《多面体与球的接切问题》课件
多面体与球体的切接问题课件(共23张PPT)
基本知识回顾：
一、 球体的体积与表面积
①
V球
4
3
R3
二、球与多面体的接、切
② S球面 4 R2
定义外1：接若球一个球多心面体到的各各顶顶点点都在的一距个球离的相球面等上(，R)
则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球 。
定义内2：切若一球个球多面心体到的各各面面都与的一距个球离的相球面等相(切r)，
3.直棱柱的外接球半径 （1）先找外接球的球心：
它的球心是连接上下两个多边形的外心的 线段的中点；
（2） 再构造直角三角形，勾股定理求解
二、棱锥与球
正四面体ABCD的棱长为a，求其内 切球半径r与外接球半径R.
R 6a 4
r 6a 12
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法1.补成正方体
A B
（2）勾股定理法 （通法）
关键是找球心，球心一定在过底面的外心与底 面垂直的直线上，画出截面图，构造与R有关 的直角三角形。
求棱锥内切球半径的方法：等体积法
A B
O
O
D
C 正四面体外接球的半径
D C
正方体外接球的半径
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法2.勾股定理法
P
P
O
A
C
A
M
DBBiblioteka •OD ME
求棱锥外接球半径的方法： （1）补形法（适用特殊棱锥）
三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体； 三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体； 侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱
则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
1.若正方体的棱长为a，则
与球有关的接切问题ppt
详细描述
当一个球与多个旋转体接触时，每一个旋转 体的侧面都会与球形成一条圆弧的接切线， 而每一个旋转体的顶点都会与球形成圆的接 切点。这些圆的半径和圆弧的长度取决于旋 转体的大小以及球的大小。
04
球的切割问题
球被平面切割的截面图形
总结词
根据球心到切割平面的距离和球的半径，可 以确定球被平面切割的截面图形是圆、椭圆 、抛物线、双曲线或这些图形的组合。
详细描述
当球心到切割平面的距离等于球的半径时， 截面图形是圆；当球心到切割平面的距离小 于球的半径时，截面图形是椭圆；当球心到 切割平面的距离大于球的半径时，截面图形 是抛物线或双曲线，具体形状取决于切割平
面与球心的相对位置。
球的切割线长度问题
总结词
球的切割线长度等于球的半径乘以切割线对应的圆心角弧度数。
详细描述
根据平面几何中弧长公式，球的切割线长度等于球的半径乘以切割线对应的圆心角弧度 数。当切割线对应的圆心角为直角时，切割线长度最短；当切割线对应的圆心角为平角
时，切割线长度最长。
球的切割面面积问题
总结词
球的切割面面积等于球的表面积乘以切割面所占的圆 心角与360度的比值。
详细描述
根据球表面积公式和圆心角与面积的关系，球的切割 面面积等于球的表面积乘以切割面所占的圆心角与 360度的比值。当切割面为球的大圆时，切割面面积 最大；当切割面为小圆时，切割面面积最小。
当球与圆柱相切时，切点处球面与圆柱的侧面相切，形成 一条直线。此时，球心与切点的连线与圆柱的轴线垂直。 根据几何原理，切点处球面与圆柱的侧面相切，形成一条 直线。
总结词
当球与圆柱相切时，切点处球面与圆柱的底面相切，形成 圆形。
详细描述
当球与圆柱相切时，切点处球面与圆柱的底面相切，形成 圆形。此时，球心与切点的连线与圆柱的底面垂直。根据 几何原理，切点处球面与圆柱的底面相切，形成圆形。
球与多面体的接、切问题
一、球与多面体的接、切定义
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.
二、切接问题举例
1.正（长）方体与球
（1）正（长）方体的外接球
①位置关系：正（长）方体的8个顶点在同一个球面上，正（长）方体的中心即为球心.
②度量关系：正（长）方体的体对角线等于球的直径.
（2）正方体的内切球
①位置关系：球与正方体的六个面都相切，各个面的中心即为切点，正方体的中心即为球心，相对两个面中心连线即为球的直径，
②度量关系：球的直径等于正方体的棱长.
2.正三棱锥与球
（1）正三棱锥的外接球
①位置关系：正三棱锥的外接球的球心在它的高所在的直线上.
②度量关系：设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h，外接球半径为R，
则2a-2)
3
3
(b=2h
（2）正三棱锥的内切球
①位置关系：正三棱锥的内切球的球心在它的高上(与外接球的球心不一定重合）.
