∴()F x 在ππ,22⎛⎫⎪⎝⎭-上单调递减，则π()2cos 3f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭ 等价于π()3πcos cos 3f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭>，即π()3F x F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴π3ππ22x x ⎧<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得ππ23x -<<，所以所求不等式的解集为ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭16.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，经过抛物线上一点P ，作斜率为34的直线交C 的准线于点Q ，R 为准线上异于Q 的一点，当PQR PQF ∠∠=时，PF =______．【答案】259##729【解析】【分析】根据题设条件确定P 在第一象限内，且PF QF ⊥，设2(,)4m P m 且0m >，结合0FP FQ ⋅= 得到关于m 的方程并求值，又214m PR PF ==+即可得结果.【详解】不妨令R 为过P 点垂直于准线的垂足，又PQR PQF ∠∠=，即QF 为FQR ∠角平分线，Q 是斜率为34的直线与抛物线准线的交点，则P 在第一象限内，而PR QR ⊥，且||||PR PF =，根据角平分线性质知：PF QF ⊥，如上图示，令2(,)4m P m 且0m >，则直线PQ 为23()44m y m x -=-，令=1x -，则21631216Q m m y --=，由222231*********(1,)(2,)20416216m m m m m m mFP FQ m ----⋅=-⋅-=-+= ，整理可得322381232(4)(38)0m m m m m -+-=+-=，则83m =，故225149m PR PF ==+=.故答案为：259三、解答题（本题共6道小题，22题10分，其余各题12分，共70分）17.已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-？若存在，求出求a 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）1y =-（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；（2）假设存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，利用导数可得11e a -<<-，再利用导数求出函数()f x 在区间()1,e 上的最大值，结合已知最大值列式，解得2e a =-，不满足11ea -<<-，从而可得结论.【小问1详解】当1a =-时，()ln f x x x =-+，0x >，(1)1f =-，1()1f x x'=-+，()01f '=，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10y +=，即1y =-.【小问2详解】假设存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，因为()ln f x ax x =+，0x >，1()f x a x '=+，若0a ≥，则()0f x '>在区间()1,e 上恒成立，()f x 在区间()1,e 上单调递增，此时()f x 在区间()1,e 上无最大值；故a<0，令()0f x '>，得10x a<<-，令()0f x '<，得1x a >-，则函数()f x 在1(0,a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减，因为函数()f x 在开区间()1,e 上有最大值为3-，所以11e a <-<，即11e a -<<-，所以函数()f x 在1(1,a -上单调递增，在1(,e)a -上单调递减，所以max 1()f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭11(ln a a a ⎛⎫⋅-+- ⎪⎝⎭11ln a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭3=-，得2e a =-，又11ea -<<-，所以2e a =-不成立，故不存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-.18.今年是中国共青团建团100周年，我校组织了1000名高中同学进行团的知识竞赛.成绩分成6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400.（1）求出直方图中a ，b ，c 的值；（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）在区间[]80,100内的学生中通过分层抽样抽取了5人，现从5人中再随机抽取两人进行现场知识答辩，求抽取两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内的事件概率.【答案】（1）0.01,0.015,0.02a b c ===,（2）平均数为70.5，中位数为71.7.（3）35【解析】【分析】（1）根据频率之和为1、,,a b c 成等差数列以及成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400可得关于,,a b c 的方程，求出其解即可.（2）利用组中值可求均值，利用公式可求中位数.（3）根据频率之比可得抽取人数之比，再用列举法求出基本事件的总数和随机事件中的基本事件的个数，故可求对应的概率.【小问1详解】因为,,a b c 为等差数列，故2b a c =+，又()220.03101a b c +++⨯=，故220.07a b c ++=，因为成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400，故()4000.03101000a +⨯=，故0.01a =，故0.015,0.02b c ==.【小问2详解】由频率分布直方图可得平均数为：450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，前3组的频率之和为0.10.150.20.45++=，前4组的频率之和为0.10.150.20.30.75+++=，故中位数在区间[)70,80中，设该数为x ，则700.50.451100.36x --==，故57071.73x =+≈.