构造幻方

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幻方的构造

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幻方的这种平衡思想，经常被用来寻找优化问题的第一个可行解（可行方案）！
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保留数字： 1
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从1开始，按照45度线填数字。如果本格45度上方遇到黑格子、有了数字的格子，则，填本格下面的格子。
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双偶数阶幻方的构造
双偶数阶＝4k×4k。例如，构造4阶幻方。首先，将4×4表格的2条对角线上的格子刷黄。从左到右、从上到下依次填写数字，将非对角线格子填上数字（遇到黄格子，不填数字，同时，保留黄格子对应的数字，不填）。第2步，从下到上、从右到左，填写保留的黄格子对应的数字。

幻方的构造方法

幻方的构造方法
幻方的构造方法有很多，如连摆法、德洛涅法、巴舍法、拉丁方阵法、西洛克斯法、杨辉法、卞和法、加尔贝格法、马凯法、常用法等。

连摆法：从幻方最上行中央起，填1，以后每一步都填右上格。

若超出上格线，则移至该列最下格；若超出最右线，则移至该行最左格；若超出顶角，或右上已填数（重叠），则回到原数的下格。

填毕所有空格，即得所求幻方。

德洛涅法：先画出由1至n^2的n×n方格阵，再将1放在第一行的中间一列，从此按以下规则构造幻方：每一个数放在它上一数的右上方，若该位置已有数，则将该数放到它下一数的左方，如此继续下去，直到填满整个方格阵为止。

小学思维数学讲义：幻方(一)-带详解

幻方（一）1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和：所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独知识点拨教学目标数独简介：（日语：数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。

幻方制作方法

幻方制作方法一、什么是阶数？横竖各3格就是3阶，各4格就是4阶，依此类推。

二、奇数阶幻方的构造方法：把1放在中间，右上行走，上边出头往下落，右边出头往左走，占位或者对角出头往下落三、4×n阶幻方的构造（一）4×1阶幻方的构造方法一第一步：依次填数第二步：对角交换1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16（二）四阶幻方的构造方法二第一步：依次填数第二步：不是对角的交换1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16总结：基本的四阶幻方的构造，是先依次填数，然后要么是对角的数据都交换，要么是对角的数据都不交换。

（三）4×n 阶幻方的构造我们已经知道了4×1阶幻方的构造方法：然后要么是对角的数据都交换，要么是对角的数据都不交换。

那么4×n 阶幻方的构造方法，完全与4阶幻方的构造一样，也是：要么是对角的数据都交换，要么是对角的数据都不交换。

但是，在构造4×2阶幻方时候，要把每2×2格作为一格，在构造4×3阶幻方时候，要把每3×3格作为一格，1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 5758 59 60 61 62 63 641 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 575859606162636416 2 3 13 34 5 11 10 8 34 9 7 6 12 34 4 14 15 1 34 34 34 34 341 15 14 4 34 12 6 7 9 34 8 10 11 5 34 13 3 2 16 34 34 34 34 3464 63 3 4 5 6 58 57 56 55 11 12 13 14 50 49 17 18 46 45 44 43 23 24 25 26 38 37 36 35 31 32 33 34 30 29 28 27 39 40 41 42 22 21 20 19 47 48 16 15 51 52 53 54 10 9 8 7 59 60 61 62 2 11 2 62 61 60 59 7 89 10 54 53 52 51 15 1648 47 19 20 21 22 42 4140 39 27 28 29 30 34 3332 31 35 36 37 38 26 2524 23 43 44 45 46 18 1749 50 14 13 12 11 55 5657 58 6 5 4 3 63 641 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7273 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 8485 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 9697 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 1441 2 3 141 140 139 138 137 136 10 11 1213 14 15 129 128 127 126 125 124 22 23 2425 26 27 117 116 115 114 113 112 34 35 36108 107 106 40 41 42 43 44 45 99 98 9796 95 94 52 53 54 55 56 57 87 86 8584 83 82 64 65 66 67 68 69 75 74 7372 71 70 76 77 78 79 80 81 63 62 6160 59 58 88 89 90 91 92 93 51 50 4948 47 46 100 101 102 103 104 105 39 38 37109 110 111 33 32 31 30 29 28 118 119 120121 122 123 21 20 19 18 17 16 130 131 132133 134 135 9 8 7 6 5 4 142 143 144（三）如何在纸上快速填写4n阶幻方，参看上图1、我们假设对角不变。

