6利用三角函数测高
九下第一章直角三角形的边角关系6利用三角函数测高作业新版北师大版
解：在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8 km，∴AO＝ AC＝ ×8＝4(km)．
10. 【2023·长沙】2023年5月30日9时31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8 km，仰角为30°；10 s后飞 船到达B处，此时测得仰角为45°. (2)求飞船从A处到B处的平均速度．(结果精确到0.1 km/s，参考数据： ≈1.73)
课题
测量“永泰寺塔”
成员
组长：×××；组员：×××，×××，×××
工具
测倾器、皮尺等
设计方案
方案一
说明：线段AB表示“永泰寺塔”，线段CD表示测倾器，CD的高度为1.2 m，点E在AB上，点A，B，C，D，E在同一平面内，需要测量的数据有BC的长度，∠ADE的度数
设计方案
方案二
说明：线段AB表示“永泰寺塔”，线段CD，FG表示测倾器，CD，FG的高度为1.2 m，点E在AB上，点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，需要测量的数据有CF的长度，∠ADE，∠AGE的度数
10. 【2023·长沙】2023年5月30日9时31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8 km，仰角为30°；10 s后飞 船到达B处，此时测得仰角为45°. (1)求点A离地面的高度AO；
实施方案
方案二 的测量 数据
∠ADE的平均值
北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教案
北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教案一. 教材分析北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》这一节主要让学生了解利用三角函数测量物体高度的方法，理解三角函数在实际生活中的应用。
通过这一节的学习，学生能够掌握用三角板和皮尺测量物体高度的基本方法，培养学生的实际操作能力和解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对三角板和皮尺等测量工具也有一定的了解。
但是，学生可能对如何将理论运用到实际问题中还有一定的困难，因此，在教学过程中，教师需要引导学生将所学的知识与实际问题相结合，提高学生的实践能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的基本方法。
2.过程与方法：通过实际操作，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法。
2.难点：如何将所学的三角函数知识运用到实际问题中。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过实际案例引导学生思考，激发学生的学习兴趣；以小组合作的形式，让学生在实际操作中解决问题，培养学生的实践能力。
六. 教学准备1.准备三角板、皮尺等测量工具。
2.准备相关案例材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个生活中的实例引入课题，如：如何测量旗杆的高度。
让学生思考如何解决这个问题，引发学生对利用三角函数测高的兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现旗杆高度测量案例，引导学生分析问题，提出解决方案。
让学生尝试用所学的三角函数知识解决问题，教师给予指导。
3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，用三角板和皮尺测量旗杆的高度。
教师巡回指导，纠正学生在操作过程中可能出现的问题。
4.巩固（10分钟）让学生总结在测量过程中所用的方法和技巧，教师点评并总结。
让学生复述所学的知识点，加深对利用三角函数测高的理解。
【北师大版】九年级数学下册优秀教案：1.6 利用三角函数测高1
1.6 利用三角函数测高1．经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程，能够对所得到的数据进行分析；(重点)2．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题．(难点)一、情境导入如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？实际上，我们利用图①中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系(即勾股定理)，那么它的边与角又有什么关系？这就是本节要探究的内容．二、合作探究探究点：利用三角函数测高【类型一】测量底部可以到达的物体的高度如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部B处6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB 的高度(结果精确到0.1米，3≈1.732)．解析：由题意可得四边形BCED是矩形，所以BC＝DE，然后在Rt△ACE中，根据tan∠AEC＝ACEC，即可求出AC的长．解：∵BD＝CE＝6m，∠AEC＝60°，∴AC＝CE·tan60°＝6×3≈6×1.732≈10.4(米)，∴AB＝AC＋DE＝10.4＋1.5＝11.9(米)．所以，旗杆AB的高度约为11.9米．方法总结：本题借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】测量底部不可到达的物体的高度如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少厘米(结果精确到0.1cm，参考数据：3≈1.732)?解析：首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案．解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G.∴四边形BFDG矩形，∴BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×12＝10(cm)．在Rt△ABG 中，∠BAG＝60°，∴BG ＝AB·sin60°＝30×32＝153(cm)．∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋153＋2＝12＋153≈37.98≈38.0(cm)．所以，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm.方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角形问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】利用三角板测量物体的高度如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离AB是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离CD是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上)．求出旗杆MN的高度(参考数据：3≈1.7，结果保留整数)．解析：过点A作AE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F，由△AEM是等腰直角三角形得出AE＝ME，设AE＝ME＝x m，根据三角函数列方程求出x的值即可求解．解：过点A作AE⊥MN于点E，过点C 作CF⊥MN于点F，则EF＝AB－CD＝1.7－1.5＝0.2(m)，在Rt△AEM中，∵∠AEM ＝90°，∠MAE＝45°，∴AE＝ME.设AE ＝ME＝x m，则MF＝(x＋0.2)m，FC＝(28－x)m.在Rt△MFC中，∵∠MFC＝90°，∠MCF＝30°，∴MF＝CF·tan∠MCF，∴x＋0.2＝33(28－x)，解得x≈10.1，∴MN＝ME＋EN＝10.1＋1.7≈12(米)．所以，旗杆MN的高度约为12米．方法总结：解决问题的关键是作出辅助线构造直角三角形，设出未知数列出方程．三、板书设计利用三角函数测高1．测量底部可以到达的物体的高度2．测量底部不可到达的物体的高度3．利用三角板测量物体的高度本节课为了充分发挥学生的主观能动性，学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高了学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形，并通过解直角三角形解决实际问题，这本身是一个质的飞跃．在教学过程中，注重引导学生运用方程思想解决实际问题，数学思想方法的渗透使学生的能力发展先于知识能力，从而促进学生知识能力的提高.。
6 利用三角函数测高
6 利用三角函数测高知识点 1 测量底部可以到达的物体的高度1.[2020·达州]如图1-6-1,小明为测量校园里一棵大树AB的高度,在树底部B所在的水平面内,将测角仪CD竖直放在与B相距8 m的位置,在D处测得树顶A的仰角为52°.若测角仪的高度是 1 m,则大树AB的高度约为.(结果精确到 1 m,参考数据:sin52°≈0.79,cos52°≈0.62,tan52°≈1.28)图1-6-12.[2019·丹东]如图1-6-2,在某街道的路边有相距10 m、高度相同的两盏路灯(灯杆垂直地面),小明为了测量路灯的高度,在地面A处测得路灯PQ顶端的仰角为14°,向前行走25 m 到达B处,此时测得路灯MN顶端的仰角为24.3°,已知点A,B,Q,N在同一条直线上,请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin14°≈0.24,cos14°≈0.97,tan14°≈0.25,sin24.3°≈0.41,cos24.3°≈0.91,tan24.3°≈0.45)图1-6-2知识点 2 测量底部不能到达的物体的高度3.当地时间2019年4月15日下午,法国巴黎圣母院发生火灾,大火烧毁了巴黎圣母院后塔的塔顶.在此之前,某小组为测量此塔塔顶B 的高度,在地面选取了与塔底D 共线的两点A ,C ,点A ,C 在点D 的同侧,在A 处测得塔顶B 的仰角为27°,在C 处测得塔顶B 的仰角为45°,点A到点C 的距离是89.5 m(如图1-6-3).设BD 的高为x m,则下列关系式正确的是( )图1-6-3A .tan27°=xx+89.5 B .cos27°=xx+89.5 C .sin27°=x x+89.5 D .tan27°=x+89.5x4.如图1-6-4,大楼AB 底部右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一栋小楼DE ,在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°,测得大楼顶端点A 的仰角为45°(点B ,C ,E 在同一水平直线上).