大一上高数试题和答案

郑州轻工业学院2013—2014学年

第一学期高等数学A(Ⅲ)试卷A

试卷号：A20140106

一、判断题（每题2分，共10分）

1、=→x x x 1sin lim 0x x 0lim →01sin lim 0=→x

x . （ ） 2、函数)(x f 在[]b a ,上连续且单调，0)()(

3、函数)(x f y =在0x 处可导的充分必要条件是)(x f y =在0x 处可微. （ ）

4、若0x 为)(x f 的极值点，则必有0)(0='x f . （ ）

5、()C x f dx x f +='⎰)()(. （ ）

二、单项选择题（每题3分，共15分） 1、=+→)(lim 0x f x x )(lim 0x f x x -→是)(lim 0x f x x →存在的（ C ）

A 充分条件但非必要条件

B 必要条件但非充分条件

C 充分必要条件

D 既非充分也非必要条件

2、当0→x 时，与x 等价的无穷小量是（ C ）

A x x sin -

B x x 22sin -

C 2

sin x x - D x cos 1- 3、函数)(x f 的)2(>n n 阶泰勒公式中2

0)(x x -项的系数是（ B ） A !21 B !2)("0x f C )("0x f D )(''!

21ξf （ξ在x 与0x 之间） 4、设)(x f y =是方程0)(4)(2)(=+'-''x f x f x f 的一个解，若0)(0>x f ，且0)(0='x f ，则)(x f y =在点0x （ A ）

A 取得极大值

B 取得极小值

C 某邻域内单调增加

D 某邻域内单调减小

5、⎰

=dx x xf )(''（ D ）。 A C x f x xf +'+)()(' B ;)()(''C x f x xf +-

C ;)()('C x f x xf ++

D ;)()('C x f x xf +-

三、填空题（每题3分，共15分）

1、=-+-→6)2sin(lim 22x x x x 5

1 2、求参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==t

b y t a x 22cos sin 所确定函数的导数=22dx y d 0 3、已知函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则至少存在一点),(b a ∈ξ， 使得=')(ξf a

b a f b f --)()( 4、⎰=+dx x x )1(122 C x x

+--arctan 1 5、

=+⎰dx x x 2sin 1cos C x +sin arctan

四．计算题（每题5分，共30分） 1、求极限⎪⎭⎫ ⎝

⎛--→111lim 0x x e x 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=→)1(1lim 0x x x e x x e 201lim x x e x x --=→x e x x 21lim 0-=→212lim 0==→x x x 2、设函数)(x f y =由方程e xy e y

=+所确定，求)(x f y =在)1,0(处的法线方程。 解：方程e xy e y =+两边对x 求导得; 0='++'y x y y e y

则 在)1,0(e

y 1-='， 其法线方程为ex y =-1，即1+=ex y

3、已知)1ln(2x x y ++=，求

dx dy 解：dx dy 22211)1(11x

x x x x x +=++++= 4、求函数2332x x y -=在]4,1[-的最大值和最小值。

解：x x y 662

-='

令0='y 得 1,021==x x 5)1(-=-f ，0)0(=f ，1)1(-=f ，80)4(=f

则该函数的最大值为80)4(=f ，最小值为5)1(-=-f 。

4、问b a ,为何值时，点)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点。

解：bx ax y 232+='，b ax y 26+=''，

因)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点， 则0261=+=''=b a y x ，31=+==b a y x 解得2

9,23=-=b a 5、求不定积分⎰+dx e

x 1 解：令1+=

x y ⎰+dx e x 1⎰=dt te t 2C x e C t e x t +-+=+-=+)11(2)1(21

五、（本题7分）利用夹逼准则，证明

11 (211)

1lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 证明：因11......211122222+≤++++++≤+n n n n n n n

n n

而n n n

n +∞→2lim 11

lim 2=+=∞→n n n 利用夹逼准则得11 (211)

1lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 六、（本题8分）讨论函数⎩⎨⎧>-≤+=01012)(2x x

x x x f 在0=x 处的连续性与可导性。 解：=-→)(lim 0x f x 1)12(lim 20=+-→x x ，=+→)(lim 0x f x 1)1(lim 0

=-+→x x =-→)(lim 0x f x )(lim 0

x f x +→ 所以函数在0=x 处的连续

=--→x

f x f x )0()(lim 0=-+-→x x x 112lim 2002lim 0=-→x x