单摆的等效摆长、等效重力加速度、等效模型问题
用单摆测量重力加速度
2.5 实验：用单摆测量重力加速度问题引入：理论上，与重力加速有关的物理现象都可以用来测量重力加速度g ，例如：利用自由落体运动就可以测量g ，也可以研究平抛运动测量g ，上一节课中我们又学习了单摆的周期公式T ＝2πlg，我们是否能从该公式出发设计一个实验用来单摆测量重力加速度g 呢？解析：能，由公式T ＝2πlg可知，只需要设计一个单摆，测出单摆的长度l ，周期T ，然后代入公式即可测出重力加速度g. 一、实验原理：单摆在摆角很小时，由单摆周期公式T ＝2πl g ，得g ＝4π2lT2，测得单摆的摆长l 和振动周期T ，就可以测出当地的重力加速度g ． 二、实验器材：铁架台及铁夹、金属小球(最好上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(1 m 左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺． 三、实验步骤： 1．做单摆：让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结，把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记． 2．测摆长：l ＝ l ′＋ d2①．用毫米刻度尺量出悬线长l ′，如图甲所示． ②．用游标卡尺测出摆球的直径d ，如图乙所示． ③．摆线悬点固定方法：用“夹”不用“绕”3．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度，且满足偏角小于5°，然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，用秒表测量单摆完成30次(或50次)全振动的时间t ，计算出平均摆动一次的时间T ＝tn，即为单摆的振动周期．（注意：应以摆球经平衡位置时开始或停止计时.） 4．求重力加速度：把测得的周期和摆长的数值代入公式，求出重力加速度g 的值．5．多次改变摆长，重测周期，并记录数据.四、数据处理：方案一：平均值法改变摆长，重做几次实验．计算出每次实验的重力加速度．最后求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即可作为本地区的重力加速度．分别以l和T 2为纵坐标和横坐标，作出l ＝g4π2T 2的图象，它应该是过原点的一条直线，根据这条直线可以求出斜率k，则重力加速度值g ＝4π2k.由于l－T的图象不是直线，不便于进行数据处理，所以采用l－T 2的图象，目的是将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力加速度．五、误差分析：1．系统误差：主要来自于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定，摆球和摆长是否符合要求，最大摆角是否不超过5°，是否在同一竖直平面内摆动等。
类单摆问题(解析版)-高考物理热点模型
类单摆问题学校：_________班级：___________姓名：_____________模型概述1.对l 、g 的理解1)公式中l 是摆长，即悬点到摆球球心的距离。
①普通单摆，摆长l =l +D2，l ′为摆线长，D 为摆球直径。
②等效摆长：(a )图中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为l sin α，其周期T =2πl sin αg。
(b )图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。
2)等效重力加速度①公式中g 是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
②等效重力加速度：一般情况下，公式中g 的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。
如图中等效重力为g =g sin α，其周期T =2πlg sin α2.几种类单摆模型1)一切在竖直放置的光滑圆弧形内轨道上的小幅度振动(运动范围远小于圆弧半径)都可以等效成单摆模型，其等效摆长l 即为圆弧半径R ，质点的振动周期为T =2πRg2)非惯性参考系中的单摆周期公式T=2πLg适合于惯性系中单摆在竖直平面内做小幅振动的情况，如果单摆处于做匀变速运动的非惯性参考系中，仍可类比竖直平面内的单摆，通过求解平衡位置(相对参考系静止的位置)时细线拉力的平衡力而得到等效重力加速度。
①参考系具有竖直方向的加速度时如：在一升降机中有一摆长为L的单摆，当升降机以加速度a竖直向上匀加速运动时，如图所示,平衡位置仍在悬点正下方,根据牛顿第二定律易知摆球静止在平衡位置时，摆线拉力F T的平衡力F=mg+ma，等效重力加速度g =Fm=g+a，故其振动周期T=2πLg+a同理知，当升降机以加速度a减速上升时单摆振动周期T=2πLg-a。
②参考系具有水平方向加速度时如：在沿水平路面向左匀加速行驶的车厢内有一单摆，当它做小幅振动时，平衡位置(相对车厢静止的位置)不在悬点正下方，根据受力分析知摆球静止在平衡位置时，摆线拉力的平衡力F=(mg)2+(ma)2，F产生的等效重力加速度g =Fm=g2+a2，故此单摆的振动周期T=2πLg2+a2。
