线面角的三种求法教学教材
第6节 第1课时 线线角与线面角--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
异面直线所成角只能是锐角或直角,所以加“绝对值”
(2)直线与平面所成的角
直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.
如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的
方向向量为u,平面α的法向量为n,则 sin θ=|cos<u,n>|=
u·
|u|||
离就是在直线 l 上的投影向量的长度.因此 PQ=
·
||
=
·
||
=
| ·|
.
||
常用结论
最小角定理:cos θ=cos θ1cos θ2.
如图,若OA为平面α的一条斜线,O为斜足,OB为OA在平面α内的射影,OC为
平面α内的一条直线,其中θ为直线OA与OC所成的角,θ1为直线OA与OB所
题组三 连线高考
7.(1992·全国,理14)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别
为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN夹角的余弦值为( D )
√3
A.
2
√10
B.
10
3
C.
5
2
D.
5
解析 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空
是向量a,b的夹角.( × )
3.设a,b是两个平面α,β的法向量,则α与β所成的二面角的大小等于向量a,b
的夹角的大小.( × )
4.利用||2= ·可以求空间中有向线段的长度.( √ )
题组二 回源教材
5.(人教A版选择性必修第一册1.4.2节练习2(1)(2)改编)如图,在棱长为1的正
解析 由题得,B(1,0,0),B1(1,0,2),C(0,1,0),
培优增分 第6讲 几何法求线面角、二面角和距离
A．4 C．3
B．2 3 D．2 2
17
D 由题可得 AB＝8，因为 AP＝BP， 所以 S△ABP＝12×8×4＝16， 因为 PC⊥平面 ABP，且 PC＝4， 所以 VC -ABP＝13×16×4＝634， 因为 AP＝BP＝4 2， 所以 AC＝BC＝4 3，
限时规范训练
18
所以 S△ABC＝12×8× 48－16＝16 2. 设点 P 到平面 ABC 的距离为 d， 则 VP -ABC＝13×16 2d＝634，解得 d＝2 2.
5＝ 5
5，即 A1C 与平面 ABCD
所成角的正切值为 5.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
27
限时规范训练
3．把边长为 2的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角 D -AC -B，
则三棱锥 D -ABC 的外接球的球心到平面 BCD 的距离为( A )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
31
由 PA⊥底面 ABCD 易知 PA⊥AD， 所以 PD＝ 12＋12＝ 2， 易知 DO＝12DB＝12 12＋12＝ 22， 所以 sin∠DPO＝DPDO＝12， 即直线 PD 与平面 PAC 所成角的正弦值为12.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
BC 的中点，l 为平面 O1AC 与平面 O1OD 的交线，则交线 l 与平面 O1BC 所 成角的大小为( B )
A．π2
B．π3
C．π6
D．π4
4
限时规范训练
B 因为O，D分别是AB，BC的中点，所以OD∥AC，
又OD⊂平面O1OD，AC⊄平面O1OD， 所以AC∥平面O1OD， AC⊂平面O1AC，平面O1AC∩平面O1OD＝l， 所以AC∥l，OD∥AC，所以OD∥l，
专题35 空间中线线角、线面角,二面角的求法-
专题35 空间中线线角、线面角、二面角的求法【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.类型一 空间中线线角的求法方法一 平移法例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为6，点F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点M ）在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为（ ）A B C D ．79【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ）A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体ABCD 中，2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4AB BC ==，90ABC ∠=︒，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45︒，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC上一动点，当BMN △的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．16B ．3C D ．6方法二 空间向量法例2、【重庆市第三十七中学校2020-2021学年高三上学期10月月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱1AA ，11C D ，1DD 的中点，12AB AA AD ==，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒例3、【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A D ，CD 的中点，则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．34-C D ．6【变式演练5】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【变式演练6】【云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1B C 与EF 所成角最小时，其余弦值为（ ）A ．0B ．12C D ．1116类型二 空间中线面角的求法方法一 垂线法第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角； 第三步 得出结论.例3如图，四边形ABCD是矩形，1,AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅰ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.【变式演练7】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．13 B． C．3 D ．23【变式演练8】【北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模】如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4=AD ，2DE EF ==，且π3EDC ∠=．（1）求证：AD ⊥平面CDEF ；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值；GFEDCBA（3）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．方法二 空间向量法第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标； 第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步 再利用a bsin a bθ→→→→⋅=即可得出结论.例4 【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，222AD BC CD ===，O 是AD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，过AB 的平面交棱PC 于点E （异于点C ，P 两点），交PO 于F .（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若F 是PO 中点，且平面EFD 与平面ABCD 求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.【变式演练9】【2020年浙江省名校高考仿真训练】已知三棱台111ABC A B C -的下底面ABC 是边长为2的正三角形，上地面111A B C △是边长为1的正三角形.1A 在下底面的射影为ABC 的重心，且11A B A C ⊥.