已知AB=40 m,DE=10 m,则障碍物B ,C 两点间的距离为 m .(结果保留根号)图1-6-45.如图1-6-5,某小区1号楼与11号楼隔河相望,李明家住在1号楼,他很想知道11号楼的高度,于是他做了一些测量,他先在1号楼的底部点B 处测得11号楼的顶部点C 的仰角为60°,然后到42 m 高的楼顶A 处,测得点C 的仰角为30°,请你帮助李明计算11号楼的高度CD.图1-6-56.如图1-6-6,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°,已知斜坡CD的长度为20 m,DE 的高为10 m,则树AB的高度为()图1-6-6A.20√3 mB.30 mC.30√3 mD.40 m7.如图1-6-7,A,B,C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置,线段AB,BC表示连接缆车站的钢缆.已知A,B,C所处位置的海拔AA1,BB1,CC1分别为130米,400米,1000米.由点A测得点B的仰角为30°,由点B测得点C的仰角为45°,那么AB和BC的总长度是 ()图1-6-7A.(1200+270√2)米B.(800+270√2)米C.(540+600√2)米D.(800+600√2)米8.如图1-6-8,某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库,高2.5 m;上面五层居住,每层高度相等.测角仪支架离地1.5 m,在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°,在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°,AB=14 m.求居民楼的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:√3≈1.73)图1-6-89.[2019·山西] 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整): 课题 测量旗杆的高度成员 组长:××× 组员:×××,×××,×××测量工具测量角度的仪器,皮尺等测量示意图说明:线段GH 表示学校旗杆,测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5 m,测点A ,B 与H 在同一条水平直线上,A ,B 之间的距离可以直接测得,且点G ,H ,A ,B ,C ,D 都在同一竖直平面内,点C ,D ,E 在同一条直线上,点E 在GH 上测量 数据测量项目第一次 第二次 平均值 ∠GCE 的度数 25.6° 25.8° 25.7° ∠GDE 的度数31.2° 30.8° 31° A ,B 之间的距离5.4 m5.6 m……任务一:两次测量A ,B 之间的距离的平均值是 m;任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH 的高度; (参考数据:sin25.7°≈0.43,cos25.7°≈0.90,tan25.7°≈0.48,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)任务三:该“综合与实践”小组在制订方案时,讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)教师详解详析6 利用三角函数测高1.11 m [解析] 如图,过点D 作DE ⊥AB ,垂足为E.由题意得,BC=DE=8 m,∠ADE=52°,BE=CD=1 m .在Rt △ADE 中,AE=DE ·tan ∠ADE=8×tan52°≈10.24(m),∴AB=AE+BE ≈10.24+1≈11(m).故答案为11 m .2.解:设PQ=MN=x m .在Rt △APQ 中,tan A=PQAQ ,则AQ=PQ tanA ≈x0.25=4x (m). 在Rt △MBN 中,tan ∠MBN=MN BN,则BN=MNtan∠MBN≈x 0.45=209x (m). ∵AQ+QN=AB+BN ,∴4x+10=25+209x ,解得x ≈8.4.故路灯的高度约为8.4 m . 3.A4.(30-10√3)5.解:如图,过点A 作AE ⊥CD 于点E ,则四边形ABDE 为矩形,∴AE=BD ,AB=DE.∵CD=BD ·tan60°=√3BD ,CE=AE ·tan30°=BD ·tan30°=√33BD , ∴AB=DE=CD -CE=2√33BD=42 m,∴BD=21√3 m,∴CD=√3BD=63 m .故11号楼的高度CD 为63 m .6.B [解析] 过点D 作DF ⊥AB 于点F ,交BC 于点G.在Rt △CDE 中,∵CD=20 m,DE=10 m,∴sin ∠DCE=1020=12, ∴∠DCE=30°.又∵∠ACB=60°,∴∠DCB=90°.∵DF ∥AE ,∴∠BGF=∠BCA=60°. ∵∠BDF=30°,∴∠DBC=30°, ∴BC=CD tan30°=√33=20√3(m),∴AB=BC ·sin60°=20√3×√32=30(m).7.C [解析] 如图,过点B 作BB 2⊥CC 1于点B 2,过点A 作AA 2⊥CC 1于点A 2,交BB 1于点D.由题意得,BD=400-130=270(米),CB 2=1000-400=600(米).在Rt △ABD 中,AB=BD sin∠BAD=540(米), 在Rt △BCB 2中,BC=CB 2sin∠CBB 2=600√2(米),∴AB+BC=(540+600√2)米.故选C .8.解:设每层居民楼的高度为x m .由题意,得MC'=MC-CC'=2.5-1.5=1(m),∴DC'=(5x+1)m,EC'=(4x+1)m .在Rt △DC'A'中,∠DA'C'=60°,∴C'A'=DC 'tan60°=√33(5x+1)m .在Rt △EC'B'中,∠EB'C'=30°,∴C'B'=EC 'tan30°=√3(4x+1)m . ∵A'B'=C'B'-C'A'=AB=14 m, ∴√3(4x+1)-√33(5x+1)=14,解得x=2√3-27,∴CD=DM+MC=5×2√3-27+2.5≈18.4(m),故居民楼的高度约为18.4 m . 9.解:任务一:12×(5.4+5.6)=5.5(m).故答案为5.5. 任务二:设EG=x m .在Rt △DEG 中,∠DEG=90°,∠GDE=31°,∵tan31°=EG DE ,∴DE=xtan31°.在Rt △CEG 中,∠CEG=90°,∠GCE=25.7°,∵tan25.7°=EG CE ,∴CE=xtan25.7°. ∵CD=CE -DE ,∴xtan25.7°-xtan31°=5.5,解得x ≈13.2,∴GH=EG+EH ≈13.2+1.5=14.7(m).故学校旗杆GH 的高度约为14.7 m .任务三:没有太阳光,或旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等.(答案不唯一,合理即可)。
1.6 利用三角函数测高(教案)-北师大版数九年级下册
第6节利用三角函数测高1.经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.2.能够对得到的数据进行分析,能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正,进而得出所要求的结果.3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.让学生经历设计活动方案、自制仪器的过程,通过综合运用直角三角形边角关系的知识,利用数形结合思想解决实际问题,提高学生解决实际问题的能力.通过积极参与数学活动过程,培养学生不怕困难的品质,发展合作意识和科学精神.【重点】综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.【难点】设计活动方案、运用仪器的过程及学生学习品质的培养.【教师准备】测倾器、皮尺等测量工具;多媒体课件.【学生准备】复习三角函数的概念和解直角三角形的相关知识.导入一:一天课外活动课,数学兴趣小组的同学想去操场上测量学校旗杆的高度(如图所示).以下是两位同学设计的测量方案:方案1:用皮尺和标杆能测出旗杆的高度.方案2:用皮尺和小平面镜能测出旗杆的高度.【问题】你认为这两位同学提出的方案可行吗?如果是阴天没有太阳光怎么办?[设计意图]通过生活中的实际问题引入课题,使学生认识到数学源于生活,增加学生学习数学的兴趣,并让学生带着问题走进今天的学习.导入二:如图所示展示的是山东省青岛市电视塔夜晚的美丽景色,青岛电视塔坐落于市中心榉林公园内116m高的太平山上.由上海同济大学马人乐先生设计.由于其创意新、选点好、功能布局合理、色调协调及综合规模宏大等,1995年被国务院发展研究中心选入《中华之最大荣誉》,认为是“中国第一钢塔”.某数学兴趣小组的同学想测量该电视塔的高度.【问题】测量电视塔的高度和测量旗杆的高度的方法一样吗?两者有什么区别?[设计意图]通过青岛市电视塔的介绍,既让学生增长了课外知识,又引出了新的疑问——测量方法的区别,激发了学生的学习兴趣,为新知的探究奠定了良好的基础.课件出示:(一)测倾器的认识:如图所示的是一个测倾器的外观图,它是测量倾斜角的仪器.简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.【教师活动】制作测倾器时应注意什么?【学生活动】学生观察、交流后得出:支杆的中心线、铅垂线、0°刻度线要重合,否则测出的角度不准确.度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0°刻度线要互相垂直,并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ的交点.当度盘转动时,铅垂线始终垂直向下.(二)测倾器的使用方法和步骤:【教师活动】用测倾器如何测仰角?【师生活动】学生思考后,师生共同总结:使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:1.把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合,这时度盘的顶线PQ 在水平位置.2.转动度盘,使度盘的直径对准目标M,记下此时铅垂线所指的度数.(三)测倾器的运用:课件出示:【做一做】根据刚才测量的数据,你能求出目标M的仰角或俯角吗?说说你的理由.【师生活动】根据操作步骤:当度盘的直径对准目标M时,铅垂线指向一个度数,即∠BOA的度数.根据图形我们不难发现:∵∠BOA+∠NOA=90°,∠MON+∠NOA=90°,∴∠BOA=∠MON.因此读出∠BOA的度数也就读出了仰角∠MON的度数.∴测倾器上铅垂线所示的度数就是物体仰角的度数.【思考】根据上面的做法,如何用测倾器测量一个低处物体的俯角呢?【学生活动】生类比操作:和测量仰角的步骤是一样的,只不过测量俯角时,转动度盘,使度盘的直径对准低处的目标,记下此时铅垂线所指的度数,同样根据“同角的余角相等”,铅垂线所指的度数就是低处的俯角.[设计意图]了解测倾器的构造,学习其使用方法.目的是在测量时能正确地使用,特别注意测量【教师提示】所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.