《单摆》典型例题
《单摆》典型例题例1：关于单摆的说法，正确的是（）A．单摆摆球从平衡位置运动到正的最大位移处时的位移为A（A为振幅），从正的最大位移处运动到平衡位置时的位移为－A．B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿运动轨迹切线方向的分力D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零出题目的：此题主要考查单摆摆动中的回复力掌握情况.解析：简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零，摆球的回复力由合外力沿圆弧切线方向的分力（等于重力沿圆弧切线方向的分力）提供，合外力在摆线方向的分力提供向心力，摆球经最低点（振动的平衡位置）时回复力为零，但向心力不为零，所以合外力不为零，（摆球到最高点时，向心力为零，回复力最大，合外力也不为零）．正确选项为C．例2：如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的B处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有（）．A．A球先到达C点B．B球先到达C点C．两球同时到达C点D．无法确定哪一个球先到达C点出题目的：此题考查单摆周期公式的灵活运用情况.解析：做自由落体运动，到C所需时间，R为圆弧轨道的半径．因为圆弧轨道的半径R很大，B球离最低点C又很近，所以B球在轨道给它的支持力和重力的作用下沿圆弧作简谐运动（等同于摆长为R的单摆），则运动到最低点C所用的时间是单摆振动周期的，即，所以A球先到达C点．例3：如图所示为一双线摆，它是在一水平天花板上用两根等长细线悬挂一小球而构成，每根摆线的长均为l，摆线与天花板之间的夹角为，当小球在垂直纸面的平面内做简谐运动时，其振动的周期是多少？出题目的：此题主要考查振动周期公式中摆长的实际确定.解析：双线摆可等效为摆长为的单摆，利用单摆振动的周期公式得双线摆的周期为。
例4：北京地区重力加速度，南京地区重力加速度。
摆钟快慢中“万能公式”的应用
1 / 7摆钟快慢中“万能公式”的应用在机械振动中，摆钟快慢的计算问题往往是同学们学习的难点。
下面就谈谈对这类问题理解和处理。
正确理解摆钟走时原理 摆钟实际上是利用钟摆的周期性摆动，通过一系列的机械传动，从而带动钟面上的指针转动。
钟摆每摆动一次，指针就转过一个角度，并且这个角度θ0是固定的，其大小就表示钟面走过的时间。
对走时准确的摆钟而言，钟摆摆一次，实际耗时T 0（即摆的振动周期），指针转过的角度θ0当然就应表示钟面走时为T 0。
对走时不准的摆钟而言，钟摆摆一次，虽然实际耗时T （即不准摆的振动周期），但由于钟机械设计的关系，钟摆带动指针转动的角度依旧是θ0，所以钟面上所显示的时间（并非真实时间）依旧是T 0，正是由于T T ≠0，从而引起摆钟走时不准。
一条重要的计算公式 设有一段时间t 0（比如1天），由前面的分析可知不准钟摆动的次数为T t 0。
由于每摆一次，钟面上所显示的时间依旧是T 0，所以在这段t 0时间内，不准钟钟面所显示的时间为00T Tt ⋅，因而该钟比标准钟快（或慢）： 000t T Tt t -⋅=∆ 此即钟摆快慢的计算公式，此公式容易理解，也便于记忆，更重要的是它方便实用，不妨称之为钟摆问题中的“万能公式”。
下面举例说明：例1．某摆钟的摆长为l =30cm ，一昼夜快10min ，则应如何调整摆长，才能使摆钟走时准确？ 解答：由题意可知min 10=∆t ，g l T π2=，设调整好后的摆长为l 0，则gl T 002π=，直接代入公式000t T Tt t -⋅=∆，可解得l 0=30.418cm 。
即应使摆长调整至30.418cm 。
例2．某摆钟，当其摆长为l 1时，在一段时间内快了t ∆；当其摆长为l 2时，在同样一段时间内慢了t ∆，试求走时准确摆钟的摆长。
解答：由题意易得g l T 112π=，g l T 222π=，设标准摆钟的摆长为l 0，则gl T 002π=。
“等效重力场”模型(解析版)--2024届新课标高中物理模型与方法
2024版新课标高中物理模型与方法“等效重力场”模型目录一.“等效重力场”模型解法综述二．“等效重力场”中的直线运动模型三．“等效重力场”中的抛体类运动模型四．“等效重力场”中的单摆类模型五．“等效重力场”中的圆周运动类模型一.“等效重力场”模型解法综述将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法．中学物理中常见的等效变换有组合等效法(如几个串、并联电阻器的总电阻)；叠加等效法(如矢量的合成与分解)；整体等效法(如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动)；过程等效法(如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能)“等效重力场”建立方法--概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系．具体对应如下：等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场等效重力重力、电场力的合力等效重力加速度等效重力与物体质量的比值等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二．