构造三阶幻方的方法

构造三阶幻方的方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊构造三阶幻方的方法。

首先，构造三阶幻方有特定的步骤哦。

先把数字 1 放在第一行中间位置，然后按照斜上方依次填入数字，若遇到边界，就把下一个数字填到相对的那一侧。

就好像走迷宫一样，可有意思啦！但要注意哦，填到已有数字的位置时，就要填到它下面啦。

这步骤简单吧？嘿嘿，是不是觉得挺有趣的。

然后说说这过程中的安全性和稳定性。

就像建房子，每一块砖都要放对位置，才能稳稳当当。

构造三阶幻方也是这样，只要按照规则来，就不会出错，安安稳稳地就把幻方给造出来啦，多靠谱呀！
三阶幻方的应用场景那可多啦！比如在数学游戏中，它能带来很多乐趣，让我们玩得不亦乐乎。

它的优势也很明显呀，能锻炼我们的思维能力，就像给大脑做了一场健身操！
我给大家举个实际案例吧。

在一次数学竞赛中，有个题目就是关于三阶幻方的，那些掌握了构造方法的同学，那可真是如鱼得水呀，轻松就解决了问题，看到他们得意的样子，就知道效果有多好啦！
所以呀，构造三阶幻方真的是个超棒的数学技巧，它既能带来乐趣，又能提升我们的能力，为啥不赶紧学起来呢？。

幻方_??????

幻方1.概念简析：幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样.2.构造幻方常用的方法：（1）适用于所有奇数阶幻方的填法—罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．（2）仅适用于三阶幻方—九宫格口诀.口诀是：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。

（3）适用于所有偶数阶幻方的填法—对称交换的方法1.将数依次填入方格中，对角线满足要求。

2.调整行，对角线数不动，对称行的其它数对调；调整列，对角线数不动，对称列的其它数对调。

3.三阶幻方的性质：1.幻和相等，幻和等于9个数的和除以3.2.中间数必位于幻方中心，中间数等于幻和除以3.3.黄金三角: 黄金三角顶点的数为两腰之和除以2.视频描述把0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数填在下面图中的方格内，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都相等。

1.1.请用11、13、15、17、19、21、23、25、27编制一个三阶幻方。

注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把7—15这九个数构成一个三阶幻方。

注：此题答案默认为0，正确答案见解析！3.3.请用1、4、7、10、13、16、19、22、25编制一个三阶幻方。

注：此题答案默认为0，正确答案见解析！视频描述将下面左边方格中的9个数填入右边方格中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和都相等。

1.1.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。

注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把３、４、５、８、９、10、13、14、15编成一个三阶幻方，并求出幻和是多少？3.3.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。

构造幻方的技巧

构造幻方的技巧
1. 嘿，你知道吗，构造幻方有个超有用的技巧就是对称法呢！比如说，就像我们照镜子一样，让数字在相对的位置上保持对称，这样不就能快速搞定一部分啦！就像3x3 的幻方，把中位数放中间，其他数字两两对称放置，是不是很神奇呀！
2. 哇塞，还有个技巧叫等差序列法哟！想象一下，数字们排着队，有规律地前进。

