(数学期望)分解
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设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布列
10 －4
P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
例:根据气象预报,某地区近期有小洪水的 概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地 区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水 时要损失60000元,遇到小洪水时要损失 10000元.为保护设备,有以下3种方案: 方案1:运走设备,搬运费为3800元. 方案2:建保护围墙,建设费为2000元.但围 墙只能防小洪水. 方案3:不采取措施,希望不发生洪水.试比 较哪种方案好. 分析:用X1,X2,X3分别表示三种方案的损失, 比较大小
则称EX= x1 p1+ x2p2+…+ xn pn 为X的数 学期望或平均数、均值，数学期望又简 称为期望。
( EX体现了离散型随机 变量取值的平均水平。)
例: 随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数
的期望 解：投掷骰子所得点数 的概率分布列为
123456
11 1111 P66 6666
所以 E 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1
a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
aE b
即 E(a b) aE b
练习:
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P 0.5 0.3 0.2
(1)则Eξ=
2.4 .
(2Baidu Nhomakorabea若η=2ξ+1，则Eη=
5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2
方案3:不采取措施,希望不发生洪水. 60000 , 有大洪水
采用第3种方案,有 X3= 10000 , 有小洪水 0 , 无洪水
(计算各个方案的期望值,再比较)
(计算各个方案的期望值,再比较)
EX1=3800 EX2=62000×P(X2=62000)+2000× P(X2=2000)=62000×0.01+2000×(10.01)=2600 EX3=60000×P(X3=60000)+10000× p(X3=10000)+0×P(X3=0)=60000×0.01+ 10000×0.25=3100
思考下面的问题:
某射手射击所得环数 的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
在100次射击之前,试估计该射手100次射击的平均环数.
分析：平均环数=总环数100
由概率可知,在 100 次射击之前,估计得i 环的次数为 P( i)100 .
结论2:若X服从两点分布,则EX=p
问题:根据上述问题的计算，猜想：若 X~B（ n，p），则EX=？
结论3：若X~B（ n，p），则EX= n p
7
证明：服从二项分布 X ~ B(n, p)的随机变量
的期望 EX nP.
证明： P(X k) Cnk pk (1 p)nk Cnk pkqnk
例: 一次数学单元测验由20个选择题 构成，每个选择题有4个选项其中有且 仅有一个选项是正确的答案，每题选 择正确答案得5分，不作出选择或选错 不得分，满分100分，学生甲选对任一 题的概率为0.9，学生乙则在测验中对 每题都从4个选项中随机地选择一个， 求学生甲和学生乙在这次数学单元测 验中的成绩的期望。
666666
(1 2 3 4 5 6) 1 6
3.5
结论1：若 a b, 则 E aE b
P( axi b)
所以， 的分布列为
P(
xi
), i
1, 2, 3
ax1 b ax2 b
P p1
p2
axipi b
axn b
pn
E (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4.
练习：篮球运动员在比赛中每次罚球 命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员 罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的 得分 X 的期望
解：因为 P(X 1) 0.7 ，P(X 0) 0.3 ，
所以 EX 1 P(X 1) 0 P(X 0)
1 0.7 0 0.3 0.7
解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的 选择题个数分别是 和η,则
ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)， 所以Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这 次测验中的成绩分别是5ξ和5η.这样，他们在 测验中的成绩的期望分别是
E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90 E(5η)＝5Eη＝5×5＝25 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分 吗?他的均值为90分的含义是什么?
EX 0 Cn0 p0qn 1 Cn1 p1qn1
kCnk pk qnk nCnn pnq0
np(Cn01
p0q
n1
C1 n1
p1qn2
kCnk11
p q k1 (n1)(k1)
C
n1 n1
pn1q
0
)
np( p q)n1 np
所以，若X ~ B(n, P),则EX nP
方案1:运走设备,搬运费为3800元.
采用第1种方案,有没有洪水,都要损失 3800元,即X1=3800
方案2:建保护围墙,建设费为2000元.但围墙 只能防小洪水.
采用第2种方案,遇到大洪水时,损失 2000+60000=62000元;没有大洪水时,损失 2000元,即
62000 , 有大洪水 X2= 2000 , 无大洪水
所以,总环数约等于 （4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22)× 100. 故100次射击的平均环数约等于
4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22=8.32.
