人教版数学九年级圆的基本概念和性质—知识讲解(提高)
九年级圆的全部知识点归纳
九年级圆的全部知识点归纳圆是几何学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
在九年级的学习中，我们需要对圆的相关知识进行全面的了解，包括定义、性质、定理等方面。
本文将对九年级学习中的圆相关知识点进行归纳总结。
一、定义与基本术语1. 圆：由平面上到定点的距离相等的所有点的轨迹称为圆。
2. 圆心：圆上所有点到圆心的距离相等，圆心是圆的中心点。
3. 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段称为半径，用字母r 表示。
4. 直径：通过圆心并且两端点都在圆上的线段称为直径，直径的长度等于半径的两倍。
5. 弧：圆上的两点间的部分称为弧。
6. 弦：圆上任意两点之间的线段称为弦。
二、圆的性质与定理1. 弧长公式：在圆心角相等的情况下，弧长和半径的乘积是相等的。
即L = rθ，其中L为弧长，r为半径，θ为对应的圆心角的度数。
2. 弧度制：1个圆周角对应的弧长等于圆周长的2π，使用弧度制时，1个圆周角对应的弧长等于半径的2π，即1圆周角= 2π弧度。
3. 弦弧定理：在圆上，相等弧所对应的弦相等，弦所对应的弧相等。
4. 弦切定理：一条弦上的两个切线所截的弧相等。
5. 切线与半径的关系：切线与半径的垂直分离定理，切线切圆的点与圆心连线垂直。
三、圆的重要定理与推论1. 中心角定理：圆上的中心角的度数等于它所对应的弧的度数。
2. 弧度的定义与利用：弧度是角度制的单位，通过弧长和半径之间的比值得到。
利用弧度可以简便地描述与计算圆的相关问题。
3. 圆周角定理：圆周角的度数等于360度，对应的弧度等于2π。
4. 平行弦定理：平行弦所对应的圆心角相等。
5. 弦割定理：当两条弦交于圆的内部一点时，各自所对应的弧之积相等。
四、圆的应用圆具有广泛的应用价值，在日常生活中有很多应用场景。
比如在建筑领域，圆经常用于设计弧形的拱门、圆顶等；在工程测量中，圆常被用于测量水井、桥梁等的半径；在电子工程中，圆被运用于制作集成电路的微缩线路等。
总结：通过本文对九年级学习中的圆相关知识点进行归纳总结，我们了解了圆的定义与基本术语、性质与定理以及应用。
九年级圆所有知识点讲解
九年级圆所有知识点讲解圆是几何学中的一个重要概念，广泛应用于数学以及日常生活中。
在九年级的数学课程中，我们学习了许多与圆相关的知识点，包括圆的定义、圆的性质、圆的方程、弧长和扇形面积等。
本文将对这些知识点进行逐一讲解，帮助同学们深入理解圆。
一、圆的定义圆是指平面上到定点的距离恒定的一组点的集合。
其中，定点称为圆心，距离称为半径。
记作圆O，圆心为O，半径为r。
二、圆的性质1. 圆上任意两点到圆心的距离相等。
2. 圆的半径相等的两个或多个圆是同心圆。
3. 圆的半径垂直于圆上的切线。
4. 圆的直径是圆上任意两点的最大距离，且等于两倍的半径。
5. 圆的切线垂直于半径。
三、圆的方程1. 利用圆心和半径表示圆的方程：圆的方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
2. 利用直线与圆的方程表示圆的方程：若直线y = kx + c与圆(x - a)² + (y - b)² = r²有两个相交点，则k² + 1 ≠ 0，并且满足：(1) 4b²(k² + 1) - 4(ac + b² - r²)(k² + 1) > 0；(2) b - ka - c ≠ 0。
四、弧长和扇形面积1. 弧长：弧长是指圆上的一段弧的长度。
弧长与圆心角度数的关系是：弧长 = 圆周长 × (圆心角度数 / 360°)。
2. 扇形面积：扇形是指由圆心和圆上弧所围成的图形。
扇形面积与圆心角度数的关系是：扇形面积 = 圆的面积 × (圆心角度数 / 360°)。
通过以上对九年级圆的知识点的讲解，希望同学们能够对圆的定义、性质、方程以及弧长和扇形面积等方面有更深入的理解。
掌握这些知识点，对于解决与圆相关的数学问题将会更加得心应手。
人教版九年级圆章节知识点
人教版九年级圆章节知识点圆是几何学中一个重要的概念，它的研究内容丰富多样，包括圆的定义、性质、定理等。
在九年级数学教材中，圆章节是一个重点和难点，本文将对人教版九年级圆章节的知识点进行详细讲解。
一、圆的基本概念1. 定义：平面上距离固定点（圆心）距离相等的所有点构成的图形称为圆。
2. 要素：圆心、半径、直径。
- 圆心：圆的中心点，用大写字母O表示。
- 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示。
- 直径：连接圆上任意两点并经过圆心的线段，直径是半径的两倍，用字母d表示。
二、圆的性质和定理1. 圆的性质：- 圆上任意两点之间的线段都是半径。
- 圆上任意一点到圆心的距离都相等，等于半径的长度。
- 圆的直径是圆上任意两点的最大距离，直径是半径的两倍。
- 圆的半径垂直于半径所在的弦。
2. 圆的定理：a. 弧的性质：- 圆的任意弧所对的圆心角相等。
- 圆上任意两点的弦所对的圆心角相等。
- 两条弦所夹的圆心角等于它们所夹的两个弧所对的圆心角之和。
b. 切线与弦的性质：- 从同一圆外一点引向圆的两条切线相等。
- 切线与半径垂直。
c. 同弧或同圆心角所对的弧相等。
三、圆的计算1. 周长：圆的周长等于圆的直径乘以π，其中π取近似值3.14或22/7。
周长 = 直径× π = 2 × 半径× π。
2. 面积：圆的面积等于圆的半径平方乘以π，其中π取近似值3.14或22/7。
面积 = 半径 ×半径× π = 半径的平方× π。
四、圆的应用1. 圆在几何图形中的运用，如圆的切线问题、圆与三角形、四边形的关系等。
2. 圆的运动学应用，如汽车轮胎的旋转、摩天轮的运动等。
3. 圆的工程应用，如建筑物的圆形设计、电子设备的圆形面板等。
总结：通过对人教版九年级圆章节的学习，我们了解了圆的基本概念、性质和定理，学会了圆的计算方法，并了解了圆在几何学、运动学和工程学中的应用。
九年级数学圆的基本概念知识精讲
初三数学圆的基本概念【本讲主要内容】圆的基本概念【知识掌握】【知识点精析】1. 主要内容：圆的定义：集合概念相关概念：圆心、半径、弦、直径、弧、圆心角与圆周角重要性质：圆心角与圆周角的性质2. 重点、难点的理解与突破（1）圆的定义的引入：如图，取一根细绳拉直后卡住两端。
在一个平面内，一端点O固定，另一端点P绕着点O旋转一周，所形成的图形就是圆。
得出：平面内到定点的距离等于定长的所有的点组成的图形叫圆。
如图所示：定点O称为圆心，定长OP称为半径以O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”。
进一步得到：①圆上任意一点到定点的距离都等于定长；②到定点的距离等于定长的点都在这个圆上。
即：在平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
注意：★“圆”是平面图形，定义中要强调条件“在平面内”。
★“圆”指的是“圆周”而不是“圆面”。
★半径是线段，为方便起见，通常将半径的长也称为半径。
★对于圆的集合概念的理解，可以类比前面所学的角平分线是到角两边距离相等的点的集合和线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合。
进行类比，加强联想，形成认知。
（2）有关圆中“弧”的认识：①弧是圆上任意两点之间的部分，弧指的是圆弧，简称弧。
