111集合的概念1
高一数学同步练习答案归纳总结
高一数学同步练习答案归纳总结高一数学上册练习册答案1.1集合111集合的含义与表示1.D.2.A.3.C.4.{1,-1}.5.{x|x=3n+1,n∈N}.6.{2,0,-2}.7.A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.8.1.9.1,2,3,6.10.列举法表示为{(-1,1),(2,4)},描述法的表示方法不,如可表示为(x,y)|y=x+2,y=x2.11.-1,12,2.112集合间的基本关系1.D.2.A.3.D.4.,{-1},{1},{-1,1}.5.6.①③⑤.7.A=B.8.15,13.9.a≥4.10.A={,{1},{2},{1,2}},B∈A.11.a=b=1.113集合的基本运算(一)1.C.2.A.3.C.4.4.5.{x|-2≤x≤1}.6.4.7.{-3}.8.A∪B={x|x3,或x≥5}.9.A∪B={-8,-7,-4,4,9}.10.1.11.{a|a=3,或-22113集合的基本运算(二)1.A.2.C.3.B.4.{x|x≥2,或x≤1}.5.2或8.6.x|x=n+12,n∈Z.7.{-2}.8.{x|x6,或x≤2}.9.A={2,3,5,7},B={2,4,6,8}.10.A,B的可能情形有:A={1,2,3},B={3,4};A={1,2,4},B={3,4};A={1,2,3,4},B={3,4}.11.a=4,b=2.提示:∵A∩綂UB={2}，∴2∈A，∴4+2a-12=0a=4，∴A={x|x2+4__12=0}={2,-6},∵A∩綂UB={2}，∴-6綂UB，∴-6∈B，将x=-6代入B,得b2-6b+8=0b=2,或b=4.①当b=2时,B={x|x2+2__24=0}={-6,4},∴-6綂UB，而2∈綂UB，满足条件A∩綂UB={2}.②当b=4时,B={x|x2+4__12=0}={-6,2},∴2綂UB，与条件A∩綂UB={2}矛盾.1.2函数及其表示121函数的概念(一)1.C.2.C.3.D.4.22.5.-2,32∪32,+∞.6.[1,+∞).7.(1)12,34.(2){x|x≠-1，且x≠-3}.8.-34.9.1.10.(1)略.(2)72.11.-12,234.121函数的概念(二)1.C.2.A.3.D.4.{x∈R|x≠0,且x≠-1}.5.[0，+∞).6.0.7.-15,-13,-12,13.8.(1)y|y≠25.(2)[-2,+∞).9.(0,1].10.A∩B=-2,12;A∪B=[-2,+∞).11.[-1,0).122函数的表示法(一)1.A.2.B.3.A.4.y=x100.5.y=x2-2x+2.6.1x.7.略.8.x1234y__9.略.10.1.11.c=-3.122函数的表示法(二)1.C.2.D.3.B.4.1.5.3.6.6.7.略.8.f(x)=2x(-1≤x0),-2x+2(0≤x≤1).9.f(x)=x2__+1.提示:设f(x)=ax2+bx+c，由f(0)=1,得c=1，又f(x+1)-f(x)=2x，即a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x，展开得2ax+(a+b)=2x,所以2a=2,a+b=0,解得a=1，b=-1.10.y=1.2(02.4(203.6(404.8(601.3函数的基本性质131单调性与(小)值(一)1.C.2.D.3.C.4.[-2,0),[0,1),[1,2].5.-∞,32.6.k12.7.略.8.单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为[1,+∞).9.略.10.a≥-1.11.设-10，∴(x1x2+1)(x2__1)(x21-1)(x22-1)0，∴函数y=f(x)在(-1，1)上为减函数.131单调性与(小)值(二)1.D.2.B.3.B.4.-5,5.5.25.6.y=316(a+3x)(a__)(011.日均利润，则总利润就.设定价为x元，日均利润为y元.要获利每桶定价必须在12元以上，即x12.且日均销售量应为440-(__13)·400，即x23,总利润y=(__12)[440-(__13)·40]-600(12132奇偶性1.D.2.D.3.C.4.0.5.0.6.答案不,如y=x2.7.(1)奇函数.(2)偶函数.(3)既不是奇函数，又不是偶函数.(4)既是奇函数，又是偶函数.8.f(x)=x(1+3x)(x≥0),x(1-3x)(x0).9.略.10.当a=0时，f(x)是偶函数;当a≠0时，既不是奇函数，又不是偶函数.11.a=1，b=1，c=0.提示:由f(__)=-f(x)，得c=0，∴f(x)=ax2+1bx,∴f(1)=a+1b=2a=2b-1.∴f(x)=(2b-1)x2+1bx.∵f(2)3，∴4(2b-1)+12b32b-32b00单元练习1.C.2.D.3.D.4.D.5.D.6.B.7.B.8.C.9.A.10.D.11.{0,1,2}.12.-32.13.a=-1,b=3.14.[1,3)∪(3,5].15.f1217.T(h)=19-6h(0≤h≤11),-47(h11).18.{x|0≤x≤1}.19.f(x)=x只有的实数解，即xax+b=x(_)只有实数解，当ax2+(b-1)x=0有相等的实数根x0，且ax0+b≠0时，解得f(x)=2_+2，当ax2+(b-1)x=0有不相等的实数根，且其中之一为方程(_)的增根时，解得f(x)=1.20.(1)x∈R,又f(__)=(__)2-2|__|-3=x2-2|x|-3=f(x)，所以该函数是偶函数.(2)略.(3)单调递增区间是[-1,0],[1,+∞)，单调递减区间是(-∞,-1],[0,1].21.(1)f(4)=4×13=5.2,f(5.5)=5×1.3+0.5×3.9=8.45,f(6.5)=5×1.3+1×3.9+0.5×65=13.65.(2)f(x)=1.3x(0≤x≤5),3.9__13(56.5__28.6(622.(1)值域为[22,+∞).(2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数，则任取x1,x2∈(0,1]且x1f(x2)成立，即(x1__2)2+ax1x20，只要a-2x1x2即可，由于x1,x2∈(0,1]，故-2x1x2∈(-2,0)，a-2，即a的取值范围是(-∞,-2).高一数学练习册及答案一、选择题1.下列各组对象能构成集合的有()①美丽的小鸟;②不超过10的非负整数;③立方接近零的正数;④高一年级视力比较好的同学A.1个B.2个C.3个D.4个①③中“美丽”“接近零”的范畴太广，标准不明确，因此不能构成集合;②中不超过10的非负整数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共十一个数，是确定的，故能够构成集合;④中“比较好”，没有明确的界限，不满足元素的确定性，故不能构成集合.A2.小于2的自然数集用列举法可以表示为()A.{0,1,2}B.{1}C.{0,1}D.{1,2}小于2的自然数为0,1，应选C.C3.下列各组集合，表示相等集合的是()①M={(3,2)}，N={(2,3)};②M={3,2}，N={2,3};③M={(1,2)}，N={1,2}.A.①B.②C.③D.以上都不对①中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.B4.集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，则6-a∈A，那么a为()A.2B.2或4C.4D.0若a=2，则6-a=6-2=4∈A，符合要求;若a=4，则6-a=6-4=2∈A，符合要求;若a=6，则6-a=6-6=0∉A，不符合要求.∴a=2或a=4.B5.(2013-曲靖高一检测)已知集合M中含有3个元素;0，x2，__，则x 满足的条件是()A.x≠0B.x≠-1C.x≠0且x≠-1D.x≠0且x≠1由x2≠0，x2≠__，__≠0，解得x≠0且x≠-1.C二、填空题6.用符号“∈”或“∉”填空(1)22________R,22________{x|x(2)3________{x|x=n2+1，n∈N+};(3)(1,1)________{y|y=x2};(1,1)________{(x，y)|y=x2}.(1)22∈R，而22=87，∴22∉{x|x7}.(2)∵n2+1=3，∴n=±2∉N+，∴3∉{x|x=n2+1，n∈N+}.(3)(1,1)是一个有序实数对，在坐标平面上表示一个点，而{y|y=x2}表示二次函数函数值构成的集合，故(1,1)∉{y|y=x2}.集合{(x，y)|y=x2}表示抛物线y=x2上的点构成的集合(点集)，且满足y=x2，∴(1,1)∈{(x，y)|y=x2}.(1)∈∉(2)∉(3)∉∈7.已知集合C={x|63__∈Z，x∈N_}，用列举法表示C=________.由题意知3__=±1，±2，±3，±6，∴x=0，-3,1,2,4,5,6,9.又∵x∈N_，∴C={1,2,4,5,6,9}.{1,2,4,5,6,9}8.已知集合A={-2,4，x2__}，若6∈A，则x=________.由于6∈A，所以x2__=6，即x2__6=0，解得x=-2或x=3.-2或3三、解答题9.选择适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;(2)方程(3__5)(x+2)=0的实数解组成的集合;(3)一次函数y=x+6图像上所有点组成的集合.(1)绝对值不大于3的整数是-3，-2，-1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{-3，-2，-1,0,1,2,3};(2)方程(3__5)(x+2)=0的实数解仅有两个，分别是53，-2，用列举法表示为{53，-2};(3)一次函数y=x+6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y=x+6}.10.已知集合A中含有a-2,2a2+5a,3三个元素，且-3∈A，求a的值.由-3∈A，得a-2=-3或2a2+5a=-3.(1)若a-2=-3，则a=-1，当a=-1时，2a2+5a=-3，∴a=-1不符合题意.(2)若2a2+5a=-3，则a=-1或-32.当a=-32时，a-2=-72，符合题意;当a=-1时，由(1)知，不符合题意.综上可知，实数a的值为-32.11.已知数集A满足条件：若a∈A，则11-a∈A(a≠1)，如果a=2，试求出A中的所有元素.∵2∈A，由题意可知，11-2=-1∈A;由-1∈A可知，11--1=12∈A;由12∈A可知，11-12=2∈A.故集合A中共有3个元素，它们分别是-1，12，2.高一数学练习题答案C B AD C D C D C B26 {(1,2)} R {4,3,2,-1｝1或-1或016、x=-1 y=-117、解：A={0，-4} 又(1)若B= ，则，(2)若B={0}，把x=0代入方程得a= 当a=1时，B=(3)若B={-4}时，把x=-4代入得a=1或a=7.当a=1时，B={0，-4}≠{-4}，∴a≠1.当a=7时，B={-4，-12}≠{-4}，∴a≠7.(4)若B={0，-4}，则a=1 ，当a=1时，B={0，-4}，∴a=1综上所述：a18、.解：由已知，得B={2，3｝，C={2，-4｝.(1)∵A∩B=A∪B，∴A=B于是2，3是一元二次方程x2-ax+a2-19=0的两个根，由韦达定理知：解之得a=5.(2)由A∩B ∩ ，又A∩C= ，得3∈A，2 A，-4 A，由3∈A，得32-3a+a2-19=0，解得a=5或a=-2?当a=5时，A={x|x2-5x+6=0｝={2，3｝，与2 A矛盾;当a=-2时，A={x|x2+2__15=0｝={3，-5｝，符合题意.∴a=-2.19、解:A={x|x2-3x+2=0}={1,2},由x2-ax+3a-5=0，知Δ=a2-4(3a-5)=a2-12a+20=(a-2)(a-10).(1)当2(2)当a≤2或a≥10时，Δ≥0，则B≠ .若x=1，则1-a+3a-5=0,得a=2,此时B={x|x2-2x+1=0}={1} A;若x=2，则4-2a+3a-5=0，得a=1,此时B={2,-1} A.综上所述，当2≤a10时，均有A∩B=B.20、解：由已知A={x|x2+3x+2 }得得.(1)∵A非空，∴B= ;(2)∵A={x|x }∴ 另一方面，，于是上面(2)不成立，否则，与题设矛盾.由上面分析知，B= .由已知B= 结合B= ,得对一切x 恒成立，于是，有的取值范围是21、∵A={x|(__1)(x+2)≤0}={x|-2≤x≤1}，B={x|1∵ ，(A∪B)∪C=R，∴全集U=R。
高中数学 111集合的含义和表示(二)课件 湘教版必修1
( )．
• A．5
B．6
C．7
D．8
• 解析 {x|1≤x≤6，x∈N}＝{1，2，3，4，5，6}．
• 答案 B
2．
3． • 将集合{x|2≤x≤8}表示成区间为____________．
• 答案 [2，8]
• 能被3整除的正整数的集合，用描述法可表示为 4． ________．
• 答案 {x|x＝3n，n∈N＋}
名师点睛
1． • 在用列举法表示集合时应注意以下四点： • (1)元素间用“，”分隔； • (2)元素不重复； • (3)不考虑元素顺序； • (4)对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素 有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显 示清楚后方能用省略号．
2． • 使用描述法时应注意以下四点： • (1)写清楚该集合中元素的一般属性或形式(字母或用字 母表示的元素符号)； • (2)说明该集合中元素的特征； • (3)不能出现未被说明的字母； • (4)用于描述的语句力求简明、确切．
(2)使 y＝x2＋1x－6有意义的实数 x 的集合； (3)在坐标平面中第一、三象限上点的集合．
解 (1){x∈R|x2－2＝0}．
(2)要使 y＝x2＋1x－6有意义，须 x2＋x－6≠0，即 x≠2 且 x ≠－3，故可表示成{x|x≠2 且 x≠－3，x∈R}． • (3)第一、三象限上的点的特征是纵横坐标符号相同，
• 提示 集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x， • 满足条件y＝x2＋1中的x∈R， • ∴实质上{x|y＝x2＋1}＝R. • 集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y， • 满足条件y＝x2＋1中的y的取值范围是y≥1， • ∴实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}． • 集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)， • 满足条件y＝x2＋1的(x，y)的集合是抛物线， • ∴实质上{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}． • 由以上可知它们不是相同的集合．
2020-2021学年新教材人教A版必修第一册 111 第1课时 集合的概念 作业
