全等三角形易错点剖析
易错04 三角形全等问题的分类讨论中漏解从而产生易错(解析版)-2021学年八上期末提优训练
12020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）易错04 三角形全等问题的分类讨论中漏解从而产生易错【典型例题】1．（2020·江西南昌市·八年级期中）如图，已知在△ABC 中，AB =AC ,BC =12厘米，点D 为AB 上一点且BD =8厘米，点P 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，设运动时间为t ，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．（1）用含t 的式子表示PC 的长为 ；（2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当2t =时，三角形BPD 与三角形CQP 是否全等，请说明理由； （3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，请求出点Q 的运动速度是多少时，能够使三角形BPD 与三角形CQP 全等？【答案】解:(1) 由题意得出：122BC BP t ==，122PC BC BP t -=-=，故答案为：()122cm t -(2)当2t =时，224BP CQ ==⨯=厘米，8BD =厘米．2又,12PC BC BP BC =-=厘米，1248PC ∴=-=厘米，PC BD ∴=，又AB AC =，B C ∴∠=∠，在BPD △和CQP 中，BD PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BPD CQP SAS ∴≌;③P Q v v ≠，BP CQ ∴≠，又,BPD CPQ B C ∠=∠≌，6cm,8cm BP PC CQ BD ∴====，∴点P ，点Q 运动的时间6322PB t ===秒， 83Q CQ V t ∴==厘米/秒． 即点Q 的运动速度是83厘米/秒时，能够使三角形BPD 与三角形CQP 全等． 【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，题目比较好，但是有一定的难度．【专题训练】一、填空题1．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·八年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝_____时，△ABC和△APQ全等．34 【答案】8cm 或15cm解：①当P 运动到AP ＝BC 时，如图1所示：在Rt △ABC 和Rt △QP A 中，AB QPBC PA =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABC ≌Rt △QP A （HL ），即AP ＝B ＝8cm ；②当P 运动到与C 点重合时，如图2所示：在Rt △ABC 和Rt △PQA 中，5AB PQ AC PA=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △PQA （HL ），即AP ＝AC ＝15cm ．综上所述，AP 的长度是8cm 或15cm ．故答案为：8cm 或15cm ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解． 2．（2020·四川成都市·天府四中七年级期中）如图，ABC ∆中，90,6,8ACB ACcm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，PEC ∆与QFC ∆全等．【答案】如图1所示：PEC∆与QFC∆全等，PC QC，683∴-=-t t，解得:1t=；如图2所示：点P与点Q重合，PEC与QFC∆全等，638∴-=-t t，解得:72t=；故答案为:1或7 2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．3．（2020·宁波市曙光中学九年级月考）如图，已知点(44)A-，，一个以A为顶点的45︒角绕点A旋转，角的两边分别交x轴正半轴，y轴负半轴于E、F，连接EF．当△AEF直角三角形时，点E的坐标是________．67 【答案】(8)0，或(40)，①如图所示：90AFE ︒∠=，∴90AFD OFE ︒∠+∠=，∵90OFE OEF ︒∠+∠=，∴AFD OEF ∠=∠，∵90AFE ︒∠=，45EAF ︒∠=，∴45AEF EAF ︒∠==∠，∴AF EF =，在△ADF 和FOE 中，ADE FOEAFD OEF AF EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△FDE ，8∴4FO AD ==，8OE DF OD FO ==+=，∴(40)E ，． ②当90AEF ︒∠=时，同①的方法有：8OF =，4OE =，∴(40)E ，， 综上所述，满足条件的点E 坐标为(8,0)或(4,0)故答案为：(8,0)或(4,0)【点睛】本题考查三角形全等性质和判定、等腰直角三角形的性质，注意直角三角形按角分类讨论分三种情况，不要漏解． 4．（2020·常州市北郊初级中学八年级期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝8，D 为 AB 的中点，点 P 在线段 BC 上以每秒2 个单位的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上以每秒 x 个单位的速度由C 点向 A 点运动．当△BPD 与以 C 、Q 、P 为顶点的三角形全等时，x 的值为_____．【答案】2 或 3解：设经过 t 秒后，使△BPD 与△CQP 全等．∵AB ＝AC ＝12，点 D 为 AB 的中点．∴BD ＝6．∵∠ABC ＝∠ACB ．∴要使△BPD 与△CQP 全等，必须 BD ＝CP 或 BP ＝CP ．9即 6＝8﹣2t 或 2t ＝8﹣2t ．1t ＝1，2t ＝2．当t ＝1 时，BP ＝CQ ＝2，2÷1＝2．当t ＝2 时，BD ＝CQ ＝6，6÷2＝3．即点 Q 的运动速度是 2 或 3，故答案为：2 或 3．【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，关键是能根据题意得出方程．5．（2020·铜陵市第二中学）如图，5AB cm =，4AC BD cm ==，60CAB DBA ∠=∠=︒．点E 沿线段AB 由点A 向点B 运动，点F 沿线段BD 由点B 向点D 运动，E 、F 同两点时出发，它们的运动时间记为t 秒．已知点E 的运动速度是1cm s ，如果顶点是A 、C 、E 的三角形与顶点是B 、E 、F 的三角形全等，那么点F 的运动速度为______cm s ．【答案】1或85解：根据题意，∵60CAB DBA ∠=∠=︒，当AE =BF ，AC =BE 时，△ACE ≌△BEF ，∵AE =t ，5BE t =-，AC =4，∴54t -=，∴1t =，∴BF=AE=1，∴点F的运动速度为1cm s；当AE=BE，AC=BF时，△ACE≌△BFE，∴1155222 AE BE AB===⨯=，∴52 t=；∴点F的速度为：584/25cm s ÷=；综合上述，点F的运动速度为1或85cm s．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，点的运动问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意运用分类讨论的思想，数形结合的思想进行解题．6．（2020·全国八年级单元测试）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E 为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．【答案】3或9 2解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∵B＝∵C，10∵∵当BE＝CP＝6，BP＝CQ时，∵BPE与∵CQP全等，此时，6＝8﹣3t，解得t＝2 3，∵BP＝CQ＝2，此时，点Q的运动速度为2÷23＝3厘米/秒；∵当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，∵BPE与∵CQP全等，此时，3t＝8﹣3t，解得t＝4 3，∵点Q的运动速度为6÷43＝92厘米/秒；故答案为3或9 2．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．7．（2020·河南商丘市·八年级期中）在平面直角坐标系中，点A（4，0）、B（3，2），点P在坐标平面内，以A、O、P为顶点的三角形与∵AOB全等（点P与B不重合），写出符合条件的点P的坐标________________．【答案】（3，-2）或（1，2）或（1，-2）如图：11符合条件的点P有3个，（3，-2）或（1，2）或（1，-2）故答案为：（3，-2）或（1，2）或（1，-2）．【点睛】本题考查坐标与图形性质、全等三角形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．（2020·广西玉林市·八年级期中）已知点A，B的坐标分别为（2，2），（2，4），O是原点，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，写出所有符合条件的点P的坐标：_______________．【答案】（4，0）（0，6）（4，6）解：如图，符合条件的点P的坐标有三种情况，分别是：（4，0）、（0，6）、（4，6），故答案为：（4，0）、（0，6）、（4，6）．1213【点睛】本题考查三角形全等的判定与直角坐标系的综合运用，根据三角形全等的判定画出全等三角形后写出顶点坐标是解题关键． 9．（2020·江西省宜春实验中学八年级期中）如图，在△ABC 中，点A 的坐标为(0,1)，点B 的坐标为(0,4)，点C 的坐标为(4,3)，点D 在平面直角坐标系中且不与C 点重合，若ABD △与△ABC 全等，则点D 的坐标是_________．【答案】(4,2)或(4,2)-或(4,3)-解：当D 点与C 点关于y 轴对称时，△ABD 与△ABC 全等，此时D 点坐标为∵-4∵3∵；当点D 与点C 关于AB 的垂直平分线对称时，△ABD 与△ABC 全等，此时D 点坐标为∵4∵2∵；点D 点与∵4∵2∵关于y 轴对称时，△ABD 与△ABC 全等，此时D 点坐标为∵-4∵2∵；综上所述，D 点坐标为∵-4∵3∵∵∵4∵2∵∵∵-4∵2∵．故答案为：∵-4∵3∵∵∵4∵2∵∵∵-4∵2∵．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．也考查了坐标与图形性质．10．（2020·广州市第五中学八年级期中）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8cm，AC=4cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发，以2cm/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E运动_________秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等．【答案】0或2或6或8△≌BDE，解：①当E在线段AB上，AB=BE时，ACB这时E在A点未动，因此时间为0秒；△≌BED，②当点E在线段AB上，AC=BE时，ACB∵AC=4cm，∴BE=4cm，∴AE=AB－BE=8－4=4cm，∴点E的运动时间为4÷2=2（秒）；△≌BED，③当E在BN上，AC=BE时，ACB∵AC=4cm，∴BE=4cm，∴AE=AB+BE=8+4=12cm，∴点E的运动时间为12÷2=6（秒）；14△≌BDE，④当E在BN上，AB=BE时，ACB∵AB=8cm，∴BE=8cm，∴AE=AB+BE=8+8=16cm，∴点E的运动时间为16÷2=8（秒），综上所述，当点E运动0或2或6或8秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等．故答案为：0或2或6或8．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练的掌握直角三角形全等的判定定理．二、解答题11．（2020·兴化市乐吾实验学校八年级月考）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．Array（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【答案】1516解：（1）当1t =时，1AP BQ ==，3BP AC ==，又90A B ∠=∠=︒，在ACP ∆和BPQ ∆中，AP BQA B AC BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACP BPQ SAS ∴∆≅∆．ACP BPQ ∴∠=∠，90APC BPQ APC ACP ∴∠+∠=∠+∠=︒．90CPQ ∴∠=︒，即线段PC 与线段PQ 垂直．（2）①若ACP BPC ∆≅∆，则AC BP =，AP BQ =，则34tt xt =-⎧⎨=⎩，解得：11t x =⎧⎨=⎩；②若ACP BQP ∆≅∆，则AC BQ =，AP BP =，则34xtt t=⎧⎨=-⎩，解得：232 tx=⎧⎪⎨=⎪⎩；综上所述，存在11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩使得ACP∆与BPQ∆全等．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．12．（2020·长春市第九十七中学校八年级期中）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB//DE．（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．（3）连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．【答案】（1）证明：在ABC 和EDC中，1718 AC ECACB ECD BC DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵ABC ∵EDC （SAS ），∵∵A ＝∵E ，AB =DE =4∵AB //DE ．（2）解：当0≤t ≤43时，AP ＝3tcm ； 当43＜t ≤83时，BP ＝（3t ﹣4）cm ，则AP ＝4﹣（3t ﹣4）＝（8﹣3t ）cm ；综上所述，线段AP 的长为3tcm 或（8﹣3t ）cm ；（3）解：由（1）得：∵A ＝∵E ，ED ＝AB ＝4cm ，在ACP 和ECQ 中，A EAC CE ACP ECO∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵ACP ∵ECQ （ASA ），∵AP ＝EQ ，当0≤t ≤43时，3t ＝4﹣t ，解得：t ＝1； 当43＜t ≤83时，8﹣3t ＝4﹣t ，解得：t ＝2；19综上所述，当线段PQ 经过点C 时，t 的值为1s 或2s ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．13．（2020·湖南长沙市·八年级月考）如图，已知△ABC 中，20cm AB AC ==，16cm BC =，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以6cm /s 的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP 是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP 全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？【答案】（1）①因为t ＝1（秒），所以BP ＝CQ ＝6（厘米）∵AB ＝20，D 为AB 中点，20∴BD ＝10（厘米）又∵PC ＝BC −BP ＝16−6＝10（厘米）∴PC ＝BD ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△BPD 与△CQP 中，BP CQ B C PC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BPD ≌△CQP （SAS ），②因为V P ≠V Q ，所以BP ≠CQ ，又因为∠B ＝∠C ，要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP ＝CP ＝8，即△BPD ≌△CPQ ， 故CQ ＝BD ＝10．所以点P 、Q 的运动时间t ＝84663BP ==（秒）， 此时V Q ＝1043CQ t =＝7.5（厘米/秒）； （2）因为V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB ＋AC 的路程， 设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，依题意得152x＝6x＋2×20，解得x＝803（秒）此时P运动了803×6＝160（厘米）又因为△ABC的周长为56厘米，160＝56×2＋48，所以点P、Q在AB边上相遇，即经过了803秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．【点睛】此题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质．21。
《全等三角形》易错点突破和重难点析解
《全等三角形》易错点突破和重难点析解易错点突破1．运用三角形三边关系性质致误例1 若等腰三角形的一条边长为6厘米，另一边长为2厘米，则它的周长为（ ）.A ．10厘米B ．14厘米C ．10厘米或14厘米D ．无法确定错解：由于本题未指明所给边长是等腰三角形的腰还是底，所以需讨论：①当腰长为6厘米时，底边长为2厘米，则周长为()66214cm ++=；②当腰长为2厘米时，底边长为6厘米，则周长为()62210cm ++=. 故选C.分析：本题错在没有注意到三角形成立的条件：“三角形的任意两边之和大于第三边”，当腰长为2厘米，底边长为6厘米时，不能构成三角形.正解：本题只能把6厘米作为腰，2厘米作为底，故三角形的周长为14厘米，故选B.2．应用判定方法致误例2 如图3，已知AB=DC ，OA=OD ，∠A=∠D. 问∠1=∠2吗？试说明理由.错解：∠1=∠2. 理由如下：在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，OA=OD ，∠AOB=∠DOC.所以△AOB ≌△DOC ，所以∠1=∠2.分析：不存在“角角角（AAA ）”和“边边角（SSA ）”的判定方法，即对于一般三角形，“有三个角对应相等的两个三角形不一定全等”和“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.”正解：在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，∠A=∠D ，OA=OD.所以△AOB ≌△DOC （SAS ），所以∠1=∠2.3．不理解“对应”致误例3 已知在两个直角三角形中，有一对锐角相等，又有一组边相等，那么这两个三角形是否全等？ 图 3 图4错解：这两个三角形全等.分析：对“ASA”全等判定法中“对应边相等”没有理解，错把边相等当成对应边相等.正解：这两个三角形不一定全等. 如图4所示，在Rt EDC ∆，12∠=∠，CD=AB ，90C C ∠=∠=︒，显然ABC ∆与EDC ∆不全等.重难点析解1．三角形的有关概念例1（2008年邹城市）能把一个三角形分成面积相等的两部分的是该三角形的一条（ ）A ．中线B ．角平分线C ．高线D ．边的垂直平分线分析：根据三角形中线的特征及其面积公式可知，等底同高的两三角形的面积相等.解：只有三角形的一条中线才能把三角形的面积分成相等的两部分. 故选A.评注：三角形的“三线”在解题中有着广泛的应用，因此，要正确认识其定义及特征.2．三角形的三边之间的关系例2（2008年十堰市）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）.A ．1厘米，2 厘米，3厘米B ．2厘米，3 厘米，6 厘米C ．4厘米，6 厘米，8厘米D ．5厘米，6 厘米，12厘米 分析：判断三条线段能否构成三角形，只需检验两条较短的线段之和是否大于最长线段即可，若大于则能构成，否则不能构成.解：根据“三角形的两边之和大于第三边”.然后观察四个选项，满足两边之和大于第三边的只有4厘米，6 厘米，8厘米. 故选C.评注：涉及三角形三边关系的问题时，应注意三角形三边关系的应用.3．三角形的内角和例3（2008年聊城市）如图5，11002145∠=∠=，，那么∠3的度数是（ ）.A ．55°B ．65°C ．75°D ．85° 分析：本题可利用平角及邻补角的定义，把1∠和2∠转化为三角形的内角. 123 图51 2 A B D CE 图6 解：由图5可知：与∠1相邻的补角为80︒，与∠2相邻的补角为35︒，由三角形的内角和为180︒，可得∠3=180803565︒-︒-︒=︒. 故选B.评注：涉及三角形有关的角度计算问题，一般要考虑到三角形内角和的应用.4．全等三角形的性质例4 如图6，已知AB AD =，AC AE =，12∠=∠.试说明BC DE =.分析：要说明BC DE =，只要说明ABC ADE △≌△即可. 由已知条件可知，这两个三角形已经具备两边对应相等，因此再找这两边的夹角相等即可.解：12=∠∠，所以12DAC DAC +=+∠∠∠∠， 即BAC DAE =∠∠. 又AB AD =，AC AE =， 所以ABC ADE △≌△（SAS ），所以BC DE =.评注：因为全等三角形的对应边相等，所以要说明分别属于两个三角形的线段相等，常常通过说明这两个三角形全等来解决问题.5．利用三角形全等解决实际问题例5 如图7，A ，B ，C ，D 是四个村庄，B ，D ，C 在一条东西走向公路的沿线上，BD=1千米，DC=1千米，村庄AC 、AD 间也有公路相连，且AD ⊥BC ，AC=3千米，只有村庄AB 之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路. 现准备在湖面上造一座斜拉桥，测得AE=1.2千米，BF=0.7千米. 试求所建造的斜拉桥长有多少千米？图7分析：由于村庄AB 之间间隔了一个小湖，无法直接测量，故可利用转化思想，由△ADB ≌△ADC ，得AB=AC=3千米，从而计算出EF 的长.解：在△ADB 和△ADC 中，因为BD=DC ，∠ADB=∠ADC 090=，AD=AD. 所以△ADB ≌△ADC （SAS ）.所以AB=AC=3千米.所以()()3 1.20.7 1.1EF AB AE BF =-+=-+=（千米）.评注：三角形全等是证明线段、角相等的重要依据，教材中全等三角形的例题、习题有很多是与生活息息相关的，其基本思路是通过建立数学模型，把实际问题先转化为数学问题.。
清单02全等三角形(8个考点梳理题型解读核心素养提升中考聚焦)(原卷版)