（1）证明：1A B ⊥平面11ACC A ；（2）求直线1CB 与平面11ACC A 所成角的正弦值.类型三 空间二面角的求解例4【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】三棱锥S ABC -中，2SA BC ==，SC AB ==，SB AC ==记BC 中点为M ，SA 中点为N（1）求异面直线AM 与CN 的距离； （2）求二面角A SM C --的余弦值.【变式演练10】【2021年届国著名重点中学新高考冲刺】如图，四边形MABC 中，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，MAC △是边长为2的正三角形，以AC 为折痕，将MAC △向上折叠到DAC △的位置，使D 点在平面ABC 内的射影在AB 上，再将MAC △向下折叠到EAC 的位置，使平面EAC ⊥平面ABC ，形成几何体DABCE .（1）点F 在BC 上，若//DF 平面EAC ，求点F 的位置； （2）求二面角D BC E --的余弦值. 【高考再现】1．【2020年高考山东卷4】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为 （ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒2. 【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A B C D 3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数16】如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1,3,,,30AC AB AD AB AC AB AD CAE ===⊥⊥∠=︒，则cos FCB ∠=_____________．4.【2020年高考全国Ⅱ卷理数20】如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为Ⅰ111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．5.【2020年高考江苏卷24】在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO Ⅰ平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．6．【2020年高考浙江卷19】如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．7．【2020年高考山东卷20】如图，四棱锥P ABCD-的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知1PD AD==，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【反馈练习】1．【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是线段BC ，1BB 的中点，则异面直线DE 与1D F 所成角的余弦值为（ ）A B C ．35 D ．452．【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】某四棱锥的三视图如图所示，点E 在棱BC 上，且2BE EC =，则异面直线PB 与DE 所成的角的余弦值为（ ）A ．BCD ．153．【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟】如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足12DP PB +=1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．1,22⎡⎢⎣⎦4．【广西玉林市2021届高三11月教学质量监测理科】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AD ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 5．【山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量】如图，在三棱锥A —BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是（ ）A ．58B ．8C ．78D ．86．【福建省厦门市2020届高三毕业班（6月）第二次质量检查（文科）】如图，圆柱1OO 中，12OO =，1OA =，1OA O B ⊥，则AB 与下底面所成角的正切值为( )A ．2BC ．2D ．127．【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）】若正方体1AC 的棱长为1，点P 是面11AA D D 的中心，点Q 是面1111D C B A 的对角线11B D 上一点，且//PQ 面11AA B B ，则异面直线PQ 与1CC 所成角的正弦值为__.8．【吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）2020届高三第五次模拟联考】如图，已知直三棱柱ADF BCE -，AD DF ⊥，2AD DF CD ===，M 为AB 上一点，四棱锥F AMCD -的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF 与CM 所成角的余弦值为________.9．【湖北省华中师大附中2020届高三下学期高考预测联考文科】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，PA ⊥平面ABC ，E 、F 分别是PC 、PB 边上的中点，点M 是线段AB 上任意一点，若2AP AC BC ===.（1）求异面直线AE 与BC 所成的角：（2）若三棱锥M AEF -的体积等于19，求AM BM10．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试】如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面11BCC B 为菱形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ，160CBB ∠=︒，D 为棱1AA 的中点．（1）证明：1BC ⊥平面1DCB ；（2）求二面角11B DC C --的余弦值．11．【河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学（理）】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，四边形BDFE 为矩形，平面BDFE ⊥平面ABCD ，点P 在AD 上，EP BC ⊥.（1）证明：AD ⊥平面BEP ；（2）若EP 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角C PE B --的余弦值.12．【广西南宁三中2020届高三数学（理科）考试】如图1，在直角ABC 中，90ABC ∠=︒，AC =AB =D ，E 分别为AC ，BD 的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示.（1）求证：AE CD ⊥；（2）求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值.13．【广西柳州市2020届高三第二次模拟考试理科】已知三棱锥P ABC -的展开图如图二，其中四边形ABCD ABE △和BCF △均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PA 的中点，求二面角P BC M --的余弦值．14．【浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟】四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，侧面PBC 为正三角形，平面PBC ⊥平面ABCD ，3ABC π∠=，点M 为AD 中点.；（1）求证：CM PB（2）若点N是线段PA上的中点，求直线MN与平面PCM所成角的正弦值.。
几何法求线面角二面角与距离课件-2025届高三数学一轮复习
(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上的某
一个点到平面α的距离来求．
(3)等体积法．
(4)向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意一点，则点P到
平面α的距离为d＝
PA·
.
