923891-复变函数-总复习
复变函数与积分变换复习指南江西省考研数学备考要点
复变函数与积分变换复习指南江西省考研数学备考要点一、复变函数的基本概念及性质复变函数是指变量既可以是实数，也可以是复数的函数。
复变函数的基本形式为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy为复变量，u(x,y)和v(x,y)分别为实部和虚部函数。
复变函数满足柯西—黎曼方程，即满足偏导数关系式：∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x。
复变函数的导数、全导数、解析函数、亚纯函数等概念要掌握，并能熟练应用。
二、积分变换的基本概念及性质积分变换是指通过对函数进行积分运算，得到一个新的函数。
拉普拉斯变换和傅里叶变换是常见的积分变换方法，掌握它们的定义和性质是考研数学中的重点。
拉普拉斯变换将一个函数f(t)变换为F(s)，其中s是复变量。
拉普拉斯变换的定义为F(s)=L{f(t)}=∫[0,+∞)f(t)e^(-st)dt，要熟悉拉普拉斯变换的常见公式和性质。
傅里叶变换将一个函数f(t)变换为F(ω)，其中ω是复变量。
傅里叶变换的定义为F(ω)=F{f(t)}=∫[-∞,+∞)f(t)e^(-iωt)dt，要了解傅里叶变换的常见公式和性质。
三、复变函数与积分变换的应用1. 线性时不变系统线性时不变系统是指输入和输出之间的关系在任意时刻都是线性性质，并且不随时间变化。
复变函数和积分变换可以用来研究线性时不变系统的稳定性、频率响应等性质。
2. 信号与系统分析复变函数和积分变换在信号与系统分析中有着广泛的应用，可以用来分析信号的频谱、传输特性等。
3. 常微分方程的变换求解利用复变函数和积分变换可以将常微分方程转化为代数方程，从而求解常微分方程的解。
4. 概率论与统计的应用复变函数和积分变换在概率论与统计中的应用包括概率密度函数的变换求解、随机过程的分析等。
四、复变函数与积分变换的数学模型复变函数和积分变换可以用于建立数学模型，解决实际问题。
例如，利用复变函数和积分变换可以建立电路网络的数学模型，研究电路的稳定性、传输特性等。
复变函数-总复习
复变函数Complex Function⚫第一章复数与复变函数⚫第二章解析函数⚫第三章复变函数积分⚫第四章复变函数项级数⚫第五章留数及其应用主要内容复数形如 z = x+iy , 其中x 和y 是任意两个实数.=x z Re(), =y z Im()z 的共轭复数记作: ，z =+⇒z x iy =−z x iy共轭复数的性质:+=−=z z z z z i z 2Re(); 2Im()⎝⎭+ ⎪⎛⎫−i i 1117)(()()+−=−i i i 1117714)(=⎣⎦−⎡⎤i 21727)(=−i 2277)(=i .−+−i i i i 121)(()()−+⋅=++−i i i ii i i i 1111)()(−=+−+i i 2111=−−i 2231复数的四则运算: 和 差 积 商复数的几何表示向量的长度==+z r x y22复数的模=z rei θ指数表示式三角表示式=+z r i cos sin θθ)(其中r = |z |, = Arg zθ复数的表示方法幅角的主值：满足−<≤πθπ的复数z 的幅角称为辐角的主值.θ=z arg 0)Arg arg 2 0,1,2,.π=+=±±z z k k (复数的幅角θθθθθθ⋅=⋅+++=⋅+ez z r r i r r i [cos()sin()](12212)1212112θθθπ=⎝⎭ ⎪==+⎛⎫+++r e n n w z r i k k n ni k k nncos sin 22121ππ)(复数的方根=θ−θ+θ−θ=θ−θe z r r i z r r i [cos()sin()]21)22121211(12复数乘积和商θθθ=+=r e z r n i n n n n i n [cos()sin()]()θθθ=+=ei r z r i (cos sin )+=z 1604例1: 解方程ππ⎝⎭⎪=+⎛⎫++i k k 4416cos sin 2241ππππ⎝⎭⎪=+⎛⎫++i k k 442cos sin22ππ=k (0,1,2,3)复数的乘幂=−z 164解:幅角的主值).=+=±±πz z k k ,Arg arg 2 0,1,2(满足−<≤πθπ的复数z 的幅角称为辐角的主值.记做:=z arg 0θ例2: 的幅角主值=−+z i 13ππππ−−+=+=−+=i 133arg 13arctan 32)(的幅角主值=−z 3π−=arg(3)例3: 证明+=++z z z z z z 2Re ,121212222)(并由此证明+≤+z z z z .1212证明：+=++z z z z z z ()1212122)(=+++z z z z z z z z 11221212+=++z z z z z z 2Re 121212222)(≤++z z z z 2121222=++=+z z z z z z 2121212222)(+=z z z z z z ()2Re 121212)(≤x z=z zz2⇒+≤+z z z z .1212例4: 映射 ,求圆周的象.=+z w z 1=z 2令=+=+z x iy w u iv ,,映射=+1w z z⇒+=++−+u iv x iy x iyx y22,解：于是=++u x x x y 22 ,=−+v y y x y 22,=z 2⇒==u x v y 44,53⇒==x u y v53,44+=u v 25914422+=x y 422映射=w f z (), w 称为z 的象，z 称为w 的原象两个特殊的映射==w zw z (2)(1)2复变函数的极限与连续性定理2: 设 =+f z u x y iv x y ()(,)(,),则 f (z )在处连续 =+z x iy 000的充分必要条件是 u x y (,),v x y (,)都在x y (,)00点连续.结论：arg z 在原点与负实轴上不连续.=→f z f z z z lim ()()00复变函数连续复变函数的极限=→f z A z z lim ()0定理1:=+=+=+f z u x y iv x y A u iv z x iy ,(,),,00000)()(设函数=⇔==→→→→→f z A u x y u v x y v y y y y z z x x x x lim lim ,,lim ,000)()()(−+=+x yi x y f z x x x yi ()= ()22++==x y x y u v x xy , 22222=y kx方法1: 沿++==→→→→x k x k u x y x y y x x 1lim ,lim 1000022222 )(依赖于k ，故极限不存在。
复变函数期末复习课件
Laplace积分
2 Laplace变换和逆变换的定义
F (s) ℒ [ f (t)] f (t)estdt 0
f (t) ℒ 1[F (s)] 1 i F (s)estds (t 0)
2 i i
13
常见的Laplace变换公式
ℒ
[u(t )]
1 s
(Re(s) 0);
ℒ
[ et ]
傅立叶积分
2 Fourier变换和逆变换的定义
F () ℱ[ f (t)] f (t )eitdt,
f
(t)
ℱ 1[F ()]
1
2
F ( )eitd .