【小问3详解】区间[)80,90、[]90,100上的频率之比为0.15:0.13:2=，故5人中在分数在[)80,90内的人数为3人，记为,,a b c ，分数在[]90,100内的人数为2人，记为,A B ，从5人中随机抽取两人进行现场知识答辩，共有10种取法：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a A b A a B b B c A c B ，{}{}{}{},,,,,,,a b a c c b A B .设C 为“两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内”，则C 中的基本事件为：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a A b A a B b B c A c B ，共6个，故()63105P A ==.19.如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是以,AB CD 为底边的等腰梯形，且124,60,AB AD DAB AD D D ︒==∠=⊥.（I ）求证：平面11D DBB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若112D D D B ==，求直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）217.【解析】【分析】（Ⅰ）要证明平面11D DBB ⊥平面ABCD ，只需证明AD ⊥平面11D DBB 即可；（Ⅱ）取BD 的中点O ，易得1D O ⊥面ABCD ，以O 为原点，分别以1,,OB OC OD 为,,x y z 的非负半轴建立空间直角坐标系，计算平面1B BC 的法向量为n 与AB ，再利用公式||sin |cos ,|||||n AB n AB n AB θ⋅=<>=⋅ 计算即可.【详解】（Ⅰ）ABD △中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，由余弦定理得222cos603BD AB AD AB AD =+-⋅= ，则222AD BD AB +=，即AD BD ⊥，而11,AD D D BD D D D ⊥⋂=，故AD ⊥平面11D DBB ，又AD ⊂面ABCD ，所以平面11D DBB ⊥平面ABCD .（Ⅱ）取BD 的中点O ，由于11D D D B =，所以1D O BD =，由（Ⅰ）可知平面11D DBB ⊥面ABCD ，故1D O ⊥面ABCD .由等腰梯形知识可得DC CB =，则CO BD ⊥，2211431D O DD DO =-=-，以O 为原点，分别以1,,OB OC OD 为,,x y z 的非负半轴建立空间直角坐标系，则1(3,2,0),(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,0,1)A B C D D ---，则11(23,2,0),(3,0,1),(3,1,0)AB BB DD BC ====-设平面1B BC 的法向量为(,,)n x y z =，则1110000z n BB n BC y ⎧+=⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩，令1x =，则y z ==n = ，所以，||sin |cos ,|7||||n AB n AB n AB θ⋅=<>===⋅ ，即直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值为217.【点晴】本题考查面面垂直的证明、向量法求线面角，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.20.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.以点F 、E 所在的直线为x 轴，线段EF 中点为原点建立平面直角坐标系.（1）求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22195x y +=（2）存在，()3,0T ，109-【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义对照折纸的方法求出,,a b c ；（2）设直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理再结合斜率的两点公式求解即可.【小问1详解】如图以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系，设(),P x y 为椭圆上一点，由题意可知，64PF PE PA PE AE EF +=+==>=，所以P 点轨迹是以F ，E 为焦点，长轴长26a =的椭圆，所以2c =，3a =，则2225b a c =-=，所以椭圆方程为22195x y +=；【小问2详解】由已知：直线l 过()1,0Q ，设l 的方程为1x my =+，由题意m 必定是存在的联立两个方程得221951x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()225910400m y my ++-=，()22Δ100160590m m =++>得R m ∈，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1221059m y y m -+=+，1224059y y m -=+（*）所以()()1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t ⋅=⋅=--+-+-()()()1222121211y y m y y m t y y t =+-++-，将（*）代入上式，可得()()222405991TM TN k k t m t -⋅=-+-，要使TM TN k k ⋅为定值，则有290t -=，29t =，又∵0t >∴3t =，此时109TM TN k k ⋅=-，∴存在点()3,0T ，使得直线TM 与TN 斜率之积为定值109-.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.设函数()()2cos 102x f x x x =-+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i i i A g i n n ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =-，证明：1217 (6)n k k k n -+++>-.