初中数学——分类讨论思想(初二)

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浅谈初中数学中的分类讨论思想

浅谈初中数学分类讨论思想在解题中的应用摘要：在初中数学解题中，分类讨论不仅是一种非常重要的数学思想，而且它还也是一种非常有效的解题策略，其主要体现在“集零为整，化整为零”思想和归类整理思想这两个部分。

在初中数学教学中，如果教师在进行初中数学的教学时，对分类讨论思想加以运用，可以使学生对数学知识有更加深入的认识和理解，同时它能够进一步的培养学生的思维能力。

本文主要是对分类讨论在初中数学解题的应用进行探讨。

关键词：分类讨论思想初中数学教学应用俗话说的好，“数学是思维的体操”，要想进行数学学习，就一定是离不开思维运用，在对数学进行每一步探索，都是需要思维来完成。

因此，在初中的数学教学中，教师要对学生慢慢的进行数学思想方法的渗透，使学生的思维能力得到进一步的提升，使其能够形成一个良好的数学思维习惯，这样不仅符合了新课改的新要求，而且其还是实施数学素质教育的一个很好的切入点。

一、分类讨论思想在初中数学解题中的重要作用简单的来说，分类讨论起本质上就是一种逻辑上划分的思维方式。

其在教学中的具体表现为对题目“化整为零”，一个一个的进行逐步击破，这样的就实现了积零为整的教学方式。

在目前，分类讨论思想已经成为一种非常重要的数学思想，其在我国数学教学中得到了广泛的应用。

它不仅只是一种独特的数学逻辑方法，而且在进行数学知识教学时其更是一种有效的解题策略。

由于分类讨论在对不同的问题进行综合考虑时，其在逻辑上具有优势，特别是在培养学生的学习能力以及提升学生的思维严谨性有很好的促进作用。

在对数学题进行解答时，如果因为题目的题意中存在着一些不确定因素，进而导致无法解答出来，这样的情况下，就可以将题目分为若干个小问题，对其进行分类讨论，使相对复杂的问题变得简单化，方便对其进行解答。

二、分类讨论思想在初中数学解题的应用1.在不等式中的运用不等式在初中数学中是一种比较基础和普遍的内容。

因为不等式要涉及到绝对值，所以就要进行转换符号，同时一个不等式可能会存在不止一个绝对值问题，遇到这样的情况，学生往往会变得无所适从，这也就影响着学生的学习成绩的提升，运用分类谈论思想，就能够对不等式进行很好的解答。

分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究

分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究一、分类讨论思想的基本概念分类讨论思想是指将问题或事物按某种特定的标准进行分类，然后依次讨论各个类别中的具体内容，最后综合分类的结果来得出结论的一种思维方法。

在数学解题中，分类讨论思想常常用于分析不同情况下的解题方法，进而得出最终的解题结论。

在解决一个较为复杂的数学问题时，我们可以先将问题进行分类，然后分别讨论各个类别中的解题方法，最后再将各个类别的解题结果进行合并，得出最终的解题结论。

1. 引导学生灵活分类在初中数学解题教学中，教师可以通过引导学生灵活分类来启发学生的思维，帮助他们更好地理解和掌握解题方法。

在解决“集合”的问题时，教师可以要求学生根据不同的条件将集合进行分类，然后分别讨论各个分类的特点和解题方法，最后再将各个分类的解题结果进行总结。

通过这种方式，学生可以更加清晰地理解集合的概念和解题方法，从而提高他们的解题能力。

2. 激发学生的探究兴趣3. 提高学生的综合分析能力4. 培养学生的逻辑思维能力三、思考与建议分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用，为提高学生的解题能力和思维能力提供了有益的启示。

在实际教学中，教师们还需要注意以下几点：1. 灵活运用分类讨论思想在初中数学解题教学中，教师需要根据具体的教学内容和学生的实际情况，灵活运用分类讨论思想来解决数学问题。

只有灵活运用分类讨论思想，才能更好地激发学生的学习兴趣，提高他们的解题能力。

2. 注重引导学生分析问题3. 多种方式引导学生实践分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用，有助于提高学生的解题能力和思维能力。