9
指数衰减函数
et , t 0
f (t)
( 0)
0, t 0
正弦函数 f (t) sin 0t
单位阶跃函数
u(t
)
0, 1,
复变函数期末复习重点
ห้องสมุดไป่ตู้
第一章 复数与复变函数
1. 复数的实部、虚部, 复数的模、辐角(主辐角), 共轭复数的计算
2. 复数的表示：复数的代数式、三角式、指数式 的相互转化
3. 复数的运算：加、减、乘、除及其几何意义, 乘幂与方根；
4. 点集概念: 单连通区域, 多连通区域, 有界区域, 无界区域的判定；
例如计算积分:
C Im z dz 其中积分路径 C是从z 0 到z 1 i的直线段
ez dz , C : x2 y2 4 C z3 (z 1)2
cos z dz |z|1
6
第四章 级数 1. 判断复级数的绝对收敛与条件收敛性. 2.幂级数的收敛半径，收敛圆，收敛圆周的计算 3. 关于
解析、在一点解析; 讨论给定函数的连续性、可导性、解析性.
复变函数复习提纲
复变函数复习提纲一、复数及复平面上的运算1.复数的定义和基本性质2.复数的表示形式：直角坐标形式和极坐标形式3.复数的加法和减法4.复数的乘法和除法5.复数的共轭、模和幅角二、复变函数的定义1.复变函数的定义和常见符号表示2.复变函数的实部和虚部3.复变函数的可导性和全纯性4.复变函数的解析函数和全纯函数5.复变函数与实变函数的区别三、复变函数的基本运算1.复变函数的和、差、积、商的性质2.复变函数的乘方和开方3.复变函数的复合函数和反函数4.复变函数的三角、指数和对数函数5.基本初等函数的推广四、复变函数的级数展开1.复变函数的幂级数展开2.零点的意义和展开中的唯一性3.幂级数的敛散性和收敛半径4.幂级数的和函数和导函数5.复变函数的泰勒级数展开和洛朗级数展开五、复变函数的积分1.复变函数的定积分和不定积分2.瑕积分和主值积分的定义3.复变函数的原函数和柯西-黎曼积分定理4.瑕积分和主值积分的计算方法5.狄利克雷定理和焦函数的应用六、解析函数的应用1.几何转化和连续映射2.物理应用：流体流动和电场问题3.工程应用：电阻网络和热传导问题4.统计应用：随机过程和随机变量5.数学应用：多复变数函数和复变函数的边界性质七、复变函数的解析延拓1.裂点和分岔点的概念和性质2.加点后的解析延拓和解析延拓的唯一性3.互补法和不动点法的应用4.点列内闭包性质和整函数性质的判别5.亚纯函数和亚纯函数的零点性质八、复变函数的几何应用1.复变函数的映射和对应关系2.线性变换和保持角度的特殊变换3.保形映射和自共轭函数的性质4.圆盘映射和单位圆盘函数5.黎曼映射和分式线性变换的应用九、复变函数的调和函数1.调和方程和调和函数的概念2.调和函数的基本性质和解析条件3.核函数和调和函数的唯一性4.调和函数的积分表示和傅里叶展开5.调和函数的应用：电势和温度分布以上是复变函数的复习提纲，包括了复数及复平面上的运算、复变函数的定义、复变函数的基本运算、复变函数的级数展开、复变函数的积分、解析函数的应用、复变函数的解析延拓、复变函数的几何应用和复变函数的调和函数等内容。
复变函数期末考试复习重点
复变函数期末考试复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctan yz x=；（当z 落于一、四象限时，不变。
）当0,x = 0,arg 20,arg 2y z y z ππ⎧>=+⎪⎪⎨⎪<=-⎪⎩（z 为纯虚数，落于虚轴） 当0,arg arctan (0,0,arg arctan (yy z xx yy z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩第二象限)第四象限)；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
3.共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数. z x iy =- 共轭复数的性质：教材P3(二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()1122111121212122122222222222222222x iy x iy z x iy z z x x y y y x y x i z x iy z z x iy x iy x y x y +-++-====+++-++。
复变函数复习资料
复变函数复习资料复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的研究对于数学的发展和应用有着重要的意义。
在这篇文章中，我将为大家提供一些复变函数的复习资料，希望对大家的学习有所帮助。