【答案】（1）()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.（2）见解析【解析】【分析】（1）求出原函数的二阶导数后可判断二阶导数非负，故可判断导数非负，据此可求原函数的最值.（2）根据（1）可得3sin (0)6x x x x ≥-≥，结合二倍角的正弦可证：2271162i i k +>-⨯，结合等比数列的求和公式可证题设中的不等式.【小问1详解】()sin f x x x '=-+，设()sin s x x x =-+，则()cos 10s x x '=-+≥（不恒为零），故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=，所以()0f x ¢>，故()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.【小问2详解】先证明一个不等式：3sin (0)6x x x x ≥-≥，证明：设()3sin ,06x u x x x x =-+≥，则()2cos 1()02x u x x f x '=-+=≥（不恒为零），故()u x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00u x u ≥=即3sin (0)6x x x x ≥-≥恒成立.当*N i ∈时，11111111222sin sin 112222i i i i i i i i g g k ++++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==- ⎪⎝⎭-11111111111122sin cos sin 2sin 2cos 122222i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫=-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（1）可得()2cos 102x x x ≥->，故12311cos 1022i i ++≥->，故111112311112sin 2cos 12sin 2112222i i i i i i ++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-≥-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112213322111112sin121222622i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-≥-- ⎪ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222224422117111711111622626262i i i i i +++++⎛⎫⎛⎫=--=-⨯+⨯>-⨯ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭,故1214627111...16222n n k k k n -⎛⎫+++>--+++ ⎪⎝⎭ 41111771112411166123414n n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--⨯=--⨯ ⎪⎝⎭-771797172184726n n n n =--+⨯>->-.【点睛】思路点睛：导数背景下数列不等式的证明，需根据题设中函数的特征构成对应的函数不等式，从而得到相应的数列不等式，再结合不等式的性质结合数列的求和公式、求和方法等去证明目标不等式.22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为()11x m y k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数).若直线12,l l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C .（1）求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点,A B 是曲线C 两动点，60AOB ∠=︒，求AOB 面积的最大值.【答案】（1）22(1)1(0)x y x +-=≠（2）334【解析】【分析】（1）首先将直线方程化为普通方程，再联立消去k ，即可得到曲线C 的普通方程；（2）由cos x ρθ=、sin y ρθ=得到曲线C 的极坐标方程，设()1,A ρθ，2,3πB ρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，（π2θ≠），即可表示OA 、OB ，则1sin 2AOB S OA OB AOB =⋅∠△，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】直线1l 的参数方程为()11x m y k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，则直线1l 的普通方程为y kx =-，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数)，则直线2l 的普通方程为2x y k -=，依题意0k ≠，由2y kx x y k =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去k 得2(2)y y x -=-，整理得22(1)1(0)x y x +-=≠，所以曲线C 的普通方程为22(1)1(0)x y x +-=≠.【小问2详解】因为曲线C 的普通方程为22(1)1(0)x y x +-=≠，cos x ρθ= ，sin y ρθ=，∴曲线C 的极坐标方程为()()22cos sin 11ρθρθ+-=（π2θ≠），故曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=（π2θ≠）．设()1,A ρθ，2,3πB ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（π2θ≠），则12sin OA ρθ==，2π2sin 3OB ρθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，1sin 2AOB S OA OB AOB ∴=⋅∠ 1ππ2sin 2sin sin 233θθ⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭πsin 3θθ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 33θθθ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭23sin cos 22θθθ=+1cos 23sin 2222θθ-=+⨯12cos22224θθ⎫=-+⎪⎪⎝⎭π2264θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当πsin 216θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，AOB S 有最大值334．。