清单02 全等三角形（8个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）【知识导图】【知识清单】考点一．全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．1．（2022秋•剑阁县期末）下列说法正确的是（）A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形2．（2022秋•东莞市期末）下列各组图形中，是全等形的是（）A．两个含60°角的直角三角形B．腰对应相等的两个等腰直角三角形C．边长为3和4的两个等腰三角形D．一个钝角相等的两个等腰三角形考点二．全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．3．（2022秋•庄河市期末）如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．50°B．71°C．58°D．59°4．（2022秋•丹阳市校级期末）已知△ABC≌△DEF，AC＝9cm，则DF＝cm．考点三．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．5．（2022秋•莘县期末）如图，BC＝BD，那么添加下列选项中的一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD 的是（）A．AC＝AD B．∠BAC＝∠BAD C．∠ABC＝∠ABD D．∠C＝∠D＝90°6．（2022秋•嘉鱼县期末）如图，点A、D在线段BC的两侧，且∠A＝∠D＝90°．试添加一个条件，使△ABC≌△DBC．并写出证明过程．7．（2023春•渠县校级期末）已知：如图，AC∥DF，点B为线段AC上一点，连接BF交DC于点H，过点A作AE∥BF分别交DC、DF于点G、点E，DG＝CH，求证：△DFH≌△CAG．8．（2023春•鄠邑区期末）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．考点四．直角三角形全等的判定1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．9．（2022秋•衡山县期末）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角对应相等B．一个锐角和斜边对应相等C．两条直角边对应相等D．一条直角边和斜边对应相等10．（2022秋•磁县期末）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（）A．AC＝AD或BC＝BD B．AC＝AD且BC＝BDC．∠BAC＝∠BAD D．以上都不对11．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2．求证：△ADE≌△BEC．12．（2023春•怀化期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．13．（2022秋•雄县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．考点五．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．14．（2022秋•大田县期末）如图，正方形ABCD是一张边长为12cm的皮革．皮雕师傅想在此皮革两相邻的角落分别切下△PDQ与△PCR后得到一个五边形PQABR，其中P，Q，R三点分别在边CD，AD，BC 上，且PD＝2DQ，PC＝CR．（1）若DQ＝x，将△PDQ的面积用含x的代数式表示；（2）五边形PQABR的面积是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．15．（2022秋•荣昌区期末）如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG．（1）求证：BE＝CF；（2）若BG＝CA，求证：GA＝2DE．16．（2022秋•宿城区校级期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC＝∠DAE，求证：BD＝CE．17．（2022秋•孝南区期末）如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF＝21，EC＝9，求BC的长．考点六．全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．（3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．18．（2023春•长安区期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B 分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．19．（2022秋•永城市校级期末）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D 在l的异侧，AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10cm，BF＝3cm，求FC的长．20．（2022秋•新化县期末）【问题背景】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是．【探索延伸】在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．考点七．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE21．（2022秋•双流区期末）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD⊥AB，BD平分∠ABC交AD于D 点．（1）求证：∠ADE＝∠AED；（2）若AB＝6，CE＝2，求△ABE的面积．22．（2022秋•巩义市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D 作DE⊥AB，垂足为E，此时点E恰为AB的中点．（1）求∠CAD的大小；（2）若BC＝9，求DE的长．考点八．作图—尺规作图的定义（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．23．（2022秋•长安区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（）A．B．C．D．24．（2022秋•青秀区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【核心素养提升】逻辑推理——构建全等三角形进行证明1．（2022秋•香坊区期末）如图，等边△ABC中，CH⊥AB于点H，点D、E分别在边AB、BC上，连接DE，点F在CH上，连接EF，若DE＝EF，∠DEF＝60°，BE＝2，CE＝8，则DH＝．2．（2022秋•江岸区期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD且AC＝5，将BC沿BA方向平移至AE，连接CE、DE，若以AC、BD和DE为边构成的三角形面积是，则DE ＝．3．（2022秋•葫芦岛期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，5），点C（﹣2，0），点B在第四象限．（1）如图1，求点B的坐标；（2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证CD+DN＝AM；（3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C 在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．【中考热点聚焦】热点1.三角形全等的判定1．（2023•衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．2．（2023•云南）如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．热点2.三角形全等的判定和性质的综合应用3．（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．4．（2023•营口）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．（1）求证：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．5．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同学的证明过程中，第步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．6．（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．7．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．8．（2023•聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．（1）求证：∠EAD＝∠EDA；（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．热点3.三角形全等的实际应用9．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC 10．（2022•百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）求草坪造型的面积．热点4.角的平分线的性质11．（2023•广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为．12．（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝．。
全等三角形的判定 重难点
全等三角形的判定1. 三角形全等的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF （ASA）。
（3）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。
表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。
表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF （SAS）。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
表示方法：如图所示，在R t△ABC和R t△DEF中，∵AB＝DE，BC＝EF，∴R t△ABC≌R t△DEF（HL）。
注意：①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。
②两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，显然它们不全等。
③三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。
2. 全等三角形的基本图形在平面几何中，有很多问题都可以借助于三角形全等来解决，比如线段的相等、角的相等、平行、垂直关系等。
在运用三角形全等这一工具时，主要是找两个三角形，并找出它们满足全等的条件来；解题时经常需要通过观察图形的运动状况，把两个全等三角形中的一个看成是另一个的平行移动、翻折、旋转等方法得到的，这需要对常见的全等三角形做到心中有数，如下图列举了几个常见的基本图形。
掌握这些全等形的对应边和对应角的位置关系，对我们在复杂的几何问题中迅速、准确地确定全等三角形是至关重要的。
第12章全等三角形易错题(教案)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了全等三角形的基本概念、判定条件、性质以及在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对全等三角形理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如用模型来演示全等三角形的性质和判定条件。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“全等三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
第12章全等三角形易错题（教案）
一、教学内容
第12章全等三角形易错题
1.判断两个三角形全等的条件，特别是SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种情况。
2.识别并改正学生在应用全等条件时常见的错误，如忽视对应角、对应边的关系，错误使用AAA或SSA作为全等的条件。
3.解答以下易错题：
a.给定三角形的两边及其夹角，判断是否能确定三角形全等。
在实践活动方面，我发现学生们对实验操作非常感兴趣，但有时候操作过程中会出现一些错误。我认为在今后的教学中，可以增加一些实验操作的指导，让学生在动手操作前对全等三角形的性质和判定方法有更深入的了解，从而提高实验的准确性。
最后，关于课堂总结环节，虽然大多数学生能够跟随我的思路进行回顾，但仍有个别学生显得迷茫。这可能是因为他们在课堂学习中未能完全吸收和理解知识点。为了提高这部分学生的学习效果，我计划在课后增加一些辅导和答疑时间，帮助他们巩固课堂所学。
八年级数学上册《全等三角形》知识点梳理
八年级数学上册《全等三角形》知识点梳理在学习新知识的同时，既要及时跟上老师步伐，也要及时复习巩固，知识点要及时总结，这是做其他练习必备的前提，下面为大家总结了全等三角形知识点梳理，仔细阅读哦。
一、知识网络二、基础知识梳理(一)、基本概念1、“全等”的理解全等的图形必须满足：(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形;即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质(1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等;3、全等三角形的判定方法(1)三边对应相等的两个三角形全等。
(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上(二)灵活运用定理证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角;去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。
运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。
1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
(1)已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)(2)已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)(3)已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)三、疑点、易错点1、对全等三角形书写的错误在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
全等三角形的易错题剖析
Ａ 甲和 乙 ．
Ｂ 乙 和 丙 ．
Ｃ 只有 ＿ ． ／ Ｊ
Ｄ ： ． 育丙
点 拨 本题 号 的是 一 肜全等 ， 乙 、 ｆ ｆ 给 ＿ 分条 ： 驯 ｒ 分
和 全 等 三角 形 判 定 定 理 比较 ， 停 …个 变 嫱 （ ６ ） 阿 划 断 它 的邻 边 抓 如 ５角 ． 和 对 边 足 否 和 已知 形 对 应 杵 等 ． 罔 满 足边 边 卡 锋 ， 乙 满 足 角 舶 边 耕 ］ 甲 ¨ ｛
１
没 有 什 么 不 幸 可 以 和 时 间 的 损 失 相 比 了 。— — 伊 凡 ・ 格 涅 夫 屠
●
Ｋ册
●
●
全等三 角形
‘
．
△Ａ ＡＢ （Ｓ １ ・ Ｂ Ｄ＝／ＡＣ ＤＣ ＤＣ Ｓ Ｓ ．． ． Ｃ ＿ Ｄ＝３ 。 ０
Ｐ＝ ／ ＿ＢＣ ：３ 。 Ｄ ０ ．
等， 阁满足边角边相等． 确答案 ： Ｂ 丙 正 选
例 ２ 如图 ２ 已知正方形 Ａ Ｃ Ｅ为 Ｃ ， Ｂ Ｄ． Ｄ边 任意一点， 连接
Ａ ｆ －＋Ｅ ＦＵ ，能作出辅助 Ａ Ｅ＝ ＿ Ｇ ， ， ￣
错牌分析 错僻错任判定 ＡＥ， 过点 Ｅ作 Ｅ ￣１ 交ＺＣ Ｖ￣ 角平分线干点 Ｆ 求证： Ｅ＝ Ｆ Ｆ Ｅ， ＿ ， Ｉ Ｊ－ ． Ａ Ｅ． 错解 过 点 Ｆ作 Ｆ Ｇ￣Ｄ Ｃ于点 Ｇ， ／ ｌ
在 ＡＢ Ｐ与 ＡＢ Ｄ ＤＣ中 ．ＰＢ ＝ＢＡ ＝ＢＣ． Ｂ Ｄ公 用．
・ ． ．
正解
ＡＢ Ｐ ＡＢ （Ｓ ） ．／Ｐ Ｄ＝ＺＣ Ｄ， Ｂ Ｄ ＤＣ Ｓ Ｓ －＿＿ Ｂ ． ．Ｂ 即 Ｄ平分 ／Ｐ ． ＢＣ 连接 Ｄ ． Ｃ
ＤＡ ＝ ＤＢ ．
在 ＡＡＤ Ｃ和 ＡＢ Ｃ中 ． Ｃ ＝ＢＣ． Ｄ
全等三角形易错点剖析
判定三角形全等的错解示例一、对“对应”二字认识不准确，应用全等判别法有误例1 △ABC 和 △DEF 中，∠A=30°，∠B=70°,AC=17cm，∠D=70°，∠E=80°，DE=17cm.那么△ABC与△DEF全等吗？为什么？错解：△ABC与△DEF全等.证明如下：在△DEF中，∵ ∠D=70°，∠E=80°，∴ ∠F=180°－∠D－∠E=180°―70°―80°=30°.在△ABC中，∵ ∠A=30°，∠B=70°，∴ ∠A=∠F，∠B=∠D.又∵ AC=17cm，DE=17cm，∴ AC=DE .在△ABC与△DEF中，∴ △ABC≌△DEF.错解分析：AC是∠B的对边，DE是∠F的对边，而∠B≠∠F，所以这两个三角形不全等.△ABC与△DEF不全等.因为相等的两边不是相等的两角的对边，不符合全等三角形的判别法.二、判定方法有错误例2 如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC,DC=EC.求证：∠D=∠E.错解：在△ACE与△BCD中，∵AC⊥BC ， DC⊥EC，∴∠ACB=∠ECD=90°.又∵AC=BC，DC=EC,∴ △ACE≌△BCD，∴∠D=∠E.错解分析：上面的证明中，错误地应用了“边角边”. ∠ACB与∠ECD并不是那一对三角形的内角.正解：∵ AC⊥BC，DC⊥EC,∴ ∠ACB=∠ECD=90°,∴ ∠ACE=∠BCD.∵ AC=BC, ∠ACE=∠BCD,DC=EC,∴ △ACE≌△BCD, ∴∠D=∠E.三、错误套用等式性质例3 如图，已知AC,BD相交于E点，∠A=∠B, ∠1=∠2.求证：AE=BE.错证：在△ADC和△BCD中,∵∠A=∠B,DC=CD, ∠2=∠1,∴△ADC≌△BCD,∴△ADC－△DEC=△BCD－△DEC,∴△ADE≌△BCE, ∴AE=BE.错解分析：在证明三角形全等时，一定要按判定定理进行证明.上面的证明中，将等式性质错误地搬到了三角形全等中.这是完全错误的.正解：同上，易证△ADC≌△BCD,∴AD=BC.在△ADE和△BCE中,∵AD=BC，∠A=∠B，∠AED=∠BEC,∴△ADE≌△BCE,∴AE=BE.四、脱离题设，将对图形的直观印象视为条件进行证明例4 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD.DE,DF分别垂直于AB,AC,垂足为E,F.求证：BE=CF.错解1：认为DE=DF，并以此为条件.在Rt△BDE与Rt△CDF中，∵DE=DF,BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（斜边直角边），∴BE=CF.错解2：认为AD⊥BC，并以此为条件.通过证明△ABD≌△ACD（边角边），得AB=AC,再由△AED≌△AFD（角角边），得AE=AF,从而得到BE=CF.错解分析：错解1中认为DE=DF，并直接将其作为条件应用，因而产生错误；错解2中，认为AD⊥BC，没有经过推理加以说明，因而也产生了错误.产生上述错误的原因是审题不清，没有根据题设结合图形找到证题依据.正解：在△AED和△AFD中,∴ △AED≌△AFD（角角边），∴DE=DF.在Rt△BDE与Rt△CDF中，Rt△BDE≌Rt△CDF（斜边直角边），∴BE=CF.五、误将“SSA (边边角）”当成“SAS (边角边)”来证题例5 如图，D是△ABC中BC边上一点，E是A D上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE.试证明：∠BAE=∠CAE.错解：在△AEB和△AEC中，∴ △AEB≌△AEC，∴∠BAC=∠CAE.错解分析：上解错在证两个三角形全等时用了“边边角”来判定，这是不正确的，因为有两条边以及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.正解：在△BEC中，因EB=EC,故∠EBC=∠ECB.∵ ∠ABE=∠ACE, ∴∠ACB=∠ABC，∴AB=AC，在Rt△AEB和Rt△AEC中，∴△AEB≌△AEC，∴∠BAC=∠CAE.在学习中，学会对题中图形进行观察以及对已知条件进行分析，弄明白证明思路.同时，对三角形全等的各种条件要记熟并能区分.三角形的全等具有传递性，比如若有△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则一定有△ABC≌△MNP，这个性质在解题时有很重要的应用.在一些计算图形中有几对全等三角形的题目时，利用这个性质可以发现一些不明显的全等关系，帮助发现那些不是直接有关联的全等三角形.六、把“角角角”当成判定三角形全等的条件来使用例6 如图, ∠CAB =∠DBA, ∠C=∠D, E为AC和BD的交点.△ADB与△BCA 全等吗? 说明理由.错解: △ADB ≌△BCA.因为∠C = ∠D, ∠CAB = ∠DBA, 所以∠DAB =∠CBA,所以△ADB ≌△BCA(AAA) .错解分析: 错解把三个角对应相等作为这两个三角形全等的依据, 显然是错误的, “角角角”不是识别两个三角形全等的条件.正解: △ADB ≌△BCA.因为∠CAB = ∠DBA, ∠C = ∠D, AB = BA( 公共边) ,所以△ADB ≌△BCA(AAS) .七、把“边边角”当成判定三角形全等的条件来使用例7 如图,已知△ABC 中, AB = AC, D,E 分别是AB,AC 的中点, 且CD = BE, △ADC 与△AEB全等吗? 说明理由.错解: △ADC ≌ △AEB.因为AB = AC, BE = CD, ∠BAE = ∠CAD,所以△ADC ≌ △AEB( SSA) .错解分析: 错解把“边边角”作为三角形全等的判别方法, 实际上,“边边角”不能作为三角形全等的判别依据, 因为两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等.正解: △ADC ≌ △AEB.因为AB = AC, D,E 为AB,AC 的中点,所以AD = AE.在△ADC 和△AEB 中,因为AC = AB, AD = AE, CD = BE, 所以△ADC ≌ △AEB( SSS) .八、局部当整体例8 如图, 已知AB = AC, ∠B = ∠C , BD = CE, 试说明△ABE 与△ACD 全等的理由.错解: 在△A B E 和△ACD 中,因为AB = AC, ∠B = ∠C, BD = CE, 所以△ABE ≌ △ACD( SAS) .错解分析: 错解没有认真地结合图形来分析条件, 错把三角形边上的一部分(BD 是BE 的一部分, CE 是CD 的一部分) 当成边来说明, 这不符合“边角边”条件.正解: 因为BD = CE,所以BD + DE = CE + DE,即BE = CD.在△ABE 和△ACD 中,因为AB = AC, ∠B = ∠C, BE = CD,所以△ABE ≌ △ACD( SAS) .九、把等量相减用在全等上例9 如图, 已知AC,BD 相交于点O, ∠A =∠B, ∠1 = ∠2, AD = BC.试说明△AOD ≌ △BOC.错解: 在△ADC 和△BCD 中,因为∠A = ∠B, ∠2 = ∠1, DC = CD,所以△ADC ≌ △BCD (AAS) , 所以△ADC - △DOC ≌ △BCD-△DOC, 即△AOD ≌ △BOC.错解分析: 错解原因是将等式的性质盲目地用到了三角形全等中, 实际上, 三角形全等是两个三角形完全重合, 是不能根据等式上的数量关系来说明的.正解: 在△AOD 和△BOC 中, ∠A = ∠B, ∠AOD = ∠BOC, AD =BC,所以△AOD ≌ △BOC(AAS) .十．“同理可证”实际不同理例10 已知： AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，AB=A′B ′，BC=B′C′，AD=A′D′．求证：△ABC≌△A′B′C′．错解： 如图，因为BD=BC， B′D ′=B′C′，BC=B′C′，所以BD=B′D′． 在△ABD和△A′B′D′中， AB=A′B′，BD=B′D ′，AD=A′D′，因此△ABD≌△A′B′D′．同理可证△ADC≌△A′D′C′．故△ABD+△ADC≌△A′B′D+△A′D′C′，即△ABC≌△A′B′C′．错解分析：以上证法有两个错误：⑴用了不同理的同理可证．证明△ABD≌A′B′D′与△ADC≌△A′D′C′的理由是不同的. 要证△ADC≌△A′D′C′，需证∠ADC=∠A′D′C′， 根据SAS来证； ⑵由两对全等三角形之和推出△ABC≌△A′B′C′，理由不充分．正解：由△ABD≌△A′B′D′，有∠B=∠B′． 在△ABC和△A′B′C ′中， AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，因此△ABC≌△A ′B ′C ′．十一． 不顾条件任意引申例11 已知：如图，AB=AC，BD=CE，AD=AE．求证：BE=CD．错解： 在△ABD和△ACE中，因为AB=AC，BD=CE，AD=AE，所以△ABD≌△ACE，故∠1=∠2．于是∠DAC=∠BAE．故BE=CD．错解分析：等角对等边成立的条件是在同一个三角形中．而这里∠DAC 与∠BAE 虽然相等，但是，它们不在同一个三角形中，所以不能得出BE=CD．错解犯了不顾条件任意引申的错误．正解：在△ABD和△ACE中，因为AB=AC，BD=CE，AD=AE，所以△ABD≌△ACE．故∠1=∠2．于是∠DAC=∠BAE．从而△ADC≌△AEB．故BE=DC．。
