第5章 线性时不变系统的变换分析

群延迟
grd 1 re j e j


r 2 r cos 1 re e
j j 2
r 2 r cos 1 r 2 2r cos



周期函数： 时： 幅度达到极小值； 相位为零； 群延迟极小； 时： 幅度达到极大值
bm z m ak z k
k 0

进行因式分解：

b0 H z a0


(1 ck z 1 ) (1 d k z 1 )
k 1 k 1 N
M
c M个零点： k M个极点：0

N个零点：0 N个极点：d k
零点：M+N个 极点：M+N个
例5.2

（2）相位
（3）群延迟
上图分别为 r=0.9和3种theta值时，单一 零点的频率响应 （1）对数幅度 （2）相 位 （3）群延迟
fig5_8.m
Im
3
z平面
图解
z ck H z 1 ck z z j j e re j He j e 幅度
1
v2
v3
第5章 线性时不变系统的变换分析
5.0 引言 5.1 LTI系统的频率响应 5.2 用线性常系数差分方程表征系统的系 统函数 5.3 有理系统函数的频率响应 5.4 幅度和相位之间的关系 5.5 全通系统 5.6 最小相位系统 5.7 广义线性相位的线性系统 5.8 小结
5.0

引言
LTI的离散系统可以用下述方法表示： N N 差分方程： y(n) a x (n i) b y(n i)
相位响应的主值的计算
ARG H e j
N


M b0 ARG ARG (1 ck e j ) a0 k 1
ARG (1 d k e j ) 2r
k 1

调整到主值 范围内

另一种求法：
ARG H e

j

H I e j arctan j HR e

v1

Re


图5.9 一阶系统函数在单位圆 上求值的z平面向量r 1
H e j

v3 e j re j v1 v2 j e v1 v1
相位
H e j v3 v1 3 1 3

Im


z平面
时：

v 3 3

群延迟的求法

由连续相位求解
grd H e

j

d arg H e j d



除去主值跳变值，也可用主值或不确定相 位求解：
d arg H e j d d arg H e j d




d ARG H e j d d H e j d

H e

j

H e j H * e j



j
H e

j

2
b0 a 0

2
(1 c
k 1 N k 1
M
k
e
j
)(1 c e
* k
)
* (1 d k e j )(1 d k e j )

对数表示：
20 log 10 H e
高通 0 带通 0
带阻
0
全通
0
二、DF的性能要求（低通为例）
通带截止频率
阻带截止频率
0
通带
阻带 过渡带 平滑过渡 三、DF频响的三个参量 1、幅度平方响应
2、相位响应
3、群延迟
d (e j ) (e j ) d
它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数 时，就是表示每个频率分量的延迟相同。
逆系统和原系统零极点的关系
b0 H z a0

(1 ck z )
1
M
(1 d k z 1 )
k 1
k 1 N
b0 H i z a0
(1 d k z 1 ) (1 ck z 1 )
k 1 k 1 N
M
零点是原来的极点； 极点是原来的零点。 问题：逆系统的收敛域，（因果稳定的系 统，极点在单位圆内），逆系统的极点在 单位圆内=原系统的零点在单位圆内。这样 的系统称为最小相位系统。

Br n k Ak d knun
k 1
5.2.3有理函数的单位脉冲响应

其时域表示 hn
M N r 0
B n k A d un
r k 1 k n k
N

根据上式可以将系统分为两类： FIR: h（n）是有限长的（只有前面的有限 个累加项），没有非零极点。（例5.6， P204） IIR： h（n）是无限长的，有非零极点。 （例5.7，P205）




5.3.1 单个零点或极点的频率响应

考虑一个最简单系统（单个零点或极点）。
H z 1 ck z
He
j k
1
1 c e
j
1 re e
j
j
幅度响应

幅度响应
j j 2
1 re e
1 re j e j 1 re j e j

j j


j
表示为极坐标：
Ye
X e H e H e
H e j
Y e j X e j H e j




其中：


幅度响应（增益） j 相位响应（相移） 如果上述增益和相移是我们不需要的，则称 为幅度、相位失真。

即
g n hn* hi n n
1 H i z H z 1 j Hi e H e j


逆系统的幅度响应为原来系 统的倒数（故对数幅度为原来的负 值），相位响应和群延迟为原来的 负值。
5.2.2逆系统

不是所有的逆系统都存在，如低通滤波器 不存在逆系统。因无法恢复幅度响应为零 的频率分量。
0
dB
-10
-20
-30
0
pi/2
pi 频 率 (w)
3*pi/2
2*pi
（1）对数幅度
2
2
0
1
-2
弧度
样本
0
-4
-6
-1
r=1 r=0.9 r=0.7 r=0.5
-8
-10
-2
0
pi/2
5.2.3有理函数的单位脉冲响应

