初一数学幂的运算
初一数学第1讲幂的运算
第1讲 幂的运算一、 基本公式：m n m n a a a +=二、应用公式：1、顺用公式：问题1、计算：（1）35aa a （2）35x x -⋅ ⑶231m m b b +⋅⑷m n p a a a ⋅⋅ （5）()()7633-⨯- （6）()()57a a a ---变形练习：（1）234aa a a （2）()()48x x x ---2、常用等式： ()()b a a b -=-- ()()22b a a b -=-()()33b a a b -=-- ()()44b a a b -=- ()()2121n n b a a b ++-=-- ()()22n n b a a b -=- 问题2、（1）()()()38b a b a b a ---（2）()()()21221222n n n x y y x x y +----（3）()()()48x y y x y x --- （4）()()()37x y y x y x ---3、逆用公式：问题3、已知64,65m n == ，求6m n +的值。
变形练习：（1）已知7,6m n aa == ，求m n a +的值。
（2）已知2129,5m m a a ++==，求33m a +的值。
4、利用指数相等解题：问题4、已知2111m aa +=，求m 的值；变形练习：（1）已知31232m -=，求m 的值；（2）已知，146m n x x x --=，求n m 22-的值。
专题二 幂的乘方一、基本公式：()mn n m a a =（m ,n 都是整数）。
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
二、应用公式： 1、顺用公式：（1）34)(10= （2）34a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = （3）()32m = （4）()=-312n x 2、逆用公式：（1）已知23a= 求6a 的值；（2）已知32a = 求12a 的值；专题三 积的乘方一、基本公式：()n n n b a ab =（n 是正整数） 积的乘方等于每一个因数分别乘方的积。
七年级数学幂的运算讲解与例题
8.1 幂的运算1．了解幂的运算性质，会利用幂的运算性质进行计算．2．通过幂的运算性质的形成和应用，养成观察、归纳、猜想、论证的能力，提高计算和口算的能力．3．了解和体会“特殊—一般—特殊”的认知规律，体验和学习研究问题的方法，培养思维严谨性，做到步步有据，正确熟练，养成良好的学习习惯．1．同底数幂的乘法(1)同底数幂的意义“同底数幂”顾名思义，是指底数相同的幂．如32与35，(－5)2与(－5)6，(a＋b)4与(a＋b)3等表示的都是同底数的幂．(2)幂的运算性质1同底数幂相乘，底数不变，指数相加．用字母可以表示为：a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)．(3)性质的推广运用当三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这一性质，如：a m·a n·a p＝a m＋n＋p(m，n，p是正整数)．(4)在应用同底数幂的乘法的运算性质时，应注意以下几点：①幂的底数a可以是任意的有理数，也可以是单项式或多项式；底数是和、差或其他形式的幂相乘，应把这些和或差看作一个“整体”．②底数必须相同才能使用同底数幂的乘法公式，若底数不同，则不能使用；注意：－a n 与(－a)n不是同底数的幂，不能直接用性质．③不要忽视指数是1的因数或因式．【例1－1】(1)计算x3·x2的结果是______；(2)a4·(－a3)·(－a)3＝__________.解析：(1)题中的底数都是x，是两个同底数幂相乘的运算式子，只需运用同底数幂相乘的性质进行运算，即x3·x2＝x3＋2＝x5；(2)应先把底数分别是a，－a的幂化成同底数的幂，才能应用同底数幂的乘法性质，原式＝a4·(－a3)·(－a3)＝a4·a3·a3＝a4＋3＋3＝a10.答案：(1)x5(2)a10正确运用幂的运算性质解题的前提是明确性质的条件和结论．例如同底数幂的乘法，条件是底数相同，且运算是乘法运算，结论是底数不变，指数相加．【例1－2】计算：(1)(x＋y)2·(x＋y)3；(2)(a－2b)2·(2b－a)3.分析：(1)把(x＋y)看作底数，可根据同底数幂的乘法性质来解；(2)题中(a－2b)2可转化为(2b－a)2，或者把(2b－a)3转化为－(a－2b)3，就是两个同底数的幂相乘了．解：(1)原式＝(x＋y)2＋3＝(x＋y)5；(2)方法一：原式＝(2b －a )2·(2b －a )3＝(2b －a )5；方法二：原式＝(a －2b )2·[－(a －2b )3]＝－(a －2b )5.本题应用了整体的数学思想，把(x ＋y )和(a －2b )看作一个整体，(2)题中的两种解法所得的结果实质是相等的，因为互为相反数的奇次幂仍是互为相反数． 2．幂的乘方(1)幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘．如(a 5)3是指三个a 5相乘，读作“a 的五次幂的三次方”，即有(a 5)3＝a 5·a 5·a 5＝a 5＋5＋5＝a 5×3；(a m )n 表示n 个a m 相乘，读作“a 的m 次幂的n 次方”，即有(a m )n ＝m m m n a a a ⋅⋅⋅L 1442443个＝m m m n a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L L 142431424314243144444424444443个个个个＝a mn(m ，n 都是正整数) (2)幂的运算性质2幂的乘方，底数不变，指数相乘．用字母可以表示为：(a m )n ＝a mn(m ，n 都是正整数)．这个性质的最大特点就是将原来的乘方运算降次为乘法运算，即底数不变，指数相乘． (3)性质的推广运用幂的乘方性质可推广为： [(a m )n ]p ＝a mnp(m ，n ，p 均为正整数)．(4)注意(a m )n 与am n的区别 (a m )n 表示n 个a m 相乘，而am n 表示m n 个a 相乘，例如：(52)3＝52×3＝56,523＝58.因此，(a m )n ≠am n .【例2】(1)计算(x 3)2的结果是( )．A ．x 5B ．x 6C ．x 8D ．x 9(2)计算3(a 3)3＋2(a 4)2·a ＝__________.解析：(1)根据性质，底数不变，指数相乘，结果应选B ；(2)先根据幂的乘方、同底数幂相乘进行计算，再合并同类项得到结果．3(a 3)3＋2(a 4)2·a ＝3a 3×3＋2a 4×2·a ＝3a 9＋2a 8·a ＝3a 9＋2a 9＝5a 9.答案：(1)B (2)5a 9防止“指数相乘”变为“指数相加”，同时防止“指数相乘”变为“指数乘方”．如(a 4)2＝a 4＋2＝a 6与(a 2)3＝a 23＝a 8都是错误的．3．积的乘方(1)积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如(2ab )3，(ab )n等．(2ab )3＝(2ab )·(2ab )·(2ab )(乘方意义)＝(2×2×2)(a ·a ·a )(b ·b ·b )(乘法交换律、结合律) ＝23a 3b 3.(ab )n ＝n ab ab ab ()()()L 1442443个＝n a a a (⋅⋅⋅)L 14243个n b b b (⋅⋅⋅⋅)L 14243个＝a n b n(n 为正整数)．(2)幂的运算性质3积的乘方等于各因式乘方的积．也就是说，先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的结果相乘．