函数模型的应用实例(1)
3.2.2_函数模型的应用实例(一)
3.2.2函数模型的应用实例（一）1、某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用( )A．一次函数B．二次函数 C．指数型函数D．对数型函数2、某种植物生长发育的数量y与时间A．y＝2x－1 B．y＝x2－1 C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋23、如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．其中正确信息的序号是( )A．①②③B．①③ C．②③D．①②4、长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少x2时面积最大，此时x＝________，面积S＝________.5、某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程.6、某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？7、．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h行驶路程为90km，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车3h所行驶的路程.8、有300m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？9、某市一种出租车标价为1.20元/km，但事实上的收费标准如下：最开始4km内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km后到15km之间，每公里收费1.20元，15km后每公里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f与打车路程x之间的函数关系.10、某游艺场每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？11、该经营者准备下月投入12. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).。
函数模型的应用实例 课件
解：由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽 象为 A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这 4 个 数据．
(1)设模拟函数为 y＝ax＋b 时，将 B，C 两点的坐标 代入函数式，得32aa＋ ＋bb＝ ＝11..32， ，解得ab＝＝01..1，
所以有关系式 y＝0.1x＋1. 由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下， 产量会每月上升 1 000 双，这是不太可能的．
过筛选，以指数函数模型为最佳，一是误差小，二是由于 厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间 内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设 备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模拟恰好反映了这 种趋势．因此选用指数函数 y＝－0.8×0.5x＋1.4 比较接近 客观实际．
类型 3 建立拟合函数解决实际问题(规范解答) [典例 3] (本小题满分 12 分)某个体经营者把开始六 个月试销 A、B 两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列 成下表：
(3)设模拟函数为 y＝abx＋c 时，
将 A，B，C 三点的坐标代入函数式，
得aabb2＋＋cc＝＝11，.2，
① ②
ab3＋c＝1.3. ③
由①，得 ab＝1－c，代入②③，
得bb2（（11－－cc））＋＋cc＝＝11.2.3，.
则cc＝＝1111..32－ －－－bbbb22，，解得bc＝＝10..45.， 则 a＝1－b c＝－0.8. 所以有关系式 y＝－0.8×0.5x＋1.4. 结论为：当把 x＝4 代入得 y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35. 比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最 小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经
设 y＝kx＋b，取点(1，0.30)和(4，1.20)代入， 得01..32＝ ＝k4＋ k＋b， b，解得kb＝＝00..3，所以 y＝0.3x.(8 分) 设第 7 个月投入 A，B 两种商品的资金分别为 x 万元、 (12－x)万元，总利润为 W 万元， 那么 W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)． 所以 W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2.(10 分) 当 x＝3 时，W 取最大值，约为 4.55 万元，此时 B 商品的投资为 9 万元．(11 分)
人教a版必修1学案：3.2.2函数模型的应用实例(含答案)
3.2.2 函数模型的应用实例自主学习1．掌握几种初等函数的应用．2．理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法． 3．了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤．1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)________________________________________________； (2)________________________________________________； (3)________________________________________________． 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)________________；(2)________；(3)______________； (4)______________； (5)________；(6)______________．对点讲练已知函数模型的应用问题【例1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400).其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)变式迁移1 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t的函数关系式为y ＝(116)t －a (a 为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．自建函数模型的应用问题【例2】某公司每年需购买某种元件8 000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？变式迁移2 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．函数模型的选择【例3】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝ab x＋c(其中a，b，c为常数，a≠0)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．变式迁移3 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)(1)Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．1．解答应用题的基本步骤： (1)设：合理、恰当地设出变量；(2)写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题； (3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；(4)答：将数学问题的解还原到实际生活问题中，给出最终的答案． 2．在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是：课时作业一、选择题1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．V ＝log 2tB ．V ＝log 12t C ．V ＝t 2－12D ．V ＝2t －22．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．900元C ．300元D ．3 600元3. 一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( )4．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡() A．3人B．4人C．5人D．6人二、填空题5．60年国庆，举国欢腾，某旅游胜地的客流量急速增加．