教师们需要灵活运用分类讨论思想，注重引导学生分析问题，通过多种方式引导学生实践，从而更好地提高学生的解题能力和思维能力。

相信随着教师们不断的探索和实践，分类讨论思想的应用将会为初中数学解题教学带来新的活力和效果。

初中数学思想方法之分类讨论

初中数学思想方法之分类讨论数学是一门既抽象又具体的学科，它需要学生具备一定的思维方法和思想能力。

在初中数学中，分类讨论是一种常用的思想方法，它可以帮助学生分析问题、归纳规律并解决问题。

本文将详细介绍初中数学中分类讨论的基本思想和具体步骤，并通过例题来说明如何运用这种方法。

一、分类讨论的基本思想分类讨论是指将问题进行细化，将其分解成几个易于分析和解决的小问题，并分别进行讨论和解决。

通过这种方法可以更好地理解问题的本质，找到解题的关键点，并最终得到问题的解决办法。

分类讨论的基本思想包括以下几点：1.具体问题具体分析。

将问题进行细化后，每个小问题都有其独特的特点和解决思路，需要根据具体情况展开分析。

2.归纳总结。

在分析过程中，要总结出各个小问题之间的共同点和规律，以便更好地理解问题，并找到解决办法。

3.统一思考。

将各个小问题的解决办法进行归纳和整合，形成对大问题的解决思路。

二、分类讨论的具体步骤分类讨论的具体步骤可以简单概括为以下几点：1.理解问题。

仔细阅读题目，了解问题的背景和要求，确定需要解决的具体问题。

2.分析问题。

将大问题分解成几个小问题，每个小问题都有明确的目标和限制条件。

在分析过程中，可以通过画图、列举数据等方式进行辅助分析。

3.解决小问题。

按照特定的思路和方法，分别解决各个小问题。

在解决过程中，可以运用已经学过的数学知识、规律和公式。

4.总结归纳。

在解决小问题的过程中，要总结各个小问题之间的共同点和规律，归纳出解决大问题的关键思路和方法。

5.整合答案。

将各个小问题的解答整合成对大问题的解答。

在整合过程中，要仔细检查各个小问题的解答是否符合大问题的要求，并进行必要的修正和调整。

三、分类讨论的具体例题下面以一些常见的初中数学题目为例，说明如何运用分类讨论的方法解决问题。

例题1：现有一些白球和红球，共18个。

白球的个数不超过红球的个数。

问，最少有多少个红球？解题思路：根据题目要求和条件，可以将问题进行分类讨论。

初中数学分类讨论思想_浅析分类讨论思想在初中数学中的应用

初中数学分类讨论思想_浅析分类讨论思想在初中数学中的应用所谓分类讨论思想是指在解决某些数学问题时，其解决过程包括多种情形，不可一概而论，难以用统一的形式或同一种方法进行处理，需要根据所研究的对象在性质上存在的差别，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐一地加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，最终使得整个问题在总体上得到解决。

一、分类讨论思想在方程中的应用例：关于某的方程（m-2）某2-2某+1=0有实根，求m的取值范围。

解：①当m-2=0即m=2时，方程-2某+1=0有一个根为某=；②当m-2≠0即m≠2时，方程为一元二次方程。

且当b2-4ac=-4m+12≥0即m≤3时，原方程有两个实数根综上所述，当m≤3时，方程（m-2）某2-2某+1=0有实根。

二、分类讨论思想在特殊三角形中的应用例：已知四边形ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是一个含30°角的直角三角形且D在△ABC的外部，求四边形ABCD的对角线BD的长。

解：①以点A为直角顶点，点D为30°角顶点，或点C为直角顶点，点D为30°角顶点。

在△ACD中，∠CAD=90°，∠ADC=30°，AC=2∴AD=2√3。

过点D作DE⊥BA的延长线于E，∵∠BAC=60°，∠CAD=90°∴∠DAE=30°在△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=30°AD=2√3∴DE=√3，AE=3，∴BE=5，∵DB2=DE2+BE2，∴BD=2√7。

②点C为直角顶点，点A为30°角顶点或点A为直角顶点，点C为30°角顶点，在△ACD中，∠ACD=90°，∠CAD=30°，AC=2∴AD=√3∵∠BAC=60°，∠CAD=30°∴∠BAD=90°∴DB2=AB2+AD2∵AB=2，AD=√3∴BD=√21。

初中数学教学中的分类讨论思想

互相补充，互相评价，个不同种类的一种数学思想。它能训练学是应用分类思想解决问题的一个完整的则应由学生讨论，生的思维条理性和严密性，而提高学生过程。使学生在学习知识的过程中体会：逐步完善。从分析问题和解决问题的能力。分类思想要为什么要分类，及分类的基本原则。在随贯串于整个数学教学中，在初中数学教学后的去括号法则、有理数的乘法、乘方的的过程中逐步恰当地渗透数学分类讨论教学中均可仿照此方法渗透分类的思想。
意ｋ对方程性质的影响。讨论或讲评中，要
参考文献：［］１王燕春．分类方法．学会提高分类
［］日制义务教育课程标准（２全实验［］３蔡上鹤．数学思想和数学方法
初中数学大纲明确指出要让学生 “ 会使学生明确系数ｋ决定方程的次数，从而的大小和边长的关系对三角形进行分类 ” ｂ－ａ＞，Ｚ４ｃＯｂ－ａ＜三种情况进Ｚ４ｃＯｂ．ａ＝，Ｚ４ｃＯ
号，解题的过程使学生体会分类讨论的图像过哪几个象限？道题势必要考虑图在这
２１・０２１
一
般情况下，分类讨论后都要对结论
这也是解决这一类问题必须的类的依据，初步体会分类要不重复，不遗并通过有关讨论的知识的传授起到潜移进行归纳，步骤。对所有分类情况的解进行统计，理
解问题的意思，哪些解符合题目要求，需
分类讨论是重要的数学思想方法，但保留；哪些解不符合题目要求，要舍去。保
一