师引导学生观察并思考下面的问题:1.如图所示,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据?2.请说出测量物体MN的高度的一般步骤,需要测得的数据用字母表示.【学生活动】学生思考后与同伴交流,统一答案:1.测量A点到物体底部N点的距离AN、测倾器的高度AC的长以及测量仰角∠MCE的度数.2.测量底部可以到达的物体的高度的步骤:(1)在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α.(2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l.(3)量出测倾器的高度AC=a(即顶线PQ成水平位置时,它与地面的距离).【做一做】根据上面测量的数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由.【学生活动】生独立解答后,代表展示:解:在Rt△MCE中,ME=EC·tanα=AN·tanα=l·tanα,∴MN=ME+EN=ME+AC=l·tanα+a.[设计意图]通过小组合作设计方案,培养学生科学的思维方式及归纳总结的能力,并积累“做数学”经验.【活动三】测量底部不可以到达的物体的高度【教师提示】所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.师引导学生观察,小组交流,思考下面的问题:1.要测量物体MN的高度,使用测倾器测一次仰角够吗?2.如图所示,你能类比活动二的方法得出测量底部不可以到达的物体的高度的一般步骤吗?需要测得的数据用字母表示.【师生活动】学生交流后代表发言,师生共同订正:1.要测量物体MN的高度,测一次仰角是不够的.2.测量底部不可以到达的物体的高度的步骤:(1)在测点A处安置测倾器,测得此时M的仰角∠MCE=α.(2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A,B与N都在同一条直线上),测得此时M的仰角∠MDE=β.(3)量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB=b.【做一做】根据刚才测量的数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由.【学生活动】生独立解答后,代表展示:解:∵在Rt△MDE中,ED=,在Rt△MCE中,EC=,∴EC-ED=b,∴=b,∴ME=,∴MN=+a.【议一议】同学们知道了底部不可以到达的物体高度的测量方案,利用这种方案你们可以测量哪些物体的高度?【学生活动】生发挥想象力,并分组讨论这些高度的测量方案和计算方法.【议一议】问题(1):到目前为止,有哪些测量物体高度的方法?【师生小结】测量物体的高度的方法:(1)利用三角函数;(2)利用三角形相似;(3)利用全等三角形.问题(2):如果一个物体的高度已知或容易测量,那么如何测量某测点到该物体的水平距离?【师生小结】以活动三中的图为例,可以测得M的仰角∠MCE=α,以及测倾器的高AC=a,然后根据AN=EC即可求出测点A到物体MN的水平距离AN.[设计意图]引导学生设计测量底部不可以到达的物体的高度,在交流、展示自己设计的方案的过程中完善方案,判断其可行性,为下面的实际操作做准备,同时培养学生科学、严谨的做事态度.【活动四】设计测量方案,撰写活动报告你能根据我们学过的测量物体高度的方法完成下面的问题吗?课件出示:某校学生去春游,在风景区看到一棵汉柏树,不知这棵汉柏树有多高,下面是两位同学的一段对话:小明:我站在此处看树顶仰角为45°.小华:我站在此处看树顶仰角为30°.小明:我们的身高都是1.6m.小华:我们相距20m.请你根据这两位同学的对话,计算这棵汉柏树的高度.(参考数据:≈1.414,≈1.732,结果保留三个有效数字)【教师活动】引导学生判断是测量底部可以到达的物体的高度还是测量底部不可以到达的物体的高度,然后从两名学生的对话中分析得到的信息:∠ABE=30°,∠ACE=45°,ED=1.6m,BC=20m.【师生活动】生独立解答后,同伴交流.代表展示,师生共同订正.解:如图所示,延长BC交DA于E.设AE的长为x m.在Rt△ACE中,∠ACE=45°,∠AEB=90°,则∠CAE=45°,∴CE=AE=x.在Rt△ABE中,∠B=30°,AE=x,tan B=,即tan30°=,∴BE=x.∵BE-CE=BC,BC=20m,∴x-x=20,解得x=10+10,∴AD=AE+DE=10+10+1.6≈28.9(m).答:这棵汉柏树的高度约为28.9m.【学生活动】撰写活动报告.[设计意图]在解决问题的过程中再一次验证测量方案的可行性,巩固新知的同时,利用生活情境设计问题,培养学生的应用意识,提高分析问题、解决问题的能力.1.利用三角函数的知识可以测量物体的高度:(1)测量倾斜角的方法.(2)测量底部可以到达的物体的高度的方法和步骤.(3)测量底部不可以到达的物体的高度的方法和步骤.2.测量物体的高度的方法:(1)利用三角函数;(2)利用三角形相似;(3)利用全等三角形.1.(2015·长沙中考)如图所示,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30m的B处,测得树顶A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为()A.mB.30sinαmC.30tanαmD.30cosαm解析:在Rt△ABO中,∵BO=30m,∠ABO为α,∴AO=BO tanα=30tanα(m).故选C.2.某市进行城区规划,工程师需测某楼AB的高度,工程师在D点用高2m的测角仪CD,测得楼顶端A的仰角为30°,然后向楼前进30m到达E,又测得楼顶端A的仰角为60°,则楼AB的高为.解析:在Rt△AFG中,∠AFG=60°,∠AGC=90°,tan∠AFG=,∴FG==.在Rt△ACG中,∠ACG=30°,tan ∠ACG=,∴CG==AG.∵CG-FG=30m,∴AG-=30,解得AG=15,∴AB=(15+2)m.故填(15+2)m.3.在一次综合实践活动中,小明要测某地一座古塔AE的高度,如图所示,已知塔基AB的高为4m,他在C处测得塔基顶端B的仰角为30°,然后沿AC方向走5m到达D点,又测得塔顶E的仰角为50°.(人的身高忽略不计)(1)求AC的距离;(结果保留根号)(2)求塔高AE.(结果保留整数)解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=30°,AB=4,tan∠ACB=,∴AC===4(m).答:AC的距离为4m.(2)在Rt△ADE中,∠ADE=50°,AD=5+4,tan∠ADE=,∴AE=AD·tan∠ADE=(5+4)×tan50°≈14(m).答:塔高AE约为14m.6利用三角函数测高1.利用三角函数的知识可以测量物体的高度:(1)测量倾斜角的方法.(2)测量底部可以到达的物体的高度的方法和步骤.(3)测量底部不可以到达的物体的高度的方法和步骤.2.利用三角形相似的知识可以测量物体的高度.3.利用全等三角形的知识也可以测量物体的高度.一、教材作业【必做题】教材第23页习题1.7第1,2题.【选做题】教材第23页习题1.7第3题.二、课后作业【基础巩固】1.已知A,B两点,如果A对B的俯角为α,那么B对A的仰角为()A.αB.90°-αC.90°+αD.180°-α2.如图所示,为了测量电线杆AB的高度,小明将测倾器放在与电线杆的水平距离为9m的D处.若测倾器CD的高度为1.5m,在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°,则电线杆AB的高度约为m(精确到0.1m).(参考数据:sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)3.如图所示,两建筑物的水平距离BC为18m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°.则建筑物CD的高度为m.(结果不作近似计算)4.(2014·云南中考)如图所示,小明在M处用高1m(DM=1m)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°,再向旗杆方向前进10m到F处,又测得旗杆顶端B的仰角为60°,请求出旗杆AB的高度.(取≈1.73,结果保留整数)【能力提升】5.(2015·衡阳中考)如图所示,为了测得电视塔的高度AB,在D处用高为1m的测角仪CD,测得电视塔顶端A的仰角为30°,再向电视塔方向前进100m达到F处,又测得电视塔顶端A的仰角为60°,则这个电视塔的高度AB(单位:m)为()A.50B.51C.50+1D.1016.在一次实践活动中,某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度,他们设计了如下的方案(如图(1)所示):(1)在测点A处安置测倾器,测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=α;(2)量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m;(3)量出测倾器的高度AC=h.根据上述测量数据,即可求出旗杆的高度MN.如果测量工具不变,请仿照上述过程,设计一个测量某小山(如图(2)所示)高度的方案:(1)在图(2)中,画出你测量小山高度MN的示意图(标上适当的字母);(2)写出你的设计方案.【拓展探究】7.如图所示,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3m,台阶AC的坡度为1∶(即AB∶BC=1∶),且B,C,E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计).【答案与解析】1.A2.8.1(解析:在Rt△ACE中,AE=CE·tan36°=BD·tan36°=9×tan36°≈6.57,∴AB=AE+EB=AE+CD ≈6.57+1.5≈8.1(m).故填8.1.)3.12(解析:首先过点D作DE⊥AB于点E,可得四边形BCDE是矩形,然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE 中,利用正切函数的知识,求得AB与AE的长,进而可求得答案.)4.解:∵∠BDE=30°,∠BCE=60°,∴∠CBD=60°-∠BDE=30°=∠BDE,∴BC=CD=10m,在Rt△BCE中,sin 60°=,即=,∴BE=5,AB=BE+AE=5+1≈10(m).答:旗杆AB的高度大约是10m.5.C(解析:设AG=x,在Rt△AEG中,∵tan∠AEG=,∴EG==x.在Rt△ACG中,∵tan∠ACG=,∴CG==x,∵CG-EG=100,∴x-x=100,解得x=50,则AB=50+1(m).故选C.)6.解:(1)画出示意图如图所示.(2)①在测点A处安置测倾器,测得此时M的仰角∠MCE=α.②在测点B处安置测倾器(A,B与N在同一条直线上),测得此时山顶M的仰角∠MDE=β.③量出测倾器的高度AC=BD=h,以及测点A,B之间的距离AB=m.根据上述测量数据,即可求出小山的高度MN.7.解:如图所示,过点A作AF⊥DE于F,则四边形ABEF为矩形,∴AF=BE,EF=AB=3.