它是圆的一部分。
②弧的分类：弧特殊的弧——半圆任意的弧劣弧优弧⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪ 如图：C若BC 为⊙O 直径，则：<1>弧BAC 为半圆；<2>弧AB 或弧AC 为劣弧； <3>弧ACB 或弧ABC 为优弧。
优弧需三个字母表示。
③等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。
特别注意：等弧存在的条件⇒互相重合。
（3）弦：联结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫直径。
特别强调：直径是最大的弦。
直径是弦，但弦不一定是直径。
例 1. 一个点与定圆上最近点的距离为4cm ，与最远点的距离为10cm ，则圆的半径是___________。
答案：3cm 或7cm （4）与圆相关的角①圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
人教版九年级上册第24章圆的有关性质知识点课件
A. 8
B. 10
C. 4 3
D. 4 5
A
垂径定理
勾股定理
5O
B 4D
C
【巩固】
1. 下列说法不正确的是（ C ） A. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B. 圆有无数条对称轴 C. 圆的每一条直径都是它的对称轴 D. 圆的对称中心是它的圆心
【巩固】 2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则 AE的长为（ A）
劣弧： 小于半圆的弧叫做劣弧．如 BC . 优弧： 大于半圆的弧叫优弧．用三个字母表示，如 ABC . 等圆： 能够重合的两个圆叫做等圆. 容易看出：半径相等的两个圆叫做等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等.
等弧： 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点 C 为圆心、CB 长 为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D，则 AC 的长为_____5__3_______.
B
C
A
O
D
【巩固】
1. 如图，在⊙O 中，∠AOB＝∠COD，那么AC 和 BD 的大小关系是（C ）
A. AC ＞ BD C. AC ＝ BD
B. AC ＜ BD
D. 无法确定
C D
B A
O
【巩固】 2. 如图，C是⊙O上的点，CD⊥OA于点 D，CE⊥OB于点 E，且CD＝CE， 则 AC 与 BC 的关系是（A ）
直角三角形斜边上的中线的性质
同一个圆中的所有半径都相等， “连半径”是常用的辅助线
C
B
D
A
【巩固】 1. 如图，AB是⊙O的直径，点 C 在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA 的度 数是（ A）
九年级上学期圆的知识点讲解
九年级上学期圆的知识点讲解九年级上学期，数学课程涉及到了很多关于圆的知识点。
圆作为几何图形中的一种，具有独特的性质和特点。
本文将针对九年级上学期圆的知识点进行讲解，帮助同学们更好地理解和掌握这些内容。
一、圆的定义和性质圆是由一个平面上距离固定点（圆心）相等的所有点组成的集合。
圆心到圆上任意一点的距离称为半径，记作r。
围绕圆心做的线段，称为弧。
弧的长度与半径之间存在着关系，即弧长等于半径与所对应的圆心角的度数之积。
圆的直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，长度等于两倍的半径。
圆的周长是圆上所有弧长的总和，记作C。
圆的面积是圆内部的所有点组成的区域，记作A。
二、圆的公式与计算1. 周长公式圆的周长可以通过半径或直径进行计算。
当已知半径r时，周长公式为：C = 2πr；当已知直径d时，周长公式为：C = πd。
2. 面积公式圆的面积计算可以通过半径或直径进行。
当已知半径r时，面积公式为：A = πr²；当已知直径d时，面积公式为：A = 1/4πd²。
3. 弧长计算已知圆的半径r和圆心角的度数θ时，弧长计算公式为：L = 2πr(θ/360°)。
4. 扇形面积计算已知圆的半径r和圆心角的度数θ时，扇形面积计算公式为：A = 1/2r²(θ/180°)。
三、圆相关概念1. 切线切线是与圆只有一个交点的直线。
切线与半径的交点处垂直，且半径被切线截断的两部分相等。
2. 弦弦是圆上的两点之间的线段。
弦所对应的圆心角与其所在弧所对应的圆心角相等。
3. 弧度弧度是衡量角度大小的单位，用弧长相等的圆弧所对应的圆心角来定义。
一圆周的弧度数为2π。
四、扇形与三角形的关系当一个扇形的圆心角等于360°时，它就是一个半圆。
我们可以将半圆看作一个直角三角形，其中弧所对应的弦就是直角边，半径就是斜边，并应用勾股定理来求解问题。
五、圆的判定1. 判断定点是否在圆上已知圆心O和点A，判断点A是否在圆上的方法是计算OA的长度是否等于圆的半径。
九年级数学圆这一章知识点
九年级数学圆这一章知识点数学是一门实用的学科，其中的几何学更是贯穿在我们日常生活中。
而在几何学中，圆是一个重要的图形，它有着广泛的应用。
本文将为大家介绍九年级数学圆这一章的知识点，帮助大家更好地理解和掌握。
一、圆的定义和性质圆是由平面上到一定点的距离都相等的点的轨迹，常用字母O表示圆心，字母r表示半径。
圆的性质包括：1. 圆心角：指的是以圆心为顶点的角，在圆上的弧所对的圆心角是不变的。
2. 弧和弦：弧是圆上的一段曲线，弦是圆上连接两点的线段。
3. 弦长公式：弦长等于半径长度乘以圆心角的正弦值的两倍。
4. 切线和割线：切线是与圆只有一个交点的直线，割线是与圆有两个交点的直线。
二、圆的相关定理1. 圆的半径垂直于弦：如果半径垂直于弦，那么这条弦的中点一定在圆的直径上。
2. 在同一个圆或等圆中，弧相等的弦相等。
3. 在圆内，直径是最长的弦。
4. 圆内接四边形的内角和为360度。
5. 在圆上，相交弦的垂线互相垂直，垂直于弦的直径通过弦的中点。
三、圆的周长和面积圆的周长是指圆的边界上的长度，即所有弧长的总和。
圆的周长等于直径乘以π（pi）。
圆的面积是指圆内部的区域面积，它等于半径的平方乘以π。
四、圆锥圆锥是由一个圆与一个共面点外的一条线段组成的几何体。
圆锥的性质包括：1. 顶点到圆的距离等于顶点到圆心的距离减去顶点到底面的距离。
2. 顶点到底面的垂线是在底面上的圆的直径上的垂线。
五、圆柱圆柱是由两个平行且相等的圆与它们的公共平行面上所有的线段组成的几何体。
圆柱的性质包括：1. 侧面积等于底面周长乘以高。
2. 体积等于底面积乘以高。
六、圆锥与圆柱的应用在现实生活中，圆锥和圆柱的应用非常广泛。
例如，喷水池常常采用圆锥形状，汽车的油箱常常是圆柱形状。
通过对圆锥和圆柱的研究，可以更好地理解和应用这些几何图形。
总结：九年级数学圆这一章的知识点主要包括圆的定义和性质、圆的相关定理、圆的周长和面积、圆锥和圆柱等内容。
通过学习这些知识，我们可以更好地理解和应用圆这一重要几何图形。
九年级数学圆有关概念及知识点
九年级数学圆有关概念及知识点数学中的圆是一个基础概念，出现频率较高，且与其他几何图形有着密切的关系。
在九年级的数学课程中，我们将更深入地学习圆的相关概念和知识点。