初中数学八年级数学《全等三角形》易错题精选附答案
全等三角形易错题精选，附答案第1节 全等三角形1．易错点：对应边不确定，需要分类讨论1、已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分别为3，3x -2，2x -1，若这两个三角形全等，则x 为（ ） A ．37B ．4C ．3D ．3或37参考答案 1、C2．易错点：忽略隐藏的8字形（一）1、如图，△ABC△△AEF ，AB=AE ，△B=△E ，则下列结论：△AC=AF ；△△FAC=△EAB ；△EF=BC ；△△EAB=△EFB ，其中正确的是_________．2、【变式1】如图，△ABC△△AEF ，AB=AE ，△B=△E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．AC=AFB ．△EAB=△EFBC ．△FAB=△EABD ．△EAB=△FAC3、【变式2】如图，在△ABC 与△AEF 中，AB=AE ，BC=EF ，△B=△E ，AB 交EF 于D ．给出下列结论：△△AFC=△C ；△DE=CF ；△△EAD=△BFD ；△△BFD=△CAF ．其中正确的结论是（ ） A ．△△ B ．△△ C ．△△ D ．△△△4、【变式3】如图，△ABC△△ADE ，△DAC=60°，△BAE=100°，BC 、DE 相交于点F ，则△DFB 的度数是_______．参考答案1、△△△△2、B3、D4、20°3．易错点：忽略隐藏的8字形（二）1、如图，△ABC△△ADE ，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，△ACB=△AED=105°，△CAD=10°，△B=△D=25°，求△DFB 、△DGB 的度数．2、【变式1】如图所示，△ABC△△ADE ，延长BC 分别交AD ，DE 于F ，G ，△CAD=10°，△B=△D=25°，△EAB=120°．求△DFB 和△DGB 的度数．3、【变式2】如图，△ABC△△ADE ，BC 的延长线过点E ，△ACB=△AED=105°，△CAD=10°，△B=50°，则△DEF 的度数为________.参考答案1、△DFB=85°；△DGB=60°．2、△DFB=90°；△DGB=65°3、35°第2节 全等三角形的判定一、用SSS 边边边判定三角形全等二、用SAS 边角边判定三角形全等 4．易错点：误用SSA 判定三角形全等 1、如图，AB=AC ，AE=AD ，要使△ACD△△ABE ，需要补充的一个条件是（ ）A ．△B=△CB ．△D=△EC ．△BAC=△EAD D ．△B=△E参考答案 1、C5．易错点：乱用中点的各种结论1、如图所示，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点.求证：△ABE△△ACD．证明：∵D、E分别是AB、AC的中点∴AD=BD，AE=CE∵AB=AC∴AE=AD在△ABE和△ACD中AE=AD△A=△AAB=AC∴△ABE△△ACD以上证明过程是否有误？若有，请将错误的地方改正．参考答案1、有错，AD=BD，AE=CE应改为AD=1/2AB，AE=1/2AC6．易错点：对应边的关系不确定1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=________时，△ABC和△PQA全等．2、【变式1】如图（1），AB=5cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=4cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B 向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并推导出此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=a°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1、5或10．2、提示：（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．解：（1）（1）当t=1时，AP=BQ=1，BD=AC=4，∵AB=5，∴BP=5-1=4=AC，又∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，AP=BQ，∠A=∠B，AC=BP，∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直；（2）△若△ACP△△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，△4=5-t，t=xt，解得t=1，x=1，△存在x=1，t=1，使得△ACP与△BPQ全等；△若△ACP△△BQP，则AC=BQ，AP=BP，△t=5-t，4=xt，解得t=2.5，x=1.6，△存在t=2.5，x=1.6，使得△ACP与△BPQ全等；综上所述，存在x=1，t=1或t=2.5，x=1.6，使得△ACP 与△BPQ全等．三、用ASA角边角或AAS角角边判定三角形全等7．易错点：误以为AAS就是两个角和一条边相等1、下列说法正确的是（）A．有三个角对应相等的两个三角形全等B．有两边对和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C．有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等D．有两个角对应相等，还有一条边也相等的两个三角形全等2、【变式1】下列条件不能判断两个直角三角形全等的是（）A．有两条直角边对应相等B．有两个锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．斜边和一个锐角对应相等参考答案1、C2、B四、用HL斜边直角边判定三角形全等8．易错点：判定直角三角形全等时将HL与SSA混淆1、如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：△BDF≌△ADC．证明：∵AD⊥BC∴∠BDF=∠ADC=90°在Rt△BDF和Rt△ADC中BF=AC，FD=CD，∠BDF=∠ADC，∴Rt△BDF≌Rt△ADC以上证明是否有错？如果有错，请将错误改正．2、【变式1】如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，则∠ABC=_____．3、【变式2】如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE ⊥AC．参考答案1、有错，证明三角形全等应该用HL，不是SSA需要把∠BDF=∠ADC删掉．2、45°3、证明：△AD△BC，△△BDF=△ADC=90°在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF=AC，FD=CD，△Rt△BDF△Rt△ADC（HL），△△C=△BFD，△△DBF+△BFD=90°，，△△C+△DBF=90°，△△C+△DBF+△BEC=180°，△△BEC=90°，△BE△AC．9．易错点：全等三角形的判定定理混淆1、如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点及点D、E、F、G、H都在格点上，现以D、E、F、G、H中的三点为顶点画三角形，则下列与△ABC面积相等但不全等的三角形是（）A．△EHD B．△EGF C．△EFH D．△HDF 参考答案1、D第3节角平分线的性质10．易错点：不理解点到直线的距离1、如图，PD△AB，PE△AC，垂足分别为D、E，且PA 平分△BAC，则△APD与△APE全等的理由是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA2、如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA＜OC，∠AOB=∠COD=36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB=36°；②AC=BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD．其中正确的有______________．参考答案1、B2、①②④。
八年级数学上册第十二章全等三角形重难点归纳(带答案)
八年级数学上册第十二章全等三角形重难点归纳单选题1、如图，若△ABC≌△ADE则下列结论中不成立．．．的是（）A．∠BAD=∠CAEB．∠BAD=∠CDEC．DA平分∠BDED．AC=DE答案：D分析：根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠E＝∠C，再逐个判断即可．解：A．∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，故本选项不符合题意；B．如图，∵△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠E，∵∠AOE＝∠DOC，∠E＋∠CAE＋∠AOE＝180°，∠C＋∠COD＋∠CDE＝180°，∴∠CAE＝∠CDE，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＝∠CDE，故本选项不符合题意；C．∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，∴∠B＝∠BDA，∴∠BDA＝∠ADE，∴AD平分∠BDE，故本选项不符合题意；D．∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，故本选项符合题意；故选：D．小提示：本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．2、下列说法不正确的是（）A．有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等B．有三个角对应相等的两个三角形全等C．有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等D．有三条边对应相等的两个三角形全等答案：B分析：根据全等三角形的判定定理逐一判断即可得答案．A.符合判定SAS，故该选项说法正确，不符合题意，B.全等三角形的判定必须有边的参与，AAA不能判定两个三角形全等，故该选项说法不正确，符合题意，C.正确，符合判定AAS，故该选项说法正确，不符合题意，D.正确，符合判定SSS，故该选项说法正确，不符合题意，故选：B．小提示：本题考查全等三角形的判定，全等三角形常用的判定方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意：AAS、AAA不能判定两个三角形全等，当利用SAS判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．3、小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形的三条高交于一点D．三角形三边的垂直平分线交于一点答案：A分析：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A．小提示：本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5,DF=3，则下列结论错误的是（）A．BF=1B．DC=3C．AE=5D．AC=9答案：A分析：根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．解：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DF⊥AB，∴CD=DF=3，故B正确；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正确；∴AC=AE+CE=9，故D正确；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，∴△BDF≌△DEC，∴BF=CD=3，故A错误；故选：A．小提示：此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．5、如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．70°答案：B分析：由BD、CE是高，可得∠BDC=∠CEB=90°，可求∠BCD＝70°，可证Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），得出∠BCD ＝∠CBE＝70°即可．解：∵BD、CE是高，∠CBD＝20°，∴∠BDC=∠CEB=90°，∴∠BCD＝180°﹣90°﹣20°＝70°，在Rt△BEC和Rt△CDB中，，{CE=BDBC=CB∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），∴∠BCD＝∠CBE＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．小提示：本题考查三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式，掌握三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式是解题关键．6、如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB，CD=CB，再测得AD的长，就是AB的长．那么判定△ABC≌△ADC的理由是（）A．SASB．SSSC．ASAD．AAS答案：A分析：已知条件是∠ACD=∠ACB，CD=CB，AC=AC，据此作出选择．解：在△ADC与△ABC中，{CD=CB∠ACD=∠ACBAC=AC．∴△ADC≌△ABC（SAS）．故选：A．小提示：此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7、如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，BD,CE交于点F，连接AF，下列结论：①BD=CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE=45°．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合BF⊥CF即可判定．解：∵∠BAC=∠EAD∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE在△BAD和△CAE中AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE∴△BAD≌△CAE∴BD=CE故①正确；∵△BAD≌△CAE∴∠ABF=∠ACF∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF∴∠ACF+∠BGA=90°,∴∠BFC=90°故②正确；分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N ∵△BAD≌△CAE∴S△BAD=S△CAE,∴12BD⋅AM=12CE⋅AN∵BD=CE∴AM=AN∴AF平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．故③错误；∵AF平分∠BFE，BF⊥CF∴∠AFE=45°故④正确．故答案为C．小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．8、如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED答案：B分析：根据全等三角形的性质即可得到结论．解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．小提示：本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．9、如图，在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N．分别以点M、MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作N为圆心，以大于12∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（）DE⊥AB于点E，则下列结论①CD=ED；②∠ABD=12A．①②③B．①②③④C．②④D．②③④答案：A分析：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得①正确，由HL可得Rt△BDC≌Rt△BDE,故BC=BE，③正确，解：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，∵∠C=90°,∴DC⊥BC，又DE⊥AB，BD是∠ABC的角平分线，∴CD=ED，故①正确，在Rt△BCD和Rt△BED中，，{DE=DCBD=BD∴△BCD≌△BED，∴BC=BE，故③正确.故选A.小提示：本题考查了角平分线的画法及角平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题关键.10、判断两个直角三角形全等的方法不正确．．．的有（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．两个锐角对应相等答案：D分析：根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可．解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意；故选D．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．填空题11、如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm．答案：3.5分析：过C点作CF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到CF=CE，再证明Rt△ACE≌Rt△ACF得到AF=AE，证明△CBF≌△CDE得到BF=DE，然后利用等线段代换，利用AF=AE得到11+DE=18-DE，从而可求出DE的长．解：过C点作CF⊥AB于F，如图，∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，∴CF=CE，在Rt△ACE和Rt△ACF中，，{AC=ACCF=CE∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AF=AE，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，∴∠CBF=∠D，在△CBF和△CDE中，{∠CBF=∠D∠CFB=∠CEDCF=CE，∴△CBF≌△CDE（AAS），∴BF=DE，∵AF=AE，∴AB+BF=AD-DE，即11+DE=18-DE，∴DE=3.5cm．所以答案是：3.5．小提示：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．12、如图，四边形ABCD中，∠BAC=∠DAC，请补充一个条件____，使△ABC≌△ADC．答案：∠D=∠B(答案不唯一)分析：本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．解：添加的条件为∠D=∠B，理由是：在△ABC和△ADC中，{∠BAC =∠DAC∠D =∠B AC =AC，∴△ABC ≌△ADC (AAS )，所以答案是：∠D =∠B ．小提示：本题主要考查全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解决本题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有HL ．13、如图，OP 平分∠MON,PE ⊥OM 于点E ，PF ⊥ON 于点F ，PE =PF,OA =OB ，则图中有__________对全等三角形．答案：3分析：根据角平分线的性质得到PE =PF ，根据全等三角形的判定定理判断即可．解：如图，OP 平分∠MON,PE ⊥OM 于点E ，PF ⊥ON 于点F ，PE =PF ，∴∠1=∠2，在△AOP 和△BOP 中，{OA =OB ，∠1=∠2,OP =OP ，∴△AOP ≌△BOP (SAS )，∴AP =BP ，在Rt △EOP 和Rt △FOP 中，{PE =PF ，OP =OP,∴Rt △EOP ≌Rt △FOP (HL )，在Rt △AEP 和Rt △BFP 中，{PA =PB,PE =PF,∴Rt △AEP ≌Rt △BFP (HL )，∴图中有3对全等三角形．所以答案是：3.小提示：本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．14、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，AB =5，CD =2，则△ABD 的面积是________．答案：5分析：过D 作DE ⊥AB 于E ，由△DAE ≌△DAC 得到DE 的长，进而解答；解：如图，过D 作DE ⊥AB 于E ，△DAE 和△DAC 中，AD 平分∠BAC ，则∠DAE =∠DAC ，∠DEA =∠DCA =90°，DA =DA ，∴△DAE ≌△DAC （AAS ），∴DE =DC =2，∴△ABD 的面积=12×AB ×DE =12×5×2=5，所以答案是：5；小提示：本题考查了角平分线的概念，全等三角形的判定（AAS ）和性质；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．15、如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC ，D 为△ABC 内一点，且∠BCD =∠CAD ，若CD =4，则△BCD 的面积为________．答案：8分析：由线段CD 的长求ΔBCD 的面积，故过B 作CD 的垂线，则由三角形面积公式可知：S ΔBCD =12×CD ×BE ，再由题中的∠BCD =∠CAD 和等腰直角三角形ABC ，即可求证ΔACD ≌ΔCBE ，最后由CD =BE =4即可求解． 解：过点B 作CD 的垂线，交CD 的延长线于点E∵∠ACB =90°∴∠BCD +∠ACD =90°∵∠BCD =∠CAD∴∠ACD +∠CAD =90°∴∠ADC =90°∵BE ⊥CD∴∠E =90°∴∠BCD +∠CBE =90°∴∠ACD =∠CBE∵AC =CB∴ΔACD ≌ΔCBE∴CD =BE =4∴SΔBCD=12×CD×BE=12×4×4=8故答案是：8．小提示：本题主要考察全等三角形的证明、辅助线的画法、等腰三角形的性质和三角形面积公式，属于中档难度的几何证明题．解题的关键是由三角形面积公式画出合适的辅助线．