第二章：LTI连续时间系统的时域分析

自由响应，强迫响应：
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《信号与系统》
n
第二章：LTI 连续时间系统的时域分析
系统响应＝齐次解 ∑ Ai eαit ＋特解 B ( t ) |带入Y(0+)≠Y(0-)＝0 (t≥0)
i =1
自由响应
强迫响应
§2.3 LTI 系统的冲击响应与阶跃响应（ 《信号与系统》第二版（郑君里）2.5）
定义（冲激响应 h ( t ) ） ：输入为单位冲激函数时的零状态响应。
Y(t) =
[ y1 (t )，y2 (t )，……，ym (t )]
T
∈ L2 m [ t0，tα ] 为输出向量（m 维）
T
X (t) = ⎡ x1′ (t )，x2′ (t )，……，xn′ (t ) ⎤ ⎣ ⎦
图 2-13
方程的解：
X(t) = eAt X(0) + Y(t) = CeAt X(0) +
《信号与系统》
第二章：LTI 连续时间系统的时域分析
第二章：LTI 连续时间系统的时域分析
§2.1 系统的数学模型 R、L、C 上的电压与电流关系： e ( t ) ~ i ( t ) 电阻：
i (t ) =
或
1 e (t ) R
（2-1）
e (t ) = R i (t )
（2-2）
图 2-1
图 2-2 电感： i (t ) = 或：
∫e
0 t 0
t
A(t-τ )
B V(τ) dτ
A(t-τ )
（2-11） （2-12）
∫ [Ce
B + D δ (t − τ )] V(τ) dτ
若V(t)、X(0)已知，则X(t)、Y(t)确定。
LTI 系统的微分方程模型：
具有 n 个独立储能元件的单输入单输出（SISO）系统，输出输入关系为：
（2-5）
e (t ) =
1 t 1 i (τ ) dτ = i (t ) ∫ −∞ C Cp
（2-6）
图 2-7
图 2-8 求和（相加） ：
y ( t ) = f1 ( t ) ± f 2 ( t )
图 2-9
（2-7）
图 2-10 分支：
f1 ( t ) = f 2 ( t ) = f 3 ( t )
由起始状态Y(0-)≠0 所产生的响应。
零状态 （zero state） 响应 y zs ( t ) ： 不考虑起始时刻系统储能的作用， 即Y(0-)
≡0，由系统的外加激励信号 v ( t ) = v ( t ) u ( t ) ≠ 0 所产生的响应。 零输入响应 y zi ( t ) ：
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《信号与系统》
⎧ v ( t ) = 4i1 ( t ) − 2i2 ( t ) ⎪ x1 ( t ) = i2 ( t ) ⎪ ⎪ 1 x2 ( t ) = i2 ( t ) − i3 ( t ) ⎪ 2 ⎨ ⎪ x1 ( t ) + x2 ( t ) + 2 ( i2 ( t ) − i1 ( t ) ) = 0 ⎪ x2 ( t ) − 3i3 ( t ) = 0 ⎪ ⎪ y ( t ) = 2i3 ( t ) ⎩
讨论系统在 [0， + ∞) 的输出。
( 起始状态（ 0− 状态） ：⎡ ⎣ y ( 0− )， ，y
n −1)
( 0− ) ⎤ ⎦
T
，简记为Y(0-)
( n −1) 初始状态（ 0+ 状态） ：⎡ ( 0+ ) ⎤ ⎣ y ( 0+ )， ，y ⎦ ，简记为Y(0+)
T
一般地，Y(0-) ≠ Y(0+) 零输入（zero input）响应 y zi ( t ) ：没有外加激励信号的作用，即 v ( t ) ≡0，
零状态
∫e
0
t
−α ( t −τ )
v (τ ) dτ = e −α t ∗ v ( t )
（2-14）
《信号与系统》第二版（郑君里）2.2，2.3，2.4） §2.2 LTI 系统的响应（
LTI 系统的微分方程：
y ( n ) ( t ) + an −1 y ( n −1) ( t ) + ... + a1 y (1) ( t ) + a0 y ( 0) ( t ) = bm v ( m ) ( t ) + bm −1v ( m −1) ( t ) + ... + b1v (1) ( t ) + b0 v( 0) ( t )
状态方程
观测方程