比如 5x5 的幻方，先用等差序列把数字排好，再根据规则调整，你看，一个漂亮的幻方不就出来啦！
3. 嘿，别忘了巧用中心数呀！这就像是舞台的中心主角一样重要呢。

比如在奇数阶幻方里，中心数可是起着关键作用的呀，以它为基准去摆弄其他数字，多有意思呀！
4. 哈哈，还有一个神奇的技巧叫行列交换法呢！就好像小朋友交换玩具一样，把数字所在的行和列换一换位置，说不定就能构造成幻方啦，不信你试试呀！
5. 哇哦，奇数偶数分开考虑也是个很棒的方法呀！就像把不同的小伙伴分到不同的队伍里，分别对待它们，这样构造幻方会更清晰明了呢！
6. 哎呀呀，固定角落法也很赞哦！让一些关键数字固定在角落，就像给房子打下坚实的根基一样，再去填满其他地方，是不是很厉害呀！
7. 嘿，还有一种叫斜线填充法呢！想象一下沿着斜线把数字放进去，是不是很有创意呀。

比如在某些幻方里，先沿着斜线填好几个数字，剩下的就好办多啦！
8. 哇，逐步调整法也不能忽视呀！就跟我们慢慢调整自己的状态一样，一点一点地让幻方变得完美，很有意思吧！
9. 我觉得呀，构造幻方真的超有趣！这些技巧都各有各的奇妙之处，用起来就感觉自己像个小小的魔术师呢，能把数字变得那么神奇！赶紧去试试吧！。

三阶幻方的N种构造方法

三阶幻方的N种构造方法三阶幻方是一种3x3的数字方阵，其中每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。

以下是几种构造三阶幻方的方法：1.蛇型法：首先将数字1放在第一行的中间位置，然后按照蛇形的方式，依次填充数字2、3、4⋯、9、当数字超出边界时，从相反的边界开始填充。

这样构造出的三阶幻方如下：8163574922.阶梯法：首先将数字1放在第一行的第一列，然后依次填充数字2、3到第一列的第三行。

接下来，将数字4填充到第一行的第二列，之后将数字5、6依次填充到第二列的第一行和第三行。

最后将数字7、8、9填充到第二列的第二行、第三行和第一行，最终构造出以下三阶幻方：2769514383.方块法：将数字1填充到方阵的上方，然后从上方顺序填充数字2、3、4到右上角、右下角和左下角。

接下来，将数字5填充到剩余的位置。

构造出的三阶幻方如下：2947536184.加法法：首先将数字1填充到方阵的中间位置。

然后从中间位置开始，按照数字的递增顺序依次填充2、3、4到右上角、右下角和左下角。

最后将剩下的数字以对称的方式填充到相应的位置。

构造出的三阶幻方如下：8163574925.填充法：首先将数字1填充到方阵的上方，然后从上方顺序填充数字2、3、4到右上角、右下角和左下角。

接下来，将数字5填充到剩余的位置。

构造出的三阶幻方如下：294753618以上只是几种常见的构造三阶幻方的方法，实际上，三阶幻方的构造方法有很多种，而且可以进行旋转和翻转等操作来得到更多的构造方法。

由于幻方的特殊性质和对称性，可以通过一些数学方法进行推导和计算来构造出更多的三阶幻方。

幻方是数学中的一个有趣且古老的问题，它的研究既有实际应用价值，又具有数学美感。

幻方构造方法

幻方构造方法：（有很多种，这里只举出几种）奇数阶：n=2*m+1,m为自然数1)将数字1填在(0,(n+1)/2) ；要注意c中是从下标0开始2)从左上往右下依次填。

3)由2),列的下标出界(超过n-1)时，行加1，以n为摸的余数为应填的列数；4)由2),行的下标出界(超过n-1)时，列加1，以n为摸的余数为应填的行数；5)由2),行列都未出界，但已添上其他数，应在当前位置左横移一个位置进行填数。