巩固训练3
已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，则点C到平面BDD1B1的距离为
大小是__________．
π
答案：
3
(
)
A．1
B． 2
C．2 2
D．2 3
答案：B
1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝4，BC＝2，BB1＝3，
则点B到上底面A1B1C1D1的距离为(
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A．4
B．2
C．2 2
D．3
答案：D
解析：∵BB1⊥平面A1B1C1D1 ，∴BB1 的长度为点
B到平面A1B1C1D1的距离，故点B到上底面A1B1C1D1
上的动点，则A1M与平面ABC1D1所成角的取值范围为(
)
π
π
π
π
A．[ ， ] B．[ ， ]
4
2
π
π
C．[ ， ]
6
4
答案：C
6
3
π
π
D．[ ， ]
4
3
题后师说
几何法求线面角的一般步骤
一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在
平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形
B．
3
2
D．
2
题型二 几何法求二面角
异面直线所成角及线面角的求法教案
异面直线所成角及线面角的求法教案教案：异面直线角与线面角的求法一、教学目标：1.理解异面直线角与线面角的概念。
2.学会求解异面直线角与线面角的计算方法。
3.能够应用所学方法解决相关问题。
二、教学内容：1.概念：异面直线角与线面角。
2.计算方法：求异面直线角的方法、求线面角的方法。
3.实例分析：通过实例演示如何应用所学方法解决问题。
三、教学步骤：步骤一：概念介绍1.通过引导让学生回忆直线之间的角，进而引出异面直线角的概念。
2.定义异面直线角：两条不在同一个平面上的直线的交角称为异面直线角。
3.介绍线面角的概念：直线和平面之间的角称为线面角。
步骤二：异面直线角的求法1.通过示意图介绍异面直线角的计算方法。
2.定义异面直线的垂足：直线上到另一条直线的垂线的足点称为异面直线的垂足。
3.引导学生观察垂足与两条直线的关系，教授异面直线角的计算方法。
步骤三：线面角的求法1.通过示意图引出线面角的概念。
2.定义线面角的顶点：线面角的两个边分别与平面交于两点，这两点称为线面角的顶点。
3.引导学生理解线面角的计算方法，并通过计算实例进行演示。
步骤四：案例分析1.基于所学内容，给出一些实际问题并分析解决方法。
2.通过解答典型案例，让学生理解如何应用所学方法解决异面直线角和线面角的问题。
步骤五：课堂练习1.提供一些习题，让学生独立完成。
2.监督学生完成习题，并对答案进行讲解。
3.鼓励学生互相讨论和分享解题思路。
四、教学方法：1.案例分析法：通过实际案例来引导学生理解概念和应用方法。
2.示意图法：通过示意图来形象直观地介绍和解释概念。
3.问题导引法：通过提问引导学生自主思考和发现问题解决方法。
五、教学评估：1.通过课堂练习评估学生对异面直线角和线面角的理解程度。
2.通过学生的案例分析和问题解决过程，评估他们应用所学方法解决相关问题的能力。
六、教学资源：1.教材及课件。
2.示意图、习题和答案。
七、拓展延伸：1.异面直线角与线面角在三维几何中的应用。
线面角的计算
线面角的计算
线面角是指一条直线与一个平面之间的夹角。
计算线面角的步骤如下：
1. 确定直线和平面：首先确定直线和平面的具体方程或者参数方程。
2. 求直线在平面上的一点：将直线方程代入平面方程中，求解出直线与平面的交点坐标。