定义:一般地，若离散型随机变量X的概 率分布为
X x1 x2 x3 …… xn ……
P p1 p2 p3 …… pn ……
不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的 平均成绩大约是90分
思考:某商场的促销决策：统计资料表明，每年 端午节商场内促销活动可获利2万元；商场外促 销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨可 则损失4万元。6月6日气象预报端午节下雨的概 率为40%，商场应选择哪种促销方式？
解:因为商场内的促销活动可获效益2万元
10 －4
P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
例:根据气象预报,某地区近期有小洪水的 概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地 区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水 时要损失60000元,遇到小洪水时要损失 10000元.为保护设备,有以下3种方案: 方案1:运走设备,搬运费为3800元. 方案2:建保护围墙,建设费为2000元.但围 墙只能防小洪水. 方案3:不采取措施,希望不发生洪水.试比 较哪种方案好. 分析:用X1,X2,X3分别表示三种方案的损失, 比较大小
则称EX= x1 p1+ x2p2+…+ xn pn 为X的数 学期望或平均数、均值，数学期望又简 称为期望。
( EX体现了离散型随机 变量取值的平均水平。)
例: 随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数
的期望 解：投掷骰子所得点数 的概率分布列为
123456
11 1111 P66 6666
所以 E 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1
a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
aE b
即 E(a b) aE b
练习:
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P 0.5 0.3 0.2
(1)则Eξ=
2.4 .
(2Baidu Nhomakorabea若η=2ξ+1，则Eη=
5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2
方案3:不采取措施,希望不发生洪水. 60000 , 有大洪水
采用第3种方案,有 X3= 10000 , 有小洪水 0 , 无洪水
(计算各个方案的期望值,再比较)
(计算各个方案的期望值,再比较)
EX1=3800 EX2=62000×P(X2=62000)+2000× P(X2=2000)=62000×0.01+2000×(10.01)=2600 EX3=60000×P(X3=60000)+10000× p(X3=10000)+0×P(X3=0)=60000×0.01+ 10000×0.25=3100
思考下面的问题:
某射手射击所得环数 的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
在100次射击之前,试估计该射手100次射击的平均环数.
分析：平均环数=总环数100
由概率可知,在 100 次射击之前,估计得i 环的次数为 P( i)100 .
结论2:若X服从两点分布,则EX=p
问题:根据上述问题的计算，猜想：若 X~B（ n，p），则EX=？
结论3：若X~B（ n，p），则EX= n p
7
证明：服从二项分布 X ~ B(n, p)的随机变量
的期望 EX nP.
证明： P(X k) Cnk pk (1 p)nk Cnk pkqnk
例: 一次数学单元测验由20个选择题 构成，每个选择题有4个选项其中有且 仅有一个选项是正确的答案，每题选 择正确答案得5分，不作出选择或选错 不得分，满分100分，学生甲选对任一 题的概率为0.9，学生乙则在测验中对 每题都从4个选项中随机地选择一个， 求学生甲和学生乙在这次数学单元测 验中的成绩的期望。
666666
(1 2 3 4 5 6) 1 6
3.5
结论1：若 a b, 则 E aE b
P( axi b)
所以， 的分布列为
P(
xi
), i
1, 2, 3
ax1 b ax2 b
P p1
p2
axipi b
axn b
pn
E (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4.
练习：篮球运动员在比赛中每次罚球 命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员 罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的 得分 X 的期望
解：因为 P(X 1) 0.7 ，P(X 0) 0.3 ，
所以 EX 1 P(X 1) 0 P(X 0)
1 0.7 0 0.3 0.7
解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的 选择题个数分别是 和η,则
ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)， 所以Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这 次测验中的成绩分别是5ξ和5η.这样，他们在 测验中的成绩的期望分别是
E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90 E(5η)＝5Eη＝5×5＝25 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分 吗?他的均值为90分的含义是什么?
EX 0 Cn0 p0qn 1 Cn1 p1qn1
kCnk pk qnk nCnn pnq0
np(Cn01
p0q
n1
C1 n1
p1qn2
kCnk11
p q k1 (n1)(k1)
C
n1 n1
pn1q
0
)
np( p q)n1 np
所以，若X ~ B(n, P),则EX nP
方案1:运走设备,搬运费为3800元.
采用第1种方案,有没有洪水,都要损失 3800元,即X1=3800
方案2:建保护围墙,建设费为2000元.但围墙 只能防小洪水.
采用第2种方案,遇到大洪水时,损失 2000+60000=62000元;没有大洪水时,损失 2000元,即
62000 , 有大洪水 X2= 2000 , 无大洪水
所以,总环数约等于 （4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22)× 100. 故100次射击的平均环数约等于
4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22=8.32.
定义:一般地，若离散型随机变量X的概 率分布为
X x1 x2 x3 …… xn ……
P p1 p2 p3 …… pn ……
不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的 平均成绩大约是90分
思考:某商场的促销决策：统计资料表明，每年 端午节商场内促销活动可获利2万元；商场外促 销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨可 则损失4万元。6月6日气象预报端午节下雨的概 率为40%，商场应选择哪种促销方式？
解:因为商场内的促销活动可获效益2万元