用字母可以表示为：(ab )n ＝a n b n(n 是正整数)． (3)性质的推广运用三个或三个以上的乘方也具有这一性质，如(abc )n ＝a n b n c n(n 是正整数)．【例3】计算：(1)(－2x )3；(2)(－xy )2；(3)(xy 2)3·(－x 2y )2；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12ab 2c 34.分析：(1)要注意－2x 含有－2，x 两个因数；(2)－xy 含有三个因数：－1，x ，y ；(3)把xy 2看作x 与y 2的积，把－x 2y 看作－1，x 2，y 的积；(4)－12ab 2c 3含有四个因数－12，a ，b 2，c 3，先运用积的乘方性质计算，再运用幂的乘方性质计算．解：(1)(－2x )3＝(－2)3·x 3＝－8x 3；(2)(－xy )2＝(－1)2·x 2·y 2＝x 2y 2；(3)(xy 2)3·(－x 2y )2＝x 3(y 2)3·(－1)2·(x 2)2y 2＝x 3y 6·x 4y 2＝x 7y 8；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12ab 2c 34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－124a 4(b 2)4(c 3)4＝116a 4b 8c 12.(1)在计算时，把x 2与y 2分别看成一个数，便于运用积的乘方的运算性质进行计算，这种把某个式子看成一个数或字母的方法的实质是换元法，它可以把复杂问题简单化，它是数学的常用方法．(2)此类题考查积的乘方运算，计算时应特别注意底数含有的因式，每个因式都分别乘方，不要漏掉，尤其要注意系数及系数的符号，对系数是－1的不可忽略．负数的奇次方是一个负数，负数的偶次方是一个正数．4．同底数幂的除法 (1)幂的运算性质4同底数幂相除，底数不变，指数相减．用字母可以表示为：a m ÷a n ＝a m －n(a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n )．这个性质成立的条件是：同底数幂相除，结论是：底数不变，指数相减．和同底数幂的乘法类似，被除式和除式都是幂的形式且底数一定要相同，商也是一个幂，其底数与被除式和除式的底数相同，商中幂的指数是被除式的指数与除式的指数之差．因为零不能作除数，所以底数a ≠0.(2)性质的推广运用三个或三个以上的同底数幂连续相除时，该性质仍然成立，例如a m ÷a n ÷a p ＝a m －n －p(a ≠0，m ，n ，p 为正整数，m ＞n ＋p )．【例4】计算：(1)(－a )6÷(－a )3；(2)(a ＋1)4÷(a ＋1)2；(3)(－x )7÷(－x 3)÷(－x )2. 分析：利用同底数幂的除法性质进行运算时关键要找准底数和指数．(1)中的底数是－a ，(2)中的底数是(a ＋1)，(3)中的底数可以是－x ，也可以是x .解：(1)(－a )6÷(－a )3＝(－a )6－3＝(－a )3＝－a 3；(2)(a ＋1)4÷(a ＋1)2＝(a ＋1)4－2＝(a ＋1)2； (3)方法1：(－x )7÷(－x 3)÷(－x )2＝(－x )7÷(－x )3÷(－x )2＝(－x )7－3－2＝(－x )2＝x 2. 方法2：(－x )7÷(－x 3)÷(－x )2＝(－x 7)÷(－x 3)÷x 2＝x 7－3－2＝x 2.运用同底数幂除法性质的关键是看底数是否相同，若不相同则不能运用该性质，指数相减是指被除式的指数减去除式的指数；幂的前三个运算性质中字母a ，b 可以表示任何实数，也可以表示单项式和多项式；第四个性质即同底数幂的除法性质中，字母a 只表示不为零的实数，或表示其值不为零的单项式和多项式．注意指数是“1”的情况，如a 5÷a ＝a 5－1，而不是a 5－0.5．零指数幂与负整数指数幂(1)零指数幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.用字母可以表示为：a 0＝1(a ≠0)．a 0＝1的前提是a ≠0，如(x －2)0＝1成立的条件是x ≠2.(2)负整数指数幂：任何一个不等于零的数的－p (p 是正整数)次幂，等于这个数的p 次幂的倒数．用字母可以表示为：a －p＝1ap (a ≠0，p 是正整数)．a －p ＝1ap 的条件是a ≠0，p 为正整数，而0－2等是无意义的．当a ＞0时，a p 的值一定为正；当a ＜0时，a －p 的值视p 的奇偶性而定，如(－2)－3＝－18，(－3)－2＝19.规定了零指数幂和负整数指数幂的意义后，正整数指数幂的运算性质，就可以推广到整数指数幂了，于是同底数幂除法的性质推广到整数指数幂，即a m ÷a n ＝a m －n(a ≠0，m ，n 都是整数)．如a ÷a 2＝a 1－2＝a －1＝1a；正整数指数幂的某些运算，在负整数指数幂中也能适用．如a －2·a －3＝a－2－3＝a －5等．【例5】计算：(1)1.6×10－4；(2)(－3)－3；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－2；(4)(π－3.14)0；(5)⎝ ⎛⎭⎪⎫130＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1.分析：此题是负整数指数幂和零指数幂的计算，可根据a －p＝1ap (p 是正整数，a ≠0)和a 0＝1(a ≠0)计算．其中(1)题应先求出10－4的值，再运用乘法性质求出结果．解：(1)1.6×10－4＝1.6×1104＝1.6×0.000 1＝0.000 16.(2)(－3)－3＝1－33＝－127. (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝925. (4)因为π＝3.141 592 6…， 所以π－3.14≠0.故(π－3.14)0＝1.(5)原式＝1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－231＝1＋9－32＝812.只要底数不为零，而指数是零，不管底数多么复杂，其结果都是1.当一个负整数指数幂的底数是分数时，它等于底数倒数的正整数次幂，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a p .6．用科学记数法表示绝对值较小的数(1)绝对值小于1的数可记成±a ×10－n的形式，其中1≤a ＜10，n 是正整数，n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，这种记数方法也是科学记数法．(2)把一个绝对值小于1的数用科学记数法表示分两步：①确定a,1≤a ＜10，它是将原数小数点向右移动后的结果；②确定n ，n 是正整数，它等于原数化为a 后小数点移动的位数．(3)利用科学记数法表示数，不仅简便，而且更便于比较数的大小，如：2.57×10－5显然大于2.57×10－8，前者是后者的103倍．【例6－1】2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延，我们应通过注意个人卫生加强防范．研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.000 001 56 m ，用科学记数法表示这个数是( )．A ．0.156×10－5B ．0.156×105C．1.56×10－6 D．1.56×106解析：本题考查科学记数法，将一个数用科学记数法表示为±a×10－n(1≤a＜10)的形式，其中a是正整数数位只有一位的数，所以A、B不正确，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，所以n＝6，即0.000 001 56＝1.56×10－6.