一种新的小波阈值去噪方法

应 噪 声 的 极 值 点 ），保 留 幅 度 随 尺 度 增 加 而 增 大 的 点 （对 应 于 有 用 信 号 的 极 值 点 ）．然 后 再 由 保 留 的 模 极 大 值 点 用 交 替 投 影 法 进 行 重 构，即 可 以 达 到 去 噪 的 目 的．但是，交替投影法算法复杂，容易造成投影信号的 偏差，难以在实际应用中对信号进行实时处理［１］． １．２ 相 关 性 去 噪 算 法
图 １ ３ 种 阈 值 函 数 曲 线 图 Ｆｉｇ．１ Ｔｈｒｅｅ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅｓ
４）最小极大 方 差 阈 值 （ｍｉｎｉｍａｘｉ）产 生 一 个 最 小均方误差的极值，在 给 定 的 函 数 集 中 实 现 最 大 均
方误差最小化． 在 实 际 应 用 中 ，基 于 无 偏 似 然 估 计 和 最 大 最 小 值
法比较保守，而其他两种方法产生的阈值则过大［５］． 第３步 选择合适的阈值函数对小波系数进
更光滑的结果，但估 计 的 小 波 系 数 与 原 小 波 系 数 之
间 存 在 恒 定 的 偏 差 ［６］．本 文 采 用 的 改 进 方 法 如 下 ：
１）各 层 采 用 不 同 的 阈 值
由 文 献 ［７］可 知 ：
｜ＷＴ２ｊｘ（ｔ）｜≤ Ｋ２ｊα
（３）
其中：Ｋ 为 一 个 常 数；ｊ 为 分 解 层 数；α 为 Ｌｉｐ 指 数；
小波变换具有一 种 “集 中”的 能 力，能 将 信 号 的 能量集中到少数的 小 波 系 数 上，而 白 噪 声 在 任 何 正 交基上的变换仍然 是 白 噪 声，其 分 量 分 布 在 大 多 数 展 开 系 数 上 ．相 对 来 说 ，有 用 信 号 所 对 应 的 小 波 系 数 幅 值 较 大 ，但 数 目 较 少 ，而 噪 声 对 应 的 小 波 系 数 是 一 致分布的，个数较 多，但 幅 值 小．基 于 这 一 特 点，Ｄｏ－ ｎｏｈｏ等人提出硬阈值和软阈值去噪方法，即在 众 多 小 波 系 数 中 ，把 绝 对 值 较 小 的 系 数 置 为 零 ，而 让 绝 对 值 较 大 的 系 数 保 留 或 收 缩 ，得 到 估 计 小 波 系 数 ，然 后
过 多 的 噪 声 分 量 ；如 果 阈 值 太 大 ，那 么 将 会 丢 失 信 号
的 一 部 分 有 用 信 息 ，从 而 造 成 小 波 系 数 重 构 后 的 信
号 失 真 ．常 用 的 阈 值 选 择 方 案 有 ４ 种 ： １）基 于 无 偏 似 然 估 计 的 软 阈 值 估 计 （ｒｉｇｓｕｒｅ），
由文献［８］可知，白噪声的 Ｌｉｐ指数满足式（４）：
α
＝－
１ ２
－ε，ε ＞
０
（４）
由 式 （３）和 式 （４）可 知
槡２２ｍａｘ｛｜ＷＴ２ｊｘｎ（ｔ）｜｝＞ ｍａｘ｛｜ＷＴ２ｊ＋１ ｘｎ（ｔ）｜｝
（５） 其中：ＷＴ２ｊｘｎ（ｔ）为噪声对应的第ｊ 层 小 波 系 数，由 式 （５）可 知 噪 声 对 应 的 第ｊ＋１层 小 波 系 数 的 最 大 值
（兰州交通大学 自动化与电气工程学院，甘肃 兰州 ７３００７０）
