中考数学专题一 整体思想复习题及答案
中考数学复习题方法技巧专题一数形结合思想训练(含答案)
方法技巧专题 ( 一)数形联合思想训练【方法解读】数形联合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数目关系，追求代数问题的解决方案( 以形助数 ) ，或利用数目关系研究几何图形的性质解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
1.我们学习了一次函数、二次函数和反比率函数, 回首学习过程 , 都是依据列表、描点、连线获得函数的图象, 而后依据函数的图象研究函数的性质, 这类研究方法主要表现的数学思想是()A.演绎B.数形联合C.抽象D.公义化2.若实数a, b, c在数轴上对应的点如图F1- 1, 则以下式子正确的选项是()图 F1-1A.ac>bcB.|a-b|=a-bC.-a<-b<-cD.-a-c>-b-c3 [2017 ·怀化 ] 一次函数2的图象经过点(2,3), 且与x 轴、y轴分别交于点, ,则△的面积是 ().y=- x+m P - A B AOBA.B.C.4D.84. [2018 ·仙桃 ]甲、乙两车从A地出发,匀速驶向 B地 . 甲车以80 km/h的速度行驶 1 h 后 , 乙车才沿同样路线行驶. 乙车先抵达 B 地并逗留 1 h后,再以原速按原路返回, 直至与甲车相遇. 在此过程中,两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图F1- 2 所示.以下说法 : ①乙车的速度是120 km/h; ②m=160; ③点H 的坐标是(7,80);④n=7.5.此中说法正确的有()图 F1-2A4 个 B 3 个..C2 个 D 1 个..5.已知二次函数y=( x-h )2+1( h 为常数),在自变量 x 的值知足1≤ x≤3的状况下,与其对应的函数值y 的最小值为5,则 h 的值为 ()A. 1 或-5B.- 1或 5C. 1 或-3D.1或36.[2018 ·白银 ]如图 F1- 3是二次函数y=ax2+bx+c( a, b, c是常数 , a≠0) 图象的一部分 , 与x轴的交点A在点 (2,0)和 (3,0)之间 , 对称轴是直线x=1,对于以下说法:① ab<0,②2a+b=0,③3a+c>0,④ a+b≥ m( am+b)( m 为常数),⑤当 - 1<x<3时 , y>0,此中正确的选项是()图 F1-3A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤7.如图 F1- 4 是由四张全等的矩形纸片拼成的图形, 请利用图中空白部分面积的不一样表示方法, 写出一个对于a, b 的恒等式 :.F1- 48 [2018 ·白 ]如 F1 5, 一次函数y=-x-2 与2的象交于点( ,4), 对于x的不等式的.-y= x+m P n -解集.F1- 59.《庄子·天下篇》中写道: “一尺之棰 , 日取其半 , 万世不断.”意思是 : 一根一尺的木棍, 假如每日截取它的一半, 永也取不完 , 如 F1- 6.F1- 6由易得: ++ +⋯+ =.10.当x=m或x=n( m≠n) , 代数式x2- 2x+3 的相等 ,x=m+n, 代数式x2- 2x+3 的.11.已知数a, b 足 a2+1= , b2+1= ,2018 |a-b|=.12.已知函数y=使y=k建立的x的恰巧只有 3 个 , k的.13. (1) 察以下形与等式的关系, 并填空 :F1- 7(2) 察 F1 8, 依据 (1) 中 , 算中黑球的个数, 并用含有n 的代数式填空 :-F1 8-1+3+5+⋯+(2 n- 1) +() +(2 n- 1) +⋯+5+3+1=.14. [2018 ·北京 ]在平面直角坐系 xOy中,直 y=4x+4与 x 、 y 分交于点A, B,抛物 y=ax2+bx- 3a 点 A,将点 B向右平移5个位度 , 获得点 C.(1)求点 C的坐;(2)求抛物的称 ;(3)若抛物与段 BC恰有一个公共点,合函数象,求 a 的取范 .参照答案1.B 2.D 3.B4 B [分析]甲、乙两车最开始相距80 km,0 到 2 h是乙在追甲 , 并在 2 h时追上 , 设乙的速度为x km/h, 可得方程.2x- 2×80=80, 解得x=120, 故①正确 ;在 2 h 时甲、乙距离为 0, 在 6 h 时乙抵达B地 , 此时甲、乙距离=(6 - 2) ×(120 - 80) =160(km), 故②正确 ;H点是乙在 B 地逗留 1 h后开始原路返回,6 h 时甲、乙距离是160 km,1 h 中只有甲在走, 因此 1 h 后甲、乙距离80 km,因此点 H的坐标是(7,80),故③正确;最后一段是乙原路返回, 直到在n h 时与甲相遇 , 初始距离 80 km, 因此相遇时间=80÷(120 +80) =0. 4, 因此n=7. 4, 故④错误 .综上所述 , ①②③正确, ④错误 , 正确的有 3 个, 应选 B.5. B [ 分析 ]由二次函数的极点式y=( x-h )2+1,可知当x=h 时, y 获得最小值1. (1) 如图① , 当x=3, y 获得最小值时 ,解得h=5(h=1舍去);(2) 如图② , 当x=1, y获得最小值时 ,解得 h=-1( h=3舍去) . 应选B.6 A[分析]∵抛物线的张口向下 , ∴0 ∵抛物线的对称轴为直线1, 即x=-1, ∴b=-20, ∴0,20, ∴①.a< .x==a>ab<a+b=②正确 .∵当x=-1 时 ,3, 由对称轴为直线 1 和抛物线过x轴上的A点 ,A点在点 (2,0)和(3,0)之间 , 知抛物线与x y=a-b+c= a+c x=轴的另一个交点在点 ( - 1,0)和 (0,0) 之间 , 因此当x=- 1 时 , y=3a+c<0, ∴③错误.∴此有 a+b+c≥ m( am+b)+c,即 a+b≥ m( am+b),∴④正确 .∵抛物 x 上的 A 点, A 点在点(2,0)和 (3,0) 之 , 抛物与x的另一个交点在点( - 1,0) 和(0,0)之,由知 ,当 2 3 , 有一部分象位于x 下方 , 明此0, 依据抛物的称性可知, 当 10 , 也有一部分象位于x<x<y<-<x<下方 , 明此y<0, ∴⑤. 故A.227. ( a-b ) =( a+b) - 4ab8.- 2<x<2 [ 分析 ]∵ y=-x-2的象点P( n, - 4),∴-n- 2=- 4,解得 n=2. ∴ P点坐是(2, - 4) .察象知 :2 x+m<-x-2 的解集x<2. 解不等式 -x- 2<0可得 x>- 2.∴不等式的解集是 - 2<x<2.9. 1-10. 3 11. 112. 1 或 2 [ 分析 ]画出函数分析式的象, 要使y=k建立的x的恰巧只有 3 个 , 即函数象与y=k 条直有 3 个交点 . 函数 y=的象如.依据象知道当y=1或2, 建立的x 恰巧有3个,∴ k=1或2. 故答案1或2.13.解 :(1)1 +3+5+7=16=42.察 , 律 , 第一个形 :1 +3=22, 第二个形 :1 +3+5=32, 第三个形 :1 +3+5+7=42, ⋯,第 ( n- 1) 个形 :1 +3+5+⋯+(2 n- 1) =n2.故答案 :4 2n2.(2)察形 :中黑球可分三部分 ,1到n 行, 第(1)行,(2) 行到 (21)行,即 135⋯ (21)[2(1)1] (21) ⋯n+n+n++ + + + n-+ n+ -+ n-+531[1 35⋯(21)](21) [(21)⋯ 5 31] 2212222 1故答案:212 2 21 + + + = + + + + n-+ n+ + n-+ + + + =n + n+ +n = n + n+ .n+n + n+ .14.解 :(1) ∵直 4 4 与x、y分交于点, ,y= x+ A B∴A( - 1,0), B(0,4) .∵将点 B 向右平移5个位度,获得点 C,∴C(0 +5,4),即 C(5,4) .(2)∵抛物 y=ax2+bx- 3a 点 A,∴a-b- 3a=0. ∴ b=-2a.∴抛物的称直x=- =- =1,即称直x=1.(3) 易知抛物点 (-1,0),(3,0).①若0, 如 , 易知抛物点 (5,12), 若抛物与段BC恰有一个公共点 , 足a>a12a≥4 即可 , 可知a的取范是a≥ .②若 a<0,如,易知抛物与y 交于点(0, - 3a),要使抛物与段BC只有一个公共点, 就必- 3a>4, 此a<- .综上 , a的取值范围是a≥或 a<- 或 a=-1.。
2020-2021中考数学解题技巧专题训练：整体思想训练(含答案)
于是 ,二次函数
y=-abx
2+
(a+b
)
x=-
1 2
x2+
3x=-
1
2(x-
3)
2+
9
2,它有最大值
9
,为2 .
4.D [解析 ] 整体观察图形 ,由折叠过程可知阴影部分图形的周长为 : EA1+A 1D1+BC+FC+EB+D 1F=EA+AD+BC+FC+EB+DF= (EA+EB )+AD+BC+ (FC+DF )=AB+AD+BC+CD= 2(A
∴
??4
??2 +??2
+1
=
8
3??-1 (3??-1
=
)
1 8
.
法二 :欲求
S=
??4
??2 +??2
+1
的值
,可转化成求
1
=
??
??4 +??2 +1 ??2
=x
2+
1+
?1?2 的值
.把方程
x2-3x+ 1= 0 两边都除以
x,得
1
1
x-3+ ??=0,x+ ??= 3,
x+
1 ??
2= 9.
.
8.若
x2-3
x+
1=
0,则
??4
??2 +??2
+1
的值为
.
9.[2018
·黄冈 ]
中考数学常用数学思想专题卷(附答案)
中考数学常用数学思想专题卷（附答案）一、单选题（共4题；共8分）1.甲乙两地相距180km，一列快车以40km/h的速度从甲地匀速驶往乙地，慢车出发30分钟后，一列快车以60km/h的速度从甲地匀速驶往乙地．两车相继到达终点乙地，再次过程中，两车恰好相距10km的次数是（）A. 1B. 2C. 3D. 42.已知二次函数（m为常数），当时，的最大值是15，则的值是（）A. -10和6B. -19和C. 6和D. -19和63.若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为（）A. 10B.C. 10或D. 10或4.平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点共有（）个．A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（共8题；共16分）5.正方形ABCD的边长为3，点E为射线AD上一点连接CE，设直线CE与BD交于点F，若AD＝2DE，则BF的长为________．6.已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是________．7.在△ABC中，∠A = 30°，AB = m，CD是边AB上的中线，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△ECD，若△ECD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，则△ABC的面积为________（用m的代数式表示）．8.已知：在中，为边上的高，且，若，，则的面积为________.9.在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为________度．10.已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D为平面内的任意一点，且满足CD＝AC，若△ADB是以AD为腰的等腰三角形，则∠CDB的度数为________．11.如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点（不与点A，B 重合）．若点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边△ABC的边上，则BN的长为________cm．12.如图，已知平行四边形ABCD中，AD = 6，AB = ，∠A = 45°．过点B、D分别做BE⊥AD，DF⊥BC，交AD、BC与点E、F．点Q为DF边上一点，∠DEQ = 30°，点P为EQ的中点，过点P作直线分别与AD、BC相交于点M、N．若MN = EQ，则EM的长等于________．三、综合题（共8题；共96分）13.已知二次函数y＝x2+（2m﹣2）x+m2﹣2m﹣3（m是常数）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）如果二次函数的图象经过原点．①求m的值；②若m＜0，点C是一次函数y＝﹣x+b（b＞0）图象上的一点，且∠ACB＝90°，求b的取值范围；（2）当﹣3≤x≤2时，函数的最大值为5，求m的值．14.若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”（1）若对任意m，n，点M（m，n）和点N（﹣m+4，n）恒在“等边抛物线”C1：y＝ax2+bx上，求抛物线C1的解析式；（2）若抛物线C2：y＝ax2+bx+c为“等边抛物线“，求b2﹣4ac的值；（3）对于“等边抛物线“C3：y＝x2+bx+c，当1＜x＜m时，总存在实数b，使二次函数C3的图象在一次函数y＝x图象的下方，求m的最大值．15.如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．16.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得点P在射线BC上，且∠APB＝∠ACB（0°＜∠ACB＜180°），则称P为⊙C的依附点．（1）当⊙O的半径为1时①已知点D（﹣1，0），E（0，﹣2），F（2.5，0），在点D，E，F中，⊙O的依附点是________；②点T在直线y＝﹣x上，若T为⊙O的依附点，求点T的横坐标t的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y＝﹣2x+2与x轴、y轴分别交于点M、N，若线段MN上的所有点都是⊙C的依附点，请求出圆心C的横坐标n的取值范围．17.在数轴上，点A，B，C表示的数分别是－6，10，12．点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时线段BC以每秒1个单位长度的速度也向右运动．（1）运动前线段AB的长度为________；（2）当运动时间为多长时，点A和线段BC的中点重合？（3）试探究是否存在运动到某一时刻，线段AB= AC？若存在，求出所有符合条件的点A表示的数；若不存在，请说明理由．18.如图，现有两条乡村公路AB、BC，AB长为1200米，BC长为1600，一个人骑摩托车从A处以20m/s 的速度匀速沿公路AB、BC向C处行驶；另一人骑自行车从B处以5m/s的速度从B向C行驶，并且两人同时出发．（1）求经过多少秒摩托车追上自行车？（2）求两人均在行驶途中时，经过多少秒两人在行进路线上相距150米？19.如图，在Rt△ABC，∠ABC=90°，AB=20，BC=15,点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A 运动，当运动到点A时停止.若设点D的运动时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度.（1）当t=2时，求CD、AD的长；解：t=2时，CD=2×2=4∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15∴AC=AD=AC-CD=25-4=21（1）当t=2时，求CD、AD的长；（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形，若不能，请说明理由，若能，请求出t的值；（3）当t为何值时，△CBD是等腰三角形，请直接写出t的值.20.如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣n（n＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．（1）若AB＝4，求n的值；（2）如图，若△ABC为直角三角形，求n的值；（3）如图，在（2）的条件下，若点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，是否存在以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．答案一、单选题1. D2. D3. C4. B二、填空题5. 6 或26. ﹣1.5或7. 或8. 48或1689. 60或10 10. 45°或135°11. 1或2 12. 1或2三、综合题13. （1）解：①∵二次函数的图象经过原点，∴m2﹣2m﹣3＝0，解得：m1＝﹣1，m2＝3．②∵m＜0，∴m＝﹣1．把m＝﹣1代入y＝x2+（2m﹣2）x+m2﹣2m﹣3中，得：y＝x2﹣4x．当y＝x2﹣4x＝0时，x1＝0，x2＝4，∴AB＝4．以AB为直径作⊙P，根据直径所对的圆周角为直角，可知：当一次函数y＝﹣x+b（b＞0）的图象与圆相交时，可得∠ACB＝90°．如图，一次函数y＝﹣x+b（b＞0）的图象与⊙P相切于点C，与y轴交于点E，与x轴交于点F，连接PC，易得∠PCF＝90°．当x＝0时，y＝﹣x+b＝b，∴点E（0，b）；当y＝﹣x+b＝0时，x＝b，∴点F（b，0）．∴AE＝AF＝b，∴∠PFC＝45°．又∵∠PCF＝90°，∴△PCF为等腰直角三角形，∴PF＝PC＝2 ，∴b＝AF＝2+2 ．∴b的取值范围为0＜b≤2+2（2）解：∵y＝x2+（2m﹣2）x+m2﹣2m﹣3＝（x+m﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x＝1﹣m．①当1﹣m≤﹣0.5，即m≥1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝2时，函数最大值为5，∴（2+m﹣1）2﹣4＝5，解得：m＝2或m＝﹣4（舍去）；②当1﹣m＞﹣0.5，即m＜1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝﹣3时，函数最大值为5，∴（﹣3+m﹣1）2﹣4＝5，解得：m＝1或m＝7（舍去）．综上所述，m＝2或m＝1．