第三章4 多自由度体系的最大地震反应的底部剪力法
底部剪力法
罕遇地震 ----- 0.50(0.72) 0.90(1.20) 1.540
例1：试用底部剪力法计算图示框架多遇地 震时的层间剪力。已知结构的基本周期 T1=0.467s ,抗震设防烈度为8度,Ⅱ类场地, 设计地震分组为第二组。
m3 180t K3 98MN/m m2 270 t K2 195 MN/m m1 270t K1 245 MN/m
6.0
例1：试用底部剪力法计算图示框架多遇地 震时的层间剪力。已知结构的基本周期 T1=0.467s ,抗震设防烈度为8度,Ⅱ类场地, 设计地震分组为第二组。
m3 180t K3 98MN/m m2 270 t K2 195 MN/m m1 270t K1 245 MN/m
解：（1）计算结构等效总重力荷载代表值 Geq 5997 .6kN
解：（1）计算结构等效总重力荷载代表值 Geq 5997 .6kN
（2）计算水平地震影响系数 地震特征周期分组的特征周期值（s）
max 0.16 Tg 0.4s
Tg T1 5Tg
1
(Tg T
) 2 max
场地类别
第一组 第二组 第三组
Ⅰ 0.25 0.30 0.35
Ⅱ 0.35 0.40 0.45
n
Geq 0.85 Gk k i
（2）计算水平地震影响系数（查表，查图）
（3）计算结构总的水平地震作用标准值 FEK 1Geq
（4）顶部附加水平地震作用 n
（5）计算各层的水平地震作 用标准值
Fi
H iGi
n
FEK (1 n )
H kGk
k 1
（6）计算各层的层间剪力
n
Vi Fk Fn
Fi
H iGi
反应谱理论之四-底部剪力法及竖向地震作用
FEK 1G eq
式中：Geq 0.85G ，称为结构的等效总重力荷载。
由式（3）有：
11
FEK
n
GjH j
j 1
（6）
n
n
FEK Fi1 11 HiGi
i1
i1
(7)
代入式（6），并将 Fi1 写成 Fi（只考虑第一振型影响），有：
Fi
Gi Hi
n
FEK
GjH j
(8)
j 1
底部剪力法-水平地震作用的近似计算法
根据结构的不同采用不同的计算方法：
烟囱、类似的高耸结构以及高层建筑的竖向地震作用的标准值可按反 应谱法计算；
平板型网架和大跨度等采用静力法。
竖向地震作用的计算 – 竖向反应谱法
因此，可取竖向与水平地震系数之比 为：
kav kaH
2 3
。于是，竖向地震影响系数
v
v
2 3
kaH
H
2 3
H
0.65H (1)
FEK 1
i 1 n
G
n
1G
（5）
GiHi2
Gi
n
( Gi Hi )2
i 1
i 1
式中： n i1 n ，称为重力等效系数。
Gi Hi2 Gi
i 1
i 1
经过大量计算和分析， 的变化范围不大，约等于0.85左右。我国《规范》取
=0.85 。
底部剪力法-水平地震作用的近似计算法
故有：
Gi Hi
1
i 1 n
i1 n
i1 n
mi21
Gi ( Hi )2 Gi Hi2
i 1
i 1
i 1
简述确定结构地震作用的底部剪力法的基本原理适用范围和步骤
简述确定结构地震作用的底部剪力法的基本原理适用范围和步骤1. 引言1.1 概述底部剪力法是一种常用的结构抗震设计方法，通过对结构底部的剪力进行控制和分配，以提高结构的整体抗震性能。
它基于结构地震作用的特点和结构体系的响应机制，能够较为准确地评估结构在地震作用下的抗震性能，并为工程实践中的建筑设计提供依据。
1.2 文章结构本文将详细介绍底部剪力法的基本原理、适用范围和步骤。
首先，我们将阐述底部剪力概念以及影响结构地震作用的因素；其次，我们将介绍底部剪力法的基本原理及其推导过程；接着，我们将讨论底部剪力法适用范围，并讨论建筑类型、结构形式和地震烈度等因素对其限制；最后，我们将给出底部剪力法的具体步骤，包括确定设计地震加速度谱和周期参数、计算结构质量和弹性刚度分布情况以及确定结构基底剪力分配系数并进行抗震验算。
