免费-高等代数试卷二及答案
高代2期末考试试题及答案
高代2期末考试试题及答案# 高代2期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性空间中，向量组的线性相关性意味着：- A. 向量组中至少有一个向量可以由其他向量线性表示- B. 向量组中所有向量都是零向量- C. 向量组中任意向量都可以由其他向量线性表示- D. 向量组中存在非零向量可以由其他向量线性表示答案：A2. 设矩阵A是n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=0，则称x为矩阵A的：- A. 特征向量- B. 零空间向量- C. 特征值- D. 逆矩阵答案：B3. 矩阵的秩是指：- A. 矩阵中非零行的最大数目- B. 矩阵中非零列的最大数目- C. 矩阵的行向量组的秩- D. 矩阵的列向量组的秩答案：D4. 对于线性变换T: V → W，如果存在矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A和B是：- A. 相似矩阵- B. 等价矩阵- C. 合同矩阵- D. 正交矩阵答案：B5. 线性变换的核是指：- A. 线性变换的值域- B. 线性变换的零空间- C. 线性变换的逆映射- D. 线性变换的映射集合答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 线性空间V的基是一组向量，使得V中任意向量都可以唯一地表示为这组向量的________。
答案：线性组合2. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，则矩阵乘积AB的秩r(AB)满足：________。
答案：r(AB) ≤ min(r(A), r(B))3. 矩阵的特征值是指使得方程________的λ的值。
答案：det(A - λI) = 04. 线性变换的线性组合可以表示为________。
答案：T1 + λT25. 对于线性空间的子空间U和W，它们的和U+W是________。
答案：U和W中所有向量的集合三、简答题（每题5分，共15分）1. 解释什么是线性空间的基，并给出一个例子。
答案：线性空间的基是一组向量，它们线性无关且能生成整个线性空间。
高等代数二练习题答案
高等代数二练习题答案一、多项式运算1. 给定多项式 \( p(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \) 和 \( q(x) =x^2 + 1 \)，求 \( p(x) \) 除以 \( q(x) \) 的商和余数。
2. 计算多项式 \( r(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 3 \) 和 \( s(x) =x - 2 \) 的乘积。
3. 证明多项式 \( t(x) = x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 8x - 9 \) 可以分解为两个二次多项式的乘积。
二、矩阵运算1. 给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \) 和 \( B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 与 \( B \) 的乘积。
2. 若矩阵 \( C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \)，求 \( C \) 的逆矩阵。
3. 判断矩阵 \( D = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix} \) 是否可对角化，并给出相应的对角矩阵。
三、线性方程组1. 解线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 1 \\3x - y + 2z &= 0 \\2x + y + z &= -1\end{align*}\]2. 判断下列线性方程组是否有唯一解：\[\begin{align*}x + y &= 3 \\2x + 2y &= 6\end{align*}\]3. 用克拉默法则解线性方程组：\[\begin{align*}x - y + z &= 2 \\2x + y - z &= 1 \\-x + 2y + z &= 3\end{align*}\]四、特征值与特征向量1. 求矩阵 \( E = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \) 的特征值和对应的特征向量。
(24)--13-14学年高等代数(II)试卷及参考答案
得分 五、(10 分) 设 V 是数域 Ω 上的 n 维向量空间, σ 是 V 上线性变换. 证明: 存
在 V 上线性变换 τ , 使得 kerσ = τ (V ), kerτ = σ(V ).
第 5 页 (共 6 页)来自得分 六、(10 分) 设 A1, A2, . . . , Ak 均为 n 阶实对称矩阵, 并且对任意的 i, j 均有
¯ Ý:˦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
(σ + τ )(u)v = u(σ − τ )(v),
(1)
(σ + 2τ )(u)v = uσ(v).
Ý ¦ ÈÙ Þ (2) − (1)
u, v ∈ V ,
τ (u)v = uτ (v).
À τ Ï ©¦». Á Ý (1) ¸ (3) ¦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
b
a + 3b
0
1
下对应的矩阵为
.
5. 设 V 是数域 Ω 上的有限维向量空间, 若 V 上线性变换 σ 的特征多项式
为 f (λ) = nk=1(λ − k)k, 则 dim ker(σ − k∗)k =
, 其中 k = 1, 2, . . . , n.
6. 设 V 是 2014 维欧氏空间, 若 V 上线性变换 σ 既是正交变换, 又是反对称
变换, 则 σ 的特征多项式为
.
7. 设 1, 2 都是 30 阶方阵 A 的特征根, 1 的代数重数为 29, 几何重数为 27,
则满足此条件且互不相似的 A 的总个数为
.