3. 求直线与平面的法向量：根据平面的法向量方程，可以求得平面的法向量。
4. 求直线的方向向量：直线的方向向量可以由直线的参数方程求得。
5. 计算夹角：利用向量的内积公式，将直线的方向向量与平面的法向量进行内积运算，然后求出夹角的余弦值。
6. 求出线面角：通过夹角的余弦值，可以使用反余弦函数计算出线面角的度数。
《直线与平面所成角复习课——线面角的三种常见求法》教案-最新教学文档
直线与平面所成角复习课（2）——线面角的三种常见求法一、教学内容解析新课标立体几何内容较大纲教材变化大，三垂线及其逆定理作为阅读教材，对于有关线、面的垂直的求解方式方法带来很大的改变，对求解二面角及线面角的方式方法也带来很大的改变。
对我校大部分学生而言，二面角求解要求属于了解层次，斜线与平面角所成的角属于理解与掌握层次，“求解线面角”变成我校学生学习立体几何有关角的计算最难的一个问题。
特别是教材中对线在平面上的射影这一概念比较弱化，点面距离的概念在教材中已经退化，我校学生学习线面角主要方法就是定义法。
那如何化解难点，使学生能够有条不紊的找出线面角并求解，成为这堂课的重中之重。
二、教学目标设置1、知识与技能：正确认识直线与平面所成角的概念，能够利用面面垂直的性质找出已知平面的垂线从而找出线面角，能够利用向量法和等体积法帮助求解线面角。
2、过程与方法：（1）空间想象能力：认识直线与平面的位置关系，遵循从实图和简单的几何体入手，逐步培养学生的几何直观和空间想象能力。
（2）转化的思想方法：在二维与三维空间的转化及线面角与线线角的转化过程中，体现出转化的思想方法。
（3）逻辑思维与运算能力：通过对线面角大小的求解，加强算中有证，以证助算，以培养学生的逻辑思维能力及运算能力。
3、情感、态度与价值观：体验概念的形成过程，培养创新意识和数学应用意识，提高学习数学的兴趣。
三、学生学情分析我班学生“偏文”，尤其是女生的空间想象能力很弱，拿到立体几何题恨不得道道用向量法求解，因而忽视了定义法的重要性。
学生在寻找线面角的过程中往往毫无头绪无从下手，缺少应有的逻辑推理能力和空间想象能力，不喜欢或不擅长添加复杂的辅助线帮助找角和证明。
本节课旨在打开他们的解题思路，将求解过程规范化，有序化，从而能够进一步提高他们求解立体几何有关角的计算能力。
四、教学策略分析由于这是一节复习课，所以我选择在前一节课留给他们一道简单而又经典的线面角问题，让他们自由发挥，各尽所能。
线面角的三种求法
长方体ABCD A1B1C1D1 , AB 3，BC 2, A1A 4，求AB与面AB1C1D 所成的角的正弦值
设点B到平面 AB1C1D的距离为 h 1
练 习
1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面
成角，B是A在上的射影,OD是内的
直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则
sin =
6
解:
3
由最小角原理得ຫໍສະໝຸດ cosAOD cosBODcos
即cos 60 cos30 cos
。
A
O
B
C
D
cos 3
3
“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面 的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂 直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
例题
例1 . 如图，在Rt△ ABC中，已知
∠C=90，AC=BC=1，PA⊥平面ABC，且 PA= 2 ，求PB与平面PAC所成的角.