C．a＝1 D．a＝0或a＝20198．已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝________.关键能力综合练一、选择题1．以下各组对象不能组成集合的是()A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程x2－7＝0的实数解D．周长为10 cm的三角形2．“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是()A．5 B．6C．7 D．83．集合A中有三个元素2,3,4，集合B中有三个元素2,4,6，若x∈A 且x∉B，则x等于()A．2 B．3C．4 D．64．下列说法中，正确的个数是()①集合N*中最小的数是1；②若－a∉N*，则a∈N*；③若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2；④x2＋4＝4x的解集中包含两个元素2,2.A．0 B．1C．2 D．35．(易错题)已知集合A中含有三个元素1，a，a－1，若－2∈A，则实数a的值为()A．－2 B．－1C．－1或－2 D．－2或－36．已知集合A中元素满足2x＋a＞0，a∈R，若1∉A,2∈A，则() A．a＞－4 B．a≤－2C．－4＜a＜－2 D．－4＜a≤－2二、填空题7．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a ＝________.8．下列说法中：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有1．1 集合的概念第1课时 集合的概念必备知识基础练1．解析：①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.答案：B2．解析：当a ＝0时，四个数都是0，组成的集合只有一个数0，当a ≠0时，a 2＝|a |＝⎩⎨⎧ a (a >0)，－a (a <0)，所以组成的集合中有两个元素，故选B.答案：B3．解析：①②正确；③④⑤不正确．答案：B4．解析：∵63－x ∈N ，x ∈N ，∴当x ＝0时，63－x＝2∈N ，∴x ＝0满足题意；当x ＝1时，63－x＝3∈N ，∴x ＝1满足题意；当x ＝2时，63－x ＝6∈N ，∴x ＝2满足题意，当x ＞3时，63－x＜0不满足题意，所以集合A 中的元素为0,1,2.答案：0,1,25．解析：由题意可设x ＝3k ＋2，k ∈Z ，令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z ，所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z ，所以－5∉A .答案：∈ ∉6．解析：由于C 中P 、Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而A 、B 、D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选C.答案：C7．解析：若集合M 中有两个元素，则a 2≠2019a .即a ≠0，且a ≠2019.故选C.答案：C8．解析：若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1.当a ＝1时，a ＝a 2，集合A 中有一个元素，∴a ≠1.当a ＝－1时，集合A 中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a ＝－1.答案：－1关键能力综合练1．解析：因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合．答案：B2．解析：根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7.答案：C3．解析：集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意．答案：B4．解析：N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a∉N*，a∉N*，故②错误；若a∈N*，则a的最小值是1，同理，b∈N*，b的最小值也是1，所以当a和b都取最小值时，a＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性，知④错误．答案：C5．解析：由题意可知a＝－2或a－1＝－2，即a＝－2或a＝－1，故选C.答案：C6．解析：∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.又∵2∈A，∴2×2＋a＞0，a＞－4，∴－4＜a≤－2.答案：D7．解析：若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0∉A.故a＝2或4.答案：2或48．解析：因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④9．解析：当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A.答案：∈∈10．解析：因为x2∈A，所以x2＝0或x2＝1或x2＝x.若x2＝0，则x＝0，此时A中三个元素为0,1,0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若x2＝1，则x＝±1.当x＝1时，集合A中三个元素为0,1,1，不符合集合中元素的互异性，舍去；当x＝－1时，集合A中三个元素分别为0,1，－1，符合题意．若x2＝x，则x＝0或x＝1，由以上可知，x＝0和x＝1都不符合题意．综上所述，x＝－1.学科素养升级练1．解析：①当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；②当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；③当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；④当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1，∴集合A由元素－1,3组成．∴－1∈A,3∈A.答案：BC2．解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，易知a≠0，b≠0，所以a＝b＝1，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a ＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.答案：2013．证明：(1)若a ∈A ，则11－a∈A . 又因为2∈A ，所以11－2＝－1∈A . 因为－1∈A ，所以11－(－1)＝12∈A . 因为12∈A ，所以11－12＝2∈A .所以A 中必还有另外两个元素，且为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，方程无实数解．所以a ≠11－a ，所以集合A 不可能是单元素集．。
新教材 人教A版高中数学必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 知识点考点汇总及解题方法规律提炼
第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合的概念 (1)1.1.2集合的表示 (4)1.2集合间的基本关系 (8)1.3.1并集与交集 (13)1.3.2补集及集合运算的综合应用 (17)1.4.1充分条件与必要条件 (20)1.4.2充要条件 (24)1.5.1全称量词与存在量词 (28)1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 (32)1.1.1集合的概念要点整理1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．温馨提示：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物．3．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．温馨提示：(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．4．常用的数集及其记法题型一集合的基本概念【典例1】判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？(1)接近于2019的数；(2)大于2019的数；(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；(4)方程x2－2＝0在实数范围内的解；(5)函数y＝x2图象上的点．[思路导引] 构成集合的关键是要有明确的研究对象，即元素不能模糊不清、模棱两可．[解] (1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合．对集合含义的理解给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．题型二元素与集合的关系【典例2】(1)下列关系中，正确的有( )①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个 B．2个 C．3个D．4个(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．[思路导引] 判断一个元素是否为某集合的元素，关键是抓住集合中元素的特征．[解析] (1)12是实数；2是无理数；|－3|＝3，是自然数；|－3|＝3，是无理数．故①②③正确，选C．(2)当x＝0时，63－0＝2；当x＝1时，63－1＝3；当x＝2时，63－2＝6；当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.[答案] (1)C (2)0,1,2判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．题型三集合中元素的特性【典例3】已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．[思路导引] 由集合中元素的确定性和互异性切入．[解析] 若a＝1，则a2＝1，此时集合A中两元素相同，与互异性矛盾，故a≠1；若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍去)，此时集合A中两元素为－1,1，故a＝－1.综上所述a＝－1.[答案] －1[变式] (1)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．(2)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？[解] (1)若a＝2，则a2＝4，符合元素的互异性；若a2＝2，则a＝2或a＝－2，符合元素的互异性．所以a的取值为2，2，－ 2.(2)根据集合中元素的互异性可知，a≠a2，所以a≠0且a≠1.应用集合元素的特性解题的要点(1)集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么．(2)构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．(3)利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．1.1.2集合的表示1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．温馨提示：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．温馨提示：(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母．题型一用列举法表示集合【典例1】 用列举法表示下列集合：(1)方程x (x －1)2＝0的所有实数根组成的集合；(2)不大于10的非负偶数集；(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合．[思路导引] 用列举法表示集合的关键是弄清集合中的元素是什么，还要弄清集合中的元素个数．[解] (1)方程x (x －1)2＝0的实数根为0,1，故其实数根组成的集合为{0,1}．(2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数，故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}．(3)由⎩⎨⎧ y ＝x y ＝2x －1，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1.故一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合为{(1,1)}．题型二用描述法表示集合【典例2】 用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合；(4)不等式3x －2<4的解集．[思路导引] 用描述法表示集合的关键是确定代表元素的属性和表示元素的共同特征．[解] (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }．(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．(4)不等式3x－2<4可化简为x<2，所以不等式3x－2<4的解集为{x|x<2}．用描述法表示集合应注意的3点(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．题型三集合表示方法的应用【典例3】(1)若集合A＝{x|ax2－8x＋16＝0，a∈R}中只有一个元素，则a的值为( )A．1 B．4 C．0 D．0或1(2)已知A＝{x|kx＋2>0，k∈R}，若－2∈A，则k的取值范围是________．[思路导引] 借助描述法求值或范围的关键是弄清集合中元素的特征．[解析] (1)①当a＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}；②当a≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程ax2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64a＝0，即a＝1.从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．综上所述，实数a的值为0或1.故选D．(2)∵－2∈A，∴－2k＋2>0，得k<1.[答案] (1)D (2)k<1[变式] (1)本例(1)中条件“有一个元素”改为有“两个元素”，其他条件不变，求a的取值范围．(2)本例(2)中条件“－2∈A ”改为“－2∉A ”，其他条件不变，求k 的取值范围．[解] (1)由题意可知方程ax 2－8x ＋16＝0有两个不等实根．∴⎩⎨⎧ a ≠0，Δ＝64－64a >0，解得a <1，且a ≠0.(2)∵－2∉A ，∴－2k ＋2≤0，得k ≥1.