第 1 页 (共 6 页)
得分 二、(15 分) 设 A, B 均是 n 阶实对称矩阵. 证明: A, B 都是半正定矩阵, 当且
2020-2021《高等代数二》期末课程考试试卷(含答案)
2020-2021《高等代数二》期末课程考试试卷专业:信计 考试日期： 所需时间：120分钟 总分：100分 闭卷一、填空（5分×10）1在4P 中，向量(1,2,1,1)ξ=在12(1,1,1,1),(1,1,1,1),εε==--3(1,1,1,1)ε=--，4(1,1,1,1),ε=--下的坐标____.2 在[]P x 中定义0()()f x f x ψ=，其中0x 是一个固定的数，判断ψ是不是线性变换____.3 线性空间V 的两组基的过渡矩阵为A ，则这两组基的对偶基的过渡矩阵为____.4设矩阵2323ab ⎛⎝为正交矩阵，则a = ____，b = ____. 5 欧氏空间V 上的线性变换f 称之为正交变换，如果对任意的,V αβ∈____. 6已知三阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，设矩阵325B A A =-，则____B .（提示：行列式的值等于它所有特征值的乘积.）7试写出线性空间V 上线性变换ψ核的表达式______.8 属于不同特征值的特征向量线性无关是否正确？______. 9 设A 是n 阶矩阵，满足2A A =，则矩阵A 的特征值______.二、计算与解答题 （10分×3）10在空间3P 中设线性变换()()12312231,,2,,A x x x x x x x x =-+.求A 在基()()()0231,0,0,1,1,0,0,0,1εεε===下的矩阵.11设B 是秩为2的54⨯矩阵，()()()1231,1,2,3,1,1,4,1,5,1,8,9T T Tααα==--=--是齐次方程组0Bx =的解向量，求0Bx =的解空间的一个规范正交基.12已知1122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求nA .三、证明题 （10分×2）13设12,,,,n ααα是欧氏空间V 的一组基，证明：如果V γ∈满足(),0,1,2,,i i n γα==，则0γ=.14证明： 设123,,εεε是线性空间V 的一组基，123,,f f f 是它的对偶基，1132123323,,αεεαεεεαεε=-=++=+， 试证：123,,ααα是V 的一组基并求它的对偶基.2020-2021《高等代数二》期末课程考试试卷答案专业:信计 考试日期： 所需时间：120分钟 总分：100分 闭卷一、填空（5分×10）1在4P 中，向量(1,2,1,1)ξ=在12(1,1,1,1),(1,1,1,1),εε==--3(1,1,1,1)ε=--，4(1,1,1,1),ε=--下的坐标____.5111,,,4444--2 在[]P x 中定义0()()f x f x ψ=，其中0x 是一个固定的数，判断ψ是不是线性变换____.是3 线性空间V 的两组基的过渡矩阵为A ，则这两组基的对偶基的过渡矩阵为____. ()1'A -4设矩阵2323ab ⎛⎝为正交矩阵，则a = ____，b = ____.1,03. 5 欧氏空间V 上的线性变换f 称之为正交变换，如果对任意的,V αβ∈____.()(),,f f αβαβ=6已知三阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，设矩阵325B A A =-，则____B .（提示：行列式的值等于它所有特征值的乘积.）【解】设()325f x x x =-，则B 的特征值为()()()14,16,212f f f =--=-=-.于是()()()4612288B =-⋅-⋅-=-.7试写出线性空间V 上线性变换ψ核的表达式______.(){}10|0x V x ψψ-=∈= 8 属于不同特征值的特征向量线性无关是否正确？______. 是 9 设A 是n 阶矩阵，满足2A A =，则矩阵A 的特征值______.【解】设λ是A 的特征值，α是其对应的特征向量，则,0A αλαα=≠，22A A αλαλα==，又由2A A =得到2A A ααλα==，所以2λαλα=.20,0,1λλλ-==.二、计算与解答题 （10分×3）10在空间3P 中设线性变换()()12312231,,2,,A x x x x x x x x =-+.求A 在基()()()0231,0,0,1,1,0,0,0,1εεε===下的矩阵.【解】略.11设B 是秩为2的54⨯矩阵，()()()1231,1,2,3,1,1,4,1,5,1,8,9TTTααα==--=--是齐次方程组0Bx =的解向量，求0Bx =的解空间的一个规范正交基.【解】既然B 是秩为2，解空间的维数为2，又12,αα线性无关，所以12,αα是解空间的一个基，()()()()1121221111,1,2,3,,14,2,10,6.,3TTβααββαβββ===-=-- 再单位化，))1121,1,2,3,2,1,5,3.TTηαη===--12已知1122A ⎛⎫=⎪⎝⎭，求nA . 【解】（1） 求A 的特征值，2300,3E A λλλλλ-=-=⇒==.(2) 求A 的特征向量，当3λ=时，112α⎛⎫= ⎪⎝⎭，当0λ=时，211α⎛⎫=⎪-⎝⎭.令()12,P αα=，则13000A P P -⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是11111130303300002323nn n n nn n A P P P P ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 三、证明题 （10分×2）13设12,,,,n ααα是欧氏空间V 的一组基，证明：如果V γ∈满足(),0,1,2,,i i n γα==，则0γ=.【证明】根据(),0γγ=.14证明： 设123,,εεε是线性空间V 的一组基，123,,f f f 是它的对偶基，1132123323,,αεεαεεεαεε=-=++=+，试证123,,ααα是V 的一组基并求它的对偶基.证明：()()123123011,,,,112111g g g f f f -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭。