、
养成分类意识、渗透分类思想

分类讨论思想

初中数学分类讨论思想全国各地每年中考数学试题都离不开考查分类讨论的思想，分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。

比如线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角（边）不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。

分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面数学思维能力。

学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学冋题，掌握分类讨论数学思想方法这个锐利武器，提高学生的综合运用的能力和良好的思维品质。

1.分类讨论思想含义数学问题比较复杂时，有时可以分解成若干小问题或一系列步骤进行分类并分别加以讨论的方法，我们称为分类讨论法或分类讨论思想。

2.分类讨论一般应遵循以下原则（1）对问题中的某些条件进行分类要遵循同一标准。

（2）分类要完整，不重复，不遗漏。

（3）有时分类并不是一次完成，还需进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。

3.需要分类讨论的试题基本类型及其要求（1）考查数学概念及定义的分类。

熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。

（2）考查字母的取值情况或范围的分类。

此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.（3）考查图形的位置关系或形状的分类。

熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.（4）考查图形的对应关系可能情况的分类。

图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.4.初中数学涉及分类讨论的常见问题（1）绝对值中的分类讨论，（2）应用题中的方案类型，（3）概率统计中的分类讨论，（4）分式方程无解的分类讨论问题（5）一元二次方程系数的分类讨论问题（6）三角形的形状不定需要分类讨论（7）等腰三角形的分类讨论（8）相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类（9）常见平面问题中动点问题的分类讨论（10）组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。

初中数学思想方法篇——分类讨论

新梦想教育中高考名校冲刺教育中心【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之分类讨论一、注解：分类讨论思想又称为逻辑划分，是中学数学最常用的数学思想方法之一，也是中考数学中经常出现的数学思想。

分类讨论就是依据一定的标准，对问题进行分类，求解，然后综合出问题的答案。

当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按照可能出现的情况进行分类，分别讨论，得出各种不同情况下的相应结论。

分类原则：分类的对象是明确的；标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次；不越级讨论。

分类方法：明确讨论的对象，确定对象的全体，然后确立分类标准，正确进行分类；逐步进行讨论，获取阶段性结果；归纳总结，综合得出结论。

二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】若1a =，4b =且a b ＜0，则a+b= 【例2】若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，求m 。

2. 在代数式中的运用【例3】若实数x 满足22110x x x x +++=，求1x x+的值。

【例4】分式22943x x x --+的值为0，则x= （）A 3B 3或-3C -3D 03. 在方程（组）中的运用【例5】已知关于x 的方程ax 2+2x-1=0有实根，求a 的取值范围。

【例6】黄金周期间，某商场购物有如下优惠方案：（1）一次性购物在100元内（不含100元）时，不享受优惠；（2）100元到300元（不含300元）时，一律享受9折优惠；（3）300元以上时，享受8折优惠。

张伟在本商场分两次购物，分别付款80元和252元。

如果改为在该商场一次性购买，需要支付多少钱？4.在不等式中的运用【例7】国家规定个人发表文章，出版图书获得稿费的纳税计算办法是：（1）稿费不高于800元的，不纳税；（2）稿费高于800元，不高于4000元的，缴纳超过800那部分的14%；（3）稿费高于4000元的，应缴纳全部稿费的12%。