设DE=x,在Rt△CDE 中,∠DCE=60°,∴CE==x.在Rt△ABC中,∵=,AB=3,∴BC=3.在Rt△AFD中,DF=DE-EF=x-3,∠DAF=30°,∴AF==(x-3).∵AF=BE=BC+CE,∴(x-3)=3+x,解得x=9.∴DE=9m.答:树的高度为9m.这节课采用了学生分组活动与全班交流研讨相结合的方法探究测量物体高度的方案,并利用探索出的方案解决生活问题.本节课给了学生足够多的活动空间,通过师生互动、生生互动等活动,让学生积极参与到活动中来,激发学生学习的兴趣,让学生自主探究利用三角函数测高的步骤和方法,并会对测量物体的高度的方案进行设计.让学生用已有的知识解决生活实际问题,体验数学来源于生活,应用于生活,进一步掌握从实际问题到解直角三角形的建模过程.另外,通过小组合作交流形式,让学生积极参与数学活动,对数学产生好奇心,培养学生独立思考问题的习惯,并在数学活动中获得成功的体验,建立自信心.在探究时给学生充分的自主讨论交流时间,导致后面的当堂检测题处理得比较仓促,部分学生接受起来可能有些困难.针对每种测量方案都给出具体的事例让学生去实践,以检验自己所设计方案的可行性.复习题(教材第24页)1.解:(1).(2)0.(3).2.解:(1)0.7841.(2)0.0374.(3)0.7566.3.解:(1)∠A=45°.(2)a=4,∠A=60°.(3)a=b=4.4.sin A=,tan A=.5.(1)∠A≈42°27'15″.(2)∠B≈85°28'29″.(3)∠C≈88°23'28″.6.解:(1)==1.(2)原式=+2×+1-+=++1-+=2.(3)原式=-tan60°=tan60°-1-tan60°=-1.7.解:AC=2,BC=2,sin A=,cos A=.9.解:(1)tan∠ABC=tan∠ADC.(2)tan∠ABC=tan∠ADC.(3)tan∠ABC=·tan∠ADC.10.CD≈5.82m[提示:CD=BD-BC=20tan56°-20tan50°≈5.82(m).]11.船与观测者之间的水平距离约为173.2m.[提示:水平距离=≈173.2(m).]12.解:(1)如图所示,由两直线平行,内错角相等得∠ABD=60°.∵∠CBE=30°,∴∠ABC=90°.∵AB=BC=10km,∴AC==10≈14.1(km).(2)∵AB=BC,∴∠CAB=∠C=45°,∴C港在A港北偏东60°-45°=15°的方向上.13.解:依题意知PQ=180m,∠PTQ=50°,∴∠PQT=40°.∵tan∠PQT=,∴PT=PQ·tan40°≈180×0.839≈151(m).14.解:在Rt△ABC中,AC=6.3,BC=9.8,∴tan B==.∴∠B≈32°44'7″.因此射线与皮肤的夹角为32°44'7″.15.解:(1)在Rt△ACB中,∵AB=4m,∠ABC=60°,cos∠ABC=,∴BC=AB·cos60°=4×=2(m).(2)在Rt △DCE中,∵CD=2.3m,ED=4m,∴sin∠DEC===0.575,∴∠DEC≈35°5'58.68″.16.解:如图所示,在Rt△ACB中,∵AC=30m,∠BAC=30°,tan∠BAC=,∴BC=AC·tan30°=30×=10≈17.3(m).∵CE=AD=40m,∴BE=BC+CE=17.3+40≈57(m),∴乙楼高约57m.17.解:在Rt△BED 中,tan∠BDE =.在Rt△ACB 中,tan∠BAC =.∵∠BDE =30°,∠BAC =60°,DE =AC ,EC =AD =30m ,∴tan 30°=,即BC -30=AC ·tan 30°.又tan 60°=,即BC =AC ·tan 60°,∴AC -30=AC ,∴AC =30,∴AC ==15≈25.98(m ),∴BC ≈25.98×≈45.00(m ).18.解:设渔船到海岛A 的最近距离为x n mile ,由题意得(x -12)=x ,解得x =6>8,所以渔船没有触礁的危险.19.解:过点C 作CF ⊥AB 于F ,则△ADE ∽△ACF ,∴=,即=,∴CF =2.7m .∵BC =2.8m ,∴sin α==≈0.9643,∴α≈74°38'39.14″.20.解:如图所示,连接BD ,过点B 作BE ⊥CD 于E ,过点D 作DF ⊥AB 于F ,在Rt△BEC 中,sin C =,∴BE =BC ·sin 60°=20×=10(m ).在Rt△AFD 中,sin A =,∴DF =AD ·sin 60°=30×=15(m ),∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △CBD =AB ·DF +CD ·BE =×50×15+×50×10=625≈1082.53(m 2).21.解:(1)如图所示,过A 作AG ⊥CD 于G ,过E 作EF ⊥CD 于F ,依题意知AB =5m ,BC =30m ,∠DEF =30°,EB =1.4m .在Rt△DFE 中,∵tan∠DEF =,∴DF =BC ·tan30°=30×=10(m ),∴DC =DF +FC =DF +EB =10+1.4≈18.72(m ).(2)∵GC =AB =5m ,∴DG =DC -GC ≈18.72-5=13.72(m ).∵AG =BC =30m ,∴AD =≈≈32.99(m ).22.提示:各边长约为0.34m ,0.34m ,0.66m .23.解:(1)由勾股定理可知OA 1=,OA 2=,OA 3=,…,OA n =.∵tan∠A 0OA 1==,∴∠A 0OA 1=45°.∵tan∠A 1OA 2==,∴∠A 1OA 2≈35°15'51.8″.∵tan ∠A 2OA 3==,∴∠A 2OA 3=30°.(2)∵tan 20°≈0.3640,tan∠A n -1OA n ==<tan 20°,∴>≈2.7473,∴n >7.5477,∴n 的值为8.本节课探究学习的主要任务是掌握利用测倾器测倾斜角和测量物体高度的方法,所以前提条件是要对测倾器有足够的了解,学生在课前可以自己制作一个简单的测倾器,这样就会非常熟悉其操作原理,对于活动一,测量倾斜角就会感觉非常容易;对于活动二、三的探究,分组讨论和全班的交流讨论就显得尤为重要,要积极投身其中,区分测量底部可以到达的物体的高度和底部不可以到达的物体的高度的方法,熟练掌握各种方案的步骤,并利用所学知识解决实际问题,达到学以致用.测量物体的高度时容易漏掉测倾器的高度.李明带领小组成员做了测量电线杆高度的活动,在离电线杆21m 的D 点,用高1.2m 的测角仪CD 测得电线杆顶端A 的仰角α=30°,则电线杆AB 的高为m .【错解】7【错解分析】在利用三角函数计算出AE 的长度后,忽略测倾器的高度,漏加CD ,造成错误.【正解】7+1.2【正解分析】CE =DB =21m ,BE =CD =1.2m .在Rt△ACE 中,∠α=30°,CE =21m ,∴AE =CE ·tan 30°=7(m ),∴AB =AE +BE =(7+1.2)m .(2014·绍兴中考)九(1)班同学在上学期的社会实践活动中,对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量.(1)如图(1)所示,第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上,使得DB与CB的长度相等,如果测量得到∠CDB=38°,求护墙与地面的倾斜角α的度数.(2)如图(2)所示,第二小组用皮尺量得EF为16m(E为护墙上的端点),EF的中点离地面FB的高度为1.9m,请你求出E点离地面FB的高度.(3)如图(3)所示,第三小组利用第一、第二小组的结果来测量护墙上旗杆的高度,在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°,向前走4m到达Q点,测得A的仰角为60°,求旗杆AE的高度(精确到0.1 m).备用数据:tan60°≈1.732,tan30°≈0.577,≈1.732,≈1.414.〔解析〕(1)根据∠α=2∠CDB即可得出答案.(2)设EF的中点为M,过M作MN⊥BF,垂足为点N,过点E作EH⊥BF,垂足为点H,如图所示,根据EH=2MN即可求出E点离地面FB的高度.(3)延长AE,交PB的延长线于点C,设AE=x,则AC=x+3.8,CQ=x-0.2,根据=得出=,求出x即可.解:(1)∵BD=BC,∴∠CDB=∠DCB,∴∠α=2∠CDB=2×38°=76°.(2)设EF的中点为M,如图所示,过M作MN⊥BF,垂足为点N,过点E作EH⊥BF,垂足为点H,∵MN∥EH,MN=1.9,∴EH=2MN=3.8(m),∴E点离地面FB的高度是3.8m.(3)延长AE,交PB于点C,如图所示,设AE=x,则AC=x+3.8,∵∠APB=45°,∴PC=AC=x+3.8.∵PQ=4,∴CQ=x+3.8-4=x-0.2,∴tan∠AQC==tan60°=,∴=,解得x=≈5.7,∴AE≈5.7m.答:旗杆的高度约是5.7m.[解题策略]此题考查了解直角三角形的应用,用到的知识点是仰角的定义,能作出辅助线并借助仰角构造直角三角形是解本题的关键.。
北师大版九年级下册1.6利用三角函数测高教学设计
为了巩固学生对三角函数测高知识点的掌握，提高其运用数学知识解决实际问题的能力，特布置以下作业：
1.请同学们结合课堂所学，思考并完成以下问题：
（1）如何利用三角函数测量学校附近某建筑物的高度？
（2）在实际测量过程中，可能会遇到哪些困难？如何克服？
（3）计算器在三角函数计算中起到了什么作用？如何正确使用计算器进行三角函数的计算？
4.通过讲解、示范、指导等方法，帮助学生掌握计算器在三角函数计算中的应用，提高计算速度和准确性。
5.引导学生运用已学的几何知识，结合三角函数解决测高问题，培养其综合运用知识的能力。
（三）情感态度与价值观
1.增强对数学学科的兴趣，认识到数学知识在解决实际问题中的价值。
2.形成主动探究、合作学习的良好习惯，培养勇于挑战、积极进取的精神风貌。
2.鼓励学生积极参与小组合作，培养团队合作精神和沟通能力。
3.关注学生的个体差异，作业布置要有梯度，使每个学生都能在完成作业的过程中得到提高。
4.引导学生关注作业的完成质量，培养良好的学习习惯和责任感。
（二）讲授新知
在导入新课之后，我会系统地讲授三角函数的相关知识。首先，回顾正弦、余弦和正切函数的定义，并通过图示和实例让学生理解这些函数的几何意义。接着，我会详细解释三角函数在测高问题中的应用原理，即如何通过测量角度和已知距离来计算未知高度。我会用生动的语言和直观的教具，比如三角板、直角三角形模型等，来帮助学生形象地理解这些概念。此外，我还会指导学生如何使用计算器来快速准确地计算出三角函数的值，并应用于解决实际问题。
2.完成课后习题：请同学们完成教材第1.6节后的练习题，巩固三角函数测高的相关知识点。
3.小组合作实践作业：
（1）分组进行实际测量，测量学校旗杆的高度，并记录测量过程和结果。
《第一章6利用三角函数测高》作业设计方案-初中数学北师大版12九年级下册
《利用三角函数测高》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 使学生能够理解并掌握三角函数的基本概念及意义。
2. 通过实践活动，让学生学会利用三角函数解决实际问题，特别是测高问题。
3. 培养学生的观察能力、实践能力和问题解决能力。
二、作业内容本节课的作业内容主要围绕三角函数测高的实际应用展开。