集合表示方法的应用的注意点(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)与方程ax 2－8x ＋16＝0的根有关问题易忽视a ＝0的情况．集合的表示方法1．有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集．当集合为有限集，且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集，一般采用描述法表示集合．对于元素个数较多的集合或无限集，其元素呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．【典例1】 用列举法表示下列集合：(1)正整数集；(2)被3整除的数组成的集合．[解] (1)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{1,2,3,4，…}．(2)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{…，－6，－3,0,3,6，…}．[点评] (1){1,2,3,4，…}一般不写成{2,1,4,3，…}；(2)此题中的省略号不能漏掉．2．集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的形式，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何属性(如表示数集、点集等)．【典例2】已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？[解] ∵三个集合的代表元素互不相同，∴它们是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，即满足条件y＝x2＋1中的所有x，∴{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可认为是满足条件y＝x2＋1的实数对(x，y)的集合，也可认为是坐标平面内的点(x，y)，且这些点的坐标满足y＝x2＋1.∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．[点评] 使用特征性质描述来表示集合时，首先要明确集合中的元素是什么，如本题中元素的属性都与y＝x2＋1有关，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一样．1.2集合间的基本关系1．子集的概念温馨提示：“A是B的子集”的含义是：对任意x∈A都能推出x∈B.2．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B 且B⊆A，则A＝B.3．真子集的概念温馨提示：在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x ∈B，但x∉A.4.空集的概念题型一集合间关系的判断【典例1】判断下列两个集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[思路导引] 集合间基本关系的刻画均是由元素的从属关系决定的．[解] (1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(4)解法一(特殊值法)：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.解法二(列举法)：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.判断集合间关系的3种方法(1)列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．(2)元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．(3)图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．题型二有限集合子集、真子集的确定【典例2】(1)填写下表，并回答问题原集合子集子集的个数∅________________{a}________________{a，b}________________{a，b，c}________________由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集个数呢？(2)求满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M.[解] (1)原集合子集子集的个数∅∅ 1{a}∅，{a} 2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b} 4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8猜想：含n个元素的集合的子集共有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．(1)求解有限集合子集问题的3个关键点①确定所求集合，是子集还是真子集．②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)与子集、真子集个数有关的3个结论 假设集合A 中含有n 个元素，则有： ①A 的子集的个数为2n 个； ②A 的真子集的个数为2n －1个； ③A 的非空真子集的个数为2n －2个．【典例3】 已知集合A ＝{x |－3<x <4}，B ＝{x |1－m <x ≤2m －1}，且A ⊆B ，求实数m 的取值范围．[思路导引] A ⊆B ，即集合A 中的数在集合B 中，特别注意A ＝∅的情况． [解] 由A ⊆B ，将集合A ，B 分别表示在数轴上，如图所示，则⎩⎨⎧1－m ≤－3，1－m <2m －1，4≤2m －1，解得m ≥4.故m 的取值范围是{m |m ≥4}．[变式] (1)本例中若将“A ⊆B ”改为“B ⊆A ”，其他条件不变，求m 的取值范围．(2)本例若将集合A ，B 分别改为A ＝{3，m 2}，B ＝{1,3,2m －1}，其他条件不变，求实数m 的值．[解] (1)由B ⊆A ，将集合A ，B 分别表示在数轴上，如图所示．∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，1－m ≥2m －1，解得m ≤23；当B ≠∅时，有⎩⎨⎧2m －1>1－m ，2m －1<4，1－m ≥－3，解得23<m <52.综上可知，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <52. (2)由A ⊆B ，按m 2＝1和m 2＝2m －1两种情况分类讨论． ①若m 2＝1，则m ＝－1或m ＝1.当m ＝－1时，B 中元素为1,3，－3，适合题意； 当m ＝1时，B 中元素为1,3,1，与元素的互异性矛盾． ②若m 2＝2m －1，则m ＝1，由①知不合题意． 综上所述，m ＝－1.由集合间的关系求参数的2种方法(1)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．(2)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．1.3.1并集与交集1．并集的概念及表示2.交集的概念及表示温馨提示：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．3．并集、交集的运算性质【典例1】(1)若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( ) A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{1,2} D．{0}(2)已知集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1≤x≤4} C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}[思路导引] 由并集的定义，结合数轴求解．[解析] (1)A∪B＝{0,1,2,3,4}，选A.(2)在数轴上表示两个集合，如图．∴P∪Q＝{x|x≤4}．选C.[答案] (1)A (2)C求集合并集的2种方法(1)定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果．(2)数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．题型二交集的运算【典例2】(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}(2)设A＝{x∈N|1≤x≤5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为( )A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3}[思路导引] 既属于集合A，又属于集合B的所有元素组成的集合，借助图示方法求解．[解析] (1)在数轴上表示出集合A与B，如下图．则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．选A.(2)A＝{x∈N|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，图中阴影部分表示的是A∩B，∴A∩B＝{2}．选A.[答案] (1)A (2)A求集合交集的2个注意点(1)求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果．(2)在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰．题型三由集合的并集、交集求参数【典例3】 (1)设集合A ＝{x |－1<x <a }，B ＝{x |1<x <3}且A ∪B ＝{x |－1<x <3}，求a 的取值范围．(2)已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，B ＝{x |2－k ≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．[思路导引] (1)画出数轴求解．(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ；若A ∩B ＝A ，则A ⊆B .[解] (1)如下图所示，由A ∪B ＝{x |－1<x <3}知，1<a ≤3. (2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .若B ＝∅，则2－k >2k －1，得k <1；若B ≠∅，则⎩⎨⎧2－k ≤2k －1，2－k >－3，2k －1≤4，解得1≤k ≤52.综上所述，k ≤52.[变式] 本例(2)若将“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，其他条件不变，求k 的取值范围．[解] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B . ∴⎩⎨⎧2－k ≤－3，2k －1≥4，解得k ≥5.由集合交集、并集的性质解题的策略、方法及注意点(1)策略：当题目中含有条件A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A ∩B ＝A 转化为A ⊆B ，A ∪B ＝B 转化为A ⊆B .(2)方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．(3)注意点：当题目条件中出现B⊆A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝∅的情况．1.3.2补集及集合运算的综合应用要点整理1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.2．补集温馨提示：∁U A的三层含义：(1)∁U A表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合．题型一补集的运算【典例1】(1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________________；(2)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________________.[思路导引] 借助补集定义，结合数轴及Venn图求解．[解析] (1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．(2)解法一：A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．[答案] (1){x|x<－3或x＝5} (2){2,3,5,7}求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．题型二交集、并集、补集的综合运算【典例2】已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁U A，A∩B，∁U(A∩B)，(∁U A)∩B.[解] 把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁U A)∩B＝{x|－U3<x≤－2或x＝3}．解决集合交、并、补运算的2个技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．题型三利用集合间的关系求参数【典例3】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁A)∩B＝∅，求实数m的取值范围．U[思路导引] 理清集合间的关系，分类求解．[解] 由已知A＝{x|x≥－m}，得∁U A＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁U A)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.[变式] (1)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U A)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？(2)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U B)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？[解] (1)由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁U A＝{x|x<－m}，又(∁U A)∩B≠∅，所以－m>－2，解得m<2.(2)由已知得A＝{x|x≥－m}，∁U B＝{x|x≤－2或x≥4}．又(∁U B)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.利用集合关系求参数的2个注意点(1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．