解答题16、已知：等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．（1）如图1，延长DE交BC于点F，若∠BAE=68°，则∠DFC的度数为；（2）如图2，连接EC、BD，延长EA交BD于点M，若∠AEC=90°，求证：点M为BD中点；（3）如图3，连接EC、BD，点G是CE的中点，连接AG，交BD于点H，AG=9，HG=5，直接写出△AEC的面积．答案：（1）68°；（2）见解析；（3）36分析：（1）由已知条件可得∠D=∠C=45°，对顶角∠AQD=∠CQF，则∠DAC=∠DFC，根据∠DAE=∠CAB即可的∠DFC=∠BAE；（2）过点B作ME的垂线交EM的延长线于N,证明△AEC≌△BNA，得AE=BN,进而可得AD=NB，再证明△DAM≌△BNM即可得证点M为BD中点；（3）延长AG至K，使得GK=AG=9，连接CK，设AE交BC于点P，先证明△ABE≌△ACD，进而证明△AEG≌△KCG，根据角度的计算以及三角形内角和定理求得∠BAD=∠KCA，进而证明△ABD≌△CAK，再根据∠CAG=∠ABD,∠BAC=90°,证明AH⊥BD，根据已知条件求得S△ABD最后证明S△AEC=S△ABD即可．（1）设DF交AC于Q，如图1，∵△ABC是等腰Rt△ABC和△ADE是等腰Rt△ADE∴∠D=∠C=45°∵∠AQD=∠CQF∵∠DAQ=180−∠D−∠AQD,∠QFC=180−∠C−∠CQF∴∠DAQ=∠QFC∵∠BAC=∠EAD=90°即∠BAE+∠EAQ=∠EAQ+∠QAD∴∠BAE=∠QAD∴∠DFC=∠BAE∵∠BAE=68°∴∠DFC=68°故答案为68°（2）如图2，过点B作ME的垂线交EM的延长线于N,∴∠N=90°∵∠AEC=90°∴∠N=∠AEC∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠NAB=90°∵∠NAC+∠ACE=90°∴∠NAB=∠ECA∵△ABC是等腰Rt△ABC和△ADE是等腰Rt△ADE∴AB=AC,AD=AE 又∵AC=AB∴△AEC≌△BNA∴NB=AE∵AE=AD∴AD=NB∵∠DAE=90°∴∠DAM=90°∴∠DAM=∠N又∵∠DMA=∠BMN∴△DAM≌△BNM∴DM=BM即M是BD的中点（3）延长AG至K，使得GK=AG=9，连接CK，设AE交BC于点P，如图∵∠BAC=∠EAD=90°即∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD∴∠BAE=∠CAD∵△ABC是等腰Rt△ABC和△ADE是等腰Rt△ADE∴AB=AC,AE=AD在△ABE与△ACD中，{AE=AD∠BAE=∠CAD AB=AC∴△ABE≌△ACD（SAS）∴S△ABE=S△ABD，BE=CD∵G点是EC的中点∴EG=GC∵∠AGE=∠KGC，AG=GK∴△AGE≌△KGC（SAS）∴AE=CK,∠AEG=∠KCG∴AE=KC=AD,∠ACK=∠ACB+∠BCE+∠KCG=45°+∠AEC+∠BCE=45°+∠ABC+∠BAP=90°+∠BAE=∠BAD∴△AKC≌△ABD（SAS）∴BD=AK=18，∠CAK=∠ABD∵∠BAG+∠CAG=90°∴∠ABD+∠BAG=90°即∠AHB=90°∵AG=9，HG=5∴AH=AG−HG=9−5=4∴S△ABD=12BD⋅AH=12×18×4=36∵S△AEC=S△AEG+S△AGC=S△GCK+S△AGC=S△ACK=S△ABD=36∴S△AEC=36小提示：本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，构造辅助线是解题的关键．17、如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，∠ABD=∠BCE，且AD=BE．(1)证明：①△ABD≅△ECB；②AD≌BC；(2)若BC=15，AD=6，请求出DE的长度．答案：(1)①证明见解析；②证明见解析(2)9分析：（1）①由ASA证明全等即可，②由①可证明；（2）由△ABD≌△ECB可证DE=BD-BE=15-6=9．（1）解：证明：①在△ABD和△ECB中，{∠A=∠BEC∠ABD=∠BCEAD=BE，∴△ABD≌△ECB（ASA），②由①得：△ABD≌△ECB∴∠ADB＝∠EBC，∴AD∥BC；（2）∵△ABD≌△ECB，BC=15，AD=6，∴BD＝BC=15，BE=AD=6，∴DE=BD-BE=15-6=9．小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，证明△ABD≌△ECB是解题的关键．18、如图1，已知ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为E，D．(1)猜想线段AD、DE、BE三者之间的数量关系，并给予证明．(2)如图2，当过点C的直线绕点C旋转到ΔABC的内部，其他条件不变，如图2所示，①线段AD、DE、BE三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；②若AD=2.8，DE=1.5时，求BE的长．答案：(1)DE=AD+BE，证明见解析(2)①发生改变，DE=AD−BE；②1.3分析：（1）证明ΔACD≅ΔCBE，可得AD=CE，CD＝BE，即可求解；（2）①证明ΔACD ≅ΔCBE ，可得AD =CE ，CD ＝BE ， 即可求解；②由①可得DE =AD −BE ，从而得到BE =AD −DE ，即可求解．（1）解：DE =AD +BE ， 理由如下：∵BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，∴∠BEC =∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠CAD ＝90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在ΔACD 和ΔCBE 中，{∠ADC =∠BEC∠CAD =∠BCE AC =BC，∴ΔACD ≅ΔCBE (AAS )，∴AD =CE ，CD ＝BE ，∵ DE ＝EC ＋CD ，∴DE =AD +BE ；（2）解：①发生改变．∵BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，∴∠BEC =∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠CAD ＝90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在ΔACD 和ΔCBE 中，{∠ADC =∠BEC∠CAD =∠BCE AC =BC，∴ΔACD≅ΔCBE(AAS)，∴AD=CE，CD＝BE，∵DE＝CE-CD，∴DE=AD−BE；②由①知：DE=AD−BE，∴BE=AD−DE=2.8−1.5=1.3，∴BE的长为1.3.小提示：本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．。
三角形全等易错题析(供参考)
三角形全等易错题分析与纠错策略探讨长岭中学 孙运华摘 要：作为一名初中数学教师，我时常发觉有些做过量次的题，学生会一错再错。
通过了解，我发觉这不是个别现象，要想纠正这些易错题，必需分清缘故，并采取相应的纠正方法。
关键词：初中数学； 易错题； 纠错策略；很多数学教师都发觉，一些做过量次的题，学生会一错再错。
这种题目咱们暂且叫它易错题。
易错题产生的缘故各不相同。
要想纠正这些易错题，必需分清缘故，并采取相应的纠正方法。
下面我将结合自身的初步探讨，以全等三角形为知识载体举几个纠正易错题的例子，探讨纠错进程，形成我的纠错策略，与大伙儿共勉，．全等三角形的判定和性质及其应用是初中几何的重点内容之一，也是中考所要考查的重要内容之一．由于对概念、判定、性质的明白得不清或对问题的考虑不周密，往往会显现各类错误． 一、寻觅全等三角形的对应边和对应角时犯错例1 如图，已知：△ABC≌△EFD,∠C=∠D,AE=BF,指出其他的对应边和对应角。
错解 对应边BC 与DF,AE 与BF,对应角∠DEF 和 ∠ABC.错解分析：识图能力差，不能看出两个三角形如何重合的，不能正确识别对应边和对应角。
正解 对应边AB=EF,AC=ED,BC=DF ；对应角∠A=∠EEF, ∠ABC=∠F.策略探讨：像本例的错误，反映了学生对图形的识别能力不强，教师教学时应尽可能多展现一些有关全等三角形的图形，让学生进行适当的对应边，对应角的识别训练，从而提高学生的识图能力，达到学生不犯或少犯类似错误的目的。
例2 如下图，假设△ABC 中的∠A=300，∠B=700，AC=17cm ；如图2（2）所示，假设△DEF 的∠D=700，∠E=800，DE=17cm ，那么△ABC 与△DEF 全等吗？什么缘故？800700图1（2）图1（1）700300E CB F D错解：△ABC 与△DEF 全等．在△DEF 中，因为∠D=700，∠E=800， 因此∠F=1800-∠D -∠E=1800-700-800=300．长岭中学数学课题论文在△ABC 中，因为∠A=300，∠B=700， 因此∠A=∠F，∠B=∠D． 又因为AC=17cm ，DE=17cm ， 因此AC=DE ． 在△ABC 与△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠），DE （AC ），D （B ，F A 已证已证已证)(∴△ABC≌△DEF．错解分析：AC 是∠B 的对边，DE 是∠F 的对边，而∠B≠∠F，因此这两个三角形不全等． 正确解法：△ABC 与△DEF 不全等．因为相等的两边不是相等的两角的对边，不符合全等三角形的识别法．策略探讨： 概念是对事物进行判定和推理的基础，其重要性可想而知。
第10讲 三角形与全等三角形(易错点梳理+微练习)(解析版)
第10讲三角形与全等三角形易错点梳理易错点梳理易错点01对三角形中“三线”位置掌握不好对三角形中“三线”位置掌握不好，导致出错三角形的角平分线、中线都在三角形内部，而三角形的高不一定在三角形内部.锐角三角形的高在三角形的内部；直角三角形的两条高与直角边重合，斜边上的高在三角形内部；钝角三角形的两条高在三角形外部。
易错点02误用多边形的内角和公式及三角形外角的性质n边形的内角和等于(n-2)·180°，而并非为n·180°对三角形外角的性质理解不透彻而出现错误，在应用三角形外角的性质时，不可忽略了“不相邻”这个条件。
易错点03忽略三角形存在的条件而导致计算错误进行等腰三角形的边长或周长计算时，一般需要分类讨论，但不可忽略三角形存在的条件，即任意两边之和大于第三边.对出现的情况需要逐一验证，确定取舍。
易错点04对正多边形的概念理解有误导致判断失误判断正多边形的两个条件——各个角都相等、各条边都相等，两者缺一不可，不要以为每个内角都相等的多边形便是正多边形。
易错点05全等三角形的对应关系考虑不全面而出错用“≌”表示两个三角形全等时，对应点放在对应位置，但用语言描述的两个三角形全等却不需要，不要形成固定思维.解决这类问题要考虑各种对应情况，避免出现考虑不全面，导致结果错误.易错点06错用“SSA”进行判定三角形全等判定一般三角形全等的方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”4种方法，不存在“SSA”的判定方法.易错点07运用角平分线的性质和判定时，误将斜线段当作距离在运用角的平分线的性质和判定时，一定要注意“距离”必须有垂直的条件。
考向01三角形的三边关系例题1：（2021·广东新丰·九年级期中）三角形的两边长分别是3和6，第三边的长是方程x2-7x+10=0的一个根，则这个三角形的周长是（）A．11或14B．14或16C．14D．11【答案】C【分析】首先利用因式分解法求得一元二次方程x2-7x+10=0的两个根，又由三角形的两边长分别是3和6，利用三角形的三边关系，即可确定这个三角形的第三边长，然后求得周长即可．【解析】解：∵x2-7x+10=0，∴（x-5）（x-2）=0，解得：x1=5，x2=2，∵三角形的两边长分别是3和6，当x=5时，3+5＞6，能组成三角形；当x=2时，2+3<6，不能组成三角形．∴这个三角形的第三边长是5，∴这个三角形的周长为：3+6+5=14．故选：C．【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程与三角形三边关系的知识．解题的关键是注意准确应用因式分解法解一元二次方程，注意分类讨论思想的应用．例题2：（2021·江苏·常州外国语学校九年级）如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为（）【分析】延长BA 到点D ，使DA =BA ,连接PD ，运用三角形中位线定理，当PD 最大时，AC 最大，运用三角形不等式原理计算即可．【解析】如图，延长BA 到点D ，使DA =BA ,连接PD ，PO ，OA ，OB ，OD ，∵BA =AD ，BC =PC ，∴AC 是△PBD 的中位线，∴AC =12PD ，∵∠APB ＝30°，∴∠AOB ＝60°，∴△AOB 等边三角形，∴OA =OB =AB =AD =2，∠AOB =∠OAB =60°，∴∠ADO =∠AOD =30°，∴∠DOB =90°，∴OD =∵DO +PO ≥PD ，∴PD 的最大值为：DO +PO =，∴AC =12PD考向02三角形的高、中线例题3：（2021·山东安丘·二模）如图，四边形ABCD 为菱形，BF ∥AC ，DF 交AC 的延长线于点E ，交BF 于点F ，且CE ：AC ＝1：2．则下列结论不正确的有（）A ．△ABE ≌△ADE ；B ．∠CBE ＝∠CDF ；C ．DE ＝FE ；D ．S △BCE ：S 四边形ABFD ＝1：9【答案】D【分析】由四边形ABCD 为菱形，AB =AD ，∠BAC =∠DAC ，可证()ABE ADE SAS ∆∆≌可判定A ；由ABE ADE ∆∆≌，可得∠ABE =∠ADE ，由四边形ABCD 为菱形，可得∠ABC =∠ADC ，利用等角之差∠CBE =∠CDE ，可判定B ；连结BD 交AC 于O ，四边形ABCD 为菱形，可得BD =2OD ，可证△DOE ∽△DBF ，可证2DF DE =，可判定C ；根据OE 为△DBF 的中位线，△DOE ∽△DBF ，可得4DBF DOE S S ∆∆=，由CE ：AC ＝1：2．可得S △BOA =S △BOC =S △BCE =S △ADO ，S △DOE =2S △BCE ，可求10BCE ABFD S S ∆=四可判定D ．【解析】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB =AD ，∠BAC =∠DAC ，∴在△ABE 和△ADE 中，AB AD BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADE SAS ∆∆≌故选项A 正确；∵ABE ADE∆∆≌∴∠CBE =∠ABE -∠ABC =∠ADE -∠ADC =∠CDE ，故选项B 正确；连结BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 为菱形，∴DO =BO ，OE ⊥BD ，∴BD =2OD ，∵BF ∥AE ，∴∠DOE =∠DBF ，∠DEO =∠F ，∴△DOE ∽△DBF ，∴12DO DE DB DF ==，∴2DF DE =，∴2DF EF DE DE =+=，∴EF DE =，故选项C 正确；∵DO =OB ，DE =EF ，∴OE 为△DBF 的中位线，∴BF =2OE ，∵△DOE ∽△DBF ，∴214DOE DBF S OE S BF ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭∴4DBF DOES S ∆∆=∵CE ：AC ＝1：2．∴AC =2CE ，∴AO =OC =CE ，∴S △BOA =S △BOC =S △BCE =S △ADO ，∴S △DOE =2S △BCE ，∴2410ABD DBF BCE DOE BCEABFD S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四故选择D ．【点拨】本题考查菱形性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积，掌握菱形性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积是解题关键．例题4：（2021·安徽包河·九年级期中）如图，在中，D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点F ，若E 为AC 的中点，:2:3BD DC =，则:AF FD 的值是（）A ．2.5B ．3C ．4D ．2【答案】A【分析】过点E 作EG BC ∥交AD 于G ，则EG 是△ACD 的中位线，△AGE ∽△ADC ，可以得到1=2AG GE AD CD =，再证明△FGE ∽△FDB ，得到GE GF BD FD =，即可推出3=4GE GF BD FD =，设22AD AG x ==，则AG GD GF FD x ==+=，37GF x =，47DF x =，107AF AG GF x =+=，由此求解即可．【解析】解：如图所示，过点E 作EG BC ∥交AD 于G ，∵E 是AC 的中点，EG BC ∥，∴EG 是△ACD 的中位线，△AGE ∽△ADC ，∴1EG CD =，AG GE =，∴GE GF BD FD=，∵:2:3BD DC =，:1:2GE DC =，∴3=4GE GF BD FD =，设22AD AG x ==，则AG GD GF FD x ==+=，∴37GF x =，47DF x =，∴107AF AG GF x =+=，∴104:: 2.577AF FD x x ==，故选A ．【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定．考向03三角形的角平分线例题5：（2021·湖南·常德市第五中学九年级开学考试）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，∠BAC的平分线AD 交BC 于点D ，CD =BD 的长是（）A ．2B ．C ．3D ．【答案】B【分析】【解析】∵90C ∠=︒，30B ∠=︒∴60CAB ∠=︒∵CAB ∠的平分线AD 交BC 于点D ∴1302CAD BAD CAB ∠=∠=∠=︒∴DAB B∠=∠∴BD AD=∵CD =∴2BD AD CD ===故选：B【点拨】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，正确的理解题意、运用相应的性质是解题的关键．例题6：（2021·陕西灞桥·一模）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边的中线，CF 是∠ACB 的角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法正确的是（）①△ABE 的面积＝△BCE 的面积；②∠FAG ＝∠FCB ；③AF ＝AG ；④BH ＝CH ．A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．①③【答案】D【分析】根据三角形的面积公式进行判断①，根据三角形的内角和定理求出∠FAG ＝∠ACB ，再判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG ＝∠AGF ，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据等腰三角形的判定判断④即可．【解析】解：∵BE 是AC 边的中线，∴AE ＝CE ，∵△ABE 的面积＝1AE AB ⨯⨯，△BCE 的面积＝1CE ⨯⨯AB ，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，∴∠FAG＝∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分线，∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG，故③正确；根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；即正确的为①③，故选：D．【点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．考向04三角形的内角和例题7：（2021·福建·福州十八中九年级期中）如图，ODC是由OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】D【分析】∴∠A =∠ADO 1802AOD ︒-∠==75°．故选D ．【点拨】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等是解题的关键．例题8：（2021·青海互助·九年级期中）如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转80°，得到，若点D 在线段BC 的延长线上，则PDE ∠的度数为（）A ．60°B ．80°C ．100°D ．120°【答案】B【分析】由题意得AB AD =，80BAD ∠=︒，B ADE ∠=∠，得50B ADB ∠=∠=︒，则50ADE B ∠=∠=︒，即可得．【解析】解：∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转80°，得到，∴AB AD =，80BAD ∠=︒，B ADE ∠=∠，∴11(180)(18080)5022B ADB BAD ∠=∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒，∴50ADE B ∠=∠=︒，∴180180505080PDE ADE B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选B ．【点拨】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些知识点．考向05三角形的外角例题9：（2021·河南大学附属中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边CD 上一点，将沿AE 折叠至处，AD '与CE 交于点F ，若52B ∠=︒，20DAE ∠=︒，则FED '∠的度数为（）【答案】B【分析】由平行四边形的性质得出52D B ∠=∠=︒，由折叠的性质得52D D '∠=∠=︒，20D AE DAE '∠=∠=︒，由三角形的外角性质求出72AEC ∠=︒，由三角形内角和定理求出108AED '∠=︒，即可得出FED '∠的大小．【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，52D B ∴∠=∠=︒，由折叠的性质得：52D D '∠=∠=︒，20D AE DAE '∠=∠=︒，522072AEC D DAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，180()180(5220)108AED D D AE '''∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒，1087236FED AED AEC ''∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出AEC ∠和AED '∠是解决问题的关键．例题10：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点P 为边AD 上任意一点（点P 不与点A 、重合）连接CP ，若120B ∠=︒，则APC ∠的度数可能为（）A ．30°B ．54°C ．50°D ．65°【答案】D【分析】根据圆内接四边形对角互补，求得D ∠的度数，根据三角形的外角性质可得APC D ∠>∠，进而可确定APC ∠的范围，根据选项即可求解．【解析】解：∵四边形ABCD 内接于O ，∴180B D ∠+∠=︒，∠为的外角，∵APC∠>∠，只有D满足题意．∴APC D故选：D．【点拨】本题考查了圆内接四边形形对角互补，三角形的外角性质，求得D∠的大小是解题的关键．考向06全等三角形的性质=，例题11：（2021·广西大化·九年级期中）如图，已知D，E分别是正三角形的边BC和CA上的点，且AE CD ∠的度数为（）AD与BE交于P，则BPDA．45°B．50°C．55°D．