最后，我们将对底部剪力法的基本原理和适用范围进行总结，并展望其在工程实践中的应用前景。
1.3 目的本文旨在清晰地介绍底部剪力法的基本原理、适用范围和步骤，以帮助读者更好地理解和运用该方法进行结构抗震设计。
通过阐述其基本原理和推导过程，读者可以深入了解底部剪力法的内涵；而讨论其适用范围和局限性则有助于读者准确地选择适合的场景应用该方法；最后，给出的具体步骤可以指导读者在实际工程项目中应用底部剪力法进行抗震设计。
通过本文的阐述，我们希望提高读者对底部剪力法及其应用的认识水平，并促进该方法在工程实践中的广泛应用。
2. 底部剪力法的基本原理2.1 底部剪力的概念底部剪力是指地震作用下，建筑结构底部承受的水平力。
在结构设计中，底部剪力是一个重要的参数，它能够直接体现结构在地震作用下的抗震性能。
2.2 结构地震作用的影响因素对于一个建筑结构来说，其受到地震作用的程度取决于多个因素。
其中包括建筑物所处的地区地震烈度、土壤条件、结构和材料等因素。
这些因素会直接影响到结构所承受的地震力大小及其分布情况。
2.3 底部剪力法的基本原理及其推导过程底部剪力法是一种常用的简化方法，用于确定结构在地震作用下底部所承受的最大水平力。
普通多高层结构地震作用的计算方法
普通多高层结构地震作用的计算方法
一、底部剪力法。
这可是个挺常用的法子呢。
就想象这个建筑底部受到一个总的剪力，这个剪力就和地震作用有关啦。
它主要适用于高度不超过40m、以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构。
计算的时候啊，先算出结构总的重力荷载代表值，然后根据一些经验系数之类的，就能得到底部剪力啦。
就像是给这个建筑底部来个“力量评估”，这个力量就是地震可能给它的冲击力。
这方法简单又直接，就像我们平时做事情找个最直接的办法一样。
二、振型分解反应谱法。
这个听起来有点复杂，其实也不难理解啦。
把建筑结构看成是好多振型的组合。
就好比一个人有好多不同的动作模式，建筑也有它不同的振动模式。
每个振型都有自己的频率、周期和振型参与系数。
通过计算每个振型下的地震作用，然后再把这些作用按照一定的规则组合起来，就得到了总的地震作用。
这就像是把建筑每个可能的振动“小情绪”都考虑进去，然后综合起来看它在地震时的反应。
这个方法能比较准确地反映结构在地震中的表现，不过计算起来相对底部剪力法要复杂那么一丢丢。
三、时程分析法。
这个方法就更酷啦。
它是直接输入地震波，然后看建筑结构在这个地震波的“刺激”下，随时间变化的反应。
就像是给建筑放一段地震的“小视频”，然后观察它的反应。
不过这个地震波的选择很重要哦，要根据建筑所在的场地类型、地震设防烈度等因素来选择合适的地震波。
这个方法可以详细地分析结构在地震过程中的各种情况，像结构的位移、内力等随时间的变化。
但是呢，它计算量超级大，就像做一个超级复杂的大工程一样。
土木工程抗震第3章教案工程结构地震反应分析与抗震验算
第3章 工程结构地震反应分析与抗震验算1、地震作用的计算方法：底部剪力法（不超过40m 的规则结构）、振型分解反应谱法、时程分析法（特别不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑）、静力弹塑性方法。
一般的规则结构：两个主轴的振型分解反应谱法；质量和刚度分布明显不对称结构：考虑扭转或双向地震作用的振型分解反应谱法；8、9度时的大跨、长悬臂结构和9度的高层建筑：考虑竖向地震作用。
2、结构抗震理论的发展：静力法、定函数理论、反应谱法、时程分析法、非线性静力分析方法。
3、单自由度体系的运动方程：g xm kx x c x m -=++或m t F x x x e /)(22=++ωξω 。
杜哈美积分x(t)= ⎰----tt t e xd )(g dd )(sin )(1ττωτωτξω , ωξωm cm k 2,2== 单自由度体系自由振动：)sin cos ()(d d000t x xt x e t x d t ωωξωωξω++=- 。