②度量关系：设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h，斜高为
1
h，内切球半径为r，
则2a-2)
3
3
(b=2h，2h+2)
6
3
(b=2
1
h
（3）正四面体的棱切球
①位置关系：球心位于正方体的中心
A
B
D
O
Welcome To Download !!!
欢迎您的下载，资料仅供参考！。
与球有关的切、接问题教学课件(共19张PPT)——2022届高三数学一轮复习专题
2．与球的常见组合结论 1 正方体的内切球：R=___a____
（1）正方体与球：
②与正方体各棱相切的球：R＝
2
2a
2
③正方体的外接球：R＝
3a
2
(2)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：
补形为长方体（正方体），利用体对角线长=外接球直径
a2 b2 c2 2R,即R a2 b2 c2 2
： 补 形 正 方 体
3
3
4
A
目的：通过作截面，转化为平面几何求解
三【高考考向】 考点1：多面体外接球 例1（ 2019年全国1卷理12） 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC, ABC是边长为2的正三角形，E,F分别
是PA,AB的中点，CEF 90 ,如图所示，则球O 的体积为（D ）
C.20
补形为长方体，求外接球 P
D.24
直接找球心
P
P
O
2
2
B
A
4
C
2
2
A
2
4
2
B
jB
A
4
C
C
考点2：旋转体内切球 已例知2圆（ 锥20的20底全面国半卷径III理为115，）母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为___32___
分析：易知半径最大球为圆锥的内切球，
A
找球与圆锥内切时的轴截面。
正方体）
3.加强空间想象力，作图是关键。
注意 分析 探索 图形 特征及 特征 量转 化。
作业： 《多面体与球专项训练》 （十八）
谢谢
性质三：球心到截面的距离 d
与球的半径R
截面的半径r,
P
有以下关系：
多面体与球切、接的问题(讲)
纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见.首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.1 球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1 球与正方体如图所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则22GO R ==；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则132AO R '==.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r a =.（2）正方体的外接球，如图2. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有23r a =.（3）正方体的棱切球，如图3. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有22r a =.例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A ．22B ．1C ．212+D ．2思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径12,22AD R ==得知直线EF 被球O 截得的线段就是球的截面圆的直径.1.2 球与长方体例 2自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求222MC MB MA ++的值．思路分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．例 3（全国卷I高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，可得长方体的长、宽、高分别为2，2，4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.2 球与锥体的切接规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1正四面体与球的切接问题（1）正四面体的内切球，如图4. 位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有643R h==；（可以利用体积桥证明）（2） 正四面体的外接球，如图5. 位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为a ，高为h ；球的半径为R ，这时有436R h a ==；（可用正四面体高h 减去内切球的半径得到）（3） 正四面体的棱切球，如图6. 位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a ，高为h ；球的半径为R ，这时有6432,.3R h a h ===例 4设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．思路分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．2.2其它棱锥与球的切接问题球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.例5正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．思路分析：此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系，由等体积法可得：ABC O PBC O PAC O PAB O ABC P V V V V V -----+++=，得到2633232-=+=R ．例6（福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .思路分析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法.三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型.点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题，这是解决几何体与球切接问题常用的方法．例7【2012年新课标高考卷】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 是球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ） A. 26 B. 36 C. 23 D. 22思路分析：ABC ∆的外接圆是球面的一个小圆，由已知可得其半径，从而得到点O 到面ABC 的距离.由SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC 的距离即可求得棱锥的体积.3 球与球相切问题对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力，通过准确确定各个小球的球心的位置，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例8已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则此球的半径为 .思路分析：结合图形，分析四个球的球心A、B、C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设AB中点为E、CD中点为F，连结EF.在△ABF中可得BF=21，在△EBF中可得EF=23. 由于对称性可得第五个球的球心O在EF上，连结OA、OD.设第五个球的半径为r，根据OE+OF=EF 建立r的方程.例9把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．思路分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．4球与几何体的各条棱相切问题球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24r'=.例10 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A．3cm B．10 cmC ．102cmD ．30cm思路分析：根据题意球心O 在图中AP 上，过O 作BP 的垂线ON 垂足为N ，ON=R ，OM=R ，由各个棱都为20，得到AM=10，BP=20,BM=10，AB=102,设BPA α∠=，在Rt ∆BPM 中，由222BP BM PM =+,得103PM =.在Rt ∆PAM 中, 由222PM AM AP =+,得102PA =.在Rt ∆ABP 中得, 1022sin 202AB BP α===，在Rt ∆ONP 中得, sin ON R OP OPα==,从而22R OP =，2OP R =.在Rt ∆OAM 中, 由222OM AO AM =+,建立方程22(1022)100R R =-+即可得解.5球与旋转体切接问题首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系．例11求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．思路分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．例12在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．思路分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图的截面图，在图中，观察R与r和棱长间的关系即可．综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.高考题往往与三视图相结合，题目的难易不一，在复习中切忌好高骛远，应重视各种题型的备考演练，重视高考信息的搜集，不断充实题目的类型，升华解题的境界.。
【课件】球与多面体的内切、外接课件2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
o2
o
5πa2
●
R
r o1
课堂练习
2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球
32π
的体积为
，那么这个正三棱柱的体积是(
3
A．96 3
C．24 3
)
B．16 3
√D．48
3
1 3
3
设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径 R＝ × a＝ a，
3 2
6
3
正三棱柱的高为 a.