A
B
α
O
D
C
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
VB AB1C1 VABB1C1 3 SBB1C1 • AB 得h 12
线面角余弦值的求法
线面角余弦值的求法线面角余弦值的求法，这听起来有点儿高深莫测，对吧？你别怕，它并没有你想象中的那么复杂，关键是掌握了其中的一些小技巧和方法，慢慢地就能游刃有余了。
想象一下，你站在一个大草原上，看到远处有两座山峰对峙着，山顶的角度、山与山之间的距离，似乎决定了整个景象的美感，而这背后，几乎可以和数学中的“线面角”相类比。
嘿，是不是觉得数学也能如此有趣呢？首先得弄明白，所谓线面角，其实就是直线和一个平面之间的夹角。
简单来说，就是一条线穿过一个平面时，两者之间形成的那个角度。
而余弦值，就是用来衡量这个角度大小的一种方法。
你有没有觉得这些名词听起来像是电影里的科幻元素，带着些神秘感，实际上它们就藏在我们身边，只是没注意到罢了。
大家一般都知道，余弦值和角度有关系，它告诉你这个角度是大还是小，甚至是直角、锐角或钝角。
嘿，说了这么多，咱们还是得回到正题，如何求这个线面角的余弦值呢？你要清楚，线面角的余弦值其实可以通过一个简单的公式来计算：余弦值 = (直线的法向量· 直线的方向向量) / (直线的法向量的模× 直线方向向量的模)。
听起来是不是有点眼花缭乱？别急，慢慢来！这个公式中的“法向量”是指与平面垂直的那个向量，简单来说，就是平面上的“直起脊梁”的那根线，而“方向向量”呢，就是表示直线方向的那个向量。
好啦，你可能会觉得有点晕，不过等会儿，咱们用个简单的例子再说清楚。
假设你有一个平面方程：2x + 3y 4z = 7。
你得先从这个平面中提取出法向量。
怎么做呢？嘿，想一想，你有没有发现，方程中的系数2、3、4，恰好就是法向量的坐标！也就是说，法向量就是(2, 3, 4)。
是不是很简单？假设你的直线的方向向量是(1, 2, 3)，这时候你就能用刚才提到的公式来求余弦值了。
你先计算法向量和方向向量的点积，也就是2*1 + 3*2 + (4)*3，算出来是4。
然后，再求这两个向量的模，分别是√(2² + 3² + (4)²) = √29，√(1² + 2² + 3²) = √14。
线面角及二面角的求法
第9节线面角及二面角的求法【基础知识】求线面角、二面角的常用方法：(1)线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．(2）二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量．： ]【规律技巧】平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．【典例讲解】【例1】如图，在四棱锥P。
ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD,AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1）求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明:AE⊥平面PCD；（3)求二面角A－PD－C的正弦值．（1)解在四棱锥P－ABCD中，因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB。
又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD,故PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA，故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明在四棱锥P－ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD,故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A,∴CD⊥平面PAC。
又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD。
由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC。
又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.【变式探究】如图所示，在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。
(1）证明PA∥平面EDB;(2)证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C－PB－D的大小．（1）证明如图所示,连接AC，AC交BD于O，连接EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．在△PAC中,EO是中位线，∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.【针对训练】1．如图,四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2错误!，PA＝2,E 是PC上的一点,PE＝2EC。
线面所成角的求法
线面所成角的求法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊线面成角那些事儿。
你想想看啊，一条线和一个平面碰到一块儿，它们之间形成的那个角，就好像两个人站在一起，有个特别的“姿势”一样。
这可不是随随便便就能搞定的哦！
那怎么求这个角呢？这就好比你要找到进入一个神秘城堡的钥匙。
有时候啊，你得动点小脑筋。
比如说，咱可以先找到这条线在平面上的投影。
这就好像是这条线在平面上留下的影子，嘿，是不是有点神奇？然后呢，再去看看这条线和它的投影之间的夹角，这个夹角往往就和线面成角有着密切的关系。
你说这像不像侦探破案呀？一点点地找线索，最后解开谜团。
还有哦，有时候我们可以借助一些特殊的图形或者模型来帮忙。
就好比你有个超级厉害的工具，一下子就能把问题变得简单明了。
举个例子吧，一个正方体，那里面的线面关系可多了去了。
你就可以在那里面找啊找，看看能不能找到我们想要的那个角。
哎呀呀，这线面成角的求法可真是有趣又充满挑战呢！就好像你在玩一个智力游戏，每解开一个难题，就会特别有成就感。
有时候可能会遇到一些复杂的情况，线弯弯绕绕的，平面也奇奇怪怪的，但别怕呀！咱就一步一步来，慢慢地分析，总能找到答案的。
你说，要是生活中的问题都像线面成角这么明确就好了，哈哈！不过呢，也正是因为有这些挑战，我们才会不断进步，变得更聪明嘛。