高二零诊数学(理)模拟

成都石室中学“零诊”模拟考试数学试题(理科)第I 卷(选择题，共50分）一、选择题:（在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.若集合{|2}-==xM y y ，{|==P y y ，则M P = (A)}1|{>y y (B)}1|{≥y y(C)}0|{>y y (D)}0|{≥y y2.已知向量a ()2,1+=m ，b ()1,-=m ，且a //b ，则b 等于(B)2 (C)320 (D)325 3.不等式112>-x 的解集为（A ）}{3x x > （B ）}{13x x << （C ）}{3x x < （D ）}{31x x x <>或4.下列命题正确的是（A ）若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行（B ）若平面γβγα⊥⊥,，则平面βα⊥ （C ）平行四边形的平面投影可能是正方形（D ）若一条直线上的两个点到平面α的距离相等，则这条直线平行于平面α5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（A ）3 （B ）11（C ）38 （D ）1236.将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A ）sin(2)10y x π=- （B ）sin(2)5y x π=- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=-7.设x ,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值（C ）有最大值3，无最小值（D ）既无最小值，也无最大值8.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,3) （B ）[3,)+∞ （C ）(3,)+∞ （D ）(1,3]数列n 满足1，且对任意，点1+n n 都在函数)(x f y =的图象上，则201320124321x x x x x x ++++++ 的值为（A ）9394 （B ）9380 （C ）9396 （D ）940010.函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.若在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（A ）22(,)53 (B))54,32((C) )2,32( (D))2,1(第II 卷(非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11.抛物线24x y =的准线方程是 . 12.已知函数()ϕω+=x x f sin )(（ω>0, 20πϕ<<）的图象如右图所示，则ϕ= .13.如右图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为____.14.数列{}n a 满足22211211,n n a a a a a +===+++n 记S ，若2130n n tS S +-≤对任意*n N ∈恒成立，则正整数t 的最小值为 .15.方程1169x x y y +=-的曲线即为函数()y f x =的图像，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x=+不存在零点；③函数()y f x =的值域是R ；④若函数()g x 和()f x 的图像关于原点对称，则函数()y g x =的图像就是方程1169y y x x +=确定的曲线.其中所有正确的命题序号是 .．（Ⅰ）求()B A +cos 的值；（Ⅱ）设10=a ，求ABC △的面积．17.(本小题满分12分）梯形ACPD 中，,,ADCP PD AD CB AD ⊥⊥，4DAC π∠=，PC =AC 2=，如图①；现将其沿BC折成如图②的几何体，使得AD =.（Ⅰ）求直线BP 与平面PAC 所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角C PA B --的余弦值.18.(本小题满分12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树的棵数；乙组有一个数据模糊，用X 表示. （Ⅰ）若8x =，求乙组同学植树的棵数的平均数；（Ⅱ）若9x =，分别从甲、乙两组中各随机录取一名学生，求这两名学生植树总棵数为19的概率；（Ⅲ）甲组中有两名同学约定一同去植树，且在车站彼此等候10分钟，超过10分钟，则各自到植树地点再会面.一个同学在7点到8点之间到达车站，另一个同学在7点半与8点之间到达车站，求他们在车站会面的概率.19.（本题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为21,F F ,.以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线0x y-+=相切． (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；098X 11199乙组甲组图②ADPCB图①PCBAD(Ⅱ) 若斜率为)0(≠k k 的直线l 与x 轴、椭圆C 顺次相交于点,,A M N （A 点在椭圆右顶点的右侧），且A MF F NF 212∠=∠.求证：直线l 过定点（2，0）.20.（本题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S =-．