“等效重力场”中的直线运动模型【运动模型】如图所示，在离坡底为L的山坡上的C点树直固定一根直杆，杆高也是L．杆上端A到坡底B之间有一光滑细绳，一个带电量为q、质量为m的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角θ=30º．若物体从A点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间．(g=10m/s2，sin37º=0.6，cos37º=0.8)因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存在，即带电小球受到的重力和电场力的合力方向沿绳的方向．建立“等效重力场”如图所示“等效重力场”的“等效重力加速度”，方向：与竖直方向的夹角30°，大小：g =gcos30°带电小球沿绳做初速度为零，加速度为g 的匀加速运动S AB=2L cos30° ①S AB=12g t2 ②由①②两式解得t=3L g“等效重力场”的直线运动的几种常见情况匀速直线运动匀加速直线运动匀减速直线运动1如图所示，相距为d的平行板A和B之间有电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场．电场中C点距B板的距离为0.3d，D点距A板的距离为0.2d，有一个质量为m的带电微粒沿图中虚线所示的直线从C点运动至D点，若重力加速度为g，则下列说法正确的是()A.该微粒在D点时的电势能比在C点时的大B.该微粒做匀变速直线运动C.在此过程中电场力对微粒做的功为0.5mgdD.该微粒带正电，所带电荷量大小为q=mg E【答案】 C【解析】 由题知，微粒沿直线运动，可知重力和电场力二力平衡，微粒做匀速直线运动，微粒带负电，B、D 错误；微粒从C点运动至D点，电场力做正功，电势能减小，A错误；此过程中电场力对微粒做的功为W= Fx=mg(d-0.3d-0.2d)=0.5mgd，C正确．2(2023·全国·高三专题练习)AB、CD两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。
细说等效重力加速度
细说等效重力加速度（343100）江西省吉安县二中尹国圣单摆的周期公式：，摆长指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值。
此公式是惠更斯从实验中总结出来的，在有些振动系统中不一定是绳长，g也不一定为9.8 m/s2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题．本文着重谈谈如何来等效重力加速度。
公式中的g由单摆所在的空间位置决定．由知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g’，代入公式，即g 不一定等于9.8 m/s2．g还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g等＝g＋a，再如，单摆若在轨道上运行的航天飞机内，摆球完全失重，回复力为零，则重力加速度的等效值g等＝0，所以周期为无穷大，即单摆将不再摆动．当单摆有竖直向上的加速度a时，等效重力加速度为g等＝g＋a；当单摆有竖直向下的加速度a(a<g)时，等效重力加速度为g等＝g－a，a＞g时，等效重力加速度g等＝a－g.比如当单摆有水平加速度a时（如加速运动的车厢内），等效重力加速g等＝，平衡位置已经改变．请同学们看个例子：在下图中，几个相同的单摆处在不同的条件下，关于它们的周期的关系，下列判断正确的是（）A. T1＞T2＞T3＞T4；B. T1＜T2＝T3＜T4；C. T1＞T2＝T3＞T4；D. T1＜T2＜T3＜T4．解析：单摆周期与重力加速度有关，由重力沿运动方向的分力提供回复力．当单摆处于(1)图所示的条件下时，摆球偏离平衡位置后，是重力平行斜面的分量(mgsinθ)沿切向的分量提供回复力，在图示的条件下，回复力相对竖直放置的单摆的回复力减小，加速运动的加速度减小，回到平衡位置的时间变长，即周期T变大，所以图(1)中的单摆的周期大于竖直放置单摆的周期．此时；对于(2)图所示的条件，带正电的摆球在振动过程中要受到天花板上带正电小球斥力，但两球间的斥力与运动的方向总是垂直，不影响回复力，故单摆的周期不变，与(3)图所示的单摆周期相同．即；对于(4)图所示的条件下，单摆在升降机内，与升降机一起做加速上升的运动，摆球在该升降机中是超重的，相当于摆球的重力增大，沿摆动方向分量也增大，也就是回复力增大，摆球回到相对平衡的位置时间变短，故周期变小．此时。
单摆的等效摆长、等效重力加速度、等效模型问题解读
3. 等效重力加速度g’由单摆所处的物理环境决定。 如图所示，单摆甲放在空气中，周期为T甲,单 摆乙带正电，放在匀强磁场中，周期为T乙, 单 摆丙带正电，放在匀强电场中，周期为T丙, 单 摆丁放在静止在水平面上的光滑斜面上，周 期为T丁,那么（ ）
A、T甲> T乙> T丙> T丁 B、T乙> T甲=T丙> T丁 C、T丙> T甲> T丁> T乙 D、T丁>T甲= T乙> T丙
一、单摆的概念
单摆是对现实摆的抽象 是一种理想化的物理模型
足够长
理 摆 足够轻不计质量
想线
单摆
化 的
不可伸长