具体内容如下：（一）基本理论学习学生需认真阅读教材，掌握三角函数的基本概念、正弦、余弦和正切的定义及其在直角三角形中的应用。
理解角度与边长的关系，并能够用三角函数表示这些关系。
（二）实践活动1. 实地测量：学生需在安全的环境下，选择合适的参照物（如建筑物、树木等），利用直角三角尺和角度计测量目标的高度。
记录测量数据，并绘制出简单的测量示意图。
2. 数据分析：学生需根据测量的数据，运用三角函数知识，计算出目标的高度。
并分析误差产生的原因，思考如何提高测量的准确性。
3. 实验报告：学生需将上述过程以书面形式进行记录和整理，包括测量的地点、目标物、使用的工具、测量步骤和计算结果等，同时需写出自己对测量过程和结果的反思与感悟。
（三）理论应用练习完成一组与三角函数测高相关的练习题，加深对理论知识的理解和应用能力。
三、作业要求1. 学生在进行实地测量时，需注意安全，遵循老师的指导。
2. 实验报告需字迹清晰、内容完整，体现出学生的思考和总结。
3. 练习题需独立完成，不得抄袭他人答案。
4. 作业需在规定时间内提交，并按时参加课堂讲解和讨论。
四、作业评价1. 老师将根据学生的实验报告内容、格式、字迹等方面进行评价。
2. 对于实地测量和理论应用练习部分，老师将根据学生的正确性、准确性和解题思路进行评价。
3. 鼓励学生相互评价和讨论，取长补短，共同进步。
五、作业反馈1. 老师将对每位学生的作业进行详细批改，指出存在的问题和不足。
2. 在课堂上进行作业讲解和讨论，针对学生的疑惑进行解答和指导。
3. 根据作业情况，对学生的学习情况进行总结和分析，为后续教学提供参考和依据。
6 利用三角函数测高
解：过点E作EH⊥AC于点H，则EH＝FC＝12 m， 在Rt△AEH中，AH＝EH·tan∠AEH≈12×1.28＝15.36(m)． ∵∠BEH＝45°， ∴BH＝EH＝12 m. ∴AB＝AH－BH＝3.36≈3.4 m. 答：旗杆AB的高度约为3.4 m.
知识点2 测量底部不可以到达的物体的高度
A．asinα＋asinβ B．acosα＋acosβ C．atanα＋atanβ D.taanα＋taanβ
2．如图，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为 60°.若水平距离BD＝10 m，楼高AB＝24 m，则树CD高约为( C )
A．5 m C．7 m
B．6 m D．8 m
(1)求古树BH的高； (2)求教学楼CG的高．(参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7)
解：(1)在Rt△EFH中，∠HEF＝90°，∠HFE＝45°， ∴HE＝EF＝10. ∴BH＝BE＋HE＝1.5＋10＝11.5. 答：古树的高为11.5米．
(2)在Rt△EDG中，∠GED＝60°， ∴DG＝DE·tan60°＝ 3DE. 设DE＝x米，则DG＝ 3x米， 在Rt△GFD中，∠GDF＝90°，∠GFD＝45°， ∴GD＝DF＝EF＋DE. ∴ 3x＝10＋x. 解得x＝5 3＋5. ∴CG＝DG＋DC＝ 3x＋1.5＝ 3(5 3＋5)＋1.5＝16.5＋5 3≈25. 答：教学楼CG的高约为25米．
课题 成员 测量工具
测量 示意图
测量旗杆的高度 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量角度的仪器，皮尺等 说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器 的高度AC＝BD＝1.5 m，测点A，B与H在同一 条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测 得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平 面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH 上.
北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案
北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案一. 教材分析《利用三角函数测高》这一节主要让学生了解和掌握利用三角函数测量物体高度的方法。
通过前面的学习，学生已经掌握了锐角三角函数的概念和性质，本节内容是在此基础上进一步应用三角函数解决实际问题。
利用三角函数测高是初中数学中重要的应用题类型，也是中考的热点题型，对于培养学生的数学应用能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数的基本概念和性质，对于运用三角函数解决实际问题有一定的基础。
但学生在解决实际问题时，往往因为对实际情况理解不深，而导致解题思路不清晰。
因此，在教学本节内容时，要注重让学生理解实际问题的背景，引导学生运用三角函数解决实际问题。
三. 教学目标1.让学生了解和掌握利用三角函数测高的方法。
2.培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。
3.培养学生的合作交流能力和创新思维能力。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用三角函数测高的方法。
2.难点：如何引导学生运用三角函数解决实际问题，特别是对于复杂问题的解决。
五. 教学方法采用问题驱动法，情境教学法，合作交流法，引导发现法等。
通过设置具体的问题情境，引导学生运用已学的三角函数知识解决实际问题，培养学生的应用能力和解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的问题情境和案例，用于引导学生进行实际问题的解决。
2.准备多媒体教学设备，用于展示问题和案例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学的三角函数知识，如：什么是锐角三角函数？它们之间有什么关系？然后提出本节课的主题：如何利用三角函数测高？2.呈现（15分钟）教师通过多媒体展示一些实际问题，如：如何测量电视塔的高度？如何测量树的高度？让学生思考如何利用三角函数解决这些问题。
3.操练（20分钟）教师学生进行小组合作，让学生通过实际操作，运用三角函数解决呈现的问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
1.6利用三角函数测高
课题：1.6利用三角函数测高课型：新授课年级：九年级教学目标：1．经历设计活动方案，自制测倾器和运用测倾器进行实地测量以及撰写活动报告的过程，培养动手操作能力以及语言表达能力.2．能够对所得的数据进行分析，并能够对侧倾器进行调整及对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果．3．能够综合运用直角三角形的边角关系测量物体高度.教学重点与难点：重点：1.运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告.2.综合运用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题.难点：活动时的组织和调控，撰写活动报告．课前准备：学生准备：1.每一小组自制一个测倾器．2.设计测量学校旗杆高度的方案.3.依据方案测量旗杆高度并撰写活动报告．教师准备：1.制作多媒体课件．2.指导学生实践操作．教学过程:一、创设情境，导入新课活动内容：1.学生展示自制测倾器．2.利用实物投影仪展示各组测量旗杆的设计方案和测量结果．处理方式：1．由学生互评各组制作的测倾器，指出每个测倾器的优缺点并总结测量倾斜角的方法和步骤，最后全体学生举手投票选出“最美测倾器”．2．学生分组讨论，并在全班发言，指出每个方案的优缺点，最后由学生代表依据各组的优点，总结出测旗杆的“最佳方案”．设计意图：通过展示，激起学生的学习兴趣，在愉快的学习氛围中真正掌握测角仪的制作原理；通过运用测角仪测量仰角和俯角的活动，学生对自己小组制作的测角仪在测量中的原理能做到真正的理解，初步了解利用三角函数可以间接测出物体的高度．二、探究学习，感悟新知活动内容1：测量底部可以到达的物体高度（多媒体出示）请同学们观察下图，完成以下探究问题，并与同伴交流．1．所谓底部可以到达是什么意思？2．图中除MN 高不可测外，哪些数据是可测的． 3．根据测量数据，你能求出物体MN 的高度吗．处理方式：学生讨论交流，在导学案上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评．设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对利用三角函数测高从感性认识上升到理性认识．先从图形入手，得出那些数据是可以测量的，在这一过程中让学生再次感受三角函数的应用．活动内容2：测量底部不可以到达的物体高度所谓底部不可以到达，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离． （多媒体出示）请同学们观察下图，完成以下探究问题，并与同伴交流．1．已知图中MN 高不可测，另外AN 也是不能测量，那么，哪些数据是可测的． 2．要测量物体MN 的高度,测一次仰角是不够的，还需要测量哪些数据？ 3．根据测量数据，你能求出物体MN 的高度吗．CAE NM处理方式：学生讨论交流，在导学案上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评．设计意图：学生通过与上一测量过程进行对比找出不同点，然后小组合作设计出合理的测量方案并根据方案进行测量，学生体会到数学知识在生活中的应用很大，生活离不开数学，进而增强学生学好数学的信心.活动内容3：议一议1．到目前为止，你有几种测量物体高度的方法？2．如果一个物体的高度已知或容易测量，那么如何测量某测点到该物体的水平距离？ 处理方式：问题1先由学生自由讨论，然后由学生代表总结初中以来测物体高度的方法有（1）利用三角形全等（2）利用三角形相似（3）利用三角函数．问题2是活动1的逆向思维，由学生对照活动1独立完成．设计意图：学生通过讨论，梳理了初中以来测物体高度的方法，让学生体会测量方法的多样性及不同测量方法的优缺点，在测量中要合理的选择运用.三、中考链接，应用新知坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子．（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高．图1为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测出看塔顶(M)的仰角α=35°，在点A 和塔之间选择一点B ，测出看塔顶(M)的仰角β=45°，然后用皮尺量出A 、B 两点间的距离为18.6m ，量出自身的高度为1.6 m ．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan 35°≈0.7，结果保留整数）．（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为m a （如图2），你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题： ①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：______________________； ②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？