然后是偶数阶：前一种：n=4*m+2, m为自然数1)将n阶方阵分为四个小魔方阵ABCD如下排列：B CD A因为n*n=4*(2*m+1)*(2*m+1),记u=n/2=2*m+1,分为1~u*u,u*u+1~2*u*u,2*u*u+1~3*u*u,3*u*u+1~4*u*u即在调用子函数的时候分别如下面传递参数:A(0),B(u*u),C(2*u*u),D(3*u*u)分别在ABCD中按照前面的填法把奇数阶填好(注意加上所传参数作为基数，每一个元素都要加上这个值)，最后做如下交换：(1)B中第0~(m-1)-1行中元素与C中相对应元素交换(2)D中第(n-1)-m+1~(n-1)共m行的每行中的元素与A中相对应元素交换(3)交换D:(u+m,m)与A中对应元素(矩阵中心值)(4)交换D:(n-1,m)与A中对应元素(实际为矩阵最大值n*n)所谓对应位置，指相对于小魔方阵的左顶角的相对的行列位置上面的这些你可以用数学进行证明，利用魔方阵常数(注意n阶的和u阶的关系)后一种：n=4*m,m为自然数因为行列都是4的倍数，因而可以将整个矩阵分为每4*4的小矩阵。

先判断一个数是否在划为4*4小矩阵的对角线上，如果在，则填该位置的数为n*n-i+1(i为该元素的相对位置，从1开始，比如n阶的第s行第t个元素则其i=s*n+t)如果不在，则填上i。

参考资料：/archives/structure/2ae241192e129bc795deb5a721562f3d.php五阶幻方简便算法悬赏分：10 - 解决时间：2008-10-8 19:08五阶幻方简便算法提问者：狐老大- 试用期一级最佳答案五阶幻方10 11 17 23 `422 `3 `9 15 1614 20 21 `2 `81` 7` 13 19 259 `3 22 16 1521 20 14 `8 `213 `7 `1 25 195 `24 18 12 `617 11 10 `4 2317 24 `1 8 1523 `5 `7 14 16`4 `6 13 20 2210 12 19 21 `311 18 25 `2 `9下面这些构造方法都是比较适合于编程的。

构造幻方的方法

构造幻方的方法Constructing magic squares is a fascinating and challenging puzzle that has captured the imagination of mathematicians and enthusiasts for centuries. The beauty of magic squares lies in their elegant symmetry and the intricate patterns that emerge from arranging numbers in a specific way. These unique properties make magic squares a popular subject of study in mathematics and a source of intrigue for those who enjoy solving puzzles.构造幻方是一个引人入胜且具有挑战性的谜题，几个世纪以来吸引了数学家和爱好者的想象力。

幻方的美在于它们优雅的对称性以及通过以特定方式排列数字而产生的复杂图案。

这些独特的属性使幻方成为数学研究的热门话题，也为那些喜欢解谜题的人提供了充满魅力的对象。

One of the most common methods for constructing magic squares is the odd order magic square method, which involves arranging numbers in a square grid such that the sum of each row, column, and diagonal is equal. This method is relatively straightforward and canbe easily understood and applied by enthusiasts of all skill levels. Byfollowing a set of rules and patterns, anyone can create a unique and intriguing magic square that showcases their mathematical prowess.构造幻方的最常用方法之一是奇次阶幻方方法，它涉及将数字排列在一个方形网格中，使得每行、每列和对角线的和相等。

偶阶幻方构造方法

偶阶幻方构造方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊偶阶幻方的构造方法，这可好玩啦！
你说啥是偶阶幻方？嘿嘿，就好像是一个神奇的数字魔法阵呀！想象一下，一堆数字整整齐齐地排列在那里，横竖斜着加起来都一个得数，多有意思！
那怎么构造偶阶幻方呢？咱先来说说双偶数阶幻方，也就是 4 的倍数阶幻方。

这就像是搭积木一样，得有步骤。

先把数字按顺序排好，就像给它们排排队。

然后呢，把对角线上的数字互换位置，就像是给它们换了个新伙伴。

瞧，一个漂亮的幻方就出来啦！是不是很简单？
再来说说单偶数阶幻方，这就稍微有点难度咯，但别怕呀！咱可以把它分成几个小部分来处理。

就好像把一个大拼图分成小块，一块一块地拼起来。

先把中间的那部分搞定，然后再慢慢往外扩展。

这可得有点耐心哦，别着急，慢慢来，肯定能成功的。

你想想看，通过自己的努力，构造出一个完美的偶阶幻方，那得多有成就感呀！这就像是自己创造了一个小小的数字世界，多酷呀！而且，这可不是随便玩玩的哦，在很多地方都有用呢。

