等腰三角形性质定理(基础)知识讲解

等腰三角形性质定理（基础）

责编：杜少波

【学习目标】

1. 了解等腰三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性

2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识．

3. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．

4. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．

【要点梳理】

要点一、等腰三角形的定义

1.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

2.等腰三角形的作法

已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.

作法：1.作线段BC=a；

2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧

相交于点A;

3.连接AB,AC.

△ABC为所求作的等腰三角形.

3.等腰三角形的对称性

(1)等腰三角形是轴对称图形；

(2)∠B＝∠C；

(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.

(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.

结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.

4.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.

要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝1802

A ︒-∠ . （2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些,能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx 即为所求”.

(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.

等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角

形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a 的等边三角形它的高是2a ，面积是24

a . 【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】

要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 推论：等边三角形的各个内角都等于60°.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三

线合一”．

2.等腰三角形的性质的作用

证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．

3.尺规作图：已知底边和底边上的高

已知线段a ，h （如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC ＝a,BC 边上的高线为h.

作法：1.作线段BC=a.

2.作线段BC 的垂直平分线l,交BC 与点D.

3.在直线l 上截取DA=h,连接AB,AC.

△ABC 就是所求作的等腰三角形.

【典型例题】

类型一、等腰三角形中有关度数的计算题

【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1】

1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.

【答案与解析】

解：∵AB＝AC

∴∠B ＝∠C

∵AB＝BD

∴∠2＝∠3

∵∠2＝∠1＋∠C

∴∠2＝∠1＋∠B

∵∠2＋∠3＋∠B＝180°

∴∠B＝180°－2∠2

∴∠2＝∠1＋180°－2∠2

∴3∠2＝∠1＋180°

∵∠1＝30°

∴∠2＝70°

【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2＝∠1＋∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C＝∠B，所以把问题转化为△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.

【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1练习】

举一反三：

【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．

【答案】

解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，

∴设∠ECD＝∠EDC＝x，∠BCD＝∠BDC＝y，

则∠AED＝∠ADE＝2x，∠A＝∠B＝180°－4x

在△ABC中，根据三角形内角和得，

x＋y＋180°－4x＋180°－4x＝180°①

又∵A、D、B在同一直线上，∴2x＋x＋y＝180°②

由①，②解得x＝36°

∴∠B＝180°－4x＝180°－144°＝36°.

类型二、等腰三角形中的分类讨论

2、（2016秋•威海期中）在等腰三角形中，已知一个角为40°，那么另两个角的度数是．

【思路点拨】由一个等腰三角形内角为40°，分别从40°是等腰三角形顶角与40°是底角的角度去分析求解即可求得答案．

【答案与解析】

解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：

两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，

又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，

故每个底角的度数

1

14070

2

=⨯︒=︒；

(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，

则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．

∴另两个角为70°，70°或40°，100°．

【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用，小心别漏解．

【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（2）】

3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．

【答案与解析】

解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；

(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长

1

105 2

=⨯=．

这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．

由三角形三边关系可知：两边之和大于第三边，3＋3＜7，故不能构成三角形，应舍去．∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．

【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案．

举一反三：

【变式】计算：

（1）一个等腰三角形的一边长为8cm，周长为20cm，求其它两边的长．

（2）已知等腰三角形的一边长等于6cm，一边长等于7cm，求它的周长．

（3）已知等腰三角形的一边长等于5cm，一边长等于12cm，求它的周长．