故选C．答案：Cn的值也等于将原数写成科学记数法±a×10－n时，小数点移动的位数．如本题中将0.000 001 56写成科学记数法表示时，a为1.56，即将原数的小数点向右移动了6位，所以n的值是6.【例6－2】已知空气的单位体积质量为 1.24×10－3 g/cm3,1.24×10－3用小数表示为( )．A．0.000 124 B．0.012 4C．－0.001 24 D．0.001 24解析：因为a＝1.24，n＝3，因此原数是1前面有3个零(包括小数点前面的一个零)，即1.24×10－3＝0.001 24.答案：D本题可把1.24的小数点向左移动3位得到原数，也可利用负整数指数幂算出10－3的值，再与1.24相乘得到原数．7．幂的混合运算幂的四个运算性质是整式乘(除)法的基础，也是整式乘(除)法的主要依据．进行幂的运算，关键是熟练掌握幂的四个运算性质，深刻理解每个性质的意义，避免互相混淆．幂的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后再加减，有括号的先算括号里面的．因此，运算时，应先细心观察，合理制定运算顺序，先算什么，后算什么，做到心中有数．(1)同底数幂相乘与幂的乘方运算性质混淆，从而导致错误．如：①a3·a2＝a6；②(a3)2＝a5.解题时应首先分清是哪种运算：若是同底数幂相乘，应将指数相加；若是幂的乘方，应将指数相乘．正解：①a3·a2＝a5；②(a3)2＝a6.(2)同底数幂相乘与合并同类项混淆，从而导致错误．如：①a3·a3＝2a3；②a3＋a3＝a6.①是同底数幂相乘，应底数不变，指数相加；②是合并同类项，应系数相加作系数，字母和字母的指数不变．正解：①a3·a3＝a6；②a3＋a3＝2a3.【例7－1】下列运算正确的是( )．A．a4＋a5＝a9B．a3·a3·a3＝3a3C．2a4·3a5＝6a9D．(－a3)4＝a7解析：对于A，两者不是同类项，不能合并；对于B，结果应为a9；对于C，结果是正确的；对于D，(－a3)4＝a3×4＝a12.故选C．答案：C【例7－2】计算：(－2x2y)3＋8(x2)2·(－x)2·(－y)6÷y3.分析：按照运算顺序，先利用积的乘方化简，即(－2x2y)3＝－8(x2)3·y3,8(x2)2·(－x)2·(－y)6＝8x4·x2·y6，再利用幂的乘方及同底数幂的乘法化简乘方后的结果，最后合并同类项．解：(－2x2y)3＋8(x2)2·(－x)2·(－y)6÷y3＝－8(x2)3·y3＋8x4·x2·y6÷y3＝－8x6y3＋8x6y3＝0.8．幂的运算性质的逆用对于幂的运算性质的正向运用大家一般比较熟练，但有时有些问题需要逆用幂的运算性质，可以使问题化难为易、求解更加简单．(1)逆用同底数幂的乘法性质：a m ＋n ＝a m ·a n (m ，n 为正整数)．如25＝23×22＝2×24.当遇到幂的指数是和的形式时，为了计算的需要，往往逆用同底数幂的乘法性质，将幂转化成几个同底数幂的乘法．但是一定要注意，转化后指数的和应等于原指数．(2)逆用幂的乘方性质：a mn ＝(a m )n ＝(a n )m (m ，n 均为正整数)．逆用幂的乘方性质的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如x 6＝(x 2)3＝(x 3)2，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．(3)逆用积的乘方性质： a n b n ＝(ab )n (n 为正整数)．当遇到指数相差不大，且指数比较大时，可以考虑逆用积的乘方性质解题．注意，必须是同指数的幂才能逆用性质，逆用时一定要注意：底数相乘，指数不变．(4)逆用同底数幂的除法性质： a m －n ＝a m ÷a n (a ≠0，m ，n 为整数)．当遇到幂的指数是差的形式时，为了计算的需要，往往逆用同底数幂的除法性质，将幂转化成几个同底数幂的除法．但是一定要注意，转化后指数的差应等于原指数．【例8－1】(1)已知3a ＝2,3b ＝6，则33a －2b的值为__________；(2)若m p ＝15，m 2q ＝7，m r ＝－75，则m 3p ＋4q －2r的值为__________．解析：(1)因为3a ＝2,3b＝6，所以33a －2b ＝33a ÷32b ＝(3a )3÷(3b )2＝23÷62＝29.(2)m 3p ＋4q －2r ＝(m p )3·(m 2q )2÷(m r )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫153×72÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－752＝15.答案：(1)29 (2)15【例8－2】(1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×22 012×24 024；(2)已知10x ＝2,10y ＝3，求103x ＋2y的值．分析：(1)本题的指数较大，按常规方法计算很难，观察式子特点发现：4 024是2 012的两倍，可逆用幂的乘方性质，把24 024化为(22)2 012，这样再与22 012逆用积的乘方性质，此时发现与⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011底数互为倒数，但指数不相同，因此逆用同底数幂的乘法及逆用积的乘方性质，简化计算；(2)可逆用幂的乘方，把103x ＋2y化为条件中的形式．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×22 012×(22)2 012(逆用幂的乘方)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×(2×22)2 012(逆用积的乘方) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×82 012 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×82 011×8(逆用同底数幂的乘法) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18×8 2 011×8(逆用积的乘方) ＝8.(2)因为103x ＝(10x )3＝23＝8,102y ＝(10y )2＝32＝9，所以103x ＋2y ＝103x ·102y＝8×9＝72. 9．利用幂的运算性质比较大小 在幂的运算中，经常会遇到比较正整数指数幂的大小问题．对于一些幂的指数较小的问题，可以直接计算出幂进行比较；但当幂的指数较大时，若通过先计算出幂再比较大小，就会很繁琐甚至不可能．这时可利用幂的运算性质比较幂的大小．比较幂的大小，一般有以下几种方法：(1)指数比较法：利用乘方，将比较大小的各个幂的底数化为相同的底数，然后根据指数的大小关系确定出幂的大小．(2)底数比较法：利用乘方，将比较大小的各个幂的指数化为相同的指数，然后根据底数的大小关系确定出幂的大小．(3)作商比较法：当a ＞0，b ＞0时，利用“若a b ＞1，则a ＞b ；若a b ＝1，则a ＝b ；若a b＜1，则a ＜b ”比较．有关幂的大小比较的技巧和方法除灵活运用幂的有关性质外，还应注意策略，如利用特殊值法、放缩法等．【例9】(1)已知a ＝8131，b ＝2741，c ＝961，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．a ＜b ＜c D ．b ＞c ＞a(2)350,440,530的大小关系是( )．A ．350＜440＜530B ．530＜350＜440C ．530＜440＜350D ．