数学期望(一维离散)

频 率（fi）
0 31 2 2 4 2 2 1 1 2 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20
可求得此射手的平均中靶环数为：
10
xi ni
10
x i0 n
xi fi 0
i0
0 1 3 1 0 2 5.1
20
20
20
当射击次数增加时，频率稳定于概率（Ch5中证明），于是若设
k0
Note：服从（0-1）分布的r.v的分布可由期望确定.
例 2 设 X ~ () 求 E ( X ).
解 X的 分 布 律 为 k e
P{X k} k!
则 X的 数 学 期 望 为
k e
E( X ) xk pk k
k 0
k 0
k!
(k 0,1,2,, 0)
e
k 1
k 1(k 1)!
k 1
X的数学期望(简称期望)，或均值，记为
E ( X ) x k p k
k 1
Note: a)随机变量的期望由其分布唯一确定.
b)数学期望刻画了随机变量取值的“平均数”.
例1 X ~ b(1, p), 求 E ( X ). 解 : 因 X的 分 布 律 为
故X的数学期望为
1
E ( X ) x k p k 0 (1 p ) 1 p p
数学期望（一维离散）
数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 二维随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
离散型随机变量的数学期望
1 . 引 例 观察一名射手20次射击的成绩如下：
中靶环数（xi） 频 数（n i）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 031 2 2 4 2 2 11 2
e e
Note：服从泊松分布的r.v的分布可由期望确定.
X 表示中靶环数，
p X xi pi , i 0,1,,10; xi i
10
则 x 的值稳定于
xi pi
i 0
此为该射手平均中靶环数的真实评价.
10
称
xi p i 为随机变量X的是数学期望.
i0
2 定义1 设离散型随机变量X的分布律为
ຫໍສະໝຸດ Baidu
P{X xk} pk
(k 1,2,)
若 级 数 xk pk 绝 对 收 敛 ， 则 称 此 级 数 之 和 为 随 机 变 量