图 2-12 定义（状态） ：能够表征系统时域动力学行为的一组最小内部变量组。 ¾ 物理上，状态的维数 dimX(t) = 系统中独立储能元件的个数 ¾ 状态的选取可以不唯一
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《信号与系统》
第二章：LTI 连续时间系统的时域分析Байду номын сангаас
状态空间模型：
X(t ) = A n×n X(t ) + B n×r (t )V(t ) Y(t ) = Cm×n X(t ) + Dm×r (t )V(t )
n
∴ h ( t ) = H ( p ) δ ( t ) = ∑ β iδ ( ) ( t ) + ∑ b j e j u ( t )
i
α t
i =0
j =1
（2-26）
§2.4 卷积（ 《信号与系统》第二版（郑君里）2.6，2.7）
定义（卷积） ：对任意两个信号 f1 ( t ) 、f 2 ( t ) ，两者的卷积运算定义为：
其中， H ( p ) =
注意： ¾ ¾
N (p) 称为系统算子。 D ( p)
N ( p ) 与 D ( p ) 的公因式一般不可相消
1 p 与 的顺序一般不可交换 p
¾ 对于不同的物理系统，其输入—输出方程可以相同 可对 H ( p ) 进行因式分解，其基本单元为
1 ： p +α
1 v (t ) p +α
degN(p) = degD(p) + q
H ( p) = N (p) E ( p) = β q p q + β q −1p q −1 + ... + β1p + β 0 + D ( p) D ( p)
q n
= ∑ β i pi + ∑
i =0 j =1
bj
p −α j
，
q
n ⎛ ⎞ ⎜ D (p) = ∏ (p − α j ) ⎟ j =1 ⎝ ⎠
⎧ x t ⎤ ⎡ −1 −1 ⎤ ⎡ x t ⎤ ⎡ 1 ⎤ 1( ) ⎪⎡ ⎥ ⎢ 1 ( ) ⎥ + ⎢ 2 ⎥ v (t ) =⎢ ⎢ ⎥ 2 ⎪⎢ x ( t )⎥ ⎢ 2 − ⎥ ⎢ x ( t )⎥ ⎢ ⎥ ⎪⎣ 2 ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣0 ⎦ ⎨ ⎪ 2 ⎤ ⎡ x1 ( t ) ⎤ ⎪ y (t ) = ⎡ 0 ⎢ ⎥ + 0 × v (t ) ⎢ ⎥ 3 x t ⎪ ⎣ ⎦ ( ) ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦ ⎩
特征根：
（2-16）
α1，α 2， ，α n
在特征根无重根的情况下：
y zi ( t ) = ∑ Ai eαi t u ( t )
i =1 n Y ( 0− ) = Y ( 0+ )
（2-17）
（2-18）
零状态响应 y zs ( t ) ：
Y (0-)= 0， v ( t ) = v ( t ) u ( t ) ≠ 0
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y ( n ) ( t ) + an −1 y ( n −1) ( t ) + ... + a1 y (1) ( t ) + a0 y ( 0) ( t ) = 0 ，Y(0-)≠0
（2-15）
特征方程：
α n + an −1α n −1 + ... + a1α 1 + a0 = 0
（2-8）
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《信号与系统》
第二章：LTI 连续时间系统的时域分析
图 2-11
LTI 连续时间系统的状态空间模型
（ 《信号与系统》第二版（郑君里）12.1，12.2，12.3） ： 例：问题： （1） y ( t ) ∼ v ( t ) ， （2） x1 ( t ) , x2 ( t ) ∼ v ( t ) 解：
（状态方程）
T
（2-9）
（观测方程/输出方程） （2-10）
2 其中， V(t) = ⎡ ⎣ v1 ( t )，v2 ( t )，……，vr ( t ) ⎤ ⎦ ∈ Lr [t0，tα ] 为输入向量（r 维 2 X(t) = ⎡ ⎣ x1 ( t )，x2 ( t )，……，xn ( t ) ⎤ ⎦ ∈ Ln [t0，tα ] 为状态向量（n 维） T
V(t) →
T
→ Y(t)
X(t)、X(0-)