条 件
足够小球的半
摆 径远小于线长
球
球小而重
（密度大）
2.单摆的运动
受T
力 分
析 mg
指向悬点
mgcosθ
θ
L
(提供向心力)
x mgsinθ 指向平衡位置
(提供回复力) mgsinθ
mgcosθ
3. 两个相同的弹性小球，分别挂在不能伸长 的细线上，两线互相平行．两小球的重心位于 同一水平线上，而且两球相互接触，第一个小 球的线长L1=1m，第二个小球线长 L2=0.25m），把第二个小球拉开一个不大的 角度后释放，它在4秒内和第一个小球共碰几次？
mg
结 (1)θ<50时,单摆是简谐运动. 论 (2)单摆振动的回复力是重力的一个
分力,不是重力和拉力的合力
二. 单摆的周期
T 2 L
g 单摆周期T与它们的关系
振幅A T与A无关
单摆的等时性
周期T
质量m
T与m无关
摆长L
摆长L越长 T越大
单摆的等效摆长等效重力加速等效模型问题
Aθ
L
B
0
L
C
一摆长为L的单摆,在悬点正下方5L/9处有 一钉子,则这个单摆的周期是:
可知:
L
T
L g
4L 9g
练习. 如图所示，摆长为L的单摆，原来的周期
为T。现在在悬点O的正下方A点固定一颗钉子，
OA=L/3，令单摆由平衡位置向左摆动时以A为
悬点作简谐振动，则这个摆完成一次全振动所
需的时间是
如图有一带电量为＋q的小球，用长为
L的绝缘细线悬挂在匀强电场E中，匀
强电场方向与重力方向相同，当小球
小角度摆动时，求摆动周期。（小球
半径为r，重力加速度为g）
E
解：单摆不摆动时 在平衡位置， 摆绳拉力 T=mg+Eq
等效重力加速度 g' T g Eq mm
则T 2
L g Eq
m
变形：若把匀强电场变为水平向右呢？
0
T 2 L g sin
等效重力加速度
一单摆的悬点处有一带正电q小球，悬挂的 小球也带正电q，摆长为L，小球半径可忽 略，求单摆做小角度摆动时的周期
+
分析：此时小球除去绳子拉力受重力和库仑
力，而库仑力方向不断变化！故不能应用所
述结论解题。应当考虑此时回复力的变化，
看系统的K的变化！
T 2 L
+
一、单摆的概念
单摆是对现实摆的抽象 是一种理想化的物理模型
足够长
理 摆 足够轻不计质量
想线
单摆
化 的
不可伸长
条 件
足够小球的半
摆 径远小于线长
球
球小而重
（密度大）
2.单摆的运动
受T
摆钟问题中的“万能公式”
摆钟问题中的“万能公式”在机械振动中，摆钟快慢的计算问题往往是同学们学习的难点。
下面就谈谈对这类问题理解和处理。
正确理解摆钟走时原理 摆钟实际上是利用钟摆的周期性摆动，通过一系列的机械传动，从而带动钟面上的指针转动。
钟摆每摆动一次，指针就转过一个角度，并且这个角度θ0是固定的，其大小就表示钟面走过的时间。
对走时准确的摆钟而言，钟摆摆一次，实际耗时T 0（即摆的振动周期），指针转过的角度θ0当然就应表示钟面走时为T 0。
对走时不准的摆钟而言，钟摆摆一次，虽然实际耗时T （即不准摆的振动周期），但由于钟机械设计的关系，钟摆带动指针转动的角度依旧是θ0，所以钟面上所显示的时间（并非真实时间）依旧是T 0，正是由于T T ≠0，从而引起摆钟走时不准。
一条重要的计算公式 设有一段时间t 0（比如1天），由前面的分析可知不准钟摆动的次数为T t 0。
由于每摆一次，钟面上所显示的时间依旧是T 0，所以在这段t 0时间内，不准钟钟面所显示的时间为00T Tt ⋅，因而该钟比标准钟快（或慢）： 000t T Tt t -⋅=∆ 此即钟摆快慢的计算公式，此公式容易理解，也便于记忆，更重要的是它方便实用，不妨称之为钟摆问题中的“万能公式”。
下面举例说明：例1．某摆钟的摆长为l =30cm ，一昼夜快10min ，则应如何调整摆长，才能使摆钟走时准确？ 解答：由题意可知min 10=∆t ，g l T π2=，设调整好后的摆长为l 0，则gl T 002π=，直接代入公式000t T Tt t -⋅=∆，可解得l 0=30.418cm 。
即应使摆长调整至30.418cm 。
例2．某摆钟，当其摆长为l 1时，在一段时间内快了t ∆；当其摆长为l 2时，在同样一段时间内慢了t ∆，试求走时准确摆钟的摆长。
解答：由题意易得g l T 112π=，g l T 222π=，设标准摆钟的摆长为l 0，则gl T 002π=。
直接代入公式000t T Tt t -⋅=∆有： 0010t T T t t -⋅=∆ （1） 0100T T t t t ⋅-=∆ （2） 解得：221210)(4l l l l l +=。
高中物理 探究复杂摆中等效摆长及等效重力加速度的概念
高中物理探究复杂摆中等效摆长及等效重力加速度的概念面对目前的新课程改革，本人尝试着用实验探究的方法讲授复杂单摆的周期公式。
在此课中，我先提问学生简易单摆的周期公式（T=2π√L/g），其次，给学生在黑板上画出两个装置：一是双线摆，二是光滑斜面上一摆球。
让学生猜测它们的周期应等于什么？学生绝大部分猜测应是等效摆长对应的周期，然后把学生分成两组分别做上述实验，进行验证自己的假设是否正确。
实验后，学生认为对双线摆周期的猜测是正确的，但对光滑斜面上的摆的周期猜测是错的。
此时，教师引导：简易单摆中g应是不摆动时拉力F与质量m的比值，即g=F/m，那么，在斜面上拉力F=mgsinθ，公式中的重力加速度是否可换成F/m，即gsin θ呢？学生通过对比，得出光滑斜面的摆的周期确实与T=2π√L/g计算的周期相同。