已知某作家获得一笔稿费，并交纳个人所得税a元（a＞0），求这笔稿费有多少元。

浅谈数学中的分类讨论思想

浅谈数学中的分类讨论思想在中学数学中，分类讨论的数学思想是颇为常见的．用代数语言表述事物具有一般性．通常用一个字母表示实数时，如果没有特殊规定，该字母可以是正数，可以是零，还可以是负数．当含有字母的式子用来表示几何关系时，就可能出现不同的情况．因此，分类讨论是不可避免的．分类是在题目部分条件缺失或不明确的情况下，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法．掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类是根据对象的相同点和差异点将对象区分为不同类的逻辑方法．分类也叫划分．分类是以比较为基础的，通过比较认识对象之间的异同，根据相同点将对象归纳为较大的类，根据差异点将对象划分为较小的类，从而将对象区分为具有一定从属关系的不同等级的系统．分类的目的在于使知识合理化，进而系统化．分类具有不可缺少的三要素：母项、子项和根据．母项是被划分的总概念，子项是划分后的类概念，划分的根据就借以划分为标准．分类的标准在于根据对象本身的某种属性和关系来进行划分．由于客观事物有多方面的属性，事物之间有多方面的联系，因此，分类的标准也是多方面的，可根据不同的需要采用不同的分类标准，对事物进行不同的分类．但每一次分类应按照同一标准进行，所取的标准应服从于研究的目的或观察问题的角度．任何分类必须遵循以下原则，只有这样，才能在分类过程中防止出现遗漏、重复或者混淆不清的现象．1．分类具有同一标准性．在分类前，应当从被分类的概念属性中，取一个属性作为依据，这与其说是原则不如说是方法．它有两层意思：一是判断概念应放在哪一类的衡量尺度；二是对两个不同的概念要用同一尺度衡量，否则就会出现划分的结果重叠或过宽的逻辑错误，使划分后的结果混淆不清．2．分类具有完备性．分类所得各子项外延之和必须与被分类的目项的外延相等．从量方面要求一个都不能丢掉．从集合观念看，被分类概念的外延应被分类所得各属概念的外延覆盖，各属概念的并集等于被分概念外延的全集，否则会出现过宽或过窄的逻辑错误．2．分类具有纯粹性．分类所得的各子项必须互相排斥，划分的子项概念的外延之间是不相容的关系．从集合的角度看，被分成的任何两类之间的不相交，即无共同元素，每一类元素之间满足一个标准或关系，不满足该标准或关系的不能属于同一类，即各属概念外延之交集为空集．如把平行四边形分为矩形、菱形和正方形，就不仅违反了第二个原则，而且也犯了“交叉”和“从属”的毛病．所谓分类是根据对象的相同点和差异将对象区分为不同种类的逻辑方法．分类也叫划分．分类是以比较为基础的，通过比较识别对象之间的异同，根据相同点将对象归为较大的类，根据差异将对象划分为较小的类，从而将对象区分为具有一定从属关系的不同等级系统．分类讨论的目的在于使知识组成条理化、系统化．而分类的标准是母项、子项和根据．母项是被划分的种概念，子项是划分后得到的类概念，划分的根据就是借以划分的标准．分类讨论的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行用分类讨论思想解题的一般步骤：（1）确定分类讨论的对象．（2）进行合理的分类讨论．（3）逐步逐级分类讨论．（4）综合归纳结论．分类讨论的常规方法：（1）依据数学公式、原则、法则的适用范围进行．如等比数列求和公式．（2）根据数学概念的定义进行分类．如绝对值、直线与平面所成的角等．（3）根据数形结合分类．如集合的交、并、补用数轴讨论．（4）依据位置关系进行分论．如几何中点与点，点与线，面与面等位置关系．（5）依据数学性质进行分类．如偶次算术根的性质，二次函数、幂函数的性质．（6）依据参数的变化范围进行分类．（7）依据整数的奇偶性进行分类．在中学数学教学中，利用分类的方法处理问题的情况主要有：(1)给概念下定义和对概念进行归纳总结．关于绝对值的概念，可以有这样一种定义方式：（２）定理、结论的论证求解过程及结论的表现形式．在现行的初中数学课本中，关于圆周角和圆心角的关系定理“同弧上的圆周角等于圆心角的度数的一半”的证明就采用了圆心与圆周角的关系的不同情况来分类的．同样，在中学数学的解题教学中，无论是计算题、作图题还是论证题等，运用分类的思想方法可以帮助学生进行全面严谨的思考、分析、讨论和论证，从而获得合理的解题思路和方法．（３）对已有结论进行推广．此外，我们还可以在已有结论的范围基础上，对尚未讨论的情况进行探究，从而达到对结论的扩展和推广．如，在有了关于二次、三次方程的根式解以后，按照方程的次数分类，就会想到四次、五次等方程的解的问题而得到新的理论．再如，若我们已经推导出了圆台（或棱台）中截面的面积公式，那么，我们可以进一步推导其它位置的截面的面积公式．运用分类讨论思想可以解决许多数学问题．一、代数（一）数、式。

中考数学总复习之分类讨论思想

（2）在△QAC中，S=
1 2
QA·DC=12 （
6－t)·12=36－６ｔ
在△APC中，S=
1 2
AP·BC=12 ·２ｔ·６＝６ｔ
D
C
QAPC的面积S=（３６－6t)+6t=36(cm2)
Q
由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，
四边形QAPC的面积始终保持不变。
A
P
B
（3）根据题意，可分为两种情况来研究
大家好
1
分类讨论
2
一. 数学思想方法的三个层次:
数学一般方法
配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等
数学思想和方法
逻辑学中的方法(思维方法)
数学思想方法
分析法、综合法、归纳法、反证法等
函数和方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等

3
分类讨论思想
• 分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。
的内接三角形，
若BC=2 3 cm,
则角A的度数
是
。
A
B
C
B
C
A
13
三.与相似三角形有关的分类
1.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边
从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开
始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒
表示移动的时间（0＜x＜6）那么：
1. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是
-3≤x≤ 6，，相应的函数值的取值范围是
-5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式。