反正啊，我觉得线面成角这玩意儿，就像是一个隐藏在数学世界里的小秘密，等着我们去发现，去探索。
只要我们有耐心，有方法，就一定能把它拿下！这就是我对线面成角求法的看法，你们觉得呢？。
求线面角的三种方法
试题研究SHI TI Y ANJIU本文介绍求线面角的三种常见方法，并对其作比较分析.例如图1，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =2AA 1，点D 是A 1B 1的中点，点E 在A 1C 1上，且DE ⊥AE ．求直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值．A 1ABCDE C 1B 1A 1AB C D E C 1B 1FH 图1图2方法1直接作出线面角求解分析因为本题几何图形是特殊的几何体——正三棱柱，点D 在特殊位置上——线段A 1B 1的中点，所以本题比较容易作出线面角.解如图2，设F 是AB 的中点，连结DF ，DC 1，C 1F ．由正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的性质及D 是A 1B 1的中点知，A 1B 1⊥C 1D ，A 1B 1⊥DF ．又C 1DDF =D ，所以A 1B 1⊥平面C 1DF ．而AB ∥A 1B 1，所以AB ⊥平面C 1DF ．又AB 平面ABC 1，故平面ABC 1⊥平面C 1DF ．过点D 作DH 垂直C 1F 于点H ，则DH ⊥平面ABC 1．连结AH ，则∠HAD 是AD 和平面ABC 1所成的角．由已知AB =2AA 1，不妨设AA 1=2，则AB =2，DF =2，DC 1=3，C 1F =5，AD =AA 21+A 1D 2=3，DH =DF ·DC 1C 1F=305．所以sin ∠HAD =DHAD=105．方法2用等体积法求出点D 到面ABC 1的距离h ，h AD为所求线面角的正弦值分析如图3，连结C 1D ，BD ，即得四棱锥D -ABC 1．用等体积法，即V D -ABC 1=V C 1-DAB，容易求出点D 到平面ABC 1的距离h ．解如图3，连结C 1D ，BD.因为平面A 1B 1C 1⊥平面AB 1，C 1D ⊥A 1B 1，所以C 1D ⊥平面AB 1．不妨设AA 1=2，则AB =2，DC 1=3，AC 1=BC 1=6，AD =BD =3.易求S ΔA DB =2，S ΔABC 1=5．设D 在平面ABC 1内的射影为H ，DH =h ，连结AH ，则∠HAD 是AD 和面ABC 1所成的角.因为V D -A B C 1=V C 1-DA B，所以13×h ×S ΔA B C 1=13×C 1D ×S ΔABD ，h =305．所以sin ∠HAD =DHAD=105．A 1AB C DE C 1B 1图3H ⊙潜江舒云水五胡十六国标志中国正式成为具有相似生活习惯和同一文化观念的多民族国家。
《线面角的求法》课件
利用三角函数计算角度
已知直线与平面交点的坐标，以及直线的斜率和截距，可以 利用三角函数计算线面角的度数。
如何理解线面角的意义
几何意义
线面角反映了直线与平面之间的 夹角关系，是描述直线和平面关
系的重要几何量。
物理意义
在物理问题中，线面角的大小常常 与光的入射角、反射角等物理量相 关，是描述光传播方向和介质表面 关系的重要参数。
性质
线面角的取值范围是[0°, 90°]，表示直线与平面的 相对位置关系。
计算方法
通过直线上任取一点，向 平面作垂线，求出垂足与 该点的连线与平面的夹角 ，即为线面角。
定义的理解与运用
理解
注意事项
理解线面角的定义是掌握求法的基础 ，需要明确线面角的取值范围以及其 表示的几何意义。
在计算线面角时，需要确保选取的点 和垂线方向是正确的，否则会导致计 算结果不准确。
。
物理量的测量
通过测量线面角，可以计算出一 些物理量，如速度、加速度、力 矩等。这些物理量对于理解物体 的运动规律和解决物理问题非常
重要。
物理现象解释
线面角也用于解释一些物理现象 ，如摩擦力、电磁波的传播方向 等。通过分析线面角的变化，可 以设计
工程应用
在机械工程、土木工程等领域，线 面角的大小对于确定结构的稳定性 、强度等具有重要意义。
01
习题与解析
基础题目解析
总结词
掌握基础概念
详细描述
基础题目主要涉及线面角的定义和性质，通过这些题目，学生可以巩固对基础概念的理解，掌握线面 角的求法。
提高题目解析
总结词
应用基本方法
详细描述
异面直线所成角及线面角的求法教案
异面直线所成角及线面角的求法授课教师：郝艾一．教学目的：1.掌握异面直线所成角及线面角的定义2.会求异面直线所成角及线面角的大小二．教学重点：能熟练的运用传统的几何方法及空间向量法计算异面直线所成角及线面角三．教学过程（一）异面直线所成角1． 异面直线所成角的定义过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角（或直角）叫做这两条异面直线所成的角，若记这个角为θ，则⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πθ。
2． 异面直线所成角的求法（1） 平移法已知两条异面直线a 、b ，经过空间任意一点O ，作a ′∥a ，b ′∥b ，求a ′与b ′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（2） 空间向量法设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为1m ， 2m 则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝|cos 〈21,m m 〉|.3.例题讲解：例1. 正四面体PABC 中，M 为棱AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为( C )A ．2 B.4 C.6 D.3解析：如图所示，取PB 中点N ，连接CN 、MN .∠CMN 为P A 与CM 所成的角(或所成角的补角)，设P A ＝2，则CM ＝3，MN ＝1，CN ＝3，∴cos ∠CMN ＝36.解后反思：求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．例2.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且MD=NB=1，E 为BC 的中点求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值解析：（1）在如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标D xyz -依题意，得1(0,0,0)(1,0,0)(0,0,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1),(,1,0)2D A M C B NE 。