数列{}n b 满足12b =，128n n n b b a +-=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：数列{}2nnb 为等差数列，并求{}n b 的通项公式；（Ⅲ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在常数λ，使得不等式16(1)16n n n T T λ+--<+-*()n N ∈恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．21.（本题满分14分）已知函数)1(ln )(+=x x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的最小值；（Ⅱ）设)(x F =2()()ax f x a R '+∈，讨论函数)(x F 的单调性；（Ⅲ）如果在公共定义域D 上的函数()f x ,)(),(21x f x f 满足12()()()f x f x f x <<，那么就称()f x 为)()(21x f x f 、的“可控函数”.已知函数2211()ln ln (21)2f x x x a x x a x =--++，32()f x x x a =++，若在区间),1(+∞上，函数)(x f 是)()(21x f x f 、的“可控函数”，求实数a 的取范围.2014级零诊模拟试题(理科)数学答案1-10 C A B C B C B D A A 11-15 116y =-3π25 ①②③ 16.解：（Ⅰ）∵C B A ,,为ABC ∆的内角，且，552cos =A ，10103cos =B ∴555521cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=A A1010101031cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=B B ………………………………………4分 ∴()B A +cos 10105510103552⨯-⨯=22=………………………………6分（Ⅱ）由（I ）知， 45=+B A∴ 135=C ………………………………………7分∵10=a ，由正弦定理B bA a sin sin =得 555101010sin sin =⨯=⨯=A Ba b ……………………………………11分∴ABC S ∆252251021sin 21=⨯⨯⨯==C ab ……………………………………12分17.解：（Ⅰ）由题意，PC=AC=2,AB ∴==2BD ，.在ABD ∆中，∵222AB DB AD +=，∴BD BA ⊥，∴BD BA BC 、、两两垂直，分别以BC BA BD 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系B xyz -（如图）.(0,0,0),A B (2,0,0),C P设平面PAC 的法向量为(,,x y =n -000CA x y z CP ⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩n n ，取n 设直线BP 与平面PAC 则2sin 2BP BP θ==⨯nn直线BP 与平面PAC 成的角为(2,2,2),(2,0,0).AP BC =-=（Ⅱ）设平面PAB 的法向量为(0,2,0),(2,AB AP =-=令1,z =-∴=-m由（Ⅰ）知平面PAC 的法向量为令(1,1,0)=n.cos ,⋅∴<>===m n m n m n 由图知二面角C PA B --为锐角，∴二面角C PA B --18.（1）435……4分（2）41……8分（3）3964……12分19.解：（I ）由题意知c e a == 所以22222212c a b e a a -===．即222a b =.又因为1b ==，所以22a =，21b =．故椭圆C 的方程为1222=+y x . --------------------------5分（II ）由题意,设直线l 的方程为)0(≠+=k m kx y ，).,(),,(2211y x N y x M()().02241222,22222=-+++⎩⎨⎧=++=m kmx x k y x m kx y 得由()(),022124162222>-+-=∆m k m k 得.1222+<k m则有124221+-=+k kmx x ， 12222221+-=k m x x . ---------------------7分因为A MF F NF 212∠=∠, 且902≠∠A MF ，所以()1,0F ,0222又=+NF MF k k --------------------8分0112211=-+-x y x y ，即0112211=-++-+x mkx x m kx . 化简得：()().0222121=-+-+m x x k m x kx将124221+-=+k kmx x ，12222221+-=k m x x 代入上式得k m 2-=（满足△0>）.直线l 的方程为k kx y 2-= ，即直线过定点（2，0）.----------------------12分 20.解：（Ⅰ）当1n =时 111211a S ==-=；当2n ≥时 111(21)(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=，因为 11a =适合通项公式12n n a -=．所以 12n n a -=*()n N ∈． …………3分（Ⅱ）因为 128n n n b b a +-=，所以 2122n n n b b ++-=，即11222n nn nb b ++-=．所以 {}2n n b 是首项为112b =1，公差为2的等差数列．所以 12(1)212n nb n n =+-=-，所以 (21)2n n b n =-⋅． ……………………6分（Ⅲ）存在常数λ使得不等式16(1)16n n n T T λ+--<+-*()n N ∈恒成立．因为 1231123252(23)2(21)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ①所以 2n T = 23-111232(25)2+(23)2(21)2n n n n n n +⋅+⋅++-⋅-⋅+-⋅ ②由①-②得 34112222(21)2n n n T n ++-=++++--⋅，化简得 1(23)26n n T n +=-⋅+．因为 1216(23)2236(21)242n n n n T n n T n n +++--⋅-==--⋅-=12242n --11221n =--，…………8分（1）当n 为奇数时，16(1)16n n T T λ+--<+-，所以 1616n n T T λ+->---，即31221n λ>-+-．