4、最大反应之间的关系：d v a S S S 2ωω==5、地震反应谱：单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系自振周期的关系曲线。
特点：⑴阻尼比对反应谱影响很大；⑵对于加速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期急剧增大，大于某个值时，快速下降；⑶对于速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期增大，随后趋于常数；⑷对于位移反应谱，幅值随周期增大。
地震反应谱是现阶段计算地震作用的基础，通过它把随时程变化的地震作用转化为最大等效侧向力。
6、单自由度体系的水平地震作用：F G k G gt x t xS mgg g a αβ===maxmax)()(β为动力系数，k 为地震系数，α=k β为水平地震影响系数。
7、抗震设计反应谱αmax 地震影响系数最大值，查表；T 为结构周期；T g 为特征周期，查表；例：单层单跨框架。
屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。
底部剪力法
§6 水平地震作用的底部剪力法
2.各质点的水平地震作用
❖按照结构的地震反应以第一振型为主的假定， 各质点的水平地震作用可近似地取为对应于第 一振型各质点的地震作用，即
Fi F1i 1 11iGi
❖再根据第一振型近似为直线（倒三角形），取 1i Hi
式中，η—比例系数；Hi—质点i的计算高度。
m2 270 t K2 195 MN/m m1 270t K1 245 MN/m
解：（1）计算结构等效总重力荷载代表值 Geq 5997 .6kN
（2）计算水平地震影响系数 max 0.16
335.8
（3）计算结构总的水平地震作用标准值 FEK 83367.71.k6N
（4）顶部附加水平地震作用 n 0
Fi n HiGi 845F.E8K (1 n )
（5）计算各层的水平地震作用标准值
H kGk
k 1
F1 166 .7 F2 333 .5 F3 333 .5 振型分解反应谱法结果
（6）计算各层的层间剪力
333.5
333.5
V1 F1 F2 F3 833 .7kN V2 F2 F3 667 .0kN V3 F3 333 .5kN
FEK 833 .7kN
Fn n FEK 1.4Tg 0.56
顶部附加地震作用系数
Tg (s)
T1 1.4Tg T1 1.4Tg
T1 1.4Tg
n 0
0.35 0.08T1 0.07
0
（5）计算各层的水平地震作用标准值
Fi
H iGi
n
FEK (1 n )
j 1
式中，Fi—质点i的水平地震作用标准值； i—所求水平地震作用的质点序号。
3—5 多自由度弹性体系的最大地震反应与水平地震作用
3.5.2 底部剪力法
再将余下的部分 (1−δn )FEK 进行分配。因此， 进行分配。因此，在 考虑了上述调整后， 考虑了上述调整后，顶点的水平地震作用为 GnHn Fn = n (1−δn )FEK +δnFEK ∑ H jGj (3-135b) 135b) j=1 而其余各质点的水平地震作用为
αj Gi Vjo = ∑ Fji = ∑α jγ jφjiGi = α1G∑ γ j X ji i=1 i=1 i=1α G 1
n n n
5-3)
αj Gi 2 FEK = ∑V = α1G ∑( ∑ γ j X ji ) = α1Gξ j=1 j=1 i=1α G 1
n 2 jo n n
(3-
3.5.2 底部剪力法
式中， 为高振型影响系数， 式中，ξ为高振型影响系数，其表达式为
αj Gi 2 ξ = j∑1(i∑ γ j X ji ) = =1α G 1
n n