一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数，它的自变量和因变量都是复数。
复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。
复变函数的导数和积分也有相应的定义，与实数函数的导数和积分有一些不同之处。
二、复变函数的解析性与调和性复变函数的解析性是指函数在某个区域内处处可导，它是复变函数的重要性质。
根据柯西—黎曼方程，只有满足一定条件的函数才能是解析函数。
解析函数具有很多重要的性质，例如它的实部和虚部都是调和函数，它的导数也是解析函数。
三、复变函数的级数表示复变函数可以用级数表示，这是复变函数研究中常用的一种方法。
泰勒级数是复变函数的一种重要的级数表示形式，它可以将函数展开成一系列幂函数的和。
而洛朗级数则是将函数展开成一系列幂函数和互补幂函数的和，适用于具有奇点的函数。
四、复变函数的积分复变函数的积分是复分析中的重要内容，它与实数函数的积分有一些不同之处。
复变函数的积分可以沿着一条曲线进行，这就是复积分的概念。
复积分有一些重要的性质，例如柯西—黎曼积分定理和柯西公式等，它们在复分析中有着广泛的应用。
五、复变函数的应用复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
它可以用来描述电磁场、流体力学和信号处理等问题。
复变函数的解析性和级数表示等性质使得它在实际问题的求解中具有很大的优势。
总结：复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的解析性、级数表示和积分等性质是复变函数研究的核心内容。
复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
希望通过这些复习资料，能够帮助大家更好地理解和掌握复变函数的知识。
复变函数 部分内容的总结与习题
复变函数部分内容的总结与习题复变函数是数学中重要的概念之一，是实数域上函数的推广。
复变函数是指定义在复数域上的函数。
在复数域上，定义了加法、减法、乘法和除法运算，因此复数域上的函数具有更丰富的性质和结构。
复变函数的重要性主要体现在以下几个方面：1.解析性：复变函数多数情况下是解析的，即具有无限可导的性质。
这使得复变函数具有很好的性质和结构，能够通过解析方法得到精确解。
2.全纯函数：全纯函数是最重要的复变函数类别之一，它是复变函数的一种特殊情况，也称为解析函数。
全纯函数具有很多重要的性质，如无奇点、可微性等。
3.复数积分：复变函数理论为计算复数积分提供了强有力的工具。
复数积分在物理学、工程学和应用数学中具有广泛的应用。
4.亚纯函数与调和函数：亚纯函数是复变函数的另一种重要类别，它具有有限个极点，但在有限区域内是解析的。
调和函数是亚纯函数与全纯函数的和，具有很多应用。
在学习复变函数的过程中，我们需要掌握一些基本的概念和性质，如复数的定义和运算规则、复函数的连续性、极限、导数等。
此外，还要学习复函数的级数展开、洛朗级数、柯西-黎曼方程等高级概念和技巧。
下面我们来做一些与复变函数相关的习题，以加深对复变函数的理解。
习题1：计算函数$f(z)=\log{(1+z)}$在$z=1$处的洛朗展开式。
解答：根据洛朗展开的定义，我们需要找到$f(z)$在$z=1$处的主部和全纯部分。
首先，我们有$f(z)=\log{(1+z)}=\log{|1+z|}+i\arg{(1+z)}$，其中$\arg{(1+z)}$为辐角。
当$z\to1$时，$|1+z|\to 2$，$\arg{(1+z)}$是连续的，当$z$在单位圆内部绕一周时，$\arg{(1+z)}$改变$2\pi$。
因此，$\log{|1+z|}$是在$z=1$处有限的。
而$\arg{(1+z)}$在$z=1$处是不连续的。
所以，在$z=1$附近的一个小邻域内，$f(z)=\log{(1+z)}=\log{|1+z|}+i\arg{(1+z)}$的全纯部分是$\log{|1+z|}$。
复变函数总复习资料
cos
p q
2kπ
i
sin
p q
2kπ
q 个值: k 0,1, 2,L ,(q 1)
(3)除此以外，ab具有 无穷多个值
16
幂函数 w zb ebLnz
当 b n与 1 时, 就分别得到复数的幂及根运算：w zn
及
1
w zn
n
z.
n
幂函数的解析性
(1) 幂函数 zn 在复平面内是单值解析的： (zn ) nzn1.
z
z 15
3.乘幂与幂函数：ab、zb
乘幂 ab ebLna.
由于 Lna ln a i(arg a 2k ) 是多值的, 因而ab 也是多值的.