(完整版)高等代数II期末考试试卷及答案A卷,推荐文档
2、（ D ）设A是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
（A）A的核是零子空间的充要条件是A是满射； （B）A的核是 V 的充要条件是A是满射； （C）A的值域是零子空间的充要条件是A是满射； （D）A的值域是 V 的充要条件是A是满射。
二、 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1、（ ）复数域 C 作为实数域 R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：
（A）数域 P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B）数域 P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C）数域 P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D）复数域 C 作为复数域 C 上的线性空间。 2、（ ）设A是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
2、设A是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，证明W L 1,2 ,...,r 是A的不变子空间的兖要条件是 A i W i 1, 2,..., r
3、已知 A E 是 n 级正定矩阵，证明：
（1）A 是正定矩阵；
（2） A 2E 3n
答案
一、 填空题（每小题 3 分，共 15 分）
3、（ B ） 矩阵 A 可逆的充要条件是：
A A 0; B A 是一个非零常数；
C A 是满秩的； DA 是方阵。
4、（ C ）设实二次型 f X AX （A 为对称阵）经正交变换后化为：
1、在线性空间 P4 中，定义线性变换：
A a,b,c, d a,b, a c,b d a,b,c, d P4
(完整word版)高等代数(二)期末考试样卷
《高等代数（二）》期末考试样卷一、选择题（本大题有一项是符合题目要求的）1. 若σ是F 上向量空间V 的一个线性变换,则下列说法∙∙误错的是（ ）A.)()()(,,βσασβασβα+=+∈∀VB.0)0(=σC.)()(,,ασασαk k F k V =∈∈∀D.0)0(≠σ2．若},,{21s ααα 和},,{21t βββ 是两个等价的线性无关的向量组,则（ ） A.t s > B. t s < C. t s = D.以上说法都不对 3．向量空间2F [x]的维数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 4.一个线性变换关于两个基的矩阵是（ ）A.正定的B.相似的C.合同的D.对称的 5.如果两个向量βα与正交,则下列说法正确的是（ ） A. ><βα, > 0 B. ><βα, < 0 C. ><βα, = 0 D. ><βα, ≠ 06.设σ是欧氏空间V 的正交变换, 任意α,β∈V, 下列正确的是（ ） A.<α,β > = <σ(α),β> B.<α,β> = <α,σ(β)> C.<α,β> = <σ(α), σ(β)> D. <α,β> = －<σ(α),σ(β)>7．如果n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵的秩为r,那么它的解空间的 维数为（ ）A 、n-rB 、nC 、rD 、n+r 8.设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,则下列说法正确的是（ ） ①21W W +是向量空间V 的子空间 ②21W W +不是向量空间V 的子空间③21W W 是向量空间V 的子空间 ④21W W 不是向量空间V 的子空间 ⑤21W W 是向量空间V 的子空间 ⑥21W W 不一定是向量空间V 的子空间 A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ②④⑤ 9．设σ是数域F 上向量空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果对于W 中的任意向量ξ，有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的 （ ）A.非平凡子空间B.核子空间C.不变子空间D.零子空间10．欧氏空间的度量矩阵一定是（ ）A.正交矩阵B.上三角矩阵C. 下三角矩阵D. 正定矩阵 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分。
湖南理工学院高等代数试卷(2)
高等代数试卷（2）1． 填空题：（2×10=20）1．若向量组可由线性表示，且r>s,则线性。
2．数域P上所有n阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是；3．设是线性空间V的两个子空间，则的充分必要条件是= ；4．数域P上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件是。
5．设V是数域P上的n维线性空间，是V上一切线性变换所成的P上的线性空间，则dim(L(V))= 。
6．设是线性空间V的一组基，则由这个基到基的过度矩阵是。
7．令P n[x]表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式组成的线性空间，，则关于基下的矩阵是。
8．设是n维欧氏空间V上的一个正交变换，且（单位变换），则是变换。
9．欧氏空间V上的对称变换的特征根都是数。
10．设是n维欧氏空间V的一组标准正交基，则它的度量矩阵是。
二．判断题（每题1分，计10分）1．设。
（）2．两个等价的向量组一个线性无关，则另一个也线性无关。