数学分类讨论思想

在有关动点的几何问题中，由于图形的不确定性，我们常常需要针对各种可能出现的图形对每一种可能的情形都分别进行研究和求解．换句话说，分类思想在动态问题中运用最为广泛．
C
A
D
B
例12、如图,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC=4厘米,点P从点A开始沿折线A—B—C—D以4厘米/秒的速度移动,点Q从点C开始沿CD以1厘米/秒的速度移动,如果点P和Q分别从点A、C同时出发,当其中一个点到达D点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t（秒）.
C
B
D
A
E
F
如图，当EA=EF=10时,DE=7, DF= = , S△AEF= ×10× = 5 (cm2)
1
2
C
B
D
A
17
16
E
F
C
B
D
A
E
F
C
B
D
A
E
F
∴三角形面积是50cm2 、 40 cm2 、 cm2
【简解】本题分方程是一元二次方程和一元一次方程两种情况讨论，答案:k＞－1；
3）在同一坐标系中，正比例函数y=-3x与反比例函数的图象的交点的个数是（）
A．0个或2个 B．l个 C．2个 D．3个
A
4）、若直线 y=－x+b 与两坐标轴围成的三角形的面积是2，则b的值为；
A
C
B
B
A
C
C
B
A
分析（1）圆C与斜边AB相切时， R=2.4 （2）圆C与斜边AB相交时，一个交点在线段AB上，另一个交点在延长线上。 3﹤R≦4
例9、半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切的圆有几个？

初中数学——分类讨论思想(初二)

分类讨论分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强,难题较大，在历年中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有很强的选拔性。

综合中考的复习规律，分类讨论的知识点有三大类：1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等。

2．几何类：几何有各种图形的位置关系,未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3)分类讨论应逐级有序进行．（4)以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.题型1。

考查数学概念及定义的分类规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。

例题1．方程560x x x ⋅-+=的最大根与最小根的积为＿＿＿＿＿＿.例题2．解关于x 的方程:ax — 1= x例题3．试解关于x 的方程111=--x )x (例题4．=+=-+-a 349332无解，求x x ax x例题5．已知四个数：10、10、x 、8，它们的中位数和平均数相等，则x=___________题型2：考查字母的取值情况或范围的分类。

规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类,解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围。

例题1．已知2225,7x y x y +=+=，则x y -的值等于＿＿＿＿＿＿＿.例题2．如图所示,在平行四边形ABCD 中， 4AD cm =，∠A ＝60°，BD ⊥AD,一动点P 从A 出发，以每秒1cm的速度沿A B C →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM,使PM ⊥AD.（1)当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；(2)当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B C →→的路线运动，且在AB 上以每秒1cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒2cm 的速度匀速运动.过Q 作直线QN ，使QN//PM 。

分类讨论思想在初中数学中的应用

分类讨论思想在初中数学中的应用分类讨论思想是初中数学中常用的一种解题方法。

它是指将问题分成几类，分别进行讨论，最后综合各类情况得出结论的思考方式。

分类讨论思想的应用可以帮助我们更好地解决数学问题，提高数学能力。

一、常用的分类讨论思想（一）分情况讨论法所谓分情况讨论法，就是把原问题划分为若干不同的情况，对每种情况分别进行讨论，最后根据所有情况的讨论结果得出原问题的解决办法。

例如：某电影院座位有两种，一种是普通座位，票价为25元；一种是豪华座位，票价为50元。

售票系统统计，当电影院所有座位都售出时，收入最高为1200元，最少为900元。

这时要求你编写程序，计算出电影院的总座位数，普通座位数和豪华座位数分别为多少。

这个问题一共有三个未知量，构成了一个三元一次方程组。

假设总座位数为x，普通座位数为y，豪华座位数为z，则可以列出如下方程组：y+z=x25y+50z=120025y+50z=900很显然，这个方程组无解。

因为一张普通座位和一张豪华座位的票价差距是25元，显然不可能造成1200元和900元这种巨大的差距。

则此时需要用到分情况讨论法。

只使用普通座位的收入为25x，只使用豪华座位的收入为50x，则此时有以下两种情况：①只使用普通座位的情况25x=900，得x=36；知道x=36后，已知经过统计全部座位都已售出，故有：y+z=x=36；由此可得：y=9,z=27。

②只使用豪华座位的情况50x=1200，得x=24；知道x=24后，已知经过统计全部座位都已售出，故有：y+z=x=24；由此可得：y=24,z=0。

因此，分情况讨论法的最终解决办法是电影院的总座位数是36，普通座位数是9，豪华座位数是27。

（二）合情况讨论法所谓合情况讨论法，就是将原题设想为一个更大的问题，再将其划分为若干个子问题，对每个子问题进行讨论，最后综合所有的子问题的情况，得出原问题的答案。