14. （1）解：由题意得，点H和点N关于对称轴对称，∴对称轴x＝＝2，又∵x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax，①当a＞0时，顶点坐标为（2，﹣2 ），代入y＝ax2﹣4ax，得：﹣2 ＝4a﹣8a，解得：a＝，∴y＝x2﹣2 x；②当a＜0时，顶点坐标为（2，2 ），代入y＝ax2﹣4ax，得：2 ＝4a﹣8a，解得：a＝﹣，∴y＝﹣x2+2 x；综上，y＝x2﹣2 x或y＝﹣x2+2 x（2）解：设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），令y＝ax2+bx+c＝0，∴x＝，∴AB＝|x1﹣x2|＝| ﹣|＝| |＝| |，又∵抛物线的顶点坐标为（﹣，），∴＝，∵b2﹣4ac≠0，∴| |＝，∴b2﹣4ac＝12（3）解：由（2）得b2﹣4ac＝12，∴c＝，∴C3：y＝x2+bx+ ，由题意知该等边抛物线过（1，1），∴1+b+ ＝1，解得b＝﹣6或b＝2，又对称轴x＝﹣＝﹣＞1，∴b＜﹣2，∴b＝﹣6，∴y＝x2﹣6x+6，联立，解得x＝1或x＝6，∴m的最大值为615. （1）解：对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB＝∴k＝．（2）解：如图，∵tan∠BAO＝∴∠BAO＝60°，∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°，∴∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP＝2t，当0＜t＜时，S＝•OQ•P y＝（1﹣2t）• t＝﹣t2+ t．当t＞时，S＝OQ•P y＝（2t﹣1）• t＝t2﹣t．（3）解：∵OQ+AB＝（BQ﹣OP），∴2t﹣1+2＝∴2t+1＝∴4t2+4t+1＝7t2﹣7t+7，∴3t2﹣11t+6＝0，解得t＝3或（舍弃），∴P（，），Q（5，0），设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线PQ的解析式为16. （1）①E,F②如图2，∵点T在直线y＝﹣x上，∴点T在第二象限或第四象限，直线y＝﹣x与x轴所夹的锐角为60°，当点T在第四象限，当OT＝1时，作CT⊥x轴，易求点C（，0），当OT'＝3时，作DT'⊥x轴，易求D（，0），∴满足条件的点T的横坐标t的取值范围＜t＜，当点T在第二象限，同理可得满足条件的点T的横坐标t的取值范围﹣＜t＜﹣，综上所述：满足条件的点T的横坐标t的取值范围：＜t＜或﹣＜t＜﹣，（2）解：如图3﹣1中，当点C在点M的右侧时，由题意M（1，0），N（0，2）当CN＝3时，OC＝＝，此时C（，0），当CM＝1时，此时C（2，0），∴满足条件的n的值的范围为2＜n＜．如图3﹣2中，当点C在点M的右侧时，当⊙C与直线MN相切时，由题意M（1，0），N（0，2），∴MN＝，∴sin∠MON＝＝＝，∴C'M＝∴C'M＝1﹣，∴C′（1﹣，0），当CM＝3时，C（﹣2，0），∴满足条件的m的值的范围为﹣2＜n＜1﹣，综上所述，满足条件的n的值的范围为：2＜n＜或﹣2＜n＜1﹣．17. （1）16（2）解：设当运动时间为x秒长时，点A和线段BC的中点重合，依题意有﹣6+3t=11+t，解得t=故当运动时间为秒长时，点A和线段BC的中点重合（3）解：存在，理由如下：设运动时间为y秒，①当点A在点B的左侧时，依题意有(10+y)﹣(3y﹣6)=2，解得y=7，﹣6+3×7=15；②当点A在线段BC上时，依题意有（3y-6）-（10+y）=解得y=-6+3 =19综上所述，符合条件的点A表示的数为15或1918. （1）解：设经过x秒摩托车追上自行车，20x=5x+1200，解得x=80．答：经过80秒摩托车追上自行车．（2）解：设经过y秒两人相距150米，第一种情况：摩托车还差150米追上自行车时，20y-1200=5y-150解得y=70．第二种情况：摩托车超过自行车150米时，20y=150+5y+1200解得y=90．答：经过70秒或90秒两人在行进路线上相距150米19. （1）解：t=2时，CD=2×2=4∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15∴AC=AD=AC-CD=25-4=21（2）解：①∠CDB=90°时，即解得BD=12所以CD=t=9÷2=4.5②∠CBD=90°时,点D和点A重合t=25÷2=12.5综上所述，t=4.5或12.5秒（3）t=6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形.20. （1）解：当y＝0时，x2﹣x﹣n＝0，解得：x1＝，x2＝，∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（，0）．∵AB＝4，∴﹣＝4，整理，得：9+8n＝16，解得：n＝（2）解：当x＝0时，y＝x2﹣x﹣n＝﹣n，∴点C的坐标为（0，﹣n）．∵△ABC为直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∠CBO+∠BCO＝90°，∴∠ACO＝∠CBO．又∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴，∴OA•OB＝OC2，即﹣• ＝n2，整理，得：n2﹣2n＝0，解得：n1＝0（舍去），n2＝2．（3）解：由（2）可知，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2），抛物线的对称轴为直线x＝．设点P的坐标为（m，m2﹣m﹣2），分两种情况考虑，如图2所示：①若BC为边，当四边形BCP1Q1为平行四边形时，﹣m＝4﹣0，解得：m＝﹣，∴点P1的坐标为（﹣，）；当四边形BCQ2P2为平行四边形时，m﹣＝4﹣0，解得：m＝，∴点P2的坐标为（，）．②若BC为对角线，设BC，P3Q3的交点为M，∵点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2），∴点M的坐标为（2，﹣1），∴+m＝2×2，解得：m＝，∴点P3的坐标为（，﹣）．综上所述：存在以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为（﹣，），（，）或（，﹣）．第11 页共11 页。
中考数学专题复习数学思想试题【含解析】
. 如图 1，它的
大灯 A 射出的光线 AB，AC与地面 MN的夹角分别为 22°和 31°， AT⊥ MN，垂足为 T，大灯照亮地面的宽度
BC的长为 5 m． 6
（ 1）求 BT的长（不考虑其他因素）；
（ 2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是
0.2s ，从发现危险 到电动车完全停下所行驶的
2. （2015·莱芜） 一个多边形除一个内角外其余内角的和为
1510 °，则这个多边形对角线的条数是 （
）
A． 27 B ． 35 C ． 44 D ． 54
3. 如图 4，矩形 ABCD中， AB=8，AD=6，将矩形 ABCD绕点 B 按顺时针方向旋转后得到矩形
边 A′ B 交线段 CD于 H，且 BH=DH，则 DH的值是（
例 2（ 2015·葫芦岛）如图 1，在五边形 ABCDE中，∠ A+∠ B+∠ E=300°， DP，CP分
别平分∠ EDC，∠ BCD，则∠ P 的度数是（
）
A．60° B ．65° C ．55° D ．50°
图1
解析： 根据五边形的内角和等于
540°，∠ A+∠ B+∠ E=300°，可得∠ EDC +∠
数学思想
数学思想是连接基础知识与解题能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁通、摆脱
题海的有效之路 . 中考常用的数学思想有：整体思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中
考复习备考阶段，要注意领会例题中所体现的数学思想，培养用数学思想解题的意识．
数形结合思想
例（ 2015 ·盘锦）图 1 是二次函数 y=ax 2+bx+c（ a≠ 0）图象的一部分，对称轴是直
中考数学二轮专题复习一 化归思想问题(含答案)
考数学专题复习一 化归思想问题一、总体概述数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识． 初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．二、典型例题【例题1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点． （1）求 A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积．【例题2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+=【例题3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．【例题4】已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状．【例题5】△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。
若△ABC 不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与c2的关系，并证明你的结论．三、当堂达标一、选择题1．已知|x+y|+（x －2y ）2=0，则（）1221. . . .1112x x x x A B C D y y y y =-=-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-==⎩⎩⎩⎩ 2．一次函数y=kx ＋b 的图象经过点A （0，－2）和B （－3，6）两点，那么该函数的表达式是（ ） 8.2 6 .238.8 6 .23A y x B y x C y x D y x =-+=--=--=--3．设一个三角形的三边长为3，l －2m ，8，则m 的取值范围是（ ）A ．0＜m ＜12B. －5＜m － 2 C ．－2＜m ＜5 D ．－72＜m ＜－l 4．已知11553x xy y x yx xy y +--=--，则的值为（ ） A 、72 B 、－72 C 、27 D 、－275．若24(2)16x m x +-+是完全平方式，则m=（ ）A ．6B ．4C ．0D ．4或06．如果表示a 、b 为两个实数的点在数轴上的位置如图3－l －8所示，那么化简2||()a b a b -++的结果等于（ ），A ．2aB ．2bC ．－2aD ．－2b二、填空题7．已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线x=2，且经过点（5，4）和点（1,4）则该抛物线的解析式为____________．8．用配方法把二次函数 y=x2＋3x ＋l 写成 y=（x+m ）2＋n 的形式，则y=__________________-9．若分式293x x -+的值为零，则x=________ 10函数y=2x +中自变量x 的取值范围是_______. 11如果长度分别为5、3、x 的三条线段能组成一个三角形，那么x 的范围是_______.12、点（1，6）在双曲线y= k x上，则k=______． 三、解答题13．解下歹方程（组）： 23664011(1)1x x x x x x -+=+-=----23⑴⑵x+1x215x y x y -=-⎧⎧⎨⎨-+=⎩⎩x+y=10⑶ ⑷2x-y=-114．已知2286250,x y x y ++++=求代数式224442y x x xy y x y--+++2x 的值。
【中考专卷】2020年中考数学特训卷：专题一-数学思想问题(含部分2019原创题)及答案
专题一 数学思想问题⊙热点一：数形结合思想1．(2013年甘肃天水)函数y 1＝x 和y 2＝1x的图象如图Z1-8，则使y 1＞y 2成立的x 取值范围是( )A ．x ＜－1或x ＞1B ．x ＜－1或0＜x ＜1C ．－1＜x ＜0或x ＞1D ．－1＜x ＜0或0＜x ＜1图Z1-8 图Z1-92．已知二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与一次函数y 2＝kx ＋m (k ≠0)的图象相交于点A (－2,4)，B (8,2)(如图Z1-9)，则使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是________________． 3．(2012年广东湛江)某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2009年全市荔枝种植面积为24万亩．调查分析结果显示，从2009年开始，该市荔枝种植面积y (单位：万亩)随着时间x (单位：年)逐年成直线上升，y 与x 之间的函数关系如图Z1-10.(1)求y 与x 之间的函数关系式(不必注明自变量x 的取值范围)； (2)该市2012年荔枝种植面积为多少万亩？图Z1-10⊙热点二：分类讨论思想1．(2013年贵州贵阳)如图Z1-11，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一定点，过M 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条图Z1-11 图Z1-122．(2013年福建龙岩)如图Z1-12，在平面直角坐标系xOy 中，A (0,2)，B (0,6)，动点C在直线y ＝x 上．若以A ，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个 ⊙热点三：转化与化归思想 1．(2013年广东)如图Z1-13,3个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积之和是__________(结果保留π)．图Z1-132．(2013年福建福州)如图Z1-14，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC 的顶点都在格点上，则△ABC 的面积是__________．图Z1-14 图Z1-153．(2013年广西贺州)如图Z1-15，A ，B ，C 分别是线段A 1B ，B 1C ，C 1A 的中点，若△ABC 的面积是1，那么△A 1B 1C 1的面积是__________．⊙热点四：整体思想1．(2013年江苏徐州)当m ＋n ＝3时，式子m 2＋2mn ＋n 2的值为__________．2．(2012年湖北黄冈)已知实数x 满足x ＋1x ＝3，则x 2＋1x 2的值为__________．3．(2012年江西南昌)已知(m －n )2＝8，(m ＋n )2＝2，则m 2＋n 2＝( )A ．10B ．6C ．5D ．3数学思想问题热点一1．C 2.x <－2或x >83．解：(1)设函数的解析式为y ＝kx ＋b ，由图象可知，其经过点(2009,24)和(2011,26)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 2009k ＋b ＝24，2011k ＋b ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1985. ∴y 与x 之间的关系式为y ＝x －1985.(2)令x ＝2012，得y ＝2012－1985＝27(万亩)． ∴该市2012年荔枝种植面积为27万亩． 热点二1．C 解析：过点M 作AB ，AC 或BC 的垂线，所得三角形满足题意．故选C. 2．B 解析：如图78，AB 的垂直平分线与直线y ＝x 相交于点C 1，满足条件；∵A (0,2)，B (0,6)，∴AB ＝6－2＝4.以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y ＝x 的交点为C 2，C 3.∵OB ＝6，∴点B 到直线y ＝x 的距离为6×22＝3 2.∵3 2＞4，∴以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y ＝x 没有交点．点C 的个数是1＋2＝3.故选B.图78热点三 1.3π8解析：采用割补法，则图中阴影部分的圆心角之和为135°.∴阴影部分的面积应为S ＝135π×12360＝3π8.2．2 3 解析：如图79，延长AB ，然后作出点C 所在的直线，一定交于格点E .正六边形的边长为1，则半径是1，则CE ＝4.中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是3，则△BCE 的边EC 上的高是3 32，△ACE 边EC 上的高是5 32，则S △ABC ＝S △AEC －S △BEC ＝12×4×⎝⎛⎭⎫5 32－3 32＝2 3.图79 图803．7 解析：如图80，连接AB 1，BC 1，CA 1，∵A ，B 分别是线段A 1B ，B 1C 的中点，∴S △ABB 1＝S △ABC ＝1，S △A 1AB 1＝S △ABB 1＝1.∴S △A 1BB 1＝S △A 1AB 1＋S △ABB 1＝1＋1＝2.同理，S △B 1CC 1＝2，S △A 1AC 1＝2.∴△A 1B 1C 1的面积＝S △A 1BB 1＋S △B 1CC 1＋S △A 1AC 1＋S △ABC ＝2＋2＋2＋1＝7.热点四1．9 2.7 3.C。
2020年中考数学专题拓展讲练1 数学思想方法(含答案)