本文将详细介绍九年级数学中与圆有关的知识。
1. 圆的定义和性质圆是平面上到一个固定点的距离等于定长的点的集合。
圆由无数个点组成，这些点都与圆心的距离相等。
在圆上选择两个点，它们与圆心的连线就是半径。
圆的直径是通过圆心的一条线段，它的长度是两个半径的长度之和。
圆的周长是所有弧长的总和，公式为C=2πr。
圆的面积是圆边界内部的区域，公式为A=πr²。
圆的性质包括：圆上的任意弧长是周长的一部分，圆内的任意两点与圆心的距离均小于半径。
2. 圆心角和圆周角圆心角是指以圆心为顶点的角，它的弧度正好是对应的弧长除以半径。
圆心角的度数等于弧度数乘以180°/π。
圆周角是指与同一圆心角对应的弧所夹的角，它等于两个圆心角的和。
圆周角的度数可以通过弧度转化公式进行计算。
3. 弧长弧长是圆上的一段弧长度，它与圆心角成正比。
当圆心角的弧度为1时，弧长等于半径，当圆心角的弧度小于1时，弧长等于圆心角的弧度乘以半径。
因此，我们可以通过弧度和半径的乘积计算弧长。
4. 切线和切线定理切线是与圆只有一个交点的直线。
与切线相切的点被称为切点。
切线定理指出，切线与切点间所构成的角是半径与切线之间的唯一角，且这个角的度数是90°。
根据切线定理可以解决一些与圆有关的几何问题。
5. 相交弧和相等弧当两个圆相交时，存在两个相交弧。
相交弧是以两个交点为端点的弧，其度数是两个圆心角的差。
当两个圆相交于一点时，存在两个相等弧。
相等弧是以相交点为端点的弧，其度数相等。
6. 弧长和面积的计算我们可以通过圆周角的计算公式来计算弧长，通过圆的面积公式来计算面积。
在实际问题中，我们需要根据已知条件使用这些公式进行计算。
例如，给定弧长和半径，可以计算圆心角；给定圆的面积，可以计算半径。
九年级上册圆的知识点讲解
九年级上册圆的知识点讲解圆的知识点讲解一、圆的定义和性质圆是指由平面上任意一点到另一点距离保持不变的点的集合。
其中，距离保持不变的点称为圆心，距离称为半径（r）。
圆的边缘称为圆周，圆周上的任意两点到圆心的距离均相等。
圆的性质包括以下几个方面：1. 圆心角：以圆心为顶点的角，其对应的弧长与圆周长的比称为圆心角的度数。
2. 弧长：圆周上的一段部分称为弧，其长度称为弧长。
3. 弦长：圆上任意两点间的线段称为弦，弦的长度称为弦长。
4. 弧度制：角度制是一种常用的度量角的方法，而弧度制是一种比较精确的度量角的方法。
弧度是以旋转角的一种特殊单位，记作“rad”。
而对于一个完整的圆而言，它的圆心角所对应的弧长就是半径的弧度数。
二、圆的重要公式1. 圆面积公式：圆的面积S等于Pi乘以半径的平方，即S = πr²。
2. 圆周长公式：圆的周长L等于Pi乘以直径d，即L = πd。
3. 圆弧长度公式：圆的弧长L等于圆心角度数θ除以360度乘以圆周长L，即L = (θ/360) × L。
三、常见圆相关术语1. 直径：通过圆心，并且两端点都在圆上的线段称为直径。
直径的两倍等于半径的长度。
2. 弦：在圆上连接两点的线段称为弦。
3. 弦分割的弧：当一条弦把圆分割成两个部分时，它所分割的两段弧称为弦分割的弧。
4. 切线：与圆相切且只与圆有一个交点的直线称为切线。
切线与半径所在的直线垂直。
5. 弧度：以半径长为1的圆所对应的弧长。
四、圆的相关定理和推论1. 圆的半径相等：圆周上的任意两个半径均相等。
2. 在圆周上，等弧对应的圆心角相等。
3. 在同一个圆中，圆心角相等的弧相等。
4. 在同一个圆中，弦相等的圆心角相等。
反之亦成立。
5. 在同一个圆中，过圆心的弦是直径。
反之亦成立。
五、应用实例1. 已知圆的半径为5cm，求圆的面积和周长。
解答：根据公式，可知圆的面积S等于πr²，圆的周长L等于πd。
代入半径r=5cm，可得圆的面积S = π × 5² = 25π cm²，圆的周长L = π × 2 × 5 = 10π cm。
九年级数学圆的知识点总结大全知识讲解
第四章：《圆》一、知识回顾圆的周长：C=2 n r或C= n d、圆的面积：S= n r2圆环面积计算方法：S=冗R2-n r2或S= n(R2-r2) (R是大圆半径，r是小圆半径)二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：至V定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点0为圆心。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。
圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：至V角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 d r点C在圆内;2、点在圆上 d r点B在圆上;3、点在圆外 d r点A在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离无交点;五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;2、直线与圆相切 有一个交点;3、直线与圆相交四、圆与圆的位置关系外离（图1）外切（图2） 无交点 有一个交点 d d R R r ； r ； 相交（图3）有两个交点 R r d 内切（图4） 有一个交点 d R r ；d r有两个交点;R无交点5）内含R(2) 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;(3) 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即:中任意2个条件推出其他3个结论。
九年级数学知识点人教版圆
九年级数学知识点人教版圆圆是数学中一个重要的几何概念，在九年级的数学课程中也是一个重点内容。
学习圆的知识，不仅可以帮助我们理解围绕圆的一系列概念和性质，还可以拓展我们的数学思维和解题能力。
本文将探讨一些九年级数学课本中关于圆的知识点，从基本概念到性质定理，帮助同学们更好地理解和应用。
一、圆的基本概念首先，我们先来了解一下圆的基本概念。
在数学中，圆是由平面上到一个固定点的距离等于常数的所有点组成的集合。
这个固定的点被称为圆心，而这个常数被称为半径。
可以简单地记作：圆的圆心O，半径为r。
二、圆的常见性质圆与其他几何图形有许多有趣的关系和性质。
以下是一些九年级数学中与圆相关的经典性质。
1. 圆上的任意两点与圆心之间的距离相等。
证明：设圆的圆心为O，半径为r，任意取圆上两点A和B。
根据圆的定义，AO = r，BO = r，所以AO = BO。
2. 圆的内切正方形的对角线和边长之间有一个关系。
证明：设正方形的边长为a，对角线的长度为d。
根据正方形的性质，可以得出d = √2a。
而根据正方形内切圆的性质，可以得出d = 2r（r为圆的半径）。
所以√2a = 2r。
3. 外接圆的性质外接圆是指可以与一个不规则图形的所有顶点相切的圆。
外接圆的圆心在三角形的外心，而外接圆的半径等于三角形两条边之积除以四倍的面积。
4. 内切圆的性质内切圆是指可以与一个图形的所有边相切的圆。
内切圆的圆心在三角形的内心，而内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。
5. 圆心角与弧度关系圆心角是指圆上任意两点与圆心构成的角度。
对于任意的圆心角θ（弧度制），它所对应的弧长S等于θ乘以半径r。