(1) b 为整数:
a e e e e b bLna b[ln a i(arga2k )]
b(ln a iarga)2kbi
lnarglnlnlnlnzln在除去负实轴包括原点的复平面内主值支和其它各分支处处连续处处可导lnlnlnln16乘幂lnlnlnarg由于是多值的因而也是多值的argln为互质的整数lnarglnarglnarglnargcoslnln除此以外具有无穷多个值17ln幂函数幂函数的解析性幂函数在复平面内是单值解析的
3、 复数运算
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
加法、减法： z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
乘法: 除法:
z1z2 (x1 i y1)(x2 i y2 )
(x1x2 y1y2 ) i(x1y2 x2 y1)
z z1 x1 iy1 x1x2 y1 y2 i y1x2 x1 y2 ,
复变函数重要知识点总结
03 复变函数的级数与幂级数展开
幂级数展开
幂级数展开是复变函数的一种表示方法，它将一个复数函数表示为一个无 穷级数。
幂级数展开在复变函数中具有广泛的应用，例如在求解微分方程、积分方 程以及研究函数的性质等方面。
幂级数展开的收敛性是一个重要的问题，它涉及到级数的收敛范围和条件 。
洛朗兹级数展开
01
勒让德函数
01
勒让德函数是一种在复数域上的特殊函数， 它经常用于解决物理和工程问题。
03
02
勒让德函数分为两种类型：P型和Q型，每 种类型都有其特定的定义和性质。
勒让德函数的定义基于勒让德方程，该方程 是一个二阶线性常微分方程。
04
勒让德函数具有一些重要的性质，如正交性 、积分表示、零点和无穷大行为等。
洛朗兹级数展开是复变函数的一种特殊形式的幂级数展 开，它在研究函数的奇异点和分支点等方面具有重要作 用。
02
洛朗兹级数展开可以用来求解某些具有特定性质的复数 函数的积分和微分方程。
03
洛朗兹级数展开的收敛性和奇异性是一个重要的研究课 题，它涉及到级数的收敛范围和条件以及函数的奇异性 。
欧拉公式与双曲函数
复变函数在物理中的应用
波动方程
复变函数用于描述波动现象，如 电磁波、声波等。波动方程的解 是复变函数，描述了波的传播和
变化。
电路分析
在电路分析中，电压和电流可以用 复变函数表示，从而简化计算和分 析。
量子力学
在量子力学中，波函数通常可以表 示为复变函数，描述微观粒子的状 态和行为。
复变函数在工程中的应用
欧拉公式是复变函数中的一个基本公 式，它将三角函数与复数运算联系起 来，从而将实数域上的三角函数扩展 到复数域上。
复变函数期末考试复习题及答案详解
《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数复习考试提纲
• 复数的三角（指数）表示以及复数的几何意义
z = x + iy = r (cos θ + i sin θ) = reiθ θ = Argz = arg z + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .
y
y
z
r
.θ O
xx
• 复数辐角主值的取值范围：−π < θ0 ≤ π. 辐角主值的计算方法（采用在复平面作图的 办法确定辐角的取值）。
复变函数复习考试提纲
I 知识要点
第一章 复数及平面区域
• 必备知识：复数的定义，实部、虚部。共轭复数，复平面，复数对应的向量及其模，复 数的四则运算。
• 欧拉公式 由此可得 以及
eiθ = cos θ + i sin θ
cos θ
=
eiθ
+ e−iθ ,
sin θ = eiθ − e−iθ
2
2i
ei2kπ ≡ 1, k ∈ Z
• 留数基本定理 设 D 是由复围线 L 围成的区域，函数 f (z) 在 D¯ 上连续，f (z) 在 D
内除去有限个孤立奇点 z1, z2, . . . , zn 外处处解析，则
∮
∑n
f (z)dz = 2πi Res(f, zk)
L
k=1
如果积分路径内各孤立奇点的留数都能求出，则立即可求出 f (z) 的路径积分。
2
2i
第四章 复变函数的积分
• 由于复数是二元变量，关于复变函数的积分就成为平面曲线的曲线积分。
∫
∫
∫
∫
f (z)dz = [u(x, y) + iv(x, y)] d (x + iy) = [udx − vdy] + i [vdx + udy]
复变复习题及答案
复变函数复习要点，复习题及答案A. 各章复习要点首先要阅读书上各章后面的小结，温习以前布置的作业。
再强调以下各章的复习要点。
第一章：（1）掌握复数的三种表达法及相互转化，特别是由直角坐标表达法化为三角表达法或指数表达法时，要注意复数所在的象限，按公式（1.2.4）和（1.2.3）写出复数的辐角主值和辐角。
（2）注意方根运算的解（见公式（1.3.9））是多值的。
（3）了解复变函数的概念，会求复变函数的极限，会判断复变函数（如arg z）在何处连续。
第二章：（1）掌握函数可导与解析的关系，会运用37页的导数公式或运用柯西-黎曼方程（见公式（2.2.1）和（2.2.2））求出函数的可导点及可导点处的导数，会求函数的解析区域及奇点。
（2）掌握指数函数、对数函数、乘幂函数、三角函数和双曲函数等基本函数的算法及性质（包括它们各自的导数公式、解析区域等）。
第三章：（1）会用公式（3.1.3）或（3.1.5）对不解析函数沿曲线C计算定积分；记住73页例2等重要例题的结果。
（2）对于解析函数，除公式（3.1.3）或（3.1.5）的算法外，当C不为闭曲线时，还有牛顿-莱布尼茨公式（3.4.2）；当C为闭曲线时，若f (z)在C内解析或只有有限个奇点，则会分别采用柯西-古萨基本定理、闭路变形原理、复合闭路定理、柯西积分公式和高阶导数公式等方法灵活进行计算（当然此时也可用留数定理（5.2.3）来进行计算）。
（3）知道解析函数与调和函数的关系，在给出了实部（或虚部）的情况下，会求出解析函数的另一部分。
第四章：（1）了解复数项级数收敛性的判别法，会判断简单级数的敛散性（包括绝对收敛和条件收敛的判别）。
掌握幂级数的阿贝尔定理并会计算其收敛半径。
（2）熟记一些简单函数（如11z-、z e、sin z、()ln1arctanz z+、等）的幂级数展开式。
会熟练运用间接展开法在解析区域中将f (z) 在解析点z0处展成泰勒级数（此时收敛半径为从z0点到距z0 最近的f (z)不解析点的距离）、或将环形区域上解析的函数展成洛朗级数。
复变函数复习要点
复变函数复习要点第一章复习要点1、熟悉复数的三种表示，熟练掌握复数基本运算（加、减、乘除、乘方、开方以及共轭运算）并熟悉其它们的几何意义；2、熟练掌握直线和圆周的各种形式的复数方程；3、熟练掌握用复数关系来表示平面点集，能画出复数关系表示的平面点集的草图，并能判断一个给定的平面点集是否区域，如果是区域还要能判定此区域是单连通区域还是多连通区域；4、熟悉复变函数的三种表示（代数表示、极坐标表示、映射表示），熟练掌握复变函数极限和连续的定义以及复变函数极限、连续与其实部、虚部二元函数极限和连续的关系。
5、能准确地写出并证明复变函数极限和连续的基本性质（如：局部不等性、局部有界性等）；掌握有界闭集上连续函数的整体性质（有界性、模函数的最值性、一致连续性）。
第二章复习要点1、熟练掌握复变函数导数和微分的定义，复变函数导数的运算法则；2、熟练掌握解析函数的定义（包括区域内解析、一点解析和闭区域上解析），熟悉复变函数在一点可导和解析的关系，以及复变函数在区域内解析（在闭区域上解析）与在点的解析的关系；熟练掌握解析函数的运算法则（包括四则运算、复合运算、逆运算）；3、熟练掌握复变函数可导和解析的充要条件以及利用实部、虚部两个二元函数的偏导数计算复变函数导数的计算公式，能利用充要条件准确判断给定的具体复变函数在平面上的可到性和解析性；熟悉复变函数可导和解析的柯西—黎曼条件，能熟练地运用柯西-黎曼条件解决解析函数为常函数的各种条件；4、熟练掌握解析函数与其实部、虚部两个二元函数调和的关系，并能利用解析函数的实部或虚部，求出虚部或实部，从而求出解析函数；5、熟悉常用的初等单值解析函数（如：常函数，多项式函数、有理函数，指数函数，三角函数，双曲函数）；6、熟悉讨论多值函数的基本方法（找支点，作支割线，将多值函数的各分支函数单值化），并熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数和一般幂函数的单值化方法；7、熟悉幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的一般计算（即直接利用这些函数的结构表示来计算）；8、熟练幅角连续改变量的计算公式；熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的分支函数的已知初值求终值的公式，并能用这些公式正确计算相应的分支函数的函数值；P z是多项式）的单值化方法（包括支点的确定方法，支割线的作法），9、()以及它的分支函数的已知初值求终值的公式。
《复变函数》主要内容浏览式复习