________________________． 处理方式：先让学生阅读已知，再请学生代表说出两个问题的不同，然后再让学生独立完B CＡN Mα β D Ｐ N M图1 图2成．在学生回答问题的过程中，教师可进行针对性提问，让学生明白所给已知条件的不同，选取的做法就不同．学生完成后，教师可借助多媒体展示解题过程．巩固训练：（2011江苏淮安，23，10分）题23-1图为平地上一幢建筑物与铁塔图，题23-2图为其示意图.建筑物AB 与铁塔CD 都垂直于底面，BD=30m ，在A 点测得D 点的俯角为45°，测得C 点的仰角为60°.求铁塔CD 的高度.题23-1图 题23-2图处理方式：让一名学生主动到黑板板演，其他学生在练习本上完成．教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．参考答案：过A 作AE ⊥CD ，AB 与铁塔CD 都垂直于底面，所以ABDE 为矩形，所以AE =BD =30，在Rt △AED 中，因为∠EAD =45°，所以DE =AE =30，在Rt △ACE 中，由于∠CAE =60°，所以CE= AE·tan 60°=330，所以CD =30+330设计意图：中考链接的设计主要是针对如何测量不可到达底部物体高度，让学生体会所给已知的不同做法也要做出相应改变．通过巩固练习加深对知识的理解与应用．四、回顾反思，提炼升华同学们，知识的积累、能力的提升在于及时的总结．通过这节课的学习，你有哪些收获？请结合以下问题先想一想，再分享给大家．1.测倾器的原理是什么？2.如何测量底部可以到达的物体的高度．3.测量底部不可以直接到达的物体的高度． 学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．五、达标检测，反馈提高师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）A 组：1.某市为促进本地经济发展,计划修建跨河大桥,需测出河的宽度AB , 在河边一座高度为300米的山顶观测点D 处测得点A ,点B 的俯角分别为α=30°,β=60°, 求河的宽度(精确到0.1米)B 组：（2011辽宁大连，20,12分）如图7，某建筑物BC 上有一旗杆AB ，小明在与BC 相距12m 的F 处，由E 点观测到旗杆顶部A 的仰角为52°、底部B 的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF 为1.6m ． （1）求建筑物BC 的高度； （2）求旗杆AB 的高度．（结果精确到0.1m1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．六、布置作业，课堂延伸必做题：课本25页，复习题 第10题、第11题．图7CFBDAC选做题：课本26页，复习题第17题．板书设计：。
1.6 利用三角函数测高(练习)(解析版)
第一章直角三角形的边角关系
第六节利用三角函数测高
精选练习
参考答案与试题解析
基础篇
一．选择题（共8小题）
1．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（）
A．俯角67°方向B．俯角23°方向
C．仰角67°方向D．仰角23°方向
【答案】解：∵BC⊥AB，∠BCA＝67°，
∴∠BAC＝90°﹣∠BCA＝23°，
从低处A处看高处C处，那么点C在点A的仰角23°方向；
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形、仰角；熟记仰角定义，求出∠BAC＝23°是解题的关键．2．（2020•徐汇区一模）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是（）
A．200米B．400米C．米D．米
【答案】解：根据题意，此时小李离着落点A的距离是＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．。
1.6 利用三角函数测高 -九年级下册数学教案教学设计(北师大版)
1.6 利用三角函数测高 -九年级下册数学教案教学设计（北师大版）一、教学目标1.了解三角函数的定义和性质。
2.学会使用正弦、余弦、正切函数测量高度。
3.掌握解决与高度和角度相关的实际问题的方法和步骤。
二、教学内容1.三角函数的定义和性质。
2.正弦、余弦、正切函数的用法。
3.利用三角函数测量高度的实际问题。
三、教学重点1.理解三角函数的定义和性质。
2.掌握正弦、余弦、正切函数的用法。
3.运用三角函数解决实际问题。
四、教学难点1.学习如何应用三角函数测量高度。
2.解决与高度和角度相关的实际问题。
五、教学方法1.讲解与演示相结合的教学方法。
2.视频和实物模型展示三角函数测高的应用。
3.组织学生进行实际操作和练习。
六、教学过程1. 导入新知识通过提问和引导，导入三角函数的概念和性质，引起学生的兴趣，并激发学生对测量高度的需求。
2. 讲解三角函数的定义和性质利用教材和课件，详细讲解正弦、余弦、正切函数的定义和性质，并与实际问题联系起来，解释三角函数与高度的关系。
3. 演示三角函数测高的方法通过播放视频或展示实物模型，演示如何使用三角函数测量高度的方法和步骤，并让学生观察和思考。
4. 实际操作和练习将学生分成小组，配备测量工具，进行实际操作和练习，例如利用三角函数测量树木高度、建筑物高度等。
教师和助教进行指导和解答疑惑。
5. 总结与归纳让学生整理笔记，总结三角函数测高的方法和步骤，并与实际问题进行对比，并解答学生的问题。
七、教学评价1.在实际操作中，观察学生是否能正确使用三角函数测量高度。
2.组织小组讨论，评价学生对三角函数测高方法的理解和应用能力。
3.布置练习题，检查学生对三角函数测高的掌握情况。
八、教学延伸利用三角函数测高的方法，引出其他与高度和角度相关的实际问题，如建筑物的倾斜角度、塔吊的工作范围等。
并鼓励学生进行独立思考和解答。
九、板书设计1.6 利用三角函数测高- 三角函数的定义和性质- 正弦、余弦、正切函数的用法- 测量高度的实际问题十、教学反思本节课将数学知识与实际问题相结合，培养了学生的测量和解决问题的能力。
北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教学设计
北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》这一节主要介绍了利用三角函数测量物体高度的方法。
通过本节课的学习，学生能够理解利用三角函数测高的原理，掌握用三角板和尺子测量物体高度的方法，并能够运用到实际生活中。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的三角函数知识，对三角板和尺子的使用也有一定的了解。
但是，学生可能对实际应用三角函数测量高度的方法还不够熟悉，需要通过实例的讲解和操作来加深理解。
三. 教学目标1.理解利用三角函数测高的原理。
2.学会使用三角板和尺子测量物体高度的方法。
3.能够将三角函数知识应用到实际生活中。
四. 教学重难点1.教学重点：利用三角函数测高的原理和方法。
2.教学难点：如何将三角函数知识应用到实际测量中。
五. 教学方法采用讲授法、演示法、实践法、讨论法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备三角板、尺子等测量工具。
2.准备相关的多媒体教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的内容：如何测量学校旗杆的高度？让学生思考如何利用三角函数来解决这个问题。
2.呈现（10分钟）讲解利用三角函数测高的原理，并通过多媒体课件展示具体的测量方法和步骤。
同时，引导学生理解三角函数在测量中的作用。
3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，使用三角板和尺子测量教室内的物体高度。
教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
4.巩固（10分钟）学生汇报测量结果，并交流在操作过程中遇到的问题和解决方法。
教师总结测量的高度计算公式，并强调注意事项。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了测量物体高度，三角函数还可以应用到哪些实际问题中？让学生举例说明，并进行讨论。
6.小结（5分钟）教师总结本节课的主要内容，强调利用三角函数测高的方法和注意事项。
7.家庭作业（5分钟）布置一道实际问题作业：测量家里电视的高度。
初中-数学-人教版-6 利用三角函数测高 同步训练
6 利用三角函数测高 同步训练基础巩固如图，沿AC 的方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上取一点B ，使145ABD ∠=︒，500m BD =，55D ∠=︒.要使,,A C E 成一直线，那么开挖点E 到点D 的距离是（ ）A. 500sin55m ︒B. 500cos55m ︒C. 500tan55m ︒D. 500m sin55︒如图，某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务．当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P 恰好在其正北方向．海监船继续向东航行1小时到达B 处，测得岛屿P 在其北偏西30°方向．海监船保持航向不变又航行2小时到达C 处，此时海监船与岛屿P 之间的距离（即PC 的长）为（ ）A. 40海里B. 60海里C. 海里D. 海里如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB .已知观测点C 到旗杆的距离CE =，测得旗杆顶部A 的仰角为30°，旗杆底部B 的俯角为45°，则旗杆AB 的高度是（ ）A. ()24mB. ()8mC. ()24mD. ()8m 9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处，从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东30°方向，则在B处船与小岛M的距离是______海里．如图，为测量某观光塔的高度CD，一人先在附近一楼房的底端A处测得观光塔顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B处测得观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房AB=，根据以上信息可求得观光塔的高度CD=______m．的高度45m如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1m的测角仪CD，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100m达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，求电视塔的高度AB（单位：m）．