计算资料的统计分析表明， 计算资料的统计分析表明 ， 当结构体系各质点重量 相等，并在高度方向均匀分布时， 相等，并在高度方向均匀分布时， ， ξ =1.5( n为质点数n +1) /(2n +1) 为质点数。如为单质点体系(即单层建筑 即单层建筑)， 为质点数。如为单质点体系 即单层建筑 ， ，如 ξ =1 为无穷多质点体系， 抗震规范》取中间值， 为无穷多质点体系， 。《抗震规范》取中间值， ξ = 0.75 故式(3-5-3) ξ = 0.85 即 。故式 n n n αj Gi 2 2 FEK = ∑Vjo = α1G ∑( ∑ γ j X ji ) = α1Gξ j=1 j=1 i=1α G 1 改写为
3.5.2 底部剪力法
FEK = α1Geq
第3章 建筑抗震计算原理
α
自振周期T 自振周期
谱曲线
α max
水平地震影响系数最大值.根据结 水平地震影响系数最大值 根据结 构阻尼比制定,见 构阻尼比制定 见表3-2 ζ = 0.05 场地特征周期.与设计地震分组有关, 场地特征周期 与设计地震分组有关 有关 见表3-3 阻尼调整系数
等高单层厂房及其计算简图
3．2．2运动方程的建立 ． ． 运动方程的建立
为了研究单质点弹性体系的水平地震反应，根据结构 为了研究单质点弹性体系的水平地震反应， 单质点弹性体系的水平地震反应 的计算简图并进行受力分析， 的计算简图并进行受力分析，从而建立体系在水平地 震作用下的运动方程（动力平衡方程） 震作用下的运动方程（动力平衡方程）
FI (t ) + Fd (t ) + Fe (t ) = 0
ɺ mɺɺ(t ) + cx(t ) + kx(t ) = − mɺɺ (t ) x x
g
两边同除 以m
ɺɺ(t ) + 2ζωx(t ) + ω x(t ) = − ɺɺg (t ) ɺ x x
2
式中: 式中
结构振动圆频率 (自振圆频率 自振圆频率) 自振圆频率
1．方程的齐次解——自由振动位移反应 ．方程的齐次解 自由振动位移反应
ɺɺ(t ) + 2ζωx(t ) + ω x(t ) = 0 ɺ x
2
采用动力 学方法求 解
x (t ) = e
−ζωt
ɺ x0 + ζωx0 sin ω d t x0 cos ω d t + ωd
ζ = 0.01 ~ 0.1
F ≈| kx(t ) | max =| mω 2 x(t ) | max
底部剪力法
H
6.平面局部突出的尺寸不大（局部伸出部分在长度 方向的尺寸l大于宽度方向的尺寸b，且宽度b与总宽度B 之比满足b/B<1/5-1/4）；
l b B l b B l l b B
1.相邻层质量的变化不宜过大。
2.避免采用层高特别高或特别矮的楼层，相邻层和 连续三层的刚度变化平缓。
3.出屋面小建筑的尺寸不宜过大（宽度b大于高度h 且出屋面高度与总高度之比满足h/H<1/5），局部缩进 的尺寸也不宜大（缩进后的宽度B1与总宽度B之比满足 B1 / B 5 / 6 ~ 3 / 4 ）； b
H i --- i质点的计算高度；
四、底部剪力法适用范围 底部剪力法适用于一般的多层砖房等砌体结构、内 框架和底部框架抗震墙砖房、单层空旷房屋、单层工业 厂房及多层框架结构等低于40m以剪切变形为主的规则 房屋。 以“剪切变形”为主： 在结构侧移曲线中，楼盖出平面转动产生的侧移所 占的比例较小。 “规则房屋”：
n n
j Gi 2 ( x ) j ji G j 1 i 1 1
n
—高振型影响系数 (规范取0.85)
FEK 1Geq
Geq—结构等效总重力荷载代表值，0.85G
二、各质点的水平地震作用标准值的计算
Fi F 1i 1 1 x1i Gi
Fn Fk
Gk
1 1H i Gi
（4）顶部附加水平地震作用
Fn n FEK 1.4Tg 0.56
Tg ( s)
0.35
FEK 833.7kN
T1 1.4Tg T1 1.4Tg
底部剪力法计算水平地震作用
底部剪力法计算水平地震作用