比如在数学研究里，在游戏设计里，都能看到偶阶幻方的身影呢。

构造偶阶幻方就像是一场冒险，每一步都充满了惊喜和挑战。

有时候可能会遇到困难，但别灰心，多试试，肯定能找到解决办法的。

就像走路会遇到小石子，但咱跨过去不就好啦！
总之呀，偶阶幻方的构造方法真的很有趣，也很有用。

大家都来试试吧，说不定你就是那个能创造出最神奇幻方的人呢！不用犹豫，不用害怕，大胆地去尝试吧！让我们一起在数字的海洋里畅游，感受那奇妙的魅力！。

幻方的构造方法

1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16
①以1-16依次作四行排列; ②打两条对角线，被对角线穿过的数字不动; ③其他数字，按对角线的交点为对称中心，对称对调.
八阶幻方怎么做？继续用对称交换法来试试吧！把它看成是4个四阶幻方，
将刚刚的三阶幻方绕中心旋转一定角度， o o 如：90 、180 等。你得到新的三阶幻方了吗？
实际上，平面幻方的构造，分为三种： ①奇数(3、5、7……）阶幻方; ②双偶数（4、8、12……4n）阶幻方;
③单偶数（6、10、14……4n+2)阶幻方 .
这种方法叫做罗伯法，那么你能不能写出其他的奇数幻方呢？刚刚的三阶幻方就属于奇数阶幻方了。它适合编制所有的奇数阶幻方。以五阶幻方为例，跟我一起来试试吧。按照口诀，剩下的就交给你吧！
17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9
一居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出格时往下填，右出格时左边放，排重便在下格填，角上出格一个样。
七阶、九阶、十一阶 …… 已经难不到了你了那，如果给你数字 1 — 16 ，你能写出一个这种方法叫做对称交换法。你做出来了吗？四阶幻方？
南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘奇算法》里介绍了这种方法：
① ④ ② ⑤ ⑧ ③ ⑥到大的递增次序斜排 ②把上、下两数对调，左、右两数也对调; ③把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。
除了刚刚得出三阶幻方外，你还能写还是让我来告诉你吧！出其他的三阶幻方吗？
④ ⑨ ② ③ ⑤ ⑦ ⑧ ① ⑥

幻方构造的计算方法

《幻方构造的计算方法》前言这本《幻方构造的计算方法》小册子经过2016年11月30日初稿（《李功儒数学论文集》中的第十二部分《幻方构造的计算方法——单位幻方法》）、2017年9月19日修改（定名为《幻方构造和幻方交换的单位幻方法》），于今又做了修改。

在此期间及以前，写稿得到有关人的帮助和支持，本人向他们表示衷心的感谢，并致以崇高的敬意。

以往幻方构造中所存在的问题的主要表现是每阶能构造出的幻方个数太少，这不利于幻方实际应用的研究，因为一个具体实际问题的规律只能符合一个幻方。

试想：当实际问题中出现每行每列每条对角线上的各数的相加之和都相等的幻方时，如果理论上难以构造，那至少对多于实际幻方中的数字个数的数阵是否为幻方难以进行预先估计、探讨和研究，当然也就无法进行深入研究。

可能有人会说，电脑编程会快速构造出少于或多于实际幻方中的数字个数的幻方，这是不切实际的。

如仅对阶数非常低的5阶来说，电脑编程在没有好的方法下的可能算法是：将25个数进行全排列，有25 !（这是天文数字）个排列，再对每个排列按从左到右划分为5组，将第一组到第五组从上往下放置，也就是有25!个数阵，对每个数阵进行每行每列每条对角线各自相加计算，将有相加之和不相等的数阵舍去，这将是海量的计算，需要多大能力的电脑呢？如果阶数增加，电脑能行吗？所以，需要先找出能构造尽量多的幻方的方法，再用电脑编程，就有必要了。