[针对训练]5．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<3}．(1)若A∪(∁R B)＝R，求实数a的取值范围；(2)若A(∁R B)，求实数a的取值范围．[解](1)∵B＝{x|1<x<3}，B＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁R因而要使A∪(∁R B)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.(2)∵A＝{x|x<a}，∁R B＝{x|x≤1或x≥3}．要使A(∁R B)，结合数轴分析(如图)，可得a≤1.1.4.1充分条件与必要条件要点整理1．命题及相关概念2．充分条件与必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．温馨提示：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．题型一充分、必要条件的概念及语言表述【典例1】将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分条件、必要条件的语言表述：(1)两个全等三角形的对应高相等；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．[解] (1)若两个三角形是全等三角形，则它们的对应高相等，所以“两个三角形是全等三角形”是“它们的对应高相等”的充分条件；“对应高相等”是“两个三角形是全等三角形”的必要条件．(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，所以“两个三角形等底等高”是“这两个三角形是全等三角形”的不充分条件；“两个三角形是全等三角形”是“这两个三角形等底等高”的不必要条件．(1)对充分、必要条件的理解①对充分条件的理解：i)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．ii)充分条件不是唯一的，如x>2，x>3都是x>0的充分条件．②对必要条件的理解：i)所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．ii)必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．(2)用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤第一步：分析定理的条件和结论；第二步：将定理写成“若p，则q”的形式；第三步：利用充分、必要条件的概念来表述定理．题型二充分条件、必要条件的判定【典例2】判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？(1)p：x>1，q：x2>1；(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(3)已知：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac>0，q：函数图象与x轴有交点．[思路导引] 判断“若p，则q”命题的真假及“若q，则p”命题的真假．[解] (1)由x>1可以推出x2>1，因此p是q的充分条件；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p不是q的必要条件．(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p不是q的充分条件；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要条件．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当Δ>0时，其图象与x轴有交点，因此p是q的充分条件；反之若函数的图象与x轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ>0，因此p不是q的必要条件．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p 的必要条件；②如果命题：“若p ，则q ”为假命题，那么p 不是q 的充分条件，同时q 也不是p 的必要条件．显然，p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p ⇒q ，只是说法不同而已．题型三充分条件、必要条件与集合的关系【典例3】 (1)已知p ：关于x 的不等式3－m 2<x <3＋m 2，q ：0<x <3，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．(2)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－3x ＋1，x ∈R }，B ＝{x |x ＋2m ≥0}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围．[思路导引] p 是q 的充分条件转化为对应集合A ⊆集合B ，q 是p 的必要条件转化为集合A ⊆集合B .[解] (1)记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |0<x <3}， 若p 是q 的充分条件，则A ⊆B .注意到B ＝{x |0<x <3}≠∅，分两种情况讨论：①若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m 2，解得m ≤0，此时A ⊆B ，符合题意； ②若A ≠∅，即3－m 2<3＋m 2，解得m >0， 要使A ⊆B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≥0，3＋m 2≤3，m >0，解得0<m ≤3. 综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．(2)由已知可得 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y | y ≥－54， B ＝{x |x ≥－2m }．因为q 是p 的必要条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以－2m ≤－54，所以m ≥58，即m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m |m ≥58. [变式] 本例(1)中若将“若p 是q 的充分条件”改为“p 是q 的必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．[解] 记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |0<x <3}，若p 是q 的必要条件，则B ⊆A .应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≤0，3＋m 2≥3，解得m ≥3.综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≥3}．(1)利用充分、必要条件求参数的思路根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p ，q 等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．(2)从集合角度看充分、必要条件：设命题p 、q 分别对应集合A 、B ，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件．1.4.2充要条件要点整理充要条件如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q .此时p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件．我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．温馨提示：(1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若p⇔q，则p是q的充要条件．③若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．④若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．⑤若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．(2)“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p 是s的充要条件．题型一充要条件的判断【典例1】在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(2)若a，b∈R，p＝a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(3)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.[思路导引] 判断是否p⇒q，q⇒p.[解] (1)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(2)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(3)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁U A⊇∁U B，并且∁U B⊆∁U A⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p 是q的充要条件．[变式] 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？[解] 作出“⇒”图，如右图所示，。
黑龙江省大庆市育才中学人教版高中数学必修一课件：111集合的含义与表示(共22张PPT)
3 自主习标
(4)集合元素的特性： （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体 对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情 况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集 合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不 应重复出现同一元素。
（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列 之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序 书写。
，用列举法表示B
B={4，9，16}
5 拓 展 •达 标
2.方程组 { x y 1 的解集是( C ) x y1
A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1}
5 拓 展 •达 标
3.点的集合M＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( D ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集
5.描述法表示集合 用文字或公式等描述出元素的特性，并放在{ }内
写成 {x | p(x)} 的形式。
整理B级问题.互相讨论两分钟
研标
B级问题分组
B级问题一
3
B级问题二
6
B级问题三
5
分组
B级问题六
1
B级问题五
2
B级问题四
4
整理B级问题.互相讨论一分钟
研标
4 合 作•解 标
1．给出以下四个对象，其中能构成集合的有( C ) ①某中学的年轻教师；
②你所在班中身高超过1.80米的同学；
③2010年广州亚运会的比赛项目；
④1,3,5.
A．1个
B．2个
C．3个
111集合的含义与表示
这里, x | x 4, x R可简记为 x | x 4Hale Waihona Puke 解集的元素有无限多个. 为无限集
例 求方程 x2 x 1 0 所有实数解的集合 .
解 因为x2 x 1 0 没有实数解 , 所以 x | x2 x 1 0 , x R .
N
R
+
常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整 数的集合。记作 N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记 作 N*或N+ （3）整数集：全体整数的集合。记作 Z （4）有理数集：全体有理数的集合。记作 Q （5）实数集：全体实数的集合。记作 R
注:（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数 集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N*或N+。
．
思考4：美国NBA火箭队的全体队员是否组成一个集合？ 若是，这个集合中有哪些元素？
1 特雷西-麦克格雷迪 前锋/后卫 1979年5月24日 2,03米 95,3 公斤 美国 2 卢瑟-赫德 后卫 1982年11月26日 1,91米 83,9 公斤 美国 3 鲍伯-苏拉 后卫 1973年3月25日 1,96米 90,7 公斤 美国 4 斯特罗姆-斯威夫特 前锋 1979年11月21日 2,06米 104,3公斤 美国 5 朱万-霍华德 前锋 1973年2月7日 2,06米 104,3公斤 美国 7 大卫-韦斯利 后卫 1970年11月14日 1,85米 92,1 公斤 美国 8 德里克-安德森 后卫 1974年7月18日 1,96米 88,5 公斤 美国 11 姚明 中锋 1980年9月12日 2,26米 134,3公斤 中国 12 拉夫-阿尔斯通 后卫 1976年7月24日 1,88米 77,1 公斤 美国 15 约翰-卢卡斯 后卫 1982年11月21日 1.83米 82公斤 美国 20 琼-巴里 后卫 1969年7月25日 1,96米 95,3 公斤 美国 25 穆齐-诺里斯 后卫 1973年7月27日 1,85米 83,9 公斤 美国 35 朗尼-巴克斯特 前锋 1979年1月27日 2,03米 117,9公斤 美国 40 莱恩-鲍恩 前锋 1975年11月20日 2,06米 99,8 公斤 美国 44 查尔斯-海耶斯 前锋 1983年6月11日 1,98米 109,8公斤 美国 55 迪肯贝-穆托姆博 中锋 1966年6月25日 2,18米 120,2公斤 刚果，最 近已有美国国籍
集合的基本概念、关系及运算(课件类别)
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18
观察2
下面两个集合，你能发现什么？
（1）A={x∣x是两条边相等的三角形} B={x∣x是等腰三角形}
（2）A={2，4，6} B={6，4，2}
共性:集合B中元素与集合A的元素是一样的.