这种方法主要是利用排除法以及一些特殊的性质。

初二数学分类讨论思想应用

分类讨论思想专题一、分类讨论思想数学问题比较复杂时，有时可以分解成若干小问题或一系列步骤进行分类并分别加以讨论的方法，我们称为分类讨论法或分类讨论思想。

二、分类讨论思想应把握的原则明确对象，不重不漏，逐级讨论，综合作答。

三、分类讨论思想的应用[线段中分类讨思想的应用]——线段及端点位置的不确定性引发讨论。

例1已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为____练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段A的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.例2下列说法正确的是（）A、两条线段相交有且只有一个交点。

B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。

B、两条射线不平行就相交。

D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。

[与角有关的分类讨论思想的应用]——角的一边不确定性引发讨论。

例3在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。

[三角形中分类讨论思想的应用]1、等腰三角形的分类讨论：a、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。

例4、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。

[练习]若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

b、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。

例5、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（）A. 30°B. 75°C. 105°D. 30°或75°1、在ΔABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。

2、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论例6、已知x ，y 为直角三角形两边的长，满足x y y 224560-+-+=，则第三边的长为_____________。

浅谈初中数学解题教学中的分类讨论思想

浅谈初中数学解题教学中的分类讨论思想摘要：分类讨论是数学领域非常重要的思想方法，也是不容忽视的解题方法，不单单将数学的内在特点体现得淋漓尽致，还涵盖数学归纳总结等方法。

不过因为受传统教育模式影响比较深刻，不少教师在实际教学当中关注的是理论知识的传授，忽视了学生数学能力的培养。

这样的思想以及做法与新课改要求不符，同时也不利于分类讨论思想在学生群体当中的渗透与数学解题中的应用。

对此，初中数学教师要加大教学创新力度，注意在解题教学环节渗透分类讨论思想，在减少学生解题难度的同时，提高学生的数学理解能力。

关键词：分类讨论思想初中数学解题运用初中数学解题教学是一项至关重要的教学环节，主要关注的是学生解题能力的培养，引导学生运用已学数学知识与方法解决数学难题和生活中的数学问题，提升解题有效性，推动思维进步。

分类讨论思想在解题教学实践当中有着显著的应用价值，是提高学生解题准确性和解题效率的策略，也有助于提高学生思维的完善性和解题的正确率。

初中数学教师应该让学生认识到分类讨论思想在数学解题中的应用价值，让学生掌握在解答数学问题时进行分类讨论的方法。

一、分类讨论思想在初中数学解题教学中的应用重要性初中数学的解题教学关键点是让学生掌握数学解题的思路以及有效方法，不过学生在实际解题时经常会接触到需要进行分类讨论的一类问题，而此类问题也能够助推学生思维能力的发展。

分类讨论在数学解题当中至关重要，是不容忽视的数学思想方法，也是解决实际问题、提升解题有效性的一个重要因素。

不过不少学生在实际解题时却不知道要怎样进行分类讨论，不能够明确其应用价值，因此需要教师结合教学内容和学生的学习实际创设一定的学习情境来引导学生合理应用这一方法，启迪和引导学生在解题当中灵活把握和运用分类讨论，揭露这一思想方法的本质，逐步引导学生建立分类讨论的意识。

掌握分类讨论思想的应用方法是初中生的必备素质，也是数学解题教学的要点。

二、分类讨论思想在初中数学解题教学中的应用策略1.分类讨论思想在初中几何解题教学中的应用。

浅谈初中数学中的分类讨论思想

浅谈初中数学中的分类讨论思想分类讨论是人们常用的重要思想方法，无论是在生产活动、科学实验中，还是在日常的生活中，都常常需要用到它。

这里我们重点研究初中数学中的分类讨论思想。

1. 分类讨论思想的意义有关初中数学中分类讨论的原因本文归纳了以下几个方面：由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对其进行分类讨论；由于问题的题设和结论有多种可能情况而需要对其进行分类讨论；由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论；由于问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论。

2. 分类的四大原则2.1 同一性原则。

分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。

2.2 互斥性原则。

分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。

2.3 相称性原则。

分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等。

2.4 层次性原则。

分类有一次分类和多次分类之分。

一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。

3. 分类讨论的步骤用分类讨论思想解决问题的一般步骤是：3.1 先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围。

3.2 正确选择分类的标准，进行合理分类。

3.3 逐类讨论解决。

3.4 归纳并作出结论。

4. 归纳需要分类讨论的几种常见例子掌握用分类讨论思想解题的关键，在于搞清楚哪些情况下会引起分类讨论。

下面就引起分类讨论的一些常见情况作一归纳：4.1 由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对其进行分类讨论。