α {x1 ( 0- )，v1 ( t )} + β {x 2 ( 0- )，v2 ( t )}
⇒ α {x1 ( t )，y1 ( t )} + β {x 2 ( t )，y 2 ( t )}
（2-21）
则称 T 为非零状态线性系统。
非零状态线性系统是零状态线性系统与零输入线性系统的叠加。 推论：线性系统响应＝零状态响应＋零输入响应。
h (t ) Tδ ( t )
（2-22）
定义（阶跃响应 ystep ( t )
ys ( t ) ） ：输入为单位阶跃函数时的零状态响应。 ys ( t ) Tu ( t )
（2-23）
h ( t ) 与 ys ( t ) 的关系：
1 ys (t ) = Tu (t ) = T δ (t ) p
h ( t ) = Tδ ( t ) = Tpu ( t )
零状态
t 1 Tδ (t ) = ∫ h(t )dt −∞ p
（2-24）
零状态
= pTu ( t ) = pys ( t ) =
d ys ( t ) dt
（2-25）
求 h ( t ) 的步骤：
y zs ( t ) = H ( p ) v ( t ) = v ( t ) = δ ( t ) ，h ( t ) = N ( p) v (t ) D (p) N ( p) δ (t ) D ( p)
令： D ( p )
p n + an −1p n −1 + ... + a1p + a0
N ( p ) bm p m + ... + b1p + b0
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有：
y (t ) = N (p) v (t ) D ( p) H ( p) v (t )
（2-13）
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f1 ( t ) ∗ f 2 ( t )
∫
∞
−∞
f1 (τ ) f 2 ( t − τ ) dτ
（2-27）
性质： 假设： ∀f ( t )、g ( t )、h ( t ) ∈ L1 ( Ω ) ， L1 ( Ω ) 是绝对可积函数的全体。 代数性质：
已知输入V(t)、输出初值 y ( 0 ) 、……、y ( n −1) ( 0 ) ，求Y(t) = ？
LTI 系统的系统算子模型（郑君里书：2.8） ：
令： p =
d dn ，...，p n = n dt dt
n n −1 m ⎡ ⎣ p + an −1p + ... + a1p + a0 ⎤ ⎦ y (t ) = ⎡ ⎣bm p + ... + b1p + b0 ⎤ ⎦ v (t )
图 2-3
1 t 1 e (τ ) dτ = e (t ) ∫ L −∞ Lp
d i (t ) = L p i (t ) dt
（2-3）
e (t ) = L
（2-4）
图 2-4
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图 2-5 电容：
图 2-6
i (t ) = C
或：
d e (t ) = C p e (t ) dt
y ( n ) ( t ) + an −1 y ( n −1) ( t ) + ... + a1 y (1) ( t ) + a0 y ( 0) ( t ) = bm v ( m ) ( t ) + bm −1v ( m −1) ( t ) + ... + b1v (1) ( t ) + b0 v( 0) ( t )
y zs ( t ) = N (p) v (t ) = H ( p ) v (t ) D ( p) N ( p) v (t ) ，
=
∏(p −α )
i =1 i
n
（ α i 为互异特征根）
α nt = N ( p) ⎡ ⎣e ∗
∗ eα1t ∗ v ( t ) ⎤ ⎦
n
（2-19） （2-20）
y zs ( t ) = 齐次解 ∑ Ai eαit ＋特解 B ( t )
i =1
特解 B ( t ) 反映系统输入对输出的强迫。 非零状态线性系统：
定义（非零状态线性系统） ：系统 T 的初始状态为X(0-)≠0
⎧ ⎪ {x1 ( 0- )，v1 ( t )} ⇒ {x1 ( t )，y1 ( t )} 若 ⎨ ， ⎪ ⎩{x 2 ( 0- )，v2 ( t )} ⇒ {x 2 ( t )，y 2 ( t )} 有