即S = rθ。
三、九年级数学中的圆相关应用在九年级数学课程中，圆的知识点不仅仅停留在基本概念和性质上，还能应用到解题中。
以下是一些九年级数学课本中常见的与圆相关的应用示例。
1. 弓形线的面积给定一个半径为r的圆和一个半径为a的扇形，我们可以通过计算弓形线的面积来讨论圆周率π的概念。
九年级数学圆知识点讲解
九年级数学圆知识点讲解九年级数学-圆知识点讲解在九年级的数学学习中，圆是一个非常重要的几何形状。
掌握了圆的相关知识，不仅能够应对九年级的考试，还能够在进一步的数学学习中打下坚实的基础。
本文将为大家讲解九年级数学中的圆知识点，希望能够帮助大家更好地学习和理解。
一、圆的基本概念圆是平面上离一个固定点距离相等的所有点的集合。
这个固定点被称为圆心，到圆心的距离被称为半径。
圆的半径用字母r表示。
二、圆的性质1. 圆是由无数个点组成的，其中任意两个点之间的距离都是半径r。
2. 圆的直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段，直径的长度是半径长度的两倍。
3. 圆的弦是圆上的任意两个点之间的线段，并且它的两端点在圆上。
弦的长度可以大于、等于或小于直径的长度。
4. 圆的弧是圆上的两个点之间的曲线部分。
弧也有所谓的弧长，弧长等于它所对应的圆心角的度数。
5. 圆的周长也叫做圆周长，它等于圆的直径乘以π（圆周率）。
记作C=2πr，其中π≈3.14159。
三、圆的相关定理1. 直径定理：如果一条线段恰好通过圆的圆心，并且两个端点都在圆上，那么这条线段就是圆的直径。
2. 弧度制和角度制：圆心角扫过的弧所对应的圆心角的弧度数等于该弧的弧长与圆的半径的比值。
一圆周角（360°）对应的弧度数等于2π。
3. 弧长定理：圆心角相同的两个弧，长的弧所对应的圆心角较大。
4. 切线定理：如果有一条直线和圆相切，那么这条直线和圆的半径在相切点处垂直。
5. 弦切角定理：当一个角的顶点在圆上，弦和切线的交点在圆外时，这个角等于它所对应的弦上的圆心角的一半。
四、九年级数学常见题型1. 计算题：求圆的周长、面积等。
2. 推理题：根据已知条件，推导出某个角度、弧长等的值。
3. 证明题：证明某个性质或定理。
4. 应用题：结合实际问题，运用圆的知识进行解题。
五、总结通过对九年级数学圆的知识点进行讲解，我们了解到了圆的基本概念、性质和相关定理，并且介绍了九年级数学中常见的圆题型。
九年级圆的所有知识点
九年级圆的所有知识点圆是几何学中的重要概念，它在我们的日常生活中无处不在。
在九年级的数学学习中，我们将学习关于圆的各种知识点。
本文将全面介绍九年级圆的所有知识点，包括圆的定义、性质、常见公式以及应用等内容。
一、圆的定义及性质圆是由平面上所有到定点的距离都相等的点构成的集合。
圆由圆心和半径来确定，圆心是圆上任何一点到定点的距离都相等，半径则是圆心到圆上任何一点的距离。
圆的性质包括：1. 圆上任意两点之间的线段都是弦，而直径是一条通过圆心且两端点在圆上的弦，它将圆分为两个相等的半圆。
2. 圆上任意一条弦都可作为直径，且直径的长度是半圆周长的两倍。
3. 圆上每个点到圆心的距离都相等，这个距离就是半径，圆周上所有点到圆心的距离都等于半径的长度。
4. 圆周上的一个角，其对应的弧所对应的圆心角相等，即圆心角的度数等于弧度数。
5. 切线与半径的垂直性质：一条切线与通过切点的半径垂直相交。
二、圆的周长和面积公式1. 周长公式：圆的周长等于直径的长度乘以π（圆周率）。
周长 = 直径× π 或者周长 = 2 ×半径× π。
2. 面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π。
面积 = 半径² × π 或者面积 = （直径/2）² × π。
三、圆的应用圆不仅仅在数学中有着重要的地位，它也广泛应用于生活和其他学科中。
以下是圆的一些常见应用：1. 几何设计：圆形是设计中最基本的形状之一，它常常被用来表达和传达各种美学和构图原则。
2. 圆形建筑：许多建筑物采用圆形设计，如剧院、圆形体育场等，这样可以使观众坐在任何位置上都能获得更好的视觉体验。
3. 圆形运动：许多体育运动中都有圆形运动的要素，例如足球、篮球等球类运动，球场也常常是圆形或半圆形的。
4. 圆的应用于物理学中的轨迹：圆形轨迹出现在一些著名的物理学定律中，如牛顿的万有引力定律中行星的椭圆轨道。
综上所述，九年级圆的知识点包括了圆的定义、性质、周长和面积公式以及常见应用等方面。
九年级圆的知识点概念
九年级圆的知识点概念在九年级数学学习中，圆是一个重要的几何形状。
本文将对九年级圆的知识点和概念进行介绍和解析。
一、圆的定义与性质圆是由平面上与一定点的距离等于定长的点构成的集合。
该定长称为圆的半径，圆心是距离圆上任意点距离等于半径的点。
圆上的每个点与圆心的距离都相等。
圆的性质如下：1. 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，它等于圆的半径长度的2倍。
2. 圆的周长是圆上一条完整的线段，它的长度等于2π乘以圆的半径。
3. 圆的面积是圆内部的所有点构成的区域的大小，它等于π乘以圆的半径的平方。
二、圆的图形表示在平面直角坐标系中表示一个圆，可以用圆心坐标和半径来确定。
例如，圆心坐标为（a，b），半径为r的圆可以表示为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(x, y)表示平面上的一个点。
三、角与圆的关系1. 弧度制和角度制：在圆中，角通常用弧度制和角度制来衡量。
弧度制是以圆心为顶点的角所对应的圆心角所对应弧长的直径与圆的周长之比，即1弧度等于圆的周长的1/2π。
角度制是将圆分为360等份，一个直角等于90度。
2. 弧度与角度的转换公式：1°= π/180弧度1弧度= 180/π°≈57.3°四、圆的重要定理1. 圆的切线定理：在平面几何中，如果一条直线与一个圆相交，并且与这个圆接触于一个点，则该直线是这个圆的切线。
2. 弦切角定理：如果一条切线与圆的一条弦相交，那么这两条切线的切点所对的直角与这条弦所对的圆心角是相等的。
3. 切弦角定理：如果一条直线与一个圆相交，切点处的切线与切点外部的一条弦相交，那么这两条切线的切点连线所对的圆心角是这条弦所对的圆心角的一半。
五、圆的应用领域圆的几何形状在实际生活中得到了广泛应用，比如：1. 圆的运动轨迹：天体在行星运动中它们所绕行的轨道是椭圆，而在中心力场中运动的物体所绕行的轨迹是圆或者是近似圆的。
2. 圆的建筑设计：建筑物中的柱子、圆形驳岸等多用到了圆形的结构。
九年级数学人教版圆知识点
九年级数学人教版圆知识点圆是九年级数学中重要的知识点之一，它涉及到很多基础概念和重要定理。
通过对圆的学习，不仅可以提升学生的数学能力，还可以培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
本文将围绕圆的概念、性质和应用展开讨论，帮助学生更好地理解和运用圆的知识。
一、圆的定义和构造在数学中，圆是一个非常基本的几何图形。
它的定义是：平面上距离某一定点（称为圆心）相等的所有点构成的图形。
圆可以由圆心和半径来唯一确定，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
为了更好地理解圆，我们可以通过构造的方式来认识它。
首先，用一个定点作为圆心，在平面上画出这个定点到任意一点的线段，然后以这个线段的长度作为半径，在线段的两个端点上分别画出两个圆，连接两个圆的交点，就可以得到一个圆。