某家客运公司为招揽游客，推出了客运定票的优惠政策：如果行程不超过100 km，票价是0.4元/km；如果超过100 km，则超过100 km的部分按0.3元/km定价．则客运票价y元与行程公里x km之间的函数关系是______________________________．6. 右图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在相距为80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用6 h(含途中休息的1 h)，骑摩托车者用了2 h．有人根据这个函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上骑自行车者．其中正确的序号是__________________________________________________．三、解答题7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不赔本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是多少．8．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？3.2.2函数模型的应用实例答案自学导引1．(1)利用给定的函数模型解决实际问题 (2)建立确定性的函数模型解决问题 (3)建立拟合函数模型解决实际问题2．(1)收集数据 (2)描点 (3)选择函数模型 (4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解决实际问题对点讲练【例1】 解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000 (0≤x ≤400)60 000－100x (x >400).(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，有最大值25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，f (x )取最大值．∴每月生产300台仪器时，利润最大， 最大利润为25 000元．变式迁移1 (1) y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110， t >110(2)0.6解析 (1)设y ＝kt (k ≠0)，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10， ∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．∴y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110，t >110.(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6， 故至少需经过0.6小时．【例2】 解 设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入， 设为c 元，则y ＝500n ＋2×8 000n ×12＋c＝500n ＋8 000n ＋c ＝500(n ＋16n )＋c＝500(n －4n )2＋4 000＋c ，当且仅当n ＝4n，即n ＝4时，y 取得最小值且y min ＝4 000＋c .所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．变式迁移2 解 (1)设污水处理池的长为x m ，则宽为200xm ，总造价为y .∴y ＝400(2x ＋2×200x )＋248×200x ×2＋80×200＝800(x ＋324x )＋16 000.∵⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<200x≤16，∴12.5≤x ≤16.故其定义域为[12.5,16]．(2)先讨论y ＝800(x ＋324x)＋16 000在[12.5,16]上的单调性．设x 1，x 2∈[12.5,16]且x 1<x 2，则y 1－y 2＝800[(x 1－x 2)＋324(1x 1－1x 2)]＝800(x 1－x 2)(1－324x 1x 2)．∵x 1，x 2∈[12.5,16]，x 1<x 2， ∴x 1·x 2<162<324.∴1－324x 1x 2<0，x 1－x 2<0.∴y 1－y 2>0.∴此函数在[12.5,16]上单调递减． ∴当x ＝16时，y min ＝45 000(元)，此时，宽为20016m ＝12.5 m.∴当池长为16 m ，宽为12.5 m 时， 总造价最低为45 000元．【例3】 解 设f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3.解得p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7. ∴f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，∴f (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3. 设g (x )＝ab x ＋c (a ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3.解得a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4，∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.经比较可知，用g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好． 变式迁移3 解 (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的， 故只能选取Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c 108＝a ×1102＋b ×110＋c 150＝a ×2502＋b ×250＋c， 解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg. 课时作业 1．C 2.A3．D [考察相同的Δh 内ΔV 的大小比较．] 4．B [设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289(升)，可供4人洗澡．]5．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.4x ，0<x ≤100，40＋0.3(x －100)，x >1006．①②解析 ③错，骑摩托车者出发1.5 h 时走了60 km ，而从图中可看出骑自行车者走的距离大于60 km.7．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3 000＋20x －0.1x 2≤25x 0<x <240解得150≤x <240，x ∈N *∴生产者不赔本时的最低产量是150台．8．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)．∴当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0<x ≤100时，P ＝60； 当100<x <550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－0.02x ； 当x ≥550时，P ＝51.∴P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x <550，51， x ≥550(x ∈N ＋)．(3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为S 元，则 S ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x <550，11x ， x ≥550(x ∈N ＋)当x ＝500时，S ＝22×500－0.02×5002＝6 000(元)；当x ＝1 000时，S ＝11×1 000＝11 000(元)．∴当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果一次订购1 000个零件时，利润是11 000元．。
函数模型的应用实例(Ⅰ)
课题：§3.2.2函数模型的应用实例(Ⅰ)
教学目标：
知识与技能能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题．
过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性．
情感、态度、价值观体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值．
教学重点：
重点运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题．
难点运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．
教学程序与环节设计：
实际问题引入，激发学习兴趣．
归纳一般的应用题的求
教学过程与操作设计：。
函数模型的应用实例 课件
24x－9.6 x>34.