60°【答案】D【分析】根据△ABC是等边三角形，可得AC＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，结合AE＝CD，利用等式性质易得BD＝CE，利用SAS易证△ABD≌△BCE，从而有∠ADB＝∠BEC，再利用三角形外角性质可证∠C＝∠APE，而∠APE 和∠BPD是对顶角，故可得∠BPD＝∠C．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，∵AE＝CD，∴AC−AE＝BC−CD，即BD＝CE，又∵∠ABD＝∠C＝60°，AC＝BC，∴△ABD≌△BCE，∴∠ADB＝∠BEC，∵∠ADB＝∠C＋∠DAC，∴∠BPD ＝∠C ＝60°．故选D ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角性质、等边三角形的性质，解题的关键是证明△ABD ≌△BCE ．例题12：（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级期中）如图△ABC ≌△DEC ，点A 和点D 是对应顶点，当B 和点E 是对应顶点，过点A 作AF ⊥CD ，垂足为点F ，若∠BCE ＝65°，则∠CAF 的度数为（）A ．30°B ．25°C ．35°D ．65°【答案】B【分析】根据三角形全等的性质可得ACB DCE ∠=∠，进而可得BCE ACD ∠=∠，根据直角三角形的两个锐角互余，即可求得CAF ∠的度数．【解析】 ABC DEC ≌△△，∴ACB DCE ∠=∠，ACB ACE DCE ACE∴∠-∠=∠-∠即BCE ACD ∠=∠，AF CD ⊥，65BCE ∠=︒，9025CAF ACD ∴∠=︒-∠=︒故选B【点拨】本题考查了三角形全等的性质，直角三角形的两个锐角互余，证明BCE ACD ∠=∠是解题的关键．考向07全等三角形的判定例题13：（2021·山东·禹城市教育和体育局九年级期中）如图，在边长为6的正方形ABCD 内作45EAF ∠=︒，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将绕点A 顺时针旋转90°得到．若3DF =，则A ．2B ．32C ．1D ．12【答案】A【分析】根据旋转的性质可知，△ADF ≌△ABG ，然后即可得到DF=BG ，∠DAF =∠BAG ，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG ≌△EAF ，再根据DF =3，AB =6和勾股定理，可以求出BE 的长．【解析】解：由题意可得，△ADF ≌△ABG ，∴DF =BG ，∠DAF =∠BAG ，∵∠DAB =90°，∠EAF =45°，∴∠DAF +∠EAB =45°，∴∠BAG +∠EAB =45°，∴∠EAF =∠EAG ，在△EAG 和△EAF 中，AG AF EAG EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAG ≌△EAF(SAS)，∴GE =FE ，设BE =x ，则GE =BG +BE =3+x ，CE =6−x ，∴EF =3+x ，∵CD=6，DF =3，∴CF =3，∵∠C =90°，故选A..【点拨】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想．例题14：（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级期中）如图，在中，90C ∠=︒，AC BC =，将绕点A 顺时针方向旋转60°到的位置，连接C B '，则C BA ∠'的度数为（）A ．15°B ．20°C ．30°D ．45°【答案】C【分析】连接BB '，证明为等边三角形，然后进一步证明BB C ''△≌，得到B BC ABC '''∠=∠，即可求出C BA ∠'的度数．【解析】解：如图所示，连接BB '，由题意得：AB AB '=，60BAB '∠=︒，∴为等边三角形，∴60B BA '∠=︒，BB BA '=；BB BA BC BC B C AC ''''=⎧='='⎪⎨⎪⎩∴BB C ''△≌△（SSS ），∴30B BC ABC '''∠=∠=︒，故选：C ．【点拨】该题主要考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定及其性质的应用等几何知识点问题．解题的关键是作辅助线；灵活运用旋转变换的性质、全等三角形的判定来分析、解答．考向08角平分线与线段垂直平分线例题15：如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 从点A 出发沿着线段AD 向点D 运动(不与点A ，D 重合)，同时点F 从点D 出发沿着线段DC 向点C 运动(不与点D ，C 重合)，点E 与点F 的运动速度相同．BE 与AF 相交于点G ，H 为BF中点、则有下列结论：①BGF ∠是定值；②FB 平分AFC ∠；③当E 运动到AD中点时，2GH =；④当AG BG +=时，四边形GEDF 的面积是12其中正确的是（）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．②③④【答案】C【分析】根据题意很容易证得△BAE ≌△ADF ，即可得到AF =BE ，利用正方形内角为90°，得出AF ⊥BE ，即可判断解；④根据△BAE ≌△ADF ，即可得到S 四边形GEDF ABG S =V，然后根据AG GB +=时，得到()22226AG GB AG AG GB GB +=+⋅+=，再由2224AG BG AB +==即可得到22AG GB ⋅=，则1122ABG S AG GB =⋅=V ．【解析】证明：∵E 在AD 边上(不与A ，D 重合)，点F 在DC 边上(不与D ，C 重合)，又∵点E ，F 分别同时从A ，D 出发以相同的速度运动，∴AE =DF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB DA =，90BAE D ∠=∠=o在△BAE 和△ADF 中，90AE DF BAE ADF AB DA =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△ADF (SAS )，∴∠1=∠2，∵2390∠+∠= ，∴1390∠+∠= 即90AGB ∠= ，∴90BGF ∠=o 即∠BGF是定值，故①正确；假设BF 平分∠AFC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ⊥FC ，BC =AB∵BG ⊥AF ，∴BG =BC ，∴假设不成立，∴②不正确；③当E 运动到AD 中点时，则F 运动到CD 中点，∴112CF CD ==，∴BF ==∵∠BGF =90°，H 为BF 的中点∴122GH BF ==，故③正确；④∵△BAE ≌△ADF ，∴=BAE ADFS S △△∴S 四边形GEDF ,ABG S =∴当AG GB +=时，()22226AG GB AG AG GB GB +=+⋅+=，∵2224AG BG AB +==，22AG GB ∴⋅=，∵1122ABG S AG GB =⋅=V ，∴S 四边形GEDF =12故④正确；故选C ．【点拨】考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，角平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．例题16：（2021·广东·深圳市高级中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2AB ＝8，连接BD ，分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 长为半径作弧，两弧交于点E 和点F ，作直线EF 交AD 于点I ，交BC 于点H ，点H 恰为BC 的中点，连接AH ，则AH 的长为（）【分析】连接DH，根据作图过程可得EF是线段BD的垂直平分线，证明△DHC是等边三角形，然后证明∠AHD=90°，根据勾股定理可得AH的长．【解析】解：如图，连接DH，根据作图过程可知：EF是线段BD的垂直平分线，∴DH=BH，∵点H为BC的中点，∴BH=CH，BC=2CH，∴DH=CH，在▱ABCD中，AB=DC，∵AD=BC=2AB=8，∴DH=CH=CD=4，∴△DHC是等边三角形，∴∠C=∠CDH=∠DHC=60°，在▱ABCD中，∠BAD=∠C=60°，AD∥BC，∴∠DAH=∠BHA，∵AB=BH，∴∠BAH=∠BHA，∴∠BAH=∠DAH=30°，∴∠AHD=90°，∴AH==故选：A．微练习一、单选题1．（2021·浙江拱墅·九年级期中）如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E 是DC上一点，且DE∶EC＝5∶2，连结AE交BM于G，则BH∶HG∶GM等于（）A．7∶5∶2B．13∶5∶2C．5∶3∶1D．26∶10∶3【答案】D【分析】过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，设CF＝a，则GM＝12a，依据CF∥BG，DE∶EC＝5∶3，D是BC的中点，可得BG＝6CF＝6a，再根据H是△ABC的重心，即可得到BH＝23BM＝133a，HG＝BG﹣BH＝53a，进而得到BH∶HG∶GM＝133a∶53a∶12a＝26∶10∶3．【解析】：如图，过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，∵H是△ABC的重心，∴M是AC的中点，D是BC的中点，∴G是AF的中点，∴GM＝12 CF，设CF＝a，则GM＝12a，∵CF∥BG，DE∶EC＝5∶2，D是BC的中点，∴2552CF CEBG BE==++＝16，∵H 是△ABC 的重心，∴BH ＝23BM ＝133a ，∴HG ＝BG ﹣BH ＝6a ﹣133a ＝53a ，∴BH ∶HG ∶GM ＝133a ∶53a ∶12a ＝26∶10∶3．故选D．【点拨】本题主要考查了重心的性质，解题的关键在于能够熟练掌握重心是三条中线的交点以及重心的性质．2．（2021·云南鲁甸·九年级期中）已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程27120x x -+=，则三角形的周长为（）A．10B．11C．10或11D．以上都不对【答案】B【分析】解方程得到两个解，分两类情况讨论，看是否能构成三角形，若能构成，则三边长加起来即为三角形周长．【解析】∵27120x x -+=，解得123,4x x ==∴三角形三边长可能的情况为：①2，5，3，∵2+3=5，∴2，3，5不能构成三角形②2，5，4，∵2+4>5，∴2，4，5能构成三角形∴三角形的周长为2+4+5=11故选B别以点A 和C 为圆心，大于12AC 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和N ；作直线MN 交AB 于点D ，连结CD ．若7AB cm ，则BC 的长可能是（）A．6cmB．7cm C．8cm D．9cm【答案】A【分析】由基本作图得到MN 垂直平分AC ，则DA =DC ，根据三角形三边的关系得到BC ＜CD +DB ，然后对各选项进行判断．【解析】解：由作法得MN 垂直平分AC ，∴DA =DC ，∴CD +BD =DA +DB =AB =7，∵BC ＜CD +DB ，∴BC ＜7．故选：A．【点拨】本题考查了作图-基本作图－作已知线段的垂直平分线．三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，掌握三角形三边关系，线段垂直平分线的性质是解题关键．4．（2021·江苏·宜兴市树人中学九年级期中）下列说法正确的是（）A．三角形三条中线的交点是三角形重心B．等弦所对的圆周角相等C．长度相等的两条弧是等弧D．三角形的外心到三边的距离相等【答案】A【分析】根据重心，弦与圆周角之间的关系，等弧的定义以及外心的定义进行逐一判断即可．【解析】解：A、三角形三条中线的交点是三角形重心，故此选项符合题意；故选A．【点拨】本题主要考查了三角形重心，外心，以及圆中弦、弧的知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5．（2021·浙江·杭州市天杭实验学校九年级期中）如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 所在的直线交于点P ，AC 、BD 交于点E ，∠AED ＝105°，∠P ＝55°，则∠ACD 等于（）A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】C【分析】由图可得：所对的圆周角相等，可得BAC BDC ∠=∠，在PCA V 及PBD △中利用三角形内角和定理分别表示出PCA ∠，PBD ∠，由等式的性质可得：PCA PBD ∠=∠，对顶角相等可得：BEC AED ∠=∠，根据四边形内角和为360︒可得ACP ∠，由平角定义即可得出结果．【解析】解：由图可得： BC所对的圆周角相等，即：BAC BDC ∠=∠，在PCA V 中，180PCA P BAC ∠=︒-∠-∠，在PBD △中，180PBD P BDC ∠=︒-∠-∠，，∴PCA PBD ∠=∠，∵105AED ∠=︒，∴105BEC AED ∠=∠=︒，【点拨】题目主要考查同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理及对顶角相等的性质，理解同弧所对圆周角相等是解题关键．6．（2021·辽宁旅顺口·九年级期中）如图，将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A B C ''，连接AA '，若125∠=︒，则BAC ∠的度数是（）．A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】B【分析】由旋转得A C AC '=，90ACA '∠=︒，求出45CAA '∠=︒，利用外角性质求出A B C ''∠，由旋转的性质得到∠B 的度数，再计算90°-∠B 即可得到结果．【解析】解：由旋转得A C AC '=，90ACA '∠=︒，∴45CAA '∠=︒，∵125∠=︒，∴A B C ''∠=∠1+70CAA '∠=︒，由旋转得∠B =70A B C ''∠=︒，∴BAC ∠=90°-∠B =20°，故选：B ．【点拨】此题考查三角形外角的性质，等边对等角求角的度数，直角三角形两锐角互余的性质，旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．7．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，将绕点C 顺时针旋转得到A B C ''V ，点B '恰好在AB 上，A B ''交AC 于F ，在不添加其他线段的情况下，图中与相似的三角形有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】根据旋转的性质及相似三角形的判定方法进行分析，找出存在的相似三角形即可．【解析】由题意得：BC B C '=，AB A B ''=，AC A C '=，B B '∠=∠，30A A '∠=∠=︒，90ACB A CB ''∠=∠=︒∵∠A =30°，∠ACB =90°∴∠B =60°∵BC B C'=∴BB C '△是等边三角形∴60B BB C BCB ''∠=∠=∠=︒∴30B CA '∠=︒，∠60A CA '∠=︒，60AB A ''∠=︒∴A B ''∥BC∵∠ACB =90°∴AC A B ''⊥∴与相似的三角形有CF 、△ABC 、、A B C ''V 所以有4个故选：C【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．8．（2021·重庆一中九年级期中）下列命题是真命题的是（）A．三角形的外角大于它的任何一个内角B．()3n n ≥边形的外角和为360︒C．矩形的对角线互相垂直且平分D．三角形的内心到三角形三个项点的距离相等【答案】B【解析】解：A、三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角，则选项错误，不符合题意；B、()3n n ≥边形的外角和为360︒，则选项正确，符合题意；C、矩形的对角线互相平分，但不一定垂直，则选项错误，不符合题意；D、三角形的内心到三角形三个边的距离相等，则选项错误，不符合题意；故选B【点拨】本题考查的是真假命题的判断，同时考查三角形的外角的性质，多边形的外角和定理，矩形的性质，三角形内心的性质，掌握以上知识是解题的关键．9．（2021·宁夏·银川市第十五中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作BAD ∠的平分线AG 交BC 于点E ；以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧交AD 于点F ．若12,10BF AB ==，则AE 的长为（）A．16B．15C．14D．13【答案】A【分析】连接EF ，设,BF AE 交于点O ，根据平行四边形的性质和作图可知23∠∠=,AF AB =，进而证明四边形ABEF 是菱形，根据勾股定理求得AO 的长，即可求得AE 的长．【解析】解：如图，连接EF ，设,BF AE 交于点O ，AE ∵平分BAD∠12∠∠∴= 四边形ABCD 是平行四边形AD BC∴∥13∠∠∴=，又AB AF= AF BE∴=AF BE∥ ∴四边形ABEF 是平行四边形AB BE= ∴四边形ABEF 是菱形,AE BF AO OE ∴⊥=，12BO OF BF ==在Rt ABO 中，10AB =，162BO BF ==8AO ===216AE AO ∴==故选A【点拨】本题考查了作角平分线，等角对等边，菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，证明ABEF 是菱形是解题的关键．10．（2021·黑龙江·大庆市第六十九中学九年级）如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝CE ，连接AD ，BE 交于点F ，连接CF ，则CF 的最小值是（）A．3C．4【答案】B【分析】根据三角形全等的判定定理和性质可得：，BAD CBE ∠=∠，利用各角之间的数量关系可得：120AFB ∠=︒，作的外接圆，则点F 在圆上运动，连接OB 、OC ，交劣弧于点F’，当点F 与点F’重合时，CF 的长度最小，由切线定理可得OB BC ⊥，30BCO ∠=︒，在中，利用三角函数的正切可得OB =30︒所对直角边是斜边的一半即可确定OC =CF 的最小值．60AB BC ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴，∴BAD CBE ∠=∠，∴60ABF BAF ABF CBE ∠+∠=∠+∠=︒，∴120AFB ∠=︒，作的外接圆，则点F 的运动轨迹为以O 为圆心，OB 为半径的圆，如图所示，连接OB 、OC ，交劣弧于点F’，当点F 与点F’重合时，CF的长度最小，由切线定理可得：BC 与⊙O 相切于点B ,∴OB BC ⊥，30BCO ∠=︒，在中，tan 30OB BC =︒=∴2OC OB ==∴CF OC OF =-=''∴CF的最小值为故选：B．【点拨】题目主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的相关性质定理、正切三角函数等，添加辅助圆作出相应辅助线是解题关键．11．（2021·陕西碑林·九年级期中）如图，平行四边形ABCD 的周长为16，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交AD 于E ，则△DCE 的周长为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【分析】先证明AE＝EC，再求解AD+DC＝8，再利用三角形的周长公式进行计算即可.【解析】解：∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，∵EO⊥AC，∴AE＝EC，∵AB+BC+CD+AD＝16，∴AD+DC＝8，∴△DCE的周长是：CD+DE+CE＝AE+DE+CD＝AD+CD＝8，故选：C．【点拨】本题考查的是平行四边形性质，线段垂直平分线的性质，证明AE＝EC是解本题关键. 12．（2021·湖北青山·九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】延长CB到H，使BH=DF=1，连接AH，则可证得△ABH≌△ADF，从而AH=AF，∠BAH=∠DAF，易证△AHE≌△AFE，可得HE=EF=3，则可求得BE的长．【解析】延长CB到H，使BH=DF=1，连接AH，如图∵四边形ABCD 内接于⊙O∴∠ABC +∠ADC =180゜∵∠ABH +∠ABC =180゜∴∠ABH =∠ADF在△ABH 和△ADF 中AB AD ABH ADF BH DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABH ≌△ADF∴AH =AF ，∠BAH =∠DAF∵∠BAD +∠BCD =180゜，∠BCD =120゜∴∠BAD =180゜-∠BCD =60゜∵∠EAF =30゜∴∠BAE +∠DAF =∠BAD -∠EAF =30゜∴∠EAH =∠BAE +∠BAH =30゜在△AHE 和△AFE 中AH AD EAH EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AHE ≌△AFE∴HE =EF =3∴BE =HE -BH =3-1=2二、填空题13．（2021·四川恩阳·九年级期中）点G 为的重心，如果6AG =，8BG =，10CG =，则的面积为______．【答案】72【分析】延长AG 到G '，连接CG '，使得DG DG '=，则BDG CDG '≅△△，再证明CGG '△是直角三角形即可得解；【解析】如图所示，延长AG 到G '，连接CG '，使得DG DG '=，则BDG CDG '≅△△，∴8GG BG '==，∵132DG AG ==，∴3DG DG '==，∴6GG '=，∵10CG =，∴CGG '△是直角三角形，∴186242GBC CGG S S '==⨯⨯=△△，∴372ABC GBC S S ==△△；故答案是：72．【点拨】本题主要考查了三角形重心的性质和三角形全等判定与性质，准确计算是解题的关键．14．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级期中）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部【答案】167【分析】作使得GD 是ΔABC 一条优美线，过点G 作GH BC ⊥于点H ，根据GH BC ⊥,AE BC ⊥，CGH CAE △∽△，DEF DGH △∽△，列出比例式，代入数值计算即可．【解析】如图， ΔABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，E 为BC 中点，AE BC ∴⊥，132BE EC BC ===，ABE AEC S S = ∴AE 是ΔABC 的一条优美线4AE ∴==11641222ABC S BC AE =⨯=⨯⨯= △ BD ＝2，624DC BC BD ∴=-=-=作使得GD 是ΔABC 一条优美线，过点G 作GH BC ⊥于点H ，则162GDC ABC S S ==△△623GH DC ∴=⨯÷= GH BC ⊥,AE BC⊥GH AE∴∥CGH CAE ∴△∽△，DEF DGH△∽△HC GH EC AE∴=设HC x =，则334x =解得94x =93344EH EC HC ∴=-=-= DEF DGH△∽△即17 34 EF=解得127EF=1216477AF AE EF∴=-=-=故答案为：16 7【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，找到优美线DG是解题的关键．15．（2021·湖北·黄石经济技术开发区教研室九年级期中）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA<OC，∠AOB＝∠COD＝36°；连接AC，BD交于点M，连接OM；下列结论：①∠AMB＝36°；②AC＝BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD；其中正确的结论有______________(填序号)【答案】①②④【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠OAC＋∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得【解析】解：∵∠AOB ＝∠COD ＝36°，∴∠AOB ＋∠BOC ＝∠COD ＋∠BOC ，即∠AOC ＝∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OCA ＝∠ODB ，AC ＝BD ，故②正确；∵∠OAC ＝∠OBD ，由三角形的外角性质得：∠AMB ＋∠OBD ＝∠OAC ＋∠AOB ，∴∠AMB ＝∠AOB ＝36°，故①正确；作OG ⊥AM 于G ，OH ⊥DM 于H，如图所示，则∠OGA ＝∠OHB ＝90°，∵△AOC ≌△BOD ，∴OG ＝OH ，∴MO 平分∠AMD ，故④正确；假设MO 平分∠AOD ，则∠DOM ＝∠AOM ，在△AMO 与△DMO 中，AOM DOM OM OM AMO DMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMO ≌△DMO （ASA ），∴AO ＝OD ，所以其中正确的结论是①②④．故答案为：①②④．【点拨】本题属于三角形综合题，是中考填空题压轴题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．16．（2021·湖南长沙·九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，AP与BC的延长线交于点D．过点P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF并延长交DH于点G．下列结论中，正确的是______．（填序号）①∠APB＝45°，②PF＝PA，③DG＝AP+GH，④BD＝AH+AB．【答案】①②④【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义可得∠ABP＝12∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；②先求出∠APB＝∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB ＝BF，AP＝PF；③根据PF⊥AD，∠ACB＝90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG＝∠DAG＝45°，再根据等角对等边可得DG＝AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH＝GF，然后求出DG＝GH+AF，根据AF PA可得结论；④根据直角的关系求出∠AHP＝∠FDP，然后利用“角角边”证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF＝AH．【解析】解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线相交于点P，∴∠ABP＝12∠ABC，∠CAP＝12（90°+∠ABC）＝45°+12∠ABC，。