如图，某人为了测量山顶上塔ED的高度，他在山下的A处测得塔尖D点的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚B点处，测得塔尖D点的仰角为60°，塔底E点的仰角为30°，求塔ED的高度．（结果保留根号）提高训练某中学在教学楼前新建了一座雕塑AB.如图，为了测量雕塑AB的高度，小明在二楼找到一点C，利用直角三角尺测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°.小CD=m，求雕华在五楼找到一点D，利用直角三角尺测得A点的俯角为60°.若已知10塑AB的高度．（结果精确到0.1m 1.73≈）．某兴趣小组用高为a 的仪器测量建筑物CD 的高度．如图，在距建筑物CD 一定距离的A 处用仪器测得建筑物顶部D 的仰角为在，在A 和C 之间选一点B ，在B 处用仪器测得建筑物顶部D 的仰角为a .若A ，B 之间的距离为b ，tan a m =，tan n β=，求建筑物CD 的高度．（最后的结果用含,,,a b m n 的式子来表示）某岛东西长约3650m .如图，某海警船巡航到点D 处时，测得该岛最西端（A 点处）的方向角为北偏西67.5°，最东端（B 点处）的方向角为北偏西30°.已知此时海警船到直线AB 的距离是2000m .根据以上数据，求该岛东西长度AB ，并比较你的计算结果与实际长度的误差．（结果精确到整数，参考数据：sin67.50.924︒≈，cos67.50.383︒≈，tan67.5 2.414︒≈1.732）答案第1页，共3页 参考答案1、【答案】B【分析】【解答】2、【答案】D【分析】【解答】3、【答案】D【分析】【解答】4、【答案】)201 【分析】【解答】5、【答案】135【分析】【解答】6、【答案】解∵30ACE ∠=︒，60AEG ∠=︒，∴100m AE CE DF ===，∴AG =．∵1m BG CD ==，∴(()1m AB AG GB =+=+．【分析】【解答】7、【答案】解：由题意知60DBC ∠=︒，30EBC ∠=︒，∴603030DBE DBC EBC ∠=∠-∠=︒-=︒︒∵90BCD ∠=︒，∴9030BDC DBC ∠=-∠=︒︒，∴DBE BDE ∠=∠，∴BE DE =．设m EC x =，则22m DE BE EC x ===，23m DC EC DE x x x =+=+=，m BC =． 由题意可知45DAC ∠=︒，90DCA ∠=︒，60m AB =，∴ACD △为等腰直角三角形，∴AC DC =．603x +=，解得30x =+260x =+∴塔ED 的高度为(60m +．【分析】【解答】8、【答案】解：如图，过点C 作CE AB ⊥于点E ．∵906030D ︒︒∠=-=︒，903060ACD ∠=-=︒︒︒ ∴90CAD ∠=︒∵10m CD =， ∴()11105m 22AC CD ==⨯=．在Rt ACE △中， ()5sin 5sin 0m 32AE AC ACE =⋅︒=⋅∠=， )cos 5cos30m CE AC ACE =⋅∠=⋅︒=． 在Rt BCE △中，∵45BCE ∠=︒，∴)tan 45tan 45m BE CE ︒︒=⋅=．∴)()551 6.8m 22AB AE BE =+=+=≈． ∴雕塑AB 的高度约为6.8m ．【分析】【解答】9、【答案】解：作CD 与EF 的延长线，交于点G .设DG x =．在Rt DGF △中，tan DG GF α=，即tan x GFα=． 在Rt DGE △中，tan DG GE β=，即tan x GEβ=． ∴tan x GF α=，tan x GE β=，∴tan tan x x b βα=-． ∴tan tan tan tan b x αβαβ-=，∴bmn CD DG GC a m n=+=+-． 【分析】答案第3页，共3页 【解答】10、【答案】解：由题意得67.5ADC ∠=︒，30BDC ∠=︒，2000m CD =． 在Rt ADC △中，()2000tan 67.54828m AC =⨯︒≈． 在Rt BDC △中，()2000tan 301155m BC =⨯︒≈． ∴()482811553673m AB AC BC =-≈-=， 误差为()3673365023m -=．【分析】【解答】。
1.6利用三角函数测高
3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之 间的距离AB=b.
根据测量数据, 你能求出物体 MN的高度吗?说 说你的理由.
想一想
(p19)
M
E N
β
D B
α
b
C
a
A
根据测量数据,物体MN的高度计算过程：
在Rt△MDE中，
ME ED= tan
M
在Rt△MCE中，
ME EC = tan a
1.6 利用三角函数测高 1.6 利用三角函数测高
枣庄市峄城区阴平中学 苏增产
温故而知新
1、仰角、俯角： 2、直角三角的边角关系：
铅 垂 线 仰角
视线
俯角
水平线
视线
3、利用三角函数解决实际问题的计算原则： “有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），
c
B
a
无斜（斜边）用切（正切）”
A
b
┌ C
“宁乘勿除，取原（原始数据）避中（中间数据）”
≈ 在Rt MCE中，ME = ECtanα= ANtanα=20.6× tan30° 2′ 20.6× 0.578=11.60m, MN=ME+EN=ME+AC=11.60+1.22=12.82m
活动三：测量底部不可以到达的物体的高度.
所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接
测得测点与被测物体底部之间的距离.（如图） 要测量物体
议一议
☞
相信你能行！
大家要认 真思考吆
（1）到目前为止，你有哪些 测量物体高度的方法？ （2）如果一个物体的高度已 知或容易测量，那么如何测量 某测点到该物体的水平距离？
讨 与同伴交流一下，谈谈你的想法？ 论 ：
06-第一章6利用三角函数测高
6 利用三角函数测高
栏目索引
发挥直观想象,构造直角三角形 素养解读 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变 化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括:借助 空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分 析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题 的思路. 直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成 论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础. 直观想象主要表现为:建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助几 何直观理解问题,运用空间想象认识事物.
知识点二 测量底部不可以到达的物体的高度
工具
步骤
图例
测量底部不可以到达 的物体的高度
测倾器、皮尺(卷尺)
如图,测量物体MN的高 度:(1)在测点A处安置 测倾器,测得此时M的 仰角∠MCE=α.(2)在测 点A与物体之间的B处 安置测倾器(A、B与N 在同一条直线上),测得 此时M的仰角∠MDE= β.(3)量出测倾器的高度 AC=BD=a,以及测 点A、B之间的距离AB =b.(4)根据三角函数求 出物体MN的高度,MN=
在Rt△CDE中, CD =tan∠CED,即
x
= 3,
DE
30 3- 3x-10 3
图1-6-5
解得x=15-
5
3 3
.答:立柱CD的高为15-
5
3 3
米.
6 利用三角函数测高
栏目索引
素养呈现 (1)了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角 形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,作CH ⊥AB于H,得到Rt△AHC和矩形BDCH. (2)由矩形BDCH得到BD=CH,设CD=x米,根据正切的定义用x表示出HC,根 据题意用x表示出ED. (3)在△CDE中,根据正切的定义列出方程,解方程即可.
6利用三角函数测高
2、测量底部不可以直接到达的物体的高度:
MN b tan tan a tan tan
北师大版初中数学九年级下册Leabharlann 测量底部可以直接到M
达的物体的高度:
MN b tan a
Cα
a
E
a
A
b
N
1、在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
2、量出测点A到物体底部N的水平距离AN=b；
3、量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度。
测量底部不可以直接到
M
达的物体的高度:
C αD β
E
A
B
N
1、在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
tan tan ME tan ME tan b tan tan ME(tan tan ) b tan tan ME b tan tan
tan tan MN ME a b tan tan a
tan tan
小结课堂
1、测量底部可以直接到达的物体的高度：
2、在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；
3、量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A,B之间的距离AB=b. 根据测量数据,可求出物体MN的高度.
测量底部不可以直接到达的物体的高度:
M
MN b tan tan a tan tan
C αD β
A
B
E
N
ME ME b,
专题1-6 利用三角函数测高-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
BE 5.8m,
BE
1 CF
1
,
,
AE 1.6 DF 2.5
B
A
i=1:1.6
α
9.8
C
β
i=1:2.5 5.8
D
F
E
∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m).
∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).
AB=b.根据测量数据,可求出物体MN的高度.
当堂练习
1．如图，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装
水平遮阳板CD=1米，当太阳光线与水平线成α=60°角时，光
线刚好不能直接射人室内，则m的值是（
）
A．m= +0.8
C．m= -0.2
B．m= +0.2
D．m= -0.8
【答案】C
问题1：在黄浦江的另一端，你能否测量东方明珠的高度呢？
在现实生活中，我们不可以直接从被测点到达被测点
的脚下，这时我们能利用两次测量仰角（图中α和β），
再结合解三角形的知识来求出东方明珠的高度.
所谓“底部不可以到达”，就是
在地面上不能直接测得测点与被测
物体的底部之间的距离，
如图中的AN或BN的长度.