底部剪力法计算水平地震作用：底部剪力法是一种常用的结构抗震设计方法，可用于计算结构的水平地震作用。
根据建筑抗震设计规范GB 50011-2010 (2016年版) / 5 地震作用和结构抗震验算/ 5.2 水平地震作用计算[2]，使用底部剪力法时，各楼层可以仅取一个自由度，而结构的水平地震作用标准值应按下列公式进行计算：
Fh = Ah ×Cc ×W
其中，Fh 为结构的水平地震作用标准值，Ah 为地震烈度与场地类别的相应系数，Cc 为结构的概率密度函数，W 为结构的重量。
在此公式中，Ah 和Cc 可以通过地震烈度和场地类别查表得到，而结构的重量则需要通过结构荷载计算等方式进行估算。
值得注意的是，底部剪力法适用于多层框架结构才能够得出准确的结果，其他类型的结构计算方法有所不同。
以上内容参考了“建筑抗震设计规范GB 50011-2010 (2016年版) / 5 地震作用和结构抗震验算/ 5.2 水平地震作用计算”。
建筑结构抗震设计第三章课后答案 (2)
《建筑结构抗震设计》第三章课后习题答案一、问答题1.结构抗震设计计算有几种方法？各种方法在什么情况下采用？答：结构抗震设计计算方法有：底部剪力法、振型分解反应谱法、时程分析法。
⑴高度不超过40m ，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可采用底部剪力法；⑵除⑴外的建筑结构，宜采用振型分解反应谱法；⑶特别不规则的建筑、甲类建筑和表3-10所列高度范围的高层建筑，应采用时程分析法进行多遇地震下的补充计算，可取多条时程曲线计算结果的平均值与振型分解反应谱法计算结果的较大值。
2.什么是地震作用？什么是地震反应？答：地震作用：结构所受最大的地震惯性力。
地震反应：由地震动引起的结构内力、变形、位移及结构运动速度与加速度等统称为结构地震反应。
3.什么是地震反应谱？什么是设计反应谱？它们有何关系？答：地震反应谱：为便于求地震作用，将单自由度体系的地震最大绝对加速度反应与其自振周期T 的关系。
设计反应谱：地震反应谱是根据已发生的地震地面运动记录计算得到的，而工程结构抗震设计需考虑的是将来发生的地震对结构造成的影响。
工程结构抗震设计不能采用某一确定地震记录的反应谱，考虑到地震的随机性、复杂性，确定一条供设计之用的反应谱，称之为设计反应谱。
设计抗震反应谱和实际地震反应谱是不同的，实际地震反应谱能够具体反映1次地震动过程的频谱特性，而抗震设计反应谱是从工程设计的角度，在总体上把握具有某一类特征的地震动特性。
地震反应谱为设计反应谱提供设计依据。
4.计算地震作用时结构的质量或重力荷载应怎样取？答：质量：连续化描述（分布质量）、集中化描述（集中质量）。
进行结构抗震设计时，所考虑的重力荷载，称为重力荷载代表值。
结构的重力荷载分恒载（自重）和活载（可变荷载）两种。
活载的变异性较大，我国荷载规范规定的活载标准值是按50年最大活载的平均值加0.51.5倍的均方差确定的，地震发生时，活载不一定达到标准值的水平，一般小于标准值，因此计算重力荷载代表值时可对活载折减。
《底部剪力法》课件
1 2
单质点弹性体系
将建筑物简化为单质点弹性体系，并计算其等效 剪切刚度。
多质点弹性体系
将建筑物简化为多质点弹性体系，并计算其等效 剪切刚度。
3
考虑阻尼影响的等效剪切刚度
在计算等效剪切刚度时，应考虑阻尼的影响，以 更准确地反映结构的动力特性。
计算等效总质量
确定各质点的质量
考虑附加质量的影响
根据结构的实际质量和分布情况，确 定各质点的质量。
完善理论体系
拓展应用范围
进一步深入研究底部剪力法的理论框架， 完善其计算模型和算法，提高其计算精度 和可靠性。
积极探索底部剪力法在其他工程领域的应 用，例如海洋工程、核设施和交通基础设 施等。
加强实践应用
跨学科合作
加强底部剪力法在实际工程中的应用研究 ，提高其在解决实际问题的实用性和有效 性。
鼓励跨学科合作研究，将底部剪力法与地 质工程、环境科学和计算机科学等领域相 结合，以推动相关领域的科技进步。