“全等三角形”中常见错误与分析
Ｄ
全 等．
Ｄ
侈 Ⅱ５ 如 图 ４． Ｃ Ｊ ＿
ＢＣ ． ＤＣ Ｌ ＥＣ ＡＣ ＝ ＢＣ ＤＣ＝
ＥＣ．
求证 ： ＬＤ ＝ Ｅ ．
求证 ： ＡＥ ＝ Ｃ Ｆ ．
【 错证 】 在 △Ａ Ｃ Ｅ和 △ＢＣ Ｄ中 ，
因为 Ａ Ｃ上 Ｃ， ＤＣ上 ＥＣ ，
所 以 ＡＣ Ｂ＝ ＥＣＤ＝ ９ ０ 。 ．
【 错 】 因为 Ａ Ｅ＿ Ｉ ＿ Ｂ Ｄ， Ｃ Ｆ ＿ Ｉ ＿ Ｂ Ｄ，
所 以 ＬＡＥＯ＝ Ｃ ＝ ９ ０ ｏ
所 以Ａ Ｅ ／ ／ Ｃ Ｆ ．
所 以 Ｏ ＡＥ＝ ０
正 解 因 为 ＡＢ∥
知 学 习园
【 错题汇集】
误与分析
东 台 市 实 验 中 学 教 育 集 团 马 恒 平
所 以 ＡＡ ＢＣ与 ＡＤ Ｅ Ｆ不全 等 ． “ 全等三角形 ” 是 初 中数 学 “ 空 间 与 图 判 定 要 求 ，
形” 中 的 重要 内容 ． 它 不 仅 是 中学 数 学 的基
二、 误用“ 直 观 感 觉 ”当条 件
一
、
Hale Waihona Puke “ 对应” 不 准 确 例 １ 在 △ Ｃ 和 △ ＤＥＦ 中 ． Ａ＝
３ ０。， Ｂ＝７ ０。， Ａ Ｃ＝５ｅ ｍ： Ｄ＝７ ０。， Ｅ＝８ ０。，
Ｄ Ｅ ＝ ５ ｃ ｍ． 那 么 △ＡＢ Ｃ与 △Ｄ Ｅ Ｆ全 等 吗 ？ 为 什 么？
【 错证 ２ 】
ＤＥＡ ： ＤＦ Ａ ＝９ ０。．
Ｄ＝ Ｆ ＡＤ ． ＡＤ ＝ＡＤ ．
ＥＢ；ＥＣ ． Ｌ ＡＢＥ＝ Ａ ＣＥ ． ＡＥ ＝ Ａ Ｅ．
八年级数学全等三角形必须掌握的知识点易错点拔
八年级数学全等三角形必须掌握的知识点易错点拔单选题1、下列选项中表示两个全等图形的是（）A．形状相同的两个图形B．能够完全重合的两个图形C．面积相等的两个图形D．周长相等的两个图形答案：B解析：利用全等图形的定义分析即可．A、形状相同的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；B、能够完全重合的两个图形，一定是全等图形，故此选项正确；C、面积相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；D、周长相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；故选B．小提示：此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的定义是解题关键．2、如图，△ABC和△EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，点B，F，C，D在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定△ABC≌△EDF的是( )A．AB＝EDB．AC＝EFC．AC∥EFD．BF＝DC答案：C解析：根据全等三角形的判定方法即可判断.A. AB＝ED，可用ASA判定△ABC≌△EDF；B. AC＝EF，可用AAS判定△ABC≌△EDF；C. AC∥EF，不能用AAA判定△ABC≌△EDF，故错误；D. BF＝DC，可用AAS判定△ABC≌△EDF；故选C.小提示：此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法.3、若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB=5，BC=8，则DF长为（）A．5B．8C．7D．5或8答案：C解析：根据三角形的周长可得AC长，然后再利用全等三角形的性质可得DF长．∵△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8，∴AC＝20−5−8＝7，∵△ABC≌△DEF，∴DF＝AC＝7，故选C．小提示：此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．4、如图，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，则△ABC的面积为（）A．14B．12C．10D．7答案：B解析：过点D作DF⊥AB于点F，利用角平分线的性质得出DE=DF=2，将△ABC的面积表示为△ABD,△ADC面积之和，分别以AB为底，DF为高，AC为底，DE为高，计算面积即可求得．过点D作DF⊥AB于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DF=DE=2,∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12·AB·DF+12·AC·DE=12×7×2+12×5×2=7+5=12,故选：B．小提示：本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质作出辅助线是解题关键．5、作∠AOB平分线的作图过程如下：作法：（1）在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE．（2）分别以D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点C．（3）作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．用下面的三角形全等的判定解释作图原理，最为恰当的是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS答案：A解析：根据作图过程可得OD=OE，CE=CD，根据OC为公共边，利用SSS即可证明△OCE≌△OCD，即可得答案．∵分别以D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点C；∴CE=CD，在△OCE和△OCD中，{OE=OD CD=CE OC=OC，∴△OCE≌△OCD（SSS），故选：A．小提示：本题考查全等三角形的判定，正确找出相等的线段并熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．6、如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC 的距离是（）A．1B．2C．3D．4答案：C解析：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得：OE＝OF＝OD然后根据△ABC的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离．如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA.∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD∴S △ABC ＝S △ABO ＋S △BCO ＋S △ACO ＝12AB ·OE ＋12BC ·OD ＋12AC ·OF ＝12×OD×(AB ＋BC ＋AC )＝12×OD×8＝12OD=3故选：C小提示：此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．7、如图，已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°答案：D解析：根据∠α是a 、c 边的夹角，50°的角是a 、c 边的夹角，然后根据两个三角形全等写出即可．解：∵∠α是a 、c 边的夹角，50°的角是a 、c 边的夹角，又∵两个三角形全等，∴∠α的度数是50°．故选：D ．小提示：本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．全等三角形的对应角相等，对应边相等．对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边．8、如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为()A．14B．13C．12D．10答案：C解析：∵平行四边形ABCD∴AD∥BC，AD=BC，AO=CO∴∠EAO=∠FCO∵在△AEO和△CFO中，{∠AEO=∠CFO AO=CO ∠AOE=∠COF∴△AEO≌△CFO∴AE=CF，EO=FO=1.5∵C四边形ABCD=18∴CD+AD=9∴C四边形CDEF=CD+DE+EF+FC=CD+DE+EF+AE=CD+AD+EF=9+3=12.故选C小提示：本题关键在于利用三角形全等，解题关键是将四边形CDEF的周长进行转化．9、如图是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为24cm，CF＝3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为 ________cm.答案：45解析：利用SAS证明△ABC≌△DEF，即可得△DEF的周长=△ABC的周长=24cm．再由制成整个金属框架所需这种材料的总长度为△DEF的周长+△ABC的周长-CF即可求解.∵BF=EC，BC=BF+FC，EF=EC+CF，∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴△DEF的周长=△ABC的周长=24cm．∵CF=3cm，∴制成整个金属框架所需这种材料的总长度为：△DEF的周长+△ABC的周长-CF=24+24-3=45cm.故答案为45.小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△DEF得到△DEF的周长=△ABC的周长=24cm是解决问题10、如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，则△DEB的周长为__________cm．答案：15解析：试题分析：根据角平分线的性质可得：DE=AD，结合∠A=90°，∠CED=90°，可得：△ACD和△ECD全等，则AC=CE，即△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+AD+BE=AB+BE=AC+BE=CE+BE=BC=15cm．点睛：本题主要考查的就是角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△ACD和△ECD全等是解决这个问题的关键．在三角形的题目中，如果出现角平分线，除了想到角相等之外，还应该想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；如果题目中出现中垂线，我们也不能忘记中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等．11、如图，四边形ABCD中，∠BAC=∠DAC，请补充一个条件____，使△ABC≌△ADC．答案：∠D=∠B(答案不唯一)解析：本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．解：添加的条件为∠D=∠B，理由是：在△ABC和△ADC中，{∠BAC=∠DAC∠D=∠BAC=AC，∴△ABC≌△ADC(AAS)，所以答案是：∠D=∠B．小提示：本题主要考查全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解决本题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．12、如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠B=30°,AC=1，则∠B′=________，CC′=________．答案： 30° 2解析：根据中心对称图形的性质，得到△ABC≌△AB′C′，再由全等三角形的性质解题即可．解：∵A为对称中心，∴△ABC绕点A旋转180°能与△AB′C′重合，∴△ABC≌△AB′C′，∴∠B′=∠B=30°，AC=AC′=1，∴CC′=AC+AC′=1+1=2．小提示：本题考查中心对称图形的性质、全等三角形的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．13、如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=______度．答案：120解析：根基三角形全等的性质得到∠C=∠C′=24°，再根据三角形的内角和定理求出答案.∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=24°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°，∴∠B=120°，所以答案是：120.小提示：此题考查三角形全等的性质定理：全等三角形的对应角相等，三角形的内角和定理.解答题14、如图，小明和小华两家位于A，B两处，隔河相望．要测得两家之间的距离，小明设计如下方案：从点B 出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过点D作DE//AB，取点E使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B之间的距离，说明他设计的道理．答案：见解析解析：根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠E，然后利用“角角边”证明△ABC和△EDC全等，根据全等三角形对应边相等解答；解：∵DE//AB，∴∠A=∠E，在△ABC和△EDC中，{∠A=∠E∠ACB=∠ECDBC=CD，∴△ABC≅△EDC(AAS)，∴DE=AB，即DE的长就是A、B两点之间的距离．小提示：本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．15、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，猜想DE、AD、BE之间的关系，并请给出证明．答案：（1）①见解析；②见解析；（2）AD−BE=DE，证明见解析．解析：（1）①利用“AAS”证明△ADC≌△CEB全等即可；②根据△ADC≌△CEB即可得到AD=CE，BE=CD，即可得到AD+BE=CE+CD=DE；（2）同（1）证明△ADC≌△CEB得到AD=CE，BE=CD，即可推出AD−BE=CE−CD=DE．证明（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB=90∘∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECBAC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∵△ADC≌△CEB，∴AD=CE，BE=CD，∴AD+BE=CE+CD=DE；（2）关系：AD−BE=DE；证明：∵AD⊥MN，∠ACB=90∘，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠ACD=90∘，∠ECB+∠ACD=90∘，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECBAC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，BE=CD，∴AD−BE=CE−CD=DE．小提示：本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．。
苏科数学八上 全等三角形的多次判定讲义
全等三角形的多次判定 重难点易错点辨析 全等的多次判定
题一：如图，AB =CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，CE =BF ，求证：AC =BD ．
F D
E B C A
金题精讲
题一：如图，AC =BD ，∠CAB =∠DBA ．求证：OC =OD ．
O
D A B C
题二：如图，已知AB =DC ，AE =DF ，CE =FB ，求证：AF =DE ．
F
E
A
B C D
思维拓展
题一：△A BC 中，AB =9，AC =5，AD 为BC 边上中线，则AD 的取值范围是 ．
全等三角形的多次判定
讲义参考答案
重难点易错点辨析
题一：HL SAS．
金题精讲
题一：SAS AAS．题二：SSS SAS．
思维拓展
题一：
2<AD<7．
本资源的初衷，是希望通过网络分享，能够为广大读者提供更好的服务，为您水平的提高提供坚强的动力和保证。
内容由一线名师原创，立意新，图片精，是非常强的一手资料。
八年级全等三角形易错题(Word版 含答案)
八年级全等三角形易错题（Word 版 含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．在ABC ∆中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=︒，则BAC ∠=______°.【答案】80或100【解析】【分析】根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得.【详解】由题意可分如下两种情况：（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠（等边对等角），两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠，又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒，由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒，80BAC ∴∠=︒；（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，3,4B C ∴∠=∠∠=∠（等边对等角），两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠，又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠，3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒，20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒，100BAC ∴∠=︒.故答案为80或100.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.2．如图，在01A BA △中，20B ∠=︒，01A B A B =，在1A B 上取点C ，延长01A A 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________．【答案】11()802n -︒⋅.【解析】 【分析】 先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1 A 0的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个等腰三角形的底角∠A n 的度数．【详解】解：∵在△A 0BA 1中，∠B=20°，A 0B=A 1B ，∴∠BA 1 A 0= 1801802022B ︒︒︒-∠-= =80°， ∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1 A 0是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1= 108022BA A ︒∠= =40°； 同理可得，∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，∴第n 个等腰三角形的底角∠A n = 11()802n -︒⋅.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．3．在锐角三角形ABC 中．BC=32，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ．若M ，N 分别是边BD ，BC 上的动点，则CM ＋MN 的最小值是____．【答案】4【解析】【分析】过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M′，过点M′作M′N′⊥BC 于N′，则CE 即为CM+MN 的最小值，再根据32ABC=45°，BD 平分∠ABC 可知△BCE 是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE 的长．【详解】解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M′，过点M′作M′N′⊥BC 于N′，则CE 即为CM+MN 的最小值，∵32ABC=45°，BD 平分∠ABC ，∴△BCE 是等腰直角三角形，∴CE=BC•cos45°=32×22=4． ∴CM+MN 的最小值为4．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．4．