专题01 数学思想方法初中数学思想方法主要有：①整体思想；②方程思想；③类比思想；④数形结合思想；⑤分类讨论思想等.考点一、整体思想【例1】（2019·浙江）已知m 是方程2x 3x 0-=的一个根，求()()2(m 3)m 2m 2-++-的值．【解析】∵m 是方程2x 3x 10-+=的一个根，∴2m 3m 10-+=， ∴2m 3m -=-1，∴原式=22m 6m 9m 4-++-=()22m 3m 5-+=3. 考点二、方程思想【例2】（2019·河北）如图，有一块三角形余料ABC ，120BC mm =，高线80AD mm =，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，点P ，M 分别在AB ，AC 上，若满足:3:2PM PQ =，则PM 的长为______.【解析】解：如图，设PM 交AD 于点E ，∵四边形PQNM 是矩形，AD ⊥BC ，∴PM ∥BC ，AD ⊥PM ，∴△APM ∽△ABC ， ∴AE PMAD BC=， ∵:3:2PM PQ =，∴设PM =3x ，PQ =2x ，则AE =80－2x ， ∴802380120x x-=，解得x =20，即PM =60mm . 故答案为：60mm . 考点三、类比思想【例3】（2019·吉林）阅读下面材料: 小明遇到下面一个问题：如图1所示，AD 是ABC ∆的角平分线，,AB m AC n ==，求BDDC的值. 小明发现，分别过B ，C 作直线AD 的垂线，垂足分别为,E F .通过推理计算，可以解决问题（如图2）.请回答，BDDC=________.参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，四边形ABCD 中，2,6,60,AB BC ABC BD ==∠=︒平分ABC ∠，AB AC ⊥，CD BD ⊥.AC 与BD 相交于点O .（1）AOOC=______. （2）tan DCO ∠=__________.【解析】由作法可知：∠BAD =∠CAD ，∠AEB =∠AFC =90°， ∴△ABE ∽△ACF ， ∴AB BEAC CF=，∵∠BDE=∠CDF，∠AEB=∠AFC=90°，∴△BDE∽△CDF，∴BD BE CD CF=，∴BD AB m CD AC n==.（1）借助上面的结论可知：2163 AO ABOC BC===；（2）∵ABO DCO∠=∠，∴3 tan tanDCO ABO∠=∠=.考点四、数形结合思想【例4】（2019·安徽）某班级同学从学校出发去太阳岛研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的同学20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候5min，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的10 7继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6 km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程S(单位：km)和行驶时间t(单位：min)之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题：(1)学校到景点的路程为________km，a=________；(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速80 km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？【解析】（1）由图形可得：学校到景点的路程为40km，小轿车的速度：4016020=-（千米/分），∵大客车中途停车等候5min，∴(30520)115 a=+-⨯=，故答案为：40，15；（2）由（1）得：15a =，得大客车原来的速度：151302=（千米/分），小轿车赶上来之后，驶过景点入口时，大客车又行驶了：101125(6035)727-⨯⨯=（千米）， ∴12550401577--=（千米） 答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有507千米.（3）设直线AF 的解析式为：=+S kt b ，小汽车驶过景点入口时为点F ， ∵(20,0)A ，(60,40)F ，∴2006040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：120k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AF 的解析式为：20S t =-当46S =时，4620t =-，66t =，小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间：40153511027-=⨯，小轿车司机折返时的速度：36(353566)2÷+-=（千米/分）90=千米/时80>千米/时，∴小轿车折返时已经超速．1．（2019·安徽）如图中的图象（折线ABCDE ）描述了一汽车在某一直道上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车共行驶了120千米； ②汽车在行驶途中停留了0.5小时； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为1603千米/时； ④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少． 其中正确的说法有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2019·湖北）当x =1时，代数式ax 3+bx +4的值为5．则x =﹣1时，ax 3+bx +4的值为 ． 3．（2019·江苏）已知a 是方程x 2﹣2013x +1=0一个根，求a 2﹣2012a +220131a 的值为_____． 4．（2019·山东）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在A '处，若EA '的延长线恰好过点C ，则sin ∠ABE 的值为_____．5．（2019·江苏）运动会上，小捷掷出的铅球在场地上砸出一个小坑（图示是其主视图），其中AB 为8cm ，小坑的最大深度为3cm ，则该铅球的半径为__________cm ．6．（2019·台州）如图，直线y ＝2x +6与反比例数y ＝xk（x ＞0）的图象交于点A （1，m ），与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ．（1）求m 的值和反比例函数的表达式； （2）观察图像，直接写出不等式2x +6-kx＞0的解集 （3）在反比例函数图像的第一象限上有一动点M ，当S △BOM <S △BOD 时，直接写出点M 纵坐标的的取值范围。
实数(整体思想)备战2023年中考数学考点微专题
考向1.7 实数（整体思想）例 1、（2021·四川内江·中考真题）若实数x 满足210x x --=，则3222021x x -+=__． 【答案】2020解：210--=x x ，21x x ∴=+，21x x -=，3222021x x -+ 2(1)22021x x x =+-+2222021x x x =+-+ 22021x x =-+12021=-+2020=．故答案为：2020．例 2、（2021·江苏苏州·中考真题）已知两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=，则b a a b+等于（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】A解：∵22=b a b a a b ab++，∴()2222==a b ab b a b a a b ab ab+-++， ∵两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=，∴()22-2===-2a b ab b a ab a b ab ab +-+， 故选：A ．例 3、（2021·广东广州·中考真题）已知3m n mnA n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）化简A ；（2）若230m n +-=，求A 的值． 【答案】（1)3m n +；（2）6．解：（1）()())22333m n m n m n mn mnA m n mn nm mn +-⎛⎫=-==+ ⎪⎝⎭；（2）∵230m n +-=，∴23m n +=，∴()3=323=6A m n =+⨯．整体思想的运用形式： （1） 整体降次； （2） 整体求值。
【知识识记与拓展】1、代数式求值中整体思想体现；2、降次中整体思想体现；3、一元次次方程根与系数关系中整体思想体现；一、单选题 1．（2018·山东潍坊·中考真题）|12|=( ) A ．12B 21C ．12D ．12-2．（2021·四川泸州·中考真题）已知1020a =，10050b =，则1322a b ++的值是（ ）A ．2B ．52C ．3D ．923．（2021·四川泸州·中考真题）关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根12,x x ，满足122x x =，则2212(2)(2)x x ++的值是（ ）A ．8B ．16C ． 32D ．16或404．（2020·江苏无锡·中考真题）若2x y +=，3z y -=-，则x z +的值等于（ ） A ．5B ．1C ．-1D ．-55．（2016·四川雅安·中考真题）已知231a a +=，则代数式2261a a +-的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．（2011·辽宁沈阳·中考真题）已知230a a +-=，那么2(4)a a +的值是（ ） A ．9B ．12-C ．18-D ．15-7．（2021·浙江台州·中考真题）已知（a ＋b ）2＝49，a 2＋b 2＝25，则ab ＝（ ）A ．24B ．48C ．12D ．8．（2021·四川自贡·中考真题）已知23120x x --=，则代数式2395x x -++的值是（ ） A ．31B ．31-C ．41D ．41-9．（2020·江苏泰州·中考真题）点(),P a b 在函数32y x =+的图像上，则代数式621a b -+的值等于（ ） A ．5B ．3C ．3-D ．1-10．（2020·重庆·中考真题）已知a +b =4，则代数式122a b++的值为（ ） A ．3B ．1C ．0D ．-111．（2020·贵州遵义·中考真题）已知x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两根，则x 12+x 22的值为（ ） A ．5B ．10C ．11D ．1312．（2019·江苏泰州·中考真题）若231a b -=-，则代数式2463a ab b -+的值为（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．3二、填空题 13．（2019·江苏常州·中考真题）如果20a b --=，那么代数式122a b +-的值是_____． 14．（2019·湖南湘潭·中考真题）若5a b +=，3a b -=，则22a b -=_____． 15．（2017·湖北·中考真题）已知2a ﹣3b=7，则8+6b ﹣4a=_____．16．（2015·江苏扬州·中考真题）若235a b -=，则2622015b a -+=______． 17．（2014·贵州贵阳·中考真题）若0m n +=，则221m n ++=____________.18．（2021·四川绵阳·中考真题）若x y -=34xy =-，则22x y -=_____．19．（2021·四川广安·中考真题）若x 、y 满足2223x y x y -=-⎧⎨+=⎩，则代数式224x y -的值为______．20．（2021·湖南岳阳·中考真题）已知1x x +1x x+=______． 21．（2020·宁夏·中考真题）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．22．（2020·湖北·中考真题）已知23x y +=，则124x y ++=______．23．（2020·广东·中考真题）已知5x y =-，2xy =，计算334x y xy +-的值为_________． 24．（2020·四川泸州·中考真题）已知12,x x 是一元二次方程2470x x --=的两个实数根，则2211224x x x x ++的值是_________．25．（2020·山东临沂·中考真题）若1a b +=，则2222a b b -+-=________．26．（2020·四川成都·中考真题）已知73a b =-，则代数式2269a ab b ++的值为_________． 27．（2020·江苏宿迁·中考真题）已知3a b +=，代数式225a b +=，则ab 的值是_____________．三、解答题 28．（2020·北京·中考真题）已知2510x x --=，求代数式(32)(32)(2)x x x x +-+-的值．一、单选题 1．（2021·广东金平·一模）如果代数式4m 2﹣2m +5的值为7，那么代数式2m 2﹣m ﹣3的值为（ ） A ．﹣3B ．3C ．2D ．﹣22．（2021·安徽·三模）已知实数a≠b≠c≠0，且满足c a ＝a ＋4，c b ＝b ＋4，则2a c ＋2b c－16c 的值为（ ） A ．2B ．－2C ．－1D ．13．（2020·江苏泰兴·模拟预测）已知24m n a =+，24n m a =+，m n ≠，则222m mn n ++的值为（ ） A ．16B ．12C ．10D ．无法确定二、填空题 4．（2018·河北·模拟预测）当代数式x 2+3x +5的值为7时，代数式3x 2+9x ﹣2的值是 ___． 5．（2021·广东·珠海市文园中学三模）已知2430x x -+=，则254x x -+=________________． 6．（2021·广东·佛山市华英学校一模）当x ＝3时，px 3+qx +1＝2020，则当x ＝﹣3时，px 3+qx +1的值为_____．7．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）设M x y =+，N x y =-，P xy =．若99M =，98N =，则P =______．8．（2021·安徽·安庆市第四中学二模）实数a ，b 满足a 2+b 2﹣2a ＝0，则4a +b 2的最大值________．9．（2021·山东乳山·模拟预测）若方程2250x x +-=的两个根是1x ，2x 12()x x >，则1211x x -的值为________．10．（2021·福建·模拟预测）已知4x y =-，2xy =，计算22x y +的值为______．11．（2021·贵州黔东南·一模）若实数m 、n 满足21010m m -+=，21010n n -+=，则代数式33m n mn +的值为______．12．（2021·四川邛崃·二模）已知代数式23a a -的值为6，则代数式2926a a -+的值为______． 13．（2021·江苏邗江·二模）若23a b -=22934a ab b -+的值等于________．14．（2021·湖南茶陵·模拟预测）如若21x x +=，则431x x x +++的值为__________．15．（2020·广东斗门·二模）已知实数m ，n 满足20191m n m n +=⎧⎨-=-⎩，则代数式m 2﹣n 2的值为_____．三、解答题 16．（2021·浙江海曙·一模）（1）已知250x x -，求代数式2210x x - （2）化简：226993x x x x x ++---．17．（2020·陕西·西安市第三十一中学模拟预测）阅读材料：“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把()a b +看成一个整体，4()2()((421)()3())a b a b a b a b a b =+-+++-++=+． 尝试应用：（1）把2()a b -看成一个整体，合并2223()5()7()---+-a b a b a b 的结果是_________． （2）已知221x y -=，求2362021--x y 的值． 拓广探索：（3）已知22,25,9-=-=--=a b b c c d ，求()(2)(2)a c b d b c -+---的值．18．（2021·江苏镇江·一模）阅读材料：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 例如：已知1xy =，求1111x y+++的值． 解：原式11111111xy y y xy x y y y y +=+=+==+++++． 问题解决： （1）已知1xy =． ①代数式221111x y +++的值为_______； ②求证：2021202111111x y +=++．（2）若x 满足22(2021)(2020)4043x x -+-=，求(2021)(2020)x x --的值．19．（2020·四川·正兴中学二模）已知2a b +=，2ab =，求32231122a b a b ab ++和22223a ab b a b ab +++的值．20．（2020·湖北·黄石八中一模）已知25,25,x y =+=-求22x y -的值．一、单选题1．已知221224a b a b +=--，则132a b -的值为（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-2．已知a ﹣b=2，则代数式2a ﹣2b ﹣3的值是（ ） A ．1B ．2C ．5D ．7二、填空题3．已知2,33xy x y =-=，则322321218x y x y xy -+=_________． 4．若2a b =+，则代数式222a ab b -+的值为__． 5．若21x x +=，则433331x x x +++的值为_____．6．若实数x 满足2210x x --=，则322742017x x x -+-=_____________．7．已知实数a ，b 满足：211a a +=，211b b+=，则2015a b -|=_____．三、解答题8．先化简，再求值：221121m m m m m m---÷++，其中m 满足：210m m --=.1．B【解析】分析：根据绝对值的性质解答即可． 解：221． 故选B ．【点拨】：此题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 2．C【分析】根据同底数幂的乘法31010010a b ⋅=，可求23a b +=再整体代入即可． 解: ∵1020a =，10050b =，∴2310100102050100010a b a b +⋅==⨯==， ∴23a b +=，∴()()1311233332222a b a b ++=++=+=． 故选：C ．【点拨】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算，代数式求值，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法法则，与代数式值求法是解题关键．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，先解得2m =或1m =-，再分别代入一元二次方程中，利用完全平方公式变形解题即可． 