《多面体与球的接切问题》课件
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简单多面体与球的接切问题
一.球的概念
1．球的概念 •球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集合， 叫做球面
与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体，简称“球”.
二 球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；
思考： 已知一个正方体内接于一个球，若过球心作 一截面，则截面的可能图形是( )
A．①② B．②④ C．①②③ D．②③④
长方体的外接球
例2：《练出好成绩》P251中第10小 题：知三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，
AC＝AD＝BC＝BD＝5， 则三棱锥A－BCD外接球的球心O 到平面BCD的距离为( )
锥的外接球的表面积为 16
3
7. 已知一个四面体的每个面都是两条边长为3，一 条边长为2的三角形，则该四面体的外接球的表面
积为 11
8. 已知三棱锥S ABC的所以顶点都在球O的球面 上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，
且SC 2，则该三棱锥的体积为 2 6
PA 平面ABC，则球O的表面积为 40
3
5. 已知正三棱锥P ABC，点P、A、B、C都在半 径为 3的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，
则球心到截面ABC的距离为 3 3
6. 若三棱锥S ABC的底面是以AB为斜边的等腰 直角三角形，且AB SA SB SC 2，则该三棱
用一个平面去截球面， 截线是圆。
大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心
性质2: 球心和截面圆心的连线垂 直于截面．
性质3: 球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r 有下面
A
的关系:
r R2 d2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一 个球的球面上，则称这个多面体是这个 球的内接多面体，这个球是这个多面体 的外接球 。
最大 值，为 4 2R2
3. 在正三棱锥S ABC中，M、N分别是棱SC、BC 的中点，且AM MN，若侧棱SA 2 3，则该三棱
锥S ABC外接球的表面积是 36
4. 已知三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面 上，若PA AB 2, AC 1, BAC 120，且
直棱柱的外接球
已知直三棱柱ABC A1B1C1的六个顶点都在 球O的球面上,若AB BC 1, ABC 120, AA1 2 3，则球O的表面积为
棱锥的外接球
例 3(P121) (2014·全国大纲，文 10)正
四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥
的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积
பைடு நூலகம்
为( )
A．841π
B．16π
C．9π
D．274π
四棱锥 P ABCD 所有顶点都在同一球面上， 若PA 平面ABCD，AB BC，AD CD，PA BC CD 1，AB AD 2，求该球的表面积.
O
E
正方体的内切球
将棱长为2的正方体木块削成一个体积最 大的球，则这个球的表面积为
定义2：若一个多面体的各面都与一个 球的球面相切， 则称这个多面体是这 个球的外切多面体，这个球是这个多面 体的内切球。
正方体的外接球
例1：(福建)已知某一
多面体内接于球构成 一个简单组合体，如 果该组合体的正视图、 侧视图、俯视图均如 图所示，且图中的四 边形是边长为2的正 方形，则该球的表面 积是________.
正四面体的内切球
若一个正四面体的表面积为S1，其内切球
的表面积为S2，则
S1 S2
=
小试身手
1. 已知棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1的8个 顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1 的中点，则直线EF被球O截得的线段长为 2a
2. 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1的各顶点都在 半径为R的球面上，则该正四棱柱的侧面积有
一.球的概念
1．球的概念 •球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集合， 叫做球面
与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体，简称“球”.
二 球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；
思考： 已知一个正方体内接于一个球，若过球心作 一截面，则截面的可能图形是( )
A．①② B．②④ C．①②③ D．②③④
长方体的外接球
例2：《练出好成绩》P251中第10小 题：知三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，
AC＝AD＝BC＝BD＝5， 则三棱锥A－BCD外接球的球心O 到平面BCD的距离为( )
锥的外接球的表面积为 16
3
7. 已知一个四面体的每个面都是两条边长为3，一 条边长为2的三角形，则该四面体的外接球的表面
积为 11
8. 已知三棱锥S ABC的所以顶点都在球O的球面 上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，
且SC 2，则该三棱锥的体积为 2 6
PA 平面ABC，则球O的表面积为 40
3
5. 已知正三棱锥P ABC，点P、A、B、C都在半 径为 3的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，
则球心到截面ABC的距离为 3 3
6. 若三棱锥S ABC的底面是以AB为斜边的等腰 直角三角形，且AB SA SB SC 2，则该三棱
用一个平面去截球面， 截线是圆。
大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心
性质2: 球心和截面圆心的连线垂 直于截面．
性质3: 球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r 有下面
A
的关系:
r R2 d2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一 个球的球面上，则称这个多面体是这个 球的内接多面体，这个球是这个多面体 的外接球 。
最大 值，为 4 2R2
3. 在正三棱锥S ABC中，M、N分别是棱SC、BC 的中点，且AM MN，若侧棱SA 2 3，则该三棱
锥S ABC外接球的表面积是 36
4. 已知三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面 上，若PA AB 2, AC 1, BAC 120，且
直棱柱的外接球
已知直三棱柱ABC A1B1C1的六个顶点都在 球O的球面上,若AB BC 1, ABC 120, AA1 2 3，则球O的表面积为
棱锥的外接球
例 3(P121) (2014·全国大纲，文 10)正
四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥
的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积
பைடு நூலகம்
为( )
A．841π
B．16π
C．9π
D．274π
四棱锥 P ABCD 所有顶点都在同一球面上， 若PA 平面ABCD，AB BC，AD CD，PA BC CD 1，AB AD 2，求该球的表面积.
O
E
正方体的内切球
将棱长为2的正方体木块削成一个体积最 大的球，则这个球的表面积为
定义2：若一个多面体的各面都与一个 球的球面相切， 则称这个多面体是这 个球的外切多面体，这个球是这个多面 体的内切球。
正方体的外接球
例1：(福建)已知某一
多面体内接于球构成 一个简单组合体，如 果该组合体的正视图、 侧视图、俯视图均如 图所示，且图中的四 边形是边长为2的正 方形，则该球的表面 积是________.
正四面体的内切球
若一个正四面体的表面积为S1，其内切球
的表面积为S2，则
S1 S2
=
小试身手
1. 已知棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1的8个 顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1 的中点，则直线EF被球O截得的线段长为 2a
2. 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1的各顶点都在 半径为R的球面上，则该正四棱柱的侧面积有