440＜530＜350(3)已知P ＝999999，Q ＝119990，那么P ，Q 的大小关系是( )．A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．无法比较解析：(1)因为a ＝8131＝(34)31＝3124，b ＝2741＝(33)41＝3123，c ＝961＝(32)61＝3122，又124＞123＞122，所以3124＞3123＞3122，即a ＞b ＞c .故选A ．(2)因为350＝(35)10＝24310,440＝(44)10＝25610,530＝(53)10＝12510，而125＜243＜256，所以12510＜24310＜25610，即530＜350＜440.故选B ．(3)因为P Q ＝999999×990119＝9×119999×990119＝99×119999×990119＝1，所以P ＝Q .故选B ． 答案：(1)A (2)B (3)B10．幂的运算性质的实际应用利用幂的运算可以解决一些实际问题，所以要熟练掌握好幂的运算性质，能在实际问题中灵活地运用幂的运算性质求解问题．解决此类问题时，必须认真审题，根据题意列出相关的算式，进而利用幂的运算性质进行运算或化简，特别地，当计算的结果是比较大的数时，一般要写成科学记数法的形式．【例10】卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×103m/s ，则卫星运行3×102s 所走的路程约是多少？分析：要计算卫星运行3×102s 所走的路程，根据路程等于时间乘以速度可解决问题．本题实际是一道同底数幂的乘法运算问题．解：因为7.9×103×3×102＝(7.9×3)×(103×102)＝23.7×105＝2.37×106，所以卫星运行3×102 s 所走的路程约为2.37×106m ． 11．幂的运算中的规律探究题探究发现型题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以总结．它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律．规律探索题是指在一定条件下，需要探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目，要解答此类问题，首先要仔细阅读，弄清题意，并从阅读过程中找出其规律，然后进一步利用规律进行计算．【例11】(1)观察下列各式：由22×52＝4×25＝100，(2×5)2＝102＝100，可得22×52＝(2×5)2；由23×53＝8×125＝1 000，(2×5)3＝103＝1 000，可得23×53＝(2×5)3；….请你再写出两个类似的式子，你从中发现了什么规律？(2)x2表示两个x相乘，(x2)3表示3个__________相乘，因此(x2)3＝__________，由此类推得(x m)n＝__________.利用你发现的规律计算：①(x3)15；②(x3)6；③[(2a－b)3]8.解：(1)如：34×54＝(3×5)4,45×55＝(4×5)5，等等．规律：a n·b n＝(ab)n，即两数n次幂的积等于这两个数的积的n次幂．(2)x2x2×3＝x6x mn①(x3)15＝x45；②(x3)6＝x18；③[(2a－b)3]8＝(2a－b)24.。
七年级关于幂的知识点
七年级关于幂的知识点幂是初中数学中比较重要的一个概念，它在数学中的应用也是非常广泛的。
本文将从幂的定义、性质以及幂的计算方法三个方面详细介绍关于幂的知识点。
一、幂的定义在数学中，幂的概念可以被定义为：n个相同的数a相乘得到的积，其中n为幂的指数，a为幂的底数。
幂的符号一般表示为an，其中n为指数，a为底数。
例如，23即表示2的三次幂，其值为8。
二、幂的性质1. 幂的底数为正数时，当指数增大时，幂的值也越来越大。
例如，2的平方为4，2的立方为8，2的四次方为16，以此类推，可以发现随着指数的增大，2的n次方（n为正整数）的结果也随之增大。
2. 幂的指数为正数时，当底数增大时，幂的值也越来越大。
例如，计算2的三次方和3的三次方，可以发现当底数增大时，幂的结果也随之增大。
而幂的指数大于1时，不同的底数的幂大小关系则不完全相同，例如2的四次方和3的三次方，显然2的四次方比3的三次方要大。
3. 幂的指数为0时，幂的值为1。
例如，20即为1。
4. 幂的指数为负数时，幂的值为其倒数。
例如，23的倒数是1/23，即2的三次方的倒数。
5. 幂的底数为0时，当指数大于0时，幂的值为0，当指数等于0时幂的值为1。
例如，00=1，20=0，30=0。
三、幂的计算方法1. 同底数幂的乘法当有两个相同底数的幂相乘时，可以将其底数不变，指数相加来得到其积。
例如，23×24 = 23+4 = 28。
2. 同底数幂的除法当有两个相同底数的幂相除时，可以将其底数不变，指数相减来得到其商。
例如，26÷22 = 26-2 = 24。
3. 幂的乘幂当有一个幂的幂时，可以将其底数不变，指数相乘来得到其积。
例如，(22)3 = 22×3 = 26。
4. 幂的除幂当有一个幂的幂需要除以另一个幂时，可以将其底数不变，指数相减来得到其商。
例如，(23)÷(22) = 23-2 = 21。
5. 指数为分数的幂当幂的指数为分数时，可以将其指数转化为整数或者开根号来得到其结果。
初一幂运算记忆方法
初一幂运算记忆方法
幂运算是一种数学运算方式，表示同一数的连乘积。
例如，如果有一个数a，那么a的n次幂表示a自乘n次，即a×a×a…×a（n个a相乘）。
这种运算称为幂运算。
初一幂运算记忆方法主要包括以下几个步骤：
1.理解幂的定义：幂是表示乘方运算的结果，表达式为a^n，其中a是底数，
n是指数。
理解这个定义是记忆幂运算规则的基础。
2.掌握幂的基本性质：包括同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方等。
这些
性质是幂运算的核心，需要反复练习以加深记忆。
3.记忆幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，
底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘。
这些法则可以通过口诀或示例来帮助记忆。
4.练习和应用：通过大量的练习，逐渐熟悉和掌握幂运算的规则和技巧。
可以
将幂运算应用于实际问题中，以加深对幂运算的理解和记忆。
5.制作记忆卡片：将幂运算的规则和公式写在卡片上，随身携带并经常复习，
有助于加深记忆。
6.寻找规律：在幂运算中，有些数字或公式具有特殊的规律，例如指数的性质、
负整数指数幂等。
掌握这些规律可以帮助记忆和理解幂运算。
7.与他人合作学习：与同学或老师一起学习和讨论幂运算的规则和技巧，可以
互相激励和讨论，有助于加深记忆和理解。
总之，初一幂运算记忆方法需要多方面的努力和练习，通过以上这些方法，学生可以更好地掌握幂运算的知识和技能。
七年级下册数学第8章《幂的运算》考点+易错讲义