此时，教师给出等效重力加速度的概念，由学生得出T=2π√L/g中可外推为等效重力加速度。
关键词：复杂摆周期等效摆长等效重力加速度科学探究活动案例——探究复杂摆中等效摆长及等效重力加速度的概念一、问题的提出：单摆的周期是机械振动中的一个重要组成部分，它反映了周期与摆长及重力加速度的关系。
从课本中我们学习了最简单的单摆周期公式，那么学生应该如何从最简单的单摆处理稍复杂的单摆呢？过去我们在教学中往往是教师直接给出等效摆长及等效重力加速度的概念，向学生强行灌输，不利于学生主动参与和“在做中学”，我认为应该由教师在实验室或课外引导学生进行探究活动，它的目的绝不只是让学生记住“结论”，而是鼓励学生在探究过程中积极动手动脑，通过自主的实验研究，体验到学科学的乐趣，了解科学的探索能力。
从探究的主体来看，学生已经具备了简单单摆的知识，具有一定的实验操作能力，能设计简单的实验。
从探究的目的来看，该实验能培养学生拟订简单的科学探究计划的实验方案的能力，学会处理实验数据，得出实验结论的能力。
从探究的过程来看，该实验目的明确，能锻炼学生的思维能力。
高中物理单摆模型
摆的研究物理模型是实际物体的抽象和概括, 它反映了客观事物的主要因素与特征, 是连接理论和应用的桥梁. 我们把研究客观事物主要因素与特征进行抽象的方法称之为模型方法, 是物理学研究的重要方法之一. 中学物理习题都是依据一定的物理模型进行构思、设计而成的, 因此, 在解答物理习题时, 为使研究复杂物理问题方便起见, 往往通过抽象思维或形象思维, 构建起描述物理问题的模型, 使用物理模型方法, 寻找事物间的联系, 迅速巧妙地解决物理问题. 单摆就是实际摆的一种理想化物理模型，在处理问题时可以起到柳暗花明的功效，主要有以下应用。
【单摆模型简述】在一条不可伸长的、忽略质量的细线下端栓一可视为质点的小球, 当不必考虑空气阻力的影响, 在摆角很小的情况下可看作简谐运动, 其振动周期公式可导出为.2g l T π=【视角一】合理联想, 挖掘相关物理量.例1. 试用秒表、小石块、细线估算电线杆的直径.分析与解: 要估算电线杆的直径, 题目中没有给刻度尺, 因此, 用什么来替代刻度尺是问题的关键. 秒表、小石块似乎对测量电线杆的直径没有直接关系；若是联想到小石块可以与细线组成单摆， 秒表可用来测量时间，本题便不难解决了。
用等于n 个电线杆圆周长的细线与小石块组成单摆，用秒表测出单摆m （30～50）次全振动所用时间t ，则单摆振动的周期,4222ππg T l g l T =⇒=电线杆的圆周长n l L =，电线杆的直径,πL d =有.4322πnm g l d = 【视角二】迁移与虚拟，活化模型方法. 例2. 一倾角α很小(α＜2°)的斜劈固定在水平地面, 高为h ［如图1(a)］.光滑小球从斜劈的顶点A 由静止开始下滑, 到达底端B 所用时间为t 1. 如果过A 、B 两点将斜劈剜成一个光滑圆弧面, 使圆弧面在B 点恰与底面相切, 该小球从A 由静止开始下滑到B 所用的时间为t 2. 求t 1与t 2的比值.分析与解: 当小球在斜劈上做时, 有=αsin h .2sin 1sin 21121g h t t g ⋅=⇒⋅αα 将斜劈剜成光滑圆弧面后.虚拟并迁移单摆模型, 因2α ＜4°,小球在圆弧面运动时受重力与指向圆心的弹力作 用, 这与单摆振动时的受力 ——重力与指向悬点的拉力 类似. 如图1(b)所示. 则小球 在圆弧面上的运动就是我们熟知的简谐运动. 这样能使问题化繁为简, 化难为易, 迅速找到解决问题的途径. B (b)h 图1因为L-h=Lcos2α. 所以αα2sin 22cos 1h h L =-=. 小球沿圆弧面从A 运动到B 的时间为单摆周期的1/4. 故.2sin 42412g h g L t αππ=⋅=所以, t 1∶t 2=4∶π. 【视角三】 等效变换, 化解习题难度.例3. 如图2(a)所示是一种记录地震装置的水平摆, 摆球m 固定在边长为L 、质量可略去不计的等边三角形的顶角A 上, 它的对边BC 跟竖直线成不大的夹角α,摆球可绕固定轴BC 摆动, 求摆球作微小摆动时的周期.分析与解: 该题有多种求解方法, 若采用等效法, 能化解难度, 关键是求等效摆长, 因摆球在竖直平面内平衡, 关于轴BC 做微小振动, 将摆球所受重力作用线做反向延长, 在转轴BC 延长线上得交点O, 取O 点为等效单摆的悬点, 则OA 为等效摆长. 在图2(b)的三角形OCA中运用正弦定理, 有αsin 120sin L OA = 则αsin23L OA =故απsin 232g L T =.从公式中可看出，单摆周期与振幅和摆球质量无关．从受力角度分析，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回复力越大，加速度（gsin ）越大，在相等时间内走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长l 和重力加速度g 有关．在有些振动系统中l 不一定是绳长，g 也不一定为9.8m/s ，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题．物理上有些问题与单摆类似，经过一些等效可以套用单摆的周期公式，这类问题称为“等效单摆”．等效单摆在生活中比较常见．除等效单摆外，单摆模型在其他问题中也有应用．图2说明质点振动系统的一种，是最简单的摆。
单摆的等效摆长、等效重力加速度、等效模型问题.