(2)由于 y＝f(x)在各段区间上均单调递增， 所以当 x∈0，45时，y≤f45<26.40； 当 x∈45，43时，y≤f43<26.40； 当 x∈43，＋∞时，令 24x－9.6＝26.40， 得 x＝1.5.∴甲用户用水量为 5x＝7.5(吨)， 付费 y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)． 乙用户用水量为 3x＝4.5(吨)， 付费 y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．
(3)设该班每年购买纯净水的费用为 P 元，则 P＝xy＝x(－40x＋720)＝－40(x－9)2＋3 240， ∴当 x＝9 时，Pmax＝3 240. 要使饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买 饮料的年总费用少， 则 51a≥Pmax＋228，解得 a≥68，故 a 至少为 68 元时全班 饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年 总费用少．
图 3－2－7
(1)求 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 a＝120 时，若该班每年需要纯净水 380 桶，请你根据 提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与 该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理 由； (3)当 a 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年 总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？ 【思路探究】 用待定系数法求(1)→分别计算全体学生饮 用纯净水的年总费用与购买饮料的总费用并比较大小→建立函 数模型→利用函数最值求解．
1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各个边界点，即 明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出 函数的解析式．
2．本题在求解过程中，个别同学常因不理解“超过部分” 而导致运算出错．
《函数模型的应用实例》教案
《函数模型的应用实例》教案第一章：引言1.1 课程背景本节课将引导学生了解函数模型在实际生活中的应用，通过具体的实例让学生感受函数模型的重要性。
1.2 教学目标（1）了解函数模型的概念及其在实际问题中的应用。
（2）通过实例分析，学会建立函数模型解决实际问题。
1.3 教学内容（1）函数模型的定义及其特点。
（2）函数模型在实际问题中的应用实例。
第二章：线性函数模型2.1 课程背景本节课将引导学生了解线性函数模型，并通过实例让学生学会如何建立线性函数模型解决实际问题。
2.2 教学目标（1）了解线性函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立线性函数模型解决实际问题。
2.3 教学内容（1）线性函数模型的定义及其特点。
（2）线性函数模型在实际问题中的应用实例。
第三章：二次函数模型3.1 课程背景本节课将引导学生了解二次函数模型，并通过实例让学生学会如何建立二次函数模型解决实际问题。
3.2 教学目标（1）了解二次函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立二次函数模型解决实际问题。
3.3 教学内容（1）二次函数模型的定义及其特点。
（2）二次函数模型在实际问题中的应用实例。
第四章：指数函数模型4.1 课程背景本节课将引导学生了解指数函数模型，并通过实例让学生学会如何建立指数函数模型解决实际问题。
4.2 教学目标（1）了解指数函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立指数函数模型解决实际问题。
4.3 教学内容（1）指数函数模型的定义及其特点。
（2）指数函数模型在实际问题中的应用实例。
第五章：总结与拓展5.1 课程背景本节课将对前面所学的函数模型进行总结，并通过拓展实例让学生进一步感受函数模型在实际生活中的应用。