将各质点的水平地震作用加权平均，得到结构的总水平地震作用。
计算结构底部剪力
确定底部剪力系数
01
根据结构类型和高度等因素，确定底部剪力系数。
计算底部剪力
02
根据总水平地震作用和底部剪力系数，计算结构的底部剪力。
考虑竖向地震作用的影响
03
在计算底部剪力时，应考虑竖向地震作用的影响，以确保结构
的安全性。
03
底部剪力法的应用实例
实例一：单层排架结构的分析
总结词：简单实用
详细描述：单层排架结构是一种常见的建筑结构形式，底部剪力法在此类结构的 分析中具有简单实用的特点。通过将整体结构简化为单层模型，可以快速计算出 结构的底部剪力，为结构设计提供重要依据。
计算多自由度弹性体系的最大地震反应
＝
＋
＋
鲁＝
的结 构。当建筑 物有局部 凸出屋 面 的小建筑 物 （ 如屋 顶 间 ， 女儿
＋
＿０． ０ ８ ３×１ ０一 ｍ。
通 过振 型组合求结构 的最大顶点 位移 为 ：
＝ ＝ １ ０
（ １ — ６ ） 或 ： 譬 Ｆ ￣ Ｋ ］ ｄ ｚ Ｊ ３ ｄ ／ ｆ Ｅ ｄ 、 建 筑 上 的 地
∑ ∑
６ ． ４ ４ ２ ４ － （ 一０ ． ７ ９ ９ ） ＋０ ． ０ ８ ３ ‘＝
６ ． ４ ９ ２ ｍｍ 。
震作用需乘 以增 大系数 ， 抗震规范规定该增大系数 取为 ３ 。但是 ， 应注 意鞭梢效应 只对局 部凸出小建筑有影 响 ， 因此作用 在小建筑
＝６ ． ４ ９ １ ｍｍ 。
６ ＝０ ． ０ ８ ＋０ ． ０ ７＝０． ０ ８×０ ． ４ ３ ３＋０ ． ０ ７＝０． １ ０ ５。
ｒ ｌ ３ ＝１ ． ０× ９ ． ８× ０ ． ０ ９ ７ ６×１ ． ４ ２ １ ×１＝１ ． ３ ５ ９ ｋ Ｎ。
第二振型各质点 （ 或各楼 面） 水平地震作用为 ：
＝
半
—
＋
＋— －０ ． ８ ０ ０ ６ ’ ０ ０ ：
一
比， 可见底部 剪力法 的计算结 果 ＋ 鲁＝ ＋ 与振 与振型分解法的计算结果相 型分解反应谱法很接近 。
１ ２ ０ ０
０． ’ ７ ９ ９ ×１ ０～ ‘ ｍ。 ‘ ‘
说明 ： 底部剪力法适用于重量 和刚度沿高 度分布 均 比较 均匀 烟 囱） 等 时， 由于该部 分结 构 的重 量 和刚度 突然变 小 ， 将产 生 ＋ 墙 ， 鞭梢效应 ， 即局部 凸 出小 建筑 的地震 反应 有加 剧 的现 象。因此 ， 当采用底 部剪 力法计算 这类小建筑 的地震 作用效 应时 ， 计算按 式
多自由度体系的地震反应分析(2)——振型分解法、底部剪力法
24kN
16kN
3552 + 862 + 242 = 366kN
S =
å
n
j=1
S j2
6952 + 362 + 302 = 697kN
8662 + 772 + 162 = 870kN
355kN 695kN 866kN
86kN 36kN 77kN 30kN
24kN
16kN
• 必须注意：对于“平方和开平方”
x3 t
x1 t 0.4005 -1.1036 1.5711 x ( t ) x2 t 0.7972 q1 t -0.4908 q2 t -1.8346 q3 t 1.0000 1.0000 1.0000 x3 t
, n)
比较如下两个方程：
q j 2 j j q j 2 j q j j x g j 2 j j j j xg
2 j
振型分解
单自由度体系
可以看出
qj j j
从而：
请确认
x t X j q j t X j j j t
Fji t mi j x t t g j X ji
2 4 6 8 10
X = 0.4005 0.7973 500 1.0000 0 -1.1036 -0.4908 1.0000 1.5711 -1.8346 1.0000
-500
-86kN
500
X KX 2
T 2
T X n KX n
T T aX 1 MX 1 bX 1 KX 1 T T aX 2 MX 2 bX 2 KX 2