本文只研究能构造尽量多幻方的方法。

幻方构造有两种方法：计算方法、试验方法（至于交换方法是建立在有幻方的基础上的，交换后的幻方个数多少，还是取决于用计算方法和试验方法所能构造幻方个数的多少）。

试验方法经过2000多年的积累，产生了许多种具体试验成果的方法：连续摆数法、阶梯法（楼梯法）、奇偶数分开的菱形法、对称法、对角线法、比例放大法等等……以往人们将大多数的时间和精力花在试验方法上，甚至将象棋的规则、《易经》中的蕴含搬出来，真是无所不用其极，绞尽脑汁。

幻方的规律和方法

幻方的规律和方法幻方的规律在于无论取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。

对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数（4n+2的形式）。

幻方的方法1、N为奇数时，将1放在第一行中间一列；从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放。

⑴将1放在第一行中间一列；⑵从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：按45°方向行走，如向右下，每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1.⑶如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。

例如1在第1行，则2应放在最上一行，列数同样加1.⑷如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n 列时，则把下一个数放在上一个数的上面。

2、N为4的倍数时，采用对称元素交换法。

采用对称元素交换法。

首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵，然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对称交换，即a（i，j）与a（n+1-i，n+1-j）交换，所有其它位置上的数不变。

（或者将对角线不变，其它位置对称交换也可）3、N为其它偶数时当n为非4倍数的偶数（即4n+2形）时：首先把大方阵分解为4个奇数（2m+1阶）子方阵。

按上述奇数阶幻方给分解的4个子方阵对应赋值，由小到大依次为上左子阵（i），下右子（i+v），上右子阵（i+2v），下左子阵（i+3v），即4个子方阵对应元素相差v，其中v=n*n/4.四个子矩阵由小到大排列方式为①③④②然后作相应的元素交换：a（i，j）与a（i+u，j）在同一列做对应交换（jn-t+2），a（t-1，0）与a（t+u-1，0）；a（t-1，t-1）与a （t+u-1，t-1）两对元素交换，其中u=n/2，t=（n+2）/4上述交换使行列及对角线上元素之和相等。

幻方的构造方法

17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9
一居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出格时往下填，右出格时左边放，排重便在下格填，角上出格一个样。
七那阶，、如九果这阶给种、你方你十数法做一字叫阶出1…做来—…对了1已称吗6经，交？难你换不能法到写。了出你一了个四阶幻方？
123 4
567 8
9 10 11 12
13 14 15 16
①以1-16依次作四行排列; ②打两条对角线，被对角线穿过的数字不动; ③其他数字，பைடு நூலகம்对角线的交点为对称中心，对称对调.
八阶幻方怎么做？继把续它用看对成称是交4换个法四来阶试幻试方吧，！
将刚刚的三阶幻方绕中心旋转一定角度，如：90o、180o等。
你得到新的三阶幻方了吗？
实际上，平面幻方的构造，分为三种：
①奇数(3、5、7……）阶幻方;
②双偶数（4、8、12……4n）阶幻方③;单偶数（6、10、14……4n+2)阶幻方
那刚以它么刚五按适你的阶照合能三幻这口编不阶方种诀制能幻为方，所写方例法剩有出就，叫下的其属跟做的奇他于我罗就数的奇一伯交阶奇数起法给幻数阶来，你方幻幻试吧。方方试！呢了吧？。
南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘奇算法》里介绍了这种方法：
① ④② ⑦⑤ ③ ⑧⑥
⑨
①将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排; ②把上、下两数对调，左、右两数也对调; ③把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。
除了刚刚还得是出让三我阶来幻告方诉外你，吧你！还能写出其他的三阶幻方吗？ ④⑨② ③ ⑤⑦ ⑧ ①⑥