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出下列四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③EF=AB ；④12ABC AEPF S S ∆=四边形，当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).【答案】①②④【解析】试题分析：∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，∴∠APE=∠CPF ，∵AB=AC ，∠BAC=90°，P 是BC 中点，∴AP=CP ，∴∠PAE=∠PCF ，在△APE 与△CPF 中，{?PAE PCFAP CPEPA FPC ∠=∠=∠=∠，∴△APE ≌△CPF （ASA ），同理可证△APF ≌△BPE ，∴AE=CF ，△EPF 是等腰直角三角形，S 四边形AEPF =12S △ABC ，①②④正确； 而AP=12BC ，当EF 不是△ABC 的中位线时，则EF 不等于BC 的一半，EF=AP ， ∴故③不成立．故始终正确的是①②④．故选D ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．5．如图，点A,B,C 在同一直线上,△ABD 和△BCE 都是等边三角形，AE,CD 分别与BD,BE 交于点F,G ，连接FG ，有如下结论：①AE=CD ②∠BFG= 60°；③EF=CG ；④AD ⊥CD⑤FG ∥AC 其中，正确的结论有__________________. (填序号)【答案】①②③⑤【解析】【分析】易证△ABE ≌△DBC ，则有∠BAE ＝∠BDC ，AE ＝CD ，从而可证到△ABF ≌△DBG ，则有AF ＝DG ，BF ＝BG ，由∠FBG ＝60°可得△BFG 是等边三角形，证得∠BFG ＝∠DBA ＝60°，则有FG ∥AC ，由∠CDB ≠30°，可判断AD 与CD 的位置关系．【详解】∵△ABD 和△BCE 都是等边三角形，∴BD ＝BA ＝AD ，BE ＝BC ＝EC ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°． ∵点A 、B 、C 在同一直线上，∴∠DBE ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE ＝∠DBC ＝120°． 在△ABE 和△DBC 中，∵BD BA ABE DBC BE BC ∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC ，∴AE ＝CD ，∴①正确； 在△ABF 和△DBG中，60BAF BDG AB DBABF DBG ∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪==︒⎩，∴△ABF ≌△DBG ，∴AF ＝DG ，BF ＝BG ． ∵∠FBG ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BFG 是等边三角形，∴∠BFG =60°，∴②正确； ∵AE ＝CD ，AF ＝DG ，∴EF =CG ；∴③正确；∵∠ADB ＝60°，而∠CDB =∠EAB ≠30°，∴AD 与CD 不一定垂直，∴④错误．∵△BFG 是等边三角形，∴∠BFG =60°，∴∠GFB ＝∠DBA ＝60°，∴FG ∥AB ，∴⑤正确．故答案为①②③⑤．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质，证得△ABE ≌△DBC 是解题的关键．6．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D 下列结论：①EF BE CF =+；②点O 到ABC ∆各边的距离相等；③1902BOC A ∠=+∠；④设OD m =，AE AF n +=，则AEF S mn ∆=；⑤1()2AD AB AC BC =+-.其中正确的结论是.__________．【答案】①②③⑤【解析】【分析】由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③∠BOC =90°+12∠A 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF =BE +CF 故①正确；由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④设OD =m ，AE +AF =n ，则S △AEF =12mn ，故④错误，根据HL 证明△AMO ≌△ADO 得到AM =AD ，同理可证BM =BN ，CD =CN ，变形即可得到⑤正确．【详解】 ∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，∠A +∠ABC +∠ACB =180°，∴∠OBC +∠OCB =90°﹣12∠A ，∴∠BOC =180°﹣（∠OBC +∠OCB ）=90°+12∠A ；故③正确； ∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC =∠OBE ，∠OCB =∠OCF ． ∵EF ∥BC ，∴∠OBC =∠EOB ，∠OCB =∠FOC ，∴∠EOB =∠OBE ，∠FOC =∠OCF ，∴BE =OE ，CF =OF ，∴EF =OE +OF =BE +CF ，故①正确；过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，连接OA ．∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴ON =OD =OM =m ，∴S △AEF =S △AOE +S △AOF =12AE •OM +12AF •OD =12OD •（AE +AF ）=12mn ；故④错误； ∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴点O 到△ABC 各边的距离相等，故②正确；∵AO =AO ，MO =DO ，∴△AMO ≌△ADO （HL ），∴AM =AD ；同理可证：BM =BN ，CD =CN ．∵AM +BM =AB ，AD +CD =AC ，BN +CN =BC ，∴AD =12（AB +AC ﹣BC ）故⑤正确． 故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7．如图，在直角坐标系中，点()8,8B -，点()2,0C -，若动点P 从坐标原点出发，沿y 轴正方向匀速运动，运动速度为1/cm s ，设点P 运动时间为t 秒，当BCP ∆是以BC 为腰的等腰三角形时，直接写出t 的所有值__________________．【答案】2秒或6秒或14秒【解析】【分析】分两种情况：PC 为腰或BP 为腰.分别作出符合条件的图形，计算出OP 的长度，即可求出t 的值．【详解】解：如图所示，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，作BE ⊥y 轴于点E ，分别以点B 和点C 为圆心，以BC长为半径画弧交y轴正半轴于点F，点H和点G∵点B（-8，8），点C（-2，0），∴DC=6cm，BD=8cm，由勾股定理得：BC=10cm∴在直角三角形COG中，OC=2cm，CG=BC=10cm，∴OP=OG= 22-=，10246(cm)当点P运动到点F或点H时，BE=8cm，BH=BF=10cm，∴EF=EH=6cm∴OP=OF=8-6=2（cm）或OP=OH=8+6=14（cm），故答案为：2秒，46秒或14秒．【点睛】本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用，通过作图找出要求的点的位置，利用勾股定理来求解是本题的关键．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F ＝30°，DE＝1，则EF的长是_____．【答案】2【解析】【分析】连接BE，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明∠CBE＝∠F，进一步说明BE ＝EF，，然后再根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可.【详解】解：如图：连接BE∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，∴AE＝BE，∠A+∠AED＝90°，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠F+∠CEF＝90°，∵∠AED＝∠FEC，∴∠A＝∠F＝30°，∴∠ABE＝∠A＝30°，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，∴∠CBE＝∠F，∴BE＝EF，在Rt△BED中，BE＝2DE＝2×1＝2，∴EF＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.9．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，按此做法继续下去，第2019个等腰三角形的底角度数是______________．【答案】20181802⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【解析】【分析】 根据等腰三角形的性质求出∠BA 1C 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA 2A 1，∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数，找出规律即可得出第2019个三角形中以A 2019为顶点的内角度数．【详解】解：∵在△CBA 1中，∠B=20°，A 1B=CB ，∴∠BA 1C=°180-2B ∠=80°， ∵A 1A 2=A 1D ，∠BA 1C 是△A 1A 2D 的外角，∴∠DA 2A 1=12∠BA 1C=12×80°； 同理可得∠EA 3A 2=（12）2×80°，∠FA 4A 3=（12）3×80°， ∴第n 个三角形中以A n 为顶点的底角度数是（12） n-1×80°． ∴第2017个三角形中以A 2019为顶点的底角度数是（12）2018×80°， 故答案为：（12） 2018×80°． 【点睛】 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA 2A 1，∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．10．如图：在ABC ∆中，D ，E 为边AB 上的两个点，且BD BC =，AE AC =，若108ACB ∠=︒，则DCE ∠的大小为______.【答案】036【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ，用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC，然后根据内角和求出∠DCE 的度数.【详解】∵∠ACB=1080，∴∠A+∠B=1800-1080=720,∵AC=AE,BC=BD,∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC, ∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902A =-∠ 01(180)2BDCB ∠=-∠ =01902B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800，∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠ = 00011180(90)(90)22A B --∠--∠ =1122A B ∠+∠ =1()2A B ∠+∠ =360【点睛】此题考察等腰三角形的性质，注意两条等边所在三角形，依此判断对应的两个底角相等.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（ ）A ．9个B ．7个C ．6个D ．5个【答案】B【解析】【分析】先以Rt ABC ∆三个顶点分别为圆心，再以每个顶点所在的较短边为半径画弧，即可确定等腰三角形的第三个顶点；也可以作三边的垂直平分线确定等腰三角形的第三个顶点即得．【详解】解：①如图1，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，则∆BCD 就是等腰三角形；②如图2，以A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点E ，则∆ACE 就是等腰三角形； ③如图3，以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于M ，交AC 于点F ，则∆BCM 、∆BCF 是等腰三角形；④如图4，作AC 的垂直平分线交AB 于点H ，则∆ACH 就是等腰三角形；⑤如图5，作AB 的垂直平分线交AC 于点G ，则∆AGB 就是等腰三角形；⑥如图6，作BC 的垂直平分线交AB 于I ，则∆BCI 就是等腰三角形．故选：B ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定的应用，通过作垂直平分线或者画弧的方法确定相等的边是解题关键．12．如图所示，等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，其中1(0,1)A ，()21,13A --，()31,13A -，4(0,2)A ，()52,223A --，……，按此规律排下去，则2019A 的坐标为（ ）A ．(673,6736733-B ．(673,6736733--C ．(0,1009)D ．(674,6746743- 【答案】A【解析】【分析】根据等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，及点的坐标特征，每三个点一个循环，2019÷3=673，A2019的坐标在第四象限即可得到结论．【详解】∵2019÷3=673，∴顶点A2019是第673个等边三角形的第三个顶点，且在第四象限．第673个等边三角形边长为2×673=1346，∴点A2019的横坐标为12⨯1346=673．点A2019的纵坐标为673-134632⨯=673﹣6733．故点A2019的坐标为：()673,6736733-．故选：A．【点睛】本题考查了点的坐标、等边三角形的性质，是点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质，确定出点A2019所在三角形是解答本题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，a），等腰直角三角形ODC的斜边经过点B，OE⊥AC，交AC于E，若OE＝2，则△BOD与△AOE的面积之差为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【分析】首先证明△DOB≌△COA（SAS），推出S△DOB﹣S△AOE=S△EOC，再证明△OEC是等腰直角三角形即可解决问题．【详解】∵A（a，0），B（0，a），∴OA=OB．∵△ODC是等腰直角三角形，∴OD=OC，∠D=∠DCO=45°．∵∠DOC=∠BOA=90°，∴∠DOB=∠COA．在△DOB和△COA中，∵OD=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△DOB≌△COA（SAS），∴∠D=∠OCA=45°，S△DOB﹣S△AOE=S△EOC．∵OE⊥AC，∴∠OEC=90°，∴△CEO是等腰直角三角形，∴OE=EC=2，∴S△DOB﹣S△AOE=S△EOC12=⨯2×2=2．故选A．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OEC是等腰直角三角形．14．如图，C 是线段 AB 上一点，且△ACD 和△BCE 都是等边三角形，连接 AE、BD 相交于点O，AE、BD 分别交 CD、CE 于 M、N，连接 MN、OC，则下列所给的结论中：①AE＝BD；②CM＝CN；③MN∥AB；④∠AOB＝120º；⑤OC 平分∠AOB．其中结论正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】由题意易证：△ACE≅△DCB，进而可得AE＝BD；由△ACE≅△DCB，可得∠CAE=∠CDB，从而△ACM ≅△DCN，可得：CM＝CN；易证△MCN是等边三角形，可得∠MNC=∠BCE，即MN∥AB；由∠CAE=∠CDB，∠AMC=∠DMO，得∠ACM=∠DOM=60°，即∠AOB＝120º；作CG⊥AE，CH⊥BD，易证CG=CH，即：OC 平分∠AOB．【详解】∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠ACE=∠DCB=120°，∴△ACE≅△DCB(SAS)∴AE＝BD，∴①正确；∵△ACE≅△DCB，∴∠CAE=∠CDB，∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°，AC=DC，在△ACM 和△DCN中，∵60CAE CDB AC DCACD DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△ACM ≅△DCN （ASA ）,∴CM ＝CN ，∴②正确；∵CM ＝CN ，∠DCE=60°，∴△MCN 是等边三角形，∴∠MNC=60°，∴∠MNC=∠BCE ，∴MN ∥AB ，∴③正确；∵△ACE ≅△DCB ，∴∠CAE=∠CDB ，∵∠AMC=∠DMO ，∴180°-∠CAE-∠AMC=180°-∠CDB-∠DMO ，即：∠ACM=∠DOM=60°，∴∠AOB ＝120º，∴④正确；作CG ⊥AE ，CH ⊥BD ，垂足分别为点G ，点H ，如图，在△ACG 和△DCH 中，∵90?AMC DHC CAE CDB AC DC ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACG ≅△DCH （AAS ），∴CG =CH ，∴OC 平分∠AOB ，∴⑤正确.故选D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理，等边三角形的性质定理以及角平分线性质定理的逆定理，添加合适的辅助线，是解题的关键.15．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）A．4 B．245C．5 D．6【答案】C【解析】试题解析：如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，∵AC=10，S△ABC=25，∴12×10•BE=25，解得BE=5，∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N=BE=5，即BM+MN的最小值是5．故选C．16．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为（）A．12 B．16 C．24 D．32【答案】A【解析】【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再根据三角形的周长求出AD的长，由此即可得出结论．【详解】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∵△CDM周长的最小值为8，∴AD=8-12BC=8-2=6∴S△ABC=12BC•AD=12×4×6=12，故选A．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．17．如图，已知等边△ABC的面积为43， P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR＋QR的最小值是（）A．3B．3C15D．4【答案】B【解析】如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR=ER，当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PE的长就是PR+QR的最小值，设等边△ABC的边长为x，则高为32x，∵等边△ABC的面积为43，∴12x×3x=43，解得x=4，∴等边△ABC的高为32x=23，即PE=23，所以PR+QR的最小值是23，故选B.【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题等，解题的关键是正确添加辅助线构造出最短路径.18．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD．有下列结论：①∠C=2∠A；②BD平分∠ABC；③S△BCD=S△BOD．其中正确的选项是（）A．①③B．②③C．①②③D．①②【答案】D【解析】①、∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=72°，∴∠C=2∠A，正确；②、∵DO是AB垂直平分线，∴AD=BD．∴∠A=∠ABD=36°．∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD．∴BD是∠ABC的角平分线，正确；③，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误；故选：D.19．如图，已知，点A（0，0）、B（43，0）、C（0，4），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第2017个等边三角形的边长等于（）A．3B．3C．2017327D．3【答案】A【解析】【分析】【详解】根据锐角三函数的性质，由OB=43，OC=1，可得∠OCB=90°，然后根据等边三角形的性质，可知∠A1AB=60°，进而可得∠CAA1=30°，∠CA1O=90°，因此可推导出∠A2A1B=30°，同理得到∠CA2B1=∠CA3B2=∠CA4B3=90°，∠A2A1B=∠A3A2B2=∠A4A3B3=30°，故可得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半，即OA1=OCcos∠CAA1=23，B1A2=1232⨯，以此类推，可知第2017个等边三角形的边长为：201713()432⨯=.故选A.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，属于规律型题目，解题关键是仔细审图，得出：后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.20．等腰三角形中有一个角是40°，则另外两个角的度数是（）A．70°，70°B．40°，100°C．70°，40°D．70°，70°或40°，100°【答案】D【解析】分析：由等腰三角形的一个角是40度，可以分为若40°的角是顶角与若40°的角是底角去分析求解，小心别漏解．详解：若40°的角是顶角，则底角为：（180°﹣40°）=70°，∴此时另外两个角的度数是70°，70°；若40°的角是底角，则另一底角为40°，∴顶角为：180°﹣40°﹣40°=100°，∴此时另外两个角的度数是100°，40°．∴另外两个角的度数是：70°、70°或40°、100°．故选：D．点睛：此题考查了等腰三角形的性质．解题的关键是注意分类讨论思想的应用，注意别漏解．。
全等三角形好题易错题典型题精选试题解析