解：一元二次方程2220x mx m m ++-= 21,2,a b m c m m ===-2122cm x am x ==-= 220m m --= (2)(1)0m m ∴-+=2m ∴=或1m =- 当2m =时，原一元二次方程为2420x x ++=12=24bm ax x +-=-=-， 22221212122)+2((2)(2)()+4=x x x x x x +∴++，221212122=()2x x x x x x ++- 221212212212)+(2)(2)=)(2(4+4x x x x x x x x -∴+++22=2+2(4)424⨯--⨯+32=当1m =-时，原一元二次方程为2220x x +=- 2(2)41240∆=--⨯⨯=-<原方程无解，不符合题意，舍去， 故选：C ．【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，韦达定理等知识，涉及解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．C【分析】将两整式相加即可得出答案． 解：∵2x y +=，3z y -=-， ∴()()1x y z y x z ++-=+=-， ∴x z +的值等于1-， 故选：C ．【点拨】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．B解：试题分析：∵231a a +=，∴2261a a +-=22(3)1a a +-=2×1﹣1=1．故选B ． 考点：代数式求值；条件求值；整体代入．【分析】由a 2+a -3=0，变形得到a 2=-（a -3），a 2+a =3，先把a 2=-（a -3）代入整式得到a 2（a +4）=-（a -3）（a +4），利用乘法得到原式=-（a 2+a -12），再把a 2+a =3代入计算即可． 解：∵a 2+a -3=0， ∴a 2=-（a -3），a 2+a =3， a 2（a +4）=-（a -3）（a +4） =-（a 2+a -12） =-（3-12） =9． 故选：A ．【点拨】本题考查了整式的混和运算及其化简求值：先把已知条件变形，用底次代数式表示高次式，然后整体代入整式进行降次，进行整式运算求值． 7．C【分析】利用完全平方公式计算即可．解：∵()222249a b a b ab +=++=，2225a b +=， ∴4925122ab -==， 故选：C ．【点拨】本题考查整体法求代数式的值，掌握完全平方公式是解题的关键． 8．B【分析】根据题意，可先求出x 2-3x 的值，再化简()22395=3+53x x x x -++--，然后整体代入所求代数式求值即可． 解：∵23120x x --=， ∴23=12x x -，∴()223395=3+5=312+5=31x x x x -++---⨯-．故选：B ．【点拨】此题考查了代数式求值，此题的关键是代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，得出23=12x x -，是解题的关键． 9．C【分析】把(),P a b 代入函数解析式得32=+b a ，化简得32-=-a b ，化简所求代数式即可得到结果；解：把(),P a b 代入函数解析式32y x =+得：32=+b a ， 化简得到：32-=-a b ，∴()()621=231=221=-3-+-+⨯-+a b a b ． 故选：C ．【点拨】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键． 10．A【分析】通过将所求代数式进行变形，然后将已知代数式代入即可得解. 解：由题意，得 411132222a b a b +++=+=+= 故选：A.【点拨】此题主要考查已知代数式求代数式的值，熟练掌握，即可解题. 11．D【分析】利用根与系数的关系得到12123,2,x x x x +==-再利用完全平方公式得到222121212()2,x x x x x x +=+-然后利用整体代入的方法计算．解：根据题意得12123,2,x x x x +==-所以2222121212()232(2)13.x x x x x x +=+-=-⨯-=故选：D ．【点拨】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握以上知识是解题的关键． 12．B【分析】先将代数式2463a ab b -+变形后，再整体代入即可得结论． 解：2463a ab b -+()2233a a b b =-+ 23a b =-+()23a b =-- 1=故选B ．【点拨】此题考查代数式的求值，根据代数式的特点将原式变形，再整体代入已知条件是解题的关键． 13．5【分析】将所求式子化简后再将已知条件中2a b -=整体代入即可求值； 解：20a b --=，∴2a b -=，∴()12212145a b a b +-=+-=+=；故答案为5．【点拨】本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键． 14．15【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．解：∵5a b +=，3a b -=，∴22a b -()()a b a b =+-53=⨯15=故答案为15【点拨】本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键．15．-6解：试题分析：∵2a ﹣3b=7，∴8+6b ﹣4a=8﹣2（2a ﹣3b ）=8﹣2×7=﹣6，故答案为﹣6． 考点：代数式求值；整体代入．16．2005解：试题分析：2622015b a -+=()223201510+20152005a b --+=-=故答案为2005考点：代数式的求值17．1解：试题分析：把所求代数式转化成已知条件的形式，然后整体代入进行计算即可得解： ∵m+n=0，∴()22121201011m n m n ++=++=⨯+=+=．考点：1．代数式求值，2．整体思想的应用．18．0【分析】先求出22x y +，再求22x y -的平方，然后再开方即可求出22x y -．解：∴x y -=2()3x y ∴-=，2223x xy y ∴-+=， ∵34xy =-， ∴22332x y ++=，∴2232x y +=， 22222222()()4x y x y x y ∴-=+-9940416=-⨯=， 220x y ∴-=，故答案为：0．【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，等式的灵活变形是本题的关键．19．-6【分析】根据方程组中x +2y 和x -2y 的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可．解：∵x -2y =-2，x +2y =3，∴x 2-4y 2=（x +2y ）（x -2y ）=3×（-2）=-6，故答案为：-6．【点拨】本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键．20．0【分析】把1x x+=解：10x x+== 故答案为：0．【点拨】本题考查了求代数式的值，涉及二次根式的减法运算，整体代入法是解决本题的关键．21．27【分析】根据题意得出a 2+b 2=15，（b-a ）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b ）2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b ）2即可．解：由题意可得在图1中：a 2+b 2=15，（b-a ）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b ）2，∵（b-a ）2=3a 2-2ab+b 2=3，∴15-2ab=32ab=12，∴（a+b ）2=a 2+2ab+b 2=15+12=27，故答案为：27．【点拨】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．22．7【分析】由23x y +=可得到246x y +=，然后整体代入124x y ++计算即可．解：∵23x y +=，∴()2224236x y x y +=+=⨯=，∴124167x y ++=+=，故答案为：7．【点拨】本题考查了代数式的求值问题，注意整体代入的思想是解题的关键．23．7【分析】将代数式化简，然后直接将5x y +=，2xy =代入即可．解：由题意得5x y +=，2xy =，∴3343()41587x y xy x y xy +-=+-=-=，故答案为：7．【点拨】本题考查了提取公因式法，化简求值，化简334x y xy +-是解题关键．24．2【分析】由已知结合根与系数的关系可得：12x x +=4，12x x ⋅= -7，2211224x x x x ++=()212122x x x x ++，代入可得答案. 解：∵12,x x 是一元二次方程2470x x --=的两个实数根，∴12x x +=4，12x x ⋅= -7，∴2211224x x x x ++=()212122x x x x ++=()2427+⨯- =2，故答案为：2．【点拨】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，难度不大，属于基础题 25．-1【分析】将原式变形为()()22a b a b b +-+-，再将1a b +=代入求值即可.解：2222a b b -+-=()()22a b a b b +-+-将1a b +=代入，原式=22a b b -+-=2a b +-=1-2=-1故答案为：-1.【点拨】本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为()()22a b a b b +-+-.26．49【分析】先将条件的式子转换成a +3b =7，再平方即可求出代数式的值．解：∵73a b =-，∴37a b +=，∴()2222693749a ab b a b ++=+==，故答案为：49．【点拨】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换． 27．2【分析】根据完全平方公式()2222a b a ab b +=++，代入计算即可得出结果.解：由()2222a b a ab b +=++可得：2352ab =+ 解得：2ab =故答案为2.【点拨】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键. 28．21024x x --，-2【分析】先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把2510x x --=变形后，整体代入求值即可．解：原式=22942x x x -+-2102 4.x x =--∵2510x x --=，∴251x x -=，∴21022x x -=，∴原式=242-=-．【点拨】本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，整体代入求值是解题的关键．1．D【分析】由代数式4m 2﹣2m +5的值为7，可得到4m 2﹣2m =2，两边除以2得到2m 2﹣m =1，然后把2m 2﹣m =1代入2m 2﹣m ﹣3即可得到答案．解：∵4m2﹣2m+5=7，∴4m2﹣2m=2，∴2m2﹣m=1把2m2﹣m=1代入2m2﹣m﹣3得，2m2﹣m﹣3=1-3=-2．故选D．【点拨】本题考查了代数式求值：先把代数式变形，然后利用整体代入的方法求代数式的值．2．A【分析】由ca＝a＋4，cb＝b＋4，可求出c=a2+4a，c=b2+4b，进而可得a+b=-4，a2=c-4a，b2=c-4b，代入所给代数式求解即可．解：∵ca＝a＋4，cb＝b＋4，∴c=a2+4a，c=b2+4b，∴a2+4a =b2+4b，∴a2-b2=4b-4a，∴(a+b)(a-b)=-4(a-b)，∵a≠b≠c≠0，∴a+b=-4，∵c=a2+4a，c=b2+4b，∴a2=c-4a，b2=c-4b，∴4c ac-＋4c bc-－16c=2+() 416a bc-+-=2+() 4416c-⨯--=2．故选：A【点拨】本题考查了分式的化简求值，因式分解的应用等知识，求出a+b=-4，a2=c-4a，b2=c-4b 是解答本题的关键．3．A【分析】先由已知条件得出m+n的值，再把m2+2mn+n2化成完全平方的形式，再进行计算即可．解：∵24m n a=+，24n m a=+，∴224(4)444()m n n a m a n m n m -=+-+=-=-，即()()4()m n m n m n +-=--，即(4)()0m n m n ++-=，又∵m≠n ，∴m+n+4＝0，即m+n ＝﹣4，∴22222()(4)16m mn n m n ++=+=-=．故选：A ．【点拨】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出m+n 的值是解题的关键．4．4【分析】根据题意确定出x 2+3x 的值，原式变形后代入计算即可求出值．解：由题意得：x 2+3x +5=7，即x 2+3x =2，则3x 2+9x ﹣2=3（x 2+3x ）-2=6-2=4，故答案为：4．【点拨】本题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．8【分析】由题意，先得到243x x -=-，然后整体代入计算，即可得到答案．解：∵2430x x -+=，∴243x x -=-，∴2254(4)5(3)58x x x x -+=--+=--+=；故答案为：8．【点拨】本题考查了求代数式的值，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到243x x -=-，运用整体代入的运算法则进行解题．6．-2018【分析】把x ＝3代入代数式得27p +3q ＝2019，再把x ＝﹣3代入，可得到含有27p +3q 的式子，直接解答即可．解：当x ＝3时， px 3+qx +1＝27p +3q +1＝2020，即27p +3q ＝2019，所以当x ＝﹣3时， px 3+qx +1＝﹣27p ﹣3q +1＝﹣（27p +3q ）+1＝﹣2019+1＝﹣2018． 故答案为：﹣2018．【点拨】此题考查了代数式求值；代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式27p +3q 的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 7．49.25【分析】先分别求出（x +y ）2和（x -y ）2的值，根据完全平方公式展开，再相减，即可求出xy 的值，再得出答案即可．解：∵M =x +y =99，∴两边平方，得（x +y ）2=992，即x 2+y 2+2xy =992①，∵N =x -y =98，∴两边平方，得（x -y ）2=982，即x 2+y 2-2xy =982②，∴①-②，得4xy =992-982=（99+98）×（99-98）=197，∴xy =1974=49.25， 即P =xy =49.25，故答案为：49.25．【点拨】本题考查了完全平方公式和平方差公式，能灵活运用完全平方公式进行计算是解此题的关键，注意：（x +y ）2=x 2+y 2+2xy ，（x -y ）2=x 2+y 2-2xy ．8．8【分析】根据条件变形为222=-b a a ，确定出a 的取值范围，将4a +b 2转化为()239a --+即可．解：∵a 2+b 2﹣2a ＝0，∴()2211a b -+=，2a ＝a 2+b 2，222=-b a a∴()2211b a =--，∵b 2≥0，∴()2110a --≥，∴0≤a ≤2，∴4a +b 2=()()22242639a a a a a a +-=--=--+， ∵-1<0，∴当a <3时，式子的值随a 的增大而增大，∴当2a =时，4a +b 2的最大值为8．故答案为8．【点拨】本题考查代数式的最值问题，将代数式变形，利用完全平方公式配方，利用非负数的性质是解题关键．9【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得1212x x +=- ，1252x x ⋅=- ，然后利用完全平方公式的变形可求出12x x -= 解：∵方程2250x x +-=的两个根是1x ，2x ， ∴1212x x +=- ，1252x x ⋅=- ， ∵()2221212122x x x x x x +=++， ∴2221215212224x x ⎛⎫⎛⎫+=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， ∴()2221212122154122424x x x x x x ⎛⎫-=+-=-⨯-= ⎪⎝⎭ ，∴12x x -=±， ∵12x x >，∴12x x -=∴122121()11252-==-=--x x x x x x． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和 完全平方公式的变形，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．10．12【分析】根据22x y +=（x +y ）2-2xy ，再根据已知条件代入计算即可得出答案．解：∵4x y =-，∴4x y +=，∴()222224412x y x y xy +=+-=-=．故答案为：12．【点拨】本题主要考查了完全平方公式的变式应用，熟练掌握完全平方公式的变式进行计算是解决本题的关键．11．98【分析】由题意得：m 、n 是方程21010x x -=+的两个根，利用跟与系数的关系，得出10m n +=，1⋅=m n ，进而即可求解．解：∵实数m 、n 满足21010m m -+=，21010n n -+=，∴m 、n 是方程21010x x -=+的两个根，∴10m n +=，1⋅=m n ，∴33m n mn +=222()()2mn m n mn m n mn ⎡⎤+=+-⎣⎦=21102198⎡⎤⨯-⨯=⎣⎦，故答案是：98．【点拨】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，把实数m 、n 看作是方程21010x x -=+的两个根，是解题的关键．12．-3【分析】构造等式23a a -=6，同乘以-2后，整体代入计算即可．解：∵23a a -=6，∴22612a a -+=-，∴2926a a -+=9+（-12）=-3，故答案为：-3．【点拨】本题考查了条件等式型的代数式求值，准确构造条件等式，并灵活进行变形，后整体代入是解题的关键．13．2【分析】由23a b -=32a b -=32a b -解：∵23a b -=∴32a b -= ∴22934a ab b -+=23()2a b -=2， 故答案为：2【点拨】本题考查利用完全平方公式求代数式的值，熟练掌握完全平方公式，运用整体代入的思想是解题关键．14．2【分析】利用提公因式分将原式变形为22()1x x x x +++，然后利用整体代入思想代入求解．