奇数幻方构造法

奇数幻方构造法下面介绍一种直接填入的方法。

这种方法适用于所有N>2的奇数幻方，简单易学，供大家参考。

以五阶幻方为例。

图中的红线为五行五列表格的边线，外面的一圈表格是为了便于解说特别加上的，熟练后完全不用画。

首先，在第一行的中间一列填入1在1的右上角填入2，我们发现2写在了表格的上面，不要紧，把2向下移动5个格在2的右上角填入3，就这样，一直向右上角写。

写到4的时候，我们发现4又在表格右边了，那就把4向左移动5个格吧在4右上角写入5，这时我们发现6没地方放了，不要紧，那就把6写在5的正下面。

然后在6的右上方写入7……依此类推，最终结果如下：虽然看上去跟上次讲的数字排列不大一样，但目的都达到了，每行、每列、每条对角线上的数字加起来的和都相等。

大概明白规则了吧，总结一下：对于N阶幻方，从1开始把数字从小到大按以下规则依次写入一、在第一行中间一列写入1二、依次向右上方写入2、3、4……三、如果某数字写在了表格的某个方向外面，那就把这个数字向相反方向移动N个单位，把它放入表格内部。

例如，某数字写在了表格的上方，那就把这个数字向下移动N个单位。

四、如果某个数字的右上方已经被占用，那就把下一个数字写在这个数字的正下方五、如果某个数字位于表格的最右上角，那么下一个数字要写在这个数字的正下方（例子中16的写法）所谓双偶数（即4m式）幻方，就是行列数N能被4整除的幻方，比如4阶、8阶、12阶……下面介绍的这种方法，适用于所有4m式偶阶幻方。

下面举一个比较大型的例子——8阶幻方。

第一步，把1到64这些数字按照顺序填写在表格中。

第二步，把这个表格按红线平分成四个板块。

第三步，选中左上角板块中行列数相加为偶数的数字，也就是图中的蓝色部分。

第四步，选中右上角板块中与蓝色数字位置对称的数字，也就是图中的绿色数字最后一步，将被选中的数字（包括蓝色和绿色）与跟它呈中心对称的数字交换位置。

按数值来讲，就是X与（A-X）交换位置，其中X为被选中的蓝色和绿色数字，A为最大数和最小数的和。

很直观的两种构造奇数幻方的方法!

移动后）（21和1移动后）和移动后
下面还是用个五阶幻方做个例子：（请全屏观赏）
步骤：(对于任意一个奇数幻方) ①：把1填在第一行的中间，把2填在1的右上方（就是向左移动一格，向上移动一格）。其中：假如数在第一行时（例如1就是）就把最底行假设在第一行的上面，就把下一个数填在假设行上；填好就把假设行放回最底处。例如下图，1在第一行，填2的时候：
同样，假设数在最后一列时，就把第一列假设在最后一列的右边，就把下一个数填在假设列上；填好后把假设列放回第一列。例如下图中，3在最右一列，到填4的时候：
中心是五阶幻方格子
从上右填到左下
③：四维挺进，上下对易，左右相更。四维挺进，上下对易，左右相更。（意思为，四周的数都移进来，在“对易” 和“相更”时移动的步数刚好为幻方的阶数。例如左边的21向右移动了5步，上边1 向下移动了5步。
向右移动5格向下移动5格（21向右移动格，1向下移动格）向右移动向下移动
②：以此类推，填好一个数后，把下一个数放在该数的右上方。 ③：当填了某个数后，假如右上方正好已经有数了，这时填下一个数在这个数的下方。再返回第②步，直到把数填满幻方格。例如下图，填了5时，遇到右上方已有1时，就将6填在5的下方： 6 5
下面就用个五阶幻方做个例子：（请全屏观赏）
ห้องสมุดไป่ตู้
杨辉法步骤：(对于任意一个奇数幻方，下面用五阶幻方例子讲解) ①：画个图画个图（适合五阶幻方的，中心是五阶方格）。②：n子斜排。子斜排。 ② 子斜排
很直观的两种构造奇数幻方的方法！很直观的两种构造奇数幻方的方法！ ——楼梯法和杨辉法
摘自：童真白马的博客分类——幻方世界》》欢迎光临《《