3
4 3 32π
三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或
A
正方体．
P
B
C
探究新知
总结：正四面体的棱长与外接球、内切球的半径总结的关系
1.若正四面体棱长为a，外接球半径为R，内切球半径为r，则
r PO R
6
R
a
4
R : r 3 :1
6
r
a
12
6
6
6
a
a
a.
3
4
12
P
P
a
a
A
V 球＝ πR ＝ .∴a＝4 3.
3
3
3
3
2
∴V 柱＝ ×(4 3) × ×4 3＝48 3.
4
3
例题讲解
（4）正棱锥、圆锥 ①内切球
P
例6 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与
它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积．
A
解1：如图，P-ABC为正三棱锥,
设球的半径为r，底面中心为D,取BC边中点E ∴PD=2,易知
1
V锥体 Sh
3
球的内切和外接问题课件ppt课件
ppt课件
10
2、构造长方体 已知A点B A、6,BA、C=C2、1D3在,A同D一=8个，球则面B上、，CA两B点间平的面A 球BC面D距离B是C 34DC.
O
B C
D 图 5
ppt课件
11
三、确定球心位置法
在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形
ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体 ABCD的外接球的体积为( Ｃ )
2
2
在RtAOO1中，由勾股定理得，R2
2 3
R
3 3
，解得R
6, 4
V球
4 R3 3
4 3
6 4
3
6 . 8
ppt课件
14
六、寻求轴截面圆半径法
正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长
都为 2，点S,A,B,C,D都在同一球面上，
ppt课件
1
一、直接法
A
C
O
A1
C1
1、求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为 27 .
变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球 面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体
积为 4 3 .
ppt课件
2
2、求长方体的外接球的有关问题
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此 球的表面积为 .
A.125
12
B.125
9
C.125
6
D.125
3
D
AO
中小幼多面体与球的接切问题1公开课教案教学设计课件
分析2
设球心为O，则O亦为底面正方形的中心。
如图，连结OA、OB，则得RtΔOAB.
设正方体棱长为a，易知：
OA 2 a , OB R , AB a 2
B
A •O
B
2 2
a
2
a2
R2
, 2R2 3a2
A
O
S半球 2 R2 3a2
S正方体 6a2
一、长方体的外接球
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则 l a2 b2 c2 2R
？
一般的长方体有内切球吗？
没有。一个球在长方体内部，最多 可以和该长方体的5个面相切。 如果一个长方体有内切球，
那么它一定是 正方体
例：
例：如图，半球内有一内接正方体，正方体 的一个面在半球底面圆内。则这个半球的面 积与正方体表面积的比为 （ ） 将半球补成整球
解：设 O 为球心，O′为截面圆圆心，如右图，则 OO′ ⊥O′A，O′A 为截面圆半径，OA 为球的半径．
根据球的表面积公式，则有： 4π·AO2＝256π，得 AO＝8 cm， 在 Rt△AO′O 中， OO′＝12AO＝4 cm. 所以 AO′＝ AO2－OO′2＝ 82－42＝4 3(cm)． S 截面圆＝π·AO′2＝π·(4 3)2＝48π(cm2)．
所以截面圆半径为 4 3 cm，面积为 48πcm2.