不论悬点如何运动或还是受别的作用力，等效重力加 速度的取值总是单摆不振动时，摆线的拉力与摆球质量 的比值(g=T/m)。
不论悬点如何运动或还是受别的作用力，等效重力加速度的取 值总是单摆不振动时，摆线的拉力与摆球质量的比值(g=T/m)。 注意：此结论在除去绳子拉力或者等效拉力外，其它力是恒力的 情况下普遍适用，否则要由单摆周期的本质来考虑！
3. 两个相同的弹性小球，分别挂在不能伸长 的细线上，两线互相平行．两小球的重心位于 同一水平线上，而且两球相互接触，第一个小 球的线长L1=1m，第二个小球线长L2=0.25m）， 把第二个小球拉开一个不大的角度后释放，它 在4秒内和第一个小球共碰几次？
+
分析：此时小球除去绳子拉力受重力和库仑 力，而库仑力方向不断变化！故不能应用所 述结论解题。应当考虑此时回复力的变化， 看系统的K的变化！
+
L T 2 g
模型等效
如图，o点正下方有一半径为R的光滑圆弧轨道， 圆心位置恰好为o点，在弧形轨道上接近o‘（o 点正下方）处有一小球A，令小球A无初速释放， 求小球运动到o’的时间 o
②等效重力加速度
例. 如图，一小球用长为L的细线系于与水平面 成 角的光滑斜面内，小球呈平衡状态。若使细 线偏离平衡位置，其偏角小于5o，然后将小球由 静止释放，则小球到达最低点所需的时间为多少？
0
L T 2 g sin
等效重力加速度
一单摆的悬点处有一带正电q小球，悬挂的 小球也带正电q，摆长为L，小球半径可忽略， 求单摆做小角度摆动时的周期
A
o’
模型等效
如图所示，光滑圆弧槽半径为R，A为最低点， C到A距离远小于R，两质点B和C都由静止开始 释放，问哪一个小球先到A点？
单摆等效重力加速度的理解知乎
单摆等效重力加速度的理解知乎一、什么是单摆？单摆是由一个质点（重物）悬挂在一根不可伸缩、无质量的绳子上形成的一种物理系统。
在单摆运动中，重物可以在一个平面内作周期性的来回摆动，这种运动被称为简谐运动。
二、单摆的等效重力加速度1. 单摆的等效重力加速度指的是在单摆运动中，与其产生同样运动效果的重力加速度。
为了更好地理解和计算单摆的运动特性，我们引入了等效重力加速度的概念。
2. 等效重力加速度与实际重力加速度的关系单摆的等效重力加速度可以被理解为单摆系统中，为了使得质点在摆动时具有相同的周期、频率和振幅，所需的一种虚拟的重力加速度。
这个虚拟的重力加速度已经考虑了摆长、质点质量和摆角度等影响因素，使得单摆的运动特性可以用一个等效的重力加速度来描述和计算。
三、单摆等效重力加速度的理解在物理学中，单摆等效重力加速度是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解单摆系统的运动规律和特性。
通过对单摆等效重力加速度的理解，我们可以深入探究单摆运动背后的物理原理，并将其应用到实际生活和科学研究中。
1. 物理原理的探索通过对单摆等效重力加速度的理解，我们可以深入探究单摆运动的物理原理。
从振动力学和动力学的角度来分析，可以发现单摆等效重力加速度与摆长、质点质量和摆角度等因素密切相关，这为我们理解简谐运动的规律提供了重要的线索。
2. 应用领域的拓展单摆等效重力加速度的理解也可以帮助我们将其应用到更广泛的领域中。
在工程技术和科学研究中，通过对单摆系统的等效重力加速度进行深入研究，可以优化系统设计、改进运动控制和提高物理实验的精确度。
3. 深入理解的重要性对单摆等效重力加速度的深入理解有助于我们更全面、深刻和灵活地掌握单摆运动的规律和特性。
而这种深入理解不仅有助于学术研究和科学探索，也可以为我们日常生活中的问题解决和创新思维提供有益的启示。
四、个人观点和总结回顾通过对单摆等效重力加速度的深入理解，我们不仅可以探索物理原理、拓展应用领域，还可以从中获得更深入的知识和启示。
单摆等效重力加速度推导
单摆等效重力加速度推导1. 引言嘿，朋友们！今天咱们聊聊一个既简单又有趣的物理现象——单摆。
说到单摆，可能很多人第一反应就是那个晃来晃去的小球，但其实它背后藏着不少有趣的故事和科学原理哦。
别急，咱们慢慢来，听我给你说说这个等效重力加速度的推导，保证让你听了之后，恍若拨云见日，豁然开朗！2. 单摆的基本概念2.1 什么是单摆？单摆其实就是一个简简单单的物体，比如小球，被悬挂在一根细绳子上。
咱们把球拉到一边，然后放手，它就会开始像摇摆的小孩一样，前后晃动。
想象一下，小球就像个调皮的孩子，恨不得一直玩下去，不愿停下来的样子！2.2 单摆的运动那么，这个单摆运动有什么特点呢？首先，球在最底部的时候速度最快，就像滑滑梯的小朋友，到了最底下那个“嗖”的一声。
然后，随着它向上晃动，速度逐渐减慢，最后又停下来。
这样反复无常的运动就形成了周期性，也就是每次来回的时间是一样的。
