概率论与数理统计：中心极限定理

中心极限定理

无论随机变量12,,,,

n X X X 服从什么分布，当n 充分大时，其和的极限分布是正

态分布，这就是我们今天要讲的中心极限定理。

定理 5.5（独立同分布中心极限定理）设随机变量12,,,,n X X X 相互独立,服从同一

分布,且具有数学期望和方差2

(),()0,i i E X D X μσ==>1,2,i =,则随机变量之和1

n

i i X =∑的标

准化变量

n

i

n X

n Y μ

-=

∑

的分布函数()n F x 对于任意X 满足

2/2lim ()lim d ()n i x t n n n X n F x P x t x μΦ-→∞→∞

⎧⎫

-⎪⎪⎪

=≤==⎬⎪⎪⎩⎭

∑⎰

定理 5.5表明,对于均值为,μ方差为2

0σ>的独立同分布的随机变量的和1

n

i i X =∑的标准

化随机变量,不论12,,,,

n X X X 服从什么分布,当n 充分大时,都有

~(0,1)n

i

n X

n Y N μ-=

∑近似

,

从而,当n 充分大时

21

~(,)n

i

i X

N n n μσ=∑近似.

定理5.5′ 设随机变量列12,,,,n X X X 相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差2(),()0,i i E X D X μσ==>1,2,

i =,令1

1n

n i i X X n ==

∑,则当n 充分大时

~(0,1)N 近似

,即2~(,/)n X N n μσ近似.

例5.3 一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100 g,标准差是10 g,求一盒螺丝钉的重量超过10.2 kg 的概率.

解 设i X 为第i 个螺丝钉的重量,,100,,2,1 =i Y 为一盒螺丝钉的重量,则

100

1

,i i Y X ==∑

12100,,,X X X 相互独立,由()100,i E X

=10,σ= 100n =知

()100()10 000,i E X E X =⨯=()100()10 000,i D X D X =⨯=

由独立同分布中心极限定理,~(10000,10000)Y N 近似

,

{}{10 200}110 200P Y P Y >=-≤

10 00010 20010 0001100100Y P --⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭

1(2)10.977 20.022 8.Φ≈-=-=

定理5.6（李雅普诺夫定理）设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立,它们具有数学期望和方差2

(),()0,1,2,

k k k k

E X D X k μσ==>=，记.1

22∑==n

k k n

B σ若存在正数δ,使得当∞→n 时,

,0}|{|11

22→-∑=++n

k k k

n

X

E B δδμ

则随机变量之和∑=n k k X 1

的标准化变量

n

n

k k

n k k

n k k n k k n

k k n B X X D X E X Z ∑∑∑∑∑=====-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

1

1

111μ

的分布函数)(x F n 对于任意x ,满足

2/211

lim ()lim d ().

n n

k k x t k k n n n n X F x P x t x B μΦ-==→∞→∞⎧⎫

-⎪⎪⎪⎪=≤==⎨⎬⎪⎪

⎪⎪⎩⎭

∑∑⎰ 定理5.7（棣莫佛—拉普拉斯定理）设随机变量(1,2,)~(,)(01),n n b n p p η=<<则

对任意x ,有

2

2lim d ().t x n P x t x Φ--∞→∞

⎧⎫⎪

≤==⎬⎪⎭⎰

证明 由于n η可视为n 个相互独立、服从同一参数p 的(01)-分布的随机变量12,,

,n X X X 的和,即有

1

n

n i i X η==∑,

其中

(),()(1),i i E X p D X p p ==-1,2,

i =,

故由独立同分布中心极限定理可得

2

2

lim lim d ().

n i n n t x

X np P x P x t x Φ→∞

→∞

-⎧⎫

-⎪⎪⎧⎫⎪⎪≤=≤⎬⎬

⎪⎪⎭

⎪⎭==∑⎰

, 定理5.7表明:若随机变量n η服从二项分布，即~(,)n b n p η，则当n 充分大时,有

~(0,1)np

N η-近似

,

从而,当n 充分大时

~(,(1))n N np np p η-近似

例5.4 假如某保险公司开设人寿保险业务，该保险有1万人购买（每人一份），每人每年付100元保险费,若被保险人在年度内死亡, 保险公司赔付其家属1万元.设一年内一个人死亡的概率为0.005试问:在此项业务中保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年利润不少于10万的概率是多少？

解 设X 表示一年内被保险人的死亡人数，则,

~(10000,0.005)X b ,

于是

()100000.00550,()100000.0050.99549.75E X D X =⨯==⨯⨯=

由棣莫佛—拉普拉斯定理,

~(50,49.75)X N 近似

.

保险公司亏本,也就是赔偿金额大于10 000100100⨯=万元,即死亡人数大于100人的概率