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19
知识要 点
3.集合相等与真子集的概念
如果集合A是集合B的子集(A B)，且集合B是 集合A的子集（B A），此时，集合A与集合B中 的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等. 记作 A＝B
②文字描述法 用文字把元素所具有的属性描述出来，如﹛自然数﹜ 3、大写字母法 4、venn图法及数轴法
1，2，3
2
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7
思考
请说出下列集合含义： x|y=f(x) 表示函数y=f(x)的定义域 y|y=f(x) 表示函数y=f(x)的值域 (x,y)|f(x,y)=0 表示方程f(x,y)=0对应的曲线
共性:集合B中的任何一个元素都是集合A的元素.
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15
知识要 点
1．子集的概念
一般地，对于两个集合A、B， 如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个 集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.
记作
A B (或B A)
读作 "A含于B" (或"B包含A")
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16
2.在数学中，经常用平面上的封闭曲线的 内部代表集合，这种图称为Venn图.
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8
五、集合的分类
有限集 ——含有有限个元素的集合。 无限集——含有无限个元素的集合。
空集——不含任何元素的集合。记作 ，
如：{x R | x 2 1 0}
(完整版)《集合的概念》教学设计
教学重点：集合的基本概念及表示方法。
教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。
六、教学过程一、复习引入：1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；2．教材中的章头引言；3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；4．“物以类聚”，“人以群分”；5．教材中例子（P4）二、讲解新课：阅读教材第一部分，问题如下：（1）有那些概念？是如何定义的？（2）有那些符号？是如何表示的？（3）集合中元素的特性是什么？（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合记作Z ,（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,（5）实数集：全体实数的集合记作R注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+ Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……。
111集合的含义与表示(1)
思考1：设集合A表示“1～15以内的所有质数”，那 么3，4，5，6这四个元素哪些在集合A中？哪些不在集合A 中？
思考2：对于一个给定的集合A，那么某元素a与集合A 有哪几种可能关系？
3：元素与集合的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A， 记作a∈A.
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A， 记作aA.
集合，求实数a、b.
例3.已知2 1，x，x2 x ，求实数 x的值.
通常用小写字母a, b, c, … 表示元素.
观察下列对象： （1）1～15以内的所有质数； （2）绝对值小于3的整数； （3）高一（九）班全体同学； （4）平面内到定点的距离等于定长的所有的点.
思考1：上述4个集合中的元素分别是什么？ 思考2：组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中 的元素个数的多少是否有限制？ 思考3：试列举一个集合的例子，并指出集合中的元素.
观察下列对象： （1）1～15以内的所有质数； （2）绝对值小于3的整数； （3）高一（九）班全体同学； （4）平面内到定点的距离等于定长的所有的点.
1.集合的概念: 一般地，指定的某些对象的全体称为集合，
简称“集”. 集合中每个对象叫做这个集合的元素.
2.集合的表示:
通常用大写字母A, B, C, … 表示集合.
实数集：记作 R
3.14 ____Q, 0 ____ N*,
____Q, 2 ____ Q,
注意：自然 数集包括0
0 ____ Z 2 ____ R
考察下列集合： （1）小于9的所有正奇数组成的集合； （2）15以内的质数组成的集合.
思考1、这两个集合分别含有哪些元素？ （1）1，3，5，7； （2）2，3，5，7，11，13；
111-1集合的含义及其表示
1.1.1 集合地含义及其表示方法<1）教案【教学目标】1. 通过实例了解集合地含义,体会元素与集合地“属于”关系,能选择集合不同地语言形式描述具体地问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容地意识.2. 了解集合元素地确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题地能力,培养学生地应用意识.【教学重难点】教学重点:集合地基本概念与表示方法.教学难点:选择恰当地方法表示一些简单地集合.【教学过程】一、导入新课军训前学校通知:8 月15 日8 点,高一年级学生到操场集合进行军训. 试问这个通知地对象是全体地高一学生还是个别学生？在这里,集合是我们常用地一个词语,我们感兴趣地是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三>对象地总体,而不是个别地对象,为此,我们将学习一个新地概念——集合.二、提出问题①请我们班地全体女生起立！接下来问：咱班地所有女生能不能构成一个集合啊？”②下面请班上身高在 1.75 以上地男生起立！他们能不能构成一个集合啊？③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有地汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中地实际例子呢?请你给出集合地含义.④如果用A 表示高一(3＞班全体学生组成地集合,用a 表示高一(3＞班地一位同学,b是高一(4＞班地一位同学，那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？⑤世界上最高地山能不能构成一个集合？⑥世界上地高山能不能构成一个集合？⑦问题⑥说明集合中地元素具有什么性质？⑧由实数1、2、3、 1 组成地集合有几个元素？⑨问题⑧说明集合中地元素具有什么性质？⑩由实数1、2、3 组成地集合记为M, 由实数3、1、2 组成地集合记为N,这两个集合中地元素相同吗？这说明集合中地元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？讨论结果：①能.②能.③我们把研究地对象统称为“元素”那,么把一些元素组成地总体叫“集合”.④a是集合A地元素,b不是集合A地元素•学生得出元素与集合地关系有两种:属于和不属于.⑤能,是珠穆朗玛峰.⑥不能.⑦确定性•给定地集合，它地元素必须是明确地，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合地确定性.⑧3个.⑨互异性•一个给定集合地元素是互不相同地，即集合中地元素是不重复出现地，这就是集合地互异性.⑩集合M和N相同.这说明集合中地元素具有无序性，即集合中地元素是没有顺序地.可以发现：如果两个集合中地元素完全相同，那么这两个集合是相等地.结论：1、一般地，指定地某些对象地全体称为集合，标记： A , B, C, D，…集合中地每个对象叫做这个集合地元素，标记：a, b, c, d,…2、元素与集合地关系a是集合A地元素，就说a属于集合A, 记作a€ A ,a不是集合A地元素，就说a不属于集合A,记作a A3、集合地中元素地三个特性：<1) •元素地确定性：对于一个给定地集合，集合中地元素是确定地，任何一个对象或者是或者不是这个给定地集合地元素<2.)元素地互异性：任何一个给定地集合中，任何两个元素都是不同地对象，相同地对象归入一个集合时，仅算一个元素•比如：book中地字母构成地集合＜3）•元素地无序性：集合中地元素是平等地，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们地元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样.集合元素地三个特性使集合本身具有了确定性和整体性3、阅读课本P3中:数学中一些常用地数集及其记法•快速写出常见数集地记号.活动：先让学生阅读课本，教师指定学生展示结果•学生写出常用数集地记号后，教师强调：通常情况下,大写地英文字母N、Z、Q、R 不能再表示其他地集合，这是专用集合表示符号，.以后,我们会经常用到这些常见地数集，要求熟练掌握.结论：常见数集地专用符号.N:非负整数集（或自然数集＞（全体非负整数地集合＞；N*或N+:正整数集（非负整数集N内排除0地集合＞;Z:整数集（全体整数地集合＞;Q:有理数集（全体有理数地集合＞;R:实数集（全体实数地集合＞.三、例题例题1•下列各组对象不能组成集合地是（＞A.大于6地所有整数B.高中数学地所有难题C.被3除余2地所有整数D.函数y二」图象上所有地点分析：学生先思考、讨论集合元素地性质，教师指导学生此类选择题要逐项判断•判断一组对象能否构成集合，关键是看是否满足集合元素地确定性.在选项A、C、D中地元素符合集合地确定性；而选项B中,难题没有标准，不符合集合元素地确定性，不能构成集合.答案：B变式训练11•下列条件能形成集合地是（D＞A.充分小地负数全体B.爱好足球地人C.中国地富翁D.某公司地全体员工例题2.下列结论中，不正确地是（＞A.若a€ N,则-a NB. 若a€乙贝卩a2€ ZC.若a€ Q,贝,a|€ QD.若a€ R,贝卩而分析：（1＞元素与集合地关系及其符号表示；（2＞特殊集合地表示方法；答案：A变式训练2判断下面说法是否正确、正确地在（＞内填“/，错误地填“X”（1＞所有在N中地元素都在N*中＜X ）（2＞所有在N中地元素都在Z中（V ＞（3＞所有不在N*中地数都不在Z中＜X）（4＞所有不在Q中地实数都在R中＜V ）个人收集整理- 仅供参考（5＞由既在R中又在N*中地数组成地集合中一定包含数0＜X）（6＞不在N中地数不能使方程4x= 8成立＜V ）四、课堂小结1、集合地概念2、集合元素地三个特征，其中“集合中地元素必须是确定地”应理解为：对于一个给定地集合，它地元素地意义是明确地.“集合中地元素必须是互异地”应理解为：对于给定地集合，它地任何两个元素都是不同地.3、常见数集地专用符号.【板书设计】一、集合概念1. 定义2. 三要素二、常用集合三、典型例题例1：例 2 ：【作业布置】预习下一节学案.1.1.1 集合地含义及其表示方法＜1）课前预习学案一、预习目标：初步理解集合地含义，了解属于关系地意义，知道常用数集及其记法二、预习内容：阅读教材填空：1 、集合：一般地，把一些能够对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象地全体构成地< 或）•构成集合地每个对象叫做这个集合地<或）.2、集合与元素地表示：集合通常用来表示，它们地元素通常用来表示.3、元素与集合地关系：如果a是集合A地元素，就说，记作，读作.