有些数学概念是分类定义的（如实数的绝对值），所以应用这些概念解题时，就需进行分类讨论。

有些数学概念在下定义时已经对所考虑的对象的范围作了限制（如二次方程，求二次项系数不为零），当解题过程的变换需要突破这些限制时，就必须分类讨论。

例如：解方程|4x-4|-|2x+2|=14解：当x≥1时, 原方程化为(4x-4)-(2x+2)=14, x=10当-1≤x≤1时，原方程化为4 - 4x-2x-2=14，x=-2, 应舍去.当x≤-1时，原方程化为4-4x+2x+2=14, x=-4∴x=10或-4说明: 若在x的某个范围内求解方程时,若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解“应舍去”. 绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要讲清这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。

初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨

初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨篇一初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨一、引言初中数学作为学生数学学习的重要阶段，不仅在知识体系上有着独特的特点，而且在思想方法上也有着重要的转折点。

其中，分类讨论思想是一种重要的数学思想，它通过对问题进行分类和细化，将复杂的问题分解为若干个简单的问题，从而帮助学生更好地理解和解决这些问题。

本文将就初中数学分类讨论思想在解题中的应用进行深入探讨。

二、分类讨论思想的基本概念分类讨论思想是一种数学思想，它根据一定的标准，将问题按照不同的类别进行划分，并对每一类问题进行分别讨论。

通过对问题进行分类和细化，可以帮助学生更好地理解问题的本质和特点，从而更好地解决问题。

在初中数学中，分类讨论思想主要应用在代数、几何等领域。

三、分类讨论思想在解题中的应用在代数中的应用在初中代数中，分类讨论思想的应用主要体现在以下几个方面：（1）实数的分类：实数可以分为正数、负数和零三类。

正数包括正整数和正小数；负数包括负整数和负小数；零是实数的中性元素。

通过对实数进行分类，可以帮助学生更好地理解实数的性质和运算规则。

（2）方程的分类：方程可以分为一元方程和多元方程两类。

一元方程是指只有一个未知数的方程；多元方程是指含有两个或两个以上未知数的方程。

通过对方程进行分类，可以帮助学生更好地理解方程的解法和特点。

（3）函数的分类：函数可以分为一次函数、二次函数、反比例函数等类型。

一次函数是指未知数的最高次数为1的函数；二次函数是指未知数的最高次数为2的函数；反比例函数是指形如y=k/x的函数。

通过对函数进行分类，可以帮助学生更好地理解函数的性质和图像特点。

在几何中的应用在初中几何中，分类讨论思想的应用主要体现在以下几个方面：（1）三角形的分类：三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三类。

锐角三角形是指三个内角都小于90度的三角形；直角三角形是指有一个内角等于90度的三角形；钝角三角形是指有一个内角大于90度的三角形。

【初中数学】分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用

【初中数学】分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用【初中数学】分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用数学思想是人们在长期的实践经验和社会生活中得出的有关现实世界的数量关系、空间结构等科学意识的反应，是人类思维活动的结晶。

数学思想在漫长的历史演变中逐渐发展，帮助人类掌握学习知识的技巧，提供最优质的解决方案，常见的数学思想包括数形结合、分类讨论、换元思想、函数与方程、等效思想等等。

本文就以分类讨论思想为例，探讨其在初中数学中的具体运用。

一、分类探讨思想的意义分类讨论思想其最主要本质就是“化整为零，积零为整”的解题策略。

当我们在解决数学问题时，当所面对的问题不能进行整体统一的研究时，根据数学的本质属性需进行分类讨论和研究，这种逻辑思维解决方法就是“分类讨论思想”。

而分类讨论思想在中学数学中，历年是考试的侧重点，主要是考查学生对于知识面的分析能力和解题思路技巧，分类讨论思想不仅有利于提高学生在学习数学中的广泛兴趣，还有利于培养思维能力的条理性和缜密性。

学生可以通过分类讨论思想掌握数学当中分类方法、一题多解和对知识结构认知的能力。

在教学中，教师可以利用小组合作充分发挥分类讨论的作用，为学生营造一种合作交流积极应变的氛围。

因此，分类讨论思想可以有效地培养学生的思维灵活性和解题思路的能力，在初中数学解题应用中具有非常重要的作用和意义。

二、分类探讨思想具体内容解题步骤深入探讨在学生能够基本掌握分类讨论思想的情况下，教师要引导学生运用正确的解题思路，大体可以从以下几个方面去引导，一是要认真仔细阅读题目，明白题目要考查的知识点；二是要明确分类讨论的对象，列举所有可能的结果，不可以遗漏，不可以重复；三是要讨论出所有列举问题的结论；四是要认真总结归纳，对于做过的题目要能够总结出规律和解题思路。

对于数学问题的研究要有效针对各种属性的对象，研究的结果也自然会因为研究对象的不同而产生差异，因此对于不同的研究对象就需要采用不同的研究思想，又或者说在研究过程中出现了不同的状况，就需要采用不同的分类研究的思想。