（）3．若，，且V中的任意一个向量都可由线性表示，则实数是V的组基。
（）4．线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。
（）5．如果一个线性变换是单射，则它无零特征根。
（）6．设是线性空间V上的一个线性变换，则的核与的象都是的不变子空间。
（）7．如果W是欧氏空间的一个子空间，那么对V的内积来说，W也作成欧氏空间。
（）8．设是欧氏空间V上的一个正交变换，则对于夹角等于的夹角。
（）9．两个n元二次型（与（等价的充分必要条件是A与B合同。
（）10．实二次型（正定的当且仅当A合同于单位矩阵。
（）三、证明题（10×3=30）1．在一个欧氏空间里，对任意向量有不等式；且仅当线性相关时等式成立。
2．设V是数域P上的n维线性空间，是V的一组基，那么对V的任意n个向量有且仅有一个线性变换 σ 使得。
3．设，令V表示A的全体实系数多项式矩阵关于通常加法与数乘运算构成的线性空间；证明：dim(V)=3.四、计算题（15×2=30）1．设，求出一个正交矩阵U，使得是对角矩阵。
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
(完整word版)高等代数试卷及答案(二),推荐文档
一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分）1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。
2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为__________________。
3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。
4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。
5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。
6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。
7．在22P ⨯中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。
8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊆，若12dim dim V V =，则_____________________。
9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。
10．向量α在基12,,,n ααα⋅⋅⋅（1）与基12,,,n βββ⋅⋅⋅（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。
二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分）1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。
（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()10V V σσ-+=。
（ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。
（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++⋅⋅⋅+=与12n x x x ==⋅⋅⋅=的解空间，则12n V V P ⊕= （ ）5．2211nn i i i i n x x ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑为正定二次型。
(完整word版)广东工业大学高等代数2试卷和答案-2016
广东工业大学试卷用纸，共8页，第1页学 院： 专 业： 学 号： 姓 名：装 订 线广东工业大学考试试卷 ( A )课程名称: 高等代数（2） 试卷满分 100 分考试时间: 2016 年1月 13 日 (第20 周 星期 三 )题 号 一二三四五六七八九总分评卷得分 评卷签名复核得分 复核签名一、选择题（共5题，每小题4分，总分20分）1. 设线性变换,στ在基1,,n εεL 下的矩阵分别是A 和B ，则τσ在同一组基下的矩阵是（ A ）A. BA ;B. AB ；C. 11B A --; D. 11A B --; 2. 设矩阵A 的特征多项式为()f λ，且矩阵1B XAX-=，其中X 为可逆矩阵，则矩阵B 的特征多项式为（ D ）A. ()X f λ ;B. 2()Xf λ； C. 1()X f λ-； D. ()f λ。
3. 设σ是线性空间V 上的线性变换，则下列集合中可能不是σ-子空间的是（ D ）A. ()V σ;B. 1(0)σ-； C. V ; D. 1()(0)V σσ-⋃;4. 在有限维欧氏空间中，两组标准正交基之间的过渡矩阵是（ A ） A. 正交矩阵; B. 单位阵; C. 数量矩阵; D. 对角矩阵.5. 设矩阵100110000A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的最小多项式是（ A ） A. 2(1)λλ-; B. 2(1)λ-; C. (1)λ-; D.λ.广东工业大学试卷用纸，共8页，第2页广东工业大学试卷用纸，共8页，第3页，——(6分)第二步单位化:——（2. （12分）解：(用初等变换)——(6分)λλλ-；——(3分)由上面特征矩阵的标准型，得出初等因子为,,2且矩阵A的Jordan标准为广东工业大学试卷用纸，共8页，第5页的特征多项式为X1,X2,X3就是特征值2的三个线性无关的特征向量；X4就是特征值-2的特征向量；——（2）因为特征向量X1,X2,X3,X4线性无关，则矩阵A可以对角化，且有——（3）有（2），我们有广东工业大学试卷用纸，共8页，第6页——(6分)——(6分)广东工业大学试卷用纸，共8页，第7页广东工业大学试卷用纸，共8页，第8页。
高等数学二试题及答案