导数是描述函数局部变化的重要工具，具有刻画函数变化快慢、确定极值点和拐点等作 用。
详细描述
复变函数的导数定义为函数在某点的极限，表示函数在该点附近的变化率。导数具有线 性、连续、可加性和链式等性质，这些性质在研究函数的形态、极值和拐点等方面具有
重要作用。
积分公式与路径无关性
总结词
积分公式是计算函数在一定区间上的定积分或不定积分的工具，路径无关性是复变函数积分的一个重要性质。
应用
微分方程在自然科学、社会科学、工程技术 和经济金融等领域有广泛的应用，是研究实 际问题的重要工具。
Part
05
全纯函数的性质与应用
全纯函数的零点与极点
总结词
详细描述
全纯函数的零点和极点是复变函数中的重要 概念，它们对函数的性质和应用有重要影响。
全纯函数的零点是指函数值为零的点，而极 点则是函数在某点的无穷间断点。这些零点 和极点的性质决定了全纯函数在复平面上的 行为和变化趋势。了解零点和极点的位置和 性质有助于更好地理解和应用全纯函数。
02
柯西核方法主要包括构造柯西核、求解等价的微分方程和验证
解的正确性三个步骤。
应用
03
柯西核方法在求解各种类型的积分方程中都有广泛的应用，特
别是对于非线性积分方程的求解更为有效。
微分方程的基本概念与性质
定义
微分方程是描述函数随时间变化的数学工具 ，通常表示为函数的导数等于某个函数或常 数。
分类
根据导数等于的函数形式，微分方程可以分为线性 微分方程和非线性微分方程。
时具有广泛的应用。
留数定理的应用
要点一
总结词
留数定理在解决复数域上的积分问题、求解全纯函数的值 以及研究全纯函数的性质等方面具有广泛的应用。
复变函数期末考试分章节复习题
复变函数期末考试分章节复习题复变函数是数学分析中的重要内容之一，它研究的是具有复数作为自变量和因变量的函数。
它在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
以下是关于复变函数的各个章节的复习题，供期末考试复习使用。
一、复数及其运算1.什么是复数？它的一般形式是什么？2.复数的共轭对有什么性质？3.复数的乘法有什么性质？4.复数的除法有什么性质？二、复变函数的基本概念1.复变函数的定义是什么？2.复变函数的实部与虚部的定义是什么？3.复变函数的连续性的定义是什么？4.复变函数的可导性的定义是什么？三、柯西-黎曼方程1.什么是柯西-黎曼方程？它的表达式是什么？2.如何判断一个复变函数是否满足柯西-黎曼方程？四、初等复变函数1.对数函数、指数函数的定义是什么？2.对数函数、指数函数的主支与多值性的关系是什么？3.幂函数、三角函数的定义是什么？五、复积分1.复积分的定义是什么？2.复积分的性质有哪些？3.如何计算简单的复积分？六、柯西定理与柯西公式1.什么是柯西定理？它的表述是什么？2.什么是柯西公式？它的表述是什么？3.如何利用柯西公式计算复积分？七、洛朗级数与留数定理1.什么是洛朗级数展开？它的公式是什么？2.什么是留数？它的定义是什么？3.如何计算函数在一些孤立奇点处的留数？八、解析函数与调和函数1.什么是解析函数？它与可导性有什么关系？2.什么是调和函数？它与解析函数有什么关系？3.如何求解析函数的调和共轭函数？九、辐角原理与辐角定理1.什么是辐角原理？它的表述是什么？2.什么是辐角定理？它的表述是什么？3.如何利用辐角定理解决问题？以上是复变函数的主要章节及其复习题，每个章节都涵盖了该章节的基本概念、定理和计算方法。
希望这些题目能够帮助你复习复变函数，并在期末考试中取得好成绩。
复变函数复习资料
复变函数期末复习一知识点1第一章主要掌握复数的四则运算，复数的代数形式、三角形式、指数形式及其运算。
2第二章主要掌握函数的解析性，会判断函数是否是解析函数，会求解析函数的导数。
3第三章掌握复变函数积分的计算，掌握柯西积分公式，掌握解析函数与调和级数的关系。
4第四章掌握复数项级数的有关性质，会把一个函数展开成泰勒级数。
5第五章掌握将函数展开为洛朗级数，掌握孤立奇点的分类及判断。
6第六章掌握留数的计算，掌握用留数计算积分，掌握利用留数计算三类实积分。
二例题选讲1求i3的值。
知识点：利用定义bLna be a=。
解i 3=3iLn e=)23(ln πk i i e+=3ln 2i k e +-π=)3ln sin 3ln (cos 2i e k +-π。
2设1||=z ，试证：1_____=++baz a z b 。
知识点：复数，复数的模，共轭复数之间的关系。
2__2__||||z z z z ==证明：由1||=z 得，1__=z z ，baz zz a z b b az a z b ++=++____________=baz zz a b ++)(_______=1)()(_______________=++=++b az zaz b b az z z a b 3求2sin Arc 的值。
知识点：初等函数的定义，函数值的计算，)1(sin 2z iz iLn z Arc -+-=，)1(cos 2z i z iLn z Arc -+-=解：)32(2sin i i iLn Arc ±-==iiLn )32(±-=i k i i ππ22)32[ln(++±-=)32ln(22±--i k ππ，,...2,1,0±±=k 4证明)|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++。
证明)|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++。
复变函数复习重点
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x i y x i y z x i y x x y y y x y x i z x i y x i y x i y x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换期末考试复习知识点
复习要点一题型1、填空题（每题3分，共18分）2、单项选择题（每题3分，共21分）3、计算题（每题6分，共36分）4、解答题（4小题，共25分）二知识点第一章复数与复变函数1、会求复数的各种表示式（一般式、三角式、指数式）。
一般式：z=x+yi 三角式：z=r(cosθ+isinθ) 指数式：z=re iθ2、会求复数（各种表示式）的模、辐角、辐角主值。
3、掌握复数的四则运算、共轭运算、乘幂运算、方根运算。
4、理解区域、有界域、无界域、单连通域与多连通域等概念。
5、会用复变数的方程来表示常用曲线及用不等式表示区域。
6、理解复变函数的概念。
7、了解复变函数的极限与连续性的概念，会求常见的复变函数的极限。
例：1.1；1.2习题一：1.2（2）（3）；1.3；1.5第二章解析函数1、理解可导与解析的联系与区别（在一点；在一个区域）。
对于点：解析→可导→连续对于区域：解析↔可导2、会判别常见函数的解析性，会求常见函数的奇点。
3、了解柯西—黎曼方程。
4、掌握各类初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数）的定义、性质。
例：1.4；2.1；3.1；3.2习题二：2.3（1）（2）（3）；2.4；2.9（1）（2）（3）；2.10；2.12（1）（3）第三章复变函数的积分1、熟悉复积分的概念及其基本性质。
2、了解复积分计算的一般方法。
3、会求常见的各类积分（包括不闭路径、闭路径）。
本章的主要方法如下，但要注意适用的积分形式。
（1）牛顿—莱布尼茨公式。
（2）柯西积分定理。
（3）柯西积分公式。
（4）高阶导数公式。
（5）复合闭路定理。
注意：上述方法中的（3）（4）（5）可与第五章中的留数定理的应用结合起来复习。
例：1.1；2.1；2.2；3.1；4.1习题三：3.1（1）；3.3；3.4；3.5；3.6；3.7第四章级数1、理解复数项级数的相关概念（收敛、发散、绝对收敛、条件收敛）。
2、会判常见复数项级数的敛散性，包括判绝对收敛和条件收敛。