如果a不是集合A地元素，就说，记作，读作.4•常用地数集及其记号：<1）自然数集：，记作.<2）正整数集：，记作.<3 ）整数集：，记作.<4）有理数集：，记作.<5 ）实数集：，记作.三、提出疑惑同学们，通过你地自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面地表格中课内探究学案一、学习目标1. 通过实例了解集合地含义，体会元素与集合地属于”关系，能选个人收集整理- 仅供参考择集合不同地语言形式描述具体地问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容地意识.2. 了解集合元素地确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题地能力,培养学生地应用意识.学习重点:集合地基本概念与表示方法.学习难点:选择恰当地方法表示一些简单地集合.二、学习过程1、核对预习学案中地答案2、思考下列问题①请我们班地全体女生起立！接下来问：咱班地所有女生能不能构成一个集合啊？”②下面请班上身高在 1.75 以上地男生起立！他们能不能构成一个集合啊？③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有地汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中地实际例子呢?请你给出集合地含义.④如果用A 表示高一(3＞班全体学生组成地集合,用a 表示高一(3＞班地一位同学,b是高一(4＞班地一位同学，那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？⑤世界上最高地山能不能构成一个集合？⑥世界上地高山能不能构成一个集合？⑦问题⑥说明集合中地元素具有什么性质？⑧由实数1、2、3、1组成地集合有几个元素？⑨问题⑧说明集合中地元素具有什么性质？⑩由实数1、2、3组成地集合记为M,由实数3、1、2组成地集合记为N,这两个集合中地元素相同吗？这说明集合中地元素具有什么性质？由此类比实数相等，你发现集合有什么结论？3、集合元素地三要素是、、4、例题例题1•下列各组对象不能组成集合地是（＞A.大于6地所有整数B.高中数学地所有难题C.被3除余2地所有整数D.函数y= |图象上所有地点变式训练11•下列条件能形成集合地是（＞A.充分小地负数全体B.爱好足球地人C.中国地富翁D.某公司地全体员工例题2.下列结论中，不正确地是（＞A.若a€ N,则-a NB. 若a€Z，贝卩a2€ ZC若a€ Q,贝，a |€ Q D.若a€ R,贝变式训练2判断下面说法是否正确、正确地在（＞内填“/，错误地填“X”（1＞所有在N中地元素都在N*中＜）（2＞所有在N中地元素都在Z中（＞(3＞所有不在N*中地数都不在Z中＜)(4＞所有不在Q中地实数都在R中＜)(5＞由既在R中又在N*中地数组成地集合中一定包含数0＜)(6＞不在N中地数不能使方程4x= 8成立＜)5、课堂小结三、当堂检测1、你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成地集合？并说明理由.你能否确定，你所在班级中，最高地3位同学构成地集合？2、 _____ I＜1 ) -3N ; ＜2 ) 3.14Q; ＜3 ) Q; ＜4) 0①；＜5) Q; ＜6) _ R; ＜7) 1N+; ＜8) R.课后练习与提咼1•下列对象能否组成集合：(1＞数组1、3、5、7;(2＞到两定点距离地和等于两定点间距离地点；(3＞满足3x-2＞x+3地全体实数；(4＞所有直角三角形；(5＞美国NBA地著名篮球明星；(6＞所有绝对值等于6地数；(7＞所有绝对值小于3地整数；(8＞中国男子足球队中技术很差地队员；(9>参加2008年奥运会地中国代表团成员2.(口答〉说出下面集合中地元素：(1>｛大于3小于11地偶数｝;(2>｛平方等于1地数｝；(3>｛15地正约数｝.3•用符号€或填空4•判断正误：(1>所有属于N地元素都属于N*.(>(2>所有属于N地元素都属于乙(>(3>所有不属于N*地数都不属于乙(>(4>所有不属于Q地实数都属于R .(>(5>不属于N地数不能使方程4x=8成立.(>参考答案1:(1>(2>(3>(4>(6>(7>(9>能组成集合，V5) <8)不能组成集合2: <1)其元素为4, 6, 8, 10<2)其元素为-1, 1<3)其元素为1, 3, 5, 15 3: <1)€€ ???个人收集整理- 仅供参考V2)€€€ ??V3)€€€€ ?V4)€€€€€4: <1)x <2)V <3)x <4)V <5)V申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
人教版高中必修一 111 《集合的含义与表示》 课件
新知探索
例题讲解
例1、用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程x²=x的所有实数根组成的集合； （3 ) 小于100的所有奇数．
注意：由于元素具有无序性， 集合A还有其它列举方法哦，
动手试一试吧！
【解析】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么 A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
为__-_1_. （3）若A= {x²+x-6=0},则3___∉_____A.
巩固练习
3、判断下列说法是否正确：
(1) {x2,3x+2,5x3-x}即{5x3-x,x2,3x+2} .
(2) 若4x=3,则 x N. (3) 若x Q,则 x R .
(4)若X∈N,则x∈N+.
（ √） （√ ） （×） （× ）
巩固练习
4、已知集合A={x | ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R}只有一个元素， 求a的值和这个元素．
解析：当a=0时，x=-1； 当a≠ 0 时，由于集合只有一个元素，所以 =0，则x=-2.
拓展应用
5、设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，a∈A且3a∈A，求a的值.
解析：因为a∈A且3a∈A， a＜6,
合是不么定义呢的？那概你么念能，，举集数一合学些的家有很含难关义回集是答合什。 一的天例，子他吗看到？牧民正在向羊圈里赶羊，
等到牧民把羊全赶进羊圈并关好门，数学家 突然灵机一动，兴奋地告诉牧民：“这就是 集合”。
新知探索
探究1 集合的含义
观察下面例子，它们有什么共同特征？ （1）1～20以内的所有偶数； （2）我国古代四大发明 （3）所有的长方形； （4）到直线的距离等于定长d的所有的点； （5）方程x²+3x-2=0的所有实数根； （6）我国从2001～2018年的15年内所发射的所有卫星。
高中数学复习资料之111：集合A4
一、集合的概念1．集合是什么？－集合是指定对象的整(全)体.(“对象”称元素，“整体”叫集合)；可用A,B,C,…标识集合(特定集合的标记：Z ，N ，Q ，R;Φ空集，I 全集(或U)). 如：N +表示正整数；Q -表示负有理数等 1)集合与元素的关系：属于∈或不属于∉. 如：1,3N N -∉∈.2）集合的表示方法：a)列举法：如{a,b,c}，{(1,-2),(3,1)}， {1,2,3,…}.b)描述法：{|}x x P ∈，x 是集合的代表元素，x P ∈表示x 具有的属性; 如：①6{|,}5A x x N a Z a==∈∈=-; 6{|,}5B a x N a Z a==∈∈=-②设2223{(,)|}3y x x A x y y x x ⎧=--⎪==⎨=--+⎪⎩ . c)图示法：要直观展示一个集合所包含的元素或集合之间的关系，有时可借助于图形直观：①对离散和抽象的集合用文氏图表示；②连续实数集用数轴表示；③平面点集用直角坐标系表示.-数形结合的数学思想在此萌芽！3）集合的三特征：a)确定性：如：,N a M a ∈∉且是允许的；a M a M ∈∉但又是错误的. b)无序性：如：{,,}{,,}a b c c a b =.c)互异性：如：数集2{2,22}a a a -中，a 的取值范围是{2a 0a ,|≠≠∈或且R a a }.2. 集合的分类：{1,2,3,4,5}{(1,-2),(3,1)}{1,2,3,}{x|x 2 }⎧⎨≥⎩ 有限集：如；；无限集：如；；[题型与方法]例1、 数集A 满足条件:A aa A a ∈-≠∈11则),1(若;当A ∈2时,求A.例2、 已知22{2,(1),33},A a a a a =++++若1A ∈，求实数a 的取值范围. 练习1. 数集A 满足条件：若(1)a A a ∈≠±，则11aA a+∈-， ① 当A ∈2时求A ； ② 求证:A 非单元素集.2．若22{|},{|(1)A x x px q x B x x =++==-(1)p x +-+1}q x =+，当{2}A =时，求集合B .3.已知集合2{|210,}A x ax x a R =++=∈,(1) 若A 中没有元素（称A 为空集），求a 的取值范围； (2) 若A 仅有一个元素，试求a 的值.4.若23{3,21,4}a a a -∈---,则实数a 构成的集合为： . 二、集合之间的关系1．子集和相等集的定义：子集与真子集的定义：若任意x ∈A ，则x ∈B ，称集合A 是B 的子集，记作：B A ⊆. 特别地，若存在A x B x ∉∈00，而，称集合A 是B的真子集，记作：A B相等集的定义：若集合A 是B 的子集，B 又是A 的子集，称集合A 与B 相等，记作：A=B. 2．性质：①;A A ⊆②A ∅⊆.? ΦΦ[题型与方法]例1（判断与证明集合间的关系）1）若{1,2,3},{|}N S x x N ==∈,则（ ）))))A N SB N SC N SD N S ∈∉=⊇解析：‘列举表示比元素.2）设1{|,},24k M m m k Z ==+∈1{|,}42k N n n k Z ==+∈，则（ ）A.N M =B.M N ØC.N M ⊇D.Φ=⋂N M 解析：‘描述表示比特征.(在用描述法表示的集合之间，同名变量不具有相同的含义) *3）设{|2},{|1},A x x B m m =≥=>求证：A B 练习1）下列关系式：①{0}∅=；②0∅=；③{0}⊇∅；④0∉∅；⑤{}∅∈∅；⑥∅∈∅； ⑦∅⊆∅；⑧ΦΦ；⑨∅{}∅;⑩{}∅=∅，其中正确的个数有（ A ）A ）4个B ）5个C ）6个D ）7个2）若{1,2,3},{|}N S x x N ==⊆,则下列结论可能成立的是（ ） ))))A N S B N S C N S D N S ∈⊆=⊇3)设2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则（ D ）)A P F = )B Q E = )C E F = )D Q G =4）集合A ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，B ＝{x |x ＝4k ±1，k ∈Z }，则A 和B 的关系为( C ) A ．A B B ．B AC ．A ＝BD ．以上结论都不对5）*设{|21,},A x x k k Z ==+∈{|23,},B m m k k Z ==-∈求证:A B =.例2（根据两集合间的关系求集合）1）设,a b R ∈，集合{1,,}P a b a =+，{0,,},b Q b a=若P Q =，则b a -= . 2）设2{|3100}A x x x =--≤,非空集合}121|{-≤≤+=m x m x B ,若A B ⊆，求m 的取值范围. 