5.2 教学目标（1）总结本节课所学的内容，巩固所学知识。
（2）通过拓展实例，进一步感受函数模型在实际问题中的应用。
5.3 教学内容（1）对前面所学的函数模型进行总结。
（2）通过拓展实例，感受函数模型在实际问题中的应用。
函数模型的应用实例 课件
2.建立函数模型解决问题的框图表示
一次函数、二次函数模型的应用
商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标 价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效 价格为每件 300 元．现在这种羊毛衫的成本价是 100 元/件，商场以高于成本价的 价格(标价)出售．问：
分段函数模型的应用
经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与 价格(元)均为时间 t(天)的函数，且销售量近似满足 g(t)＝80－2t(件)，价格近似满
足于 f(t)＝2155－＋2121tt，，100≤<tt≤≤1200
(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式；
函数模型的应用实例
教材整理 函数模型的应用 1．常见的函数模型
函数模型 (1)正比例函数模型 (2)反比例函数模型 (3)一次函数模型 (4)二次函数模型
函数解析式 f(x)＝kx(k为常数，k≠0) f(x)＝(k为常数，k≠0) f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
[探究共研型] 拟合数据构建函数模型
探究1 画函数图象的一般步骤有哪些？ 【提示】 列表、描点、连线．
探究2 学校食堂要了解全校师生的午间就餐情况，以备饭菜，你能用数学 知识给予指导性说明吗？
【提示】 第一步：收集样本一周的数据，制成样本点．如(1，x1)，(2，x2)，…， (7，x7)．
第二步：描点，对上述数据用散点图的形式，给予直观展示． 第三步：数据拟合，选择一个合适的数学模型拟合上述样本点． 第四步：验证上述模型是否合理、有效，并做出适当的调整．
课题：函数模型的应用实例(一)
0
A
时间
0
B
时间
0
C
时间
0
D
时间
c对应的参考事件：我出发后感到时间较紧，所以加速前进，后来发现 时间还很充裕，于是放慢了速度。
梁启超纪念中学
余理甜
2.在一定范围内，某种产品的购买量为y t，与单价X元之间满足一次函数关系 如果购买1000t，每吨为800元，如果购买2000t，每吨为700元，一客户购买 400t，单价应该为（ ） A.820 元 B.840元 C.860元 D.880元
当________时，一次函数在 上为增函数，当 _______时， ( ,)
一次函数在 ( 上为减函数。 ,)
2 y ax bx c(a 0) 其图像是一条 2.二次函数的解析式为_______________________,
4ac b 2 抛物 线，当______ a 0 时，函数有最小值为___________ a0 ________ ，当______ 4a 4ac b 2 4a 时，函数有最大值为____________ 。
90 80 70 60 50 40 30 20 10
1 2 3 4 5
(2)根据图形可得：
S
50t 2004
80(t 1) 2054
0 t 1
1 t 2
90(t 2) 2134 2 t 3 75(t 3) 2224 3 t 4 65(t 4) 2299 4 t 5
c
梁启超纪念中学
余理甜
例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的 进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
高一数学函数模型的应用实例1
记得小时候，我家也常会泡些有山果的酒，但最受欢迎的还是金樱子酒。金樱子是一种蔷薇科植物，在老家的大山里随处可见，结纺锤形状小果，果皮有毛并且会带上摘金樱子的工具，不让小孩子去摘，怕弄伤了手，也怕被刺挂破了衣服，到头来得不偿失。小孩们却常偷偷去摘，果子摘下 来后，放在地上，用鞋子搓去刺，剥开去籽，洗干净，放在嘴里嚼，味道酸酸甜甜，是我们孩提时一段美好的记忆。采摘回来的果子须先褪去毛刺，洗净后再用刀破成两半，剜掉 内籽再放进酒缸里泡，当然也有人家会将其晒干后，再放进酒缸泡上几个月的。母亲常跟我们说，金樱子酒是药酒，补脾健胃、补益肝肾，还能止咳平喘，但小孩子不能喝得太多， 说太补了。在老家的大山里，金樱子比较多，每年我家都会泡一两缸金樱子酒。在金樱子酒开封时，母亲也总会给我们三兄妹都倒上一点点，让我们尝一尝。我不能喝酒，每次喝