说白了，它就像是在跟你说：“来吧，咱们再来一轮！”3. 等效重力加速度3.1 什么是等效重力加速度？好，咱们说到重点了。
单摆的运动和重力有密切的关系。
这里的“等效重力加速度”其实就是用来描述这种关系的。
换句话说，单摆在晃动的时候，实际上也在经历一种重力的“假象”，就像是演了一出杂技，惹得观众们哈哈大笑。
3.2 如何推导等效重力加速度？现在，咱们开始推导一下这个等效重力加速度的公式。
首先，我们需要明白，单摆的运动可以用一个简化的数学模型来描述。
假设小球的摆长是L，摆动的角度是θ。
根据物理学的公式，重力加速度g就是影响小球运动的关键因素。
在小球从最高点到最低点的过程中，重力加速度g和摆动的角度θ之间有着密切的联系。
通过一些简单的数学推导，我们可以得出一个公式：( g_{等效 = frac{L{T^2 )，其中T是单摆的周期。
听上去是不是有点复杂？其实，咱们只要记住这个公式就行了，其他的就交给数学小精灵去处理吧！4. 实际应用与趣味4.1 实际生活中的例子单摆不仅在课堂上有用，生活中也随处可见。
11.5单摆的等效问题
比小车静止时要大
（3）光滑斜面上的单摆 如图所示，单摆一端系于倾角为θ的光滑斜面上， 产生回复力的是
的切向分力，等效重力加速度为
周期为
（4）复合场中的单摆 若将带电量为q的单摆放入电场强度为E的匀强电场 中，如图所示，则得到最常见的复合场。 若摆球带负电，则：
若电场方向改为水平，同 理分析可得。
2.有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的 高度。已知该单摆在海平面处的周期是T0。当气球停 在某一高度时，测得该单摆周期为T.求该气球此时离 海平面的高度h。把地球看作质量均匀分布的半径为R 的球体。
分析与解：设单摆的摆长为L，地球的质量为M，则据 万有引力定律可得地面的重力加速度和高山上的重力 加速度分别为：
C球在光滑圆弧槽内往复运动可看作等效单摆运动，半径R为等 效摆长。第一次到达A点用单摆周期公式：
即B球先到。
讨论：要使两球在A点相遇，可使B球上移，问此时B 球高度h为多少？ 分析：B球下落时间为：
又C点运动具有重复性，两球相遇时间必有多解，相 应的h值亦应有多解：
5. 如图所示，小球在光滑的圆槽内做简谐运动，为使 振动周期变为原来的2倍，可采用的方法（ C ） A. 小球的质量减为原来的一半 B. 振幅变为原来的2倍 C. 圆槽半径变为原来的4倍 D. 将小球重力势能减为原来的一半
T 2 l cos
g
二.等效重力加速度
等效重力加速度的大小等于摆球的视重（摆球相对 悬点静止时线的拉力F）与摆球的质量m之比，即
求g’的基本步骤如下： （1）分析摆球的受力，确定摆球相对静止的位置 （即平衡位置）。 （2）计算摆球的视重。 （3）利用g’=F/m求出视重加速度。
应当注意，在计算拉力时，不能将始终沿悬线方向 的力（法线方向）包括在内。因为只有对回复力有贡 献的力，才能改变振动周期。如图几种情况，振动周 期不变。
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3. 两个相同的弹性小球，分别挂在不能伸长 的细线上，两线互相平行．两小球的重心位于 同一水平线上，而且两球相互接触，第一个小 球的线长L1=1m，第二个小球线长L2=0.25m）， 把第二个小球拉开一个不大的角度后释放，它 在4秒内和第一个小球共碰几次？
②等效重力加速度
例. 如图，一小球用长为L的细线系于与水平面 成 角的光滑斜面内，小球呈平衡状态。若使细 线偏离平衡位置，其偏角小于5o，然后将小球由 静止释放，则小球到达最低点所需的时间为多少？
0
L T 2 g sin
等效重力加速度
一单摆的悬点处有一带正电q小球，悬挂的 小球也带正电q，摆长为L，小球半径可忽略， 求单摆做小角度摆动时的周期
小结
常见的等效单摆模型很多，上述各图中 的模型就是典型的例子。从近几年高考试 题看，命题人的指导思想很明确，那就是 力求所命题目的创意新、背景新、过程新。 但从题目所对应的物理模型来看，其本质 上讲还是万变不离其宗。等效法是科学思 维的基本方法之一，要提高解决综合问题 的能力，从根本上讲还是提高构建物理模 型的能力，要学会透过现象看本质，进而 对物理模型进行等效转化。
单摆振动中的等效问题
(1)摆长等效 (2)重力加速度等效 (3)模型等效
L T 2 g
摆长(或等效摆长)
重力加速度(或等效重力加速度)
①等效摆长 摆球重心到摆动圆弧圆心的距离
双线摆
L
0
L sin T 2 g
变式：三根细线交于o处,A、B端固定在同 一水平面上，已知OA和OC均长L，让小球在 垂直纸面内微小振动，求其周期。
mgcosθ
结 论 (2)单摆振动的回复力是重力的一个
分力,不是重力和拉力的合力
(1)θ<50时,单摆是简谐运动.
