立体几何100题

立体几何100题

1.如图，三角形中，

，

是边长为l 的正方形，平面

底面

，

若

分别是

的中点.

（1）求证：底面；

（2）求几何体

的体积.

2．在三棱锥P ABC -中， PAC ∆和PBC ∆是边长为2的等边三角形， 2AB =， ,O D

分别是,AB PB 的中点.

（1）求证： //OD 平面PAC ； （2）求证: OP ⊥平面ABC ； （3）求三棱锥D ABC -的体积.

3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 090BAC ∠=， 2AB AC ==，点,M N 分别

为111,A C AB 的中点.

（1）证明： //MN 平面11BB C C ；

（2）若CM MN ⊥，求三棱锥M NAC -的体积.. 4．如图，在三棱柱中， 平面，点是与

的交点，点在线段上，平面

.

（1）求证：

；

（2）若,求点到平面的距离.

5．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，

1

,//,2

AB BC AD BC AB BC AD ⊥==

， PAD ∆是正三角形， E 是PD 的中点． （1）求证： AD PC ⊥；

（2）判定CE 是否平行于平面PAB ，请说明理由．

6．如图，在四棱锥S ABCD -中，侧面SAD ⊥底面ABCD ， SA SD =， //AD BC ， 22AD BC CD ==， M ， N 分别为AD ， SD 的中点．

（1）求证： //SB 平面CMN ；（2）求证： BD ⊥平面SCM ．

7．如图，在矩形中，

，

平面

，

分别为

的中点，点

是

上一个动点．

(1) 当是

中点时，求证:平面

平面

；

(2) 当时，求的值．

8．如图，在正三棱柱111A B C ABC -中，点,D E 分别是1,A C AB 的中点． 求证： ED ∥平面11BB C C

若12AB BB =求证：A 1B ⊥平面B 1CE.

9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中， 12,1,1AB AD A A ===.

（1）证明直线1BC 平行于平面1D AC ； （2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.

10．如图所示，菱形ABCD 与正三角形BCE 所在平面互相垂直， FD ⊥平面ABCD ，且

2AB =， 3FD =.

（1）求证： //EF 平面ABCD ； （2）若3

CBA π

∠=

，求几何体EFABCD 的体积.

11．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证： （Ⅰ）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （Ⅱ）A 1C //平面AB 1E ．

12．如图，在三棱柱中，

平面

，

，

，点为

的

中点. （1）证明：平面

； （2）求三棱锥

的体积.

13．如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，为中点，平面平面.

(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.

14．已知三棱锥，，，为的中点，平面，，，

是中点，与所成的角为，且.

（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.

15．在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，，.

（1）设是上一点，求证：平面平面.（2）求四棱锥的体积.

-中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，16．如图，在四棱锥P ABCD

∠=，1,

60

ABC

==为PC的中点

PA PB E

.

（1）求证： //PA 平面BDE ；（2）求三棱锥P BDE -的体积.

17．如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）111ABC A B C -中，点G 是AC 的中点．

（1）求证： 1//B C 平面1A BG ；（2）若AB BC =， 12AC AA =，求证： 11AC A B ⊥． 18．如图所示，四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ， SA AD ⊥， //AD BC ，

4

3

SA BC AB ==

24AD ==．

（1）证明：在线段SC 上存在一点E ，使得//ED 平面SAB ；

（2）若AB AC =，在（1）的条件下，求三棱锥S AED -的体积． 19．（本小题共12分）

如图，边长为3的正方形ABCD 所在平面与等腰直角三角形ABE 所在平面互相垂直，

AE AB ⊥，且2EM MD =， 3AB AN =.

（Ⅰ）求证： //MN 平面BEC ；（Ⅱ）求三棱锥E BMC -的体积.

20．如图，在四棱锥中，底面

是边长为2的正方形，

分别为

的中点，

平面

底面

.

（1）求证:

平面

；（2）若

，求三棱锥

的体积.

21．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证：

（Ⅰ）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （Ⅱ）A 1C //平面AB 1E ．

22．如图1，四边形ABCD 为等腰梯形， 2,1AB AD DC CB ====，将ADC ∆沿AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ， E 为AB 的中点，连接,DE DB .

（1）求证： BC AD ⊥； （2）求E 到平面BCD 的距离. 23．如图，四棱锥

中，底面

为菱形，

平面

，为

的中点．