高等数学二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于（）。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3x+1D. x^2+3x+1答案：A2. 计算定积分∫(0到1) (2x+1)dx的值是（）。
A. 3/2B. 2C. 1D. 1/2答案：A3. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求a3的值是（）。
A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C4. 若矩阵A=| 1 2 |，矩阵B=| 3 4 |，则AB的行列式值是（）。
| 5 6 | | 7 8 |A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-6x+8，则f(x)的最小值是_________。
答案：22. 计算极限lim(x→0) (sinx/x)的值是_________。
答案：13. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f''(x)的值是_________。
答案：6x-64. 设矩阵A=| 1 2 |，求矩阵A的逆矩阵A^-1是_________。
| 2 3 |答案：| -3/2 1/2 || 1/2 -1/3 |三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=1处的切线方程。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，代入x=1得到f'(1)=8，然后求f(1)=6，所以切线方程为y-6=8(x-1)，即8x-y-2=0。
2. 计算定积分∫(0到π) sinx dx。
答案：∫(0到π) sinx dx = [-cosx](0到π) = -cos(π) + cos(0) = 2。
3. 设数列{an}满足a1=1，an+1=3an-2，求数列的前5项。
答案：a1=1，a2=3a1-2=1，a3=3a2-2=1，a4=3a3-2=1，a5=3a4-2=1，所以前5项为1, 1, 1, 1, 1。
同济大学第六版高等代数II考题答案
一：判断填空题（只有一个正确答案）（每题2分，共14分） 1. ||lg 1)(a x x f -=的定义域是( D ).(A) (-∞, a)⋃(a, +∞); (B) (-∞, a+1)⋃(a+1, +∞);(C) (-∞, a-1)⋃(a-1, +∞); (D) (-∞, a-1)⋃(a-1, a)⋃(a, a+1)⋃(a+1, +∞).2.设f(x)=tan20x. 则当x →0时, 有( ).(A)f(x)与x 同阶但非等价无穷小; (B) f(x)与x 是等价无穷小; (C)f(x)是比x 高阶的无穷小; (D)f(x)是比x 低阶的无穷小.)(66lim .3D xx o x 的极限是→ (A)6； (B)-6； (C)等价无穷小； (D)不存在 4．已知一个函数的导数为1ln +='x y ，,这个函数是（B ）（A ）y=lnx+2 （B ）y=xlnx+C （C ）y=xlnx; （D ）y=xlnx+25. 函数y =4x 3+12x-6在定义域内( A ).(A)单调增加; (B)单调减少; (C)图形凹的; (D)图形凸的.)(.635B dx e x y x ==⎰不定积分 Cx e D x e C Cx e B Cx e A x x x x ++-+-+-)1()()1()()1(31)()1(31)(3333337.下列积分值为零的是( D ). ⎰⎰⎰⎰----111111112s i n )(s i n )(2)(2s i n )(x d xD x d xx C x d xc o n B dxx A ;二：填空题（每题2分，共10分）1、函数)(x f 在x 点可导，则其导数的定义式为:hx f h x f x )()(lim 0-+→∆2、0155222=+-+u tu t 设确定了y 是t 的函数，则)1,1(dt du=59-，3、。
处的麦克劳林展式在函数12)!1(!!210+++++++==n xn xx n e n x x x x e y θ 4、=)(cos 2x d x x x sin cos 4-x d ；5、积分中值公式是 ⎰=badx x f )(b a f a b <<-ξξ)()(；三：判断题（每题1分，共6分）1、 函数在一点处连续需要在该点有定义和有极限即可（×）2、 在闭区间上函数可导的必要条件是连续（√）3、 拉格朗日中值定理给我们求中值的计算步骤（×）4、 泰勒中值定理不仅给出了函数的近似计算公式，还给出了计算误差的计算方法。
(完整word版)免费-高等代数试卷二及答案
高等代数试卷二一、 单项选择题（每小题2分，共10分）【 】1、设)(x f 为3次实系数多项式，则A.)(x f 至少有一个有理根B. )(x f 至少有一个实根C.)(x f 存在一对非实共轭复根D. )(x f 有三个实根.【 】2、设,A B 为任意两个n 级方阵，则如下等式成立的是 A. 222()2A B A AB B +=++ B. A B A B +=+ C. AB B A = D. A B A B -=-【 】3、设向量组12,αα线性无关，则向量组1212,a b c d αααα++线性无关的充分必要条件为A. ad bc ≠B. ad bc =C. ab cd ≠D. ab cd = 【 】4.一个(2)n ≥级方阵A 经过若干次初等变换之后变为B , 则一定有A. A B =B. 0Ax =与0Bx =同解C. 秩()A =秩()BD. **A B =【 】5、设矩阵A 和B 分别是23⨯和33⨯的矩阵，秩()2A =，秩()3B =，则秩()AB 是A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每小题2分，共20分）1．多项式)(x f 没有重因式的充要条件是 . 2 .若()()1f x g x +=,则((),())f x g x = .3. 设1230231002A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则*1()A -= .4. 行列式1230000a a a 的代数余子式之和:313233A A A ++为______________. 5.设3级方阵1211222,2A B ααββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,i i αβ均为3维行向量。