复变函数复习资料精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版复变函数论（A ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nnn n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1173，thenlim =+∞→n n z .2. If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is apositive integer ，then)(10=-⎰C n dz z z . 3. The radius of convergence of∑∞=++13)123(n n z n nis .4. The singular points of the function )3(cos )(22+=z z zz f are . 5. 0 ,)ex p(s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=)sin (3z e dzd z. 7. The main argument and the modulus of the number i -1 are . 8. The square roots of i -1 are . 9. The definition of z e is . 10. Log )1(i -= .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is analytic at a point 0z ，then it is differentiable at 0z .（ ）2. If a point 0z is a pole of order k of f ，then 0z is a zero of order k off /1.（ ）3. A bounded entire function must be a constant.（ ）4. A function f is analytic a point 000iy x z += if and only if whose real andimaginary parts are differentiable at ),(00y x .（ ）5. If f is continuous on the plane and =+⎰Cdz z f z ))((cos 0 for every simpleclosed path C , then z e z f z 4sin )(+ is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=-+1||)2)(12(5z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+228122)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1()(--=z z zz f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C⎰-++=345)(2，where {}3|:|==z z C ，find )1(i f +-'.5. Given )1)(1(sin 1)(2+-+=z z zz f ，find )1),(Res()1),(Res(-+z f z f .Ⅳ. Verifications (30310=⨯ Points)1. Show that if )(0)()(C z z f k ∈∀≡, then )(z f is a polynomial of order k <.2. Show that 012797lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .3. Show that the equation 012524=-+-z z z has just two roots in the unite disk复变函数论（B ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nnn n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1162，thenlim =+∞→n n z .2. If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is apositive integer ，then)(10=-⎰C n dz z z . 3. The radius of the power series∑∞=+12)1(n n z nis .4. The singular points of the function )1(sin )(2+=z z zz f are .5. 0 ,)ex p(s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=z e dzd z2cos . 7. The main argument and the modulus of the number i -1 are . 8. The square roots of 1+i are . 9. The definition of z cos is . 10. Log )1(i += .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is differentiable at a point 0z ，then it is continuous at 0z .（ ）2. If a point 0z is a pole of order m of f ，then 0z is a zero of order m off /1.（ ）3. An entire function which maps the plane into the unite disk must be aconstant.（ ）4. A function f is differentiable at a point 000iy x z += if and only if whosereal and imaginary parts are differentiable at ),(00y x and the Cauchy Riemann conditions hold there.（ ）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed contour C , then z z f sin )( is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=-+1||)2)(12(z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+223122)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1()(--=z z zz f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C⎰-++=142)(2，where {}3|:|==z z C ，find )1(i f +-'.5. Given )1)(1(sin )(2+-=z z zz f ，find )1),(Res()1),(Res(-+z f z f .Ⅳ. Verifications (30310=⨯ Points)1. Show that the function iy x e e z z f ---=)2()(2is an entire function.2. Show that if )(0)()(C z z f m ∈∀≡, then )(z f is a polynomial of orderm <.3. Show that 0651lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .复变函数论（C ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nn n n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3131，thenlim =+∞→n n z .2. If C denotes any simple closed contour and 0z is a point inside C , then)(sin 0=-⎰Cn dz z z z, where n is an integer. 3. The radius of convergence of the power series∑∞=-12)63(n n z nis .4. The singular points of the function )2(cos )(244-+=z z z z z f are .5. 0 ,)ex p(s Re =⎪⎭⎫⎝⎛m z z , where m is a positive integer.6. The main argument and the modulus of the number iie 45πare . 7. The integral of the function )(sin )(2ti t t t w += on ]1,1[- is . 8. The definition of z sin is . 9. Log )1(i -= .10. The solutions of the equation 013=-zi e are .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is continuous at a point 0z ，thenit is differentiable at 0z .