第8章《幂的运算》考点+易错知识梳理重难点分类解析考点1 运用幂的基本性质进行运算【考点解读】掌握幂的基本性质是解决问题的关键，要根据算式的特点确定运算的顺序，并选择幂的基本性质进行正确计算，不要混淆同底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方. 例1 (2017·江西)下列运算正确的是( )A. 5210()a a -=B. 22236a a a =gC. 23a a a -+=-D. 623623a a a -÷=-分析: 5210()a a -=，故选项A 正确；23236a a a =g，故选项B 错误；2a a a -+=-，故选项C 错误；624623a a a -÷=-，故选项D 错误.答案:A【规律·技法】根据合并同类项、幂的乘方及同底数幂的乘法的定义解答. 【反馈练习】1.下列计算正确的是( )A. 224x x x +=B. 3332x x x -=C. 236x x x =g D. 236()x x =点拨:正确应用各类计算法则计算. 2.计算:201320111(3)()3-⨯-= .点拨:应用积的乘方的逆运算，把2013(3)-折分成20112(3)(3)-⨯-.考点2 运用零指数、负整数指数幂的意义进行运算【考点解读】明确零指数、负整数指数幂的规定，同时区分一些形式上相似而实质上不一样的算式，如03与03-，12-与12--等. 例2 计算0112()2-+的结果是 . 分析:0112()1232-+=+=.答案:3 【规律·技法】本题考查了0次幂和负整数指数幂的意义，解答本题的关键是熟记相关法则. 【反馈练习】3.计算018()2---的结果是( )A. 7-B. 7C. 172D. 9 点拨:018()8172---=-=. 4.计算2133-⨯的结果是( )A. 3B. 3-C. 2D. 2- 点拨: 1133-=. 考点3 用科学记数法表示数【考点解读】要善于总结用科学记数法表示数的一般性规律，如:40.000110-=，50.0000110-=，60.00000110-=，70.000000110-=等.例3 (2017·济宁)某桑蚕丝的直径为0.000 016 m ，将0.000 016用科学记数法表示是() A. 41.610-⨯ B. 51.610-⨯ C. 61.610-⨯ D. 61610-⨯ 分析:绝时值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10na -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定，则50.000016 1.610-=⨯.答案:B【规律·技法】用科学记数法表示较小的数，一般形式为10na -⨯，其中110a ≤<，n 由原数左边起第一个非零数字前面0的个数所决定. 【反馈练习】5.生物学家发现了一种病毒，其长度为0.000 000 32 mm ，数据0.000 000 32用科学记数法表示正确的是( )A. 73.210⨯ B. 53.210-⨯ C. 73.210-⨯ D. 83.210-⨯ 点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.6.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000 073 m ，将0.000 073用科学记数法表示为 .点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.考点4 幂的相关运算【考点解读】熟练掌握有关幂的运算法则. 例4 下列运算正确的是( )A. 320a a -=B. 23a a a =gC. 432a a a ÷= D. 325()a a =分析:32a a a -=，故选项A 不正确；23a a a =g ，故选项B 正确；43a a a ÷=，故选项C 不正确；326()a a =，故选项D 不正确.答案:B【规律·技法】本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，这些运算很容易混淆，一定要记准不同的运算法则. 【反馈练习】7.下列计算结果正确的是( )A. 842a a a ÷=B. 236a a a =g C. 248()a a = D. 236(2)8a a -= 点拨mnm na a a-÷=；m n m na a a+⨯= ；()m n mna a=(m ，n 是整数).8.下列运算正确的是( )A. 5210()a a = B. 1644x x x ÷=C. 224235a a a +=D. 3332b b b =g点拨m n m na a a-÷=；m n m na a a+⨯= ；()m n mna a=(m ，n 是整数).易错题辨析易错点 1 运用同底数幂的乘法法则计算时，漏掉了指数是“1”的因式例1计算: 32m m m ∙g . 错误解答: 32325m m m mm +∙==g s.错因分析:本题错在忽视最后一个因式m 的指数是1，误认为它的指数是0. 正确解答:323216m m m mm ++∙==g .易错辨析:单个字母的指数是1而不是0，只不过指数为1时可以省略不写，但不能认为指数是0.易错点2 运算法则使用不当例2计算:(1) 43(3)xy -; (2) 22(3)a b . 错误解答:(1) 4312(3)3xy xy -=-. (2) 2242(3)6a b a b =.错因分析:积的乘方是将积中的每一个因式分别乘方，而(1)中只将最后一个因式乘方，忽略了3-，x 两个因式的乘方，而(2)中错误地将乘方的次数乘以系数了. 正确解答:(1) 43312(3)27xy x y -=-. (2) 2242(3)9a b a b =.易错辨析:运用积的乘方法则时，要注意不能遗漏因式.易错点3 错用合并同类项法则例3计算: 3223()()x x +.错误解答: 32236612()()x x x x x +=+=.错因分析:本题错在将合并同类项法则与同底数幂乘法法则相混淆，错解中既运用了合并同类项法则，又运用了同底数幂相乘的法则.本题实际上是合并同类项，利用合并同类项法则将系数相加作为和的系数，字母和字母指数不变. 正确解答:3223666()()2x x x x x +=+=. 易错辨析:正确区分合并同类项与同底数幕乘法.易错点4 错用同底数幂除法法则例4计算:62x x ÷. 错误解答: 62623x x xx ÷÷==.错因分析:上面的解法用错了法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除. 正确解答: 62624x x xx -÷==.易错辨析:同底数幕除法法则为mnm na a a -÷= (其中m ，n 是整数)，注意m n -不能写成m n ÷.易错点5 运算中符号出错例5 计算:62()()y y -÷-. 错误解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=-.错因分析: 44444()(1)(1)y y y y -=-=-=g g . 正确解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=.易错辨析:当n 为奇数时，()nna a -=-;当n 为偶数时，()nna a -=.反馈练习1.给出下列算式:①43272()()a a c a c --=-g ；②326()a a -=-；③3342()a a a -÷=；④633()()a a a -÷-=-.其中正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 点拨:注意运算的顺序，正确运用法则运算.2.若20.3a =-，23b -=-，21()3c -=-，01()3d =-，则( )A. a b c d <<<B. b a d c <<<C. a d c b <<<D. c a d b <<<点拨:分别计算出,,,a b c d 的值，比较即可.3.给出下列各式:①523[()]a a --g；②43()a a -g ；③2332()()a a -g ；④43[()]a --.其中计算结果为12a -的有( )A.①和③B.①和②C.②和③D.③和④点拨:注意“偶次方”和“奇次方”的符号处理. 4.计算: 23()()p p --=g ；231()2a b -= . 点拨:正确运用法则计算，最后结果化为最简形式.5.计算: 2018201952()()25-⨯-= . 点拨:把20192()5-分解为201822()()55--g 即可。
初中幂的运算公式口诀