若16,2A B ==，则A B -= .6. 若矩阵A 中有一个r 级子式不为0, 则 r(A)= .7.线性方程组 121232343414x x a x x a x x a x x a -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩, 有解的充要条件是 .8. 若向量组12,,r ααα可由12,,s βββ线性表示，且12,,r ααα线性无关，则r s.9.设A 为3级矩阵, 且12A =, 则 1*A A --= 10. 设001200373*******A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭, 则1A -= .三、判断题（每小题2分，共10分）【 】1、若不可约多项式p(x)是()f x '的2重因式,则p(x)是)(x f 的3重因式.【 】2、设n 级方阵A 为可逆矩阵，则对任意的n 维向量β，线性方程组Ax β=都有解。
(完整word版)高等代数第二学期试题
第二学期期末考试《高等代数》试题一、填空：（每空2分，共30分）1、n 元二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数______________。
2、A 为正定矩阵，则A _______。
3、),(21s L αααΛ的维数__________向量组s αααΛ21,的秩。
4、1V ，2V 都是线性空间V 的子空间，则维1V +维2V =______________。
5、和1V +2V 是直和的充要条件为=⋂21V V ___________。
6、数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是______________。
7、A ，B 是两个线性变换，它们在基n εεεΛ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则A+B 在基n εεεΛ,,21下的矩阵为______________。
8、A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A 的秩+A 的零度=______________。
9、在欧几里德空间中，α=_______。
><βα,=_______。
10、欧几里德空间的一组标准正交基的度量矩阵为_______。
11、A 为正交矩阵，则A =_______，1-A =_______。
二、判断（每题2分，共10分）1、A 的值域是A 的不变子空间，但A 的核不是A 的不变子空间（ ）。
２、两个子空间的交还是线性空间V 的子空间（ ）。
3、线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的（ ）。
4、线性变换把线性无关的向量变为线性无关的向量（ ）。
5、度量矩阵是正定矩阵（ ）。
三、t 取什么值时，二次型3231212322214225x x x x x tx x x x +-+++正定？（10分）四、在4P 中，求向量ξ在基4321,,,εεεε下的坐标，其中=1ε（1，1，1，1），=2ε(1，1，-1，-1)，=3ε（1，-1，1，-1）=4ε（1，-1，-1，1），ξ=（1，2，1，1）（10分）五、3P 中，令),4,2(),,(213131321a a a a a a a a a -+-=σ，求σ在基},,{321εεε下的矩阵。
10-11高等代数(二)试卷A及答案
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徐州工程学院试卷
七、 （共 1 题，12 分）
⎛1 a a⎞ ⎜ ⎟ 设 A = a a 1 ，其中 a ≠ 0 。 ⎜ ⎟ ⎜1 a a⎟ ⎝ ⎠
（1）求 A 的特征值和特征向量； （2） a 取何值时 A 可以对角化？并求可逆阵 P ，使得 P −1 AP 为对角阵。 八、 （共 1 题， 10 分）
⎛1 ⎜ 1 ( β1 , β 2 , β3 , β 4 ) = (ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) ⎜ ⎜8 ⎜ ⎝3
= (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) A−1 B
0 3 7 2
1 −1⎞ ⎟ 1 4⎟ = (ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) B 6 −1⎟ ⎟ 2 −1⎠
⎛ −23 −7 −9 8 ⎞ ⎜ ⎟ 6 3 3 −1⎟ ⎜ 由基 α1 , α 2 , α 3 , α 4 到基 β1 , β 2 , β3 , β 4 的过渡矩阵 ⎜ 2 3 2 1⎟ ⎜ ⎟ 2 2 −1⎠ ⎝ 3 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4⎟ −1 ⎜ 4 ⎟ ⎜ α = (ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) = (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) A ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
∀A ∈ V ,设 A = ( aij ) , a11 + a22 + a33 = 0
则 A = − a22 A1 − a33 A2 + a12 E12 + a13 E13 + a21 E21 + a31 E31 + a32 E32 所以 A1 , A2 , E12 , E13 , E23 , E21 , E31 , E32 是 V 的一组基, V 的维数是 8 四、解: V1 = L (α1 α 2 ) ,V2 = L ( β1