这种方法被称为圆的构造。
二、圆的重要性质圆作为一个特殊的几何图形，具有一些重要的性质。
首先，圆的所有点到圆心的距离都相等，这个距离就是半径。
其次，圆上任意两点与圆心的距离都相等。
同时，圆的直径是圆上任意两点间的最长距离，它等于半径的两倍。
另外，圆上任意两条弦的长度乘积等于这两条弦所夹的两个弧的长度乘积。
这个性质被称为弦弧定理，是解决圆相关问题时非常重要的工具。
此外，圆与直线的关系也是圆的重要性质之一。
当直线与圆相交时，可以有三种情况：直线与圆相切、直线穿过圆并且有两个交点、直线和圆不相交。
在求解与圆有关的问题时，我们可以根据这些情况采取不同的方法和定理。
三、圆的应用圆不仅是数学中的一个抽象概念，还有很多实际应用。
在几何学中，许多图形和定理都与圆相关。
例如，正多边形内切圆和外接圆的性质，可以通过圆的知识来解决。
此外，圆也是工程学、建筑学等领域中的重要元素。
在设计和建造桥梁、建筑物等工程项目时，圆的性质和应用经常被用到。
另外，在物理学和工程学中，圆的运动也是一个重要的研究对象。
圆的运动具有稳定性和周期性，因此在描述和分析物体的运动轨迹时，常常采用圆的模型。
例如，天体的运动、机械装置的旋转等问题都可以用圆的知识来解决。
人教版九年级圆知识点总汇
人教版九年级圆知识点总汇圆是数学中的重要概念之一，也是初中数学的基础知识之一。
本文将对人教版九年级圆的相关知识进行总汇，包括圆的定义、性质、相关定理等。
希望通过本文的学习，能够使大家对圆的概念有更深入的了解。
1. 圆的定义圆是平面上距离某一个固定点距离相等的点的集合。
这个固定点叫做圆心，距离叫做半径。
用符号“O”表示圆心，符号“r”表示半径。
2. 圆的性质（1）半径相等的两个圆是相等的。
（2）圆心到圆上任意一点的距离都相等。
（3）直径是通过圆心的一条线段，且直径的两端点都在圆上。
（4）弦是圆上的任意两点之间的线段，且两端点在圆上。
（5）弦长相等的两个弦所对应的两个圆心角相等。
（6）半径垂直于弦，且半径平分弦。
3. 圆的相关定理（1）相交弦定理：若两条弦在圆内相交，那么两条弦的乘积等于两条弦的交叉部分与弦的交叉部分的乘积。
（2）切线定理：若一条直线与圆相切，那么切线与半径的垂直关系成立。
（3）切线长度定理：切线与半径的垂直关系成立，且两条切线长度相等。
（4）切线与半径的夹角定理：切线与半径的夹角是直角。
4. 圆的常见计算（1）周长的计算：圆的周长等于直径与π的乘积，即C=πd。
（2）面积的计算：圆的面积等于半径的平方与π的乘积，即A=πr^2。
（3）扇形面积的计算：扇形的面积等于圆心角的度数占整个圆的比例乘以圆的面积，即S=θ/360° *πr^2。
5. 圆的应用圆是几何中经常使用的形状，广泛应用于生活和工程中。
例如，在建筑设计中，圆形的柱子、圆形的窗户等都常常出现。
在艺术设计中，圆形图案也经常被运用。
此外，圆的概念也用于解决一些实际问题，例如物体的旋转、圆形轨迹等。
综上所述，圆是数学中的重要概念，掌握圆的定义、性质、相关定理以及常见计算方法，对于学习几何和解决实际问题都具有重要意义。
在学习过程中，我们应该注重理论的学习，结合实际应用进行训练，不断提高对圆的认知和运用能力。
九年级圆的知识点讲解
九年级圆的知识点讲解圆是我们常见的几何形状之一，它具有独特的性质和特点。
在九年级中学习圆的知识，对于我们理解几何学的基本原理和应用是非常重要的。
本文将重点介绍九年级学生需要知道的圆的知识点，帮助大家更好地理解和应用圆的相关内容。
一、圆的定义和性质圆是平面上所有到一个点的距离都相等的点的集合。
这个点称为圆心，所有到圆心的距离称为半径。
圆的性质有以下几点：1. 圆心角和弧度：圆心角是指以圆心为顶点的角，其对应的弧度即为圆心角所对应的弧长所占圆周的比值。
2. 弦和弧：弦是圆上的两点间的线段，弧是在圆上的一段弯曲部分。
3. 圆的周长和面积：圆的周长指的是圆周上所有点的距离的总和，而圆的面积指的是圆内部的所有点所覆盖的面积。
二、相交圆的性质当两个圆相交时，它们之间存在一些特殊的性质和规律：1. 相交弦的性质：当两个圆相交时，相交弦所对应的圆心角相等。
2. 弦切线定理：如果一条直线同时切两个圆，并且这两个切点在直线同侧，那么这条直线所对应的弧长也相等。
3. 相切圆定理：如果两个圆恰好相切，那么它们的切点与圆心之间的连线是垂直的。
三、切线和割线1. 切线：切线是指与圆相切且仅有一个交点的直线。
2. 割线：割线是指与圆相交且有两个交点的直线。
切线和割线的性质有以下几点：1. 切线的切点和圆心连线垂直。
2. 割线的相交弦性质：当割线和弦相交时，相交线段所对应的弧是相等的。
四、圆的角与弧1. 圆周角：圆周角是指以圆心为顶点，端点分别在圆周上的两条线段所对应的角。
圆周角的度数等于弧的度数。
2. 弧度制：弧度是衡量角度的另一种方式，它的单位为弧长与半径的比值。
以上介绍了九年级圆的基本知识点和性质。
学好圆的相关概念和定理，不仅可以让我们更好地理解几何学的原理，还可以应用到实际问题中。
因此，希望同学们能够重视圆的学习，勤奋练习，提高自己的几何学水平。
总结：通过本文的介绍，我们了解了九年级圆的知识点讲解。
圆的定义和性质、相交圆的性质、切线和割线的性质，还有圆的角与弧的概念都是我们在九年级学习的重点内容。
人教版九年级数学上《圆》知识全解
《圆》知识全解课标要求1．理解、掌握圆的定义及其有关的概念．2．经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点与圆的三种位置关系．3．初步渗透类比和数形结合的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动、集合的观点去认识世界，解决问题．知识结构内容解析一、圆的有关概念1．圆的定义：如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以O为圆心的圆记作“”，读作“圆O”．解读：①由圆的定义可知：“圆”指的是“圆周”而不是“圆面”；②确定一个圆需要两个条件，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2．弦和直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．如图2中的直径AB和弦AC．解读：①直径都是弦，而弦不一定是直径，任何一个圆都有无数条弦，无数条直径；②直径是圆中最长的弦，直径的长度是半径的2倍．3．弧和半圆：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示．如图2，以A、C为端点的弧记作“，读作“圆弧AC”或“弧AC”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如图2中的半圆ACB；小于半圆的弧（如图2中的BC）叫做劣弧，大于半圆的弧（如图2中的BAC）叫做优弧．解读：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②劣弧用“⌒”和弧两端的字母表示，优弧用“⌒”和弧中间的三个字母表示；③弦与弧的区别在于弦是指圆上两点间的线段，而弧是指圆上两点间的部分．二、圆的对称性1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，或经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．