摘 要：介绍了相关去噪、模极大值去噪和小波阈值去噪３种传统的去噪方法的 原 理，分 析 了 小 波 阈 值 去 噪 方 法 的 缺点．提出了新的阀值确定方法，并应用一种新的小波阈值函数 处 理 小 波 系 数 实 现 去 噪 ．最 后，用 Ｍａｔｌａｂ仿 真 软 件 对 新 的 小 波 阀 值 去 噪 方 法 进 行 了 验 证 ，仿 真 结 果 表 明 新 阈 值 去 噪 算 法 的 优 越 性 和 有 效 性 ． 关 键 词 ：小 波 去 噪 ；阈 值 ；阈 值 函 数 ；模 极 大 值 中 图 分 类 号 ：ＴＮ９１１．４ 文 献 标 志 码 ：Ａ
尖 峰 ，但 因 为 在 函 数 中 小 波 系 数 减 去 了 一 个 常 数 ，从
而使得处理后的小波系数与原小波系数存在恒定的
偏 差 ，降 低 了 去 噪 效 果 ．本 论 文 采 用 一 种 新 的 阈 值 函
数，以消除这一恒定偏差，即 将 式（２）中 的 常 数λ 换
为一个随小波系数ｄｉ 的变化而连续变化的量ｔ，使ｔ 在阈值点处 的 值 为λ，并 且 随 着 ｄｉ 绝 对 值 的 增 大 而 迅 速 减 小 ．阈 值 函 数 如 下 ：
在 实 际 应 用 中 ，由 于 各 种 复 杂 的 现 场 原 因 ，接 收 到的信号总是夹杂 着 噪 声，大 大 降 低 了 信 号 的 有 效 性 ，甚 至 会 使 它 们 失 效 ，因 此 去 噪 是 信 号 处 理 中 一 个 尤为重要的问题．传 统 的 去 噪 方 法 是 依 据 对 含 噪 信 号 的 频 谱 分 析 ，对 信 号 直 接 进 行 低 通 或 带 通 滤 波 ．虽 然 这 种 方 法 简 单 ，易 于 实 现 ，但 它 不 能 滤 除 有 效 频 带 内的噪声，并且滤 波 器 带 宽 的 选 择 与 高 分 辨 率 是 相 矛盾的．小波分析提 供 了 一 种 自 适 应 的 时 域 和 频 域 同时局部化的多分 辨 率 分 析 方 法，可 以 很 好 的 刻 画 信号的非平稳特性．根 据 噪 声 和 信 号 的 小 波 系 数 在 小 波 分 解 尺 度 上 具 有 不 同 的 特 性 ，构 造 相 应 的 规 则 ， 在小波域采用适当的方法对含噪信号的小波系数进 行处理．近年来，随 着 对 小 波 去 噪 算 法 的 深 入 研 究， 小波去噪方法也丰 富 起 来．目 前 比 较 常 用 的 小 波 除 噪 方 法 有 ：模 极 大 值 去 噪 算 法．
２ 一种新的小波阈值去噪方法
小 波 阈 值 算 法 比 较 简 单 ，运 算 量 小 ，因 此 在 信 号
去噪方面得到了广泛 的 应 用．但 是 这 种 方 法 还 存 在 以下两种不足：① 白噪声信号的 模 极 大 值 随 着 分 解 层数的增大而减小，对 不 同 的 分 解 层 数 采 用 相 同 的
首先得到一个给定 阈 值 的 风 险 估 计，之 后 选 择 风 险
最小的阈值作为最终选择． ２）长 度 对 数 阈 值 （ｓｑｔｗｏｌｏｇ）计 算 公 式 为λ ＝σ
槡２ｌｏｇＮ，其中：σ为信噪比；Ｎ 为信号长度．
３）启 发 式 ＳＵＲＥ 阈 值 （ｈｅｕｒｓｕｒｅ）是 前 两 种 阈 值的综合．
第 ３１ 卷 第 ３ 期 ２０１２ 年 ６ 月
兰州交通大学学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌａｎｚｈｏｕ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