练习1）设集合{,,},P x y x y xy =-+集合2222{,,0},Q x y x y =-+若P Q =，求,x y 的值及集合,P Q . 2）设非空数集{|21}A x x =-≤≤,{|2,}B y y x a x A ==+∈,2{|,C z z x ==}x A ∈且B C ⊆,求实数a 的取值范围.例3（子集的个数问题）集合}5,4,3,2,1,0{=S ，A 是S 的一个子集，若x A ∈，则x 1A -∉且x 1A +∉，称x 是A 的“孤立元素”.那么S 中无“孤立元素”的4元子集的个数有 个. 练习1) 若集合为{1,2,3}A =，则A 的至多含一个奇数的子集有 个;2) 设非空数集}5,4,3,2,1{⊆S ，且还满足：S a 则S 若a ∈-∈6,.则符合上述条件的集合S 的个数有 .三、集合的运算1．并运算(从过程讲)和并集(从结果讲)：1）定义：若},|{B 或x A x x B A ∈∈=⋃，称集合B A ⋃为A 和B 的并集.图示为：2）性质：a))()( C B A C B A ；A B B A ⋃⋃=⋃⋃⋃=⋃b)AAAIIAAABAA=⋃=⋃=⋃⋃⊆;;;φ2．交运算和交集：1）定义：若},|{BxAxxBA∈∈=⋂且，称集合BA⋂为A和B的交集.图示为：2）性质：a))()(CBACBA；ABBA⋂⋂=⋂⋂⋂=⋂b)AAAIAAAA=⋂=⋂=⋂⊆⋂;A;;Bφφ3．补运算和补集：1）定义：若{|,}UA x x U x A=∈∉ð，称集合UAð为A的补集.图示为：2）性质：a)() ;()I I I I I IB A A B B A A B⋃=⋂⋂=⋃痧痧痧; -德摩根定律();I IA A=痧b);I II Iφφ==痧.c)基数定理：)()(BACardCardBCardABACard⋂-+=⋃[题型与方法]例1（集合的运算1）1）设全集为R，2{|60},A x x x=+-<2{|10},B x x ax a=-+-<若2B∈，则=BA .2）I是全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是：（）SPMA)()SPMB)())()IC M P Sð)()ID M P Sð解析：“阴影部分”在()M P之内，同时也在S之外，即表示为()IM P Sð练习11) 若关于的方程2370x px+-=的解集为A，方程2370x x q-+=的解集为B，且1{}3A B=-，求A B.2)全集RI=，若{|()0}P x f x=<,Q={|()0}x g x>，那么不等式0)()(≥xgxf的解集为 .3)4）已知{2,3,5,6,8}A=，{1,3,5,7,10}B=集合,集合C满足:①若将C中的各个元素均减2，则新集合1C就是A的一个子集；②若将C中的各个元素均加3，则新集合2C就是B的一个子集；③C中的元素可以是一个一元二次方程的两不相等的实根，求集合C.例2（集合的运算2）1）已知全集},80|{NxxxS∈<≤=，子集A、B满足条件：S SA B痧{0,1,2,=,{2,6}SA B=ð,{1,7}SB A=ð.求集合A和B.2）若集合21{|3},{|220}2P x x Q x ax x=≤≤=-+>,若P Q⋂=Φ,求实数a的范围.练习21）已知},01)2(|{2R x x p x x A ∈=+++=,若A R +=∅ ，求实数p 的取值范围.2）若}1,12,3{},3,1,{22+--=-+=a a a B a a A ,且}3{-=B A ，求满足条件的实数a 的个数.3）设222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=， （1）若A B B ⋂=，求a 的值； （2）若A B B ⋃=，求a 的值.4）设全集U R =，集合{|13},N x x =-<<，集合{|312}M x a x a =-<<，若N U C M ，求实数a 的范围.5) *若集合12,A A 满足12A A A ⋃=，则称12(,)A A 为集合A 的一种分拆，并规定:当且仅当12A A =时, 12(,)A A 与21(,)A A 为集合A 的同一分拆.那么集合{1,2,3}A =的不同分拆有多少种？例3（基数定理的应用—集合是分析数学问题的重要工具！）1）50名学生参加跳远和铅球两项测试，成绩及格的分别有40人和30人，两项成绩均不及格的有4人，求两项测试都及格的人数. `2）某村有彩电的农户占85%，有冰箱的农户占49%，有洗衣机的农户占44%，拥有以上三种电器的农户占25%；没有家电的绝对贫困户占10%.那么仅有二种家电的农户所占的比例是多少. 解析：（正确理解()Card A B C ⋃⋃的含义，即表示有．家电的户数） 练习1）调查100名出国的旅游者携带药品情况，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 ，最小值为 ．2）某班50人，开设英语和日语两门外语课，规定每人至少选学一门，估计报英语的人数占全班80%-90%，报日语的人数占全班32%-40%.设n m ,分别是两门都报的人数的最大值和最小值，则n m -= .。
高一-第1讲-集合的基本概念
如，整数集内排除0的集，表示成Z *6、集合的分类1．有限集：含有有限个元素的集合2．无限集：含有无限个元素的集合3．空集：不含任何元素的集合，记为“Φ”一、例题精讲例1．下列各组对象中，不能组成集合的是 （ ）A.所有的正三角形B.<<高一数学>>课本中的所有习题C.所有的数学难题D.所有的无理数解析：C 。
满足对象构成集合的条件为对象要确定，明确。
例2、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ）（A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素例3、如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是 （B ）A ．0B ．0 或1C ．1D ．不能确定例4、下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ；（3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个例5、（1）已知A=22{2,(1),33}a a a a ++++且1∈A，求实数a 的值；（2）已知M={2，a ，b}，N={2a ，2，2b }且M=N ，求a ，b 的值.解：（1）由题意知：a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1，∴a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2,∴a=0即为所求.（2）由题意知,22a a b b =⎧⎨=⎩或2012a a b b b a =⎧=⎧⇒⎨⎨==⎩⎩或00a b =⎧⎨=⎩或14,12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩根据元素的互异性得01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即为所求.例6、设集合P ={1，a ，b }，Q ={1，a 2，b 2}，已知P =Q ，求1+a 2+b 2的值.解：∵P =Q ，∴⎪⎩⎪⎨⎧==22,bb a a ① 或⎪⎩⎪⎨⎧==.,22a b b a ②解①得a =0或a =1，b =0或b =1.（舍去）由②得a =b 2=a 4，∴a =1或a 3=1.a =1不合题意，∴a 3=1（a ≠1）.∴a =ω，b =ω2，其中ω=－21+23i. 故1+a 2+b 2=1+ω2+ω4=1+ω+ω2=0.例7、下列集合是无限集的是 （ D ）A.接近于1的实数组成的集合B.全世界的人口组成的集合C.{141.314.322+=+x x x }D.{}40<<x x例8、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B ＝ ___例9、直线21y x =-+上横坐标为2的点的集合是_______________________________.例10、在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为 __________例11、已知集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R}．(1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；解：集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，Δ＝－32－8a <0，∴a >98. 即实数a 的取值范围是(98，＋∞)． (2)当a ＝0时，方程只有一解，方程的解为x ＝23； 当a ≠0且Δ＝0，即a ＝98时，方程有两个相等的实数根，A 中只有一个元素43. ∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23和43.一、选择题1．下列各组对象①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体；③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数有( )A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组2．设集合M ＝{大于0小于1的有理数}，N ＝{小于1050的正整数}，P ＝{定圆C 的内接三角形}，Q ＝{所有能被7整除的数}，其中无限集是( )A ．M 、N 、PB ．M 、P 、QC ．N 、P 、QD ．M 、N 、Q3．下列命题中正确的是( )A ．{x ｜x 2＋2＝0}在实数范围内无意义B ．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合C ．{4，5}与{5，4}表示相同的集合D ．{4，5}与{5，4}表示不同的集合4．直角坐标平面内，集合M ＝{(x ，y )｜xy ≥0，x ∈R ，y ∈R }的元素所对应的点是( )A ．第一象限内的点B ．第三象限内的点C ．第一或第三象限内的点D ．非第二、第四象限内的点5．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，X ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，Y ＝{y ｜y ＝4k ＋1，k ∈Z }，则( )A ．x ＋y ∈MB ．x ＋y ∈XC ．x ＋y ∈YD ．x ＋y ∉M6．下列各选项中的M 与P 表示同一个集合的是( )A ．M ＝{x ∈R ｜x 2＋0.01＝0}，P ＝{x ｜x 2＝0}B ．M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2＋1，x ∈R }。
高中数学集合的概念讲义