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V1
2 2 V j2 V11 V21 110.7 2 19.2 2 112.4 kN 1 j 1
m
V2
2 2 V j22 V12 V22 69.82 (18.3) 2 72.2 kN j 1
m
27
例题3-5-1解答——续
5. 层间地震剪力图
i 1
i 1 n
(3.66)
i i
15
（2）确定地震参数
由设防烈度查表得 max
由场地类别和特征周期分区查表得 Tg
由图3.9地震影响系数曲线得 1
（3）计算底部剪力
Geq 0.85 Gi
n
(3.107)
FEk 1 Geq
i 1
(3.106)
16
（4）是否考虑顶部附加地震作用
第三章4
底部剪力法 竖向地震计算 平扭耦合地震反应与双向水平地震影响
1
§3.5.2 底部剪力法
底部剪力法是一种简化方法。是在振型分 解反应谱法基础上得到的简化方法。 底部剪力法也是《抗震规范》规定的计算
地震作用的基本方法之一。
2
多自由度体系按振型分解反应谱法求地震作用时需要计算 结构的各个自振频率和振型，运算较繁。
20
例题3-5-1解答——续
计算各振型对应的周期： 2 T1 0.358 s 1 17.54 2 T2 0.156 s 2 40.32 2. 确定地震参数 2 2
由设防烈度8度查出 max 0.16
由I类场地和一区查出 Tg 0.25
21
例题3-5-1解答——续
n
FEk
j
( i 1,2,, n )
值得注意的是： 上式仅适用于基本周期 T1 1.4Tg 的结构。
9
3. 顶部附加地震作用ΔFn
由于（3.108）式仅适用于基本周期 T1 1.4Tg的结构。 对于T1 1.4Tg时，由于高振型的影响，如按式（3.108） 计算，则结构顶部的地震剪力偏小，故需要调 整。
（四）地震作用分布
Fi
G H
j 1 n j j 1
n
j
GjH 2 j
n
G i H i1
( G j H j ) 2
j 1
( G j H 2 )( G j ) j
j 1 j 1
n
n
( G j )j 1nGi H iG H
j 1 j
n
1
j
Gi H i
G H
j 1 j
G2
X2
k2
G1
X1
k1
2
已知：m1 60t，m2 50t
X1 1 0.02156 X 2 1 2 0.02156 0.01633 0.03789
k1 5104 kN m
k 2 3 104 kN m
30
例题3-5-2解答——续
采用能量法公式计算：
31
例题3-5-2解答——续
修正计算：
先计算各质点的惯性力：
I1 12 m1 X 1 60 0.0216512 1.29912 I 2 12 m2 X 2 50 0.0378912 1.894512
再计算惯性力作用下质点的位移：
I1 I 2 (1.299 1.8945)12 1 0.638712 104 k1 5 104 I 2 1.894512 2 0.631512 104 k2 3 104
为了简化计算，底部剪力法的适用条件：
１、结构质量和刚度沿高度分布比较均匀，地震作用时
的扭转效应可忽略不计。 ２、房屋总高度不超过40m。 ３、结构在地震作用下的变形以剪切变形为主。 ４、近似于单质点体系(等效单质点体系）的结构。
3
2. 各质点的水平地震作用
当建筑物高度不超过40m，以剪切变形为主、且质量和
Fn
mn
1n
由于第1振型为倒三角形，则
11
H1
1i
Hi
1n
Hn
(b)
c
Fi
mi
1i
Hi
Hn
1i c H i
F1
m1
11
H1
5
Fi F1i 1 11i Gi
n
(c)
M 1 G 1T 1 M 1 1i 1 i
如果T1 1.4Tg ，则 n 0
如果T1 1.4Tg ，则 n 查表3 4。
顶部附加地震作用Fn为： Fn n FEk
（5）计算各质点上水平地震作用
Fi H i Gi
H G
j 1 j
n
FEk (1 - n )
j