（ ）2. If a point 0z is a pole of order m of f ，then there is a function ϕ that isanalytic at 0z with 0)(0≠z ϕ such that mz z z z f )()()(0-=ϕ on somedeleted neighborhood of 0z .（ ）3. An entire function which is identically zero on a line segment must beidentically zero.（ ）4. A function f is differentiable on open set D if and only if whose real andimaginary parts are differentiable on D and the Cauchy Riemann conditions hold on D .（ ）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed path C , then 0)(=z f for all z . ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=++1||)23)(13(9z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+-222142)1(sin z z z dzz dz z zz . 3. Let )2)(1(3)(2++=z z z z f ，find the Laurent expansion of f on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given ξξξξd z z f C ⎰-++=543)(2，where {}4|:|==z z C ，find )2(i f +'.5. Find ⎪⎪⎭⎫⎛+i z z ,)1(4Res 222.Ⅳ. Verifications (30310=⨯ Points)1. Show that 0233lim 242=+++⎰+∞→RC R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .2. Suppose that f is analytic and ||f is a constant on a domain a domainD , prove that a z f =)( for some constant a and all D z ∈.3. Show that the equation z z z z -=+-127234 has just three roots in the unite disk.《复变函数论》试题（D ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nnn n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1153，then lim =+∞→n n z .2. If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is apositive integer ，then)(10=-⎰Cn dz z z . 3. The radius of the power series∑∞=++13)12(n n z n nis .4. The singular points of the function )3(cos )(2+=z z zz f are . 5. 0 ,)ex p(s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=)sin (5z e dzd z. 7. The main argument and the modulus of the number i -1 are . 8. The square roots of 1+i are . 9. The definition of z e is . 10. Log )1(i += .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is differentiable at a point 0z ，then it is analytic at 0z .（ ）2. If a point 0z is a pole of order k of f ，then 0z is a zero of order k off /1.（ ）3. A bounded entire function must be a constant.（ ）4. A function f is analytic a point 000iy x z += if and only if whose real andimaginary parts are differentiable and the Cauchy Riemann conditions hold in a neighborhood of ),(00y x .（ ）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed contour C , then z e z f z sin )(+ is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=-+1||)2)(12(z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+223122)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1()(--=z z zz f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C⎰-++=142)(2，where {}3|:|==z z C ，find )1(i f +-'.5. Given )1)(1(sin )(2+-=z z zz f ，find )1),(Res()1),(Res(-+z f z f .Ⅳ. Proving (30310=⨯ Points)1. Show that if )(0)()(C z z f m ∈∀≡, then )(z f is a polynomial of order m <.2. Show that 012783lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .3. Show that the equation 012524=-+-z z z has just two roots in the unitedisk.《复变函数论》试题（E ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nn n i n n z ⎪⎭⎫⎝⎛++-=211，thenlim =+∞→n n z . 2. If C denotes the circle centered at 0z and n is an integer ，then)(1210=-⎰C n dz z z i π. 3. The radius of the power series∑∞=+12)1(n n z nis .4. The singular points of the function 1cos )(2+=z zz f are .5. 0 ,sin s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=z e dzd z2sin . 7. The main argument and the modulus of the number i +1 are . 8. The square roots of )0(>A Ai are . 9. The definition of z cos is . 10. Log )22(i += .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is differentiable at a point 0z ，then it is continuous at 0z .（ ）2. If a point 0z is a zero of order n of f ，then 0z is a pole of order n off /1.（ ）3. There is a non-constant entire function which maps the plane into the disk1000||<z .（ ）4. A function f is differentiable at a point 000iy x z += if and only if whosereal and imaginary parts are differentiable at ),(00y x and the Cauchy Riemann conditions hold there.