二. 单摆的周期
L T 2 g
单摆周期T与它们的关系
振幅A T与A无关 T与m无关 摆长L越长 T越大 单摆的等时性
周期T
质量m 摆长L 重力场（重 力加速度）g
g越大, T越小
A、T甲> T乙> T丙> T丁 B、T乙> T甲=T丙> T丁 C、T丙> T甲> T丁> T乙 D、T丁>T甲= T乙> T丙
D
在超重或失重时 一单摆，摆长为L，摆球质量为m， 悬在升降机顶部，当升降机以加速 度a下降时，求：单摆周期T
a
解：在平衡位置，且相对静止时（相对升降机） 摆绳拉力 T=mg-ma 等效重力加速度 g’=T/m=g-a
不论悬点如何运动或还是受别的作用力，等效重力加 速度的取值总是单摆不振动时，摆线的拉力与摆球质量 的比值(g=T/m)。
不论悬点如何运动或还是受别的作用力，等效重力加速度的取 值总是单摆不振动时，摆线的拉力与摆球质量的比值(g=T/m)。 注意：此结论在除去绳子拉力或者等效拉力外，其它力是恒力的 情况下普遍适用，否则要由单摆周期的本质来考虑！
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分析：此时小球除去绳子拉力受重力和库仑 力，而库仑力方向不断变化！故不能应用所 述结论解题。应当考虑此时回复力的变化， 看系统的K的变化！
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L T 2 g
模型等效
如图，o点正下方有一半径为R的光滑圆弧轨道， 圆心位置恰好为o点，在弧形轨道上接近o‘（o 点正下方）处有一小球A，令小球A无初速释放， 求小球运动到o’的时间 o
一、单摆的概念
单摆是对现实摆的抽象 是一种理想化的物理模型
足够长
理 想 单摆 化 的 条 件
摆 线
足够轻不计质量
不可伸长
摆 球
足够小球的半 径远小于线长 球小而重 （密度大）
2.单摆的运动
受 T 力 分 析 mg
mgcosθ
指向悬点
θ
L
x
(提供向心力)
mgsinθ 指向平衡位置 (提供回复力) mgsinθ mg
解：单摆不摆动时 在平衡位置， 摆绳拉力 T=mg+Eq
E
L T Eq T 2 等效重力加速度 g ' g 则 Eq m m g m
变形：若把匀强电场变为水平向右呢？
3. 等效重力加速度g’由单摆所处的物理环境决定。 如图所示，单摆甲放在空气中，周期为T甲,单 摆乙带正电，放在匀强磁场中，周期为T乙, 单 摆丙带正电，放在匀强电场中，周期为T丙, 单 摆丁放在静止在水平面上的光滑斜面上，周 期为T丁,那么（ ）
如图中两单摆的摆长均为L=1m，平衡时，两钢球 刚好接触，现将摆球A在两摆线所在的平面向左拉 开一小角度释放，碰撞后两球分开各自做简谐运 动，以mA、mB分别表示两摆球A、B的质量，g取 10m/s2，则（ ） A、如果mA>mB,下次碰撞发生在 平衡位置的左侧 B、如果mA<mB,下次碰撞发生在 平衡位置的右侧 A B C. 该组合摆的周期T合 =π秒 D. 无论摆球质量之比是多少，下次碰撞都不可 能发生在平衡位置的左侧 CD
②等效重力加速度 1、g由单摆所处的空间位置决定，在地球 表面上纬度不同，g不同，距地球表面的 高度不同，g不同.
2、摆球除受重力和拉力外还受其他力， 但其他力只沿半径方向，而沿振动方向无 分力，这种情况下单摆的周期不变。
如图有一带电量为＋q的小球，用长 为 L的绝缘细线悬挂在匀强电场E中， 匀强电场方向与重力方向相同，当小 球小角度摆动时，求摆动周期。（小 球半径为r，重力加速度为g）
A
o’
模型等效
如图所示，光滑圆弧槽半径为R，A为最低点， C到A距离远小于R，两质点B和C都由静止开始 释放，问哪一个小球先到A点？
讨论：要使两球在A点相遇，可使B球上 移，问此时B球高度h为多少？
不论悬点如何运动或还是受别的作用力，等效重力加速度的取 值总是单摆不振动时，摆线的拉力与摆球质量的比值(g=T/m)。
则
L T 2 g a
变形：若升降机以加速度a上升呢？
L T 2 ga
单摆处于超重状态时，等效 g’=g+a，失重时等效g’=g-a
总结：求等效重力加速度的步骤 （1）分析摆球的受力，确定摆球 相对静止的位置（即平衡位置）。 （2）计算摆球的视重。（即平衡位 置的拉力） （3）利用， 求出等效重力加 速度。
A θ B
0
L
C
L
一摆长为L的单摆,在悬点正下方5L/9处有 一钉子,则这个单摆的周期是:
可知:
பைடு நூலகம்
L
T
L g
4L 9g
练习. 如图所示，摆长为L的单摆，原来的周期 为T。现在在悬点O的正下方A点固定一颗钉子， OA=L/3，令单摆由平衡位置向左摆动时以A为 悬点作简谐振动，则这个摆完成一次全振动所 需的时间是 。