第五章 课后答案【khdaw_lxywyl】

后 答
w.
F (u ) 0. u
f f b f b f (1) (2) f (r(1) r(2) ) (1) (2) (1) (2) (n n ) (n n ) (r r ) u u u (r(1) r(2) ) (n (1) n (2) ) b (n (1) n (2) ) 2 (b r(1) b r(2) ) (r(1) r(2) )
1 b g 2 ' ' 1 1 1 ' ' H ' b ' ' g b a b g H . ' a ' a a g 2 2 2
kh
a ' g a a g , r ' ' ' (r a ' ) r a ' a ' r ' , r ' r a ' u u a ' ' a ' ' ' ' ' ' ' a a g (r a ' a ' r ' )r a ' g r r a ' a ' a ' g g a u u a ' ' ' a a .(因g g ) ' a ' a ' u ' ' ' '

co
.
m
§ 5.2 曲面的唯一性定理
1. 推导函数f (u ), f (u ), f (u )所满足的方程组(4). 证明 : f (u ) (r(1) r(2) ) (r(1) r(2) ), f (u ) (r(1) r(2) ) (n (1) n (2) )
da
课
w.
g u g u
案 网
g g g l g l 证明 : (1) g g l l , u , g l g g g 0 l u u u u g g l g l g ( g g g ( ) l l g l l g ) g u u g l g ( ) l g u g g g (l ) . u
) g f f ( g ) g f f ( ( g g g f f b f b f ) g g f ( f f f b f b f ) g g


u b

u
b b
2. 证明：若(u , v)是曲面上的参数系, 使得参数曲线网是正交的曲率线网，则主 曲率k1 , k2满足下列方程 :
2. 证明：在上题的参数变换下， ( g )的逆矩阵( g )的变换规律是
g g a 'a '. 证明：由上题知，g ' ' g a 'a '
' '
g ' ' g a 'a '
3. 如果用 1的参数变换下有变 ' ' 记关于( g ' ' )的Christoffel 记号，证明：在习题
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f (u ) (n (1) n (2) ) 2 . (1) (2) (1) (2) f (r (1) (2) (1) (2) (r r ) r ) (r r ) (r r ) u u u (1) (1) (2) ( r b n (1) r b n (2) ) (r(1) r(2) ) (r(1) r(2) ) ( r (2) b n (2) ) b n (1) r (1) (2) (1) (2) (1) (2) (r(1) r(2) ) (r(1) r(2) ) n ) ( r r ) (r r ) b ( n (r(1) r(2) ) b (n (1) n (2) ) (r(1) r(2) )
'
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w.
证明:
1 4. 验证：曲面的平均曲率H 可以表示成H b g ，并且H 在习题1的参数变 2 换下是不变的.
LG 2MF NE b11 g 22 2b12 g 21 b22 g11 1 (b11 g 11 2b12 g 12 b22 g 22 ) 2( EG F 2 ) 2g 2
a '
w.
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g g a 'a '.
' ' '
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证明： g ' ' r ' r ' (r a ' ) (r a ' ) g a ' a ' . b ' ' r ' n ' (r a ' ) ( n a ' ) r n a ' a ' b a ' a ' .
kh
2. 已知函数f (u ), f (u ), f (u )满足方程组(4).命 F (u ) g g f f 2 g f f f 2 , 证明 :
ww
w.
f f F (u ) g g 证明 : g f f g f f g g f g g f u u u u u f f g f 2 f f 2 g f 2 g f 2 f u u u u
da
课
后 答
u 换规律 a a a ' a , 其中(a )是(a )的逆矩阵，即a . u u ' ' ' ' ' 证明： ' ' ' g r ' ' r ' ' ' g
' ' ' ' ' ' ' ' ' '
da
课
f b f b f (1) (2) f (1) (2) (n n ) 2( ) 2(n (1) n (2) ) (b )(r(1) r(2) ) 2b f n n u u

g
(2) g g g g g g
后 答

2( g g ) f f (b f f 2(b f f b f ) g f
b f ) g f 2 f (2b f ) 0 (最后一个等式利用公式 g , b g b )
(3)
ww
w.
kh
1 ln g 1 g 1 g11 g g ( g 22 g11 22 2 g12 12 ) 2 u 2 g u 2 g u u u 1 g 11 g g g ( 11 g 12 12 g 21 21 ) g g 22 22 2 u u u u 1 g 1 (r r ) 1 g g g (r r r r ) 2 u 2 u 2 1 1 1 g ( ) ( g g ) ( ) . 2 2 2
5. 证明下列恒等式 : (1) g g (2) g u

g . u
(3)
. g g u 1 ln g , 其中g g11 g 22 ( g12 ) 2 . 2 u

u

g b g b
由5.5习题5(1)的结论 : 0
b
u

b u
( g g )b ( g g )b

课
u b u
m
§ 5.3 曲面论基本方程
1. 验证方程(13)和(8)的等价性. 证明 : 方程(13) :
b
b u



b u

b b
方程(8) :
b

(13) (8) : 若 0g (

u

u
b

b )
§ 5.1 自然标架的运动公式
1. 设有参数变换u u (u1' , u 2' ), 命a '
u u
'
, 假定 det(a ' ) 0.证明：
g ' ' g a a ,