n=4m(m∈N)阶幻方的最简单构造法

须每行、每列的四个数的和相等，因此由定理2可以知道，做这项工作的
关键在于，如何在数阵图s-2中确定：哪些数作补数，哪些数作原数。
先将1作原数，对第一行，由定理2知4也作原数，而将2、3变成补数2、3；对于第一列，13作原数，5和9将变成补数5、9，其它行列类推，即如图h-1，再将其补数换成其对应的原数，即得一个4阶幻方，如图h-2。若将图h-1中的每个数都取补数，又得一个有补数的新幻方，如图h-3。（注：这里就是利用了补数的性质）
（或某列）补数的分布规律，我们就能在数十秒内写出较
大的4m阶幻方，因为只需标出原4m阶数阵中所有的补数
就够了，这比用其它方法构造4m阶幻方来得更快捷方便。
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=2(1+n2)-(a2+a3)+ (a1+a4)
=2(1+n2)
同理可证(a1+a4)+(a2+a3)=2(1+n2)
∴(a2+a3)+(a1+a4)=(a1+a4)+(a2+a3)=2(1+n2)
当n=4m，m=1时，(a2+a3)+(a1+a4)=(a1+a4)+(a2+a3)=2(1+42)=2×17=34
等差数列，这个等差数列的和是s=
n×1+×d=，
即n阶幻方的幻和。而右倾一条主对
角线上的数满足式子(n-1)×h+1 <h为行号>，是一个公差为d1=n-1的等差数列，此等差数
列的和是s= n×n+×d1=，也为n阶幻方的幻和。
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n=4m（m∈N）阶幻方的构造法
有了上述预备知识，我们就可以讨论一下n=4m阶幻方构造的方法。

曾经发现的构造幻方规律

曾经发现的构造幻方规律很久之前就知道这个办法，只是记录在笔记本里，今天就拿出来分享一下。

总之一句话概括：给我两个基本幻方我能构造出所有幻方。

就是以3阶幻方和4阶幻方作为基本幻方，以基本幻方作为中心，向外扩展成5、7、9等奇数幻方和6、8、10等偶数幻方。

可能已经有很多人了解到了，我就用五阶幻方简单的阐述一下。

例如：我们准备构造一个五阶幻方，就先做一个框架在三阶幻方的外层：=》将中心三阶幻方的数都加上8，【其实对于构造n阶幻方来说，中间层即n-1阶的数加上2（n-1）】这时开始将五阶幻方的1～25个数进行划分，就是除了中心的9个数（9～17）分成两部分，一部分是1～8，另一部分是18～25，并相互配对，其中五阶幻方的幻和为65【其实对于n阶幻方的幻和为n(n²+1)/2】。

例如：由于五阶幻方的幻和为65，就得找出5个数（注：找的数在上面分类里的列的数不能重复）填在第一列（或第一行），很容易就找到一组数：1、3、22、20、19。

（1+3+22+20+19=65）填写后：所以在剩下的3对数找满足第一行的计算就可以了。

发现这三对数中2、24；5、21；8、18可以找到2、21、18正好满足：1+2+21+18+23=65。

填写后：最后再补充对应的互补的数就完成了！当然，还有其他组合也可以满足。

例如：外层组合：25、24、23、7、8和2、4、21、20、18，其中2、24、7、8是四个角的数。

外层组合：25、3、22、19、8和24、23、5、6、7，其中3、23、7、19是四个角的数。

其实推算的时候可能找到一定的规律，例如下面几个幻方的外层推算数字：至少也可以知道点规律：其中谈绿色的数是公共的（填在幻方的角），玫瑰红色的数是填在幻方外层的列上，淡黄色的数是填在幻方外层的行上，剩下的数就根据对应关系填写就行了。

还有偶数幻方也一样的原理，但是建议在电脑的工作表里制作简单，因为可以用到工作表里的函数计算功能。