结论： 1.边长为a的正三角形的外接圆半径r 3 a
3 2.斜边为c的直角三角形的外接圆半径r c
2
3.长为a，宽为b的矩形的外接圆半径r a2 b2 2
§正方体与球
正方体的内切球,外接球,棱切球
人教版高三数学《多面体与球的接切问题》课件(共18张PPT)
直棱柱的外接球
已知直三棱柱ABC A1B1C1的六个顶点都在 球O的球面上,若AB BC 1, ABC 120, AA1 2 3，则球O的表面积为
棱锥的外接球
例 3(P121) (2014·全国大纲，文 10)正
四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥
的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积
2. 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1的各顶点都在 半径为R的球面上，则该正四棱柱的侧面积有
最大 值，为 4 2R2
3. 在正三棱锥S ABC中，M、N分别是棱SC、BC 的中点，且AM MN，若侧棱SA 2 3，则该三棱
锥S ABC外接球的表面积是 36
4. 已知三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面 上，若PA AB 2, AC 1, BAC 120，且
定义2：若一个多面体的各面都与一个 球的球面相切， 则称这个多面体是这 个球的外切多面体，这个球是这个多面 体的内切球。
正方体的外接球
例1：已知某一多面体
内接于球构成一个简 单组合体，如果该组 合体的正视图、侧视 图、俯视图均如图所 示，且图中的四边形 是边长为2的正方形， 则该球的表面积是
________.
思考： 已知一个正方体内接于一个球，若过球心作 一截面，则截面的可能图形是( )
A．①② B．②④ C．①②③ D．②③④
长方体的外接球
例2：《练出好成绩》P251中第10小 题：知三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，
AC＝AD＝BC＝BD＝5， 则三棱锥A－BCD外接球的球心O 到平面BCD的距离为( )
锥的外接球的表面积为 16
3
7. 已知一个四面体的每个面都是两条边长为3，一 条边长为2的三角形，则该四面体的外接球的表面
公开课课件：多面体的外接球问题
基本知识回顾：
一、 球体的体积与表面积
二、球与多面体的接、切
4 3 ① V球 R 3
②
S球面 4 R
2
外接球球心到各顶点的距离相等 (R) 定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接球 。
(r) 定义内切球球心到各面的距离相等 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
球与正方体的“切”“接”问题
一、直棱柱与球
若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ ⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
D A B
C
中截面 O
D1
C1
A1
B1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
D A B
C
中截面
O D1 C1
.
A1
B1 正方形的对角线等于球的直径。
D A O D1 A1
2. （ 2013 郑州质检）在三棱锥 A-BCD 中， AB=CD=6 ， AC=BD=AD=BC=5.则三棱锥的外接球的表面积为________
总结 求棱锥外接球半径常见的补形有： 正四面体常补成正方体； 三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体； 三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体； 侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱
法1.勾股定理法
P
P
O
O
A
M
D
A M B D
E
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法2.补成正方体
A B A B
O
球与多面体的接、切问题
一、球与多面体的接、切定义
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.
二、切接问题举例
1.正（长）方体与球
（1）正（长）方体的外接球
①位置关系：正（长）方体的8个顶点在同一个球面上，正（长）方体的中心即为球心.
②度量关系：正（长）方体的体对角线等于球的直径.
（2）正方体的内切球
①位置关系：球与正方体的六个面都相切，各个面的中心即为切点，正方体的中心即为球心，相对两个面中心连线即为球的直径，
②度量关系：球的直径等于正方体的棱长.
2.正三棱锥与球
（1）正三棱锥的外接球
①位置关系：正三棱锥的外接球的球心在它的高所在的直线上.
②度量关系：设正三棱锥底面边长为b ，侧棱长为a ，高为h ，外接球半径为R ，则 2a - 2)
33(b =2h （2）正三棱锥的内切球
①位置关系：正三棱锥的内切球的球心在它的高上(与外接球的球心不一定重合）.
②度量关系：设正三棱锥底面边长为b ，侧棱长为a ， 高为h ，斜高为1h ，内
切球半径为r ，
则 2
a -2)33(
b =2h ，2h +2)63(b =21h （3）正四面体的棱切球
①位置关系：球心位于正方体的中心 A
B
D
O。
高中数学课件- 3球与多面体外接、内切问题
构造正方体
含有线面垂直关系的棱锥
二、 球与锥体的外接、内切问题
4、 球与其他三棱锥的外接问题（构造法）
以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体 的途径与方法． 途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、
四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别 可构造正方体． 途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、 相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体 和正方体． 途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥 补成长方体或正方体． 途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥 补成长方体或正方体．
球心是正方体中心；半径 r＝2a (a 为正方体的棱长)；
2、长方体的外接球：
① 球心：体对角线的交点；
a2＋b2＋c2
② 半径：r＝
2
(a，b，c 为长方体的长、宽、高)．
巩固练习
1.若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的 表面积为________．
2. 若一个正方体的体积是8，则这个正方体的
2．球的切线 (1)定义：与球只有唯一公共点的直线叫作球的切线．如图，l 为球O的切线，M为切点．
(2)性质：①球的切线垂直于过切点的半径； ②过球外一点的所有切线的长度都相等． 如图，PA，PB为从点P引到球O的切线，则PA＝PB. ③从球外一点引球的切线，切线与圆面O′(过A，B两点的圆 面)构成一个圆锥．
4、 球与其他三棱锥的外接问题 (构造法） 例1、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长 均为 3 ，则其外接球的表面积是
构造正方体
A
O
3
C
3
P
三条侧棱两两垂直的三棱锥
3
B
二、 球与锥体的外接、内切问题
沪教版数学高三上册球与多面体的内切外接课件
作 OF ⊥ AE 于 F
连 AO 延长交 PD 于 G
则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG
O
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。
例3 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
D C.