一点点，很快就脸红了，这时父亲就会在旁边得意地笑，说我没“酒福”。。 嘎嘎影视 。
我家的金樱子酒自己喝，也常分给别人喝，常常是别人喝得多，自己喝得反而少。在我记忆里，杀年猪时是我家喝金樱子酒比较多的时候。儿时的乡下，谁家杀年猪，邻居们 都会来帮忙，这也是这家人感谢邻居们一年来的帮助，祝福邻居们在接下来的一年里和和美美、顺顺利利的好时机。主人把刚刚杀的年猪，那还冒着热气的猪肉、猪血、猪肝、猪 杂……做成一碗碗丰盛的菜肴，拿出自家储藏的用来招待贵宾的好酒来招待邻居。我家杀年猪时，父亲就会拿出金樱子酒来招待邻居，餐桌上夹菜敬酒，推杯换盏，菜凉了再热，吃 了再添，酒喝了一碗又一碗，上了一瓶再上一瓶，喝得大家酣畅淋漓，面红耳赤，喜形于色，酒后乡亲们话匣子也彻底打开了，即使平时邻里之间有点小矛盾的，这时也在金樱子 酒里融化了，亲情、友情、乡情也在金樱子酒里升华。
函数模型在实际问题中的应用
函数模型在实际问题中的应用在我们的日常生活和工作中，数学的身影无处不在，而函数作为数学中的重要概念，更是有着广泛且实用的应用。
函数模型能够帮助我们理解和解决各种各样的实际问题，从经济领域的成本与收益分析，到物理世界中的运动规律描述，从环境科学中的资源分配，到工程技术中的优化设计，都离不开函数模型的助力。
先来说说经济领域中的成本与收益问题。
假设一家工厂生产某种产品，其生产成本 C 与产量 x 之间的关系可以用函数 C(x) ＝ ax ＋ b 来表示，其中 a 表示单位产品的变动成本，b 是固定成本。
而产品的销售收益 R 与产量 x 的关系可以用函数 R(x) ＝ px 来表示，其中 p 是单位产品的销售价格。
那么，工厂要想获得利润，就需要考虑收益大于成本，即R(x) ＞C(x)，通过这样的函数关系，我们可以确定最佳的产量，使得利润最大化。
再看物理中的运动问题。
比如一个物体做自由落体运动，其下落的距离 h 与时间 t 的关系可以用函数 h ＝ 1/2gt²来表示，其中 g 是重力加速度。
通过这个函数，我们可以计算出物体在不同时刻所处的位置，从而预测其运动轨迹。
在环境科学中，函数模型也发挥着重要作用。
例如，研究某个区域的水资源分配问题。
假设该区域的水资源总量是固定的，而不同部门的用水需求可以用函数表示。
通过建立这些函数关系，我们可以合理地规划水资源的分配，以满足各个部门的需求，同时保证水资源的可持续利用。
工程技术方面，以桥梁的设计为例。
桥梁的承重能力与桥梁的结构参数之间存在着函数关系。
工程师们需要通过建立准确的函数模型，来确定桥梁的最佳设计方案，既要保证桥梁的安全性，又要控制建设成本。
让我们通过一个具体的例子来更深入地理解函数模型的应用。
假设我们要设计一个矩形的花坛，花坛的周长为一定值 L。
我们知道矩形的周长 L ＝ 2(x ＋ y)，其中 x 和 y 分别是矩形的长和宽。
而花坛的面积 S ＝ xy。
函数模型及其应用实例 课件
1
400- 2 ,0 ≤ ≤ 400,
2
R(x)=
其中 x 是仪器的月产量.
80 000, > 400,
(1)将月利润表示为月产量的函数f(x).
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少
元?(总收益=总成本+利润)
分析:由题目可获取以下主要信息:①总成本=固定成本+100x;②
10
4
3
≤ ,解得 n≤15.
2
故今后最多还能砍伐 15 年.
1
= ,解得 m=5,
2
探究三对数函数模型的应用
【例3】 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学
家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v=5log2 ,单位是
10
m/s,其中Q表示燕子的耗氧量.
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位?
(2)将耗氧量 Q=80 代入公式得 v=5log2 =5log28=15(m/s),即
10
当一只燕子的耗氧量为 80 个单位时,速度为 15 m/s.
