2021-2022年高三12月四校联考数学(理)试题含答案

2021-2022年高三12月四校联考数学（理）试题含答案高三联考试卷 数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.设集合，，则= ▲ ．2.已知复数满足，其中为虚数单位，则 ▲ ．3.已知点和向量，若，则点B 的坐标为 ▲ ．4.已知函数]4,32[,3)3()(2a a x x b ax x f --∈+-+=是偶函数,则 ▲ ．5.已知，那么的 ▲ 条件(“充要”，“充分不必要”，“必要不充分” “既不充分又不必要”)6.为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移 ▲ 个单位长度7.若存在实数满足，则实数的取值范围是 ▲ ．8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ ．9.已知的值为，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x 3sin 65sin 416sin 2πππ ▲ ．10.定义为中的最小值，设}35,1,42m in{)(2x x x x f -++=，则 的最大值是 ▲ ． 11.在直角三角形中，1,1,,2AB AC AB AC BD DC AD CD ⊥===⋅则的值等 于 ▲ ． 12.若55ln ,33ln ,22ln ===c b a ，则a,b,c 的大小关系是 ▲ ． 13.椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是 ▲ ．14.已知函数321,,1,12()111,0,.362x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩函数π()sin()22(0)6g x a x a a =-+>，若存在，使得成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二．解答题：(本大题共6个小题，共90分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.（本小题满分14分）已知221{|0}{|0}2x A x B x x ax b x -=>=++≤+，，且，，求：（1） （2）实数的值.16．（本小题满分14分）如图，斜三棱柱中，侧面底面ABC ， 侧面是菱形，，E 、F 分别是、AB 的中点． 求证：（1）EF ∥平面；（2）平面CEF ⊥平面ABC ．117．（本小题满分14分）若a 、b 、c 是△ABC 三个内角A 、B 、C所对边，且2sin sin cos a A B b A +=， （1）求；（2）当时，求的值。

18. (本题满分16分)如图，开发商欲对边长为的正方形地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路（点分别在上），根据规划要求的周长为． （1）设，求证：；（2）欲使的面积最小，试确定点的位置．FEDCBA19．（本小题满分16分）已知椭圆的离心率为，一条准线． （1）求椭圆的方程；（2）设O 为坐标原点，是上的点，为椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于两点．①若，求圆的方程；②若是l 上的动点，求证：点在定圆上，并求该定圆的方程．20．（本小题满分16分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=， （1）若在上的最大值为，求实数的值；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线 上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由。