2．圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为圆心，因此圆又是中心对称图形．解读：①圆的对称轴有无数条；②由于直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”；③圆的旋转不变性使它具有其他中心对称图形所没有的性质．重点难点本节的重点是：理解圆的定义及其有关的概念，并学会判断点与圆的位置关系；教学重点的解决方法：从游戏引入点与圆的位置关系的探究，变枯燥为丰富，变无味为有味，变无趣为有趣．课堂教学的主体过程中利用问题串的形式从点在圆上这种特殊情况入手过渡到点在圆内和圆外的一般情况，突出了本节课的重点，由易到难、由浅入深，由特殊到一般，循序渐进地引导学生思考、讨论进而得出相关结论，符合学生的认知特点．在圆的集合概念部分，由一个点在圆上的问题探究到无数个点在圆上的问题，自然而然地得出了圆的集合概念，分化了教学难点，真正达到了教学目标中提出的通过观察、操作、猜想、交流等活动培养学生动手、动口，动脑的意识和能力的要求．本节的难点是：点与圆的三种位置关系的确定，圆的集合定义的理解，及弦、弧的区分．教学难点的解决方法：关注到基本概念的巩固又注重知识的提炼及数学思想方法的渗透，让学生的思维跟随着问题的层层深入和推进碰撞出激情和火花，进而内化为自身的能力和素养．教法导引笔者试图通过若干“画圆”活动，加深学生对圆的两个要素的感受，让学生经历探索点与圆的位置关系的过程；笔者试图在本课中，以生动情境引发思考，悄然无声进入“圆”的世界；借辨析探究自然渗透，豁然开朗发现“圆”的秘密．1．从操作切入．课的导入，创设“画车轮”情境，提供给学生具备思维支撑的想象空间．2．以体验为主旨本课设计关注学生的学习过程，让学生有体验数学的机会．四个活动，层层递进、步步深入，着力引导学生从具体情境中抽象出数学问题，引导学生经历问题的“数学化”过程；这样的过程，不仅是操作的过程，更重要的是操作过程背后，学生思维发展的过程，学生对“圆”的知识逐渐建构的过程．3．渗透了两种重要的数学思想：数形结合、从特殊到一般．学法建议这节圆的基本概念的教学，以学生知识经验和生活经验为基础，通过三个活动引入学习的内容，使得教学贴近学生生活，让学生体会到数学来源于实际生活．（1）以活动为主线，注重过程．这节课设计了三个有主题的活动和一个猜想验证、一个探索实践，例如探索点与圆的位置及数量关系和形成圆的集合定义开展组内及小组间的研究讨论，再总结归纳结论，学生享受了知识生成过程的快感．（2）强调学生自主探究操作，形成能力．本节课在圆的两种定义形成时是以猜、画、量、比等操作手段为主．在上课的整个过程中，努力给学生最大的探究空间，结合学案自主活动，从而感悟数学思想及方法，这也是遵循了课改方向，体现了课改精神．。
圆的基本概念和性质—知识讲解(提高)
圆的基本概念和性质—知识讲解（提高）责编：康红梅【学习目标】1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性；2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，•圆的对称性进行计算或证明；3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB ≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.【高清ID号：356996 关联的位置名称（播放点名称）：概念、性质的要点回顾】4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，求证：点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.【答案与解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OC=OB=OD，∴点A、B、C、D在以点O为圆心、OA为半径的圆上.【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.2．（2016春•海口校级月考）如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°．求∠AOC的度数．【思路点拨】连接OD，如图，由AB=2DE，AB=2OD得到OD=DE，根据等腰三角形的性质得∠DOE=∠E=20°，再利用三角形外角性质得到∠CDO=40°，加上∠C=∠ODC=40°，然后再利用三角形外角性质即可计算出∠AOC．【答案与解析】解：连接OD，如图，∵AB=2DE，而AB=2OD，∴OD=DE，∴∠DOE=∠E=20°，∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°，而OC=OD，∴∠C=∠ODC=40°，∴∠AOC=∠C+∠E=60°．【总结升华】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．类型二、圆及有关概念3．（2015秋•丹阳市校级月考）下列说法中，正确的是（）A．两个半圆是等弧B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧C．长度相等的弧是等弧D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧B B 【答案】 B.【解析】A 、两个半圆的半径不一定相等，故错误；B 、同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确；C 、长度相等的弧是等弧，错误；D 、同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧，故错误，故选B ．【总结升华】本题考查了圆的有关概念，解题的关键是了解等弧及半圆的定义、优弧与劣弧的定义等.举一反三：【变式】 （2015秋•邗江区校级月考）点A 、O 、D 与点B 、O、C 分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B.提示：由图可知，点A 、B 、E 、C 是⊙O 上的点，图中的弦有AB 、BC 、CE ，一共3条．故选B ．类型三、圆的对称性4．圆O 所在平面上的一点P 到圆O 上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？【答案与解析】如图所示,分两种情况:（1）当点P 为圆O 内一点（如图1），过点P 作圆O 的直径，分别交圆O 于A 、B 两点，由题意可得P 到圆O 最大距离为10，最小距离为2，则AP=2，BP=10，所以圆O 的半径为62102=+.图1 图2（2）当点P 在圆外时（如图2），作直线OP ，分别交圆O 于A 、B ，由题可得P 到圆O 最大距离为10，最小距离为2，则BP=10，AP=2，所以圆O 的半径42210=-.综上所述，所求圆的半径为6或4.【总结升华】题目中说到最大距离和最小距离，我们首先想到的就是直径，然后过点P做圆的直径，得到圆的半径.通常情况下，我们进行的都是在圆内的有关计算，这逐渐成为一种习惯，使得我们一看到题首先想到的就是圆内的情况，而忽略了圆外的情况，所以经常会出现漏解的情况.这也是本题想要提醒大家的地方.体现分类讨论的思想.