最新10-11高等代数2试卷(A)资料
一、填空题（每题3分共15分） 1、已知C 是实数域R 上的线性空间，则()dim C ＝ 2 ；2、已知三阶矩阵A 的特征值分别为1，-1，2，矩阵235A A B -=，则B 的特征值是___-4,-6,-12__；3、设V 是由矩阵A 的全体实系数多项式组成的线性空间，21000000A w w ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中w =，则V 的一组基为___A,A 2__,E_；5、已知A 是一个正交矩阵，那么 2A＝ 1 .二、单项选择题（3分×5）（将每小题正确答案的序号，填在下表对应的方框中）1、设ϕ 是n 维欧氏空间V 上的正交变换, 以下说法错误的有（ A ）个.① 若nξξ,,1 是V 的一组标准正交基, 则)(,),(1n ξϕξϕ 仍是标准正交基；② 存在一组标准正交基, 使得ϕ在这组基下的表示矩阵是正交阵；③ 若U 是ϕ 的不变子空间, 则⊥U 也是ϕ 的不变子空间；④ϕ在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.A 0；B 1；C 2；D 3.3、下列关于有限维空间V 中线性变换T 的说法中错误的是（ C ） A. T 的值域与核都是T 的不变子空间； B. T 是单射当且仅当T 是满射； C. T 的值域与核的和等于V ； D. T 在两组不同基下的矩阵相似.4、下列关于数域P 上线性空间说法错误的是（ C ） A ． n 维线性空间中n 个线性无关向量一定为一组基； B ． n 维线性空间中n+1个向量线性相关； C ． 两个子空间的并还是子空间； D ．两个维数相同的有限维空间同构.5、二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经非退化线性替换X = CY 化为标准形213216),,(y y y y f =，则=a（ D ）A. 6；B. 0；C. 1；D. 2.三、计算题（第1、4小题10分，2、3小题各15分）1、设()(),1,1,1,1,0,1,2,121T T -==αα(),1,0,1,21T-=β()T7,3,1,12-=β求：),(),();,(),(21212121ββααββααL L L L +的一组基和维数。
高等代数期末考试题库及答案解析 (2)
高等代数期末考试题库及答案解析1. 矩阵运算1.1 矩阵加法考察矩阵的相加，要求加法可交换。
题目：已知矩阵 A = \(\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\)，矩阵 B = \(\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\)。
求 A + B 的结果。
答案解析：根据矩阵加法的定义，对应位置的元素相加，即有：\[ A + B = \begin{bmatrix} 3+5 & 1+2 \\ 2+1 & 4+3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} \]1.2 矩阵乘法考察矩阵的相乘，要求乘法满足结合律。
题目：已知矩阵 A = \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}\)，矩阵 B = \(\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}\)。
求 A * B 的结果。
答案解析：根据矩阵乘法的定义，对应位置元素相乘并求和，即有：\[ A \times B = \begin{bmatrix} 2 \cdot 5 + 3 \cdot 3 & 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \\ 1 \cdot 5 + 4 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 4 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 8 \\ 17 & 6 \end{bmatrix} \]2. 矩阵的特征值和特征向量2.1 特征值和特征向量的定义考察特征值和特征向量的定义和性质。
题目：设矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\)，求 A 的特征值和特征向量。
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高等代数试卷二
一、 单项选择题（每小题2分，共10分）
【 】1、设)(x f 为3次实系数多项式，则
A.)(x f 至少有一个有理根
B. )(x f 至少有一个实根
C.)(x f 存在一对非实共轭复根
D. )(x f 有三个实根.
【 】2、设,A B 为任意两个n 级方阵，则如下等式成立的是 A. 222()2A B A AB B +=++ B. A B A B +=+ C. AB B A = D. A B A B -=-
【 】3、设向量组12,αα线性无关，则向量组1212,a b c d αααα++线性无关的充分必要条件为
A. ad bc ≠
B. ad bc =
C. ab cd ≠
D. ab cd = 【 】4.一个(2)n ≥级方阵A 经过若干次初等变换之后变为B , 则一定有
A. A B =
B. 0Ax =与0Bx =同解
C. 秩()A =秩()B
D. *
*
A B =
【 】5、设矩阵A 和B 分别是23⨯和33⨯的矩阵，秩()2A =，秩()3B =，则秩
()AB 是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4二、填空题（每小题2分，共20分）
1．多项式)(x f 没有重因式的充要条件是 . 2 .若()()1f x g x +=,则((),())f x g x = .
