二次型及其标准型

例如：已知一实二次型 例如：
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 2 x2 + 3 x3 − 4 x1 x2 − 4 x2 x3 2 2 化为规范形是： 化为规范形是：f ( x1 , x2 , x3 ) = z12 + z 2 − z3
于是： 于是：二次型 f 的秩 r = 3 正惯性指数 p = 2 负惯性指数 r − p = 1 符号差 p − (r − p) = 2 p − r = 1
2 f = z12 + z 2 + L + z 2 − z 2 +1 − L − zr2 p p
的秩， 其中 r 为二次型 f 的秩，且规范形是唯 一的. 一的 是唯一确定的. 注：由于规范形唯一，从而 r 是唯一确定的 由于规范形唯一，
正惯性指数： 的规范形中， 正惯性指数：将实二次型 f 的规范形中，系数为正 称为正惯性指数. 的平方项个数 p 称为正惯性指数 负惯性指数：将实二次型 f 的规范形中，系数为负 负惯性指数： 的规范形中， 称为负惯性指数. 的平方项个数 r − p称为负惯性指数 符号差：实二次型 f 的规范形中，正惯性指数与负 的规范形中， 符号差： 惯性指数的差（ 惯性指数的差（即为 p − (r − p) = 2 p − r ） 的符号差. 称为 f 的符号差 推论：实二次形的任一标准形中， 推论：实二次形的任一标准形中，系数为正的平方 项个数唯一确定， 的正惯性指数， 项个数唯一确定，等于 f 的正惯性指数，系 数为负的平方项个数也唯一确定， 数为负的平方项个数也唯一确定，等于 f 的 负惯性指数. 负惯性指数
作业
习题六 P244
5： （1）（ ） ： ）（2） ）（ 6： （2） ： ） 7
2、用正交替换化二次型为标准形的步骤 、 ⑴写出二次型 f (x1, x2 ,L, xn ) 所对应的对称矩阵 A ，求 出 A 的全部特征值 λ1 , λ2 , L , λn ； ⑵由于 A 是 n 阶的实对称矩阵，求出正交矩阵 Q ， 阶的实对称矩阵， 使得： 使得： −1 AQ = Λ 为对角矩阵 Q ⑶作正交替换 x = Qy ，可得 f ( x1, x2 ,L, xn ) 的标准形
第六章 二次型
6.3 化二次型为 规范形
本节只讨论实数域 R 上的二次型化为规范形的情况
一、二次型的标准形不是唯一的
如：下述二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 2 x2 + 3 x3 − 4 x1 x2 − 4 x2 x3
⑴经正交替换 X = QY，其中
1 2 2 1 Q = 2 − 1 − 2 3 1 − 2 2
2 2 f ( y1, y2 ,L, yn ) = λ1 y12 + λ2 y2 +L+ λn yn = YT ΛY
例2：用正交替换将下列二次型化为标准 ： 形
2 2 ⑴ f ( x1, x2 , x3 ) = x12 + 2x2 + 3x3 − 4x1x2 − 4x2 x3 2 2 ⑵ f ( x1, x2 , x3 ) = x12 − 2x2 − 2x3 − 4x1x2 + 4x1x3 + 8x2 x3
例1：用可逆线性替换化下列二次型为标准形 ：
2 2 ⑴ f ( x1, x2 , x3 ) = x12 + 2x2 + 5x3 + 2x1x2 + 2x1x3 + 6x2 x3
⑵ f ( x1, x2 , x3 ) = 2x1x2 + 2x1x3 − 6x2 x3
二、用正交替换化二次型为标准形
1、准备 、 定理6.4：实数域 R 上的任意一个二次型都可经过可 定理 ： 正交替换化为标准形. 正交替换化为标准形
第六章 二次型
6.2 化二次型为 标准形
本节只讨论实数域 R 上的二次型化为标准形的情况 实数域 R 上的二次型称为实二次型 上的二次型称为实二次型 实二次型.
一、用可逆线性替换（也称拉格朗日配方） 用可逆线性替换（也称拉格朗日配方） 方法化二次型为标准形
1、准备 、 定理6.2： 定理 ：数域 F 上的任意一个二次型都可经过可 逆线性替换化为标准形. 逆线性替换化为标准形 注：显然实数域 R 上的任意一个二次型都可经过 可逆线性替换化为标准形. 可逆线性替换化为标准形 定理6.3： 定理 ：数域 F 上任意对称矩阵都与一个对角矩 阵合同. 阵合同 注：显然实数域 R 上任意对称矩阵都与一个对角 矩阵合同. 矩阵合同
化为标准形： 可使 f 化为标准形：
2 2 f ( y1 , y2 , y3 ) = − y12 + 2 y2 + 5 y3
⑵经可逆线性替换
x1 = u1 + 2u 2 x2 = u 2 2 x3 = 3 u2 + u3
10 2 2 u2 + 3u3 3
可使 f 化为标准形：f (u1 , u2 , u3 ) = u12 − 化为标准形：
定理6.7： 定理 ：任意实对称矩阵 A 与对角矩阵
1 O 1 Λ= −1 O1 −
0O
0
合同. 其中： 和 的个数共有 合同 其中：+1和-1的个数共有 r ( A) 个； 1的个数由 A 唯一确定，称为 A 的正惯性 的个数由 唯一确定， 指数. 指数 推论2.7： 推论 ：两个 n 阶实对称矩阵合同的充分必要条件 是它们的秩和正惯性指数分别相等. 是它们的秩和正惯性指数分别相等
观察可得： 观察可得：两种标准形中系数不为零的项数是 相等的. 相等的 定理6.5： 定理 ：二次型的标准形中系数不为零的平方项的 个数是唯一确定的. 个数是唯一确定的
二、实二次型的规范形
1、惯性定理 、 定理6.6： 定理 ：任一实二次型 f 都可经过可逆线性替换 化为规范形，即： 化为规范形，
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2、用可逆线性替换（配方法）化二次型为标准形 、用可逆线性替换（配方法） 的步骤 的平方项， ⑴若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 xi 的乘积 项集中，然后配方，再对其余变量同样进行， 项集中，然后配方，再对其余变量同样进行，直 到都配成平方项为止，经过可逆线性替换， 到都配成平方项为止，经过可逆线性替换，就可 得到标准形. 得到标准形 ⑵若二次型中不含平方项，但是 aij ≠ 0 (i ≠ j) ，则先 若二次型中不含平方项， 作可逆线性替换： 作可逆线性替换： x i = u i − u j x j = ui + u j x =u k k 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按⑴ 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按⑴中 方法配方. 方法配方