初中幂的运算公式口诀哎呀，说到初中数学里的幂运算公式，真是让人又爱又恨，尤其是刚开始接触的时候，感觉就像是看天书。
大家知道吗，幂运算可不是随便说说的，它可是数学里的“小霸王”！先来聊聊什么是幂。
就简单来说，幂就是把一个数乘以自己好几次，比如说(2^3) 就是把2乘以自己3次，得8。
很简单吧？不过，听着容易，做起来可不一定哦。
先讲讲最基本的幂的运算规律，真是让人耳熟能详。
比如说 (a^m times a^n =a^{m+n)，就是把同底数的幂相乘，指数相加。
想想看，就像是你和小伙伴一起去打怪，打怪的次数加起来，怪物还不是一只只倒下。
(a^m div a^n = a^{mn)，这也是一样的道理，底数不变，指数相减，怪物一个个被你干掉，剩下的也只会越来越少，爽！再来就是幂的乘方了，像是 ( (a^m)^n = a^{m times n )。
听起来好像有点复杂，其实不然，就像你请朋友一起帮忙，结果是你原来的力量翻倍。
哈哈，说得有点夸张，不过这个意思就是这样的。
还有哦，任何数的零次方都是1，真是个奇妙的数字法则。
比如说你不管怎样，只要乘以1，结果都是那个数本身，这就好比你一成不变的个性，永远不会改变。
说到这里，我得提醒大家一下，负数的指数就像个小陷阱，千万别掉进去哦！(a^{n = frac{1{a^n)，就是把底数变成分母，记得要搞清楚这个哦。
就像打游戏的时候，别被陷阱搞到，冷静应对，绝对没问题！根号也是跟幂有关系的，比如说 (sqrt{a = a^{1/2)。
听着简单，但在实际操作中，很多小伙伴会一脸懵逼。
就像你去外面吃东西，看到菜单上那些花花绿绿的东西，反而不知道点什么，慌了神。
但是，放心，熟能生巧，多做几道题就能记住这些了。
好了，聊了这么多，你有没有感觉这些幂运算公式就像是你学习路上的小伙伴呢？每次遇到它们，就像是碰到老朋友，虽然有时会让你挠头，但认真对待，总能收获满满。
别忘了，练习是关键，做题的时候千万要认真，每一个细节都不能放过。
七年级数学幂的运算
七年级数学幂的运算一、幂的定义。
1. 一般地，a^n表示n个a相乘，其中a叫做底数，n叫做指数，a^n叫做幂。
例如2^3 = 2×2×2 = 8，这里2是底数，3是指数，8是幂。
二、同底数幂的乘法。
1. 法则。
- 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即a^m×a^n=a^m + n（m，n都是正整数）。
- 例如：2^3×2^4 = 2^3+4=2^7 = 128。
2. 推导。
- 根据幂的定义，a^m表示m个a相乘，a^n表示n个a相乘，那么a^m×a^n 就是(m + n)个a相乘，所以a^m×a^n=a^m + n。
三、幂的乘方。
1. 法则。
- 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即(a^m)^n=a^mn（m，n都是正整数）。
- 例如：(2^3)^4=2^3×4=2^12。
2. 推导。
- 根据幂的定义，(a^m)^n表示n个a^m相乘，a^m = a×a×·s×a（m个a），那么(a^m)^n=a^m×a^m×·s×a^m（n个a^m），所以(a^m)^n=a^mn。
四、积的乘方。
1. 法则。
- 积的乘方等于乘方的积。
即(ab)^n=a^n b^n（n是正整数）。
- 例如：(2×3)^2 = 2^2×3^2=4×9 = 36。
2. 推导。
- 根据幂的定义，(ab)^n=(ab)×(ab)×·s×(ab)（n个ab），利用乘法交换律和结合律可得(ab)^n=(a×a×·s×a)×(b×b×·s×b)=a^n b^n。
五、同底数幂的除法。
1. 法则。
- 同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即a^m÷a^n=a^m - n(a≠0,m,n都是正整数，且m>n)。
七年级数学知识点归纳幂
七年级数学知识点归纳幂数在七年级数学中，幂数是一个非常重要的知识点。
它是指将一个数乘以自身若干次的运算。
比如2的3次幂就是2乘以2乘以2，等于8。
本文将从以下几个方面来归纳幂数的相关知识点。
一、基本概念幂数是指将一个数乘以自身n次的运算，其中这个数称为底数，n称为指数。
通常用底数上方加指数下方的方式表示幂数，比如2的3次幂可以写成2³。
在幂数的运算中，同底数幂的积等于底数不变指数相加的幂，即a的m次幂乘以a的n次幂等于a的m加n次幂。
比如2的3次幂乘以2的4次幂等于2的7次幂。
另外，幂数的积的幂等于各幂次的指数相乘得到的幂，即(a的m次幂)n等于a的m乘以n次幂。
比如(2的3次幂)²等于2的6次幂。
二、幂数的运算法则1.立方公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)2.和式的平方：(a+b)²=a²+2ab+b²3.差式的平方：(a-b)²=a²-2ab+b²4.积的平方：(a+b)(a-b)=a²-b²5.平均数与二次均值不等式：(a+b)²/4≥ab，即a+b的平方除以4大于或等于ab。
三、幂数的特殊情况1.0的任何次幂都等于1，即0的n次幂等于1(n≥0)。
2.1的任何次幂都等于1，即1的n次幂等于1(n≥0)。
3.底数为负数的幂数，当指数为偶数时结果为正数，当指数为奇数时结果为负数。
4.底数为正数的幂数，当指数为0时结果为1，当指数为正数时结果为正数，当指数为负数时结果为正数。
四、幂数的应用幂数的运算在实际的生活和工作中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1.计算物体的体积。
比如一个正方体的边长为3cm，则它的体积为3的3次幂，即27立方厘米。
2.计算电池的电量。
电池的电量可以表示为一个特定的电压值乘以电池内能够提供的电流量。
而电压可以表示为功率与电流之比的形式，而电流则是电荷的流动速度。
七年级幂的运算100道
七年级幂的运算100道1. 计算 $2^3$。
2. 计算 $5^2$。
3. 计算 $(-3)^4$。
4. 计算 $(-2)^3$。
5. 计算 $10^0$。
6. 计算 $4^2$。
7. 计算 $(-5)^3$。
8. 计算 $3^4$。
9. 计算 $(-4)^2$。
10. 计算 $2^5$。
11. 计算 $(-6)^2$。
12. 计算 $7^3$。
13. 计算 $(-2)^4$。
14. 计算 $3^2$。
15. 计算 $(-8)^3$。
16. 计算 $5^4$。
18. 计算 $4^3$。
19. 计算 $(-7)^4$。
20. 计算 $2^6$。
21. 计算 $(-5)^2$。
22. 计算 $6^3$。
23. 计算 $(-2)^5$。
24. 计算 $8^2$。
25. 计算 $(-4)^3$。
26. 计算 $3^5$。
27. 计算 $(-6)^4$。
28. 计算 $9^2$。
29. 计算 $(-3)^3$。
30. 计算 $5^5$。
31. 计算 $(-7)^2$。
32. 计算 $2^7$。
33. 计算 $(-4)^4$。
35. 计算 $(-8)^3$。
36. 计算 $3^6$。
37. 计算 $(-5)^4$。
38. 计算 $7^2$。
39. 计算 $(-2)^6$。
40. 计算 $4^5$。
41. 计算 $(-6)^2$。
42. 计算 $8^3$。
43. 计算 $(-3)^5$。
44. 计算 $5^6$。
45. 计算 $(-7)^3$。
46. 计算 $2^8$。
47. 计算 $(-4)^2$。
48. 计算 $6^4$。
49. 计算 $(-8)^2$。
50. 计算 $3^7$。
52. 计算 $7^4$。
53. 计算 $(-2)^7$。
54. 计算 $4^6$。
55. 计算 $(-6)^3$。
56. 计算 $8^4$。
57. 计算 $(-3)^6$。
58. 计算 $5^7$。
59. 计算 $(-7)^5$。
