构造幻方

构造幻方

所谓幻方，也教纵横图，就是在n×n的方阵中放入1到n2个自然数：在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好都相等。这个和数就叫做“幻方常数”或幻和。

幻方分为奇数阶幻方、偶数阶幻方（单偶阶幻方、双偶阶幻方），下面就这三类幻方的构造分别示范。

奇数阶幻方的经典方法－罗伯

奇数阶幻方，也就是3阶、5阶、7阶……幻方，那么如何构造这样的幻方呢？

我们可以采取罗伯法（也叫连续摆数法），其法则如下：

把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。

按照这一法则建立5阶幻方的示例如下图：

罗伯法（连续摆数法）的助记口诀：

1居上行正中央，依次斜填切莫忘。

上出框界往下写，右出框时左边放。

重复便在下格填，角上出格一个样。

1居上行正中央——数字1放在首行最中间的格子中

依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字

上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中

右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中

重复便在下格填——如果数字｛N｝右上的格子已被其它数字占领，就将｛N ＋1｝填写在｛N｝下面的格子中

角上出格一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理。

偶数阶幻方的一种制作方法——双偶阶、单偶阶幻方

1.双偶阶幻方（中心对称交换法）

n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……)(n=4k，k=1，2，3，4，5……)

先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n×n+1，称为互补。

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：

这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。

这里，n×n+1=4×4+1=17；把1换成17-1=16；把6换成17-6=11；把11

换成17-11=6……换完后就是一个四阶幻方。

对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。

2.单偶阶幻方（斯特雷奇RalphStrachey法）

n为偶数，且不能被4整除(n=6，10，14，18，22……)(n=4k+2，k=1，2，3，4，5……)

这是三种里面最复杂的幻方。

以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2

（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。

（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A 象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数，平移式互换位置。

（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)，将B象限标出的这些数，和D 象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。

总之：A、C区最右侧一列数据一定不会动，B、D列最左侧两列数据和中间列右边所有列数据不会动。

下面是6阶幻方的填法：6＝4×1＋2，这时k＝1

看起来很麻烦，其实掌握了方法就很简单了。