第1讲：集合的概念【知识梳理】一、元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写字母a，b，c，…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)，常用大写字母A，B，C，…表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．二、元素与集合的关系三、【考点解析】考点一：确定性如果元素的界限不明确，就不能构成集合，例如：著名的科学家；比较高的人；成绩比较好的学生，跑得比较快的同学，接近于1的数等例1．下列各对象可以组成集合的是（）A．与6非常接近的全体实数B．某校2021-2022学年度笫一学期全体高一学生C．高三年级视力比较好的同学D．与无理数π相差很小的全体实数变式训练1：下列选项中元素的全体可以组成集合的是（）A．2007年所有的亚洲国家B．校园中长的高大的树木C．学校足球水平较高的学生D．中国经济发达的城市变式训练2：下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤√2的近似值的全体.其中能构成集合的组数有（）A．2组B．3组C．4组D．5组变式训练3：下列各组对象能构成集合的是（）A．新冠肺炎死亡率低的国家B．19世纪中国平均气温较高的年份C．一组对边平行的四边形D．π的近似值考点二：互异性集合中的元素互相不相同例2．已知集合A是由a−2, 2a2+5a, 12三个元素组成的，且−3∈A，求a=________.变式训练1：已知集合A是由a+1,a−1,a2−3三个元素组成，若1∈A，则实数a的值为__________.变式训练2：已知集合A中的元素为−2,2a,a2−a，若2∈A，则a=__________.变式训练3：已知集合A中的元素为k+1,k−1,k2−3，若1∈A，则实数k的值为_____________.考点三：元素与集合的关系元素与集合之间只能用属于（∈）和不属于（∉）.例3．下列元素与集合的关系表示正确的是（）∈Q；④π∈Q．①0∈N∗；②√2∉Z；③32A．①②B．②③C．①③D．③④变式训练1：下列关系中，正确的个数为（）①0∈N；②π∈Q；③√2∈Q；④−1∈Z；⑤√2∉R.A．1 B．2 C．3 D．4变式训练2：给出下列关系：①12∈R；②2∈Q；③|−3|∈N；④|−3|∈Z；⑤0∉N，其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4变式训练3：若集合A中的元素满足x−1<√3，且x R，则下列各式正确的是（）A．3∈A，且−3∉A B．3∈A，且−3∈AC．3∉A且−3∉A D．3∉A，且−3∈A考点四：元素的个数例4．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1，且a≠0)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．变式训练1：集合A中的元素为1, 2, 3, 5，当x∈A时，若x−1∉A,x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4变式训练2：非空集合A具有下列性质：①若x、y∈A，则xy∈A；②若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（）（1）−1∉A；（2）20202021∈A；（3）若x、y∈A，则xy∈A；（4）若x、y∈A，则x−y∉A.A．（1）（3）B．（1）（2）C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（3）（4）【课堂检测】1、能够组成集合的是（）A．与3非常数接近的全体实数B．很著名的科学家的全体C．某教室内的全体学生D．与无理数π相差很小的数2、下列各组对象不能构成集合的是（）A．上课迟到的学生B．2021年高考数学难题C．所有无理数D．小于π的正整数3、下列各组对象不能构成集合的是（）A．所有的长方形B．方程2x−1=0的整数解C．我国较长的河流D．出席十九届四中全会的全体中央委员4、下列判断正确的个数为（）（1）所有的等边三角形构成一个集合；（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；（3）质数的全体构成一个集合；（4）由6，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．A．1 B．2 C．3 D．45、已知集合A中的元素为a+2,a2+2，若3∈A，则实数a的值为（）A．1或−1B．1 C．−1D．−1或06、下列关系中，正确的个数为（）∈Q；③0=∅；④0∉N；⑤π∈Q；⑥−3∈Z.①√5∈R；②13A．6 B．5 C．4 D．3∈N, x∈N，则集合A中的元素为______________．7、集合A中的元素x满足63−x∈A．8、设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则11−x（1）若2∈A，则A中至少还有几个元素？（2）集合A是否为双元素集合？请说明理由．，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中（3）若A中元素个数不超过8，所有元素的和为143的元素．。
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1.1.1集合的概念
【教学目标】
1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.
2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.
【教学重难点】
教学重点:集合的基本概念与表示方法.
教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.
【教学过程】
一、导入新课
军训前学校通知:8月15日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合.
二、提出问题
①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”
②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？
③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.
④如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a表示高一(3)班的一位同学,b是高一
(4)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？
⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？
⑥世界上的高山能不能构成一个集合？
⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？
⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？
⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？
⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？
讨论结果：
①能.
②能.
③我们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的总体叫“集合”.
④a是集合A的元素,b不是集合A的元素.学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于.
⑤能,是珠穆朗玛峰.
⑥不能.
⑦确定性.给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.
⑧3个.
⑨互异性.一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是
集合的互异性. ⑩集合M 和N 相同.这说明集合中的元素具有无序性,即集合中的元素是没有顺序的.可以发现:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的. 结论： 1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A ，B ，C ，D ，… 集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a ，b ，c ，d ，… 2、元素与集合的关系 a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ， 记作 a ∈A ， a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ， 记作 a A 3、集合的中元素的三个特性： （1）.元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
（2.）元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
比如：book 中的字母构成的集合 （3）.元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、阅读课本P 3中:数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号. 活动：先让学生阅读课本,教师指定学生展示结果.学生写出常用数集的记号后,教师强调:通常情况下,大写的英文字母N 、Z 、Q 、R 不能再表示其他的集合,这是专用集合表示符号,.以后,我们会经常用到这些常见的数集,要求熟练掌握. 结论： 常见数集的专用符号. N :非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合); N *或N +:正整数集(非负整数集N 内排除0的集合); Z:整数集(全体整数的集合); Q:有理数集(全体有理数的集合); R:实数集(全体实数的集合). 三、 例题 例题1.下列各组对象不能组成集合的是( ) A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数y=x 1图象上所有的点 分析：学生先思考、讨论集合元素的性质,教师指导学生此类选择题要逐项判断.判断一组对象能否构成集合,关键是看是否满足集合元素的确定性. 在选项A 、C 、D 中的元素符合集合的确定性;而选项B 中,难题没有标准,不符合集合元素的确定性,不能构成集合. 答案：B 变式训练1
1.下列条件能形成集合的是( D ) A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人 C.中国的富翁 D.某公司的全体员工 例题2．下列结论中，不正确的是( ) A.若a ∈N ，则-a ∉N B.若a ∈Z ，则a 2∈Z C.若a ∈Q ，则｜a ｜∈Q D.若a ∈R ，则R a ∈3 分析：(1)元素与集合的关系及其符号表示;(2)特殊集合的表示方法; 答案：A 变式训练2判断下面说法是否正确、正确的在( )内填“√”，错误的填“×” (1)所有在N 中的元素都在N *中（ × ） (2)所有在N 中的元素都在Ｚ中( √ ) (3)所有不在N *中的数都不在Z 中（ ×） (4)所有不在Q 中的实数都在R 中（√ ） (5)由既在R 中又在N *中的数组成的集合中一定包含数0（ ×） (6)不在N 中的数不能使方程4x ＝8成立（ √ ） 四、课堂小结 1、集合的概念 2、集合元素的三个特征，其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的. “集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的. 3、常见数集的专用符号. 【板书设计】 一、 集合概念 1. 定义
2. 三要素 二、常用集合 三、典型例题 例1： 例2： 【作业布置】预习下一节学案。