（ ）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed contour C , then it is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find the integral ⎰+Czdz z e 12, where C is the circle 7||=z .2. Find the value of ⎰⎰==+-+235121)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1(1)(--=z z z f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C ⎰-++=765)(2，where {}4|:|==z z C ，find )1(i f +'.5. Given )0(2:,2)(πθθ≤≤=+=i e z C zz z f ，find dz z f C⎰)(.Ⅳ. Proving (30310=⨯ Points)1. Show that 020914lim 242=++-⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .2. Suppose that f is an entire function and there is a constant M and apositive integer m such that )(|||)(|C ∈∀≤z z M z f m . Prove thatm m z a z a z a z f +++= 221)(for some constants 1a , m a a ,,2 and all z in the plane.3·Show that the equation 01438=-+-z z z has just three roots in the unite disk2005－2006学年第一学期期末考试2003级数学与应用数学专业《复变函数论》试题（C ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nnn n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2121，then lim =+∞→n n z . 2. If C denotes any simple closed contour and 0z is a point inside C , then)(10=-⎰Cn dz z z , where n is an integer. 3. The radius of the power series∑∞=123n n z nis .4. The singular points of the function )2(cos )(24-=z z zz f are .5. 0 ,)ex p(s Re =⎪⎭⎫⎝⎛nz z , where n is a positive integer.6. The main argument and the modulus of the number iie 42π are . 7. The integral of the function )(sin )(4i t t t w += on ]1,1[- is . 8. The definition of z cos is . 9. Log )1(i -= .10. The solutions of the equation 012=-zi e are .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is continuous at a point 0z ，then it is differentiable at 0z .（ ）2. If a point 0z is a pole of order m of f ，then there is analytic function ϕat 0z with 0)(0≠z ϕ such that mz z z z f )()()(0-=ϕ on some deletedneighborhood of 0z .（ ）3. An entire function which is identically zero on the real axis must be zero.（ ）4. A function f is differentiable on a domain D if and only if whose realand imaginary parts are differentiable on D and the Cauchy Riemann conditions hold on D .（ ）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed contour C , then 0)(=z f for all z . ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=++1||)23)(13(z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+-22216)1(sin z z z dzz dz z zz . 3. Let )2)(1()(2++=z z z z f ，find the Laurent expansion of f on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given ξξξξd z z f C⎰-++=143)(2，where {}4|:|==z z C ，find )2(i f +'.5. Evaluate ),)1((Res 222i z z +. Ⅳ. Proving (30310=⨯ Points)1. Show that 02316lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .2. Suppose that f is differentiable and ||f is a constant on a domain D ,prove that A z f =)( for some constant A and all D z ∈.3. Show that the equation 0127234=-++-z z z z has just three roots in theunite disk.复变函数考试试题（G ）1. 求通过1z 和2z 的线段的参数方程（用复数形式表示）。
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4. 函数
f (z)
x iy x2 y2
在z =1处的导数为
5.(1 i)4i 的主值为
第三章 复变函数的积分
重点： 1. 复积分的基本定理；
2. 柯西积分公式与高阶导数公式
3. 已知调和函数求解析函数
1. 设C是从0到 的直线段，则积分 z cos zdz
C
(A) 2
(B) 1
(C) 1
(D) 2
e sin( )
4. 设 f (z)
|z|1
2
z
d ,
则 f (0)
5.求积
分
|z|
3
(
z
ez 1)2 (
z
dz 2)
.
6.证明u 2xy 3x，求调和函数 f (z) u iv.
第四章 级数 重点： 函数展开成泰勒级数与洛朗级数
1 2. z2 在 z = 1处的泰勒展开式为
3
3
2. 设 z 5,arg( z i) 3 , 则 z = 1+2i
4
3.Re z 1/ 2 表示的是(
(A) 有界单连通域 (C) 有界多连通域
)
(B) 无界单连通域 (D) 无界多连通域
第二章 解析函数
重点： 1. 复变函数以及映射的概念
2. 解析函数的概念；
3. 函数解析性的判别
3. 将函数
f
(z)
(z
z1 2)(z
3)
在z
=
0
的适当圆环域内展开.
2. 设函数 ez
sin z
的泰勒展开式为
n0
cn
(
z
2
n
)
,
幂级数
n0
cn
(
z
2
n
) 的收敛半径R
=
(
)
那么
(A) +
(B) 1
(C) /2
(D)
总复习
第一章 复数 重点：1. 复数运算和各种表示法
2. 区域判别
1. (1 3i)10 的三角形式为( )
210(cos i i sin i)
3
3
210(cos i i sin i)
3
3
210(cos 2 i i sin 2 i)
1.lim z z0 不存在 zz0 z z0
2. 下列函数中在全平面上都解析的是( C )
( A)xy2 ix2 y
(B)x3 3xy2 i(3x2 y y3 )
(C )x2 y2 x (2xy y2 )i (D)x2 y2 2xyi
3. 已知 f (z) z7 56z, 则 f (z) 0 的所有根为