举一反三：【变式1】平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm，则圆的半径是（）.A.2.5cmB.6.5cmC. 2.5cm或6.5cmD. 5cm或13cm【答案】C.【高清ID号：356996 关联的位置名称（播放点名称）：知识讲解二-四】【变式2】（1）过____________________上的三个点确定一个圆．（2）交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．【答案】（1）不在同一直线；（2）圆的旋转不变性；5．如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP的长的取值范围是 .【答案】3≤OP≤5.【解析】OP最长边应是半径长，为5；根据垂线段最短，可得到当OP⊥AB时，OP最短．∵直径为10，弦AB=8∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得AP=4，=，∴OP最短为3.由勾股定理得3∴OP的长的取值范围是3≤OP≤5.【总结升华】关键是知道OP何时最长与最短.举一反三：【变式】已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是___ ____．【答案】OP最大为半径，最小为O到AB的距离．所以5≤OP≤13.。
专题24-1-1 圆的基本概念和性质(知识解读)-九年级数学上册(人教版)
专题24.1.1 圆的基本概念和性质（知识解读）【直击考点】【学习目标】1.在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；2.了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；3.通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.【知识点梳理】考点1圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。
这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
确定圆的条件：1）圆心；2）半径。
备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。
【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点2圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。
2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜，读作圆弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
以A、B为端点的弧记作AB弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
【典例分析】【考点1 圆的定义及性质】【例1】（2021秋•崆峒区期末）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．（1）求∠AOB的度数．（2）求∠EOD的度数．【变式1-1】（2022•兴化市模拟）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（）A．38°B．52°C．76°D．104°【变式1-2】（2021秋•玉林期末）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定【变式1-3】（2020秋•白云区校级期中）如图，在Rt△ABC中，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，∠BCD＝40°，则∠A＝．【考点2 圆的有关概念】【例2】（2020秋•宜兴市期中）如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（）A．2条B．3条C．4条D．5条【变式2-1】（2021秋•余姚市期末）已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长不可能是（）A．2B．3C．4D．5【变式2-2】（2021秋•顺义区期末）如图，在⊙O中，如果＝2，则下列关于弦AB 与弦AC之间关系正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC【变式2-3】（2021秋•凉州区期末）下列结论中，正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．相等的圆心角所对的弧相等C．平分弦的直径垂直于弦D．圆是中心对称图形【例3】（2021秋•永年区月考）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦，其中正确的有（）A．1B．2个C．3个D．4个【变式3-1】（2021秋•永年区月考）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦，其中正确的有（）A．1B．2个C．3个D．4个【变式3-2】（2020秋•兴化市月考）下列说法中正确的是（）A．弦是直径B．弧是半圆C．半圆是圆中最长的弧D．直径是圆中最长的弦【变式3-3】（2020•凉山州一模）下列说法中，正确的是（）A．同一条弦所对的两条弧一定是等弧B．长度相等的两条弧是等弧C．正多边形一定是轴对称图形D．三角形的外心到三角形各边的距离相等专题24.1.1 圆的基本概念和性质（知识解读）【直击考点】【学习目标】2.在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；2.了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；3.通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.【知识点梳理】考点1圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。
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圆的基本概念和性质—知识讲解（提高）
【学习目标】
1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性；
2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，•圆的对称性进行计算或证明；
3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.
【要点梳理】
要点一、圆的定义及性质
1.圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
要点诠释：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
要点诠释：
①定点为圆心，定长为半径；
②圆指的是圆周，而不是圆面；