文 章 编 号 ：１００１－４３７３（２０１２）０３－０１２０－０５
Ｖｏｌ．３１ Ｎｏ．３ Ｊｕｎｅ ２０１２
一种新的小波阈值去噪方法＊
许文博 ， 武晓春， 邢建平
相关 性 去 噪 算 法 是 根 据 信 号 经 小 波 变 换 后，其 小波系数在各尺度 上 有 较 强 的 相 关 性，尤 其 是 在 信 号 的 边 缘 附 近 ，其 相 关 性 更 加 明 显 ，而 噪 声 对 应 的 小 波系数在各尺度间却没有这种明显的相关性来去噪 的．在尺度空间上的 相 关 运 算 能 使 噪 声 的 幅 值 大 为 减 小 ，从 而 抑 制 了 噪 声 和 小 的 边 缘 ，增 强 了 信 号 的 主 要边缘，更好地刻 画 了 原 始 信 号．并 且 在 小 尺 度 上， 这种作用明显大于 在 大 尺 度 上 的 作 用．由 于 噪 声 能 量主要是分布在小 尺 度 上，因 而 这 种 随 尺 度 增 大 而 作 用 强 度 递 减 的 性 质 ，恰 好 滤 除 了 噪 声 ，很 好 的 保 留 了有用信号 ． ［２］ １．３ 小 波 阈 值 去 噪 算 法
行阈值处理． 常用的阈值函数有以下两种：
硬阈值法：
｛ｄｉ， ｜ｄｉ｜λ；
ｄｉ ＝ ０，
｜ｄｉ｜＜λ．
软阈值法：
（１）
｛ ｄｉ ＝
ｓｇｎ（ｄｉ）（｜ｄｉ｜－λ）， ｜ｄｉ｜≥λ；
０，
｜ｄｉ｜＜λ．
（２）
第４步 小波重构：根据阈值化处理后的高频
小波系数以及未处理的低频小波系数进行离散小波
反变换重构信号．
｛ ＾ｄｉ ＝
ｓｇｎ（ｄｉ）（｜ｄｉ｜－ｔ）， ０，
｜ｄｉ｜≥λ；（６） ｜ｄｉ｜＜λ．
其
中
：ｔ＝
λ ｅｘｐ（｜ｄｉＮ｜－λ）
式中：Ｎ 为一个正常 数；ｄｉ 为 处 理 前 的 小 波 系 数；＾ｄｉ
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兰州交通大学学报
第 ３１ 卷
为处理后的小波系数．该 阈 值 函 数 和 软 阈 值 函 数 一 样具有连续性，而且当｜ｄｉ｜≥λ 时，函 数 是 高 阶 可 导的，并且 随 着 系 数 ｄｉ 的 增 大，ｔ的 值 逐 渐 减 小，使 得处理后的小波系数与原小波系数更接近．当 Ｎ 取 值很大时．ｔ的值随ｄｉ 的变化缓慢，新阈值函数 相 似 于 软阈值函数；当 Ｎ 趋近于０时，ｔ的值随ｄｉ 的变化 迅速，新阈值函数相似 于 硬 阈 值 函 数．因 此，可 通 过 调节 Ｎ 的大小来改善去噪结果，当去噪后的信号不 够光滑或存在尖峰时，则增大 Ｎ 的值；相反，当去噪 结果过于光滑而丢失 了 过 多 的 细 节 信 息 时，则 减 小 Ｎ 的值．
１ 经 典 的 小 波 算 法
１．１ 模 极 大 值 去 噪 算 法 模极大值去噪算法是根据信号和噪声在多尺度
空间上小波变换系数的模极值传播规律的不同而发 展起来的一种去噪 算 法．理 论 上 只 要 信 号 与 噪 声 的 奇 异 性 有 差 异 ，就 能 产 生 很 好 的 去 噪 效 果 ．一 般 信 号 小波系数的模极大值将随着小波分解层数的增大而 增 大 ；而 对 于 白 噪 声 信 号 ，其 模 值 随 着 分 解 层 数 的 增 大 而 减 小 ．因 此 ，观 察 不 同 尺 度 间 小 波 变 换 模 极 大 值 变 化 的 规 律 ，去 除 幅 度 随 尺 度 的 增 加 而 减 小 的 点 （对