七年级数学下学期幂知识点
七年级数学下学期幂知识点在七年级数学下学期中，幂是一个重要的知识点。
幂也称为乘方，它是一个代数运算，用于简化连续相乘的表达式。
本文将对幂的相关概念和应用进行详细介绍。
一、幂的定义和表示方法幂是一个数学运算符号，用于表示连乘的形式。
幂的定义为：如果a是任意一个实数或复数，n是一个正整数，那么a的n次幂表示为aⁿ，即a的n个相乘的积。
例如，2³表示2的三次幂，其结果为8。
幂的表示方法有两种：上标和下标。
上标表示法是将底数写在左边，指数写在右边，用上标表示，如aⁿ。
下标表示法是将指数写在底部的右下角，如aₙ。
两种表示方法是等价的。
二、幂的基本性质幂具有以下基本性质：1. a¹ = a，任何数的1次幂等于它本身。
2. a⁰ = 1，任何数的0次幂等于1。
3. aⁿ × aᵐ= aⁿᵐ，同底数幂的乘法法则：指数相加，底数不变。
4. (aⁿ)ᵐ= aⁿᵐ，幂的幂的运算法则：指数相乘，底数不变。
5. (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ，幂的乘法分配律：幂的积等于幂的底数分别乘积。
6. aⁿ ÷ aᵐ= aⁿ⁻ᵐ，同底数幂的除法法则：指数相减，底数不变。
三、幂的应用幂的应用广泛，包括：1. 指数函数：指数函数是幂函数的一种，形式为f(x)=aⁿ，其中a是固定的底数，n是自变量x的幂指数。
2. 科学计数法：科学计数法是一种表示数值大小的方式，使用幂表示。
例如，1.23×10⁵表示成幂形式为1.23×(10的5次方)。
3. 等比数列：等比数列是一种数列，其中任意相邻两项之比等于固定比值q。
等比数列的通项公式为aₙ=a₁×qⁿ⁻¹。
4. 矩阵幂：矩阵幂是矩阵的重要运算之一，用于表示矩阵的多次叠乘。
如果A是一个n阶方阵，k是一个正整数，那么A的k 次幂表示为Aᵏ。
四、小结在七年级数学下学期中，幂是一个重要的知识点。
幂的定义和表示方法、基本性质、应用都是珍贵的数学基础知识。
七年级数学幂的知识点
七年级数学幂的知识点在初中数学中，幂是一个重要的概念。
它被广泛用于各种数学问题。
在这篇文章中，我们将讨论七年级数学中与幂相关的知识点。
我们将探讨什么是幂，如何计算幂，以及幂的性质。
一、什么是幂？在数学中，幂指的是一个数被乘以自身若干次。
通常表示为x^n，其中x是底数，n是幂。
例如，2的3次幂可以写作2^3，表示2乘以自己3次。
二、如何计算幂？为了计算幂，我们可以使用一种称为“重复平方”的技巧。
例如，要计算2的5次幂，我们可以按照下面的步骤进行：1.将2乘以自己，得到42.将4乘以自己，得到163.将16乘以自己，得到256因此，2的5次幂等于256。
当然，对于大的幂，使用重复平方可能会很耗时。
在这种情况下，我们可以使用计算器或类似的工具来计算幂。
三、幂的性质1. 幂的乘法规则当两个数的底数相同，我们可以将它们的幂相乘。
例如，(2^3) x (2^4)等于2的7次幂，即2^7。
2. 幂的除法规则当两个数的底数相同，我们可以将它们的幂相除。
例如，(2^7) ÷ (2^4)等于2的3次幂，即2^3。
3. 幂的幂我们可以将一个幂提高到另一个幂次方。
例如，(2^3)^2等于2的6次幂，即2^6。
4. 负幂一个数的负幂可以写成这个数的倒数的幂。
例如，2的负3次幂可以写作1/(2^3)，即1/8。
5. 零幂任何数的零次幂都等于1。
例如，2的0次幂等于1。
四、幂的应用在数学中，幂有着广泛的应用。
例如，在计算面积和体积时，我们经常会使用幂的概念。
另一个例子是计算复利。
如果我们投资1000元，每年的利率为5%，并且我们将获得的收益重新投资，则n年后我们的总资产将变为：1000 x (1 + 5%)^n五、总结在本文中，我们讨论了七年级数学中与幂相关的知识点，包括幂的定义，计算幂的技巧，幂的性质以及幂的应用。
这些概念对于学生们理解数学有着重要的作用。
如果您能够理解这些概念并应用它们解决实际问题，那么您就已经具备了处理复杂数学问题的能力。
初一初二必背数学公式
初中数学公式一、幂的运算：①同底数幂相乘：m a ·n a =nm a +; ②同底数幂相除：m a ÷n a =nm a −;③幂的乘方：n m a )(=mna;④积的乘方：nab )(=na nb ;⑤分式乘方：n nn ba b a =)(（注意：凡是公式都可以倒用）二．完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±平方差公式 22b a −=（a+b ）（a-b ） （注意：凡是公式都可以倒用） 三．算术根的性质：2a ＝a ;)0()(2≥=a a a ;b a ab ⋅=(a ≥0,b ≥0);ba ba=(a ≥0,b ＞0)四.一元二次方程一般形式：)0(02≠=++a c bx ax1、求根公式：)04(24222,1≥−−±−=ac b aac b b x2．根的判别式：ac b 42−=∆当ac b 42−=∆＞0时,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等实数根.反之亦然. 当ac b 42−=∆=0时,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根. 反之亦然. 当ac b 42−=∆＜0时,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 没有的实数根. 反之亦然. 3．根与系数的关系：ac x x a b x x =⋅−=+2121, 逆定理：若n x x m x x =⋅=+2121,，则以21,x x 为根的一元二次方程是：02=+−n mx x 。
4．常用等式：2122122212)(x x x x x x −+=+ 212212214)()(x x x x x x −+=−5.不解方程，求二次方程的根x 1、x 2的对称式的值，特别注意以下公式：①2122122212)(x x x x x x −+=+②21212111x x x x x x +=+ ③212212214)()(x x x x x x −+=− ④21221214)(||x x x x x x −+=−⑤||22)(|)||(|2121221221x x x x x x x x +−+=+ ⑥)(3)(21213213231x x x x x x x x +−+=+ ⑦其他能用21x x +或21x x 表达的代数式。
七年级下册幂的运算知识点
七年级下册幂的运算知识点幂的运算在数学中是一个基础且重要的概念。
在七年级下册的数学学习中，学生们会接触到幂的运算，并掌握幂的基本运算规律。
本文将从定义、运算法则和应用三个方面详细介绍幂的运算知识点。
一、定义幂是数学中的一种表示方式，用于表示一个数的指数形式，由底数和指数两部分组成。
其中，底数是被乘方的数，指数表示幂的次数，比如a^2表示a的平方，a^3表示a的立方。
二、运算法则1. 幂的乘法规则底数相同时，幂相乘，指数相加。
例如，2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^72. 幂的除法规则底数相同时，幂相除，指数相减。
例如，5^7 ÷ 5^4 = 5^(7-4) = 5^3 3. 幂的幂法则幂的幂，底数不变，指数相乘。
例如，(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12 4. 积的幂法则积的幂等于各因子幂的乘积。
例如，(2 × 3)^4 = 2^4 × 3^45. 商的幂法则商的幂等于分子幂除以分母幂。
例如，(5^4 ÷ 7^2)^3 = 5^(4×3) ÷ 7^(2×3)三、应用幂的运算在数学中有广泛的应用。
比如，在科学计算中，通过对数据进行指数运算，可以得到更加精确的结果。
在几何中，幂的概念还可以用于圆的切线和切点的问题中。