解：∵21x x +=，∴431x x x +++=22()1x x x x +++=21x x ++=1+1=2．故答案为：2【点拨】本题考查了因式分解的应用，掌握提公因式的技巧把所求多项式进行灵活变形，并利用整体代入思想求解是解题关键．15．-2019【分析】直接利用平方差公式将原式变形得出答案．解：∵实数m ，n 满足20191m n m n +=⎧⎨-=-⎩， ∴m 2﹣n 2＝（m +n ）（m ﹣n ）＝﹣2019．故答案为：﹣2019．【点拨】此题主要考查了平方差公式，根据题目要求正确将原式变形是解题关键．16．（1（2）33x - 【分析】（1）将条件变形后，两边同时乘以2，然后整体代入求值即可；（2）因式分解，约分后转化为同分母分式的减法计算即可．解：.解：（1）由已知得：25x x -=∴原式()225x x =-==（2）原式2(3)(3)(3)3+=-+--x x x x x 333+=---x x x x 33x =-． 【点拨】本题考查了条件型代数式的值，分式的减法，熟练掌握整体变形代入求值，因式分解后约分等技能是解题的关键．17．（1）25()a b -；（2）-2018；（3）6【分析】（1）把2()a b -看做一个整体，合并即可得到结果；（2）原式前两项提取3变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（3）原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．解：（1）25()a b -．（2）∵221x y -=，∴2362021--x y()2322021x y =--32021=-2018=-（3）∵22,25,9-=-=--=a b b c c d ，∴()(2)(2)a c b d b c -+---=a-c+2b-d-2b+c=a-d=a-2b+2b-c+c-d=（a-2b ）+（2b-c ）+（c-d ）=2-5+9=6．【点拨】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（1）①1；②证明见解析；（2）2021．【分析】（1）①把xy =1代入221111x y +++，分母提取公因式，约分，再根据分式加法法则计算即可得答案；②由xy =1可得20212021x y =1，同①的方法计算即可得结论；（2）设2021x a -=，2020x b -=，可得1a b -=，利用完全平方公式求出ab 的值即可得答案．解：（1）①∵xy =1， ∴221111x y +++ =22xy xy xy x xy y +++ =()()xy xy x y x y x y +++ =x y x y++ =1．故答案为：1②∵xy =1，∴20212021x y =1， ∴202120211111x y +++ =20212021202120212021202111x y x y x y +++=202120212021202120211(1)1x y x y y +++ =202120212021111y y y +++ =2021202111y y ++ =1．（2）设2021x a -=，2020x b -=，∴1a b -=，∵22(2021)(2020)4043x x -+-=，∴224043a b +=，∴222()2a b a b ab -=+-=4043-2ab =1，解得：ab=2021，∴(2021)(2020)x x --=2021．【点拨】本题考查利用提取公因式法和完全平方公式因式分解及分式的加法，熟练掌握完全平方公式及分式的加法法则是解题关键．19．4； 32【分析】(1)先提取公因式12ab 后，再因式分解即可求解； (2)对分子和分母分别进行因式分解后代入数据即可求解. 解：232232211=(12)122()22++++=+ab a ab a b a b ab a b b ab 再代入数据：2a b +=，2ab =∴原式12442=⨯⨯= 故答案为：4.222222233()()()++++++==+++a ab b a ab b a b ab a b ab ab a b ab a b 再代入数据：2a b +=，2ab =∴原式=22263==2242+=⨯. 故答案为：32. 【点拨】本题考查分式的加减乘除混合运算，运算前先因式分解，熟练掌握运算法则是解决此类题的关键.20．【分析】先把22x y -分解因式，然后把x ，y 的值代入化简即可.解：()()2242585x y x y x y -=+-=⨯=【点拨】本题考查了代数式的运算，运用平方差公式对原式进行因式分解是解题的关键.1．A 【分析】根据221224a b a b +=--，变形可得：()22221121111042a a b b a b ⎛⎫-++++=-++= ⎪⎝⎭，因此可求出1a =，2b =-，把a 和b 代入132a b -即可求解． 解：∵221224a b a b +=-- ∴()22221121111042a a b b a b ⎛⎫-++++=-++= ⎪⎝⎭ 即2(1)0a -=，21(1)02b += ∴求得：1a =，2b =-∴把a 和b 代入132a b -得：131(2)42⨯-⨯-= 故选：A【点拨】本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键．2．A解：试题分析：∵a ﹣b=2，∴2a ﹣2b ﹣3=2（a ﹣b ）﹣3=2×2﹣3=1．故选A ． 考点：代数式求值．3．36【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可．解：∵2,33xy x y =-=，∴原式=()222322336xy x y -=⨯⨯=，故答案是：36．【点拨】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．4．4. 【分析】由2a b =+，可得2a b -=，所求代数式变形后，整体代入即可．解：2a b =+，2a b ∴-=，22222()24a ab b a b ∴-+=-==，故答案为4【点拨】本题考查了代数式求值，利用完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式的结构特征是解答本题的关键．5．4【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．解：∵21x x +=，∴()43222233313313313()1314x x x x x x x x x x x +++=+++=++=++=+=；故答案为4．【点拨】本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键． 6．﹣2020．解：∵2210x x --=，∴221x x =+，322742017=2(21)-7(21)42017x x x x x x x -+-+++-=242147+42017x x x x +--- =2482024=4(21)82024x x x x --+--=4﹣2024=﹣2020，故答案为﹣2020．7．1．解：试题分析：∵2110a a +=>，2110b b+=>，∴0a >，0b >，∴()10ab a b ++>，∵211a a +=，211b b+=，两式相减可得2211a b a b -=-，()()b a a b a b ab -+-=，[()1]()0ab a b a b ++-=，∴0a b -=，即a b =，∴2015a b -=02015=1．故答案为1． 考点：1．因式分解的应用；2．零指数幂．8．2m m+1，1． 【分析】将分式运用完全平方公式及平方差公式进行化简，并根据m 所满足的条件得出2m =m+1，将其代入化简后的公式，即可求得答案． 解：原式为22m -1m-1m-m +2m+1m÷ =2(m+1)(m-1)m m-(m+1)m-1⨯ =m m-m+1=2m m m-m+1m+1=2mm+1，又∵m满足2m-m-1=0，即2m=m+1，将2m代入上式化简的结果，∴原式=2m m+1==1 m+1m+1．【点拨】本题主要考察了分式的化简求值、分式的混合运算、完全平方公式及平方差公式的应用，该题属于基础题，计算上的错误应避免．。
中考数学专题一 整体思想复习题及答案
中考数学专题一整体思想复习题及答案1. 已知a-b=1，求2a-2b-3的值。
2. 分解因式(x-1)^2-2(x-1)+1。
3. 化简5(2x-3)+4(3-2x)。
4. 当x=-7时，计算(2x+5)(x+1)-(x-3)(x+1)的值。
5. 若a=2，a+b=3，求a+ab的值。
6. 解方程组{x+2y=4k+1, 2x+y=k+2, 0<x+y<3}，求k的取值范围。
7. 若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2需10元；买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5需25元。
求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样的总价。
解：设铅笔单价为x，日记本单价为y，圆珠笔单价为z，列出方程组：4x+3y+2z=109x+7y+5z=25解：由于半圆A和半圆B与y轴相切于点O，所以O是坐标轴的中心点。
设半圆A的半径为r，半圆B的半径为s，则有r+s=2，r^2+s^2=(2r)^2。
解得r=2/3，s=4/3。
设抛物线的方程为y=ax^2+bx+c，代入三个点的坐标，得到三个方程：a+b+c=14a+2b+c=09a+3b+c=410. 已知A=2x+y，B=2x-y，求A^2-B^2的值。
11. 已知y+2x=1，求(y+1)^2-(y^2-4x)的值。
12. 已知xy=-3，求(-2xy-y)/(x-2y-y^2)的值。
13. 已知一元二次方程x^2+2x+k+1=0有两个实数解x1和x2。
(1)求k的取值范围；(2)如果x1+x2-x1x2<-1，且k为整数，求k的值。
解：(1)由于x1和x2都是实数，所以判别式Δ=4-4(k+1)>=0，即k<=-1。
又由于x1和x2都是实数，所以方程的两个根的和x1+x2=-2，所以k的取值范围为k<=-3。
(2)由于x1和x2都是实数，所以判别式Δ=4-4(k+1)>=0，即k-3。
所以k的取值为-2。
1. 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了代数的数学思想。
中考数学总复习训练数学思想问题含解析
数学思想问题一、选择题1．函数y1=x和y2=的图象如图所示，则y1＞y2的x取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜12．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．54．已知（m﹣n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（）A．10 B．6 C．5 D．3二、填空题5．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＜y2成立的x的取值范围是．6．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．7．如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是．8．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积．9．当m+n=3时，式子m2+2mn+n2的值为．10．若实数x满足，则的值= ．三、解答题11．某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2009年全市荔枝种植面积为24万亩．调查分析结果显示．从2009年开始，该市荔枝种植面积y（万亩）随着时间x（年）逐年成直线上升，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）；（2）该市2012年荔枝种植面积为多少万亩？数学思想问题参考答案与试题解析一、选择题1．函数y1=x和y2=的图象如图所示，则y1＞y2的x取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】计算题．【分析】由两函数的交点横坐标，利用图象即可求出所求不等式的解集．【解答】解：由图象得：y1＞y2的x取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1．故选C【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．2．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】相似三角形的判定．【分析】过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．【解答】解：∵截得的三角形与△ABC相似，∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意∴过点M作直线l共有三条，故选C．【点评】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时，运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．【专题】压轴题．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x的交点为点C，再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x 的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点．【解答】解：如图，AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，∵A（0，2），B（0，6），∴AB=6﹣2=4，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，∵OB=6，∴点B到直线y=x的距离为6×=3，∵3＞4，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，所以，点C的个数是1+2=3．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．4．已知（m﹣n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（）A．10 B．6 C．5 D．3【考点】完全平方公式．【专题】计算题．【分析】根据完全平方公式由（m﹣n）2=8得到m2﹣2mn+n2=8①，由（m+n）2=2得到m2+2mn+n2=2②，然后①+②得，2m2+2n2=10，变形即可得到m2+n2的值．【解答】解：∵（m﹣n）2=8，∴m2﹣2mn+n2=8①，∵（m+n）2=2，∴m2+2mn+n2=2②，①+②得，2m2+2n2=10，∴m2+n2=5．故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．二、填空题5．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＜y2成立的x的取值范围是﹣2＜x＜8 ．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的部分的x的取值范围即可．【解答】解：由图形可得，当﹣2＜x＜8时，二次函数图象在一次函数图象下方，y1＜y2，所以，使y1＜y2成立的x的取值范围是﹣2＜x＜8．故答案为：﹣2＜x＜8．【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象求不等式的解，关键在于认准在上方与下方的函数图象所对应的函数解析式，数形结合是数学中的重要思想之一．6．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．【考点】扇形面积的计算．【专题】压轴题．【分析】阴影部分可看成是圆心角为135°，半径为1是扇形．【解答】解：根据图示知，∠1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，∴阴影部分的面积应为：S==．故答案是：．【点评】本题考查学生的观察能力及计算能力．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．7．如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是2．【考点】正多边形和圆．【分析】延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC=S△AEC﹣S△BEC即可求解．【解答】解：延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是：，则△BCE的边EC上的高是：，△ACE边EC上的高是：，则S△ABC=S△AEC﹣S△BEC=×4×（﹣）=2．故答案是：2．【点评】本题考查了正多边形的计算，正确理解S△ABC=S△AEC﹣S△BEC是关键．8．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积7 ．【考点】三角形的面积．【专题】压轴题．【分析】连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解．【解答】解：如图，连接AB1，BC1，CA1，∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，∴S△ABB1=S△ABC=1，S△A1AB1=S△ABB1=1，∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2，同理：S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，∴△A1B1C1的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7．故答案为：7．【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．9．当m+n=3时，式子m2+2mn+n2的值为9 ．【考点】完全平方公式．【分析】将代数式化为完全平方公式的形式，代入即可得出答案．【解答】解：m2+2mn+n2=（m+n）2=9．故答案为：9．【点评】本题考查了完全平方公式的知识，解答本题的关键是掌握完全平方公式的形式．10．若实数x满足，则的值= 7 ．【考点】完全平方公式．【专题】计算题．【分析】先根据完全平方公式变形得到x2+=（x+）2﹣2，然后把满足代入计算即可．【解答】解：x2+=（x+）2﹣2=32﹣2=7．故答案为7．【点评】本题考查了完全平方公式：（x±y）2=x2±2xy+y2．也考查了代数式的变形能力以及整体思想的运用．三、解答题11．某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2009年全市荔枝种植面积为24万亩．调查分析结果显示．从2009年开始，该市荔枝种植面积y（万亩）随着时间x（年）逐年成直线上升，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）；（2）该市2012年荔枝种植面积为多少万亩？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据函数图象经过的点的坐标代入函数的解析式利用待定系数法求得函数的解析式即可；（2）将2012代入上题求得的函数解析式，求得自变量的值即可．【解答】解：（1）由图象可知函数图象经过点（2009，24）和（2011，26）设函数的解析式为：y=kx+b，则由题意得：，解得：，∴y与x之间的关系式为y=x﹣1985；（2）令x=2012，∴y=2012﹣1985=27（万亩），答：该市2012年荔技种植面积为27万亩．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出一次函数模型，利用一次函数的知识解决实际问题．。