例2、正三棱锥的高1为 1，底面边长为 。
二、球与多面体的接、切
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )
A.
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。
∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，
4. 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
1:2:3
B.
∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
高为3，圆O是等边三角形ABC的内切圆，点P是圆O上任意一点，求三棱锥
A 解法1： 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )
在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高，
1
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
O • F D BC 2 6 O1E 2 且AE 3
B
O1
E
1
3
2
S全 3 2 2
6
3
2 4
6
C
9 26 3
作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r
则称这个多面体是这个球的外切多面体，
这个球是这个 多面体的内切。球
例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )
A. 1:2:3 D
B. 1: 2: 3
C
C. 1:3 4:3 9
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3. 在正三棱锥S ABC中，M、N分别是棱SC、BC 的中点，且AM MN，若侧棱SA 2 3，则该三棱
锥S ABC外接球的表面积是 36
4. 已知三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面 上，若PA AB 2, AC 1, BAC 120，且
简单多面体与球的接切问题
一.球的概念
1．球的概念 •球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集合， 叫做球面
与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体，简称“球”.
二 球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；
思考： 已知一个正方体内接于一个球，若过球心作 一截面，则截面的可能图形是( )
A．①② B．②④ C．①②③ D．②③④
长方体的外接球
例2：《练出好成绩》P251中第10小 题：知三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，
AC＝AD＝BC＝BD＝5， 则三棱锥A－BCD外接球的球心O 到平面BCD的距离为( )
锥的外接球的表面积为 16
3
7. 已知一个四面体的每个面都是两条边长为3，一 条边长为2的三角形，则该四面体的外接球的表面
积为 11
8. 已知三棱锥S ABC的所以顶点都在球O的球面 上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，
且SC 2，则该三棱锥的体积为 2 6
定义2：若一个多面体的各面都与一个 球的球面相切， 则称这个多面体是这 个球的外切多面体，这个球是这个多面 体的内切球。
正方体的外接球
例1：(福建)已知某一
多面体内接于球构成 一个简单组合体，如 果该组合体的正视图、 侧视图、俯视图均如 图所示，且图中的四 边形是边长为2的正 方形，则该球的表面 积是________.
正四面体的内切球
若一个正四面体的表面积为S1，其内切球
的表面积为S2，则
S1 S2
=
小试身手
1. 已知棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1的8个 顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1 的中点，则直线EF被球O截得的线段长为 2a
2. 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1的各顶点都在 半径为R的球面上，则该正四棱柱的侧面积有
直棱柱的外接球
已知直三棱柱ABC A1B1C1的六个顶点都在 球O的球面上,若AB BC 1, ABC 120, AA1 2 3，则球O的表面积为
棱锥的外接球
例 3(P121) (2014·全国大纲，文 10)正
四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥
的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积
PA 平面ABC，则球O的表面积为 40
3
5. 已知正三棱锥P ABC，点P、A、B、C都在半 径为 3的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，
则球心到截面ABC的距离为 3 3
6. 若三棱锥S ABC的底面是以AB为斜边的等腰 直角三角形，且AB SA SB SC 2，则该三棱
Байду номын сангаас
为( )
A．841π
B．16π
C．9π
D．274π
四棱锥 P ABCD 所有顶点都在同一球面上， 若PA 平面ABCD，AB BC，AD CD，PA BC CD 1，AB AD 2，求该球的表面积.
O
E
正方体的内切球
将棱长为2的正方体木块削成一个体积最 大的球，则这个球的表面积为
用一个平面去截球面， 截线是圆。
大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心
性质2: 球心和截面圆心的连线垂 直于截面．
性质3: 球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r 有下面
A
的关系:
r R2 d2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一 个球的球面上，则称这个多面体是这个 球的内接多面体，这个球是这个多面体 的外接球 。