系统来自百度文库数
b0 H z a0
M N r 0
(1 ck z 1 ) (1 d k z 1 )
k 1 k 1 N
M

部分是展开 H(z)
其时域表示 hn
BZ
r
k
Ak 1 d k Z 1 k 1
N
N
M N r 0

（p201）
5.2.1 系统的稳定性因果性

稳定性:收敛域包含单位圆； 因果性：右边序列（收敛域）；
例题5.3 （p202）

5.2.2逆系统

系统与其逆系统级联后，总的系统响应为1。
Gz H z H i z 1 Y e j X e j H e j



i 0
i

i 0
i
变换表示：
Y z X z H z
Y e j X e j H e j
j z e j
X e X z
方便分析 能够反映频域特性 先进行z变换分析，然后 利用下式变换到频域
5.1
LTI系统的频率响应
Y e j X e j H e j
5.3 有理系统函数的频率响应 M bm z m (1 c b m 0
M
H z
a
k 0 M
N
H z
z 1 ) k
0
k
z
k
a0
(1 d k z 1 )
k 1
k 1 N

对稳定的LTI系统
H e

j

b
k 0 N k 0
me
jk
a k e j k
H e

j

b0 a0
(1 ck e j ) (1 d k e j )
k 1 k 1 N
M
幅度响应
幅度平方：
H e j


b0 a0
2

k 1 k 1 N
M
(1 ck e j ) (1 d k e j )
j
j j
3
4
(a )
arg[H(e )]
j




( b)
H e

ARGH e 2r
r
arg[H(e j )]
2
1
1

为整数。
2
(c)
图5.7 (a)某一系统函数在单位圆上求值的连续相位曲线； (b)相位曲线的主值； 为得到arg[H(e j )]，需要在 (c) ARG [H(e j )]上加的2倍数





群延迟是衡量相位线性度的标准。
例5.1 衰减和群延迟的效果


对于任何一个非线性的曲线，主要分割的 足够小，每一段均可认为是线性的。 因此，对于非线性相位的系统，可以认为 在每一小段内都是线性的，每一小段对应 于一个窄带信号。即对为各窄带信号的延 迟都是相同的，每个窄带信号内包含若干 频率分量，这些频率分量定义为一组（一 群）信号。即对这一群信号的延迟是相同 的，因此定义为群延迟。

群延迟：
grd H e

j
N d d j arg(1 ck e ) arg(1 d k e j ) k 1 d k 1 d
M




相位响应的主值

arg[H(e j )]


2
记作：
ARG H e ,
2
10
1.5
5
0
1
0
0.5
-2
-5
弧度
样本
dB
0
-4
-10
-0.5
-6
-15
-1
=0 =pi/2 =pi
-8
-20
-25
0
pi/2
pi 频 率 (w)
3*pi/2
2*pi
-1.5
-10
0
pi/2
pi 频 率 (w)
3*pi/2
2*pi
0
pi/2
pi 频 率 (w)
3*pi/2
2*pi
(1）对数幅度
2



1 r 2r cos

对数表示
20log10 1 re e
j j
1 r 2 2r cos 10log10
主值相位
ARG 1 re e

j
j

r sin arctan 1 r cos
零点
极点

j
b0 20 log 10 20 log 10 1 ck e j 20 log 10 1 d k e j a0

相位响应：
H e j

N b0 M (1 ck e j ) (1 d k e j ) a0 k 1 k 1
v3
v1
3

幅度达到极小值； v Re 相位为零； 群延迟极小； 时： 幅度达到极大值 图5.10 当 ，r 1时，一阶系统函数在
2
v1
单位圆上求值的z平面。对两个不同 的值示出极点矢量v1和零点矢量v 3
响应和r的关系
10

r=1时 幅度响应 可以为0； 相位出现 跳变。 群延迟极 值。
5.1.2 相位失真和延迟

线性相位失真，带来信号的输出延时。此 类失真可以忍受。
x[n] X e j x[n nd ] e jnd X e j 对延时我们可以将其他信号也延时，从而达到系 统同步。 d (e j ) 延时的多少（群延迟）： (e j ) d
5.1.1
理想频率选择性滤波器
一、DF按频率特性分类
可分为低通、高通、带通、带阻和全通， 其特点为： （1）频率变量以数字频率 表示， ， 为模拟角频率，T为抽样时间间隔； （2）以数字抽样频率 为周期； （3）频率特性只限于 范围，这 是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的 一半。
低通 0
5.2用线性常系数差分方程表征系统的 系统函数

差分方程
Z变换
a
k 0 N k 0
N
k
y (n k ) bm x(n m)
m 0 M k
M

a z
k
Y ( z ) bm z
m 0
M
m
X ( z)

系统函数
Y ( z) H z X ( z)
m 0 N