3. 设1230231002A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则*1
()A -= .
4. 行列式1
23
00
00
a a a 的代数余子式之和:313233A A A ++为______________. 5.设3级方阵1211222,2A B ααββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，其中,i i αβ均为3维行向量。
若16,2A B ==，
则A B -= .
6. 若矩阵A 中有一个r 级子式不为0, 则 r(A)= .
7.线性方程组 121232
343414
x x a x x a x x a x x a -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩, 有解的充要条件是 .
8. 若向量组12,,r ααα可由12,,s βββ线性表示，且12,,r ααα线性无关，则
r s.
9.设A 为3级矩阵, 且1
2
A =
, 则 1*A A --= 10. 设00120
0373*******A ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎪⎝⎭
, 则1A -= .
三、判断题（每小题2分，共10分）
【 】1、若不可约多项式p(x)是()f x '的2重因式,则p(x)是)(x f 的3重因式.
【 】2、设n 级方阵A 为可逆矩阵，则对任意的n 维向量β，线性方程组Ax β=都有解。
【 】3、若有方阵,,A B C 满足AB AC =，则B C = 【 】4、初等矩阵的转置矩阵均为初等矩阵。
【 】5、设A 为n 阶方阵, B 是A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则||0A =
当且仅当 ||0B =.四、计算题（每小题10分，共40分）
1.求λ为何值时方程组123412341
234122322332x x x x x x x x x x x x λ
+++=⎧⎪
+--=⎨⎪+--=⎩有解，并求出一般解
2. 若3
2
()61514f x x x x =-+-,求)(x f 的有理根,进而写出)(x f 在实数域上的标准分解式.
3、设3级方阵A 和B 满足AB A B =+，其中323100122A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，求矩阵B 。
4、12
112
000
0,
0000
n n n
c b c b D c c b a a a +=
≠
五．证明题（第1小题12分，第2小题8分，共20分）
1． 设01
,,n b a a a 是n+2个互不相同的数，且00a ≠
0120
20
10
12
()n n n a a a a a x a a f x a a x a a a a x
= 证明 ((),)1f x x b -=
2．设A 为n ⨯n 矩阵，证明：存在非零矩阵B 使AB=0的充分必要条件为|A|=0.
高等代数试卷二答案
一、 单项选择题（每小题2分，共10分）
1、B
2、C
3、A
4、C
5、B
二 填空题（每小题2分，共20分）
1、((),())1f x f x '=
2、1
3、1230231002⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
4、12a a
5、2
6、r ≥
7、12340a a a a +++= 8、≤ 9、14
10、0075004372003100-⎛⎫
⎪-
⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
三、 判断题（每小题2分，共10分）
1、×
2、√
3、×
4、√
5、√
四、计算题（每小题10分，共30分）
1 解： (1)1111
10054
000003A λ⎛⎫ ⎪
→-- ⎪ ⎪-⎝⎭
, 3λ=时有解; （5分）
其全部解为: (1,0,0,0)+k(-1,1,0,0)+t(-1,0,-4,5), 其中k,t 为任意数. （10分） 个向量，可取为(1,1,,1)ε=. （10分）
2、解.f(x)可能的有理根为1,2,7,14±±±±,由综合除法知2为f(x)的单根, （5分）
且f(x)在实数域上的分解式为 :
2()(2)(47)f x x x x =--+ （10分）
3. 解：由AB A B =+可得()A E B A -=。
经计算10A E -=-≠，因此，矩阵A E -
可逆。
所以，1
()B A E A -=-。
（5分）2233231
101
0011010001102212112200116510024301014300
1165-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭
⎝⎭
--⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝
⎭
所以，243143165B --⎛⎫
⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭。
（10分）
4. 把第i 行的i
a c
-(1,2,,)i n =倍加到第n+1行上,得
1
11
n
n n i i i D c
a b -+==-∑ （10分）
五、证明题（第1小题12分, 第2小题8分，共20分）
1. 证明：把第1行的1-倍加到其它各行上,得
01()()()n f x a x a x a =-- （8分）
()0f b ∴≠,|()x b f x ∴-/,((),)1f x x b ∴-= （12分） 2. 证明.
0AX =有非零解当且仅当0A = （4分）
又B 的列向量均为0AX =的解向量, 故存在非零矩阵B 使AB=0的充分必要条
件为|A|=0. （8分）。