探究四拟合函数模型的应用题
【例 4】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了
一个观察站,测量最大积雪深度 x cm 与当年灌溉面积 y hm2.现有连
4
森林剩余面积为原来的 2 .
2
(1)求每年砍伐面积的百分比;
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
(3)今后最多还能砍伐多少年?
分析:可建立指数函数模型求解.
解:(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1),
1
【精选】函数模型的应用实例
人口数，r表示人口的年平均增长率． 下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
每间每天房价 20元 18元 16元 14元
住房率
65％ 75％ 85％ 95％
要使每天收入达到最高，每间定价应为（ C）
A.20元 B.18元 C.16元 D.14元
知识小结
解决函数应用问题的基本步骤：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
函数模型应用实例
根据表中数据作出散点图．
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
增长模型： y＝y0ert 其中t表示经过的时间，y0 表示 t＝0时的
人口数，r表示人口的年平均增长率． 下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
必修1课件3.2.2-1函数模型的应用实例(一)
年份 人数/ 万人
1950 55196
1951 56300
1952 57482
年份 人数/ 万人
1950 55196
1951 56300
1952 57482
1953 58796
1954 60266
1955 61456
1956 62828
1957 64563
1958 65994
1959 67207
思考3:用马尔萨斯人口增长模型，我国在1950～1959 年期间的人口增长模型是什么？ 解：(3)令y0=55196，则我国在1950～1959年期间 的人口增长模型为：
( x 5) 5 x f ( x) ( x＞5) 25 3( x 5)
从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联 系，有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实 例来感受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实 际问题中建立函数模型呢？
例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时 间的关系如图3.2-7所示。 v (km/h) (1) 求图3.2-7中阴影部分的 面积，并说明所求面积的 实际含义； 解：(1)阴影部分的面积为
例2.人口问题是当年世界各国普通关注的问题。认识人 口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依 据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型： y
y0e
rt
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示 人口的年平均增长率。 表3-8是1950～1959年我国的人口数据资料：
高中数学-函数模型的应用实例
y 55196e0.0221t，t N
从该图可以看出，所得模型与1950~1959 年的实际人口数据基本吻合。
y
70000 65000 60000 55000 50000
0
2
4
6
8
t
（2）将y=130 000代入
y 55196e0.0221t
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这 一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨 斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口 增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否 相符；
(2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年 我国的人口达到13亿？
因为 Байду номын сангаасi
ai ai 1 ，所以可以得出 ai 1
路程前的读数为2004km，试建立汽车行
驶这段路程时汽车里程表读数 s km与时
间 t h的函y数解析式，并作出相应的图像。
90 80 70
60
50
40
30
20
10
t
123 45
y
2400 2300
2200
2100
2000
x
123 45
2:人口问题是当今世界各国普遍关注 的问题。认识人口数量的变化规律，可以 为有效控制人口增长提供依据。早在1798 年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型:
函数模型的应用实例
1:一辆汽车在某段路程中的行驶速
度与时间的关系如图:
y (Km/h)
90
90
80
80
75
70
65
60 50 50
高一数学函数模型的应用实例1
3. 分段函数模型的应用 例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率 与时间的关系如图所示.
(1) 求图中阴影部分 v/(km·h－1) 的面积，并说明所 100
90
求面积的实际含义； 80
70 60 50 40 30 20 1010
O 1 2 3 4 5 t/h
3. 分段函数模型的应用
例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率 与时间的关系如图所示.
3.2.2函数模型的 应用实例
主讲老师：
复习引入
一次函数、二次函数的 解析式及图象与性质.
讲授新课
1. 一次函数模型的应用 例1 某列火车从北京西站开往石家庄， 全程277km.火车出发10min开出13km 后，以120km/h的速度匀速行驶.试写 出火车行驶的总路程s与匀速行驶的 时间t之间的关系，并求火车离开北京 2h内行驶的路程.
