山西省康杰中学09年高一数学竞赛选拔试题(缺答案)

2009年康杰中学高一数学竞赛选拔试题

2009.10

一、选择题（每小题5分）

1．f 是集合{}d c b a M ,,,=到{}2,1,0=N 的映射，且4)()()()(=+++d f c f b f a f 则不同的映射有（ ）个

A ．13

B ．19

C ．21

D ．23

2．已知函数）（x f 满足：对任意R y x ∈、都有,0)1()(2)()(22≠+=+f y f x f y x f 且 )2007(f 则的值为（ ）

A ．1002.5

B ．1003

C ．1003.5

D ．1004 3．函数)1,(2)(2-∞+-=在区间a ax x x f 上有最小值，则函数在区x

x f x g )()(=间 ），（∞+1上一定（ ）

A ．有最小值

B ．有最大值

C ．是减函数

D ．是增函数 4．满足方程11610145=+-++

+-+x x x x 的实数解x 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．无数多

5．将2008表示为)(+∈N k k 个互异的平方数之和，则K 的最小值是（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

6．给出函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4)

1(4)21()(x x f x x f x 则)(log 32f 等于（ ） A ．823- B ．111 C ．191 D ．24

1 7．已知9

99999⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=n 则n 的十进位制表示中，数码1有（ ）个 99个

A ．50

B ．99

C ．90

D ．100 8．已知1009921)(,*-+-+⋅⋅⋅+-+-=∈x x x x x f N x 的最小值等于（ ）

A ．2500

B ．4950

C ．5050

D ．5150

9．如图：已知在ABC Rt ∆中，35=AB ，一个边长为12的正方

形CDEF 内接于ABC ∆，则ABC ∆的周长为（ ）

A ．35

B ．40

C ．81

D ．84

10．已知b a 、是方程34log log 32733-

=+x x 的两个根，则b a +=（ ） A ．2710 B ．814 C ．8110 D ．81

28

11．2ln --=x e y x 的图象大致是图（ ）

A B C D

12．满足20073+++=x x y 的正整数对)(y x 、（ ）

A ．只有一对

B ．恰有两对

C ．至少有三对

D ．不存在 二、填空题，每小题4分

13．1)12()12)(12)(12(3242+++⋅⋅⋅++++=___________.

14．右以O 为圆心的两个同心圆中，MN 的大圆的直径，交

小圆于点P 、Q ，大圆的弦MC 交小圆于点A 、B ，

若BC AB MA OP OM ====,1,2，则MBQ ∆的

面积为__________.

15．已知1)2()()(≥-==x x f x f x f y 且满足时，=<=)(1,2)(x f x x f x 的则_______

16．六位数81ab 93是99的倍数，则整数a 、b 为___________.

三、解答题

17.（10分）设S 为满足下列两个条件所构成的集合

（i ）s ∉1 （ii ）s a s a ∈-∈11则

证明：（1）当s a s a ∈-∈11则

（2）若s ∈2，则在S 中必含有两个其他的数并写出这两个数。

18.（12分）如图4，自ABC ∆的外接圆 上的任一点M ，作BC MC ⊥于D ，P 是AM 上的一点，作,,,BC PG AB PF AC PE ⊥⊥⊥E 、F 、G 分别在AC 、AB 、AD 上，证明：E 、F 、G

三点共线

19.（10分）求]1,0[,1

11522∈+++=x x x x y 的值域。

20.（14分）对集合{

}2004,3,2,1⋅⋅⋅=A 及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的数开始，交替的减或加后继的数所得

的结果，例如，集合{}10,7,4,2,1的“交替和”是10-7+4-2+1=6，集合{}10,7的“交替和”是10-7=3，集合{}5的“交替和”是5

试求：A 的所有子集的“交替和”的总和

21.（12分）定义在]1,1[- 上的奇函数)(x f 满足1)1(=f ，且当a 、b ]1,1[-∈，0≠+b a 时，有0)()(>++b

a b f a f （Ⅰ）证明：)(x f 是]1,1[-上的增函数 （Ⅱ）证明：当13

1≤≤x 时x x f 3)(≤ （Ⅲ）若12)(2++≤am m x f 对所有的m ，a x 求恒成立]1,1[],1,1[-∈-∈的取值范围。

22.（14分）过年时，祖母给三个孙子压岁钱，总额400元，共有50元，20元，10元三种面额的纸币各若干张，供三个孙子选择，其中一个人拿钱的张数恰好等于另两人拿钱的张数之积，问各有多少种选择面额及张数的方式？