向量组及线性组合

制作人：杨寿渊
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1.1 导入
例2.设
1
1
1
2
2
1
2
2
1
3
1
3
1 4
0
1
0
，
3
1
试问能否由向量组A :1,2,3线性表示？
1 1 1 1 1 1 1 1
解：( A
|
)
1
2
1
0
r2 r1
0 r3 2r1
1
2 1
2 1 4 3 0 r4 2r1 1 2 1
i 0 1 0 2 1i 0m
制作人：杨寿渊
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1.1 导入
1 2 1 2
例1.设
1
2
,2
3
,3
1
,
5
，试问能
3
1
2 3
否由向量组A :1,2,3线性表示？
解：这个问题等价于方程
x11 x22 x33
(1)
是否有解。
而方程(1)本质上是一个线性方程组：
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物体的颜色可以用三维向量来表示：
1.1 导入
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所有颜色，均可以用 红、绿、蓝三色线性 组合得到
4/18
1.1 导入
分量全为实数的向量称为实向量；分量全为复数的向 量称为复向量.
(1,2,3, ,n)
n维实向量
(1 2i,2 3i, ,n (n 1)i)
n维复向量
第2个分量 第1个分量
第wk.baidu.com个分量
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向量的表示方法：
1.1 导入
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT ,bT , T , T 等表示，如：
aT (a1 ,a2 , ,an )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
一、向量的概念
1.1 导入
定义1 n 个有次序的数 a1, a2 , , an 所组成的数 组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量， 第i个数ai 称为第i个分量 .
在平面直角坐标系中，描述一个点的位置可以用两个实 数构成的有序实数对来表示，例如(2,5), (-1.5,6) 等， 这些都是2维向量；
在三维的空间直角坐标系中，描述一个点的位置可以用 3个实数构成的有序实数对来表示，例如(2,5，1), (-1.5,6，2) 等，这些都是3维向量；
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1.1 导入
在力学中，描述一个质点的运动状态需要6个参数： ( x, y, z, px, py, pz ),
其中x, y, z位置坐标，px , py , pz是动量坐标，这6个参 数构成一个6维的向量；
2xx1123xx22xx33
2 5
3x1 x2 2x3 3
(2)
制作人：杨寿渊
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x1 2, x2 1,
x3 2.
一般地有下列对应关系：
1.1 导入
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组.
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1.1 导入
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
T 1
T 2
A ai1 ai2
ain
T i
a
2
,b
2
,
c
4
，则a,b, c构成列
3 5 9
向量组；而 aT ,bT , cT 构成行向量组。
一个m n矩阵A可以看成是由m个n维行向量组成的行向 量组；也可以看成是由n个m维的列向量组成的列向量组。
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1.1 导入
a1 a2
aj
an
a11 a12 a1 j a1n
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
x x
L
11
22
n xn
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
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能由向量组
A : a1, a2 ,L , am 线性表示
1.1 导入
线性方程组 Ax 有解
R(A) R(A | )
定理1. 向量能由向量组 A : a1, a2,L , am线性 表示的充分必要条件是 R(A) R(A | ).
a1
a
a2
an
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注意
1.1 导入
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
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特殊向量（与矩阵类比可知）
1.1 导入
零向量 On (0,0, ,0)n
k1, k2 , , km 称为这个线性组合的系数
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定义 3
1.1 导入
给定向量组 ：1 ,2 ,m 和 b
如果存在一组数 使得
1 , 2 , , m ,
b 11 22 mm
则向量b是向量组A的一个线性组合
或向量b能由向量组A线性表示
制作人：杨寿渊
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am1
am2
amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
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二、线性组合的概念
1.1 导入
定义2. 给定向量组 ：1 ,2 ,m ，
对于任何一组实数 k1 , k2 , , km ,
表达式
k11 k22 kmm
称为向量组A的一个线性组合
负向量 (a1,a2 , ,an )
n维单位向量组（e为基本向量）
e1 (1,0, ,0), e2 (0,1, ,0), , en (0,0, ,1)
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向量组的概念：
1.1 导入
由若干个具有相同维数的行（列）向量构成一个行 （列）向量组。
1 6 1
例：设
2
3
0
1
0
1
2 1
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1 1 1 1 1 0 3 2
例 P101
1.1 导入
零向量是任一同维向量组 1，2 ，m的线性组合；
01 02 0m
（a1, a2 , ，an）T是 e1, e2， , en 的线性组合； a1e1 a2e2 anen
向量组 α1 , α2 , αm 中的任一向量 αi (1 i m)
都是该向量组 α1 , α2 , αm 的线性组合.