关于分类讨论思想在初中数学教学中的应用 (3)

分类讨论思想在初中数学教学中的应用数学分类讨论是一种常见的思维方法。

所谓分类讨论，就是把一个复杂或不确定的问题按不同情况分类讨论，从而得到简化或明确的。

在初中数学教学中，分类讨论思想的应用可以激发学生的思维，提高他们的分析、归纳、判断和解决问题的能力。

本文将深入探讨分类讨论思想在初中数学教学中的应用，并提出一些具体的教学实践建议。

一、分类讨论思想的基本原理分类讨论思想是指将一个复杂的问题，根据不同情况分类进行研究和讨论的思维方法。

其基本原理是“分而治之”，通过将一个问题分解成若干个相对简单的部分，再从不同角度考虑、分析和讨论，最终得出全面、准确的。

分类讨论的基本方法主要包括以下几个步骤：1. 将问题进行分类，找到不同情况。

2. 对每一种情况进行详细分析和讨论，寻找规律。

3. 综合各种情况的结果，得出最终。

分类讨论思想在数学中的应用非常广泛，例如在解决几何问题、方程式、概率统计等问题中，都可以通过分类讨论的方法得出较为简单明了的。

二、分类讨论思想在初中数学教学中的应用1. 解决数学问题分类讨论思想可以帮助学生更加深入地理解和掌握各种数学概念和定理。

例如，在解决一些复杂的几何问题时，学生可以把问题进行分类，分别研究每一种情况，并通过综合得出。

这样，学生的思维会更加开阔，能力也会得到提升。

2. 强化数学推理能力分类讨论思想在初中数学教学中还可以强化学生的推理能力。

在讨论分类的过程中，学生需要分析各种情况的规律，找到相同点和不同点，然后对每种情况进行比较和推理。

这样，学生的推理能力会得到很好的锻炼，在以后的学习和工作中也会受益匪浅。

3. 激发解决问题的热情分类讨论思想可以激发学生对数学问题的兴趣和热情，促进他们的思维发展。

在课堂上，老师可以通过举一些有趣的例子来引导学生讨论和发现规律，从而培养学生解决问题的兴趣和自信心。

三、分类讨论思想在初中数学教学中的实践建议1. 合理设置问题为了引导学生正确运用分类讨论思想解决问题，老师在教学中应该合理设置问题。

浅谈初中数学中的分类讨论思想

浅谈初中数学中的分类讨论思想浅谈初中数学中的分类讨论思想⼀、分类思想定义与特点所谓分类讨论思想，就是当⼀个数学问题在⼀定的题设下，其结论并不唯⼀时，我们就需要对这⼀问题进⾏必要的分类。

将⼀个数学问题根据题设分为有限的若⼲种情况，在每⼀种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进⾏归纳综合。

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略.分类思想有三个明显特点，⼀是对什么东西分类，即确定分类的对象；⼆是按什么标准分类，即选择分类的标准；三是分成哪⼏类，即确定分类的结果。

通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。

划分只是⼿段，分类研究才是⽬的.既可以将复杂的问题分解成若⼲个简单的问题，⽽且恰当的分类可避免丢值漏解，从⽽提⾼全⾯考虑问题的能⼒，提⾼周密严谨的数学素养。

⼆、分类讨论思想应遵循以下的原则1、同⼀性原则。

分类应按同⼀标准进⾏，即每次分类不能同时使⽤⼏个不同的分类根据。

有些同学把三⾓形分为锐⾓三⾓形、直⾓三⾓形、钝⾓三⾓形、不等边三⾓形、等腰三⾓形。

这个分类就不正确了，因为这个分类同时使⽤了按边和按⾓两个分类标准。

2、相称性原则。

分类应当相称，即划分后⼦项外延的总和，应当与母项的外延相等。

3、互斥性原则。

分类后的每个⼦项应当互不相容，即做到各⼦项相互排斥，也就是分类后不能有⼀些事物既属于这个⼦项，⼜属于另⼀个⼦项。

4、层次性原则。

分类有⼀次分类和多次分类之分。

⼀次分类是对被讨论对象只分类⼀次；多次分类是把分类后所得的⼦项作为母项，再进⾏分类，直⾄满⾜需要为⽌。

有些对象的分类情况⽐较复杂，这时常采⽤“⼆分法”来分类，就是按对象有⽆某性质来进⾏分类。

按“⼆分法”作分类，就是把讨论对象的外延⼀直分为两个互相⽭盾的概念，⼀直分到不必再分为⽌。

四、分类讨论思想主要步骤通过上述问题的讨论，分类讨论的思想⽅法在初中数学教材中有着⼴泛的渗透。

在运⽤分类思想解题时主要步骤有：（1）明确讨论的对象：即对哪个参数进⾏讨论；（2）对所讨论的对象进⾏合理分类（分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统⼀、分层不越级）；（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决。

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