经济数学课件 2.1 导数的概念
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应用：求曲线y =f (x)在点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程 和法线方程
▲切线方程（点斜式）：y y0 f '( x0 )( x x0 )
法线方程：y
y0
f
1 (x '( x0 )
x0 )
例2 求 y x3在点(1,1)处的切线方程和法线方程 解： k ( x3 )' x1 3x2 x1 3
xo
来自百度文库
x xo
x x0
x0
0
这表明函数
y
f (x) 在点
x 处连续。 0
2.1.4 可导与连续的关系
但在点 x 处连续的函数不一定在 x 处可导。
0
0
例如：函数 y x 在 x 0 处连续，但在 x 0 处
不可导(如图2—3)。
图2－3
结论:
函数在某一点可导、连续、有极限的关系 可表示为：
可导 连续 有极限
M M0
O
M0
x N
x0 x0 x x
lim lim
y
f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
2.1.2导数概念 一、导数的定义
1.函数y＝f（x）在点 x0的导数
lim lim f '(x0 )
y x0 x
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
记作：y' x x0，f '( x0 )
y 3x2x 3x(x)2 (x)3
(2)
x
x
3x2 3xx (x)2
lim lim (3) f '(x)
y
[3x2 3xx (x)2 ]
x0 x x0
3x2
f '(x) 3x2
f '(1) ( x3 )' (3x2 ) 3
x1
x1
二、几何意义：斜率k f '( x0 )
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
2.1.1两个引例 一、总成本的变化率
设某产品的总成本为y f ( x)，x是产量, 当产量由x0变到x0 x时， 求(1)总成本的改变量y
y f ( x0 x) f ( x0 )
(2)总成本的平均变化率
总成本的平均变化率
总成本的改变量 产量的改变量
y
( 2)当M沿着曲线趋向于M 0时， 割线达到极限位置M 0T， 称M 0T为曲线在M 0处的切线
o
y f (x) M T
M0 x
2.曲线y＝f（x）在点 M0的切线的斜率
斜率k= tanα
y
f ( x0 x)
M
T
当M0M M0T时，
y
f ( x0 )
则有k tan lim tan
切线方程为: y 1 3( x 1) 即：y 3x 2 法线方程为：y 1 1 ( x 1) 3 即：y 1 x 4 33
2.1.4 可导与连续的关系
因为函数 y f (x) 在点 x 处可导，即
0
f (x ) lim y 存在，于是有
0
x x0
limy lim y x lim y limx f (x ) 0 0
，
dy dx
，
x x0
df dx
x x0
2.导函数（导数）
y
lim
x 0
x
lim
x 0
f
(x
x) x
f
(x)
记作：y'、f '( x)、dy、df dx dx
例1 设f (x) x3,用定义求f '(x), f '(1)
解：当自变量由x变到x x时， （1）y f ( x x) f ( x) ( x x)3 x3 x3 3x2x 3x(x)2 (x)3 x3 3x2x 3x(x)2 (x)3
y f ( x0 x) f ( x0 )
x
x
(3)产量为x0时，总成本的变化率（瞬时）
lim lim y
f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
二、曲线y＝f（x）在点 M0 的切线的斜率
1.曲线y＝f（x）在点 M0的切线
(1)曲线上有两点M 0和M， 连结两点，得到割线M0 M
反之不成立。
作业:习题2-1
235
▲切线方程（点斜式）：y y0 f '( x0 )( x x0 )
法线方程：y
y0
f
1 (x '( x0 )
x0 )
例2 求 y x3在点(1,1)处的切线方程和法线方程 解： k ( x3 )' x1 3x2 x1 3
xo
来自百度文库
x xo
x x0
x0
0
这表明函数
y
f (x) 在点
x 处连续。 0
2.1.4 可导与连续的关系
但在点 x 处连续的函数不一定在 x 处可导。
0
0
例如：函数 y x 在 x 0 处连续，但在 x 0 处
不可导(如图2—3)。
图2－3
结论:
函数在某一点可导、连续、有极限的关系 可表示为：
可导 连续 有极限
M M0
O
M0
x N
x0 x0 x x
lim lim
y
f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
2.1.2导数概念 一、导数的定义
1.函数y＝f（x）在点 x0的导数
lim lim f '(x0 )
y x0 x
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
记作：y' x x0，f '( x0 )
y 3x2x 3x(x)2 (x)3
(2)
x
x
3x2 3xx (x)2
lim lim (3) f '(x)
y
[3x2 3xx (x)2 ]
x0 x x0
3x2
f '(x) 3x2
f '(1) ( x3 )' (3x2 ) 3
x1
x1
二、几何意义：斜率k f '( x0 )
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
2.1.1两个引例 一、总成本的变化率
设某产品的总成本为y f ( x)，x是产量, 当产量由x0变到x0 x时， 求(1)总成本的改变量y
y f ( x0 x) f ( x0 )
(2)总成本的平均变化率
总成本的平均变化率
总成本的改变量 产量的改变量
y
( 2)当M沿着曲线趋向于M 0时， 割线达到极限位置M 0T， 称M 0T为曲线在M 0处的切线
o
y f (x) M T
M0 x
2.曲线y＝f（x）在点 M0的切线的斜率
斜率k= tanα
y
f ( x0 x)
M
T
当M0M M0T时，
y
f ( x0 )
则有k tan lim tan
切线方程为: y 1 3( x 1) 即：y 3x 2 法线方程为：y 1 1 ( x 1) 3 即：y 1 x 4 33
2.1.4 可导与连续的关系
因为函数 y f (x) 在点 x 处可导，即
0
f (x ) lim y 存在，于是有
0
x x0
limy lim y x lim y limx f (x ) 0 0
，
dy dx
，
x x0
df dx
x x0
2.导函数（导数）
y
lim
x 0
x
lim
x 0
f
(x
x) x
f
(x)
记作：y'、f '( x)、dy、df dx dx
例1 设f (x) x3,用定义求f '(x), f '(1)
解：当自变量由x变到x x时， （1）y f ( x x) f ( x) ( x x)3 x3 x3 3x2x 3x(x)2 (x)3 x3 3x2x 3x(x)2 (x)3
y f ( x0 x) f ( x0 )
x
x
(3)产量为x0时，总成本的变化率（瞬时）
lim lim y
f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
二、曲线y＝f（x）在点 M0 的切线的斜率
1.曲线y＝f（x）在点 M0的切线
(1)曲线上有两点M 0和M， 连结两点，得到割线M0 M
反之不成立。
作业:习题2-1
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