中考数学专题一 整体思想复习题及答案
第四部分 中考专题突破专题一 整体思想1．(2011年江苏盐城)已知a －b ＝1，则代数式2a －2b －3的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－5 D ．52．(2012年江苏无锡)分解因式(x －1)2－2(x －1)＋1的结果是( ) A ．(x －1)(x －2) B ．x 2 C ．(x ＋1)2 D ．(x －2)23．(2012年山东济南)化简5(2x －3)＋4(3－2x )结果为( ) A ．2x －3 B ．2x ＋9 C ．8x －3 D ．18x －34．(2011年浙江杭州)当x ＝－7时，代数式(2x ＋5)(x ＋1)－(x －3)(x ＋1)的值为________． 5．(2012年江苏苏州)若a ＝2，a ＋b ＝3，则 a 2＋ab ＝______.6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4k ＋1，2x ＋y ＝k ＋2，且0<x ＋y <3，则k 的取值范围是 ______________.7．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需______元．8．如图Z1－2，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD ，EF 均和x 轴垂直，以点O 为顶点的两条抛物线分别经过点C ，E 和点D ，F ，则图中阴影部分的面积是________．图Z1－29．如图Z1－3, ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________________.图Z1－310．(2012年浙江丽水)已知A ＝2x ＋y ，B ＝2x －y ，计算A 2－B 2的值．11．(2010年福建南安)已知y ＋2x ＝1，求代数式(y ＋1)2－(y 2－4x )的值．12.已知1x －1y ＝3，求代数式2x －14xy －2y x －2xy －y的值．13．(2011年四川南充)关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋k ＋1＝0的实数解是x 1和x 2. (1)求k 的取值范围；(2)如果x 1＋x 2－x 1x 2＜－1，且k 为整数，求k 的值．14．阅读下列材料，解答问题．为了解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则原方程可化为y 2－5y ＋4＝0①.解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，x ＝±2；当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，x ＝±5.故x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－ 5.解答问题：(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；(2)用上述方法解方程：x 4－x 2－6＝0. h第四部分 中考专题突破 专题一 整体思想 【专题演练】1．A 2.D 3.A 4.－6 5.66．－35<k <65 解析：将方程组的两式相加，得3(x ＋y )＝5k ＋3，所以x ＋y ＝53k ＋1.从而0<53k ＋1<3，解得－35<k <65.7．5 解析：设铅笔每支x 元， 日记本每本y 元，圆珠笔每支z 元，有： ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋2z ＝10， ①9x ＋7y ＋5z ＝25. ② ②－①，得5x ＋4y ＋3z ＝15， ③ ③－①，得x ＋y ＋z ＝5. 8.π29．360° 解析：因为∠1＋∠2＝∠DAB ，∠3＋∠4＝∠IBA ，∠5＋∠6＝∠GCB ，根据三角形外角和定理，得∠DAB ＋∠IBA ＋∠GCB ＝360°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.10．解：原式＝(2x ＋y )2－(2x －y )2＝[](2x ＋y )－(2x －y )·[](2x ＋y )＋(2x －y )＝8xy . 11．解：原式＝y 2＋2y ＋1－y 2＋4x ＝2y ＋4x ＋1 ＝2(y ＋2x )＋1 ＝2×1＋1＝3.12．解：原式＝2y －14－2x 1y －2－1x ＝－2⎝⎛⎭⎫1x －1y －14－⎝⎛⎭⎫1x －1y －2＝－6－14－3－2＝4. 13．解：(1)∵方程有实数根， ∴Δ＝22－4(k ＋1)≥0，解得k ≤0. ∴k 的取值范围是k ≤0.(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝k ＋1， x 1＋x 2－x 1x 2＝－2－(k ＋1)，由已知，得－2－(k ＋1)＜－1，解得k ＞－2， 又由(1)，可知：k ≤0， ∴－2＜k ≤0.又∵k 为整数，∴k 的值为－1或0. 14．解：(1)换元 整体思想(2)设x2＝y，则原方程化为y2－y－6＝0.解得y1＝3，y2＝－2.当y＝3时，x2＝3，解得x＝±3；当y＝－2时，x2＝－2，无解．∴x1＝3，x2＝－ 3.。
中考数学复习专题-数学思想方法一(含详细参考答案)
中考数学复习专题-数学思想方法（一）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
例1 10．（德州）已知，则a+b等于（）A．3 B．C．2D．1考点：解二元一次方程组。
810360专题：计算题。
分析：①+②得出4a+4b=12，方程的两边都除以4即可得出答案．解答：解：，∵①+②得：4a+4b=12，∴a+b=3．故选A．点评：本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用整体思想求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目．运用整体思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析。
中考数学总复习 第二轮 中考题型专题 专题复习(一)数学思想方法试题及答案
专题复习(一) 数学思想方法1．(2016·威海)若x 2－3y －5＝0，则6y －2x 2－6的值为(D)A ．4B ．－4C ．16D ．－162．(2016·兰州)如图，用—个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(C)A ．π cmB ．2π cmC ．3π cmD ．5π cm3．(2016·恩施)已知∠AOB＝70°，以O 为端点作射线OC ，使∠AOC＝42°，则∠BOC 的度数为(C) A ．28° B ．112° C ．28°或112° D ．68°4．(人教9上教材P116T8变式)如图，扇形纸扇完全打开后，外侧面两竹条AB ，AC 夹角为120°，AB 的长为30 cm ，扇面BD 的长为20 cm ，则扇面的面积为(A)A.8003π c m 2B.203π cm 2C.803π cm 2D.1 6003π cm 25．如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1 cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm ，已知y 与t 的函数关系的图形如图2(曲线OM 为抛物线的一部分)，则下列结论：①AD＝BE ＝5 cm ；②当0＜t≤5时，y ＝25t 2；③直线NH 的解析式为y ＝－52t ＋27；④若△ABE 与△QBP 相似，则t ＝294秒．其中正确的结论个数为(B)图1 图2A ．4B ．3C ．2D ．1提示：①②④正确，直线NH 的解析式为y ＝－52t ＋552.6．(2016·淄博)如图，△ABC 的面积为16，点D 是BC 边上一点，且BD ＝14BC ，点G 是AB 上一点，点H在△ABC 内部，且四边形BDHG 是平行四边形．则图中阴影的面积是(B)A ．3B ．4C ．5D ．67．(2016·雅安)已知a ＋b ＝8，a 2b 2＝4，则a 2＋b22－ab ＝28或36．8．(2016·荆州)若函数y ＝(a －1)x 2－4x ＋2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为1，2或－1．提示：分函数为一次函数和二次函数两种情况考虑．9．(2016·随州)已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x 2－8x ＋15＝0的根，则该等腰三角形的周长为19或21或23．10．(2016·临沂)如图，将一矩形纸片ABCD 折叠，使两个顶点A ，C 重合，折痕为FG.若AB ＝4，B C ＝8，则△ABF 的面积为6．11．(2016·东营)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＞AB ，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是4．提示：DE ＝2OD ，又OD 的最小值就是当OD⊥BC 时的情况，此时OD ＝12AB ＝2，∴DE 的最小值为4.12．(2016·鄂州)如图，AB ＝6，O 是AB 的中点，直线l 经过点O ，∠1＝120°，P 是直线l 上一点．当△APB 为直角三角形时，AP13．(2016·江西)如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB ＝8，A D ＝7，E 为AB 上一点，AE ＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是14．(2016·宜宾)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点(不含B 、C 两点)，将△ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将△CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA 、NA ，则以下结论中正确的有①②⑤(写出所有正确结论的序号)．①△CMP ∽△BPA ；②四边形AMCB 的面积最大值为10；③当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线； ④线段AM 的最小值为25；⑤当△ABP≌△ADN 时，BP ＝42－4.15．关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根． (1)求a 的最大整数值； (2)当a 取最大整数值时， ①求出该方程的根；②求2x 2－32x －7x 2－8x ＋11的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，∴a －6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a －6)×9≥0.解得a≤709且a≠6.∴a 的最大整数值为7.(2)①当a ＝7时，原一元二次方程变为x 2－8x ＋9＝0.解得x 1＝4＋7，x 2＝4－7.②∵x 是一元二次方程x 2－8x ＋9＝0的根，∴x 2－8x ＝－9.∴2x 2－32x －7x 2－8x ＋11＝2x 2－32x －7－9＋11＝2x 2－16x ＋72＝2(x 2－8x)＋72＝2×(－9)＋72＝－292.16．(2016·岳阳)已知关于x 的方程x 2－(2m ＋1)x ＋m(m ＋1)＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x ＝0，求代数式(2m －1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m －5的值(要求先化简再求值)．解：(1)证明：∵b 2－4ac ＝(2m ＋1)2－4m(m ＋1)＝1，∴b 2－4ac ＞0，即方程总有两个不相等的实数根． (2)∵方程的一个根为x ＝0， ∴m(m ＋1)＝0.∴原式＝4m 2－4m ＋1＋9－m 2＋7m －5＝3m 2＋3m ＋5 ＝3m(m ＋1)＋5 ＝3×0＋5＝5.。
中考数学二轮专题复习1一 化归思想问题(含答案)
中考数学专题复习一 化归思想问题一、总体概述数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识． 初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．二、典型例题【例题1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点． （1）求 A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积．【例题2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+=【例题3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．【例题4】已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状．【例题5】△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。
若△ABC 不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与c2的关系，并证明你的结论．三、当堂达标一、选择题1．已知|x+y|+（x －2y ）2=0，则（）1221. . . .1112x x x x A B C D y y y y =-=-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-==⎩⎩⎩⎩ 2．一次函数y=kx ＋b 的图象经过点A （0，－2）和B （－3，6）两点，那么该函数的表达式是（ ） 8.2 6 .238.8 6 .23A y x B y x C y x D y x =-+=--=--=--3．设一个三角形的三边长为3，l －2m ，8，则m 的取值范围是（ ）A ．0＜m ＜12B. －5＜m － 2 C ．－2＜m ＜5 D ．－72＜m ＜－l 4．已知11553x xy y x yx xy y +--=--，则的值为（ ） A 、72 B 、－72 C 、27 D 、－275．若24(2)16x m x +-+是完全平方式，则m=（ ）A ．6B ．4C ．0D ．4或06．如果表示a 、b 为两个实数的点在数轴上的位置如图3－l －8所示，那么化简2||()a b a b -++的结果等于（ ），A ．2aB ．2bC ．－2aD ．－2b二、填空题7．已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线x=2，且经过点（5，4）和点（1,4）则该抛物线的解析式为____________．8．用配方法把二次函数 y=x2＋3x ＋l 写成 y=（x+m ）2＋n 的形式，则y=__________________-9．若分式293x x -+的值为零，则x=________ 10函数y=21x x +-中自变量x 的取值范围是_______. 11如果长度分别为5、3、x 的三条线段能组成一个三角形，那么x 的范围是_______.12、点（1，6）在双曲线y= k x上，则k=______． 三、解答题13．解下歹方程（组）： 23664011(1)1x x x x x x -+=+-=----23⑴⑵x+1x215x y x y -=-⎧⎧⎨⎨-+=⎩⎩x+y=10⑶ ⑷2x-y=-114．已知2286250,x y x y ++++=求代数式224442y x x xy y x y --+++2x 的值。
中考数学__整体思想练习题