几何法求线线角,线面角,二面角的10类题型(教师版)
几何法求线线角、线面角、二面角常考题型题型一平行四边形平移法求线线角 4题型二中位线平移法求线线角 6题型三补形平移法求线线角 8题型四作垂线法求线面角 10题型五等体积法求线面角 13题型六定义法求二面角 15题型七三垂线法求二面角 17题型八垂面法求二面角 19题型九补棱法求二面角 22题型十射影面积法求二面角 25知识梳理一、线线角的定义与求解线线角主要是求异面直线所成角。
1、线线角的定义：①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a ⎳a，b ⎳b，把a 与b 所成的锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角(或夹角)②范围：0,π22、求异面直线所成角一般步骤：(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0,π2，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①平行四边形平移法；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．二、线面角的定义与求解1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°]2、垂线法求线面角(也称直接法)：(1)先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足O；(2)连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；(3)把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形)。
3、公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线P A在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为：sinθ=h，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长。
几何法求线面角、二面角及探索性问题-高考数学复习课件
3
1
由[例2]可知， PM ＝ ， MB ＝ ， S △ PAB ＝
3
2
2
2
3
1
又∵ PB ＝ 2 ＋2 ＝
＋
＝
3
2
S △ PAB ＝
2×
2 7
7
2×
2
3
1
2 7
＝ PB ·AE ，∴ AE ＝
，
6
2
7
−1
∴ cos
3
.
6
21
，
6
2 2 − 2
∠ BAC ＝90°，点 M ， N 分别为A'B和B'C'的中点.
(1)求证： MN ∥平面AA'C'C；
证明：如图，取 A ' B '的中点 E ，连接 ME ， NE .
因为 M ， N ， E 分别为A'B，B'C'和A'B'的中点，
所以 NE ∥A'C'， ME ∥AA'.
又A'C'⊂平面AA'C'C，AA'⊂平面AA'C'C， NE ⊄平面
如图所示，在正四棱锥 P － ABCD 中，取 AB 的中点为 H ，底面正方形的
中心为 O ，连接 OH ， PH .
因为 PH ⊥ AB ， OH ⊥ AB ，所以∠ PHO 为侧面与底面所成的角.
因为 PO 为高，所以 PO ⊥平面 ABCD ，所以 PO ⊥ OH ，
所以在Rt△ POH 中，又 OH ＝ ， PO ＝ a ，
∠ AEC ＝
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
长方体ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB与面 AB1C1D 所成的角。
设点 B 到AB1C1D的距离为h, ∵VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1 ∴1／3 S△AB1C1·h= 1／3 S△BB1C1·AB， 易得h=12／5 设AB 与 面 A B1C1D 所成的角为θ,则sinθ=h
／AB=4／5
∴AB与面AB1C1D 所成的角为arcsin OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α内的射影，OC为面α内的一条直线，其中θ为 OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么 cosθ=cosθ1·cosθ2 ，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角 中最小的角（常称为最小角定理）
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面 的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂 直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
利用公式sinθ=h／ι
其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段 的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的 长（即斜线上的点到面的距离）既是关键 又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来 求垂线段的长。
60°。 （2） 连结SM,CM，则SM⊥AB, 又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM, ∴面ABC⊥面SCM 过S作SH⊥CM于H, 则SH⊥平面ABC ∴CH即为 SC 在面ABC内的射影。 ∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。 sin ∠SCH=SH／SC ∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7
线面角的三种求法
四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的 角。
（1） ∵SC⊥SB,SC⊥SA, ∴SC⊥平面SAB 故 SB是斜线BC 在平面
SAB上的射影， ∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为