所以当n =1时，31221n -+-的最大值为12- ，所以只需12λ>-；…………10分（2）当n 为偶数时，1616n n T T λ+-<+-，所以 31221n λ<--，所以当n =2时，31221n --的最小值为76 ，所以只需76λ<；…………12分由（1）（2）可知存在1726λ-<<，使得不等式16(1)16n n n T T λ+--<+-*()n N ∈…13分21.解：（1）2221`()12(0),`()0,11(0,)`()0;(,)`()0f x nx x f x x e x f x x f x e e=+>==''∈<∈+∞>令得当时，当时， ………2分min 22221111()(11)x f x n e e e e∴==+=-当时， …………… 4分（2）)0(12212)(),0(21)(2〉+=+='>++=x xax x ax x F x nx ax x F ……5分①当0≥a 时，恒有()0F x '>，F （x ）在),0(+∞上是增函数； ②当0<a 时，;21,0122,0)(;210,0122,0)(ax ax x F ax ax x F -><+<'-<<>+>'解得得令解得得令 ………………8分综上，当0≥a 时，F （x ）在),0(+∞上是增函数；当0<a 时，F （x ）在)21,0(a -上单调递增，在),21(+∞-a上单调递减 ……9分（3）在区间),1(+∞上，函数12()()()f x f x f x 是、的“可控函数”，则)()()(21x f x f x f <<令2112()()()210(1,)2p x f x f x x ax a nx x =-=-+-<∈+∞对恒成立2222()20,11()1()(1)20,24a x ax a p x x a x xp x p x p a a -+-'=-+-=〈+∞∴<=-+≤∴≤又因为在（，）上是减函数，…………11分再由32()()ln 0(1,)f x f x x x a x x x x -=++-->∈+∞对恒成立于是3ln (1,)a x x x x >-∈+∞对恒成立令3()ln h x x x x =-，则max (),(1,)a h x x >∈+∞对()h x 求导，得2()ln 13h x x x '=+-又[]1()60h x x x''=-<在(1,)+∞上恒成立………………………12分所以()h x '在(1,)+∞上为减函数，则()(1)20h x h ''<=-<因此，()h x 在(1,)+∞上为减函数，所以max ()(1)1h x h ==-，即1a ≥-综上可知，函数12()()()f x f x f x 是、的“可控函数”，实数a 的取值范围是[1(1,4⎤-⎥⎦.……14分。

高二数学6月零诊模拟月考试题理试题

卜人入州八九几市潮王学校外国语二零二零—二零二壹下期高2021级高二零诊模拟考试数学试题〔理科〕考试时间是是120分钟，总分值是150分.一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.集合{}230A x x x =->，{}ln(1)B x y x ==-，那么A B 为〔〕A ．[)0,3B ．()1,3C ．(0,1)D ．∅ 2.复数z 满足1+1zz i=-(i 为虚数单位)，那么z 的虚部为〔〕 A ．i B ．-1C ．i -D ．13.由曲线21y x =-、直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A.22(1)0x dx -⎰ B.22|(1)|0x dx -⎰B ．C.22|1|0x dx -⎰D.2212(1)(1)01x dx x dx -+-⎰⎰4.在线性约束条件下4224x y x y y x +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，那么目的函数2z x y =+的最大值为〔〕A ．26B ．24C.22D ．205.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵〞，某“堑堵〞的三视图如下列图，那么该“堑堵〞的外表积为〔〕 A ．4B ．642+ C.4+42D ．2 6、以下说法中正确的选项是〔〕A.“假设22am bm <，那么a b <B.“p 或者q p qC.直线l 不在平面α内，那么“l 上有两个不同点到α的间隔相等〞是“//l α〞的充要条件D.“∃000,1x x R ex ∈≤+〞的否认为：“,1xx R e x ∀∈>+〞7.假设在区间(0,5]内随机取一个数m ，那么抛物线2x my =的焦点F 到其准线l 的间隔小于13的概率为〔〕 A.215B.710C.115D.358.函数()y f x =的图像是以下四个图像之一，且其导函数()y f x '=的图像如下列图，那么该函数的图像大致是〔〕9.假设()|ln |f x x =，0,0,m n m n >>≠，且()()f m f n =，那么224m n mn +的最小值为〔〕A4B.2C.2D.2210．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，O 为坐标原点，倾斜角为6π的直线l 过右焦点2F 且与双曲线的左支交于M 点，假设1122()0FM F F MF +⋅=，那么双曲线的离心率为〔〕A ．5B ．3C ．31+D ．312+ 11.在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且A 、B 、C 成等差数列，3b =，那么ABC ∆面积的取值范围〔〕A.3(0,]4 B.333(,]24 C.133(,]44 D.31[,]4212．假设存在两个不相等正实数1x 、2x ，使得等式()()121212ln ln 0x a x ex x x ⋅+--=成立,其中e 为自然对数的底数,那么实数a 的取值范围是()A ．1(,0)[,)e-∞+∞ B ．1(0,]eC ．1[,)e+∞ D ．1(,0)(0,]e-∞第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕 13.ln133log 18log2e -+=．14.在平面直角坐标系中，三点(0,0)O ,(2,4)A ，(6,2)B ，那么三角形OAB 的外接圆方程是．15．n S 为数列}{n a 的前n 项和，13n n S S n N *+=∈，，11a =，那么2018a =________.16、如下列图，在ABC ∆中，点,M N 分别在,AB AC 边上，满足||BC a =，3aBN BA AC =+,0MN AC ⋅=,232MN =,3ABC π∠=,那么2||BN =__________。