Cα D β
在Rt△DEG中，∠EDG＝45°，
∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°
设CH＝xm，
在Rt△CGH中，∠CGH=∠EGD＝45°，
∴GH＝xm
在Rt△CBH中，∠CBH＝28°，
∴tan∠CBH＝ ，
2024北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案
2024北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案一. 教材分析《利用三角函数测高》这一节主要让学生了解三角函数在实际生活中的应用，学会利用三角函数测量物体的高度。
通过这一节的学习，学生能够理解直角三角形的性质，掌握正弦、余弦函数的定义，并能运用它们解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对直角三角形有一定的了解。
但是，他们可能还没有真正意识到三角函数在实际生活中的应用，对于如何利用三角函数测量物体的高度可能比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的实践能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法，理解正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.过程与方法：通过实际操作，培养学生解决问题的能力，提高他们的实际动手能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，让他们感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法。
2.难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的实践能力。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置实际问题，引导学生运用三角函数进行解答，培养他们的实践能力。
同时，学生进行小组合作，让学生在讨论中巩固知识，提高他们的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关案例，用于讲解和引导学生实践。
2.准备测量工具，如尺子、测量仪等，供学生实际操作使用。
3.准备多媒体教学资源，如PPT、视频等，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：如何测量旗杆的高度？引导学生思考如何解决这个问题，激发他们的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解利用三角函数测量物体高度的方法，引导学生理解正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
以旗杆测量为例，讲解步骤：（1）建立直角坐标系，确定观测点和旗杆的位置。
（2）测量观测点到旗杆的距离（底边长度）。
1.6 利用三角函数测高(第1课时)教学设计3
第一章直角三角形的边角关系《利用三角函数测高（第1课时）》教学设计说明一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生通过锐角三角函数、特殊角函数值、三角函数的计算、解直角三角形、三角函数的应用等内容的学习，已经掌握了利用角度及测量得到的长度计算物体高度的原理.二、教学任务分析本节课的教学目的是在对三角函数的理解基础上运用三角函数解决实际问题，为下一节课的测量物体高作好知识与能力储备，同时根据已掌握的方法，预先策划好测量物体高的方案，并验证其方案的可行性.教学目标知识与能力目标，能够根据三角函数测高的原理制定测量方案，能够制作测倾器并掌握测倾器测角的方法，能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题.过程与方法目标，经历制作测倾器的过程，提高学生数学动手能力，并会对仪器进行调整，对测量结果进行矫正，从而使测量结果符合实际；经历策划测量方案的过程，提高数学应用能力和综合分析能力.情感与价值观目标，能够主动积极地思考，积极地投入到数学活动中去，提高数学学习的兴趣，培养不怕困难的品质，在活动中发展合作意识和科学精神.教学重难点教学重点：合理制定方案，掌握用三角函数的知识计算出物体的高度.教学难点：制作测倾器，理解测倾器的构造原理，并对测量结果进行矫正.三、教学过程分析本课时设计了五个教学环节：掌握测量高度的原理、解决实际问题、制定测量方案、讲解测倾器的原理，布置作业（自制测倾器）.第一环节 掌握测量物体高度的原理活动内容：1、物体底部可到达；（1）测量以下数值：∠MCE=α，AN=l ，AC=a（2）根据三角函数正切值的原理：在Rt △MEC 中，由tan ME CEα=得，tan ME l α=⋅ 所以，物体高度MN=a+tan l α⋅2、物体底部不可到达.（1）测量以下数值：∠MCE=α，∠MDE=β，AB=b ，AC=BD=a（2）根据三角函数正切值的原理：在Rt △MEC 中，由tan ME CE α=得，tan ME CE α= 在Rt △MED 中，由tan ME DE β=得，tan ME DE β= 所以b=tan tan ME ME αβ-，则tan tan tan tan ME b αββα⋅=⋅- 所以物体高度为MN=a+tan tan tan tan b αββα⋅⋅- 活动目的：让学生熟悉掌握三角函数的公式，对已学知识进行巩固温习，同时提高第二课时利用数据解决问题时的能力.注意事项：应给学生足够的时间思考，是否还有其他方法测量物体高度，由学生用自己的语言进行归纳总结，加强知识与实际问题的联系.同时发展学生符号化的数学思维习惯.第二环节 实际应用活动内容：例题1，如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗，经测量，得到大门的高度是5m ，大门距主楼的距离是30m ，在大门处测得主楼顶部的仰角是30º，而当时测倾器离地面1.4m ，求学校主楼的高度.（精确到0.1米）过A 作AM ⊥CD ，在Rt △ADM 中，则AB=CM=1.4,tan DM DAM AM ∠=，tan DM AM DAM =⋅∠即30DM =≈17.3 所以，CD=17.3+1.4=18.7答：学校主楼的高度是18.7米.例题2，河对岸的高层建筑AB ，为测量其高，在C 处由D 点用测量仪测得顶端A 的仰角为30º，向高层建筑物前进50m 到达C ´处，由D ´测得顶端A 的仰角为45º，已知测量仪CD=C ´D ´=1.2m ，求建筑物AB=的高（精确到0.1米）.延长DD ´，交AB 于点E.在Rt △AD ´E 中，由'tan 45AE D E︒=得，'D E AE = 在Rt △ADE 中，由tan 30AE DE ︒=得，DE = 所以AE -，则68.3AE =≈ 所以物体高度为AB=68.3+1.2=69.5米第三环节 制定测量高度的方案活动内容：1、活动分组：6人一组，分工合作（组长A 、器材管理员B 、测量员C 、记录员D 、计算员E 、复核员F ）2、小组根据需要测量的对象的实际情况，先讨论研究测量方案及具体的操作步骤，分别讨论底部可以到达的物体的高度（操场边的国旗）、底部不可以到达的物体的高度（围墙外的居民楼）各需要测量哪些数据.活动目的：明确活动任务，根据方案实施测量计划，确保活动能够组织有序，DA M30º A DB C E C ´ D ´高效完成测量工作.事前预“算”测量数据，为解决实际问题提前热身.注意事项：提前设计预案，每个成员均要参与设计，清楚自己的分工.给予足够时间让学生经历运算过程，锻炼学生处理数据的能力.第四环节 制作测倾器活动内容：教师展示测倾器，并讲解测倾器的构造及其使用原理.1、把支杆竖直接触地面（可借助直角三角板人手扶稳），使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0刻度线重合，这时度盘的顶线PQ 在水平位置.2、转动度盘，使度盘的直径对准目标M ，记下此时铅垂线所指的度数.3、根据“同角的余角相等”，将“读数”与“仰角”（俯角）建立联系.活动目的：明确操作步骤，理解数据与情境的联系.掌握测倾器操作的方式，合理读取数据，并掌握如何减少误差.注意事项：1、目标M 要在度盘所在平面内（即目标M 在PQ 所在直线上）；2、铅垂线要停稳后，观察者在正面进行读数记录；3、目标M 最终高度要加上测倾器本身高度.第五环节 布置作业活动内容：学生根据教师的讲解及要求，课后完成测倾器制作，小组合作完成.活动目的：培养学生的动手能力，明确分工，培养学生的团结合作能力.注意事项：教师讲解仪器制作的方法及要素，确保测倾器误差小.学生作品完成后，教师应进行检查验收，确保收集数据有效.四、教学反思本课时是一节活动课的准备课，应作好活动课的各项准备，提前预判活动课所需要的各种知识与能力上的、动手操作环节上等相关经验储备.不能把本节课当做简单的应用题讲解课，而是要为活动课作好铺垫.课堂是生命绽放的场所，由于不同学生有着不同的已有经验，不同的情感表达，不同的认知方式，因此老师在组织活动时要放弃齐步走、一刀切的观念，对待结果也不要急于求成，应重视过程，让每个孩子都参与方案讨论中来，慢下节奏让学生理解解决问题的思路与方法，鼓励学生用其他方法测量问题高，提升学生总结归纳的能力.在学生制作测倾器时，教师要大胆鼓励学生动手操作，并鼓励学生判断误差产生的可能性及减少误差的办法，建立理论与实践联系的思维方式，发展学生应用数学的能力.。
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课后作业
P30 习题1.7 1,2,3题
北师大课标九下·§1.5
1.5 测量物体的高度
引入新知
测量物体的高度
活动课题:利用直角三角形的边角关系测量 物体的高度. 活动方式:分组活动,全班交 流研讨.
活动工具:测倾器(或经纬仪, 测角仪等),皮尺等测量工具.
引入新知
测量物体的高度
活动一:测量倾斜角. 测量倾斜角可以用测倾器,简单的测 倾器由度盘,铅垂和支杆组成(如图).
=L tan∠
∴MN=ME+NE=L tan∠ +a
测量物体的高度
活动三:测量底部不可以到达的物 体的高度.
所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得 测
如点图与,被要测测物量体物底体部M之N的间高的度距,离可.以按下列步骤进行: 1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α. 2.在测点A与物体之间的B处安置测倾(A,B与N在一 条直线上),测得M的仰角∠MDE=β. 3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的 距离AB=b. 根据测量数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理 由.
解：根据题意有：
AC=BD=NE=a
AB=CD=b ∠MCE=
∠MDE=
在Rt△MCE中，
tan ME
CE
在RtMDE中，tan ME
DE
CE M E DE ME
tan
tan
CD
CE
DE
ME
tan
ME
tan
b ME
b tan tan tan tan
知识在于积累
(1)到目前为止,你有哪些测量物体 高度的方法?
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l. 3.量出测倾器的高度AC=a(即顶线PQ水平位置时它与 地面的距离).
根据测量数据,你能求出物体MN的高度吗?说说 你的理由.
解：根据题意的：四边形
ACEN是矩形，
∴AC=NE=a CE=AN=L
在Rt△CME 中,tan∠MCE=ME/EC
∴ME=EC tan∠MCE
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下: 1.把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线,铅 垂线和度盘的00刻线重合,这时度盘的顶线 PQ在水平位置. 2.转动度盘,使度盘的直径对准目标M,记下 此时铅垂线所指的度数. 根据测量数据,你能求出目标M的仰角或俯角吗?说说你 的理由.
引入新知
测量物体的高度
活动二:测量底部可以到达的物体 的高度. 所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接 测得测点与被测物体底部之间的距离. 如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行: 1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α.