中考数学专项讲解 整体思想知识梳理整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后．得出结论．整体思想的应用，要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体构造．整体思想作为重要的数学思想之一，我们在解题过程中经常使用．整体思想使用得恰当，能提高解题效率和能力，减少不必要的计算和走弯路，直奔主题．因而在处理数与式的运算、方程、几何计算等方面有着广泛应用．是初中数学学习中的重要思想方法．典型例题一、在数与式的运算中的应用【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 【分析】 如果根据题意直接求出x 再代入到2463x x -+中求值将非常麻烦，特别是x 为一个无理数．考虑到由题意3x 2－4x=3成立，而3x 2－4x 是243x x -的3倍，所以可以将243x x -看作一个整体，则2461673x x -+=+=． 【解】D此题是灵活运用数学方法，解题技巧求值的问题，首先要观察一直条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解【练习】先化简，再求值222142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中a 满足a 2－2a －1=0． 【分析】 对分式进行化筒结果为212a a-，如果把a 求出具体值再代入计算会很麻烦，但如果把a 2－2a 看成一个整体，则由已知可得a 2－2a =1，所以原式=2112a a =-． 【解】原式=()()()222214*********a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+-----÷== ⎪ ⎪------⎝⎭当a 2－2a =1时，原式=2112a a=-．【例2】计算：11111111123420082342007⎛⎫⎛⎫+++++++++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (111111111234)20082342007⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…+?+ 【分析】 如果直接计算，运算量非常大，观察括号内的算式的特征．考虑用“整体替换”．【解】设：11112342008a +++=…+，11112342007b +++=…+， 则原式=a (1+b)－(1+a )b=a －b=12008． 二、在方程中的应用【例3】(08绍兴)若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需__________元．【分析】 设日记本、圆珠笔的单价分别为x 元，y 元，根据题意得方程组：2425x y x y +=⎧⎨+=⎩，如果解出x 和y 再求4支圆珠笔、4本日记本需多少元完全可以，但只要我们细心观察只要将方程的两式相加得3x+3y=9，这样可得x+y=3，即圆珠笔和日记本的单价和为3，把它作为一个整体直接乘以4就能得到答案为12元．【解】D【例4】(08苏州)解方程：()2221160x x x x +++-=． 【分析】 直接去分母解方程固然可以，但观察方程可以先用换元的方法简化方程．【解】 设1x t x +=，则原方程可化为2t 2+t －6=0，解方程得：t 1=－2，232t =， 113x ∴=-，x 2=2，经检验113x =-，x 2=2是原方程的解． 三、在几何计算中的应用【例5】如图⊙A ，⊙B ，⊙C两两不相交，且半径都是0．5 cm ，则图中的阴影部分的面积是( )A ．12πcm 2B ．8πcm 2C ．4πcm 2D ．6πcm 2 【分析】 由于不能求出各个扇形的面积，因此要将三个阴影部分作整体考虑，注意到三角形内角和为180°，所以三个扇形的圆心角和为180°，又因为各个扇形的半径相等，所以阴影部分的面积就是半径为0．5 cm 的半圆的面积，即2210.528cm ππ⨯⨯=．选择B ． 【答案】B综合训练1．当代数式a+b的值为3时，代数式2a+2b+1的值是( ) A．5 B．6 C．7 D．82．用换元法解方程(x2+x) 2+2(x2+x)－1=0，若设y=x2+x，则原方程可变形为( ) A．y2+2y+1=0 B．y2－2y+1=0 C．y2+2y－1=0 D．y2－2y－1=03．当x=1时，代数式a x3+bx+7的值为4，则当x=－l时，代数式a x3+bx+7的值为A．7 B．10 C．11 D．12 ( )4．若方程组36133x y kx y+=+⎧⎨+=⎩的解x，y满足0<x+y<1，则k的取值范围是( )A．－4<k<0 B．－1<k<0 C．0<k<8 D．k>－45．(08芜湖)已知113x y-=，则代数式21422x xy yx xy y----的值为_________．6．已知x2－2x－1=0，且x<0，则1xx-=__________．7．如果(a2+b2) 2－2(a2+b2)－3=0，那么a2+b2=_________．8．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米．9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2．10．如图，ABCD是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心、1为半径画弧(弧的端点分别在四边形的相邻两边上)，则这4条弧长的和是__________．11．如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD 、EF 均和x 轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是________．12．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需10元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需_________元．13．(08烟台)已知x(x －1)－(x 2－y)=－3，求x 2+y 2－2xy 的值．14．(07泰州)先化简，再求值：2224124422a a a a a a⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a 是方程x 2+3x+1=0的根．15．阅读材料，解答问题．为了解方程(x 2－1) 2－5(x 2－1)+4=0．我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1= y ，则原方程可化为y 2－5y+4=0①．解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，x 2－1=1，∴x 2=2，∴2x =y=4时，x 2－1=4，∴x 2=5，∴5x =．∴12x 22x =-35x =45x =-．解答问题：(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；(2)用上述方法解方程：x 4－x 2－6=0．参考答案1．C 2．C 3．B 4．A 5．4 6．2 7．3 8．2+2+ 9．49 10．2π11．2π 12．5 13．原题化简得x －y=3，∴x 2+y 2－2xy=(x －y) 2=32=9．14．解：原式=()()()()()22222121222222a a a a a a a a a a a ⎡⎤+---+⎛⎫+⨯=+⨯⎢⎥ ⎪---⎝⎭-⎢⎥⎣⎦ ()()231322a a a a +==+a 是方程x 2+3x+1=0的根，∴a 2+3a +1=0，∴a 2+3a =－1，∴原式=－12． 15．(1)换元 整体(2)设x 2=y 则原方程可化为y 2－y －6=0，解得y 1=3，y 2=－2<0(舍去)∴当y=3时，x 2=3，∴x =x =。
中考数学专题复习整体思想试题
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
2021年中考数学专题复习-----整体思想 〔北师大版〕整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的部分特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体构造上，通过对其全面深入的观察，从宏观整体上认识问题的本质，把一些彼此HY ，但本质又互相严密联络着的量作为整体来处理的思想方法。
整体思想在处理数学问题时有着广泛的应用。
一、整体思想在数与式中的应用 例1、计算111111111111111123423452345234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 分析：假设按运算顺序进展计算，计算量比拟大，观察各个括号里的算式，看一下它们之间的联络，想方法用“整体交换〞。
解：设1111111,234234a b +++=++=，那么1a b -=。
将它们代入原式，得 原式=()111111555555a b a b ab a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-+=+--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
点拨：该题中，假设把每一个括号里的算式看做一个多项式，按照多项式乘法法那么先算乘法，再算减法，这样有很多项可以互相抵消。
因此，用“整体交换〞可以简化中间互为相反数的项，能使运算简便。
例2、当1x =时，代数式31px qx ++的值是2021，那么当1x =-时，代数式31px qx ++的值是〔 〕. A.1999- B.2000- C.2001- D.1999分析：由题设有12001p q ++=。
欲求当1x =-时，代数式31px qx ++的值，似乎需要分别求出p 和q 的值，其实这不必要也不可能。
我们可视p q +为一整体，得2000p q +=，当1x =-时，代数式()3111120001999px qx p q p q ++=--+=-+=-=-。
解：A 。
点拨：此题运用的还是整体代入的方法。
例3、假设13x x +=，那么221_____.x x+=分析：此题假设按常规，先求出x 的值，再代入计算那么非常冗繁，假设将1x x+看成一个整体，两边平方得：219x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2217.x x +=解：7。
中考数学思想方法专题练习(含答案)
向点
移动．若点 ， 均以
的速度同时出发，且当一点移动
到终点时，另一点也随之停止，连接
，则线段
的最小值是
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A.
B.
10. 如图，矩形纸片
折叠，使点
落在点
于
中， 处，
C.
， 交
D.
，将 于点 ，则
沿 的长等
A.
B.
C.
D.
11. 如图，在
中，
从点 沿
沿 向点
向点 以
在运动过程中，四边形
即
，
当直线
经过
时，
，解得
；
当直线
与抛物线 有相等的实数解，解得
有唯一公共点时，方程 ，
所以当直线
与新图象有 个交点时， 的取值范围为
．
第二部分 18. 19.
20.
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21.
22.
或
23.
或
24.
或或
25. 或
26.
或
或
27.
【解析】连接 ，根据点 ，求出扇形
为 的中点可得 的面积，最后用
B.
C.
分别交
轴， 轴于
的图象上位于直线上方的一点，
交
于点
，
D.
，， 轴交
，则
是反比 于
的值为
A. 8. 如图
积
B.
C.
D.
，点
从菱形
的顶点
的速度匀速运动到点 ．图
是点
随时间
变化的关系图象，则
出发，沿 运动时，
的值为
以 的面
A.
B.
C.
D.
东营专版2019年中考数学复习专题类型突破专题一5大数学思想方法训练含答案
专题一5大数学思想方法类型一分类讨论思想(2018·临沂中考)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．【分析】 (1)先判定四边形BDFA是平行四边形，可得FD＝AB，再根据AB＝CD，即可得出FD＝CD；(2)当GC＝GB时，点G在BC的垂直平分线上，分情况讨论，即可得到旋转角α的度数．【自主解答】在数学中，如果一个命题的条件或结论有多种可能的情况，难以统一解答，那么就需要按可能出现的各种情况分类讨论，最后综合归纳问题的正确答案．1．(2018·宿迁中考)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是( )A．5 B．4 C．3 D．22．(2018·随州中考)为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天(1≤x≤15，且x为整数)每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：天数(x) 1 3 6 10每件成本p(元) 7.5 8.5 10 12任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y(件)与x(天)满足如下关系：设李师傅第x天创造的产品利润为W元．(1)直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？(3)任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？类型二数形结合思想(2018·齐齐哈尔中考)某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20 min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的107继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6 km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程s(km)和行驶时间t(min)之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题：(1)学校到景点的路程为________ km，大客车途中停留了________ min，a＝________；(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速 80 km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？(4)若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待________分钟，大客车才能到达景点入口．【分析】 (1)根据图形可得总路程和大客车途中停留的时间，先计算小轿车的速度，再根据时间计算a的值；(2)计算大客车的速度，可得大客车后来行驶的速度，计算小轿车赶上来之后大客车行驶的路程，从而可得结论；(3)先计算直线CD的解析式，计算小轿车驶过景点入口6 km时的时间，再计算大客车到达终点的时间，根据路程与时间的关系可得小轿车行驶6 km的速度与80 km/h作比较可得结论．(4)利用路程÷速度＝时间计算出大客车所用时间，计算与小轿车的时间差即可．【自主解答】把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得以解决．3．(2018·大庆中考)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)，点B(3，0)，点C(4，y 1)，若点D(x 2，y 2)是抛物线上任意一点，有下列结论： ①二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值为－4a ； ②若－1≤x 2≤4，则0≤y 2≤5a； ③若y 2＞y 1，则x 2＞4；④一元二次方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两个根为－1和13.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2018·苏州中考)如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝kx 在第一象限内的图象经过点D 交BC 于点E.若AB ＝4，CE ＝2BE ，tan∠AOD＝34，则k 的值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．125．(2018·上海中考)一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．(1)求y 关于x 的函数关系式；(不需要写自变量的取值范围)(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？类型三 转化与化归思想(2017·江西中考)如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB 水平，且与屏幕BC 垂直．(1)若屏幕上下宽BC ＝20 cm ，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长；(2)若肩膀到水平地面的距离DG ＝100 cm ，上臂DE ＝30 cm ，下臂EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离FH ＝72 cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°？(参考数据：sin 69°≈1415，cos 21°≈1415，tan 20°≈411，tan 43°≈1415，所有结果精确到个位)【分析】 (1)在Rt△ABC 中利用三角函数即可直接求解；(2)延长FE 交DG 于点I ，利用三角函数求得∠DEI 即可求得β的值，从而作出判断． 【自主解答】把一种数学问题合理地转化成另一种数学问题可以有效地解决问题．在解三角形中，将非直角三角形问题转化为解直角三角形问题，把实际问题转化为数学问题等．6．(2018·山西中考)如图，正方形ABCD 内接于⊙O，⊙O 的半径为2，以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是( )A ．4π－4B ．4π－8C ．8π－4D ．8π－87．(2018·黄冈中考)则a －1a ＝6，则a 2＋1a2值为______．8．(2018·白银中考)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A ，B 两地被大山阻隔，由A 地到B 地需要绕行C 地，若打通穿山隧道，建成A ，B 两地的直达高铁，可以缩短从A 地到B 地的路程．已知∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC ＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程将缩短约多少公里？