③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.
2.圆的性质
①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.
要点诠释：
①圆有无数条对称轴；
②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.
3.两圆的性质
两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.
要点二、与圆有关的概念
1.弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
要点诠释：
直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
证明：连结OC、OD
∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
∴直径AB是⊙O中最长的弦.
2.弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧
AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
要点诠释：
①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
4.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
要点诠释：
①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
②圆中两平行弦所夹的弧相等.
【典型例题】
类型一、圆的定义
1．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，求证：点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.
【答案与解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OC=OB=OD，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心、OA为半径的圆上.
【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等. 举一反三：
【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）
A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.等腰梯形
【答案】C.
2．爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。
这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？
【答案与解析】
Θ导火索燃烧的时间为18
09
20
.
()
=s
相同时间内，人跑的路程为2065130
⨯=
.()
m
∴点导火索的人安全.
【总结升华】爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示.
类型二、圆及有关概念
3．（2015秋•丹阳市校级月考）下列说法中，正确的是（）
A．两个半圆是等弧
B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C．长度相等的弧是等弧
D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧
【答案】 B.
【解析】A、两个半圆的半径不一定相等，故错误；
B、同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确；
C、长度相等的弧是等弧，错误；
D、同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧，故错误，
故选B．
【总结升华】本题考查了圆的有关概念，解题的关键是了解等弧及半圆的定义、优弧与劣弧的定义等. 举一反三：
【变式】（2015秋•邗江区校级月考）点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）
A P O
B A P O B
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B. 提示：由图可知，点A 、B 、E 、C 是⊙O 上的点，
图中的弦有AB 、BC 、CE ，一共3条．故选B ．
类型三、圆的对称性
4．圆O 所在平面上的一点P 到圆O 上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？
【答案与解析】
如图所示,分两种情况:
（1）当点P 为圆O 内一点（如图1），过点P 作圆O 的直径，分别交圆O 于A 、B 两点，
由题意可得P 到圆O 最大距离为10，最小距离为2，则AP=2，BP=10，
所以圆O 的半径为
62102=+.
图1 图2
（2）当点P 在圆外时（如图2），作直线OP ，分别交圆O 于A 、B ，由题可得P 到圆O 最大距离为10，
最小距离为2，则BP=10，AP=2，所以圆O 的半径
42
210=-. 综上所述，所求圆的半径为6或4.
【总结升华】题目中说到最大距离和最小距离，我们首先想到的就是直径，然后过点P 做圆的直径，得
到圆的半径.通常情况下，我们进行的都是在圆内的有关计算，这逐渐成为一种习惯，使得我们一看到题首先想到的就是圆内的情况，而忽略了圆外的情况，所以经常会出现漏解的情况.这也是本题想要提醒大家的地方.体现分类讨论的思想.
举一反三：
【变式1】平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm ，则圆的半径是（ ）.
A.2.5cm
B.6.5cm
C. 2.5cm 或6.5cm
D. 5cm 或13cm
【答案】C.
【高清ID 号： 356996 关联的位置名称（播放点名称）：知识讲解二-四】
【变式2】（1）过____________________上的三个点确定一个圆．
（2）交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．
【答案】（1）不在同一直线；（2） 圆的旋转不变性；
5．如图，⊙O 的直径为10，弦AB=8，P 是弦AB 上的一个动点，那么OP 的长的取值范围是 .
【答案】3≤OP ≤5.
【解析】OP 最长边应是半径长，为5； 根据垂线段最短，可得到当OP ⊥AB 时，OP 最短．
∵直径为10，弦AB=8
∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得AP=4，
由勾股定理得22543-=，∴OP 最短为3.
∴OP 的长的取值范围是3≤OP ≤5.
【总结升华】关键是知道OP 何时最长与最短.
举一反三： 【变式】已知⊙O 的半径为13，弦AB=24，P 是弦AB 上的一个动点，则OP 的取值范围是___ ____．
【答案】 OP 最大为半径，最小为O 到AB 的距离．所以5≤OP ≤13.。