(2)
50t 2004,
函数解析式
s
9800((tt
s
9800((tt
1) 2054, 2) 2134,
v/(km·h－1)
100 90 80 70 60 50 40 30 20 1010
75(t 3) 2224, 65(t 4) 2299,
O 1 2 3 4 5 t/h
0 t 1, 1 t 2, 2 t 3, 3 t 4, 4 t 5.
(2)假设这辆汽车的里 v/(km·h－1)
程表在汽车行驶这段 100
路程前的读数为2004
90 80
km, 试建立行驶这段
70 60
路程时汽车里程表读 50
数skm与时间th的函
40 30
数解析式, 并作出相
037函数模型的应用实例
高一数学学案序号__37__ 高一年级 _1_ 班教师张杰学生 _____课题§3.2.2 函数模型的应用实例（1）一、学习目的1. 通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；2. 了解分段函数、指数函数、对数函数等函数模型的应用.二、学习重点、难点在实际问题中建立函数模型.三、学习过程复习：我们学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什么？学习探究：例1、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示。
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象。
变式：某人开汽车以60 km/h的速度从A地到150 km远处的B地，在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的路程x(km)表示为时间t(h)（从A地出发时开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v km/h表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象. 解题方法：1．读题，找关键点；2．设变量建立函数模型；3．求出数学模型的解；变式训练1：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的200天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条线段表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示. （注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg，时间单位：天）（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式()P f t=；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系()Q g t=；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（找出实际问题中涉及的函数变量→根据变量间的关系建立函数模型→利用模型解决实际问题→小结：二次函数模型）例2、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示：当堂检测：1．某工厂八年来某种产品年产量C 与时间t （年）的函数关系如图所示，下列四种说法：① 前三年中产量增长的速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③三年后，这种产品停止生产了；④第三年后，年产量保持不变. 其中说法正确的是（ ）.A. ②④B. ①④C. ②③D. ①③2．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h 行驶路程为90km ，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车3h 所行驶的路程.3．某市一种出租车标价为1.20元/km ，但事实上的收费标准如下：最开始4km 内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km 后到15km 之间，每公里收费1.20元，15km 后每公里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f 与打车路程x 之间的函数关系.4、某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？5、．有300m 长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？四、小结归纳一般的应用题的求解方法步骤：1） 合理迭取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为 函数模型问题：2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答； 3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观 性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制. 五、课后巩固1．在本埠投寄平信，每封信不超过20g 时付邮资0.80元，超过20g 而不超过40g 付邮资1.60元，依次类推，每增加20g 需增加邮资0.80元（信重在100g 以内）．如果某人所寄一封信的质量为82.5g ，那么他应付邮资 （ ）.A. 2.4元B. 2.8元C. 3.2元D. 4元 2．甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B 地，已知甲骑自行车比乙骑自行车快，若每人离开甲地的距离s 与所用时间t 的函数用图象表示，则甲、乙两人的图像分别是（ ）.A. 甲是(1), 乙是(2)B. 甲是(1), 乙是(4)C. 甲是(3), 乙是(2)D. 甲是(3), 乙是(4)3．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数式是（ ）.A. x =60tB. x =60t +50tC. x ={60,(0 2.5)15050,( 3.5)t t t t ≤≤-> D. x =60,(0 2.5)150,(2.5 3.5)15050( 3.5),(3.5 6.5)t t t t t ≤≤⎧⎪<≤⎨--<≤⎪⎩4、“依法纳税是每个公民应尽的义务”. 国家征收个人所得税是分段计算,总收入不超过800元,免征个人所得税，超过元，税率见下表：（x ）的计算公式；（2）某人2005年10月总收入3000元，试求该人此月份应缴纳个人所得税多少元； （3）某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于 A.800~900元 B.900~1200元 C.1200~1500元 D.1500~2800元5、某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入函数为21()52R x x x =-（万元）（0≤x ≤5），其中x 是产品售出的数量（单位：百台）. （1）把利润L (x )表示为年产量x 的函数； （2）年产量是多少时，工厂所得的利润最大?。
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我们一起来分析
我提问
1、你能写出速度v关于时间t的函数解析式吗?试 试看！ 2、你能写出汽车行驶路程s关于时间t的函数解析 式吗?试试看！
50 80 90 75 65 (0≤t<1) (1≤t<2) (2≤t<3) (3≤t<4) (4≤t≤5)
v=
50t 2004 80( t 1) 2054 S 90( t 2) 2134 75( t 3) 2224 65( t 4) 2299
年份 1950
1951
56300
1952
57482
1953
58796
1954
60266
1955
61456
1956
62828
1957
64563
1958
65994
1959
67207
人数
55196
1):如果以各年人口增长率的平均值作为我 国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)那 么1951～1959年期间我国人口的年平均增长 率是多少？ 2):如果按表中的增长趋势，大约在哪一年 我国的人口将达到13亿？
0 t 1 1 t 2 2 t 3 3t 4 4 t 5
3、你能作出s关于时间t的函数的图象吗?试试看!
