广州中考数学易错题专题复习-锐角三角函数练习题

广州中考数学易错题专题复习-锐角三角函数练习题

一、锐角三角函数

1．如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．

（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；

（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）

（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）

【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D 处成功拦截. 【解析】 【分析】

（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可；

（2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】

（1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=. 在Rt ABC 中，sin AC B AB =

，所以3sin 3725155

AC AB ︒

=⋅=⨯=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.

（2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM 中，4

sin 15125

CM AC CAM =⋅∠=⨯

=，3

cos 1595

AM AC CAM =⋅∠=⨯=.

在Rt ADM △中，tan MD

DAM AM

∠=，

所以tan 7636MD AM ︒=⋅=. 所以222293691724AD AM MD CD MD MC =

+=+==-=，.

设缉私艇的速度为v海里/小时，则有24917

16v

=，解得617

v=.

经检验，617

v=是原方程的解.

答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.

【点睛】

此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．

（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；

（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．

①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；

②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）

【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．

【解析】

试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于

AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；

（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得

∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得

sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．

试题解析：（1）AE=CE．理由：

连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，

∴AE=CE；

（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，

∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．

①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，

∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；

②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．

∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，

∴sin∠CAB=sin∠CED==．

考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．

3．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点

F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin

31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)

【答案】2.5m.

【解析】

试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值．

试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，

∴CF=tan·DF=，

又∵CB=4，

∴BF=4－，

∵AB=6，DE=1，BM= DF=，

∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，

在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，

tan==0．60，

解得=2．5，

答：DM和BC的水平距离BM为2．5米．

考点：解直角三角形．

4．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．

（1）求证：△ABC∽△BCD；

（2）求x的值；

（3）求cos36°-cos72°的值．

【答案】(1)证明见解析；（2

15

-+

；（3

758

+

【解析】

试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得