(3.109)
( i 1, 2, , n )
刚度沿高度分布比较均匀时，结构振动往往以第一振型 为主，而且基本振型接近于直线（即倒三角形）。
因此，底部剪力法采用如下假定：
（1）计算时仅取第一振型。 （2）第一振型为倒三角形。
4
根据振型分解反应谱法，对于第1振型第 i 质点的水平地
震作用为：
Fi F1i 1 11i Gi
(a)
j 1 j
n j 1
n
j 1 n
j
j
2 i 1 j
G H
i i
n
1
( G j H j ) 2 ( G j H 2 )( G j ) j
j 1 j 1 n n
( Gi )1
i 1
n
( G j H j ) 2
j 1
n
( G j H )( G j )
j 1 2 j j 1
Tg (s) <0.35 0.35-0.55 T1 >1.4 Tg T1 1.4 Tg
>0.55
n= 0.08 T1 +0.07 n= 0.08 T1 +0.01 n= 0.08 T1 -0.02
n= 0
11
调整后的水平地震作用计算公式
Fi H i Gi
H G
j 1 j
n
FEk (1 - n )
23
例题3-5-1解答——续
（3）计算水平地震作用
F1i 1 1 X 1i Gi
( i 1, 2 )
F11 1 1 X11G1 0.1158 1.23 0.488 60 9.8 40.9 kN F12 1 1 X12G2 0.1158 1.23 1 50 9.8 69.8 kN
（4）计算第1振型时的层间地震剪力
由式V1i F1k 得： V11 F11 F12 110.7 kN
k i
n
V12 F12 69.8 kN
24
例题3-5-1解答——续
第 2 振型
( 1 ) 确定地震影响系数 2
因为0.1s T2 0.156s Tg 0.25s 所以取反应谱的水平段： 2 max
m2 50t
k 2 3 104 kN m
m1 60 t
k1 5104 kN m
19
例题3-5-1解答
1. 求结构动力特性
由频率方程： [k ] 2 [m] 0 求得： 1 17.54 rad / s
2 40.32 rad / s
由振型向量方程 ( [k ] 2 [m] ) X j 0 j X 11 0.488 X 21 1.710 求得振型： 和 X 12 1.000 X 22 1.000
2 mi ui2 g mi ui
i 1 i 1 n n
T1
1
2
60 0.02165 2 50 0.03789 2 2 0.355 s 9.8 (60 0.02165 50 0.03789)
该结果与采用频率方程得到的结果相比，有误差。 为了提高精度，作如下修正计算。
17
（6）计算层间剪力
Vi Fk
k i n
( i 1, 2,, n )
绘制层间地震剪力图。
（7）顶部小屋的地震作用FD
FD 3Fn
这时顶部附加地震作用Fn应加在主体结构的顶部。
18
举例
例题3-5-1 图示框架结构。设防烈度为8度，I类建筑场地，特征周期 分区为一区。试用振型分解反应谱法计算该框架的层间地 震剪力。
3. 对各个振型计算水平地震作用
第1 振型
(1) 确定地震影响系数1
因为Tg T1 5Tg Tg 所以取反应谱的曲线下降段： 1 T 1 取阻尼系数 0.05，则 0.9 max
22
例题3-5-1解答——续
Tg 因此： 1 T 1
j
(3.109)
( i 1, 2, , n )
12
4. 鞭梢效应
当建筑物有突出屋面的小屋时，由于这部分的重量和 刚度突然变小，地震时将产生“鞭梢效应”， 使得突
出屋面的小屋的地震特别强烈。
因此规范规定： 当采用底部剪力法计算时，顶部小建筑的地震作用 效应应乘以3，增大的部分不往下传。
13
0.25 max 0.16 0.1158 0.359
0.9
（2）计算振型参与系数
1
m X
i 1 n i 1 i
n
1i
mi X 12i
60 0.488 50 1 1.23 2 2 60 0.488 50 1