另外，在代数表达式的化简中，幂的运算也是不可或缺的一部分。
通过灵活运用幂的运算法则，可以简化代数式，使得计算更为方便和高效。
总之，幂的运算是学习数学的基础，在学习第一次接触一定要认真掌握。
同时，也要灵活应用幂运算法则，掌握好运用方法，为后续的学习打下坚实的基础。
初一数学 幂的运算及整式的乘法
初一数学3 幂的运算及整式的乘法1、幂的运算定律逆向运用（1）若25,26,m n ==求22m n + （2）已知6,2,m n a a ==求23m n a -的值（3）若()3915n m a b a b =，求2m n +的值 （4）已知5,25x x y a a +==，求x y a a +的值（5）若()()1221253m n n n a b a b a b ++-=，求m+n 的值（6）已知103,105,107a b c ===，试把105写成底数是10的幂的形式。
2、数字为底数的幂的运算及逆运用（1）如果()21293n =，则n 的值为________（2）若216,2,m n n x x +==求m n x +的值 （3）已知742521052m n =，求m,n 的值（4）已知2x+5y-3=0，求432x y 的值（5）已知129372n n +-=，求n 的值（6）若124x y +=，1273y x -=，求x-y 的值。
（7）比较下列一组数的大小：31416181,27,93、乘法分配律在幂的运算中的运用（1）计算：()()1009922-+-=____________（2）已知()135345n n x x x ++=+，求x 的值。
（3）如果20(0)a a a +=≠，求2005200412aa ++的值。
4、整体代入法及正负号的确定 （1）下列等式中正确的个数是（ ）))()()635510101,2a a a a a a a +=--=)())54205563,4222a a a --=+= （2）当a<0,n 为正整数时，()()52n a a --=____________ （3）计算：()()5225a a -+-=____________;()()332x x -÷-=_________; ()()3223n n y y ⎡⎤⎡⎤÷⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=_____________;()()63a b b a -÷-=__________; ()()()21221m m m a b b a a b -+---=_____________ （4）已知.122,62,32===c b a 则下列各式正确的是（ ）A.2a=b+cB.2b=a+cC.2c=a+bD.a=b+c5、整式的乘法（1）先化简，再求值)3(2)158()96(x x x x x x -+-----，其中61-=x ；②)10)(5()8)(7()12)(2(-+++++-+x x x x x x ，其中31=x ．③473826323111()()4293a b a b a b ab +-÷-，其中1,42a b ==-（2）解方程①11)14)(14()516(=-+--x x x x ②)8(5)1)(1(2)2(32+=-+++x x x x x（3）已知()2()x a x x c +-+的积中不含2x 项和x 项，化简()2()x a x x c +-+（4）若等式22(3)(2)(2)(3)x x A x x Bx x Cx x -+=-++++-是恒等式，求系数A ，B ，C 的值。
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第1讲 幂的运算
专题一 同底数幂的乘法
一、 基本公式：
m n m n
a a a
+=
二、应用公式： 1、顺用公式： 问题1、计算：
（1）3
5aa a （2）3
5x
x -⋅ ⑶231m m b b +⋅
⑷m n p a a a ⋅⋅ （5）()()
7
6
33-⨯- （6）()()
57
a a a ---
变形练习：（1）234
aa a a （2）
()()48x x x ---
2、常用等式： ()()b a a b -=-- ()()
2
2
b a a b -=-
()()33
b a a b -=-- ()()
44
b a a b -=-
()
()
21
21
n n b a a b ++-=--
()
()
22n
n
b a a b -=-
问题2、（1）()()()
3
8
b a b a b a ---
（2）()()
()
21
221
222n n
n x y y x x y +----
（3）()()()4
8
x y y x y x --- （4）()()()37
x y y x y x ---
3、逆用公式：
问题3、已知64,65m
n == ，求6m n +的值。
变形练习：（1）已知7,6m
n a a == ，求m n a +的值。
（2）已知21
29,5m m a
a ++==，求33
m a
+的值。
4、利用指数相等解题： 问题4、已知21
11m a a +=，求m 的值；
变形练习：（1）已知31
232m -=，求m 的值；
（2）已知，146m n x x x --=，求n m 22-的值。
专题二 幂的乘方
一、基本公式：
()
mn n
m a a =（m ,n 都是整数）。
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
二、应用公式：
1、顺用公式：（1）34)(10
= （2）3
4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
= （3）
()
3
2m = （4）(
)
=
-3
12n x
2、逆用公式： （1）已知2
3a = 求6
a
的值；
（2）已知32a
= 求12
a
的值；
专题三 积的乘方
一、基本公式：
()n
n n b a ab =（n 是正整数） 积的乘方等于每一个因数分别乘方的积。
二、应用公式：
1、顺用公式：（1）()=
2
3x （2） ()=
-3
2b
（3）4
21⎪⎭
⎫
⎝⎛-xy ＝ （4）
()
2
3m
a ＝
2、逆用公式： （1）
5525⨯= （2） 201120110.1258⨯=
（3）计算：()2011
20110.1258-⨯ （4）你能确定整数510256625⨯是几位数吗？
3、已知4,25a b =-=，求20102011
a
b
的值。
专题四 综合练习
一、计算： 1、 (
)
2
342a b 2、 (
)
3
1m x
+- 3、 ()
2009
20100.25(4)-⨯-
4、(
)()5
3
34x
x -- 5、()()()33
2
2337325y y y y y -+
二、能力提升： 1、已知2,3m
n x x ==，求32m n x +的值。
2、已知n 是正整数，且()
2
9n x =，求()2
232133n n x x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值。
3、比较100
7534和的大小。
4、变形练习：比较555
444333345、、的大小。
5、计算：2
34567822222222------+
家庭作业
第一部分：
1、化简：()()
()
4
8
x y y x y x ---
2、若23,5,m
n m n a
a a +==求的值.
3、已知2,3x
x
m n ==，求(
)
22
x
m n 的值。
4、已知39243n ⨯=，求n 的值。
第二部分： 5、已知()411x x +-=，求整数x 。
6、已知2510a b ==，求11
a b
+的值。
第三部分：
7、若2a =3,2b =6,2c =12,求证：2b =a +c .。