浅谈构造法在数学解题中的优点和作用

浅谈构造法在数学解题中的优点和作用

摘要:解题过程就是一个不断把“未知”转化为“已知”的过程,这里的转化是解题的关键,是解题的桥梁。构造法作为一种重要的化归手段,在数学解题中起着重要的作用。运用构造法解题,能激发学生的发散思维训练,使学生在解题过程,选择最佳的解题方法,从而使学生思维和解题能力及学习兴趣得到培养。

关键词:构造法构造思想优点作用

创新教育是素质教育的核心,而创新教育的主要任务是如何培养学生的创新思维能力。前苏联著名的数学家卡皮查指出,培养学生的创新能力思维最合适的学科是数学与物理。在数学解题中构造法是一种富有创造性的方法,它在猜想、抽象、概括、归纳、类比等重要的数学方法中都有体现。运用构造法解决问题容易暴露思维过程,可以增强学生运用构造法解题的意识,特别是在中学数学竞赛中有许多题目都要用构造法解决。学生对构造法有一种神秘感和苛求掌握的欲望,可见在中学数学解题中加强对构造法的运用有深渊的意义。下面就构造法的内涵及运用解题中的优点和作用做以下阐述。

1 构造法的含义

数学构造法,从广义的角度可以理解为一种思想及构造思想,从狭义角度可以理解为一种方法,及构造法。所谓构造法就是在数学问题中,可以根据题设条件,给予题目中涉及的公式﹑概念及数学关系赋予

恰当的实际意义,构造出数学模型,进而谋求解决题目的途径。一般的说构造法包含下面两层意思:(1)利用抽象问题的普遍性,把实际问题转化为数学模型;(2)利用具体问题的特殊性,为待解决的问题设计一个合理的框架。

2 构造法在数学解题中的优点和作用

构造法的核心是根据题设条件﹑特殊恰当构造一种新形式。他在许多问题的解法过程中显示着令人瞩目的特殊作用,对培养学生的创新意识和创新能力有很大的帮助。

2.1 优化解题途径

有些数学问题虽然不用构造法也可以解决,但求解的过程繁琐,若用构造法往往可简化复杂的用算和讨论,使问题简捷获解。例如:若(Z-X)2-4(X-Y)(Y-Z)=0求证:X,Y,Z成等差数列。

分析:拿到题目感到无从下手,思路受阻。但我们细看,题目条件酷似一元二次方程的根的判别式。这里a=x-y,b=z-x,c=y-z,于是可构造方程由已知条件可知方程有两个相等根。根据根与系数的关系有z-y=y-x,x+z=2y

∴x,y,z成等差数列。

2.2 显露隐含条件

运用构造法分析题目的结构特点或数量关系,有助于挖掘隐含在题目中的条件,从而使问题化隐为显促成问题的快速解决。

例如:已知p3+q3=2求证p+q≤2

证:因p3+q3=2,故(p+q)3-3pq(p+q)=2

即p+q≤2。此题挖掘出初中数学中的公式,显露了公式条件。

2.3 沟通条件和结论的关系

许多问题利用已知和条件难于直接求解,需要按一定目标构造某种数学模型作为桥梁,沟通条件与结论之间的逻辑关系,才能求得结论。

例如:求证

2.4 促进数学相关知识的转化

解综合题时,经常用到的构造图形解代数问题,构造方程解几何问题,构造函数求线段长或几何图形面积的最大值、最小值等方法,都能促进数学知识的相互转化。

例如:已知x+2y=5,球x2+y2的最小值。

分析与解答:这原本是一道代数题,但根据x2+y2的特点,设它是点P(x,y)与圆点O(0,0)两点的距离的平方,点P在直线x+2y=5上运动,所以这个距离就是圆点O与直线上的点的距离问题。此时若构造点到直线的距离即可求出这个距离的最小值,进而求出x2+y2的最小值。本题把一个代数问题构造为几何问题,是代数知识转化为几何问题,从而使问题迎刃而解。

总之构造法解题有着你意想不到的功效,将问题快捷简便的解决。构造法解题重在“构造”,它可以构造方程、不等式、函数、图形等,在中学数学中解题中主要的构造法解题策略有:直觉构造、联想构造、逆向构造,归纳构造,类比构造等。常见的构造方法有:构造复数,三角形,对偶式,二项式,一元二次方程,二次函数,函数性质,构造数列,构造特例,构造几何,构造向量,构造抽屉法等。这些常见的策略与方法对学生在解数学试题有非常好的帮助,能够很好的培养与提高学生的创新思维能力,有利于加强学生数学基础知识的灵活运用,提高学生分析问题和解决问题的能力。因此,在解题时,若能启发学生从多角度,多渠道进行广泛的联想,就会得到许多构思巧妙,新颖独特,简捷有效的解题方法,而且还能加强学生对知识的理解,促使学生熟悉代数、几何等基本知识技能,并多方面加以综合利用。运用构造法解题能培养学生思维的灵活性,提高学生分析问题的创新能力,也可从中欣赏数学之美,感受解题乐趣。

参考文献

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