全等三角形好题易错题典型题精选试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，那么图中全等的三角形有（）A．5对B．6对C．7对D．8对2．下列说法①三角形的三条高在三角形内，且都相交于一点．②三角形的中线就是过顶点平分对边的直线．③在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC一定是直角三角形．④三角形的一个外角大于和它不相邻的任一内角．⑤一个三角形的两边长为8和10，那么它的最短边b的取值范围是2＜b＜18．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．如果一个多边形的每一个外角都是45°，那么这个多边形的内角和是（）A．540°B．720°C．1080°D．1260°4．一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角的关系是（）A．相等B．互补C．互余D．相等或互补二．填空题（共3小题）5．如图，点O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为．6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．则下列四个结论：①BD=CD；②AD⊥BC；③AD上任意一点到边AB，AC的距离相等；④∠BDE=∠CDF．其中，正确的个数为A．4个B．3个C．2个D．1个．7．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=．三．解答题（共9小题）8．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，AM=CM；（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．9．如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．10．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：ME⊥BC．11．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=25°，求∠DFB和∠DGB的度数．12．在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）①如图（1），当∠B=60°，∠ACB=90°，则∠AFC=；②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B=60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．13．已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，BE平分∠DBC．（1）求证：△DBE≌△CBE；（2）求∠BDE的度数．14．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，求∠OEC的度数．15．如图，△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=30°，BF=4，求∠DFE的度数和EC的长．16．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，E、F是对角线上的两点，要使△BCE≌△DAF，还需要添加的条件（只需添加一个条件）是，并加以证明．全等三角形好题易错题典型题精选试题解析参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD 于点F，那么图中全等的三角形有（）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对【解答】解：由平行四边形的性质可知：△ABD≌△CDB，△ABO≌△CDO，△ADE≌△CBF，△AOE≌△CFO，△AOD≌△COB，△ABC≌△CDA，△ABE和△CDF故选：C．2．下列说法①三角形的三条高在三角形内，且都相交于一点．②三角形的中线就是过顶点平分对边的直线．③在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC一定是直角三角形．④三角形的一个外角大于和它不相邻的任一内角．⑤一个三角形的两边长为8和10，那么它的最短边b的取值范围是2＜b＜18．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①只有当三角形是锐角三角形时，三条高才在三角形的内部，故本选项错误；②三角形中线是过顶点平分对边的线段，故本选项错误；③由三角形内角和定理可得∠C=90°，故本选项正确；④三角形的一个外角大于和它不相邻的任一内角，故本选项正确；⑤根据三角形三边关系可得第三边的取值范围，由于是最短边，则b的取值范围是2＜b≤8，故本选项错误．故选：C．3．如果一个多边形的每一个外角都是45°，那么这个多边形的内角和是（）A．540°B．720° C．1080°D．1260°【解答】解：多边形的边数为：360°÷45°=8，多边形的内角和是：（8﹣2）•180°=1080°．故选：C．4．一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角的关系是（）A．相等B．互补C．互余D．相等或互补【解答】解：如图：图1中，根据垂直的量相等的角都等于90°，对顶角相等，所以∠1=∠2，图2中，同样根据垂直的量相等的角都等于90°，根据四边形的内角和等于360°，所以∠1+∠2=360°﹣90°﹣90°=180°，∴如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是相等或互补，故选：D．二．填空题（共3小题）5．如图，点O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为120°．【解答】解：∵点O到三角形三边的距离相等，∴OB、OC为三角形的角平分线，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=120°．故填120°6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．则下列四个结论：①BD=CD；②AD⊥BC；③AD上任意一点到边AB，AC的距离相等；④∠BDE=∠CDF．其中，正确的个数为AA．4个B．3个C．2个D．1个．【解答】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC．故①、②正确；∵AD是△ABC的角平分线，角平分线上的点到角两边的距离相等，∴AD上任意一点到边AB、AC的距离相等．故③正确；∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠BED=∠CFD，DE=DF，∴△BED≌△CFD，∴∠BDE=∠CDF．故④正确．所以①、②、③、④均正确，故选A．7．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=55°．【解答】解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠1=∠EAC，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2=∠ABD=30°，∵∠1=25°，∴∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°，故答案为：55°．三．解答题（共9小题）8．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，AM=CM；（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．【解答】证明：（1）∵AF=CE，∴AE=CF，在RT△ABF和RT△CDE中，，∴RT△ABF≌RT△CDE（HL），∴BF=DE，在△DEM和△BFM中，，∴△DEM≌△BFM，（AAS）∴EM=FM，DM=BM，∴MB=MD，AM=CM；（2）在RT△ABF和RT△CDE中，，∴RT△ABF≌RT△CDE（HL），∴BF=DE，在△DEM和△BFM中，，∴△DEM≌△BFM（AAS），∴EM=FM，DM=BM，∴MB=MD，AM=CM．9．如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵D是BC的中点，∴BD=CD．∴△BED≌△CFD．（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°．∵∠A=90°，∴四边形DFAE为矩形．∵△BED≌△CFD，∴DE=DF．∴四边形DFAE为正方形．10．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：ME⊥BC．【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，AF⊥AE，∴∠1+∠EAC=90°∠2+∠EAC=90°∴∠1=∠2，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠FCA=90°﹣∠ACB=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠FCA，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC．11．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=25°，求∠DFB和∠DGB的度数．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D=25°，∠AED=∠ACB=105°，∴∠CAB=∠EAD=180°﹣25°﹣105°=50°，∴∠DFB=∠CAF+∠ACF=10°+180°﹣105°=85°；∴∠DGB=∠DFB﹣∠D=85°﹣25°=60°．12．在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）①如图（1），当∠B=60°，∠ACB=90°，则∠AFC=120°；②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B=60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．【解答】解：（1）①∵∠B=60°，∠ACB=90°，∴∠BAC=90°﹣60°=30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC=∠BAC=×30°=15°，∠FCA=∠ACB=×90°=45°，∴∠AFC=180°﹣15°﹣45°=120°；故答案为：120°．②∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°﹣∠B），∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=180°﹣（180°﹣∠B）=90°+∠B，∵∠B=60°，∴∠AFC=90°+×60°=120°；（2）如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FG=FH=FM，∵∠EFH+∠DFH=120°，∠DFG+∠DFH=360°﹣90°×2﹣60°=120°，∴∠EFH=∠DFG，在△EFH和△DFG中，，∴△EFH≌△DFG（AAS），∴EF=DF．13．已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，BE平分∠DBC．（1）求证：△DBE≌△CBE；（2）求∠BDE的度数．【解答】证明：（1）连接CE，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，在△BCE与△ACE中，，∴△BCE≌△ACE（SSS）∴∠BCE=∠ACE=30°∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠CBE，在△BDE与△BCE中，，∴△BDE≌△BCE（SAS），（2）由（1）知，△BDE≌△BCE，∴∠BDE=∠BCE=30°．14．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，求∠OEC的度数．【解答】解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°，∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=27°，∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°，∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上，又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心，∴∠OCB=∠OBC=36°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE，∴∠COE=∠OCB=36°，在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．15．如图，△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=30°，BF=4，求∠DFE的度数和EC的长．【解答】解：∵∠A=50°，∠B=30°，∴∠ACB=100°，∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE=∠ACB=100°，EF=BC，∴EC=BF=4．16．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，E、F是对角线上的两点，要使△BCE≌△DAF，还需要添加的条件（只需添加一个条件）是BE=DF，并加以证明．【解答】解：添加的条件是BE=DF，证明如下：∵AD∥BC，∴∠ADF=∠CBE，∵在△BCE和△DAF中，∴△BCE≌△DAF（SAS）．故答案为：BE=DF．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
判定三角形全等的错解示例一、对“对应”二字认识不准确，应用全等判别法有误例1 △ABC 和 △DEF 中，∠A=30°，∠B=70°,AC=17cm ，∠D=70°，∠E= 80°，DE=17cm.那么△ABC 与△DEF 全等吗？为什么？错解：△ABC 与△DEF 全等.证明如下：在△DEF 中，∵ ∠D=70°，∠E=80°，∴ ∠F=180°－∠D －∠E=180°―70°―80°=30°.在△ABC 中，∵ ∠A=30°，∠B=70°，∴ ∠A=∠F ，∠B=∠D.又∵ AC=17cm ，DE=17cm ，∴ AC=DE .在△ABC 与△DEF 中，A FB D AC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴ △ABC ≌△DEF.错解分析：AC 是∠B 的对边，DE 是∠F 的对边，而∠B ≠∠F ，所以这两个三角形不全等.△ABC 与△DEF 不全等.因为相等的两边不是相等的两角的对边，不符合全等三角形的判别法.二、判定方法有错误例2 如图，AC ⊥BC ，DC ⊥EC ，AC=BC,DC=EC.求证：∠D=∠E.错解：在△ACE与△BCD中，∵AC⊥BC ， DC⊥EC，∴∠ACB=∠ECD=90°.又∵AC=BC，DC=EC,∴△ACE≌△BCD，∴∠D=∠E.错解分析：上面的证明中，错误地应用了“边角边”. ∠ACB与∠ECD并不是那一对三角形的内角.正解：∵ AC⊥BC，DC⊥EC,∴∠ACB=∠ECD=90°,∴∠ACE=∠BCD.∵ AC=BC, ∠ACE=∠BCD,DC=EC,∴△ACE≌△BCD, ∴∠D=∠E.三、错误套用等式性质例3 如图，已知AC,BD相交于E点，∠A=∠B, ∠1=∠2.求证：AE=BE.错证：在△ADC和△BCD中,∵∠A=∠B,DC=CD, ∠2=∠1,∴△ADC≌△BCD,∴△ADC－△DEC=△BCD－△DEC,∴△ADE≌△BCE, ∴AE=BE.错解分析：在证明三角形全等时，一定要按判定定理进行证明.上面的证明中，将等式性质错误地搬到了三角形全等中.这是完全错误的.正解：同上，易证△ADC≌△BCD,∴AD=BC.在△ADE和△BCE中,∵AD=BC，∠A=∠B，∠AED=∠BEC,∴△ADE≌△BCE,∴AE=BE.四、脱离题设，将对图形的直观印象视为条件进行证明例4 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD.DE,DF分别垂直于AB,AC,垂足为E,F.求证：BE=CF.错解1：认为DE=DF ，并以此为条件.在Rt △BDE 与Rt △CDF 中，∵DE=DF,BD=CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （斜边直角边），∴BE=CF.错解2：认为AD ⊥BC ，并以此为条件.通过证明△ABD ≌△ACD （边角边），得AB=AC,再由△AED ≌△AFD （角角边），得AE=AF,从而得到BE=CF.错解分析：错解1中认为DE=DF ，并直接将其作为条件应用，因而产生错误； 错解2中，认为AD ⊥BC ，没有经过推理加以说明，因而也产生了错误.产生上述错误的原因是审题不清，没有根据题设结合图形找到证题依据.正解：在△AED 和△AFD 中,AED DFA 90EAD FAD AD AD ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴ △AED ≌△AFD （角角边），∴DE=DF.在Rt △BDE 与Rt △CDF 中，BD CD,DE DF,=⎧⎨=⎩Rt △BDE ≌Rt △CDF （斜边直角边），∴BE=CF.五、误将“SSA (边边角）”当成“SAS (边角边)”来证题例5 如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，E 是A D 上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE. 试证明：∠BAE=∠CAE.错解：在△AEB 和△AEC 中，EB EC,ABE ACE,AE AE,=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △AEB ≌△AEC ，∴∠BAC=∠CAE.错解分析：上解错在证两个三角形全等时用了“边边角”来判定，这是不正确的，因为有两条边以及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 正解：在△BEC 中，因EB=EC,故∠EBC=∠ECB.∵ ∠ABE=∠ACE, ∴∠ACB=∠ABC ，∴AB=AC ，在Rt △AEB 和Rt △AEC 中，AE AE,EB EC,AB AC,=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AEB ≌△AEC ，∴∠BAC=∠CAE.在学习中，学会对题中图形进行观察以及对已知条件进行分析，弄明白证明思路.同时，对三角形全等的各种条件要记熟并能区分.三角形的全等具有传递性，比如若有△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则一定有△ABC≌△MNP，这个性质在解题时有很重要的应用.在一些计算图形中有几对全等三角形的题目时，利用这个性质可以发现一些不明显的全等关系，帮助发现那些不是直接有关联的全等三角形.六、把“角角角”当成判定三角形全等的条件来使用例6 如图, ∠CAB =∠DBA, ∠C=∠D, E为AC和BD的交点.△ADB与△BCA全等吗? 说明理由.错解: △ADB ≌△BCA.因为∠C = ∠D, ∠CAB = ∠DBA, 所以∠DAB =∠CBA,所以△ADB ≌△BCA(AAA) .错解分析: 错解把三个角对应相等作为这两个三角形全等的依据, 显然是错误的, “角角角”不是识别两个三角形全等的条件.正解: △ADB ≌△BCA.因为∠CAB = ∠DBA, ∠C = ∠D, AB = BA( 公共边) ,所以△ADB ≌△BCA(AAS) .七、把“边边角”当成判定三角形全等的条件来使用例7 如图,已知△ABC 中, AB = AC, D,E 分别是AB,AC 的中点, 且CD = BE, △ADC 与△AEB全等吗? 说明理由.错解: △ADC ≌△AEB.因为AB = AC, BE = CD, ∠BAE = ∠CAD,所以△ADC ≌△AEB( SSA) .错解分析: 错解把“边边角”作为三角形全等的判别方法, 实际上, “边边角”不能作为三角形全等的判别依据, 因为两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等.正解: △ADC ≌△AEB.因为AB = AC, D,E 为AB,AC 的中点,所以AD = AE.在△ADC 和△AEB 中,因为AC = AB, AD = AE, CD = BE, 所以△ADC ≌△AEB( SSS) .八、局部当整体例8 如图, 已知AB = AC, ∠B = ∠C , BD = CE, 试说明△ABE 与△ACD 全等的理由.错解: 在△A B E 和△ACD 中,因为AB = AC, ∠B = ∠C, BD = CE, 所以△ABE ≌△ACD( SAS) .错解分析: 错解没有认真地结合图形来分析条件, 错把三角形边上的一部分(BD 是BE 的一部分, CE 是CD 的一部分) 当成边来说明, 这不符合“边角边”条件.正解: 因为BD = CE,所以BD + DE = CE + DE,即BE = CD.在△ABE 和△ACD 中,因为AB = AC, ∠B = ∠C, BE = CD,所以△ABE ≌△ACD( SAS) .九、把等量相减用在全等上例9 如图, 已知AC,BD 相交于点O, ∠A =∠B, ∠1 = ∠2, AD = BC.试说明△AOD ≌△BOC.错解: 在△ADC 和△BCD 中,因为∠A = ∠B, ∠2 = ∠1, DC = CD,所以△ADC ≌ △BCD (AAS) , 所以△ADC - △DOC ≌ △BCD-△DOC, 即△AOD ≌ △BOC.错解分析: 错解原因是将等式的性质盲目地用到了三角形全等中, 实际上, 三角形全等是两个三角形完全重合, 是不能根据等式上的数量关系来说明的. 正解: 在△AOD 和△BOC 中, ∠A = ∠B, ∠AOD = ∠BOC, AD =BC,所以△AOD ≌ △BOC(AAS) .十．“同理可证”实际不同理例10 已知： AD 和A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的中线，AB=A ′B ′，BC=B ′C ′，AD=A ′D ′．求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′．错解： 如图，因为BD=12BC ， B ′D ′=12B ′C ′，BC=B ′C ′，所以BD=B ′D ′． 在△ABD 和△A ′B ′D ′中， AB=A ′B ′，BD=B ′D ′，AD=A ′D ′，因此△ABD ≌△A ′B ′D ′．同理可证△ADC ≌△A ′D ′C ′．故△ABD+△ADC ≌△A ′B ′D+△A ′D ′C ′，即△ABC ≌△A ′B ′C ′．错解分析： 以上证法有两个错误：⑴用了不同理的同理可证．证明△ABD ≌A ′B ′D ′与△ADC ≌△A ′D ′C ′的理由是不同的. 要证△ADC ≌△A ′D ′C ′，需证∠ADC=∠A ′D ′C ′， 根据SAS 来证； ⑵由两对全等三角形之和推出△ABC ≌△A ′B ′C ′，理由不充分．正解： 由△ABD ≌△A ′B ′D ′，有∠B=∠B ′． 在△ABC 和△A ′B ′C ′中， AB=A ′B ′，∠B=∠B ′，BC=B ′C ′，因此△ABC ≌△A ′B ′C ′．十一．不顾条件任意引申例11 已知：如图，AB=AC，BD=CE，AD=AE．求证：BE=CD．错解：在△ABD和△ACE中，因为AB=AC，BD=CE，AD=AE，所以△ABD≌△ACE，故∠1=∠2．于是∠DAC=∠BAE．故BE=CD．错解分析：等角对等边成立的条件是在同一个三角形中．而这里∠DAC与∠BAE 虽然相等，但是，它们不在同一个三角形中，所以不能得出BE=CD．错解犯了不顾条件任意引申的错误．正解：在△ABD和△ACE中，因为AB=AC，BD=CE，AD=AE，所以△ABD≌△ACE．故∠1=∠2．于是∠DAC=∠BAE．从而△ADC≌△AEB．故BE=DC．。
Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！精选资料，欢迎下载。