这就是s 关于t的 函数的图象 再次探究
4.将原题图中的阴影部分隐去,得到的图象表示什么?
表示分段函数v(t)的图象
5.图中每一个矩形的面积的意义是什么?
表示在1个小时的时间段内汽车行驶的路程
6的函数图象又有何关系? 汽车的行驶里程=里程表度数-2004; 将里程表度数关于时间t的函数图象向下平移2004个 单位后,就得到汽车的行驶里程关于时间t的函数图象.
请阅读教材P102页的解答过程
还要看个例子
探究:函数模型问题 例2：人口问题是当今世界各国普遍关 注的问题，认识人口数量的变化规律，可以 为有效控制人口增长提供依据.早在1798年， 英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下 rt 的人口增长模型：y y0e ，其中t表示经过 的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口 的年平均增长率.下表是我国1950～1959年 的人口数据资料：
分析、探究 我来说 我提问
(1). 本例中所涉及的数量有哪些?
经过t年后的人口数 y , y0 ;人口年平均增长率r; 经过的时间t以及1950~1959年我国的人口数据。
分析、探究
我提问
(2).描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是 确定的,确定这种函数模型需要几个因素? 是;两个,即: y0 和 r 我来说 (3).根据表中数据如何确定函数模型? 我再问
先求1951~1959年各年的人口增长率,再求年平 均增长率r,确定 y0的值,从而确定人口增长模型. (4).对所确定的函数模型怎样进行检验?根据检 验结果对函数模型又应作出如何评价? 答:作出人口增长函数的图象,再在同一直角坐 标系上根据表中数据作出散点图,观察散点是否 在图象上.
(5).如何根据所确定的函数模型具体预测我国某 个时期的人口数,实质是何种计算方法? 答:已知函数值,求自变量的值.
作业:教材P107习题3.2 (A)第3、4题
请阅读教材P103页的解答过程
练一练:P104 T1、2
限时6分钟
小结
本节内容主要是运用所学的函数知识去解 决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本 方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热 点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及 的函数模型有：一次函数、二次函数、分段 函数及较简单的指数函数和对数函数．其 中，最重要的是二次函数模型．
3.2.2 函数模型的应用实例(1)
学习目标:1、能够利用给定的函数模型或建 立确定性函数模型解决实际问题. 2、感受运用函数概念建立模型的过程和方 法,对给定的函数模型进行简单的分析评价. 3、体会数学在实际问题中的应用价值.
问题提出
一次函数、二次函数、指数函数、对数 函数以及幂函数，不只是理论上的数学问题， 它们都与现实世界有着紧密的联系，我们如 何利用这些函数模型来解决实际问题？
探究：函数建构问题
例3、一辆汽车在某段路 程的行驶速度与时间的 关系如图所示。 (1)、求图中阴影部分 的面积，并说明所求 面积的实际含义；
(2)、假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程 前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程 时汽车里程表读数s km与时间 t h的函数解析式， 并作出相应的图象。