(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)类型四 方程思想(2018·娄底中考)如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的点，AC ︵＝BC ︵，弦CD 交AB 于点E.(1)当PB 是⊙O 的切线时， 求证：∠PBD＝∠DAB； (2)求证：BC 2－CE 2＝CE·DE；(3)已知OA ＝4，E 是半径OA 的中点，求线段DE 的长．【分析】 (1)由AB 是⊙O 的直径知∠BAD＋∠ABD＝90°，由PB 是⊙O 的切线知∠PBD＋∠ABD＝90°，据此可得证；(2)连接OC ，设圆的半径为r ，证△ADE∽△CBE，由AC ︵＝BC ︵知∠AOC＝∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可得证；(3)先求出BC ，CE ，再根据BC 2－CE 2＝CE·DE 计算可得． 【自主解答】在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化．9．(2018·白银中考)若正多边形的内角和是1 080°，则该正多边形的边数是________．10．(2018·上海中考)如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在△AB C的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC 上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是________．类型五函数思想(2017·杭州中考)在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.(1)设矩形的相邻两边长分别为x，y.①求y关于x的函数解析式；②当y≥3时，求x的取值范围；(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【分析】(1)①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；(2)直接利用x＋y的值结合根的判别式得出答案．【自主解答】在解答此类问题时，建立函数模型→求出函数解析式→结合函数解析式与函数的性质作出解答．要注意从几何和代数两个角度思考问题．11．(2018·桂林中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y 轴交于点C.(1)求抛物线y的函数解析式及点C的坐标；(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；(3)在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案类型一【例1】 (1)如图1，连接AF.由四边形ABCD是矩形，结合旋转可得BD＝AF，∠EAF＝∠ABD.∵AB＝AE，∴∠ABD＝∠AEB，∴∠EAF＝∠AEB，∴BD∥AF，∴四边形BDFA是平行四边形，∴FD＝AB.∵AB＝CD，∴FD＝CD.(2)如图2，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边时，连接DG，CG，BG，易知点G也是AD的垂直平分线上的点，∴DG＝AG.又∵AG＝AD，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴α＝60°.如图3，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的左边时，连接CG，B G，DG，同理，△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，此时α＝300°.综上所述，当α为60°或300°时，GC＝GB.变式训练1．C2．解：(1)设p与x之间的函数关系式为p＝kx＋b，代入(1，7.5)，(3，8.5)得 k＋b＝7.5， k＝0.5， 解得 3k＋b＝8.5， b＝7， 即 p 与 x 的函数关系式为 p＝0.5x＋7(1≤x≤15，x 为整数)． 当 1≤x＜10 时， W＝[20－(0.5x＋7)](2x＋20)＝－x ＋16x＋260. 当 10≤x≤15 时， W＝[20－(0.5x＋7)]×40＝－20x＋520， －x ＋16x＋260（1≤x<10，x为整数）， 即 W＝ －20x＋520（10≤x≤15，x为整数）. 2 2(2)当 1≤x＜10 时， W＝－x ＋16x＋260＝－(x－8) ＋324， ∴当 x＝8 时，W 取得最大值，此时 W＝324. 当 10≤x≤15 时，W＝－20x＋520， ∴当 x＝10 时，W 取得最大值，此时 W＝320. ∵324＞320，∴李师傅第 8 天创造的利润最大，最大利润是 324 元． (3)当 1≤x＜10 时， 令－x ＋16x＋260＝299，得 x1＝3，x2＝13， 当 W＞299 时，3＜x＜13. ∵1≤x＜10，∴3＜x＜10.当 10≤x≤15 时， 令 W＝－20x＋520＞299，得 x＜11.05，∴10≤x≤11. 由上可得，李师傅获得奖金的月份是 4 月到 11 月，李师傅共获得奖金为 20×(11－3)＝160(元)． 答：李师傅共可获得 160 元奖金． 类型二 【例 2】(1)由图形可得学校到景点的路程为 40 km，大客车途中停留了 5min， 小轿车的速度为 40 ＝1(km/min)， 60－202 2 2a＝(35－20)×1＝15. 故答案为 40，5，15. 15 1 (2)由(1)得 a＝15，∴大客车的速度为 ＝ (km/min)． 30 2 10 1 125 125 50 小轿车赶上来之后，大客车又行驶了(60－35)× × ＝ (km)，40－ －15＝ (km)． 7 2 7 7 750 答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有 km. 7 20k＋b＝0， k＝1， (3)设直线 CD 的解析式为 s＝kt＋b，将(20，0)和(60，40)代入得 解得 60k＋b＝40， b＝－20， ∴直线 CD 的解析式为 s＝t－20. 当 s＝46 时，46＝t－20，解得 t＝66. 40－15 小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间为 ＝35(min)， 1 10 × 2 7 3 小轿车司机折返时的速度为 6÷(35＋35－66)＝ (km/min)＝90 km/h＞80km/h. 2 答：小轿车折返时已经超 速． 40 (4)大客车的时间： ＝80(min)，80－70＝10(min)． 1 2 故答案为 10. 变式训练 3．B 4.A 5．解：(1)设该一次函数解析式为 y＝kx＋b， 将(150，45)，(0，60)代入 y＝kx＋b 中得 150k＋b＝45， k＝－ ， 10 解得 b＝60， 1b＝60，1 ∴该一次函数解析式为 y＝－ x＋60. 10 1 (2)当 y＝－ x＋60＝8 时，解得 x＝520， 10 即行驶 520 千米时，油箱中的剩余油量为 8 升． 530－520＝10(千米)， 油箱中的剩余油量为 8 升时，距离加油站 10 千米． 答：在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是 10 千米． 类型三 BC 【例 3】 (1)∵Rt△ABC 中，tan A＝ ， AB ∴AB＝ BC BC 20 ＝ ≈ ＝55(cm)． tan A tan 20° 4 11(2)如图，延长 FE 交 DG 于点 I，则四边形 GHFI 为矩形，∴IG＝FH， ∴DI＝DG－FH＝100－72＝28(cm)． DI 28 14 在 Rt△DEI 中，sin∠DEI＝ ＝ ＝ ， DE 30 15 ∴∠DEI≈69°， ∴β ＝180°－69°＝111°≠100°， ∴此时 β 不符合科学要求的 100°. 变式训练 6．A 7.8 8．解：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.在 Rt△ADC 和 Rt△BCD 中， ∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°， AC＝640， ∴CD＝320，AD＝320 3， ∴BD＝CD＝320，BC＝320 2， ∴AC＋BC＝640＋320 2≈1 088， ∴AB＝AD＋BD＝320 3＋320≈864， ∴1 088－864＝224(公里)． 答：隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将缩短约 224 公里． 类型四 【例 4】 (1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°. ∵PB 是⊙O 的切线， ∴∠ABP＝90°，∴∠PBD＋∠ABD＝90°， ∴∠BAD＝∠PBD. (2)∵∠A＝∠DCB，∠AED＝∠CEB， ∴△ADE∽△CBE， ∴ DE AE ＝ ，即 DE·CE＝AE·BE. BE CE如图，连接 OC.设圆的半径为 r， 则 OA＝OB＝OC＝r， 则 DE·CE＝AE·BE＝(OA－OE)(OB＋OE)＝r －OE . ︵ ︵ ∵AC＝BC， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∴CE ＝OE ＋OC ＝OE ＋r ， BC ＝BO ＋CO ＝2r ， 则 BC －CE ＝2r －(OE ＋r )＝r －OE ， ∴BC －CE ＝DE·CE. (3)∵OA＝4，∴OB＝OC＝OA＝4， ∴BC＝ OB ＋OC ＝4 2. 又∵E 是半径 OA 的中点， ∴AE＝OE＝2， 则 CE＝ OC ＋OE ＝ 4 ＋2 ＝2 5. ∵BC －CE ＝DE·CE， ∴(4 2) －(2 5) ＝DE·2 5， 6 5 解得 DE＝ . 5 变式训练 12 9．8 10. 7 类型五 3 【例 5】 (1)①由题意可得 xy＝3，则 y＝ . x 3 ②当 y≥3 时， ≥3，解得 x≤1， x ∴x 的取值范围是 0＜x≤1. (2)∵一个矩形的周长为 6，∴x＋y＝3，2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 2 ∴x＋ ＝3，整理得 x －3x＋3＝0. x ∵b －4ac＝9－12＝－3＜0， ∴矩形的周长不可能是 6，∴圆圆的说法不对． ∵一个矩形的周长为 10，∴x＋y＝5， 3 2 ∴x＋ ＝5，整理得 x －5x＋3＝0. x ∵b －4ac＝25－12＝13＞0，∴矩形的周长可能是 10， ∴方方的说法对． 变式训练 11．解：(1)将点 A，B 的坐标代入函数解析式得 9a－3b＋6＝0， a＝－2， 解得 a＋b＋6＝0， b＝－4，2 2∴抛物线的函数解析式为 y＝－2x －4x＋6， 当 x＝0 时，y＝6，∴点 C 的坐标为(0，6)． (2)由 MA＝MB＝MC 得 M 点在 AB 的垂直平分线上，M 点在 AC 的垂直平分线上． 设 M(－1，y)，由 MA＝MC 得 (－1＋3) ＋y ＝(y－6) ＋(－1－0) ， 11 解得 y＝ ， 4 11 ∴点 M 的坐标为(－1， )． 4 (3)①如图，过点 A 作 DA⊥AC 交 y 轴于点 F，交 CB 的延长线于点 D. ∵∠ACO＋∠CAO＝90°，∠DAO＋∠CAO＝90°，∠ACO＋∠AFO＝90°， ∴∠DAO＝∠ACO，∠CAO＝∠AFO， ∴△AOF∽△COA， ∴ AO CO ＝ ， OF AO2 2 2 2 22∴AO ＝OC·OF. 3 3 3 ∵OA＝3，OC＝6，∴OF＝ ＝ ，∴F(0，－ )． 6 2 2 3 ∵A(－3，0)，F(0，－ )， 2 1 3 ∴直线 AF 的解析式为 y＝－ x－ . 2 2 ∵B(1，0)，C(0，6)，2∴直线 BC 的解析式为 y＝－6x＋6， 1 3 x＝11， y＝－ x－ ， 2 2 联立 解得 24 y＝－6x＋6， y＝－ ， 15 11 15 24 24 ∴D( ，－ )，∴AD＝ 5，AC＝3 5， 11 11 11 24 5 11 8 ∴tan∠ACB＝ ＝ . 11 3 5∵4tan∠ABE＝11tan∠ACB， ∴tan∠ABE＝2. 如图，过点 A 作 AM⊥x 轴，连接 BM 交抛物线于点 E. ∵AB＝4，tan∠ABE＝2， ∴AM＝8， ∴M(－3，8)． ∵B(1，0)，M(－3，8)， ∴直线 BM 的解析式为 y＝－2x＋2. y＝－2x＋2， 联立 2 y＝－2x －4x＋6， x＝－2， x＝1， 解得 或 (舍去) y ＝ 6 y＝0， ∴E(－2，6)． ②当点 E 在 x 轴下方时，如图，过点 E 作 EG⊥AB，连接 BE. 设点 E(m，－2m －4m＋6)， GE 2m ＋4m－6 ∴tan∠ABE＝ ＝ ＝2， BG －m＋1 ∴m＝－4 或 m＝1(舍去)， 可得 E(－4，－10)． 综上所述，E 点坐标为(－2，6)或(－4，－10)．2 2。
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第四部分 中考专题突破
专题一 整体思想
1．(2011年江苏盐城)已知a －b ＝1，则代数式2a －2b －3的值是( )
A ．－1
B ．1
C ．－5
D ．5
2．(2012年江苏无锡)分解因式(x －1)2－2(x －1)＋1的结果是( )
A ．(x －1)(x －2)
B ．x 2
C ．(x ＋1)2
D ．(x －2)2
3．(2012年山东济南)化简5(2x －3)＋4(3－2x )结果为( )
A ．2x －3
B ．2x ＋9
C ．8x －3
D ．18x －3
4．(2011年浙江杭州)当x ＝－7时，代数式(2x ＋5)(x ＋1)－(x －3)(x ＋1)的值为________．
5．(2012年江苏苏州)若a ＝2，a ＋b ＝3，则 a 2＋ab ＝______.
6．已知⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ＝4k ＋1，2x ＋y ＝k ＋2，且0<x ＋y <3，则k 的取值范围是 ______________. 7．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需______元．
8．如图Z1－2，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD ，EF 均和x 轴垂直，以点O 为顶点的两条抛物线分别经过点C ，E 和点D ，F ，则图中阴影部分的面积是________．
图Z1－2
9．如图Z1－3, ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________________.
图Z1－3
10．(2012年浙江丽水)已知A ＝2x ＋y ，B ＝2x －y ，计算A 2－B 2的值．
11．(2010年福建南安)已知y ＋2x ＝1，求代数式(y ＋1)2－(y 2－4x )的值．
12.已知1x －1y ＝3，求代数式2x －14xy －2y x －2xy －y
的值．
13．(2011年四川南充)关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋k ＋1＝0的实数解是x 1和x 2.
(1)求k 的取值范围；
(2)如果x 1＋x 2－x 1x 2＜－1，且k 为整数，求k 的值．
14．阅读下列材料，解答问题．
为了解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则原方程可化为y 2－5y ＋4＝0①.解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，x ＝±2；当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，x ＝±5.故x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－ 5.
解答问题：
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；
(2)用上述方法解方程：x 4－x 2－6＝0.
h
第四部分 中考专题突破
专题一 整体思想
【专题演练】
1．A 2.D 3.A 4.－6 5.6
6．－35<k <65 解析：将方程组的两式相加，得3(x ＋y )＝5k ＋3，所以x ＋y ＝53k ＋1.从而0<53
k ＋1<3，解得－35<k <65
. 7．5 解析：设铅笔每支x 元， 日记本每本y 元，圆珠笔每支z 元，有：
⎩
⎪⎨⎪⎧
4x ＋3y ＋2z ＝10， ①9x ＋7y ＋5z ＝25. ② ②－①，得5x ＋4y ＋3z ＝15， ③
③－①，得x ＋y ＋z ＝5.
8.π2
9．360° 解析：因为∠1＋∠2＝∠DAB ，∠3＋∠4＝∠IBA ，∠5＋∠6＝∠GCB ，根据三角形外角和定理，得∠DAB ＋∠IBA ＋∠GCB ＝360°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.
10．解：原式＝(2x ＋y )2－(2x －y )2＝[](2x ＋y )－(2x －y )·
[](2x ＋y )＋(2x －y )＝8xy . 11．解：原式＝y 2＋2y ＋1－y 2＋4x
＝2y ＋4x ＋1
＝2(y ＋2x )＋1
＝2×1＋1＝3.
12．解：原式＝2y －14－2x 1y －2－1x
＝－2⎝⎛⎭⎫1x －1y －14－⎝⎛⎭⎫1x －1y －2 ＝－6－14－3－2
＝4. 13．解：(1)∵方程有实数根，
∴Δ＝22－4(k ＋1)≥0，解得k ≤0.
∴k 的取值范围是k ≤0.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得
x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝k ＋1，
x 1＋x 2－x 1x 2＝－2－(k ＋1)，
由已知，得－2－(k ＋1)＜－1，解得k ＞－2，
又由(1)，可知：k ≤0，
∴－2＜k ≤0.
又∵k 为整数，∴k 的值为－1或0.
14．解：(1)换元 整体思想
(2)设x2＝y，
则原方程化为y2－y－6＝0.
解得y1＝3，y2＝－2.
当y＝3时，x2＝3，解得x＝±3；当y＝－2时，x2＝－2，无解．
∴x1＝3，x2＝－ 3.。