xx------xx第一学期高三联考试卷数学参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．；2．；3．（5，7）；4． 25．必要不充分； 6．； 7．；8. ；9．；10． 2；11．；12. b>a>c；13． 3 ；14.二．解答题：本大题共6个小题，共90分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.解：（1）依题意1(2)()2A=-∞-+∞，，……………4分（2）由1{|3}2A B R A B x x==<≤，得∴……8分，即方程的解是 9分于是，，…… 12分∴…… 14分16．证明：（1）取BC中点M，连结FM，．在△ABC中，因为F，M分别为BA，BC的中点，所以FM AC．………………………………2分因为E为的中点，AC，所以FM．从而四边形为平行四边形，又因为平面，平面，所以EF∥平面．………………………6分（2）在平面内，作，O为垂足．因为∠，所以，从而O为AC的中点．……8分所以，因而．…………………10分1 A因为侧面⊥底面ABC ，交线为AC ，，所以底面ABC ．所以底面ABC ． …………………………………………12分 又因为平面EFC ，所以平面CEF ⊥平面ABC ． …………………………………………14分17．解：由正弦定理得22sin sin sin cos A B B A A += …………2分即22sin (sin cos )B A A A +=故，∴ …………7分 （2）由余弦定理，得 …………9分∴B= …………11分∴cos()sin cos 3B A AC -===…………14分精品文档18. 解：（1）,(01,01)CE x CF y x y ==<≤<≤， 则，由已知得：，即…………………………4分tan tan 112()2()tan()11tan tan 1(1)(1)[22()]x y x y x y x y x y xy x y x y αβαβαβ+-+--+-++=====----+-++-+0,24ππαβαβ<+<∴+=，…………………………8分（2）由（1）知， 1111sin 244cos cos 4cos cos AEFS AE AF EAF AEAF αβαβ∆=⋅∠=⋅=⋅= 211112cos (sin cos )sin 22cos sin 2cos 21cos cos()4πααααααααα===++++- =． …………………………………………………12分 ，，即时的面积最小，最小面积为．22tan8tan,tan 1481tan 8ππππ=∴=-，故此时…………14分 所以，当时，的面积最小．………………………………16分19． 解：（1）由题设：22c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，，椭圆的方程为： ………………………… 4分 （2）①由（1）知：，设，则圆的方程：， ………………………… 6分直线的方程：， (8)分，∴=， ………………………… 10分，圆的方程：或 …………… 12分 ②解法（一）：设，由①知：2220000(1)()124220t t x y x ty ⎧-+-=+⎪⎨⎪+-=⎩，即：， ………………………… 14分消去得：=2点在定圆=2上． ………………………… 16分FEDCBA解法（二）：设，则直线FP 的斜率为，∵FP ⊥OM ，∴直线OM 的斜率为，∴直线OM 的方程为：，点M 的坐标为． …………………………14 分 ∵MP ⊥OP ，∴,∴000002(1)(2)[]0x x x y y y ∂--++=∴=2,点在定圆=2上． …………………………16 分 20．解：（1）由，得()()23232f x x x x x '=-+=--，令，得或．列表如下：由，，， 即最大值为，． ………………………………5分 （2）由，得．，且等号不能同时取，，恒成立，即． ………………………………7分 令，求导得，，当时，10,ln 1,2ln 0x x x x -≥≤+->，从而，在上为增函数，，． …………………10分 （3）由条件，，假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧， 不妨设，则，且．是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形， ， ，是否存在等价于方程在且时是否有解． …………………12分 ①若时，方程为，化简得， 此方程无解；②若时，方程为，即， 设，则， 显然，当时，，即在上为增函数， 的值域为，即，当时，方程总有解．对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，使得是以（ 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．………………16分xx xx第一学期高三联考试卷数学附加题21．（本小题满分10分）设函数()ln(1)ln(1)(01)=+--<<，求的最小值；f x x x x x x22．（本小题满分10分）已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)，（1）以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；（2）若向量分别与向量垂直，且||＝，求向量的坐标.EPD 1C 1B 1A 1DCBA23．（本小题满分10分）设p:实数x 满足,其中,命题实数满足.(1)若且为真，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.24．（本小题满分10分）在棱长为２的正方体中，E 为棱AB 的中点，点P 在平面， D １P ⊥平面PCE ．试求： （1）线段D １P 的长；（2）直线DE 与平面PCE 所成角的正弦值；实用文档 E P D 1C 1B 1A 1D CBAxx------xx 第一学期高三联考数学试卷附加题21．解：对函数求导数：()(ln )[(1)ln(1)]f x x x x x '''=+---------------------------- 4分于是 -------------------------- 6分 当1,()ln ln(1)0,()2x f x x x f x '<=--<在区间是减函数， 当1,()ln ln(1)0,()2x f x x x f x '>=-->在区间是增函数. 所以时取得最小值，， -------- 10分22．解⑴21||||cos ),2,3,1(),3,1,2(==∠∴-=--=AC AB BAC ---3分 ∴∠BAC ＝60°，3760sin ||||==∴ AC AB S ------ 5分⑵设＝(x,y,z)，则,032=+--⇒⊥z y x AB a33||,023222=++⇒==+-⇒⊥z y x z y x ----8分解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴＝(1,1,1)或＝(－1，－1，－ 1). --------10分23．解: 由得，又,所以, …………………………………2分（1）当时，1<,即为真时实数的取值范围是1<.由,得,即为真时实数的取值范围是.若为真，则真且真，所以实数的取值范围是. ……6分(2) 是的充分不必要条件，即,且,设A =,B =,则,又A ==, B ==}，则0<,且所以实数的取值范围是. ……………10分24．解（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．设，则，，． …………………………2分因为平面，所以，实用文档 ，所以，，故解得 (舍去)或4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，． … 4分 即， 所以，所以．………………6分 ⑵由⑴知，1148(2,1,0),(,,0),55DE D P D P ==⊥平面，设DE 与平面PEC 所成角为，与所成角为，则11164sin cos 5D P DE D P DE θα⋅====所以直线DE 与平面PEC 所成角的正弦值为． ………………………………………10分D39085 98AD 颭37576 92C8 鋈h 36768 8FA0 辠2"32387 7E83 纃34451 8693 蚓s023457 5BA1 审26583 67D7 柗39362 99C2 駂。